Matemática Financeira. Resumo Teórico

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Eliza Franca Medina
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1 Matemática Financeira Resumo Teórico

2 Aprendizados 1. Variáveis 2. Calculadora financeira HP 12c 3. Diagramas de fluxo 4. Convenções de tempo 5. Juros simples 6. Juros compostos 7. Juros contínuos 8. Taxas equivalentes 9. Combinação de taxas 10. Desconto à vista 11. Desconto de duplicatas 12. Preferência para aplicar dinheiro 13. Preferência para obter recursos 14. Série finita uniforme postecipada 15. Série finita uniforme antecipada 16. Série uniforme perpétua 17. Série finita não uniforme 18. Sistema de amortização americano (SAA) 19. Sistema de amortização constante (SAC) 20. Sistema de amortização francês (SAF) 21. Taxa administrativa 2

3 Variáveis C = Capital ou principal M = Montante final J = Juros i = Taxa de juros I = Taxa de juros contínua n = Número de períodos FV = Final value (valor final) PV = Present value (valor presente) r = Taxa de juros real π = Inflação d = Taxa de desconto D " = Desconto F $ = Valor descontado PU = Preço unitário VN = Valor nominal VNA = Valor Nominal Atualizado PMT = Pagamento (Payment) g = Taxa de crescimento t = período Amort = amortização SD = Saldo devedor 3

4 Calculadora financeira HP 12c Teclas brancas 4

5 Calculadora financeira HP 12c Teclas azuis (g) Calculadora financeira HP 12c Teclas laranjas (f) 5

6 Cálculos básicos (soma, divisão...) 1. Inserir valor 2. Apertar Enter 3. Inserir outro valor 4. Escolher operação Limpar tudo (botão de REG) f CLX Diagramas de fluxo de caixa Diagrama que mostra fluxos de caixa no tempo de uma operação X"="Valor"presente" Fluxo" posi7vo" i"="taxa" n"="período" Fluxo" nega7vo" Magnitude" do"fluxo" Y"="Valor"futuro" Convenções de tempo Taxas podem ter uma definição diferente de um ano 6

7 Ano exato = 365 dias corridos d. c. Taxa ao ano i <.<. (ao ano ) Ano comercial = 360 dias corridos d. c. Taxa ao ano i <.<. (ao ano ) Ano em dias úteis = 252 dias úteis d. u. Taxa ao ano over i <.<.E. (ao ano over) Juros simples Taxa que faz seu capital crescer linearmente J = C i n M = C + J Juros compostos Taxa que faz seu capital crescer exponencialmente FV = PV 1 + i O Na HP Para encontrar um valor basta inserir os outros três da equação Encontrar FV o Inserir PV e clicar botão o Inserir i e clicar botão o Inserir n e clicar botão o Clicar FV 7

8 Juros contínuos Taxa que valoriza capital instantaneamente Taxa contínua (instantânea) FV = PV e P O Converter taxa composta para taxa contínua I = ln 1 + i Taxas equivalentes Taxa ao período FV = PV(1 + i <.T. ) M = C(1 + i <.T. ) Período para converter taxas n = n desejado n dado Taxa de juros simples ou contínua I VWXWY<VE = I V<VE n i VWXWY<VE = i V<VE n Taxa de juros composta (1 + i VWXWY<VE ) = 1 + i V<VE O Combinação de taxas 8

$Combinar mais que uma taxa O 1 + i = 1 + i [ O Z 1 + i ] \ Inflação (1 + i) = (1 + r)(1 + π) Desconto à vista Desconto dado por comprar um bem$

9 Combinar mais que uma taxa O 1 + i = 1 + i [ O Z 1 + i ] \ Inflação (1 + i) = (1 + r)(1 + π) Desconto à vista Desconto dado por comprar um bem ou serviço à vista V " = N(1 d à $dxe< ) Desconto de duplicatas Antecipar recebimento de clientes que estão pagando a prazo Valor do desconto 9

10 D " = N d n Valor recebido hoje V " = N D " Taxa efetiva para desconto de duplicatas N = V " (1 + i <.T. ) Converter taxa do desconto (taxa equivalente) n n desejado = n dado desconto total = dn Preferência para aplicar dinheiro Aplicações sem risco Escolher aplicação com maior taxa ao período Aplicações com risco Se a taxa for maior do que a opção sem risco depende do investidor Preferência para obter recursos Escolher opção (empréstimo ou desconto) com menor taxa efetiva 10

11 Série finita uniforme postecipada Série de pagamentos iguais que são recebidos ao final de cada período FV = PMT 1 + i O 1 i PV = PMT Encontrar PV na HP i go i Valor (#) Pressionar - g END Número de parcelas Taxa de juros por período Valor da parcela # n # i # CHS PMT 11

$cada período entre pagamentos FV FV = PMT 1 + i Z + PMT 1 + i \ + + PMT 1 + i O FV = PMT 1 + i O 1 i (1 + i) PV PV = PMT + PMT 1 + i Z + PMT 1 + i \ + + PMT 1 + i$

