UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU PROJETO A VEZ DO MESTRE

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1 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU PROJETO A VEZ DO MESTRE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA TODOS Por: Washington Conrado de Souza Orientador Prof.ª : Ana Cláudia Morrissy Rio de Janeiro

2 UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU PROJETO A VEZ DO MESTRE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA TODOS Apresentação de monografia à Universidade Candido Mendes A Vez do Mestre como requisito parcial para obtenção do grau de especialista em Finanças e Gestão Corporativa. Por: Washington Conrado de Souza 2

3 AGRADECIMENTOS Agradeço a todos os mestres que aplicaram e se dedicaram a passar todos os conhecimentos durante a minha formação educacional; meus amigos, meu irmão e minha irmã que me deram o apoio e confiança, necessários para realizar esta fonte de estudo. 3

4 DEDICATÓRIA Dedico este projeto a minha esposa e a minha pequena filha, onde desprendi do tempo de estar com elas para me dedicar com afinco a esta formação; e aos meus pais que me deram todo o suporte ao longo da vida para que eu pudesse concluir mais este desafio. 4

5 RESUMO O presente estudo é resultado de uma pesquisa bibliográfica cuja relação é buscar ferramentas que esclareça a todas as pessoas o melhor a se fazer em relação ao dinheiro e/ou financiamentos. Essas fontes bibliográficas são retiradas de autores de renome da área de matemática financeira e também de revistas acadêmicas atualizadas que facilite o esclarecimento com abordagens atuais. O propósito principal do estudo da matemática financeira é facilitar e dar conhecimento a população em geral tendo em vista que toda operação de compra utilizamos um pouco dessa matéria, seja nas mais simples coisas do dia a dia até grandes operações que são movimentadas pela economia de nosso país. 5

6 METODOLOGIA Os métodos de pesquisa utilizados neste estudo foram consulta a livros de grandes autores, selecionados pelo critério da qualidade e riqueza das informações contidas; as consultas em sites também fazem parte das fontes pesquisadas; além de revistas e/ou manuais da área financeira e jornais de grande circulação e relevância no país. 6

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 8 CAPÍTULO I Conceitos Básicos de Matemática Financeira 9 CAPÍTULO II Juros Simples 18 CAPÍTULO III Juros Compostos 26 CAPÍTULO IV Descontos 33 CAPÍTULO V Séries Uniformes 37 CAPÍTULO VI Planos de Amortização 44 CAPÍTULO VII Análise de Investimento 51 CONCLUSÃO 58 REFERÊNCIAS 59 ÍNDICE 60 FOLHA DE AVALIAÇÃO 63 7

8 INTRODUÇÃO Este trabalho busca trazer informações relativas sobre Matemática Financeira. Trataremos de conceitos básicos de juros simples e juros compostos como também o valor do dinheiro no tempo até chegar em cálculos que nos permitam manipular valores financeiros dinheiro ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de financiamento ou aquisição de um bem. Na prática trabalharemos com o manuseio da calculadora HP 12C, com os 1º passos de como se trabalhar com a calculadora até chegar em cálculos com valores de prestações e do saldo devedor de financiamentos, de modo a identificarmos qual o melhor financiamento e como seria o ideal e se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo. Analisaremos a viabilidade econômica de um projeto de investimento de forma a sabermos quanto tempo esse projeto demora para dar lucro, ou se de fato não dará lucro. Assim como usar as taxas e se elas estão de acordo com o que está sendo proposto ou precisam ser convertidas a uma unidade em questão/específica de acordo com o tempo. Observaremos também quando o pagamento de uma prestação antecipada nos dará um desconto, como esse desconto pode ser realizado e qual geralmente é praticado no mercado financeiro. Veremos quais os principais sistemas de amortização e como cada um deles funcionam, verificar se é possível identificar qual o melhor desses sistemas. Por fim é esclarecer as pessoas em geral como saber utilizar melhor seu dinheiro com a aquisição de um bem ou com um novo investimento projeto de uma maneira simples. 8

9 CAPÍTULO I Conceitos Básicos sobre Matemática Financeira O conceito fundamental da Matemática Financeira é o valor do dinheiro no tempo. Onde todo dinheiro que possui hoje não terá o mesmo valor em um período futuro por existir um fator de correção. De acordo com Assaf, (2006, p.1) A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos Capital e Montante O Capital é o valor investido ou valor aplicado, o que deve ser utilizado para se chegar a um determinado valor maior do que o investido no caso chamado de montante,que por sua vez representa o alcançado, é aquele valor que conseguiu retirar após determinado período investido e/ou aplicado. Um exemplo é que em 2008, eu investi (capital) R$ 700,00 e ao final do período consegui resgatar um valor maior (montante) que foi R$ 820, Juros e Taxa de Juros Juros é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação investimento durante um determinado período de tempo, ou seja, com um prazo determinado. Os economistas ainda definem juros como sendo a remuneração do uso do fator capital financeiro. O conceito de juros também pode ser entendido como: O dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, o custo do 9

10 capital de terceiros colocado a nossa disposição; A remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou ainda a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado; O aluguel do capital alheio. Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da operação e do prazo. A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma TAXA, geralmente expressa em base percentual, por exemplo, 10% ao ano. Por exemplo, se a taxa de juros é 10% ao ano e o valor da operação são de R$ 1.000,00, então os juros relativos a um ano de aplicação serão de R$ 100,00. Sabendo dessas informações teremos a seguinte realização de um fluxo de caixa: Sr. Roberto faz uma aplicação no Banco de R$ 1.000,00 a juros de 2% ao mês, resgatando ao final deste período. Quanto será resgatado ou o montante? APLICAÇÃO: R$ 1.000,00 JUROS: R$ 1.000,00 x 2% = R$ 20,00 RESGATE: R$ 1.000,00 + R$ 20,00 = R$ 1.020,00 Taxa de Juros Percentual: 2% a.m Unitária: 0,02 a.m Conversão da Taxa Se a taxa for convertida de percentual para unitária divide-se por 100; agora se a taxa for convertida de unitária para percentual é multiplicado por

