ELETROTÉCNICA (ENE078)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenhara Cvl ELETROTÉCNICA (ENE078) PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES E-mal: Aula Número: 19

2 Importante... Crcutos com a corrente adantada em relação à tensão Predomnânca de elementos capactvos Crcuto capactvo Crcutos com a corrente atrasada em relação à tensão Predomnânca de elementos ndutvos Crcuto ndutvo Análse de crcutos sem necessdade de cálculo de dervadas e ntegras Resstênca, reatânca ndutva e reatânca capactva

3 Solução de crcutos CA... Tensões e correntes alternadas até aqu... Como somar? v T t = v 1 t = V m1 sen wt + θ 1 + v t = V m sen wt + θ? Soma ponto a ponto... Processo dfícl e mprodutvo Em crcutos CA, sto acontecerá váras vezes... 3

4 Solução de crcutos CA... Como calcular a soma algébrca de duas ou mas tensões ou correntes senodas? Soma ponto a ponto Invável para os cálculos manuas Representação de uma senóde por meo de um número complexo Operações algébrcas com números complexos são smples RESPOSTA: Números complexos 4

5 Conceto Números Complexos Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos: Qual o resultado da operação X² + 1 = 0? X² = -1 X = -1 5

6 Conceto Por sso, fo crado um número especal, que denomnamos algebrcamente como, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematcamente: ² = -1 = -1 Esse novo conceto possbltou a resolução da equação mostrada anterormente 6

7 Conceto Desse modo: X² + 1 = 0 X = -1 (como = -1) X = 7

8 Conceto Assm, fo crado um novo conjunto numérco denomnado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números magnáros, que representamos pela letra C. Conjunto dos números complexos = C 8

9 Relação fundamental O conjunto dos números complexos possu, desse modo, a relação fundamental onde: ² = -1 ou = -1 9

10 Exemplos - = (-1) -4 = 4(-1) Aplcando a relação fundamental: - = Aplcando a relação fundamental: -4 = 10

11 Forma algébrca O número complexo possu uma parte real e outra magnára. Como a parte magnára conta com a presença do, sua forma algébrca é a + b Parte real Parte magnára 11

12 Forma algébrca Um número complexo que não possu parte real (a = 0) é denomnado número complexo puro. Um número complexo que não possu a parte magnára (b = 0) é denomnado número real e os números magnáros que possu ambas as partes são smplesmente chamados de números complexos. 1

13 + 4 número complexo 8 - número complexo 6 número complexo puro 4 número real - número complexo puro Exemplos ² número real 13

14 Conjugado de um número complexo Um número complexo z = a + b possu um conjugado, representado por z, onde: z = a b (lê-se conjugado de z) 14

15 z = 4 z = + 4 z = z = - z = 1 + z = 1 - z = z = z = -3 8 z = Exemplos 15

16 Operações com números complexos na forma algébrca Como os números reas possuem forma real e magnára separadas, as operações de adção, subtração, multplcação, dvsão e potencação dferem um pouco das habtuas com números reas. 16

17 Adção e subtração com números complexos na forma algébrca Para somar e subtrar números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e magnára separadamente. (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) (a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d) 17

18 Exemplos ( + 4) + (3 + ) = ( + 3) + (4 + 1) = (1 + 4) ( - 7) = (1 - ) + (4 + 7) = (3 + ) (4 + ) = (3-4) + (1-1) = -1 + ( + 4) = + (1 + 4) =

19 Multplcação com números complexos na forma algébrca Para efetuar a multplcação aplca-se smplesmente a dstrbutva: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd² (a + b)(c + d) = ac + ad + bc bd (a + b)(c + d) = (ac bd) + (ad + bc) 19

20 Exemplos ( + 3)(1 + ) = ² = = (1 + ) = + ( )( 3 + ) = ² =

21 Dvsão com números complexos na forma algébrca Para se dvdr números complexos, deve-se multplcar ambos os números pelo conjugado do complexo do denomnador: z1 z z z 1. z. z 1

22 Exemplo a ) )(1 (1 ) )(1 (3 1 3

23 Potêncas de Nas potêncas de notam-se regulardades de quatro em quatro no expoente:

24 Potêncas de Assm, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão = 3 = - 4

25 Número complexo no plano de Argand-Gauss Os números complexos podem ser representados em um plano, onde a reta das abscssas é a reta dos números reas e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denomnado plano de Argand-Gauss. Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + : y (reta magnára) z = x (reta dos reas) 5

