MATEMÁTICA FINANCEIRA. Prof. Luiz Brandão

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Brandão

2 Índice 1. INTRODUÇÃO FLUXO DE CAIXA AMBIENTE DEFINIÇÕES JUROS EXERCÍCIOS JUROS SIMPLES EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS EXERCÍCIOS: JUROS COMPOSTOS UTILIZANDO CALCULADORAS FINANCEIRAS EXERCÍCIOS: USANDO A CALCULADORA ANUIDADES (PMT) PERPETUIDADES EXERCÍCIOS: ANUIDADES E PERPETUIDADES FLUXOS NÃO UNIFORMES TAXAS DE JUROS TAXA EFETIVA TAXA NOMINAL TAXA REAL TAXAS PROPORCIONAIS TAXAS EQUIVALENTES EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO PAGAMENTO NO FINAL SISTEMA AMERICANO SISTEMA PRICE SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTA - SAM EXERCÍCIOS: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO... 36

3 5. DESCONTO BANCÁRIO EXERCÍCIOS: DESCONTO BANCÁRIO ANÁLISE DE PROJETOS DE INVESTIMENTO VALOR PRESENTE LÍQUIDO TAXA INTERNA DE RETORNO - TIR TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA EXERCÍCIOS: MATERIAL COMPLEMENTAR 49

4 1. Introdução Q uando o controle acionário da Cervejaria Brahma foi comprado em 1989, os novos donos pagaram o equivalente a US$ 60 milhões de dólares pela maioria das ações ordinárias. Em 1997, oito anos depois, o valor de mercado desta participação era de US$ 1 bilhão de dólares. É óbvio que esta operação resultou num bom negócio para os novos sócios, mas se quiséssemos saber exatamente qual a rentabilidade média anual que esses investidores obtiveram nesse período, como faríamos este cálculo? Ao comprar uma geladeira de R$ numa loja de eletrodomésticos, o vendedor lhe dá a opção de pagar à vista ou em três parcelas de R$ 350. Considerando que você tem R$5.000 investidos em caderneta de poupança, qual a melhor opção para você? Estas e outras questões que dizem respeito ao valor do dinheiro no tempo são o objeto de estudo da Matemática Financeira. Sabemos que o valor das ações de uma empresa depende em parte do timing dos fluxos de caixa que os investidores esperam receber no futuro, e dado que um dos principais objetivos do gerente financeiro é maximizar o valor da empresa para o acionista, é essencial que o gerente financeiro tenha o domínio dos conceitos de Matemática Financeira para que possa avaliar corretamente o valor destes e outros ativos da empresa. O conceito básico da Matemática Financeira é que um real recebido hoje vale mais de que um real a ser recebido daqui a um ano. Dizemos então que o dinheiro tem valor no tempo. Mas como comparar um real hoje com R$1,20 reais a serem recebidos em um ano? Sabemos que não podemos comparar estes dois valores diretamente, pois eles ocorrem em épocas diferentes. É a Matemática Financeira que nos permite comparar fluxos de caixa distintos e indicar qual é mais vantajoso para o indivíduo ou a empresa, e isso é feito transformando cada fluxo de caixa no seu valor equivalente à vista, descontando esses valores de um tempo futuro até o momento atual. Uma vez que os valores então se encontram agora todos na mesma data, podemos então comparar esses valores entre si e tomar a nossa decisão. O conceito de fluxo de caixa descontado tem inúmeras aplicações, desde a elaboração de planilhas de cálculo de amortização de empréstimos até a decisão de investimento em projetos industriais. De todos os conceitos básicos de finanças, podemos dizer que a análise do Fluxo de Caixa Descontado é um dos mais importantes. Veremos também que a transformação desses fluxos só pode ser feita com a fixação dos juros, e pode-se ainda dizer que a existência da Matemática Financeira, com todas as suas fórmulas e fatores, se prende, exclusivamente, à existência dos mesmos. Dada essa importância dos juros dentro do contexto da Matemática Financeira, eles serão estudados em detalhe no decorrer do curso. Brandão Matemática Financeira 3.1 4