11 1.3 Conceitos Básicos - P ou VP => Conhecido como Principal, Capital Inicial ou ainda Valor Presente. - S ou VF => Conhecido como Montante, Valor de resgate ou Valor Futuro. - J => Juros. - i ou r => Taxa de Juros. - n => Prazo ou número de capitalizações. 1.4 Conceito de Dinheiro no Tempo O valor futuro é o produto do valor presente pelo fator de correção; Valor presente é o valor inicial da operação e o valor futuro é o valor final. O fator de correção é (1+ i). Logo podemos dizer que: VF = VP x Fator de correção Então fica, VF = VP x (1 + i). Ex.: Mateus aplicou R$ 3.000,00 no fundo XYZ por um determinado período. A remuneração desse período foi de 4%. Primeiramente converter a taxa de percentual para unitária logo teremos: 4% = 0,04 VF = VP x (1 + i) VF = 3.000,00 x (1 + 0,04) 11

12 VF = 3.000,00 x 1,04 VF = 3.120,00 Juros = VF VP J = 3.120, ,00 J = 120,00 Mateus aplicou R$ 3.000,00 e em um determinado período resgatou R$ 3.120,00. Logo recebendo um juros de R$ 120, Calculadora HP 12 C Primeiros Passos Entendendo um pouco sobre a calculadora HP 12C, veremos as suas principais funções. A 1º linha são teclas financeiras. A 2º linha são teclas comuns em calculadoras científicas. A 3º linha são teclas especiais. E a 4º e última linha temos as seguintes teclas: ON, onde liga e desliga a calculadora. 12

13 f, acesso a função amarela. g, acesso a função azul. STO e RCL são o acesso a função memória. Enter, acesso a função entrada Ligando e Desligando a Calculadora: Para começar a usar a sua HP-12C, pressione a tecla ON. Se você pressionar novamente ON, a calculadora será desligada Teclado A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções, observe: - Para usar a função primária, impressa em branco, basta pressioná-la. - Para usar a função impressa em amarelo, pressione a tecla amarela, de prefixo f e, em seguida, pressione a tecla da função desejada. - Para usar a função impressa em azul, pressione a tecla azul, de prefixo g e, então, pressione a tecla da função desejada Introduzindo Números Pressione as teclas dos dígitos em seqüência. A tecla do ponto. deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto é irrelevante Cálculos Aritméticos Simples Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla ENTER e, em 13

14 seguida, o segundo número e a operação a ser realizada ( +, -, x ou ); a resposta aparecerá no visor Tabulando Casas Decimais Para fixar um número distinto de casas decimais, pressione a tecla f seguida da tecla de número correspondente à quantidade desejada de casas decimais (de 0 a 9 casas). Exemplo: Acionando f 4, aparecerá no visor: 0,0000. Para ter um resultado mais preciso será necessário aumentar o número de casas. Você poderá determinar o número de casas que pretende usar. Exemplo: ENTER 17 11,76 Se pressionarmos f 3 a resposta será 11,765 Se pressionarmos f 5 a resposta será 11, Limpando os Registros A tecla clear CLX é utilizada somente para limpar o visor, porém, se pressionar f CLX limpará todos os registros Troca de Sinais CHS que, em inglês, quer dizer troca sinal, isto é, transforma o número que estiver no visor, se positivo, em negativo e vice-versa Funções de Porcentagem Para calcular o valor correspondente à porcentagem de um número, introduza a base, pressione ENTER, introduza a porcentagem e pressione %. Exemplo: 10 % de ENTER 10 % 30,00 14

15 Para calcular a variação percentual entre dois números, introduza, como base, o valor mais antigo da operação, seguido da tecla ENTER, introduza o segundo número e pressione %. Exemplo: No pregão de ontem, as ações da Cia. B S.A. subiram de R$ 5,37 para R$ 5,90. Qual foi a variação percentual? 5,37 ENTER 5,90 % = 9,87% Funções de Calendário Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana correspondente, pressione inicialmente as teclas g D.MY (que representam as iniciais, em inglês, de dia, mês e ano) você estará fixando esta informação na sua calculadora. Portanto, não será necessário repetí-la a cada operação. Data Futura Para utilizar o calendário, introduza a data conhecida, separando o dia e o mês pela tecla, e pressione a tecla ENTER. Digite o número de dias correspondente ao intervalo de tempo e pressione as teclas g DATE. Você estará calculando uma nova data. Exemplo: Qual é a data de vencimento de uma compra feita no dia para pagamento em 45 dias? ENTER 45 g DATE Quinta Feira Resposta: Vencimento em Observe, no visor, um número que aparece à direita do resultado. Ele representa o dia da semana em que esta data ocorrerá. Neste exemplo, quinta-feira, conforme o quadro seguinte. 15

16 Dias da semana 1 - segunda-feira 2 - terça-feira 3 - quarta-feira 4 - quinta-feira 5 - sexta-feira 6 - sábado 7 domingo Data Passada No exemplo anterior vimos que o vencimento foi no dia Se a compra foi feita para pagamento em 45 dias, qual a data da compra? ENTER 45 CHS g DATE Segunda-Feira Resposta.: A data da compra foi , uma segunda-feira. Observação: O CHS serve para indicar que se trata de data passada. Variação de Dias entre Datas Para calcular o número de dias existentes entre duas datas, introduza a data mais antiga e pressione ENTER, em seguida, introduza a data mais recente e pressione as teclas g DYS Exemplo: Calcule o número de dias decorridos entre as datas e ENTER g DYS 244 dias Resposta: O número de dias entre as duas datas são

17 Usando a Memória - Armazenando e Recuperando Valores A HP-12C possui 20 memórias para armazenamento de valores, que vão de 0 a 9 e de 0 a 9. Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla STO seguida do número da memória desejada. Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla RCL seguida do número da memória. Exemplo: Armazenar o número 15 na memória 0. Digitar: 15 STO 0 o número continua no visor, porém já está armazenado. Quando você for utilizar o número armazenado basta pressionar RCL 0, que ele retornará ao visor, podendo ser utilizado para qualquer cálculo. 17

