Matemática Financeira Funções da calculadora financeira HP-12C

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1 Matemática Financeira Funções da calculadora financeira HP-12C Prof. Msc. Sergio Silva Braga Junior Consultor Financeiro Observações Gerais É indispensável o uso da calculadora financeira HP-12C O curso tem o objetivo de aprimoramento e desenvolvimento profissional

2 Sumário Introdução... 3 Apresentação... 4 Funções Estatísticas... 5 Funções Estatísticas aplicadas a analise de regressão e correlação linear... 6 Funções Financeiras Básicas... 8 Juros Compostos... 9 Taxa Equivalente e Taxa Efetiva Juros Compostos: Séries de Pagamentos ou Recebimentos Séries de Pagamentos ou Recebimentos Uniformes Séries de Pagamentos ou Recebimentos não Uniformes Conversão de Taxa efetiva em Taxa over: Coeficiente ou fatores de financiamento Séries de Pagamentos ou Recebimentos não Uniformes Valor Presente Liquido(NPV) e Taxa Interna de Retorno(IRR) Descontos Desconto Simples Desconto Composto Apuração da Taxa de Desconto com base na Taxa Efetiva Amortização Financeira Curiosidade da HP12C: Bibliografia... 34

3 Introdução O processo de tomada de decisões reflete a essência do conceito de Administração. Reconhecidamente, administrar é decidir, e a continuidade de qualquer negocio depende da qualidade das decisões tomadas. Todo negócio necessita de gestores preparados para levar as organizações ao sucesso com o menor custo e administrando o dinheiro de maneira estratégica. Para a gestão financeira, em geral, dispomos de um instrumento que nos permite cálculos mais precisos e rápidos na analise de investimentos e financiamentos, proporcionando condições na gestão estratégica do dinheiro. Baseado em conceitos do mercado financeiro, trataremos aqui sobre o uso e aplicação destes conceitos através da calculadora financeira HP12C a mais comum e utilizada ferramenta dos gestores financeiros. O programa será desenvolvido com simulações de situações reais do cotidiano. As relações do gestor financeiro: Relacionamento interno: Área Comercial Diretoria Recursos Humanos Planejamento e Controle Gestor Financeiro Contabilidade Produção Jurídico Administração Relacionamento externo: Governo Acionistas Fornecedores Sociedade Gestor Financeiro Clientes Instituições Financeiras Concorrentes 3

4 Apresentação Este curso de HP12C, foi elaborado com o intuito de oferecer mais um instrumento para o seu aperfeiçoamento profissional e pretende contribuir, de maneira efetiva, para disseminar cada vez mais os conhecimentos e utilização dessa calculadora. A HP12C é um poderoso instrumento facilitador de cálculos financeiros que pode e deve ser utilizados por universitários, empresários, executivos, gerentes e pessoas que a tenham como instrumento de trabalho. O curso oferecido, pretende aprofundar outros recursos que essa calculadora oferece, tendo por finalidade introduzir as técnicas estatísticas, financeiras e de programação para a utilização e programação da calculadora, bem como reciclar conhecimentos daqueles que já a utilizam, mas, não conseguem explorar parte significativa de sua potencialidade. 4

5 Funções Estatísticas Um grupo de recursos extremamente úteis da HP12C está representado nas funções estatísticas da calculadora. É possível obter algumas estatísticas básicas como média, desvio-padrão, média ponderada, o coeficiente de correlação e variáveis interpolares. Neste curso estaremos desenvolvendo a média, o desvio-padrão e a média ponderada: - [g] [ x ] : calcula a media aritmética simples dos valores de x e y armazenados no *modo somático; - [g] [s] : calcula o desvio-padrão amostral dos valores de x e y armazenados no *modo somático; - [g] [ x w ] : calcula a media ponderada dos valores de x e y armazenados no *modo somático. * modo somático é a função somatória representado pela tecla [ Σ + ]. Exemplo: As notas obtidas por um aluno nas provas de química foram iguais a 6, 4 e 9. Sabendo que as avaliações tinham pesos iguais a 5, 3 e 2, respectivamente, calcule a media final do aluno na disciplina. Solução: Pode-se entrar com os dados no modo somatória da calculadora conforme os passos abaixo: Passo Teclas Visor 01 [f] CLEAR [ ] 0, [ENTER] 5 [ Σ + ] 1, [ENTER] 3 [ Σ + ] 2, [ENTER] 2 [ Σ + ] 3,00 05 [g] [ x w ] 6,00* *média ponderada das provas de química. Exercício: a) Sua empresa possui os seguintes títulos com os respectivos vencimentos: Vencimento Valor 30 $10.000,00 45 $12.000,00 50 $8.000,00 60 $11.000,00 Qual o prazo médio, o prazo médio ponderado e o desvio-padrão dos títulos e dos vencimentos? 5

