<header> Programa. Matemática Financeira. Marco Zero. Apresentação. Revisando um pouco mais... Biblilografia do Curso.

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1 Matemática Financeira Ariel Levy 2011 Programa Marco Zero A revisão Introdução Juros simples Juros Compostos Séries de pagamentos Fluxos genéricos Sistemas de amortização Taxas de juros e operações do mercado financeiro Indicadores utilizados na avaliação de investimentos Apresentação Objetivo do curso Desenvolver competências no estudante no tratamento de questões fundamentais na gestão financeira. Através da análise de exemplos práticos e atuais, utilizando as ferramentas clássicas, uso e aplicação das técnicas em estudos de casos. Pretende-se construir uma base necessária para os cursos mais avançados. Ariel Levy Empresário, Engenheiro, Mestre em administração IBMEC Professor do MBA IBMEC ( ) Professor FGV Professor do MBA Ideas (UFRJ 2004/2005) Professor in company - Petrobrás e Embratel entre outras Marco Zero Você se lembra como resolver? a) 4 (8-3x2) = b) {3x[45-(8-5) 2 ]}= Converta para a forma percentual: a) 0,57; b) 2,08; c) 1,41 Converta para a forma unitária: a) 163%; b)2,3%; c)0,012% Biblilografia do Curso LIVRO TEXTO ADOTADO: Matemática Financeira EduardoPicanço BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: Zentgraf, Roberto: Matemática Financeira Objetiva; Ztg; Rio de Janeiro, Merchede, Albero; Matemática Financeira: para usuários do Excell e Hp12c. Brigham, Eugene F.;Ehrhardt,Michael C.; Administração Financeira- Teoria e Prática; Trad. Salazar, José N.A;Cucci, Sueli S.M.; PioneiraThomsom Learnig, São Paulo,2006 ROSS, STEPHEN A., WESTERFIELD, RANDOLPH W., JAFFE, JEFRREY F. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. SÃO PAULO: ATLAS, 1999 SANVINCENTE, ANTONIO Z. ADMINISTRAÇÃO FINANCIERA. SÃO PAULO: ATLAS, 1998; MARTINS, ELISEU, ASSAF NETO, A. ADMINISTRAÇÃO FINANCEIRA. Revisando um pouco mais... Um imóvel foi adquirido por R$ ,00; de impostos foram pagos R$ ,00; ao corretor coube 2% de comissão ; foram feitas benfeitorias no valor de R$ ,00. Por quanto deve ser vendido o imóvel para que haja um lucro de 30%? Ariel Levy 1

2 Lembra-se da Razão e Proporção Em nossa classe temos alunos do sexo feminino e do sexo masculino. Calcule a razão entre alunos:a) do sexo feminino e do total; b) do sexo masculino e do total; c) do sexo feminino e do sexo masculino. Logarítmos... Agora é melhor explicar. Se X y =Z então log x Z=Y Ex: se 10 2 = 100 => log =2 ou log 100=2 Proporção... De cada dez produtos comprados pela rede de supermercados Melhor Preço, seis provém de São Paulo. Se no último mês, a rede comprou 1680 produtos quantos vieram daquele estado? Logarítmos... Propriedades: log (a.b) = log a + log b log (a/b) = log a log b log a k = k log a log b (a) = [ log c a/ log c b] Regra de três simples Um automóvel zero consegue rodar 300km com um tanque de gasolina de 50 litros. Se a capacidade do tanque fosse alterada para 60 litros, quantos quilometras o mesmo automóvel conseguiria rodar? Resolva por regra de três. Agora resolva utilizando o conceito de percentagens. e ; ln e = lim (1+1/x) x = Σ 1! = 2, x n=0 n log e 5= ln 5 = 1,6094 Ariel Levy 2