5 1.1 Fluxo de Caixa Para representar as entradas e saídas de caixa de um fluxo, adotaremos a seguinte convenção: Dinheiro investido (saída de caixa), seta para baixo, ou valor negativo (100) Dinheiro recebido (entrada de caixa), seta para cima 100 Denomina-se fluxo de caixa (de uma firma, de um investimento, de um projeto, de um indivíduo etc...) ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um fluxo de caixa pode apresentar diversas entradas e saídas de caixa, a fim de facilitar a visualização dos fluxos de caixa de um problema em particular, adotaremos o conceito da linha do tempo, conforme diagrama a seguir: O instante zero representa a data de hoje: é o momento atual, o instante da decisão a ser tomada. O tempo 1 ocorre daqui a um ano, e representa o instante final do ano 1, ou seja, 31 de dezembro do ano 1. Da mesma forma, o tempo dois representa o instante final do ano 2, que começa em 01/01/02 e termina em 31/12/02, e os tempos 3, 4 e 5 também representam o instante final do ano 3, 4 e 5. Observe que os períodos de um fluxo podem representar não só anos, como também meses, semanas, dias, trimestres, ou qualquer período que se queira. O total de juros devido pelo tomador ao aplicador depende de dois fatores básicos: A taxa pactuada e o prazo da operação. Como o tomador, em geral, dispõe de recursos em datas preestabelecidas, é comum estabelecer indiretamente a vigência das operações pelas respectivas datas de tomada e liquidação dos empréstimos. Os comerciantes medievais adotaram algumas regras simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comercial. Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias e o ano, por ser decomposto em exatos 12 meses, tem 360 dias. assim o prazo de uma operação pode ser definido em termos exatos (mês e ano civil) e em termos comerciais (mês e ano comercial). Quando o prazo da operação é dado em termos comerciais, os juros são chamados de juros comerciais; quando o número de dias dos meses correspondem aqueles do ano civil, são chamados de juros exatos. Brandão Matemática Financeira 3.1 5

6 1.1.1 Ambiente Para efeitos didáticos consideraremos o nosso ambiente como sendo um ambiente aonde não existem outros custos além dos especificamente mencionados. Ou seja custos como: reciprocidade exigida pelos bancos, custos devido à exigência de saldos médios a serem mantidos nos bancos, custos devido à compra compulsória de seguros empurradas pelos agentes financeiros, taxas de abertura de crédito, taxas de cadastro, imposto de renda, IOF, Imposto sobre diversos, emolumentos, custos de transação tais como comissões, inadimplências, falências, congelamentos, e assim sucessivamente somente serão considerados quando explicitamente mencionados nos exemplos e exercícios Definições Um real na mão hoje vale mais do que um real a ser recebido daqui a um ano, pois se você tiver um real hoje você pode investi-lo e receber juros deste investimento, de forma que daqui a um ano você terá mais do que um real. Para exemplificar, suponha que você possua R$1.000 e tenha a oportunidade de investi-lo no banco a uma taxa de juros de 10% ao ano. Quanto você teria ao final do ano? Adotaremos a seguinte notação: VP (Valor Presente, Principal) Valor que você dispõe hoje. No nosso exemplo é R$ i (Taxa de Juros) Taxa de juros que o banco paga por período. Assumimos que esse juros é pago no final do período. VF (Valor Futuro) Valor de que você dispõe ao final do período, que inclui o valor que você tinha no inicio mais os juros recebidos no final do período. n (No de Períodos) Número de Períodos envolvidos na análise. No caso, n = 1. J Juros Valor de Juros recebidos No nosso exemplo, temos então: VP = i = 10% a.a. n = VP =1.000 J =? VF =? J = VP x i = x 10% = x 0,10 = 100 VF = VP + J = = Brandão Matemática Financeira 3.1 6