6 b) Um empresa comparou a produtividade de 5 pessoas em um mesmo trabalho com os seguintes resultados: Trabalhador Período (Dias) Produção (Und) A 3 57 B 3 82 C 3 79 D 3 45 E 3 64 Qual a produção media e qual o desvio-padrão para a produção desta empresa? Funções Estatísticas aplicadas a analise de regressão e correlação linear Esta analise é facilitada mediante duas funções na calculadora: - [g] [ x, ˆ r ] : interpola ou extrapola o valor de x com base em outros valores de x e y armazenados no modo somático. Também calcula o coeficiente do valor de correlação r; - [g] [ y, ˆ r ] : interpola ou extrapola o valor de y com base em outros valores de x e y armazenados no modo somático. Também calcula o coeficiente do valor de correlação r; Em geral, esta ferramenta permite analisar e estimar situações que relacionem duas variáveis que precisam ser correlacionadas. Desta forma, sempre que se aplicar este método de analise, é conveniente saber o grau de correlação existente entre os pares de dados. Este coeficiente varia entre +1 e -1. Quanto mais próximo de +1 (inclinação positiva) e de -1 (inclinação negativa) maior a correlação entre as variáveis. Exemplo: As vendas em 1000 unidades da Fabrica de Picolés Quentinhos Ltda, estão apresentadas na tabela a seguir. Com base nos dados, calcule (a) o coeficiente de correlação; (b) as previsões de vendas para 2004 e 2005; (c) o ano em que o volume de vendas irá atingir Ano Vendas

7 Resolução pela HP-12C: Passo Teclas Visor 01 [f] CLEAR [ ] 0, [ENTER] 58 [ Σ + ] 1, [ENTER] 66 [ Σ + ] 2, [ENTER] 72 [ Σ + ] 3, [ENTER] 77 [ Σ + ] 4, [ENTER] 81 [ Σ + ] 5, [ENTER] 85 [ Σ + ] 6,00 08 [g] [ y, ˆ r ][x y] 0,99 Coeficiente de correlação [g] [ x, ˆ r ] 92,04 Volume de vendas previsto para [g] [ y, ˆ r ] 2008,26 Ano em que deverá ser atingida unid Exercícios: 1- Uma pesquisa realizada em uma empresa com sete vendedores, revelou os dados da tabela a seguir: Vendedor Horas Trabalhadas Vendas por Mês , , , , , , ,00 Calcule: a- Qual a venda media e o coeficiente de correlação? b- Se um vendedor trabalhar 48 horas qual a previsão de vendas? E para 30 e 52 horas? c- Qual o volume de horas prevista para um volume de ,00 e de ,00? 2- Uma loja de roupas estava pensando em aumentar suas vendas no inverno e seu departamento de Mkt sugeriu um investimento em propaganda. Seria realizado anúncios nos principais jornais da cidade aos domingos. O efeito deveria ocorrer ao longo da semana que se iniciasse os anúncios. Os resultados da campanha foram: 7

8 Semana Investimentos (mil) Volume Vendas (Mil) 1 9,3 310,2 2 7,5 256,5 3 11,7 433,3 4 9,2 389,5 5 5,6 230,4 6 8,4 301,4 7 4,3 212,6 8 2,5 131,1 Calcular o coeficiente de correlação e projetar os volumes de vendas esperados para investimentos de R$5, R$10 e R$15 (mil). Quanto seria necessária investir em propaganda para se atingir R$400 e R$450 (mil)? Funções Financeiras Básicas A seguir, serão apresentadas as principais funções financeiras da HP12C. Todas essas funções serão abordadas com maior profundidade durante o módulo. É importante ressaltar a necessidade do correto uso dos indicadores (flags) fundamentais nos cálculos que envolvem matemática financeira na HP12C: Flag => c : [STO] [EEX] ativa; [STO] [EEX] desativa Flag => begin : [g] [BEG] ativa; [g] [END] desativa => usado em serie de pagamentos com entrada([g] [BEG]) ou sem entrada ([g] [END]). As principais funções financeiras aplicáveis às séries uniformes, em que os fluxos de caixa são iguais, consistem em: - [n] : números de períodos da série; - [i] : taxa de juros da série(valido para uniformes e não uniformes); - [PV] : do inglês Present Value, valor presente da série; - [FV] : do inglês Future Value, valor futuro da série; - [PMT] : do inglês Payment, valor da prestação(ou pagamento) da série. 8

