TE210 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

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1 TE0 FUNDAMENTOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS Números Complexos Introdução hstórca. Os números naturas, nteros, raconas, rraconas e reas. A necessdade dos números complexos. Sua relação com o mundo físco real. Defnção. O plano complexo. Propredades algébrcas. Módulo e conjugado. Propredades do valor absoluto. Desgualdade do trângulo. Exercícos.

2 Introdução hstórca Naturas Raconas Negatvos (Interos) Irraconas (reas) Imagnáros (Complexos) Números complexos Os números complexos e o mundo real. Como é possível que exsta a (-) ½? Lembremos que ()½ levou aos números reas (relaconados com a realdade físca) Complexos: Em 545 foram ntrodudos como uma combnação do tpo ab onde a e b são reas. Soma, dferença, multplcação e dvsão! Exemplos. Todas as regras da álgebra são satsfetas pelos complexos! Todos os números agora possuem ra! (nclundo ra 999, ou π, ou ) Teorema Fundamental da álgebra! (toda eq. Polnomal tem solução) ()

3 Números complexos Tudo começou com a procura de soluções para as equações cúbcas (Cardano, 545). Estudo da convergênca de séres e outros. Defnção Os números complexos fcam determnados pelas seguntes regras:. -. a a. ab cd sgnfca que ac e que bd 4. (ab) (cd) (ac) (bd) 5. (ab) (cd) (ac-bd) (adbc) Exercícos: (-5) ()? (-) 50 8? / - 0 ()

4 Números complexos O Plano Complexo Dado um número complexo xy sua parte real é Re x e sua parte magnára é Im y. Conjunto das representações de todos os números complexos xy pelos pontos P (x,y) do plano. Desta forma os números complexos se somam e subtraem utlando as conhecdas regras aplcáves a vetores. Módulo e Complexo Conjugado Defnção: o módulo do número complexo ab é o número não negatvo: a b Como se observa é a dstânca do ponto à orgem O. O complexo conjugado de xy é defndo como sendo: x Calcule? y (4)

5 Números complexos (5) Esta propredade nos permte calcular os cocentes de números complexos! ( ) y x y x x y y y x x Verfcar: Im Re

6 Exercícos. Redur à forma ab as seguntes expressões: 7 5 ( 4 ). Mostre que, conforme a dvsão de N por 4 seja ero,,, ou teremos que: N n 0 n "" ou " " ou " ". Redur à forma ab as seguntes expressões: 4 [ ] 4. Mostre que: Re ( ) (6)

7 . Redur à forma ab as seguntes expressões: (7) Exercícos para casa 5 6 ( ) Mostre que: ( ) ( ) ( ) y x y x y x. Redur à forma ab as seguntes expressões: 0 ( ) 4. Mostre que: ( ) ( ) 5 Im

8 Representação Polar ou Trgonométrca r (cos ϕ sen ϕ) r ϕ - argumento de (o problema do valor de ϕ!) Fórmulas do produto e do quocente r (cos ϕ sen ϕ ) r (cos ϕ sen ϕ ) r r (cos ϕ sen ϕ ) (cos ϕ sen ϕ ) r r (cos ϕ cos ϕ - sen ϕ sen ϕ ) (sen ϕ cos ϕ cos ϕ sen ϕ ) r r [cos (ϕ ϕ ) sen (ϕ ϕ )] Obter a formula da dvsão! / r /r [cos (ϕ - ϕ ) sen (ϕ - ϕ )] (8)

9 Fórmula de De Movre No caso da multplcação de n fatores teremos: 4... n? r r [cos (ϕ ϕ... ϕ n ) sen (ϕ ϕ... ϕ n )] Quando os fatores são guas obtemos a fórmula de Movre (cos ϕ sen ϕ) n cos nϕ sen nϕ No caso de expoentes negatvos... (cos ϕ sen ϕ) -n cos (-nϕ) sen (-nϕ) (9)

10 Exercícos. Determne o argumento dos números complexos a segur, escreva esses números na forma polar e represente-os geometrcamente. 4. Redur os complexos e à forma polar, determne as formas polares de / e. Represente os quatro números num gráfco.. Provar que: cosθ cos θ - cosθ sen θ (0)

11 Exercícos para casa. Determne o argumento dos números complexos a segur, escreva esses números na forma polar e represente-os geometrcamente.. Redur os complexos e à forma polar, determne as formas polares d / e. Represente os quatro números num gráfco.. Provar que: senθ -sen θ cos θ senθ 4. Obter formulas análogas para o cos4θ e o sen4θ ()

12 Propredades do valor absoluto As seguntes propredades são de verfcação medata Re < Im < A propredade segue da segunte observação: ( )( ) ( )( ) e extrando a ra temos a demonstração A propredade Demonstrar! ()

13 A propredade Propredades do valor absoluto segue de: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Re ( ) e extrando a ra temos a demonstração Interpretação: E para -? - Pos - ()

14 Propredades do valor absoluto Outra propredade muto mportante é - Demonstrar e nterpretar! E -? - Agora se chamamos - a podemos reescrever as desgualdades: a -a a - (4)

15 Exercícos. Provar que: - -. Provar que se vale a desgualdade anteror então ± (5)

16 . Mostre que: (6) Exercícos para casa 7 5. Supondo ser >, prove que:. Provar que: ( )( ) 5 x y () / onde x y

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