3 Resolver ou não resolver... Resolva as equações abaixo: 1. 3a+7=28 2. (40/x)+5= X 10= O triplo de um número subtraído de 8 é igual a 37. Qual é esse número? 5. x 2-3x+2=0 A remuneração do dinheiro A cessão de bens de qualquer natureza para uso temporário por outra pessoa fazse normalmente, mediante o pagamento de uma remuneração ou indenização ao cessionário. Aluguel, arrendamento, royality Quando o bem é capital circulante denominamos a remuneração juros. Convenções - Pré requesitos Convenções do livro texto Hp 12c Excell O valor do dinheiro no tempo Ao longo do tempo o valor do dinheiro muda. Desvalorização Remunerações = alternativas de investimento Conseqüências Somente será possível comparar quantias expressas em uma mesma data. Somente será possível a realização de operações algébricas com quantias expressas em uma mesma data. Conceitos básicos Juros A remuneração do dinheiro O valor do dinheiro no tempo Taxa de juros Fluxo de caixa Resolução de Problemas Regimes de capitalização e regimes de juros Resumo» capítulo 8 - livro texto poupador $ $+J1 $ Mercado tomador financeiro $+J2 Funções do mercado Intermediação Conciliação Diluição de riscos J2>J1 j2-j1= spread Ariel Levy 3

4 Taxas de juros Fluxo de caixa i= i(%)= Juros Capital Juros Capital Percentual Percentual Fração decimal 9,0% ao mês 9,0% am 9, 0 / a m 0,09 am 0,3% ao dia 0,3% ad 0, 3 / a d 0,003 d 250% ao ano 250% aa / a a 2,50 aa x 100 Marcar apenas as movimentações incrementais nas datas de sua efetiva ocorrência. (regime de caixa) Simplificar ao máximo o diagrama, marcando os valores resultantes líquidos para cada data. Taxas de juros Resolução de problemas Taxa de juros = Preço do dinheiro... Lei da oferta. Quantidade de moeda ou meios de pagamento realmente disponíveis no mercado. Capacidade ou expectativas de realizações lucrativas. Riscos envolvidos Expectativa de perda do valor aquisitivo entre a cessão e o retorno. Identifique as entradas e saídas de caixa relevantes ao problema. Trace o DFC correspondente Verifique em qual modelo de DFC o diagrama traçado se enquadra Utilize as soluções padronizadas de acordo com sua calculadora, programa etc... Fluxo de caixa Conjunto de entradas e saídas de dinheiro ou equivalente a dinheiro, ao longo do tempo, para um indivíduo ou empresa n Diagrama de fluxo de caixa -DFC Outros conceitos básicos Valor presente ou Principal Valor do dinheiro hoje. P ou C ou Vp ou Pv Valor Futuro ou Montante Valor do dinheiro em uma data futura posterior a data zero do DFC. F ou M ou Vf ou Fv Fator da taxa de juros É o resultado da transformação da taxa de juros (i) através da fórmula (1+i). Número de períodos de capitalização - n Ariel Levy 4

5 Conceitos básicos Considerações quanto ao prazo F= P + J i=j/p J= P x i F= P+J=P + P x i=p x (1+i) F P = (1+i) I = F-P P Juros Exatos tanto a contagem do prazo ; quanto a conversão da taxa de juros são realizadas pelo ano civil. Juros Comerciais Ambas são realizadas pelo critério do ano comercial Juros Bancários (utilizado no Brasil) O prazo é contado pelo critério do ano civil, a taxa convertida pelo critério do anos comercial. Regimes de Capitalização e Regimes de Juros Regimes de capitalização Contínuo Capitalização periódica Regimes de Juros Juros Simples Juros Compostos P O diagrama - DFC i% n F Aplicação ao prazo fixo n de uma quantia P (principal) para ao final resgatar o montante F. Ou crédito em que o agente financeiro empresta a quantia P por um prazo n para receber F do cliente. Considerações quanto ao prazo Ano Civil ano de 365 ou 366 dias meses 30;31 ou 28; 29 dias Ano Comercial ano 360 dias meses 30 dias Cálculo do Montante e demais variáveis a juros simples F = P x (1 + i x n) P = F (1 + i x n) (F/P -1) = i x n = F x 1 (1 + i x n) i={ F P -1 } x 1 n n= { F P -1 } x 1 i Ariel Levy 5