9 Para séries não uniformes, em que os fluxos de caixa não são iguais, a HP12C disponibiliza as seguintes funções: - [g] [CF o ] : do inglês Cash Flow 0, armazena o fluxo de caixa na data zero; - [g] [CF j ] : do inglês Cash Flow j, armazeno o fluxo de caixa na data j (j => 1 a 20); - [g] [N j ] : armazena o numero de fluxos de caixa repetidos; - [f] [NPV] : do inglês et Present Value, calcula o valor presente liquido de um fluxo de não uniforme. - [f] [IRR] : do inglês Internal Rate of Return, calcula a taxa interna de retorno de um fluxo de não uniforme. - [f] [AMORT] : do inglês AMORTization, calcula o saldo devedor de um empréstimo após o pagamento de um ou mais parcelas. Juros Compostos Nesse critério de capitalização, os juros incidem sempre sobre o saldo acumulado (montante), e ocorrem, dessa forma, juros sobre juros periodicamente, como demonstra o exemplo a seguir: Capital Inicial Taxa Período Juros Saldo Final ,2% ,2% ,2% ,2% 4 Para o desenvolvimento do conceito, adotamos as seguintes formulas de juros compostos: FV = PV ( 1 + i) n FV e PV = ( 1+ i) n Vemos que os juros calculados em um período incorporam o capital para calculo nos demais períodos. Exemplo: Um capital de R$ ,00 aplicados a uma taxa de 5% mensais, durante 4 períodos renderá quanto de juros? Qual será o montante dessa operação? Passo Teclas Visor [PV] , [i] 5, [n] 4,00 04 [FV] ,13 Montante no final do período 9

10 Exercícios: a) Uma loja vende um item a R$ 350,00 à vista. Caso o cliente opte por pagar a prazo (3 quinzenas) a loja cobra 15% de juros por quinzena. Quanto será cobrado de juros? Quanto custará o tênis após 3 quinzenas? b) Um investidor aplicou em um CDB de 90 dias. O valor aplicado foi de R$ 834,00 e o resgatado foi de R$ 2.051,95. Qual a taxa mensal bruta paga ao investidor? c) Uma aplicação com duração de 7 meses com uma taxa mensal de 27% bruto rendeu um montante de R$ 4.328,76. Qual foi o valor investido? d) Uma empresa emprestou um capital de R$ 4.000,00 com valor final de R$ 8.000,00. Sendo a taxa de 5% ao mês, qual o prazo de pagamento do empréstimo? e) Calcule o montante produzido por R$ 2.000,00 aplicados em regime de juros compostos, durante 02/10/2002 a 25/01/2003 a uma taxa de 0,17% ao dia. f) Qual o valor dos juros de uma duplicada de R$ 1.450,00 vencida em 23/04/2001 e será paga em 10/05/2001, sabendo que os juros cobrados ao dia são de 0,75%? g) A loja Topa Tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 1.600,00 para pagamento único de R$ 2.275,36 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja. 10

11 h) Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,18, sabendo que a taxa contratada é de 5% ao mês? i) Você cedeu um empréstimo a um parente no valor de R$ ,00 para receber após 12 meses. Como você gosta dele, cobrou-lhe uma taxa de 3,5% ao mês. Quanto você deverá receber ao final do empréstimo? j) Uma loja está com uma promoção na linha de celulares.um determinado modelo é vendido por R$ 599,00 à vista ou em 10 parcelas de R$ 75,00. Qual a taxa de juros cobrada? k) Uma empresa negociou um empréstimo de R$ ,00 para pagamento único a taxa de juros de 1,8% ao mês num montante de R$ Qual o prazo de pagamento? Taxa Equivalente e Taxa Efetiva As Taxas equivalentes são as geram montantes idênticos (equivalentes) quando capitalizadas sobre um mesmo capital e prazo. Exemplo: Um taxa de 20% a.s. e 44% a.a., são equivalentes por produzirem o mesmo montante em prazos idênticos: - PV => 1.000,00... n => 2... i => 20, FV => 1.440,00 - PV => 1.000,00... n => 1... i => 44, FV => 1.440,00 11

12 A taxa de juros equivalente referente a certo intervalo de tempo, vem da seguinte expressão: i = q q 1+ i 1 onde: - i q = taxa de juros equivalente relativa a uma parte de determinado intervalo de tempo; - q = numero de partes do intervalo de tempo considerado No exemplo anterior: - q = 2 - i = 44% a.a. i 2 = 1 + 0,44 1 = 0, 20 ou 20% Na HP12C: Passo Teclas Visor [PV] 100,00 Valor base [CHS] [FV] - 144,00 Valor base + taxa ao ano 03 2 [n] 4,00 Período desejado 04 [i] 20,00 Taxa do período Em diversas operações financeiras, a taxa de juros é dada em prazo normalmente superior ao período de capitalização dos juros. Por exemplo, em diversos financiamentos, os juros são capitalizados mensalmente, e a taxa contratada é expressa em termos anuais. Nesses casos, se o critério adotado de incorporação dos juros ao principal for composto equivalente, o montante ao final do período deverá ser o mesmo. No entanto, se a capitalização for processada pelo critério de juros simples (taxa nominal, conforme definida), a taxa de juros calculada ao final do período será maior que a taxa contratada, surgindo assim, a taxa efetiva. Sua formula é: i z z e = i onde: - z = numero de períodos de capitalização da taxa contratada em determinado período de tempo. Exemplo: 12