7 Podemos deduzir a fórmula do Valor Futuro (FV): VF = VP + VP x i VF = VP (1+i) Aplicando a fórmula ao exemplo: VF = 1000 (1+0,10) = Juros O conceito de juros pode ser introduzido através das expressões: a. dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição. b. remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou, ainda, remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado. Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia. Ex 1: 12% ao ano = 12% a.a. 10% ao mês = 10% a.m. Ex 2: Um capital de $10.000, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no final de um ano, um total de juros. Qual é este total de juros? Resp: 8% de = (8 / 100) x = 0,08 x = VP = J = Exercícios 1) Qual a importância da Matemática Financeira? 2) O que é juros? 3) Explique o que significa uma aplicação a juros simples. 4) Explique o que significa uma aplicação a juros compostos. 5) Se você aplicar hoje $1.000 a juros simples com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos? 6) Se você aplicar hoje $1.000 a juros compostos com uma taxa de 10% ao ano quanto terá em 2 anos? Brandão Matemática Financeira 3.1 7

8 2. Juros Simples O s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização simples se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados sempre em cima do valor inicial do empréstimo. Sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros. Nessa categoria os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial. Considere um poupador que investiu $1.000 numa aplicação de renda fixa que lhe renderá juros simples à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de 4 anos? Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $ $ % $1.000 $100 $1.400 Neste caso, é importante realçar que o banco sempre aplicou a taxa de juros de 10% a.a. sobre o capital inicial de $1.000, e nunca permitiu que o aplicador retirasse os juros de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram remunerados. Caso o banco permitisse ao aplicador a retirada dos juros, ainda que continuasse a não remunerar os juros remanescentes, o poupador passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos. Neste caso o poupador estaria recebendo 10% mais a taxa de remuneração sobre a aplicação dos juros, e esta não mais seria uma situação de juros simples. Exemplo: Suponha que você pegou emprestado $1.000 com 10% de juros ao ano. O cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,10 = 100 Valor do Principal = O Valor total a pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = Brandão Matemática Financeira 3.1 8

9 Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 x 2 = 200 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 100 VF = Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros x Número de anos Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 x 3 = 300 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J 1 = 100 VF 1 = J 2 = 100 VF 2 = J 3 = 100 VF 3 = Fórmula Geral: n VP =1.000 J 1 = 100 VF 1 = J 2 = 100 VF 2 = J 3 = 100 VF 3 = J n = 100 VF n = VF = VP + Juros n VF = VP + VP i n VF = VP 1+ i n b g A fórmula é somente esta, porém podemos através de manipulações algébricas utilizar a fórmula do valor futuro (FV) para calcular Valor Presente (VP), taxa de juros (i) ou valor dos juros a pagar (J). VF VF = VPb1 + i ng VP = 1+ i n Brandão Matemática Financeira 3.1 9

10 VF VP i = VP n J = VF VP = VP i n VF VP n = ivp Onde: n: é o número de períodos VP: é o Valor Presente de principal aplicado i: é a taxa de juros expressa em decimais VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal J: é o total de juros pagos sobre o principal durante o investimento Observe que só existem 4 variáveis: Taxa de Juros, Valor Presente, Valor Futuro e Número de Períodos. Assim sendo só existem 4 tipos básicos de pergunta que podemos formular. Ex: Qual é o montante acumulado em 24 meses (VF), a uma taxa de 2% a.m., no regime de juros simples, a partir de um principal (VP) igual a $2.000? Solução: P = $2.000 i = 2% a.m. 2/100 = 0.02 ao mês n = 24 meses VF =? VF = ( 1 + 0,02 x 24) = Exercícios: Juros Simples 1) Você tem hoje (t=0) $1.000 para aplicar a juros simples a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $ ) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $ Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 3) Você tem hoje $ e pretender ter um total (juros mais principal) de $ em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 4) Você precisa ter $ daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve investir hoje, sabendo que a taxa de juros que essa aplicação paga é 12% ao ano? Resp: $ ) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000 a juros simples pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $ ) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $ Considere que a taxa de juros simples que você usou é de 10% ao ano. Resp: $ ) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000 por 2 anos a uma taxa de juros simples de 20% ao ano? Resp $ ) Qual é a taxa de juros simples que faz uma aplicação de $180 em t=0 valer $360 em 10 anos? Resp: 10% a.a. Brandão Matemática Financeira