18 CAPÍTULO II Juros Simples Neste regime de juros simples, a atualização (correção) monetária é feita em cima do valor principal, e não acontece de forma acumulativa. O valor cresce de forma linear como se fosse um padrão de uma equação do 1º grau. De acordo com Carlos Patricio Samanez, ( 2002, p.2): No regime de juros simples os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. Não existe capitalização de juros nesse regime, pois os juros de um determinado período não são incorporados ao principal para que essa soma sirva de base de cálculo dos juros do período seguinte. Consequentemente, o capital crescerá a uma taxa linear e a taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo. Entendendo um pouco os juros simples, ele não é muito utilizado porque a sua rentabilidade não é que se pratica atualmente no Brasil. Ainda segundo Carlos Patricio Samanez, ( 2002, p.2): A aplicação dos juros simples é muito limitada. Tem apenas algum sentido em um contexto não inflacionário e no curtíssimo prazo. Agora de acordo com Mendonça, Boggiss, Gaspar e Henriger, da FGV Manegement (2006, p. 37): No Brasil, esse regime de capitalização é utilizado basicamente nas operações de empréstimo de curtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que o mercado denomina hot money; na cobrança de cheques especiais; nos financiamentos indexados em moeda estrangeira; e no desconto de títulos de curto prazo, tais como duplicatas e notas promissórias Cálculo dos Juros O valor dos juros é obtido por meio da expressão: J = C. i. n Simbologia adotada 18

19 J - Valor dos juros. n - Prazo. i - Taxa de juros. C - Capital, Principal ou Valor Presente. Exemplo: Qual o valor dos juros correspondentes a uma aplicação de R$ 400,00, à taxa de 2% ao mês, por um prazo de 5 meses? Se: J = C. i. n J = 400,00. 0,02. 5 J = R$ 40,00 Obs.: Na fórmula usaremos a taxa ( i ) na forma decimal. Já fazendo pela HP 12C, será desta forma: Pela HP: 400 ENTER 0,02 x 5 x = R$ 40, Cálculo do Capital Exemplo: Qual o capital que, à taxa de 2% ao mês, rende juros de R$ 40,00 em 5 meses? Se: J = C. i. n Então: C = J i. n Logo: 19

20 C = 40,00 0,02. 5 C = 400,00 Pela HP: 40,00 ENTER 0,02 ENTER 5 x = 400, Cálculo da Taxa Exemplo: O Sr. Roberto aplicou R$ 400,00 por um prazo de 5 meses e obteve um rendimento de R$ 40,00. Qual a taxa de juros mensal correspondente a essa aplicação? Se: J = C. i. n Então: i = J C. n Logo: i = 40,00 400,00. 5 i = 0,02 ou 2% 20

21 Pela HP: Na HP: 40,00 ENTER 400,00 ENTER 5 x = 0, x = 2% Obs.: Multiplicamos por 100 para encontrarmos o resultado em percentual Cálculo do Prazo Exemplo: Sabendo-se que os juros de R$ 40,00 foram obtidos de uma aplicação de R$ 400,00, à taxa de 2 % ao mês, calcule o prazo dessa aplicação. Se: J = C. i. n Então: n = J C. i Logo: n = 40,00 n = 5 meses. 400,00. 0,02 21

22 Na HP: 40,00 ENTER 400,00 ENTER 0,02 x = 5 meses Montante Montante (M) ou Valor Futuro é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. De acordo com Assaf (2006, p. 11): Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juros por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. A fórmula é: M = C + J Para entender a fórmula do montante é necessário que retomar a fórmula de juros: J = C. i. n Vamos fazer passo a passo, utilizando o seguinte exemplo: C = R$ 400,00 n = 5 meses i = 2 % a.m. J = R$ 40,00 M = C + J M = 400, ,00 = 440,00 No próximo passo vamos substituir o J pela fórmula de juros: J = C. i. n M = C + (C. i. n) M = 400,00 + (400,00. 0,02. 5) = 440,00 22

23 Existem 2 termos iguais (C), vamos colocar um (C) em evidência: M = C (1 + i. n) M = 400,00. (1 + 0,02. 5) = 440,00 M = C (1 + i. n) Esta é a fórmula do Montante ou Valor Futuro. Para ficar com a linguagem da calculadora financeira, o "M" será "FV" (Valor Futuro) e o "C" será "PV" (Valor Presente). Assim, mudando as letras, a equação ficará: FV = PV. (1 + i.n) Exemplo utilizando a fórmula de Juros Simples: O Sr. Roberto aplicou R$ 2000,00 a juros de 1,20% ao mês, com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o montante a ser recebido pelo Sr. Roberto? Fórmula FV = PV. (1 + i.n) FV = 2000 x (1 + 0,012 x 4) FV = R$ 2.096,00 Na HP 2000 ENTER 1 ENTER 0,012 ENTER 4 x + x = R$ 2.096, Valor Presente Valor Presente ou Valor Atual é o valor do capital que, aplicado a uma determinada taxa e a um determinado prazo, gera um montante. 23

24 Se: FV = PV. (1 + i.n) Então: PV = FV (1 + i. n) Exemplo: Quanto o Sr. José precisará aplicar hoje para resgatar R$ 2.096,00, daqui a 4 meses, à taxa de 1,20% ao mês? Fórmula PV = 2096,00 (1 + 0,012. 4) PV = R$ 2.000,00 Na HP 2096 ENTER 1 ENTER 0,012 ENTER 4 x + = R$ 2.000, Taxas Proporcionais aplicação. No regime de juros simples, os juros são proporcionais ao tempo de Exemplo: Taxa 5% ao mês Período 20 dias Nesse caso é importante que seja feita a conversão para conseguir atingir o resultado esperado. (0,05 / 30) x 20 dias = 0,03 ou 3% para 20 dias. 24

25 Alguns exemplos para Conversão de Taxas Proporcionais: Período da Taxa Período de Capitalização Como fazer? Anual Mensal Dividir por 12 Anual Diária Dividir por 360 Semestral Bimestral Dividir por 360 Semestral Mensal Dividir por 6 Trimestral Mensal Dividir por 3 Trimestral Diária Dividir por 90 Mensal Diária Dividir por 30 Período da Taxa Período de Capitalização Como fazer? Diária Anual Multiplicar por 360 Diária Mensal Multiplicar por 30 Mensal Anual Multiplicar por 12 Mensal Semestral Multiplicar por 6 Bimestral Anual Multiplicar por 6 Esses são alguns exemplos, podendo ter várias possibilidades de conversão das taxas proporcionais para chegar ao objetivo de alcançar o resultado correto. 25