13 Um financiamento de R$ ,00 contratado à taxa nominal de 20% ao ano com capitalização semestral (proporcional). O montante ao final de um ano atinge R$ ,00. Verificar a veracidade do financiamento. - Baseado na capitalização linear (juros simples): FV = [ ,00 x (1,20)] FV = , ,00 - Taxa efetiva: 0,20 i e = i e = 21% ao ano Na HP12C: 2 1 Passo Teclas Visor [PV] ,00 Valor base [CHS] [FV] - 144,00 Valor base + taxa ao ano 03 1 [n] 1,00 Período desejado 04 [i] 21,00 Taxa efetiva do período Exercícios: a) Um empréstimo no valor de R$ ,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal de juros de 32% a.a., capitalizados trimestralmente. Determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. b) Sendo a taxa de juros contratual de 37% a.a. e a capitalização mensal.qual a taxa efetiva mensal desse contrato? c) Com base no exercício anterior, qual a taxa trimestral efetiva desse mesmo contrato? d) Sendo a taxa efetiva mensal de 1% a.m., qual a taxa efetiva anual e qual a taxa nominal anual? 13

14 e) O preço a vista de um refrigerador é R$ 659,00.Pode ser dividido em 10 vezes de R$ 73,34 com juros de 1,99% ao mês. qual a taxa efetiva anual e qual a taxa nominal anual? Juros Compostos: Séries de Pagamentos ou Recebimentos Através dos conceitos de valor presente e valor futuro (montante), visto anteriormente, apresentemos algumas aplicações práticas em operações com um único desembolso ou recebimento. Créditos que exigem uma única amortização ao final do prazo de vigência (alguns tipos de crédito de capital de giro), aplicações financeiras com renda final (CDB, por exemplo), créditos concedidos a clientes e obtidos de fornecedores, são exemplos de aplicações do valor presente e valor futuro. Nesta seção, estaremos estudando as operações que envolvem uma série de pagamentos ou recebimentos uniformes e não uniformes. A determinação dos custos de vários tipos de empréstimos e financiamentos como as linhas de créditos do BNDES, são exemplos das aplicações práticas dessas operações. A calculadora financeira HP12C realiza cálculos com pagamentos uniformes e não uniformes, conforme veremos a seguir. Séries de Pagamentos ou Recebimentos Uniformes Ao trabalhar com séries de pagamentos ou recebimentos de mesmo valor e periodicidade (uniformes), o calculo do valor presente poderá ser simplificado pelo uso da seguinte fórmula: ( 1+ i) 1 PV = PMT i Por exemplo, o valor presente de um bem que é pago em 10 prestações mensais e iguais de R$ 5.000,00 à taxa de juros de 2% a.m. é: 1 PV = PV = ,93 Na HP12C: ( 1+ 0,02) 0,02 10 Passo Teclas Visor [PMT] 5.000,00 Valor das parcelas 02 2 [i] 2,00 Valor da taxa [n] 10,00 Período n 14

15 04 [PV] ,93 Valor presente OBS: Quando a série de pagamentos começar com uma entrada, a calculadora deve ser informada pressionando as teclas [g] [BEG]. No visor, a palavra BEGIN ficará acessa ativado para séries de pagamentos com entrada. Exercícios: a) Um equipamento é vendido por R$ 100,00 em 3 parcelas iguais sem entrada a uma taxa de juros de 5% a.m.. Qual o valor das parcelas? b) Quanto terei que aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses um montante de R$ ,00 sabendo que o rendimento será de 2,5%a.m. e que as prestações serão iguais e consecutivas? c) Um fundo de renda fixa assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de R$ 500,00 o resgate de R$ ,29 no final do ultimo mês. Sabendo que a aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento proporcionada pelo fundo. d) O financiamento de um valor x em 24 parcelas sem entrada é definido pelo coeficiente 0, Qual a taxa de juros desse financiamento? Séries de Pagamentos ou Recebimentos não Uniformes Quando os pagamentos e recebimentos de determinada operação não forem uniformes no que se refere ao valor de seus termos ou periodicidade, o valor presente é obtido pela somatória de cada um dos fluxos de caixa atualizados ao momento atual, isto é: PV PMT + = n ( 1 i) 15

16 Por exemplo: Qual o valor presente de uma divida que deve ser paga em três parcelas mensais consecutivas de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 à taxa de 1,2% a.m.? PV = , , ,012 ( ) ( ) ( ) PV = , , ,40 = ,41 Na HP12C: Passo Teclas Visor 01 0 [g] [CF o ] 0,00 Valor inicial [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela 05 1,2 [i] 1,20 Taxa de juro 06 [f] [NPV] ,41 Valor presente Exercícios: 1- Calcular o Valor Presente Líquido do projeto de investimento nas seguintes condições: Valor do investimento inicial R$ Receitas liquidas anuais: R$ 370; R$ 900; R$ 755; R$ 790 (já incluso o valor residual) TMA (Taxa Mínima de Atratividade)= 14% a.a. 2- Qual é o Valor Presente Líquido de um objeto adquirido por R$ 3.320,00 com vencimento para 30 dias e 60 dias, sabendo-se que a Taxa de Rentabilidade praticada é de 5,3% a.m.? 3- Uma empresa está analisando a viabilidade da aquisição de um equipamentos para a sua linha de produção no valor de R$ ,00. Segundo estudos efetuados na referida empresa, o equipamento deverá gerar receitas líquidas anuais nos próximos 04 anos conforme: R$ 4.300,00; R$ 3.000,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00. Espera-se vender o equipamentos no final do 4 o ano pelo valor de R$ 4.000,00. Calcular o Valor Presente para uma TMA (Taxa Mínima de Atratividade) fixada em 8 %. a.a. 16