11 3. Juros Compostos O s juros que incidem sobre um empréstimo são chamados de juros com capitalização composta se a cada período que dura o empréstimo os juros são calculados, a cada período do empréstimo, sobre o saldo devedor do empréstimo que inclui o principal e os juros ainda não pagos. Nessa categoria os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no inicio de cada respectivo período. Daqui para frente, consideraremos que todos os juros em questão são juros compostos. Considere a mesma situação do exemplo anterior de juros simples, agora com a diferença da utilização de juros compostos para o cálculo da remuneração ao investidor. Ano Saldo no Início do ano Taxa de Juros Base de Cálculo Juros do período Saldo final do ano 1 $ % $1.000 $100 $ $ % $1.100 $110 $ $ % $1.210 $121 $ $ % $1.331 $133 $1.464 Nesse caso o banco remunera os juros pagos, que são reinvestidos na aplicação. No gráfico a seguir, podemos observar a diferenças entre os juros simples e compostos mostrados nestas tabelas Juros Simples e Juros Compostos Juros Compostos Juros Simples Brandão Matemática Financeira

12 Exemplo: 1) Suponha que você pegou emprestado $1.000 hoje, para pagar este empréstimo com juros de 10% ao ano capitalizados de forma composta. Desta forma se você pegou este empréstimo por apenas 1 ano o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros por ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Valor do Principal = O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros mais o valor do principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = Se você pegou este empréstimo por 2 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = = Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do segundo ano = x 0,1 = 110 O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 mais o principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 110 VF = Se você pegou este empréstimo por 3 anos o cálculo do valor dos juros e principal a pagar serão os seguintes: Valor dos Juros no primeiro ano = Valor da Dívida x Taxa de Juros Valor dos Juros no final do ano 1 = x 0,1 = 100 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do segundo ano será: Principal + Juros = = Valor dos juros para o segundo ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do segundo ano = x 0,1 = 110 Brandão Matemática Financeira

13 Se os juros não forem pagos o Saldo devedor para o inicio do terceiro ano será: Principal + Juros (ano1) + Juros (ano2) = = Valor dos juros para o terceiro ano = Saldo Devedor x Taxa de Juros Valor do Juros do terceiro ano = x 0,1 = 121 O Valor total a o pagar para liquidar o empréstimo é o valor dos juros do ano 1 + os juros do ano 2 + os juros do ano 2 + o principal, ou seja: = VP =1.000 J = 100 VF = J = 110 VF = J = 121 VF = Fórmula Geral para Juros Compostos: b g VF = VP 1+ i n A partir da fórmula acima podemos obter: VP = b VF 1+ g i n i VF VP 1 n = F H G I K J F I HG K J b g VF ln VP 1 n = ln 1+ i Onde: n: é o número de períodos VP: é o Valor Presente de principal aplicado i: é a taxa de juros expressa em decimais VF: é o Valor Futuro, é a soma de juros no período mais principal OBS: Valor Presente, Valor Atual, Valor de hoje, agora ou tempo zero (t=0) são sinônimos. Ex 1: Qual o montante acumulado em 6 anos, à uma taxa de 10% a.a., no regime de juros compostos, a partir de um principal inicial de $100,00? Solução: Utilizando a fórmula: FV = VP (1 + i) n = 100,00 ( ) 6 = 177,16 Fazendo passo a passo: Seja VP 1 o principal no inicio do ano 1, VP 2 no inicio do ano 2 e assim sucessivamente Seja VF 1 o montante ao final do ano 1, VF 2 ao final do ano 2 e assim sucessivamente Seja J 1 o total de juros pagos ao final do ano 1, J 2... aonde J = i VP Fazendo o reinvestimento período a período até o sexto período de todo o disponível ao final do período anterior, teremos: Brandão Matemática Financeira