26 CAPÍTULO III Juros Compostos O regime de juros compostos é o mais comum e praticado no nosso país. É a correção atualizada do capital, incidindo juros sempre em cima do valor atualizado, é também muito conhecido como os juros sobre os juros. De acordo com Carlos Patricio Samanez ( 2002, p.15): O regime de juros compostos é o mais comum no dia a dia, no sistema financeiro e no cálculo econômico. Nesse regime os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte; dizemos, então, que os juros são capitalizados. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. No regime de juros simples não há capitalização, pois apenas o capital inicial rende juros. Segundo Mendonça, Boggiss, Gaspar e Henriger, da FGV Manegement (2006, p. 47): No regime de capitalização composta, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos períodos Valor Futuro em juros compostos No regime de capitalização composta, diferente do que vimos em juros simples, a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Seguindo pelo raciocínio de juros simples observaremos um exemplo e como ele se transforma em uma capitalização composta. Exemplo: Com os dados seguintes, vamos desenvolver o cálculo (período a período), para encontrarmos o montante. PV = 1.000,00 n = 3 meses i = 5% ao mês 26

27 Obs.: Lembre-se, para usar na fórmula é necessário dividir a taxa por 100 1º Mês O Capital é de R$ 1.000,00 FV = 1.000,00 x (1 + 0,05 x 1) = 1.050,00 2º Mês O Capital agora é R$ 1.050,00 FV = 1.050,00 x (1 + 0,05 x 1) = 1.102,50 3º Mês O Capital nesse instante é R$ 1.102,50. FV = 1.102,50 x (1 + 0,05 x 1) = 1.157,63 O que isso significa: FV = PV x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) FV = 1.000,00 x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1+ 0,05) Logo, podemos dizer que: FV = 1.000,00 (1 + 0,05) 3 = R$ 1.157,63 E assim chegamos a fórmula de juros compostos: FV = PV (1 + i) n Pela HP 12C: ENTER 1 ENTER 0, y x x = R$ 1.157,63 27

28 Segue agora um exemplo de Valor Futuro em juros de capitalização composta. Exemplo: Qual o valor de resgate (FV) de uma aplicação de R$ 1.500,00, ao final de 6 meses,sabendo que a taxa é de 4% ao mês? Utilizando a fórmula FV = PV (1 + i) n, teremos: FV = 1.500,00 x (1 + 0,04) 6 FV = R$ 1.897,98 Pela HP 12C: ENTER 1 ENTER 0, y x x = R$ 1.897, Valor Presente em juros compostos Agora podemos ver um exemplo de Valor Presente em juros de capitalização composta. Primeiramente, é necessário e também muito importante transformar a fórmula para o valor presente: Se: FV = PV (1 + i) n Então: PV = FV (1 + i) n Exemplo: Quanto o Sr. Márcio deverá aplicar hoje, para obter R$ 1.897,88, daqui a 6 meses, à taxa de 4% ao mês? 28

29 PV = 1897,88 (1 + 0,04) 6 PV = R$ 1.500,00 Pela HP 12C: 1897,88 ENTER 1 ENTER 0, y x = R$ 1.500, Teclas financeiras da Calculadora HP 12C Importante ter um pouco de conhecimento da calculadora HP 12C. Analisaremos a 1º linha desta calculadora que pode ser feito o cálculo financeiro. Teclas Financeiras da Calculadora HP 12C n Prazo i Taxa (representada na forma percentual) PV Valor presente ou atual PMT Valor das prestações ou pagamentos FV Valor futuro ou montante Algumas considerações importantes de trabalhar com essas teclas no dia a dia, com base no manual da Calculadora HP 12C. 29

30 1º As teclas financeiras, quando usadas, não exigem uma determinada ordem. Isto significa que poderemos iniciar a resolução utilizando qualquer uma das teclas, bastando informar os dados da questão nas teclas correspondentes e, em seguida, acionar a tecla que você procura como resposta. 2º Prazo e taxa devem ser informados na mesma unidade de tempo. 3º São necessários, no mínimo, três dados ou informações, para que seja dada a resposta de um cálculo. 4º A taxa de juros deve ser indicada na forma percentual (%). Exemplo: Henrique investiu R$ 5.000,00 e pretende resgatar o dinheiro aplicado daqui a 3 meses a taxa de 1,05%. Qual será o valor de resgate? Usando o teclado financeiro: f CLX 5.000,00 CHS PV 1,05 i 3 n FV = R$ 5.159,16 (Atenção: taxa na forma percentual) Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo da aplicação e o mesmo capital, produzirem o mesmo montante. É importante ressaltar que em juros simples já foi analisado taxas proporcionais. De acordo com Assaf, (2006, p.35) Tratar de juros simples é a taxa equivalente, que é a própria taxa proporcional da operação. São também equivalentes, pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de um certo período de tempo. 30

31 Fórmula de taxas equivalentes: iq = [ ( 1 + it) q/t - 1] x 100 Em que: iq = Taxa para o prazo que eu quero it = Taxa para o prazo que eu tenho q = Prazo que eu quero t = Prazo que eu tenho Obs.: Como vamos trabalhar com uma fórmula algébrica, a taxa deve estar na forma decimal (dividida por 100). Os prazos serão informados em números de dias, meses, anos etc. Exemplo: Tenho a taxa de 2% ao mês e quero a taxa equivalente para 35 dias. Montando a fórmula: iq = [ ( 1 + it) q/t - 1] x 100 iq = [ ( 1 + 0,02) 35/30-1] x 100 iq= [ (1,02) 1,17-1 ] x 100 iq = [ 1, ] x 100 iq = 0, x 100 iq = 2,34 ao período. De acordo com o manual da HP 12C, esse cálculo é realizado esta forma: 31

32 1 ENTER 0, ENTER 30 y x x Resposta : 2,34% ao período. 32

33 CAPÍTULO IV Descontos Quando um cliente efetua uma antecipação de pagamento, o mesmo pode e deve por direito solicitar um desconto por estar pagando um valor que já consta numa data futura ou uma data mais a diante, se o mesmo efetua esse pagamento antes, é comum pagar um valor a menor da prestação por essa antecipação. Desconto é a maneira que é dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado antes de seu vencimento. De acordo com Mendonça, Boggiss, Gaspar e Henriger, da FGV Manegement (2006, p.113): De modo geral, uma operação de desconto visa estabelecer o valor presente pelo qual determinado ativo que apresenta um valor numa data futura, o valor futuro pode ser negociado Importante observar descontos mais comuns que são o desconto racional (por dentro) e o desconto comercial (por fora) Desconto Racional Simples O desconto racional simples é também conhecido como o desconto por dentro. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro (valor nominal ou de resgate) e o valor atual (valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples. A fórmula: D r = N - V r Então: D r = N - N 1 + i. n 33