17 Conversão de Taxa efetiva em Taxa over: Condições: a. A taxa de referencial over no mercado é normalmente mensal e os juros aplicados obedecem ao regime de juros simples para os dias previstos na operação financeira. b. Os juros somente são considerados nos dias úteis, mesmo que a taxa esteja definida para um mês. A conversão de over para efetiva ocorre assim: Por exemplo, admita que um investidor esteja avaliando uma aplicação que paga 2,7% a.m. de taxa over. No período a que se refere essa taxa, são previstos 20 dias úteis. 2,7 Taxa por dia corrido = 0,09% ao dia 30 Capitalização pelos dias úteis: 20 Taxa efetiva = ( 1+ 0,0009) 1 = 1,82% ao mês A conversão de efetiva para over ocorre assim: Em outro exemplo, o rendimento mensal de 2,2% de certificado de deposito bancário (CDB) equivale, para um mês de 22 dias úteis, a que taxa over? Descapitalização da taxa efetiva por dia útil: ,022 1 = 0,099% por dia útil Conversão em taxa over: Taxa over = 0,099% x 30 dias = 2,97% ao mês Exercícios: f) Um empréstimo no valor de R$ ,00 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal de juros de 32% a.a., capitalizados trimestralmente. Determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo. g) Sendo a taxa de juros contratual de 37% a.a. e a capitalização mensal.qual a taxa efetiva mensal desse contrato? 17

18 h) Com base no exercício anterior, qual a taxa trimestral efetiva desse mesmo contrato? i) Sendo a taxa efetiva mensal de 1% a.m., qual a taxa efetiva anual e qual a taxa nominal anual? j) O preço a vista de um refrigerador é R$ 659,00.Pode ser dividido em 10 vezes de R$ 73,34 com juros de 1,99% ao mês. qual a taxa efetiva anual e qual a taxa nominal anual? Coeficiente ou fatores de financiamento Considerando o valor presente para séries uniformes de pagamentos(fluxos de caixa iguais e periódicos), pode-se determinar o valor das prestações ou recebimentos pela construção de coeficientes de financiamento (CF) utilizando a seguinte fórmula: i CF = 1 1+ i ( ) n Baseado no exemplo anterior terá a seguinte situação: CF 1 0,02 = 10 ( 1+ 0,02) CF = 0, Calculando o valor das prestações: PMT = ,93 0, PMT = 5.000,00 Na HP12C: Passo Teclas Visor 01 1 [PV] 1,00 Valor base 02 2 [i] 2,00 Valor da taxa [n] 10,00 Período 04 [PMT] - 0,11 Coeficiente 05 [f] [6] [CHS] 0, Coeficiente utilizado 18

19 Para cada série de pagamento (fluxo de caixa) é determinado um coeficiente financeiro. Exercícios: e) Um equipamento é vendido por R$ 100,00 em 3 parcelas iguais sem entrada a uma taxa de juros de 5% a.m.. Qual o valor das parcelas? f) Quanto terei que aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 36 meses um montante de R$ ,00 sabendo que o rendimento será de 2,5%a.m. e que as prestações serão iguais e consecutivas? g) Um fundo de renda fixa assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e mensais de R$ 500,00 o resgate de R$ ,29 no final do ultimo mês. Sabendo que a aplicação é feita na data do contrato, calcular a taxa de rendimento proporcionada pelo fundo. h) O financiamento de um valor x em 24 parcelas sem entrada é definido pelo coeficiente 0, Qual a taxa de juros desse financiamento? i) Você, como gerente financeiro do banco Empresta Barato, foi procurado para montar duas tabelas de financiamentos com coeficientes para os vendedores. As taxas serão de 2,7% a.m. para pessoa física e 2,1% a.m. para pessoa jurídica. Fazer os coeficientes para 10, 12, 18, 24, 36 e 48 parcelas com a primeira vencendo com 30 dias após a liberação do crédito. 19