14 VP 0 =100 J 1 = 10 VF 1 = 110 J 2 = 11 VF 2 = 121 J 3 = 12,1 VF 3 = 133,1 J 4 = 13,31 VF 4 = 146,41 J 5 = 14,461 VF 5 = 161,051 J 6 = 16,105 VF 6 = 177,15 no inicio do ano 1 VP 1 = 100,00 no final do ano 1 VP 1 + J 1 = VF 1 = = 110 no inicio do ano 2 VP 2 = 110 no final do ano 2 VP 2 + J 2 =VF 2 = = 121 no inicio do ano 3 VP3 = 121 no final do ano 3 VP3 + J3 = VF3 = ,1 = 133,1 no inicio do ano 4 VP 4 = 133,1 no final do ano 4 VP 4 + J 4 = VF 4 =133, = 146,41 no inicio do ano 5 VP 5 = 146,41 no final do ano 5 VP 5 + J 5 = VF 5 = 146, ,641 = 161,051 no inicio do ano 6 VP 6 = 161,051 no final do ano 6 VP 6 + J 6 = VF 6 = 161, ,1051 = Exercícios: Juros Compostos 1) Você tem hoje (t=0) $1.000,00 para aplicar a uma taxa de 10% ao ano. Quanto você terá depois de 3 anos desta aplicação? Resp: $1.331,00 2) Suponha que você tem $2.000 hoje e se investir em determinada instituição terá em 2 anos $ Qual é a taxa que esta instituição está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 3) Você precisa ter $12.000,00 daqui a quatro anos para fazer frente a um compromisso financeiro. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que esta poupança paga é 12% ao ano? Resp: $7.626,22 4) Qual é o Valor Futuro obtido quando você aplica $2.000,00 a juros compostos pelo período de 4 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $4.147,20 5) Qual é o valor que você deve investir hoje para ter ao final do 5 ano $1.500,00. Considere que a taxa de juros compostos que você usou é de 10% ao ano. Resp: $931,38 6) Qual é o valor dos juros que você obterá se aplicar $3.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês? Resp $1.320,00 7) Você tem hoje (t=0) $ ,00 para aplicar a uma taxa de 15% ao ano. Quanto você terá depois de 4 anos desta aplicação? Resp: $ ,25 Brandão Matemática Financeira

15 3.2 Utilizando Calculadoras Financeiras As calculadoras financeiras facilitam o uso da Matemática Financeira, automatizando os cálculos mais tediosos e complexos. Embora cada modelo existente no mercado seja diferente na maneira de utilizá-lo, de um modo geral todos adotam as seguintes convenções: n PV PMT PMT PMT PMT FV n - Número de períodos do investimento ou empréstimo i - Taxa de juros que vai incidir sobre o VP, PMT e FV PV - Valor Presente (Present Value) PMT - Pagamento Periódico (Payment) FV - Valor Futuro (Future Value) Na HP 12c, estão funções estão na primeira linha de teclas, no lado esquerdo. Se você tem uma calculadora HP 12c observe que a maioria das teclas de sua calculadora tem 3 funções diferentes: 1. função escrita em letras ou números BRANCOS 2. função escrita em AZUL e 3. função escrita em AMARELO. Brandão Matemática Financeira

16 Quando você liga a máquina automaticamente está na função BRANCA das teclas. Você pode determinar qual a função desejada simplesmente apertando as teclas f ou g seguida então da tecla com a função da cor desejada. A HP12c tem memória contínua, isto é, ela não perde os dados que estão em memória ao ser desligada. Por isso, antes de efetuar qualquer calculo é necessário limpar os dados que estão na memória da calculadora teclando a tecla e depois a tecla FIN em amarelo. Convenciona-se em nosso país considerar que os fluxos ocorrem ao final de cada período. Assim, se um fluxo que ocorre ao longo de todo o ano 1 seja representado por um único fluxo no final deste ano, ou seja, no dia 31 de dezembro do ano 1. Para que sua calculadora também considere os fluxos ao final de cada período, é preciso ajustá-la para isso. Se sua calculadora possui a opção END mode ou BEGIN mode coloque em END mode. Na calculadora HP 12c realize esta operação teclando a tecla azul seguida da tecla que tem a letras azuis END. Na calculadora HP12c você deve entrar com o valor da taxa de juros, tecla BRANCA i em base percentual. Isto é se a taxa for 20% digite 20 e em seguida tecle i. Lembre-se que quando você usa fórmulas, se a taxa for 20% você dever inserir na fórmula 0,2 que é base decimal. Para escolher o número de casas decimais que o seu visor deve mostrar, simplesmente tecle seguido do número de casas decimais que pretende utilizar. Sugerese que adote duas casas decimais como padrão. Exemplo: Calculando um Valor Futuro Suponha que você irá investir $100 num banco a uma taxa de 10% a.a. por um período de 6 anos. Qual o montante a receber ao final dos 6 anos? Valor do investimento hoje: PV = 100 Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 10% No de períodos que o investimento irá durar: n = 6 Valor Futuro deste investimento: FV =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: FV = -177,16 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle Informa que o Valor Presente é $ e tecle Informa que os juros são de 10% por período 4 6 e tecle Informa que são 6 períodos 5 tecle Calcula o Valor Futuro: -177,16 Brandão Matemática Financeira