6 Exemplo 1 Taxas Proporcionais Se uma corretora oferece uma taxa de 12% ao mês no regime de juros simples, quais os juros recebidos e o capital formado por uma aplicação de R$ ,00 por dois meses? Dados : P = R$ ,00 i = 12% am; n=2 meses j=? j = x 12/100 x 2 = Toda operação envolve dois prazos prazo a que se refere a taxa de juros prazo de capitalização dos juros Nas fórmulas devemos compatibilizar os dois prazos colocando -os numa mesma base de tempo. No regime de juros simples, por sua natureza linear essa transformação será feita pela taxa proporcional de juros, sendo obtida pela razão da taxa de juros pelo número de (ocorrências) capitalizações. Ex. Dada uma taxa de 18% aa com capitalização mensal, o percentual que incidirá sobre o capital cada mês será: Taxa Proporcional = 18% / 12 = 1,5% am Exemplo 1b E se o prazo fosse de 42 dias? - para resolver teríamos de ajustar o prazo em meses... Daí : j = ,00 x 42/30 x 12/100= 8.400,00 Para o caso de juros simples também seria válido transformar a taxa, vejamos: j= ,00x42x0,12/30=8.400,00 Taxas Equivalentes São taxas que quando aplicadas sobre o mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo montante linear de juros, a saber: J (2,5% am) = x 0,025 x 12 = J ( 15% as ) = x 0,15 x 2 = No regime de juros simples taxas proporcionais ou equivalente são indiferentes Exemplo 2 Determine o juro obtido com um capital de R$1250,23 durante 5 meses com a taxa de 5,5%am. Equivalência de capitais a juros simples Dada uma taxa de juros i e dois ou mais capitais C 1,C 2...C n disponíveis nos prazos n 1,n 2,...n n, diremos que eles serão equivalentes se ao serem avaliados numa data t qualquer, gerarem o mesmo valor. Ex. Se a taxa de juros for de 10% am então: 100 hoje é equivalente a 120 daqui a dois meses. No regime de juros simples, capitais equivalentes numa data t (data focal), não necessariamente o serão em outra data. Ariel Levy 6

7 Para Lembrar Comandos e testes iniciais Só adicione ou subtraia valores na mesma data. A taxa de juros e o número de períodos devem estar na mesma base. Sugerimos que sempre altere o n e evite alterar o i. Teste automático Com a máquina desligada pressione a tecla[x] ou [+] e ligue a máquina, soltando a tecla [on] e depois a tecla tecla c ou [+]. Um auto teste será realizado. Se aparecer error 9 ou não aparecer nada a máquina está com problemas. Teste semi- automático. Com a máquina desligada pressione e depois ligue a calculadora soltando a tecla [on] e depois a tecla [ ]. Nesta situação teremos de pressionar cada uma das teclas da máquina uma a uma, da esquerda para a direita e de cima para baixo ( de [N] a [ ] ;depois de [Y x ] a [ ];da tecla [r/s] a [-] pressione o [enter] na passagem e por fim [on] até [+], sendo que o [enter] foi assim pressionado outra vez, uma em cada passagem. Se você digitou todas as teclas corretamente a máquina deve indica 12 no visor. Caso haja algum defeito o visor indicará error 9. Uma tecla possui vários usos Finalmente...vamos aprender a HP12c A máquina apresenta várias funções associadas a uma única tecla. Função principal em branco - direta Função auxiliar amarela tecle [f ]antes Função auxiliar azul tecle [g] antes Se você digitar f ou g erradamente limpe teclando [f] [prefix] Usa a lógica polonesa inversa Foi lançada em 1981 Permanece como sucesso de vendas Baterias de mais longa duração Programação no teclado 120 funções de negócios 20 registradores Tamanho pequeno e conveniente. A Hp 12 c No visor... Exibindo casas decimais Para exibir duas casas decimais pressione [f][2]. Para exibir seis casas decimais pressione [f][6]. Seclecionar ponto ou virgula Presione a tecla[.] com a máquina desligada e ligue a máquina soltando a tecla [on] antes da tecla [.] e a máquina trocará o separador. Números grandes e pequenos A hp permite cálculo com números maiores que e menores que Quando necessário a apresentação será feita em notação científica. Ex : [3, ] no visor representa 3,36 x Ariel Levy 7