20 j) Baseado no exercício anterior, montar a tabela de coeficientes considerando uma entrada. Séries de Pagamentos ou Recebimentos não Uniformes Quando os pagamentos e recebimentos de determinada operação não forem uniformes no que se refere ao valor de seus termos ou periodicidade, o valor presente é obtido pela somatória de cada um dos fluxos de caixa atualizados ao momento atual, isto é: PV PMT + = n ( 1 i) Por exemplo: Qual o valor presente de uma divida que deve ser paga em três parcelas mensais consecutivas de R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00 à taxa de 1,2% a.m.? PV = , , ,012 ( ) ( ) ( ) PV = , , ,40 = ,41 Na HP12C: Passo Teclas Visor 01 0 [g] [CF o ] 0,00 Valor inicial [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela 05 1,2 [i] 1,20 Taxa de juro 06 [f] [NPV] ,41 Valor presente Valor Presente Liquido(NPV) e Taxa Interna de Retorno(IRR) O valor presente liquido(npv) é uma técnica de analise de orçamento de capital, obtida subtraindo-se o investimento inicial de um projeto do valor presente das entradas de caixa, descontada a uma taxa igual ao custo de capital da empresa.como mostrado abaixo: PMT PV = 1+ ( i) n I 20

21 A taxa interna de retorno(irr) é a taxa que iguala, em determinado momento, a entrada de caixa com as saídas periódicas de caixa (NPV = 0). No exemplo anterior a taxa de 1,2% a.m. é a taxa interna de retorno para o valor presente de R$ ,41. A taxa interna de retorno confere se um investimento dará o retorno percentual desejado ou se um financiamento está no custo combinado. A calculadora financeira HP12C realiza o calculo do NPV e da IRR como mostra o exemplo a seguir: A empresa Pé na Estrada está analisando a viabilidade de um projeto com investimento inicial de R$ ,00 e vida útil de sete anos. Os rendimentos serão de R$ ,00 nos primeiros quatro anos e R$ ,00 nos três restantes. A taxa de juros para o financiamento do projeto é de 6% a.a..qual a IRR e o NPV do projeto? Passo Teclas Visor [CHS] [g] [CF o ] ,00 Valor do projeto [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela 03 4 [g] [N j ] 3,00 No. de vezes que repete [g] [CF j ] ,00 Valor da parcela 05 3 [g] [N j ] 2,00 No. de vezes que repete 06 6 [i] 6,00 Taxa mínima esperada 07 [f] [NPV] ,50 NPV positivo projeto viável 08 [f] [IRR] 9,59 IRR do projeto Considerações sobre PV e IRR: O NPV indica se o fluxo de caixa antecipado fornecerá a taxa de retorno desejada: - Se NPV negativo, a taxa real de retorno será menor do que a taxa desejada do projeto; - Se NPV igual a zero, a taxa desejada será igual à taxa real de retorno do projeto; - Se NPV positivo, a taxa real de retorno será maior do que a taxa desejada do projeto; Assumindo o exemplo anterior, o NPV mostrou que o projeto é viável por exceder o 6% mínimo esperado e o calculo do IRR demonstrou que o projeto pode fornecer até 9,59% de retorno ao ano. Exercícios a) Você foi requisitado para avaliar quatro propostas de investimento cujas informações básicas são apresentadas a seguir: Investimento Fluxos Esperados de Caixa Propostas inicial (R$) Ano 1 (R$) Ano 2 (R$) Ano 3 (R$) Ano 4 (R$) A , , , , ,00 B , , , , ,00 C , , , , ,00 D , , , , ,00 21

22 Pede-se: - Analisar cada projeto através do NPV e IRR admitindo uma taxa de desconto mínima aceitável de 25% a.a.. Com base nesse retorno, indique as propostas economicamente aceitáveis. - Se a taxa exigida se elevar para 35% a.a., quais propostas seriam aceitáveis? Descontos Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. A operação de se liquidar um título antes de sua data de vencimento envolve, geralmente, uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto, entende-se como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado em n períodos antes do vencimento. O valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto. As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no regime de juros compostos, sendo que, em ambos são identificados dois tipos de desconto: desconto por dentro (ou racional) e desconto por fora (ou bancário, ou comercial). A calculadora financeira HP12C realiza, sem a necessidade de programação, os cálculos de descontos simples por fora e descontos compostos por dentro em suas funções já programadas como veremos neste módulo. Desconto Simples Desconto Racional (ou por dentro ) Incorporando os conceitos e relações básicas de juros simples, o valor do desconto (D r ) é definido por: i n D r = 1+ ( i n) e o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação (V r ) por: 22

23 V r = 1+ ( i n) sendo: o valor nominal do título i a taxa de desconto n o período que o título é negociado antes de seu vencimento Exemplo: Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano e está sendo liquidado 3 meses antes se seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros, calcule o desconto e o valor descontado desta operação. Resp: D r = $380,10 e V r = $3.619,90 Desconto Bancário (ou Comercial, ou por fora ) Ao contrario dos juros por dentro, ele calcula o desconto diretamente sobre o valor nominal do título, isto é, apurando os juros sobre o montante, sendo o critério mais adotado pelo mercado. Para o calculo do desconto por fora ( D ) teremos: F D F = i n Para o calculo do valor descontado por fora ( V F ) teremos: Exemplo: V F = ( 1 ( i n)) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano e está sendo liquidado 3 meses antes se seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros, calcule o desconto e o valor descontado desta operação. Resp: D F = $420,00 e V F = $3.580,00 23