12 - PV Série finita uniforme antecipada Série de pagamentos iguais que são recebidos no começo de cada período Nesse contexto n quantidade de pagamentos i taxa para cada período entre pagamentos FV FV = PMT 1 + i Z + PMT 1 + i \ + + PMT 1 + i O FV = PMT 1 + i O 1 i (1 + i) PV PV = PMT + PMT 1 + i Z + PMT 1 + i \ + + PMT 1 + i OgZ 12

13 PV = PMT i go i (1 + i) Encontrar PV na HP Mesmo que série postecipada mas com g BEG Série uniforme perpétua Pagamentos feitos para sempre Quando o pagamento é constante PV = PMT i Quando o pagamento cresce com taxa de crescimento constante 13

14 PMT 3 % PMT 1 % PMT 2 % % 0% 1% 2% 3% % % PMT e = PMT egz (1 + g) PV = PMT Z i g = PMT m(1 + g) i g Série finita não uniforme Série em que os pagamentos são diferentes Valor presente PV = PMT m + PMT Z 1 + i Z + PMT \ 1 + i \ + + PMT O 1 + i O Valor futuro FV = PMT m 1 + i O + PMT Z 1 + i OgZ + + PMT O Fórmulas para sistemas de amortização SD e = SD egz Amort e J e = SD egz i PMT e = J e + Amort e 14

15 Sistema de amortização americano (SAA) Juros constantes e amortização no final Juros são constantes e dívida só é amortizada no final J = PV i Amort O = PV 15

Etapas para preencher a tabela: Calcule os juros e preencha o resto t" Prestação" Juros"(J)" " Amor1zação." 0" $0" $0" $0" PV" 1" J" J" $0" PV" 2" J" J" $0" PV" 3" J" J" $0" PV"..."..."..."..."..." n" J " +"PV" J" PV" $0" Saldo" Devedor" 1.

16 Etapas para preencher a tabela: Calcule os juros e preencha o resto t" Prestação" Juros"(J)" " Amor1zação." 0" $0" $0" $0" PV" 1" J" J" $0" PV" 2" J" J" $0" PV" 3" J" J" $0" PV"..."..."..."..."..." n" J " +"PV" J" PV" $0" Saldo" Devedor" 1. Calcular"juros" Sistema de amortização constante (SAC) Amortização constante e juros decrescentes Etapa para encontrar cálculos qualquer período 1. Calcular amortização constante 16

17 Amort = PV n 2. Calcular saldo devedor do período anterior ao desejado SD e = PV (t Amort) SD egz = SD e + Amort 3. Calcular juros J e = (SD egz + Amort) i 4. Calcular PMT PMT e = Amort + J e t" Prestação" J t " Amort" Saldo" Devedor" 0" $0" $0" $0" PV" 1" J 1 "+"Amort" PV"*"i" Amort" PV" "1Amort" 2" J 2 "+"Amort" SD 1" *"i" Amort" PV" "2Amort" 3" J 3 "+"Amort" SD 2" *"i" Amort" PV" "3Amort"..."..."..."..."..." n" J n "+"Amort" SD n?1" *"i" Amort" $0" 1. Amor@zação"constante" 2. Saldo"devedor" 3. Juros" 4. PMT" 17

18 Sistema de amortização francês (SAF) Pagamento constante juros decrescentes e amortização crescente 1. Calcular PMT constante (i e n na mesma unidade de tempo) PMT = PV 1 + i O i 1 + i O 1 2. Calcular juros J e = SD egz i 3. Calcular amortização Amort e = PMT J e 4. Calcular saldo devedor novo SD e = SD egz Amort e 1. PMT" 2. Juros"" 3. Amor;zação" 4. SD"novo"" t" PMT" J t " Amort" SD" 0" $0" $0" $0" PV" 1" PMT" PV"*"i" Amort 1 " PV" "Amort 1 " 2" PMT" SD 1" *"i" Amort 2 " PV" "Amort 2 " 3" PMT" SD 2" *"i" Amort 3 " PV" "Amort 3 "..."..."..."..."..." n" PMT" SD n81" *"i" Amort n " $0" 18

19 Encontrar PMT na HP Valor (#) Pressionar - g END Valor do principal # CHS PV Taxa de juros Número de parcelas # i # n - PMT Encontrar PV na HP Valor (#) Pressionar - g END Valor do pagamento # CHS PMT Taxa de juros Número de parcelas # i # n - PV Taxa administrativa 19

20 Taxa fixa cobrada sobre operação Empréstimo C = C p taxa M = C p 1 + i O Desconto de duplicatas V " = V " taxa V " = N D " Imposto Taxa cobrada sobre operação Empréstimo C = C p i dvtexee C p M = C p 1 + i O Desconto de duplicatas V " = V p " imposto p V " = V " i dvtexee V " V " = N D " 20

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