8 A lógica RPN e Pilha de registradores Procure a tecla [=] É ele não existe na HP, devido a lógica utilizada. Numa calculadora comum para somar 5+9 teríamos de pressionar [5][+][9][=] e teríamos no visor 14. Na lógica RPN teremos [5][Enter] [9][+] e teríamos no visor 14. Registros adicionais [Sto] do inglês store : seguido de.0 a 9 completam vinte memórias. [Rcl] do inglês recall: recupera o valor da memória. Se quisermos armazenar 325 no registrador 1 teremos de digitar 325[Sto][1]. Se quisermos recuperar o valor após ter limpado o registro x [clx], teremos de digitar [Rcl] [1]. Podemos operar com os registros assim para somar 10 ao registrador um fazemos 10 [ Sto] [+] [1]. A lógica RPN e Pilha de registradores O sistema de pilhas utiliza quatro posições sendo a última o visor, assim a máquina guarda até 3 entradas além daquela mostrada. Quando realizamos os cálculos os valores anteriores ficam guardados. Ex: (90-50)/ (56-7) = Na hp : 90 enter enter 7- Resultando 0, que aparecerá no visor. Para limpar todos os registros devemos pressionar f reg. Funções com datas [g] [DMY] configura para dia.mêsano. [g] [M.DY] configura para mês.diaano. [g] [date] com base no registrador y calcula a data passada ou futura a partir do número presente no registrador x. [g] [ dys] calcula o número de dias decorridos entre os registros x e y. Funções dos registradores da pilha Last x recupera o último valor de x X Y troca o valor dos registros. Clx limpa o valor de x f reg limpa todos os registros datas Calcule o prazo decorrido entre 27/01/2000 e 23/08/2004. Diga que dia da semana foi 28/05/2000. Uma duplicata vence daqui a 28 dias, que dia da semana será. Calcule quantos dias você já viveu. Diga em que dia da semana você nasceu. Ariel Levy 8

9 Funções percentuais Exemplo 3 [%] calcula a percentagem fornecida no registrador x do registrador y. [%T] calcula quantos por cento de Y, X vale. [ %] calcula a variação percentual existente entre Y e X nesta ordem. Exemplos: 25% de 280 ; 280 [enter] 25 [%] visor - 70 Uma empresa apresentou uma produção de 1256,71 ton. no ano 1 e 1352,77 no ano 2 qual foi o crescimento percentual apresentado? 1256,71 [enter] 1352,77[%T] visor 107,6438 Uma empresa aumentou seu piso salarial de R$400,00 para R$460,00. Qual foi a variação percentual? 400 [enter] 460 [ %] visor 15 Um investidor aplica R$ 1.000,00 em uma financeira a 10% am. Calcule quanto ele terá ao fim de n meses. 1 mês F = 1000x(1+ 0,10) = R $1.100,00 2 mês F = 1000 x(1+ 0,10) x(1+ 0,10) = R $1.210,00 n mês F = 1000 x(1+ 0,10) n A hp ainda tem muito mais... Muita atenção Aos poucos durante o curso estaremos explorando mais essa poderosa ferramenta. Mas se sua curiosidade é grande...o manual pode ser encontrado em Busque por hp 12 c e faça o download gratuito em formato pdf. A taxa e o prazo devem ser compatíveis na fórmula. Nunca divida ou multiplique a taxa! Para adequar o prazo e taxa opere apenas sobre o prazo dividindo ou multiplicando conforme o caso. Para tornar o prazo e taxa compatíveis pela conversão da taxa deveremos utilizar o conceito de equivalência de taxas a juros compostos. Juros compostos ou juros sobre juros? Na realidade juros compostos e juros sobre juros são a mesma coisa, trata-se de uma modalidade de cálculo de juros em que os juros são capitalizados a cada período, passando assim a incorporar o capital sobre o qual incidirão juros no período seguinte. Vejamos um exemplo: n F = P(1 + i) E as demais variáveis... Com certeza você já entendeu... P 1 F = P(1 + i) = F ( 1+ i) ( ) n log F/P 1 n = é ù ( ) n ú û log(1+ i) Pronto o formulário acabou... n i = ê F/P - 1 ë Ariel Levy 9

