Matemática Financeira

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1 Prof. Ms. João Domiraci Paccez aula 02

2 Conversão de Taxas de Juros Aula 2 Ao final desta aula você : - Estará apto a converter taxas de juros de uma unidade de tempo para outra em qualquer um dos dois regimes de capitalização.

3 Exemplo Taxas de Juros Unidade de Tempo Prazos É necessária a CONVERSÃO da taxa de juros para a mesma unidade de tempo das parcelas.

4 Exemplo: Você tem duas parcelas para receber de uma determinada pessoa: 1 Parcela Vencimento 1 mês $ Parcela Vencimento 3 mês $1.500

5 Se o devedor estiver disposto a liquidar integralmente a dívida hoje e você dispuser de uma alternativa de aplicação que anuncia a taxa de juros de 24% a.a., qual o menor valor que estaria disposto a receber em troca das duas parcelas da dívida?

6 Conversão de Taxa de Juros Regime de Capitalização Simples i = 24% a.a. P 1 = P 3 = P P 0 = 1 P + 3 (1+ i x 1) (1+ i x 3)

7 Prazos Taxa de Juros mês ano É necessário converter a Taxa Juros que está na unidade ANO para a unidade de tempo dos prazos MÊS.

8 Problema Os prazos estão na unidade de mês e a taxa de juros está na unidade de ano. Como converter a taxa de juros da unidade de ano para mês no Regime de Capitalização Simples?

9 Conceito de Equivalência de Taxas Conceito de Equivalência de Taxas Equação para a conversão de taxas de uma unidade de tempo para outra

10 i 1 válida para o período de tempo n 1 i 2 válida para o período de tempo n2 Taxas de Juros Capital (C) que será aplicado por um certo prazo Prazo = x. n 1 = y. n 2

11 Se aplicarmos C à taxa de juros i 1 : M 1 =C x (1 + x. i 1 ) Se aplicarmos C à taxa de juros i 2 : M 2 =C x (1 + y. i 2 )

12 i 1 é EQUIVALENTE a i 2 se M 1 = M 2

13 Conversão de Taxas de Juros Relação Matemática entre as taxas i 1, expressa na unidade de tempo n 1, e i 2, expressa na unidade de tempo n 2. M 1 = M 2 C x (1 + x. i 1 ) = C x (1 + y. i 2 ) 1 + x. i 1 = 1 + y. i 2 x. i 1 = y. i 2 i 1 i 2 = y x x. n 1 = y. n 2 y x = n 1 n 2 i 1 i 2 = n 1 n 2

14 Conversão de Taxas de Juros Equação para conversão de uma taxa de juros de uma unidade de tempo para outra unidade de tempo, no Regime de Capitalização Simples i i = 2 x n 1 1 n2 Convenções: i 1 >> taxa de juros a ser determinada i 2 >> taxa de juros conhecida n 1 >> período de tempo da taxa de juros a ser determinada n 2 >> período de tempo da taxa de juros conhecida

15 Conversão de Taxas de Juros No exemplo, precisamos converter a taxa de juros de 24% a.a. para uma taxa de juros equivalente na unidade de mês para o Regime de Capitalização Simples.

16 Solução Conversão de Taxas de Juros Conversão da taxa ao ano para taxa ao mês n 1 e n 2 devem sempre estar na mesma unidade de tempo i 1 =? i 2 = 24% n 1 = 1 mês n 2 = 1 ano = 12 meses i i 2 x n 1 n 1 2 0,24 = i = x i 1 = 2,0%a.m.

17 Solução Capitalização Simples P 1 P P 0 = + 3 (1+ i x 1) (1+ i x 3) P 0 = + (1+ 0,02 x 1) (1+ 0,02 x 3) P 0 = 1.274, ,09 P 0 = 2.689,60

18 Com a taxa de juros de 24% a.a. e o Regime de Capitalização Simples, poderíamos receber $2.689,60 antecipadamente para liquidar as duas parcelas com vencimento nos meses 1 e 3.

19 Conversão de Taxa de Juros Regime de Capitalização Composta i = 24% a.a. P 1 = P 3 = P P 0 = 1 P + 3 (1+ i ) 1 (1+ i ) 3 Necessidade de conversão da Taxa de Juros

20 Equivalência de Taxas Os prazos estão na unidade de mês e a taxa de juros está na unidade de ano. Como converter a taxa de juros da unidade de ano para mês no Regime de Capitalização Composta?

21 i 1 é EQUIVALENTE a i 2 quando... Equivalência de Taxas... qualquer uma delas aplicadas a um mesmo Capital e no mesmo prazo gerarem o mesmo montante.

22 Se aplicarmos C à taxa de juros i 1 : M 1 =C x (1 + i 1 ) x Se aplicarmos C à taxa de juros i 2 : M 2 =C x (1 + i 2 ) y

23 Conversão de Taxas de Juros M 1 = M 2 C x (1 + i 1 ) x = C x (1 + i 2 ) y (1 + i 1 ) x = (1 + i 2 ) y x. n 1 = y. n 2 y x = n 1 n i 1 = (1+ i 2 ) y/x 1 + i 1 = (1+ i 2 ) n1/n2 i 1 = (1+ i 2 ) n1/n2-1

24 Conversão de Taxas de Juros Equação para conversão de uma taxa de juros de uma unidade de tempo para outra unidade de tempo no Regime de Capitalização Composta Convenções: n 1 n2 i = 1 ( 1 + i2 ) 1 x100 i 1 >> taxa de juros a ser determinada i 2 >> taxa de juros conhecida n 1 >> período de tempo da taxa de juros a ser determinada n 2 >> período de tempo da taxa de juros conhecida

25 Conversão de Taxas de Juros No exemplo, precisamos converter a taxa de juros de 24% a.a. para uma taxa de juros equivalente na unidade de mês para o Regime de Capitalização Composta.

26 Solução Conversão de Taxas de Juros Conversão da taxa ao ano para taxa ao mês n 1 e n 2 devem sempre estar na mesma unidade de tempo i 1 =? i 2 = 24% n 1 = 1 mês n 2 = 1 ano = 12 meses i n1 n = ( 1 + i2 ) i ) 1 (1 0,24 1 x100 = + 1 x i 1 = 1, %a.m.

27 Solução Capitalização Composta P P 0 = 1 P + 3 (1+ i ) 1 (1+ i ) P 0 = (1+ 0, ) (1+ 0, ) 3

28 Solução Capitalização Composta Na Calculadora Financeira: n 1 i 1, PMT 0 FV n 3 i 1, PMT 0 FV PV 1.276,90 PV 1.421,46 P 0 = 2.698,36

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