34 Logo: D r = N x i x n 1 + i x n Onde: N é o valor nominal ou de resgate; i é a taxa de juros simples; n é o prazo a decorrer até o vencimento do título; V r é o valor líquido liberado na data do desconto Equivalência entre desconto racional simples e juros simples Onde: D r = N x i x n 1 + i x n E juros simples é: N = P x ( 1 + i. n) Então fica: D r = P x ( 1 + i. n) x i x n 1 + i. n D r = P x i x n Podemos analisar um exemplo: Exemplo: Encontre o valor da taxa mensal de desconto por dentro usada em uma operação de desconto de 90 dias de um título de R$ 4.200,00 e o valor principal R$ 3.920,00. D r = N - V r D r = 4.200, ,00 D r = 280,00 34

35 D r = N x i x n 1 + i x n 280 = x i x i x x (1 + 3 i) = i i = i 280 = i 840 i 280 = i i = i = 0,02380 ou 2,38% ao mês Desconto Comercial Simples O desconto comercial simples também é chamado de desconto por fora. O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do título. A Fórmula: D c = N x d x n Onde: d é a taxa de desconto comercial (taxa por fora); n é o prazo; N é o valor nominal (ou valor de resgate) do título. 35

36 Sendo: D c = N V c e D c = N x d x n Logo: N V c = N x d x n Então: V c = N x ( 1 d x n) No Brasil, atualmente, a maioria das empresas e instituições financeiras trabalham da seguinte forma: V c = N x ( 1 d x n ) 30 Esse desconto é praticado pelas empresas por conceder um desconto menor a população em geral, sendo mais vantajosas as organizações e grandes bancos e instituições financeiras em geral. Exemplo: Uma prestação de R$ 2.000,00 é resgatado 2 meses antes ao vencimento, a taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor atual desta prestação? Primeiro passo é localizar o desconto concedido e em seguida encontrar o valor presente desta prestação. D c = N x d x n D c = x 0,015 x 2 D c = R$ 60,00 V c = N - D c V c = 2.000,00 60,00 V c = R$ 1.940,00 Logo, o valor comercial são de R$ 1.940,00 36

37 CAPÍTULO V Séries Uniformes A série de pagamentos nada mais é do que uma sucessão de capitais exigíveis periodicamente, seja para amortizar uma dívida ou um financiamento, ou ainda, para formar um fundo de reserva. Essas séries de pagamento podem ser postecipadas, antecipadas ou ainda diferidas. As séries de pagamentos podem ser: Constantes, se os valores forem iguais ou Periódicas, se todos os períodos forem iguais. Os pagamentos ou recebimentos podem ser: Postecipados, se os valores são exigíveis no final do primeiro período. Antecipados, se os valores são exigíveis no início do período. Diferidas, se possuir algum período de carência no período de financiamento. Uma série uniforme caracteriza-se por uma sucessão de capitais iguais (pagamentos ou recebimentos). Segundo Carlos Patricio Samanez ( 2002, p.125): As rendas certas ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. As séries postecipadas são aquelas que ocorrem no fim de cada período e não na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, por exemplo, financiamentos com pagamento à vista. Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo compre hoje e comece a pagar daqui a não sei quantos dias. Ainda conforme Carlos Patricio Samanez ( 2002, p.125): 37

38 Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se for no início, chama-se série diferida postecipada. Outro fato importante é que utilizaremos outra ferramenta da calculadora HP 12C que é a função PMT Prestações Postecipadas Prestações postecipadas são aquelas que são realizadas ao final de cada período. Serve tanto para efetuar um pagamento ou guardar um capital. Quando esse pagamento e/ou recebimento é feito em parcelas iguais, utilizamos a seguinte fórmula: FV = PMT x {[ (1 + i) n 1 ] } i Obs.:Entre parênteses inclui essa divisão no final por i. Exemplo: O Sr. Manuel deposita R$ 2.000,00, mensalmente, em um fundo de investimento, durante 6 meses, à taxa de 3% ao mês. Qual o montante a ser recebido pelo Sr. Manuel? FV = PMT x {[ (1 + i) n 1 ] } i FV = x {[ (1 + 0,03) 6 1 ]} 0,03 FV = R$ ,82 38

39 Conforme o manual da calculadora HP 12C: ENTER 1 ENTER 0, y x 1 0,03 x = R$ ,82 Pelo teclado financeiro da calculadora HP 12C, é mais simples ainda chegar ao resultado: CHS PMT 6 n 3 i FV R$ , Prestações Antecipadas Prestações antecipadas são aquelas que são realizadas no início de cada período. Serve tanto para efetuar um pagamento com entrada à vista. Quando esse pagamento e/ou recebimento é feito em parcelas iguais, utilizamos a seguinte fórmula: FV = PMT x {[ _1 - (1 + i) -n ] } i Obs.:Entre parênteses inclui essa divisão no final por i. Exemplo: Quanto o Sr. Manuel precisará aplicar hoje, para que receba mensalmente R$ 2.000,00,durante 6 meses, à taxa de 3% ao mês? 39

40 y x FV = PMT x {[ _1 - (1 + i) -n ] } i FV = x {[ _1 (1 + 0,03) -6 _ ]} 0,03 FV = R$ ,38 Conforme o manual da calculadora HP 12C: ENTER 1 ENTER 1 ENTER 0, CHS 0,03 x = R$ ,38 Pelo teclado financeiro da calculadora HP 12C, como já foi visto anteriormente, é mais rápido e simples de chegar ao resultado: CHS PMT 6 n 3 i PV R$ ,38 Será feito agora um exemplo diário que acontece no comércio brasileiro das grandes lojas, mas o cliente muita das vezes por falta de conhecimento não sabe como proceder. 40

41 Um cliente entra na loja JJB eletros e verifica que há uma promoção de uma TV 32 polegadas em 10 prestações iguais de R$ 150,00 a um juros de 2% ao mês. Entra também na Móveis WMA e verifica que a mesma TV está com o seguinte preço 1 entrada de R$ 150,00 mais 9 prestações de R$ 150,00 com a mesma taxa de 2% ao mês. É a mesma coisa, ou faz alguma diferença? Proposta 1 Loja JJB 10 x R$ 150,00 Taxa de 2% ao mês. VP = PMT x {[ (1 + i) n 1 ] } (1 + i) n x i VP = 150 x {[ (1 + 0,02) 10 1 ]} (1 + 0,02) 10 x 0,02 VP = 150 x _0,218994_ 0, VP = 150 x 8, VP = R$ 1.347,38 Pela calculadora HP 12C: g 8 f CLX 150 CHS PMT 2 i 10 n VP = R$ 1.347,38 41