10 Agora é com vocês Exemplo 4 Calcule o valor de resgate no fim de 10 meses de uma aplicação inicial de R$ 1.000,00 à taxa composta de 3%am. Finalmente...vamos aprender a HP12c Equivalência de taxas a juros compostos Definição: Duas taxas de juros i A e i B serão equivalentes se e somente se, aplicadas sobre um mesmo valor e pelo mesmo período de tempo gerarem a mesma quantia. P P i A i B Prazo A= Prazo B F F i ( ) B 1 + i na n 1 A = B - Cálculos e cuidados <n> = número de períodos de tempo. <i> = taxa de juros por período, expressa na forma centesimal. <PV> = valor presente <FV> = valor futuro <PMT> = valor do pagamento igual e periódico. Exemplo 4 Calcule as taxas equivalentes para: A) 12%aa para taxa ao mês B) 12%aa para taxa trimestral C) 15%as para taxa anual D) 15%as para taxa mensal E) 4%am para taxa semestral F) 0,1%ad para taxa anual (exatos) Cálculos e cuidados com a HP12c Limpar as memórias ao iniciar um novo cálculo / problema. < f > <REG> Podemos ter acesso a qualquer memória, com a tecla <RCL> É necessário que se obedeça o sinal do fluxo de caixa, nos cálculos envolvendo n e i. A taxa e o prazo devem ser compatíveis em relação a unidade de tempo. A taxa estará sempre em sua forma percentual. Acostume-se a efetuar os cálculos encadeados, assim aumentará a precisão. Ariel Levy 10

11 Vamos praticar Exemplo 5 Lembre-se : Faça o DFC. Não some algebricamente valores fora da mesma data. Simplifique o fluxo. Verifique o que está sendo pedido e quais são os valores dados. João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de $ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro à vista. Resolva pelas fórmulas. As formulas correspondem... A modelos... Quando desenvolvemos fórmulas estamos calculando os valores baseados num modelo de fluxo de caixa (DFC) o mesmo ocorre quando usamos a calculadora ou fórmulas previstas no Excell. Não errar é portanto usar adequadamente o modelo. Exemplo 6 II) Uma pessoa deseja comprar um carro por $ ,00 à vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em letras de câmbio rendendo 2,2% a.m. de juros compostos, determinar quanto deve ser poupado mensalmente. Faça também pela HP12c Valor Atual do Modelo Básico de uma série postecipada regular uniforme P = principal n = número de termos R = termos i = taxa de juros Pv Diz-se que o principal vai ser pago em n parcelas (prestações) iguais a R. Na HP R=Pmt. P 0 R æ 1 ö ç1 - i è (1 + i) ø = n R R R 1 2 n Usando a HP12c em fluxos não Uniformes A HP tem funções para utilização em fluxos de caixa não uniformes e avaliação de investimentos. firr e fnpv Para a utilização devemos construir o fluxo na máquina. Utilizando as teclas combinadas gcf0 ; gcfj; gnj e i Ariel Levy 11

12 i=5%am Exemplo Devem ser inseridos os valores em ordem e com o sinal algébrico, de forma a possibilitar que a máquina construa o fluxo internamente. A máquina possui capacidade para 20 fluxos diferentes. A função gnj só pode ser usada para até 99 parcelas em cada fluxo. No caso de ocorrência de fluxos maiores divida em dois fluxos (engane a máquina) Em casos de mais de uma mudança de sinal poderão ocorrer mais de uma raiz ao utilizar a função firr, nestes casos (ERRO 3) tecle clx e digite uma taxa de juros e em seguida R/S meses 3500 chs gcf0 350 gcfj 0 gcfj 500 gcfj 0 gcfj 480 gcfj 8 gnj 0 gcfj 7 gnj 280 gcfj 5i fnpv firr Séries uniformemente crescentes ou decrescentes Modelo Primeiro termo = A 1 crescimento Termo n = A n Gradiente 0 R R(n-1) Progr. Aritmética A R A+( R(n-1)) Progr. Geométrica A g% A(1+g) n Séries perpétuas Séries uniformemente crescentes ou decrescentes A mais simples... Pv R 8 Pv = R i Face ao limitado uso prático limitaremos a nossa exposição as fórmulas As calculadoras não possuem teclas especiais para séries uniformemente crescentes ou decrescentes sendo utilizados os ambientes solve, ou atingir metas, quando presentes na solução dos problemas Séries uniformemente crescentes ou decrescentes Algumas séries apresentam relações matemáticas entre seus termos, justamente por isso permitem uma solução simplificada, em função de sua primeira parcela A 1, da taxa de juros i% (compatível com o período das prestações), dos acréscimos monetários periódicos das parcelas R ou da taxa de crescimento g% entre duas prestações. Perpetuidades postecipadas em gradiente São aquelas cujos termos formam uma progressão aritmética de razão R, e o primeiro termo igual a zero. p n R 2R 3R 4R (n-1)r Ariel Levy 12