24 Na HP12C: Passo Teclas Visor [CHS] [PV] , [i] 42, [ENTER] 30 [x] [n] 90,00 04 [f] [INT] 420,00 D F 05 [-] 3.580,00 V F Dividindo o valor do desconto pelo valor descontado, teremos a taxa efetiva da operação, pois, são pagos R$ 420,00 sobre o valor de R$ 3.580,00, assumindo a seguinte taxa efetiva: 420,00 i = = 0, = 11,73% ao trimestre 3.580,00 (ou: 3,77% a.m. pelo equivalente composto) Exercícios: a) Calcule o desconto e o valor racional (por dentro) nas seguintes condições: - Valor nominal: R$ ,00 - Valor nominal: R$ ,00 - Prazo: 3 meses - Prazo: 80 dias - Taxa de desconto: 34% a.a. - Taxa de desconto: 25% a.a. b) Calcule o desconto e o valor bancário (por fora) nas seguintes condições: - Valor nominal: R$ ,00 - Valor nominal: R$ ,00 - Prazo: 3 meses - Prazo: 153 dias - Taxa de desconto: 24% a.a. - Taxa de desconto: 18% a.a. c) Um título no valor de R$ ,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento. O conceito usado na operação é de desconto por fora, sendo a taxa de desconto considerada de 48% a.a. Calcular a taxa efetiva mensal composta de juros desta operação. 24

25 d) Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determine o prazo de vencimento da duplicata. e) Qual o valor descontado por fora de um título de R$ 2.000,00 com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Qual o valor da taxa efetiva mensal da operação? Desconto Composto O desconto composto pode ser identificado, assim como o desconto simples, em dois tipos: desconto por dentro e desconto por fora. O desconto composto por fora (ou comercial) é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto composto por dentro envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado seguindo o regime de juros compostos, apresentando larga utilização prática. Desconto Composto por fora Caracterizado pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título. Nessa base, o calculo do desconto por fora ( D ) é apresentado da seguinte forma: F D F = (1 (1 i) n ) Para o calculo do valor descontado por fora ( V F ) teremos: V = ( 1 i) F n Exemplo: Uma duplicada de valor nominal de R$ ,00 é negociada mediante uma operação de desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto acertada é de 5% a.m.. Determine o valor descontada, o desconto e a taxa efetiva ao mês da operação. Resp.: D F = $ 4.991,88 V F = $ ,12 i = 5,26% a.m. 25

26 Desconto composto por dentro O desconto composto por dentro (ou racional) é estabelecido segundo o regime de juros compostos. Sendo assim, o valor descontado racional ( V r ) equivale ao valor presente de juros compostos como visto anteriormente, ou seja: V r = 1+ ( i) n Logo, o desconto racional ( D ) tem a seguinte expressão: r D r 1 1 = n ( 1+ i) Exemplo: Suponha que você deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimento. O valor deste título é de R$ ,00. Sendo de 4,5% ao mês a taxa de desconto racional, o valor liquido recebido (valor descontado) e o valor do desconto será: Resp: V r = $ ,83 D r = $ 6.185,17 Na HP12C: Passo Teclas Visor [CHS] [FV] ,00 Valor nominal 02 4,5 [i] 4,50 Taxa de desconto 03 3 [n] 3,00 Período 04 [PV] ,83 Valor liquido Exercícios: a) Sabendo que uma duplicata, para ser paga daqui a 12 meses, foi descontada 5 meses antes de seu vencimento e seu valor nominal é de R$ ,00. Calcule o valor liquido sendo a taxa de desconto de 3,5% ao mês utilizando o desconto composto por dentro. Uma empresa está com uma duplicata de R$ ,00 com vencimento para daqui a 4 meses para descontar na data de hoje. Procurou as instituições financeiras A, B, C e D, todas com a mesma taxa de 5% ao mês para desconto de duplicatas. Porém, a diferença estava no regime empregado: juros simples por dentro, juros simples por fora, juros 26

27 compostos por fora e juros compostos por dentro, respectivamente. Qual instituição a empresa deve procurar para descontar a duplicata? Prazo Médio de um conjunto de Títulos Chama-se prazo médio de um conjunto de títulos ao prazo em que devemos descontar o valor total do conjunto, a uma certa taxa de desconto comercial, obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada título, à mesma taxa de desconto. Exemplo: Imagine os seguintes dados: Prazo (em dias) Valor (R$) , , ,00 Qual o valor descontado do conjunto de títulos à taxa de 7% ao mês pelo desconto simples por fora? Utilizando o prazo médio na HP12C: Passo Teclas Visor 01 [f] CLEAR [ ] 0, [ENTER] [ Σ + ] 1, [ENTER] [ Σ + ] 2, [ENTER] [ Σ + ] 3,00 05 [g] [ x w ] 69,71 06 [n] 69, [ENTER] 12 [x] [i] 84, [CHS] [PV] ,00 09 [f] [INT] ,33 10 [-] ,67 27