42 Proposta 2 Móveis WMA 1x R$ 150,00 à vista + 9 x R$ 150,00 Taxa de 2% ao mês. VP = PMT x {[ (1 + i) n 1 ] } + PMT (1 + i) n x i VP = 150 x {[ (1 + 0,02) 9 1 ]} (1 + 0,02) 9 x 0,02 VP = 150 x 0, , VP = ( 150 x 8, ) VP = 1.224, VP = R$ 1.374,33 Pela calculadora HP 12C: g 8 f CLX 150 CHS PMT 2 i 9 n VP = R$ 1.374,33 Pode se ainda utilizar a função Begin da Calculadora HP 12 C 42

43 Logo, o cálculo é feito da seguinte forma: g 7 f CLX 150 CHS PMT 2 i 10 n VP = R$ 1.374,33 É visto que o melhor financiamento é o 1º, porque eu não preciso pagar uma entrada e atualizando tudo para o valor presente, é onde eu pago o menor valor. Obs.: Antes de utilizar as teclas financeiras, verificar se a sua máquina contém no visor: Begin. Caso não tenha, digite as teclas g 7. Begin significa início do período, ou seja, quando a prestação é antecipada, ela é paga no início do período. Utilizando esse recurso, não precisa descontar a parcela de entrada, porém precisará informar a quantidade de parcelas, incluindo a entrada. Importante ressaltar que as teclas g BEG devem ser usadas somente em caso de prestações iguais, quando a parcela de entrada for igual às demais. A máquina, então, estará programada para cálculos com prestações antecipadas, e esta informação estará no visor, não sendo necessário repetir o comando a cada cálculo. Quando as prestações forem postecipadas, retirar este recurso do visor, com o comando: g 8. 43

44 CAPÍTULO VI Planos de Amortização Plano de Amortização é o processo de pagar um empréstimo ou financiamento, geralmente a longo prazo, durante um determinado período, no qual ao final deste período o débito consta totalmente liquidado. Esse pagamento é dividido em duas partes que contem uma parte da prestação que são juros do empréstimo concedido ao longo do tempo e a outra parte é exatamente a amortização da dívida deste empréstimo. A cada pagamento o saldo devedor é atualizado e mostra a real situação caso o cliente queira quitar esse financiamento naquele momento. De acordo com Carlos Patricio Samanez, (2006, p.207): A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos dos empréstimos ainda não amortizados. Dentro desse pagamento, constam os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos que são os encargos financeiros, a amortização, o saldo devedor e a prestação. Segundo Assaf, (2006, p. 344) há os seguintes significados destes principais termos: Encargos financeiros representam os juros da operação, caracterizando-se como custo para o devedor e retorno para o credor. Amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente mediante parcelas periódicas (mensais, trimestrais e etc.). Saldo Devedor representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização. Prestação é composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período de tempo.. 44

45 Existem vários tipos de sistema de amortização que são instituídos por instituições financeiras e bancos, mas os mais conhecidos são o Sistema de Amortização Francês conhecido também como o Sistema Price -, temos ainda o Sistema de Amortização constante (SAC), o Sistema de Amortização Misto (SAM), e também o Sistema de Amortização Americano Sistema de Amortização Francês O Sistema de Amortização Francês também é conhecido como Sistema Price. Suas principais atribuições são pagamentos do principal em prestações iguais, periódicas e sucessivas. Esse sistema é o mais utilizado por instituições financeiras e comércio em geral onde os Juros incidem sobre o saldo devedor que decresce na medida em que as prestações são pagas e ainda os juros são decrescentes e amortizações do valor principal são crescentes. Observando as informações acima, segue um exemplo e a fórmula de como se comporta esse sistema de amortização. A fórmula é essa: PMT = PV [((1 + i) n - 1)/ (1 + i) n x i ] Temos o seguinte exemplo: João financia uma moto no valor de R$ ,00 para ser paga em 4 meses pela Tabela Price a uma taxa de 5% ao mês.como fica esse valor de prestação e o fluxo financeiro? PMT = PV [((1 + i) n - 1)/ (1 + i) n x i ] PMT = [(( 1 + 0,05) 4 1) / (1 + 0,05) 4 x 0,05 PMT = [ 0, / 0, ] PMT = R$ 4.230, 18 45

46 Pela Calculadora HP 12C: g 8 f CLX ,00 CHS PV 4 n 5 i PMT = R$ 4.230,18 Agora, veja como fica esse fluxo financeiro: Sistema de Amortização Francês Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,82 R$ 3.480,18 R$ 750,00 R$ 4.230,18 2 R$ 7.865,63 R$ 3.654,19 R$ 575,99 R$ 4.230,18 3 R$ 4.028,73 R$ 3.836,90 R$ 393,28 R$ 4.230,18 4 R$ 0,00 R$ 4.028,73 R$ 201,44 R$ 4.230,18 1º Passo é fazer o cálculo pela fórmula para encontrar a prestação. 2º Passo é encontrar os juros, que nada mais é pegar o percentual utlizado e multiplicar pelo Saldo Devedor. 3º Passo é calcular a amortização que é simplesmente deduzir os juros da prestação. E o 4º e último passo é encontrada a amortização deduzir do Saldo Devedor, novo Saldo Devedor encontrado começa esse ciclo novamente, exceto a prestação que é fixa para os demais períodos Sistema de Amortização Constante (SAC) As principais atribuições do Sistema de Amortização Constante são que as quotas de amortização são iguais e as prestações são decrescentes, pois os juros diminuem a cada prestação; A amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento e esse tipo de sistema é muito uitlizado pelo 46