13 Perpetuidades postecipadas em gradiente Para solução utilizaremos a seguinte decomposição dos fluxos p p p P= R i 2 Sistemas de amortizações São métodos de devolução do principal em empréstimos e financiamentos. Dentre os mais usuais temos: SAC Sistema de Amortização Constante SFA Sistema Francês de Amortização SAM- Sistema Amortização Misto Sistema Americano. Perpetuidades postecipadas em progr. Aritmética Sistemas de amortização São aquelas dispostas segundo uma P. A. de primeiro termo A e razão R. p n A A+R A+2R A+3R A+ 4R A+ (n-1)r P= A i + R i 2 Prestação = Juros + Amortização Saldo devedor atual = Saldo devedor ant. - Amortização Juros = Saldo devedor ant..taxa Estas são as fórmulas básicas e serão utilizadas na apresentação das tabelas dos empréstimos em todos os sistemas de amortização. Perpetuidades postecipadas em progr. Geométrica São aquelas dispostas segundo uma P. G. de primeiro termo A e razão g.... A A(1+g) A(1+g) 2 Pv A = i - g Sistemas de Amortização outros conceitos Principal Valor original do empréstimo ou financiamento. Resíduo saldo no final do financiamento. Mutuário tomador do empréstimo Mutuador ou mutante Financiador Para i>g Ariel Levy 13

14 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Carência Período no qual não há amortização do principal, podendo ser Carência total Carência com pagamento dos juros Carência com juros capitalizados. SAC Exemplo Apresente a tabela de um empréstimo de R$ ,00 com taxa de juros de 1%am a ser amortizado pelo sistema de amortizações constante, em 5 parcelas mensais e sucessivas e isento de resíduo e carências. Sistemas de Amortização outros conceitos Carência total O principal não se altera e as amortizações são iniciadas a partir do prazo de carência. Carência com pagamento de juros Durante o período de carência somente os juros são pagos, assim o principal também não é alterado e as amortizações se iniciam ao final da carência. Carência com juros capitalizados Durante o período da carência não há pagamentos, sendo os juros acumulados ao capital na forma de juros compostos, Normalmente capitalizamos os juros até o período anterior ao fim da carência. SAC Taxa 0.01 principal parcelas 5 amortização /5= Data prestações Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Saldo Final SAC- Sistema de Amortizações constante Neste sistema as amortizações serão constantes durante a vigência do empréstimo. Amort. = Saldo devedor/ número de parcelas. Prestação = Juros + Amortização Saldo devedor atual = Saldo devedor ant. - Amortização Juros = Saldo devedor ant..taxa As prestações neste sistema são decrescentes. SFA Sistema Francês de amortização Neste sistema as prestações são constantes. P/ o cálculo das prestações utilizamos a fórmula das séries uniformes e regulares. Para o modelo postecipado: Pmt= (Pv.i)/(1-(1+i) -n ) Ariel Levy 14

15 SFA Exemplo Sistema Misto de Amortização Apresente a tabela de um empréstimo de R$ ,00 com taxa de juros de 1%am a ser amortizado pelo sistema Francês de Amortização,em 5 parcelas iguais e sucessivas, isento de resíduo e carências. As prestações neste sistema são obtidas pela média aritmética simples do Sistema Francês e do Sistema de Amortização Constante. Prestação SAM = SFA+SAC Considere para os exemplos anteriores o sistema misto de amortização e apresente a tabela Taxa 0.01 principal parcelas 5 prestação Saldo Data Devedor Juros Amortização 8 Prestação Saldo Final principal parcelas 5 prestação (sac+sfa)/2 Data Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Saldo Final Tabela Price O sistema Francês também é conhecido como tabela Price. A tabela Price é caracterizada por utilizar uma taxa anual nominal. Normalmente os pagamentos apresentam uma freqüência menor que anual. i eq =i nominal /número de períodos de capitalização Sistema Americano Neste sistema os juros são pagos a cada vencimento, denominados cupom, e o principal devolvido ao fim do empréstimo. P Cupom P Ariel Levy 15