28 Apuração da Taxa de Desconto com base na Taxa Efetiva As taxas de desconto por fora, sempre apresentam uma taxa efetiva de juros que foi cobrada na operação. Desta forma, é possível isolar a taxa de desconto para obter a taxa efetiva desejada: d i = 1 d onde: i taxa efetiva da operação d taxa de desconto da operação Exercícios: Calcular as taxas efetivas para: - 5%a.m. - 3%a.m. 15%a.a. 24%a.a. 3,77%a.m. 28

29 Amortização Financeira Em geral, a disponibilidade de recursos é oferecida pelas instituições financeiras e para tanto, é cobrada uma remuneração pelo valor emprestado. As formas de devolução são chamadas de Sistemas de Amortização. Os mais usuais são: O Sistema Francês de Amortização (PRICE) e o sistema de amortização Constante (SAC). A calculadora HP-12C se utiliza do Sistema Francês de Amortização e apresenta a você às partes referentes aos juros e ao principal pago naquela parcela, respectivamente, alem do saldo devedor de um financiamento após a quitação de uma ou mais parcelas. O gráfico de Amortização apresentado na figura 1 demonstra o funcionamento do Sistema Francês de Amortização. Figura 1: Sistema Francês de Amortização Quando uma divida é saldada em prestações, normalmente, o devedor restitui o principal mais os juros. A mesma é tratada também como parcela, pois é composta de uma parte de principal e outro de juros. Exemplo: Uma pessoa consegue um empréstimo no valor de R$10.000,00 a ser pago em 24 prestações iguais e mensais a uma taxa de juros de 3,5%a.m. Qual o valor das prestações? Qual a parcela da primeira prestação que é amortização, e qual é a relativa aos juros? 1º: Calcular o valor da prestação: 1 PV = PMT PMT = PMT = ,06 622,73 ( 1+ 0,035) 0,

30 2º: Calcular a parcela relativa aos juros: j = ,035 j = 350,00 3º: Calcular o valor da amortização: A = 622, A = 272,73 Pela HP-12C: Passo Teclas Visor 01 [f] CLEAR [REG] 0, [CHS] [PV] , ,5 [i] 3, [n] 24,00 05 [PMT] 622, [f] [AMORT] 350,00 Parcela de Juros 07 [x y] 272,73 Parcela Amortizada 08 [RCL] [PV] ,27 Saldo devedor Através do programa 12C++, a tabela de amortização e o gráfico são fornecidos para todo o período do financiamento, como demonstram as figuras 2 e 3: 30

31 Exercícios: 1- Considerando uma divida de R$ ,00 a ser paga em 25 prestações com juros de 4%a.m. Pelo Sistema Francês de Amortização, qual o valor dos juros pagos, o valor amortizado e o saldo devedor após 10 prestações? 2- Suponha que você queira comprar uma casa tomando um empréstimo de R$50.000,00 a juros de 13,5%a.a. Os pagamentos mensais serão de R$901,44. Ao final do primeiro ano, qual o montante de juros pago, o valor amortizado do capital e o saldo devedor? 3- Com base no exercício anterior, ao final do segundo ano, qual o montante de juros pago, o valor amortizado do capital e o saldo devedor? E ao final de 37 prestações? 31

32 4- Você procurou uma Instituição Financeira para fazer um credito pessoal de R$5.000,00 para pagar em 12 meses. O coeficiente usado pelo gerente foi 0, Calcule a tx de juros cobrada e a parcela de juros pagos na 1º, 2º,4º e 8º prestação. 32

33 Curiosidade da HP12C: Para desligar e travar a calculadora, impossibilitando o uso de terceiros, pressione as seguintes teclas: Passos Teclas [ENTER] 02 [ON] [PMT] (juntos) 03 [ON] [PMT] (juntos) 04 [1/x] Para ligar novamente: Passos Teclas 01 [ON] [PMT] (juntos) 33

34 Bibliografia ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. Ed. Atlas, São Paulo, ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 5º. Edição. Ed. Atlas, São Paulo, BRUNI, Adriano L.;FAMÁ, Rubens. Gestão de custos e formação de preços. Ed. Atlas, São Paulo, GITMAN, Lawrence J..Princípios de administração financeira. 7º. Edição. Ed. Harbra, São Paulo, GROPPELLI, A.A.; NIKBAKHT, Ehsan. Administração financeira. Ed. Saraiva, São Paulo, KAZMIER, Leonard J.. Estatística aplicada à economia e administração. Ed. Macgraw- Hill, São Paulo, Manual do usuário e Guia para soluções de problemas HP12C 34