47 Sistema Financeiro da Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários. Utilizando o mesmo exemplo acima, mudando apenas para o Sistema de Amortização Constante, veremos a novo fluxo desse sistema. Exemplo: João financia uma moto no valor de R$ ,00 para ser pago em 4 meses pelo sistema de amortização constante a uma taxa de 5% ao mês.como fica esse valor de prestação e o fluxo financeiro? O 1º passo é encontrar o valor de prestação, e nesse sistema é mais fácil encontrar esse valor, basta pegar o valor de financiamento e dividir pelo prazo em questão. Amortização = Financiamento Prazo Amortização = ,00 4 Amortização = R$ 3.750,00 O 2º passo é calcular o saldo devedor, basta somente ver o saldo do mês e diminuir pelo valor de amortização que é valor encontrado na etapa anterior a essa. Exemplo: Se o saldo devedor são R$ ,00, e a amortização são R$ 3.750,00, consequentemente o novo saldo devedor será R$ ,00, e assim sucessivamente. O 3º passo é calcular os juros que é o percentual informado nesse exemplo multiplicado pelo saldo devedor em exercício (naquele momento). Exemplo: Se o saldo devedor são R$ ,00 e a taxa calculada são de 5%, logo os juros deste período são R$ 750,00. 47

48 O 4º e último passo, é só somar a amortização mais os juros para, encontrar o valor da prestação do período. Agora veja como fica esse fluxo financeiro: Sistema de Amortização Constante (SAC) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,00 R$ 3.750,00 R$ 750,00 R$ 4.500,00 2 R$ 7.500,00 R$ 3.750,00 R$ 562,50 R$ 4.312,50 3 R$ 3.750,00 R$ 3.750,00 R$ 375,00 R$ 4.125,00 4 R$ - R$ 3.750,00 R$ 187,50 R$ 3.937, Sistema de Amortização Misto O Sistema de Amortização Misto também é conhecido como SACRE, ele foi adotado recentemente pelo Sistema Financeiro da Habitação na liquidação de financiamentos da casa própria. Esse sistema é baseado no SAC e no Sistema Price, já que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações desses dois sistemas, nas mesmas condições de juros e prazos. Aproximadamente até a metade do período de financiamento, as amortizações são maiores que as do sistema Price. Como decorrência disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances de ter resíduo ao final do contrato, como ocorre comumente no sistema Price; Agora, vendo pelo mesmo exemplo, só que com esse sistema: Exemplo: João financia uma moto no valor de R$ ,00 para ser pago em 4 meses pelo sistema de amortização misto a uma taxa de 5% ao mês.como fica esse valor de prestação e o fluxo financeiro? Bem, esse para se basear melhor, observaremos as tabelas que estão aqui acima e visualizaremos como fica cada financiamento, tendo em vista que amortização, juros e prestação é sempre a média do Sistema de Amortização Francês e o Sistema de Amortização Constante. 48

49 Sistema de Amortização Francês Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,82 R$ 3.480,18 R$ 750,00 R$ 4.230,18 2 R$ 7.865,63 R$ 3.654,19 R$ 575,99 R$ 4.230,18 3 R$ 4.028,73 R$ 3.836,90 R$ 393,28 R$ 4.230,18 4 R$ 0,00 R$ 4.028,73 R$ 201,44 R$ 4.230,18 Sistema de Amortização Constante (SAC) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,00 R$ 3.750,00 R$ 750,00 R$ 4.500,00 2 R$ 7.500,00 R$ 3.750,00 R$ 562,50 R$ 4.312,50 3 R$ 3.750,00 R$ 3.750,00 R$ 375,00 R$ 4.125,00 4 R$ - R$ 3.750,00 R$ 187,50 R$ 3.937,50 Agora, como fica no Sistema de Amortização Misto: Sistema de Amortização Misto (SACRE) Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,91 R$ 3.615,09 R$ 750,00 R$ 4.365,09 2 R$ 7.682,82 R$ 3.702,10 R$ 569,25 R$ 4.271,35 3 R$ 3.889,37 R$ 3.793,45 R$ 384,14 R$ 4.177,59 4 R$ - R$ 3.889,37 R$ 194,47 R$ 4.083, Sistema de Amortização Americano O Sistema de Amortização Americano é diferente dos aplicados aqui no país, ele não possui uma prestação de amortização mais juros, mas somente os juros e ao final do período de financiamento paga-se os juros do mês mais o valor principal. De acordo com Assaf, (2006, p. 365): O Sistema de Amortização Americano estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não se prevê, de acordo com esta característica básica do 49

50 Sistema de Amortização Americano, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Partindo do mesmo exemplo aplicado nos outros sistemas: Exemplo: João financia uma moto no valor de R$ ,00 para ser pago em 4 meses pelo sistema de amortização misto a uma taxa de 5% ao mês.como fica esse valor de prestação e o fluxo financeiro? Veja como fica o fluxo financeiro deste sistema de amortização. Sistema de Amortização Americano Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 R$ ,00 1 R$ ,00 R$ 0,00 R$ 750,00 R$ 750,00 2 R$ ,00 R$ 0,00 R$ 750,00 R$ 750,00 3 R$ ,00 R$ 0,00 R$ 750,00 R$ 750,00 4 R$ 0,00 R$ ,00 R$ 750,00 R$ ,00 50

51 CAPÍTULO VII Análise de Investimento O objetivo da análise de investimento é identificar se um projeto ou investimento é viável, se ele após um determinado período garante ao investidor o retorno do capital investido. De acordo Carlos Patricio Samanez, (2002, p. 253): Orçamentação de Capital é o nome dado ao processo de decisões de procura e aquisição de ativos de longo prazo com esse fim, existem várias técnicas, métodos, convenções e critérios decisórios que são comumente utilizados na análise e no processo decisório. Dentre os métodos de seleção de uma análise para investimento existem algumas principais que analisaremos que são o Método de Payback, o Método de Payback Descontado, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o mais conhecido e mais praticado com maior segurança, o Valor Presente Líquido (VPL) Payback O sistema de payback não considera o fator de correção do dinheiro ao longo do tempo, ele não avalia se no retorno o capital sofreu alguma alteração. Um capital é investido e a grosso modo quando no passar dos períodos o retorno chega ao valor de capital investido, logo se diz que o projeto é viável. De acordo com o site, ( Payback é o tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento. Qualquer projecto de investimento possui de início um período de despesas (em investimento) a que se segue um período de receitas liquidas (liquidas dos custos do exercício). As receitas recuperam o capital investido. O período de tempo necessário para as receitas recuperam a despesa em investimento é o período de recuperação. O período de recuperação pode ser considerado com o cash-flow atualizado ou sem o cash-flow atualizado. Trata-se de uma das técnicas de análise de investimento alternativas ao método do Valor presente 51