16 Sistema Americano - Exemplo Apresente a tabela de um empréstimo de R$ ,00 com taxa de juros de 1%am a ser amortizado pelo sistema Americano de Amortização, isento de resíduo e carências. Acumulando a inflação Assim como no caso de juros compostos, em que i ac =(1+i a )(1+i b )...(1+i n ) Para a inflação: 1+θ ac = (1+ θ a )(1+ θ b )...(1+ θ n ) Cupom =100000* Sistema Americano Taxa 0.01 principal períodos 5 prestação somente juros Data Saldo Devedor Juros Amortização Prestação Saldo Final exemplo Um determinado investimento de R$ foi realizado em 2/01/03 e resgatado em 02/05/03 por Admita a inflação medida pelo IGPM e calcule a taxa de rendimento real no período. 1+i= f/p = /100000=1,2 A inflação do período pelo IGPM será: Inflação Inflação: elevação continuada e persistente nos preços de bens e serviços, num dado intervalo de tempo. Deflação: quando ocorre uma queda continuada e persistente nos preços de bens e serviços, num dado intervalo de tempo. Cálculo da inflação: θ = (P 1 -P 0) /P 0 Onde : P 0 = preços no período de referência P 1 = preços no período posterior Consultando o índice variação mensal do IGPM mês IGPM jan/ % fev/ % mar/ % abr/ % mai/ % 1+θ ac = (1+ θ a )(1+ θ b )...(1+ θ n ) 1+θ ac = ,0238.1,0153.1,0092.0, θ ac =1, NO PERÍODO Logo 1+r = (1+i)/(1+ θ) 1+r =1,2/1, r = 0, no período Se desejar ao mês deverá fazer a conversão da taxa pela fórmula já estudada. Ariel Levy 16

17 Aplicando um índice de correção as tabelas Apresente a tabela de um empréstimo de R$ ,00 com taxa de juros de 1%am a ser amortizado pelo sistema de amortizações constante, em 5 parcelas mensais e sucessivas e isento de resíduo e carências. Sabendo que o empréstimo foi em 02/01/2003 e que sua correção se dará pela variação do IGPM. IGPM % mensal mês IGPM jan/ % fev/ % mar/ % abr/ % mai/ % Usando a HP12c em fluxos não Uniformes A HP tem funções para utilização em fluxos de caixa não uniformes e avaliação de investimentos. firr e fnpv Para a utilização devemos construir o fluxo na máquina. Utilizando as teclas combinadas gcf0 ; gcfj; gnj e i Solução Primeiro obtenha o valor do empréstimo em índice. Caso não tenha um valor de referencia ou o índice se apresente como uma variação adote 1,00 como índice na data do empréstimo isso facilitará as contas. Veja que neste caso a tabela em índice fica igual a do exemplo no slide 9. Para obter qualquer valor corrigido basta multiplicá-lo pelo (1+θ ac ) até aquela data. Exemplo : prestação na data 1 corrigida = 21000*1,0233 prestação na data 2 corrigida = 20800*1,0233*1,0238 Então o ideal é colocar uma coluna com o índice de variação acumulada. Nos casos de correção por moedas e índices acumulados basta operar a tabela em índice e multiplicar pelo índice da data para obter o valor em moeda corrente i=5%am Exemplo Devem ser inseridos os valores em ordem e com o sinal algébrico, de forma a possibilitar que a máquina construa o fluxo internamente. A máquina possui capacidade para 20 fluxos diferentes. A função gnj só pode ser usada para até 99 parcelas em cada fluxo. No caso de ocorrência de fluxos maiores divida em dois fluxos (engane a máquina) Em casos de mais de uma mudança de sinal poderão ocorrer mais de uma raiz ao utilizar a função firr, nestes casos (ERRO 3) tecle clx e digite uma taxa de juros e em seguida R/S meses 3500 chs gcf0 350 gcfj 0 gcfj 500 gcfj 0 gcfj 480 gcfj 8 gnj 0 gcfj 7 gnj 280 gcfj 5i fnpv firr SAC prestações Taxa 0.01 principal parcelas 5 amortização /5 = Data índice acumulado Juros Amortização Prestação Saldo Final prestação corrigida Saldo corrigido R$ 21, R$ 81, R$ 21, R$ 62, R$ 21, R$ 42, R$ 21, R$ 21, R$ 21, R$ 0.00 Ariel Levy 17