26 Módulo e Argumento No gráfco, o módulo de um número complexo z = a + b () é o segmento de reta que va do ponto orgem O (0,0) até o ponto do P (a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o exo das abscssas em sentdo ant-horáro. = arg(z) z = a + b 6

27 Módulo e Argumento a =arg(z) z = a + b b z a b b sn a cos tan b a arctg b a 7

28 Forma trgonométrca Utlzando as relações dadas no slde anteror e aplcando-as à forma algébrca, obtemos a forma trgonométrca de um número complexo. sn cos b b sn a a cos z a b z cos sn z (cos sn ) 8

29 Exemplo Passar para a forma trgonométrca o número complexo z = sn 3 cos ) sn (cos 3 ) arg( 1 cos 3 sn z z z x x 9

30 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Multplcação Multplcam-se os módulos e somam-se os argumentos: z z cos( ) sn( ) 30

31 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Dvsão Dvdem-se os módulos e subtraem-se os argumentos: z z 1 1 cos sn

32 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Potencação Eleva-se o módulo à potênca n e multplcam-se os argumentos por n: z n z n cos n sn n 3

33 Operações com números complexos na forma trgonométrca Radcação De forma análoga à potencação, para efetuar a radcação com números complexos na forma trgonométrca utlzamos a formula: k k w n z cos sn n n k 0,1,,..., n 1 33

34 Resumo... Forma retangular Exos real e magnáro no quadro j parte real parte magnára j undade magnára j 1 34

35 Forma polar ou trgonométrca Resumo... Exos real e magnáro no quadro módulo ângulo cos arctan sn 35

36 Resumo... Operações matemátcas Complexo conjugado * j j Adção e subtração Adconar e subtrar as partes real e magnára 1 1 j1 j j

37 Operações matemátcas Multplcação Multplcar termo a termo 1 1 j1 j Resumo... j j Na forma polar, multplcar os módulos e somar os ângulos

38 Operações matemátcas Dvsão Resumo... Raconalzar o denomnador 1 1 j1 1 1 j1 j j j j Dvsão Na forma polar, dvdr os módulos e subtrar os ângulos 1 j1 j 1 1 j1 j j

39 Importante... Representação de uma senóde por meo de um número complexo sn g t A t G A m m Para soma de senódes como g(t), podemos utlzar a álgebra de números complexos sob os fasores G A álgebra de fasores só pode ser aplcada a formas de onda senodas de mesma frequênca!!! 39

40 Orgem? Hstóra... A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemátca da área específca da análse complexa, que mostra uma relação entre as funções trgonométrcas e a função exponencal. (A dentdade de Euler é um caso especal da fórmula de Euler). A fórmula é dada por: 40

41 Hstóra... Orgem? Euler: Defasagem x = ρe = ρcos + ρsen v t = V m sen wt + θ V m e (wt+θ) = V m e wt e θ Osclação 41

42 Hstóra... v t = V m sen wt + θ V m e (wt+θ) = V m e wt e θ V m [cos (wt + θ) + sen (wt + θ)] aplcação fórmula de Euler 4

43 FASORES Fasor Defnção: O fasor é um vetor bdmensonal (plano complexo ou de Argand-Gauss) para representar uma onda em movmento harmônco smples. Observação 1: O exo-x do dagrama fasoral é o exo dos reas e o exo-y é o exo dos magnáro Dagrama fasoral genérco Observação : O sentdo de rotação do fasor é o ant-horáro. 43

44 FASORES Fasor Aplcação: O comportamento da tensão e corrente em CA para os dversos elementos de crcutos já estudados é senodal/cosenodal. Isso permte a comparação a segur: Dagrama fasoral da tensão CA (senodal) Onde: α = ωt (ângulo varável com o tempo) 44

45 FASORES Fasor Aplcação: A análse anteror propca a segunte decomposção fasoral do comportamento das tensões e correntes em CA. Domíno do Tempo rms Domíno da frequênca 45

46 FASORES Fasor Exemplo: Dado o crcuto abaxo determne (t). Represente o dagrama fasoral com v(t) e (t). Dado: v(t) (t) R = 100Ω v(t) = 100sen(ωt) [V] Resposta: (t) = 1sen(ωt) [A] I m.fasor: v t = V m sen ωt + θ 0 V = V m θ 0 v t = 100 sen ωt + 0 V = t = 1 sen ωt + 0 I = 1 0 I = 1 0 V = R e 46

47 Alguma dúvda? Crcutos em Corrente Alternada E-mal: Sala: 473, ao lado do R.U. Horáro preferencal: ª e 4ª Fera pela manhã 47