17 Para alterar o número de casas decimais no visor da calculadora para: três casas decimais: tecle f 3 e obterá: - 177,156 quatro casas decimais: tecle f 4 e obterá: - 177,1561 cinco casas decimais: tecle f 5 e obterá: - 177,15610 seis casas decimais: tecle f 6 e obterá: - 177, Lembre-se que a calculadora trabalha internamente sempre com precisão de 16 casas decimais, independente de quantas casas você definiu para o visor da tela. Note que o resultado apresenta um sinal negativo. Isto ocorre porque a calculadora considera que se você pegou um empréstimo (você recebeu $) deverá pagar com juros ao final do período N (você paga $). Assim, se você coloca o VP (ou PV em inglês) com valor positivo, significando que você recebeu, por exemplo, a resposta sairá com o sinal trocado (no exemplo, sinal negativo) significando que você pagou o FV. A recíproca também é verdadeira: se você colocar PV com sinal negativo sua resposta, o FV será dado com sinal positivo. Exemplo: Calculando um Valor Presente Qual o principal que deve ser aplicado hoje (Valor Presente) para se ter acumulado um total de $1.000 daqui a 12 meses, a uma taxa de 3% ao mês? Valor Futuro: FV = Taxa de juros que incide sobre o investimento: i = 3% No de períodos que o investimento irá durar: n = 12 Valor Presente deste investimento: PV =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: PV = - 701,38 Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira 2 12 e tecle Informa que são 12 períodos 3 3 e tecle Informa que os juros são de 3% por período e tecle Informa que o Valor Futuro será de $ tecle Calcula o Valor Presente: Observação: O sinal do valor em FV será sempre diferente do sinal do valor em PV, posto que para a calculadora um valor é recebimento e o outro pagamento (ou vice-versa). Brandão Matemática Financeira

18 Exemplo: Calculando uma taxa de juros Qual é a taxa de juros anual que faz uma aplicação hoje no valor de 1.000,00 valer $1.200,00 em 1 ano? Valor Presente: PV = Valor Futuro: FV = No de períodos: n = 1 Taxa de juros que incide sobre o investimento: i =? Procedimento passo a passo para HP 12c: Você deverá obter: i = 20% Passo Ação Descrição 1 tecle FIN Limpa a memória financeira e tecle Informa que o Valor Presente é $ e tecle Informa que o Valor Futuro será de - $ e tecle Informa que é 1 período 5 tecle Calcula os juros: 20% Obs: É necessário teclar para trocar o sinal do Valor Futuro Exercícios: Usando a Calculadora 1) Você tem hoje $10.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $21.970,00 em uma aplicação que paga 30% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 2) Qual é a taxa de juros compostos que faz uma aplicação de $180,00 em t=0 valer $360,00 em 10 anos? Dica: Não se esqueça de colocar PV e FV com sinais diferentes. Resp: 7,177% ao ano 3) Suponha que você tem $2.000,00 hoje e se investir na poupança da CEF terá em 10 anos $5.187,48. Qual é a taxa anual que a CEF está pagando para sua aplicação? Resp: 10% 4) Pedro tem disponíveis hoje $50.000,00 e pretende ter um total (juros mais principal) de $82.151,60 em uma aplicação que paga 18% ao ano. Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado? Resp: 3 anos 5) Você quer ter $ ,00 daqui a seis anos para comprar uma casa. Quanto você deve depositar hoje na poupança, sabendo que a taxa de juros que a poupança paga é 12% ao ano? Resp: $50.663,11 Brandão Matemática Financeira