52 líquido (VPL). Sua principal vantagem em relação ao VPL é o payback leva em conta o prazo de retorno do investimento e, conseqüentemente, é mais apropriado em ambientes de risco elevado. Investimento implica saída imediata de dinheiro; em contrapartida, espera-se receber fluxos de caixa que compensem essa saída ao longo do tempo. O payback consiste no cálculo desse tempo (em número de períodos, sejam meses ou anos) necessário à recuperação do investimento realizado. Exemplo: Henrique pretende comprar uma máquina, e precisa dispor de R$ ,00. A duração desse equipamento são de 5 anos. O retorno das vendas devido a máquina nos anos são os seguintes valores. Ano 1 = R$ ,00, nos anos 2 e 3 são de R$ ,00 e nos dois últimos anos de R$ ,00. A taxa de 2%. Pelo método de Payback, aceita ou recusa o projeto? Método de Payback Ano Investimento Entradas Acumulado 0 -R$ ,00 1 R$ ,00 R$ ,00 2 R$ ,00 R$ ,00 3 R$ ,00 R$ ,00 4 R$ ,00 R$ ,00 5 R$ ,00 R$ ,00 Pelo método de payback, o projeto é aceito porque no 4º ano consegue resgatar o valor investido Payback Descontado Pelo método de Payback Descontado é feito um cálculo que leva em consideração o tempo, colocando a taxa a mesma unidade de tempo. A fórmula utilizada é a de juros compostas, transformando o valor de anos para atualidade, ou seja, o valor presente. Se: FV = PV (1 + i) n Então: PV = FV (1 + i) n 52

53 Pelo mesmo exemplo acima, analisemos: Exemplo: Henrique pretende comprar uma máquina, e precisa dispor de R$ ,00. A duração desse equipamento são de 5 anos. O retorno das vendas devido a máquina nos anos são os seguintes valores. Ano 1 = R$ ,00, nos anos 2 e 3 são de R$ ,00 e nos dois últimos anos de R$ ,00. A taxa de 2%. Pelo método de Payback Descontado, aceita ou recusa o projeto? Fluxo de Caixa 1 PV = (1 + 0,02) 1 PV FC1 = R$ ,76 Fluxo de Caixa 2 PV = (1 + 0,02) 2 PV FC2 = R$ ,22 Fluxo de Caixa 3 PV = (1 + 0,02) 3 PV FC3 = R$ ,06 Fluxo de Caixa 4 PV = (1 + 0,02) 4 PV FC4 = R$ ,91 53

54 Fluxo de Caixa 5 PV = (1 + 0,02) 5 PV FC5 = R$ ,62 fica assim: Pelo Método de Payback Descontado, a tabela com o fluxo financeiro Método de Payback Ano Investimento Entradas Acumulado 0 -R$ ,00 1 R$ ,76 R$ ,76 2 R$ ,22 R$ ,98 3 R$ ,06 R$ ,04 4 R$ ,91 R$ ,95 5 R$ ,62 R$ ,57 Já por esse método, é possível verificar que projeto é viável, porém somente a partir do 5º ano Taxa Interna de Retorno (TIR) É a taxa de retorno esperada do projeto de investimento. O método da taxa interna de retorno (TIR) não tem como finalidade a avaliação da rentabilidade absoluta a um determinado custo do capital (processo de atualização), como o VPL, mas, ao contrário, seu objetivo é encontrar uma taxa intrínseca de rendimento; Conforme o site, ( Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação : O objetivo da TIR é encontrar uma taxa que anule (zerar) o VPL. 54

55 O mais comum é fazer manualmente lançando taxas que chegue ao valor mais próximo de atingir o VPL zero, assim essa é a melhor taxa interna de retorno. Partindo do mesmo exemplo: Exemplo: Henrique pretende comprar uma máquina, e precisa dispor de R$ ,00. A duração desse equipamento são de 5 anos. O retorno das vendas devido a máquina nos anos são os seguintes valores. Ano 1 = R$ ,00, nos anos 2 e 3 são de R$ ,00 e nos dois últimos anos de R$ ,00. Pelo método da TIR, aceita ou recusa o projeto? Pela calculadora HP 12C: f CLX ,00 CHS g CF o ,00 g CF j ,00 g CF j ,00 g CF j ,00 g CF j ,00 g CF j f IRR = 6,92% ao ano, para que o projeto seja viável Valor Presente Líquido (VPL) O Valor Presente Líquido (VPL) é uma das melhores, senão a melhor alternativa de verificar se um projeto ou investimento é viável ou não. Ele leva em conta todos os fluxos financeiros trazendo para o presente a taxa e transformando o dinheiro com o passar dos períodos. É o método mais eficaz. De acordo com Mendonça, Boggiss, Gaspar e Henriger, da FGV Manegement (2006, p. 100): O Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa é a soma algébrica de todas as entradas e saídas de caixa, cada uma delas descontada à taxa mínima de atratividade, para uma mesma data escolhida como data de origem. O VPL de um fluxo de caixa de investimento ou de pagamento não permite 55

56 medir diretamente a taxa de retorno do investimento ou a taxa de juros do pagamento, e sim o seu resultado em termos de valor monetário na data de origem. Para um fluxo de entrada contínuo, a fórmula será: VPL = - Investimento + FC (1 + i ) n Caso o fluxo tenha entradas de diferentes valores, a fórmula será: VPL = - Investimento + FC 1 + FC FC n (1 + i) 1 (1 + i) 2 (1 + i) n Com o mesmo exemplo, analisemos: Exemplo: Henrique pretende comprar uma máquina, e precisa dispor de R$ ,00. A duração desse equipamento são de 5 anos. O retorno das vendas devido a máquina nos anos são os seguintes valores. Ano 1 = R$ ,00, nos anos 2 e 3 são de R$ ,00 e nos dois últimos anos de R$ ,00. A taxa de 2%.Pelo método da VPL, aceita ou recusa o projeto? VPL = _30.000_ + _25.000_ + _25.000_ + _20.000_ + _20.000_ (1+0,02) 1 (1+0,02) 2 (1+0,02) 3 (1+0,02) 4 (1+0,02) 5 VPL = , , , , ,62 VPL = ,57 VPL = R$ ,57 Com isso, neste exemplo, verificamos que o projeto é viável. Pela calculadora HP 12C: 56