19 6) Qual é o Valor Futuro que você espera obter se aplicar $ ,00 a juros compostos pelo período de 14 anos a uma taxa de 20% ao ano? Resp: $ ,99 7) Maria quer comprar um automóvel popular. O preço de automóveis populares tem se mantido estáveis no mercado há muitos anos. Suponha que Maria queira comprar o automóvel daqui a quatro anos, e que precise ter $15.000,00 para poder comprá-lo. Sabendo que ela tem uma aplicação que vai remunerar seus depósitos a uma taxa de juros anual de 18% ao ano durante os próximos quatro anos, que valor Maria deve depositar hoje nessa aplicação para que daqui a quatro anos ela possa comprar o seu automóvel? Resp: $7.736,83 8) Qual é o valor dos juros que você vai receber por uma aplicação num fundo de renda fixa se aplicar $30.000,00 por 2 meses a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês? Resp $2.448,00 9) Qual é a taxa de juros que faz uma aplicação qualquer dobrar de valor em 5 anos? Resp: 14,87% ao ano 10) Qual o principal que deve ser aplicado hoje para se ter acumulado um montante de $1.000,00 daqui a 12 meses, no regime de juros compostos, a uma taxa de 3 % ao mês? Resp: -701,38 11) Um principal foi investido em uma aplicação financeira. Suponha que a taxa de juros seja 3% ao mês no regime composto. No final do quarto mês o valor do montante é $100,00. Qual era o valor do montante ao final do primeiro mês e qual o valor do montante ao final do sétimo mês? Resp: a) $91,51 b) $109,27 12) Um indivíduo recebe uma proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para receber $ 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juros compostos? Resp: 3% a.m. 13) Em quantos meses um capital dobra, a juros compostos de 2% a.m. Resp: 35 meses 14) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340, ) Durante a época de alta inflação no Brasil, o comércio paulista popularizou a seguinte forma de venda: 20% de desconto para pagamento à vista ou em 30 dias sem juros. Nessas condições, qual a taxa efetiva para o pagamento em 30 dias? Resp: 25% ao mês 16) Um cidadão investiu $ nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal de seu investimento? Resp: 3.00% ao mês 17) Um cidadão aplicou, nesta data, a importância de $1.000 numa instituição financeira que remunera seus depósitos a uma taxa de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Mostrar o crescimento desse capital no final dos próximos 6 trimestres e informar o montante que poderá ser retirado ao final do sexto trimestre. Resp: $1.340 Brandão Matemática Financeira

20 3.3 Anuidades (PMT) Uma anuidade consiste numa série de pagamentos (ou recebimentos) iguais e sucessivos feitos ao final de cada período de tempo. Suponha que você deposite $1.000 anualmente durante 3 anos em uma poupança que rende 10% ao ano. Quanto você terá ao final destes três anos? Nesse caso, o nosso interesse é calcular o Valor Futuro desta anuidade VF = PMT( 1+ i) + PMT( 1+ i) + PMT 2 VF = VF = A fórmula geral para o cálculo do Valor Futuro de uma anuidade (PMT) é dada por: n VF PMT i n = + t VF b1 g e também podemos ter PMT = n t = 1 i n b1+ g t Estas fórmulas também podem ser expressas da seguinte forma: VF = PMT L NM n b g e PMT = VF 1+ i 1 i O QP L NM b i g O P Q 1P 1 + i n t = 1 Uma outra aplicação de anuidade é quando queremos calcular as vantagens ou desvantagens de se parcelar uma compra. Suponha que a sua companhia de seguro lhe deu a opção de parcelar a renovação do seguro do seu carro em três vezes. O valor do prêmio do seguro é de reais à vista ou três parcelas de 730 reais. Se você tem dinheiro investido que rende 1% ao mês, qual a melhor opção para você? Nesse caso, queremos achar o Valor Presente desta anuidade Brandão Matemática Financeira