PROBLEMAS SOBRE PONTOS Davi Máximo (UFC) e Samuel Feitosa (UFC)

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1 PROBLEMS SOBRE PONTOS Dav Máxmo (UFC) e Samuel Fetosa (UFC) Nível vançado Dstrbur pontos num plano ou num espaço é uma tarefa que pode ser realzada de forma muto arbtrára Por sso, problemas sobre pontos podem ser de dversas naturezas Nesse artgo, trataremos as prncpas técncas para resolver esses tpos de problemas, Fecho Convexo Pense no segunte: dados n pontos num plano, podemos escolher alguns deles formando o únco polígono convexo que contém, junto com seu bordo e seu nteror, todos os n pontos Tal afrmação pode ser provada por ndução (que alas, é uma ferramenta que sempre deve ser lembrada em problemas de matemátca dscreta em geral) Tal polígono é chamado o fecho convexo desses n pontos Vamos ver que tão pouco já nos ajuda bastante em alguns problemas sobre pontos PROBLEM Seja S um conjunto fnto de pontos, não havendo três colneares, tal que dados quasquer 4 pontos de S eles formam um quadrlátero convexo Mostre que S é um conjunto de vértces de um polígono convexo Seja H o fecho convexo de S H C P B Suponha um ponto P de S no nteror de H Escolha uma trangulação de H (assm como o fecho convexo, é smples provar que todo polígono convexo pode ser dvddo por trângulos tendo como lados dagonas ou lados do polígono, tente ndução) ssm, P fca no nteror de algum trângulo BC Logo, o quadrlátero BCP não é convexo, absurdo! Portanto, S não pode ter pontos no nteror do seu fecho convexo, donde S é convexo, já que S não contém três pontos colneares Os próxmos problemas são resolvdos smlarmente PROBLEM Mostre que dados pontos, não três colneares, exste um quadrlátero convexo com vértces nesses pontos PROBLEM Mostre que dado qualquer conjunto fnto de pontos no plano exste uma reta por dos destes pontos que dvde o plano em dos sem-planos de modo que um desses sem-planos não contém nenhum ponto do conjunto PROBLEM 4 (Lsta Cone Sul 00) É possível que a reunão de um número fnto de quadrláteros não convexos seja um polígono convexo? Podemos defnr fecho convexo para um conjunto X qualquer do plano Ele é o menor conjunto convexo que contém X

2 Defnção: O fecho convexo H de X é a nterseção de todos os conjuntos convexos do plano que contém X Dexamos para o letor a verfcação dos seguntes fatos: -) H é convexo -) No caso de um conjunto com um número fnto de pontos esta defnção mplca que H é um polígono convexo cujos vértces pertencem a este conjunto PROBLEM Dado um conjunto de N dscos de raos untáros Esses círculos podem se ntersectar (mas não π concdr) Mostre que exste um arco de comprmento maor ou gual a pertencendo à N crcunferênca de um desses dscos que não é coberto por nenhum outro dsco (IDÉI D SOLUÇÃO) Consderemos o fecho convexo H desse conjunto de dscos Um arco que esteja na borda do fecho convexo não pode ser coberto por outro dsco Mostre que a junção de todos os arco no bordo de H é um círculo de rao untáro Como este círculo tem perímetro π e no máxmo juntamos N arcos, pelo menos um dos arcos da junção é maor π ou gual a N PROBLEM 6 (OBM 96) Exste um conjunto de n pontos ( n ) em um plano tal que: ) não contém três pontos colneares; ) dados quasquer três pontos pertencentes a, o centro da crcunferênca que contém estes pontos também pertence a? Os próxmos dos problemas são de IMO e podem ser resolvdos usando só fecho convexo (na realdade, muta raça também, que é algo mprescndível em qualquer problema, prncpalmente de IMO) PROBLEM 7 (IMO 99/) Determne todos os conjuntos fntos S de pontos do plano com pelo menos três elementos que satsfazem a segunte condção: Para quasquer dos pontos dstntos e B de S, a medatrz do segmento B é um exo de smetra de S (Veja a solução desse problema por Fabríco Squera Benevdes na Eurea! N 6) PROBLEM 8 (IMO 9/) Determne todos os nteros n > para os quas exstem n pontos,,, n no plano, e números reas r, r, rn satsfazendo as condções: não há três pontos, j, colneares; para cada trpla,j, ( < j < n ) o trângulo j tem área r + rj + r Vamos fazer o caso n Consdere, dentre os n pontos, cnco pontos,,,, e seu fecho convexo Temos três casos:

3 Caso: O Fecho Convexo é um trângulo Podemos assumr que tal fecho é o trângulo, 4 e estão no nteror de, com fora de e 4 fora de (faça uma fgura) Podemos supor que os trângulos e têm nterores dsjuntos Segundo nossa notação para áreas, temos: r + r + r = [ ] > [ ] + [ ] = r + r + r + r + r, donde 0 > r + r + r = [ ], absurdo! 4 4 Caso: O Fecho Convexo é um quadrlátero Suponha no nteror do fecho convexo Note que [ ] = [ ] + [ ] = [ ] + [ ] e portanto, ( r + r + r ) + ( r + r ) = ( r + r ) + ( r + r ) r + r = r Logo, [ ] = ( r + r + r + ) Também, 4 r4 [ ] = [ ] + [ ] + [ ] + [ ] Logo, temos r = ( r + r + r ) 8 = [ ] < 0,, quadrláteros, é convexo Dgamos, r + r = r4 + r e portanto, fcamos com r colneares, temos r = r ou r ssm, três dos números, r, r, r4, r gora, observe que como não são colneares, podemos supor um dos lados de < 80 Então, um dos área negatva bsurdo! convexo Então, temos r = nalogamente, usando que,, não são r são negatvos, obtendo uma Caso: O Fecho convexo é um pentágono Suponha que r seja o menor deles Traçando uma paralela l por à reta Como [ ] = r + r r + r = [ ], pertence a l ou ao semplano defndo por l oposto ao e, analogamente 4 Como,, não podem estar todos em l, temos > 80, absurdo! Logo, n 4 Um exemplo para n = 4 é um quadrado de lado com r = r = r = r4 = 6 Fnalzamos essa parte com dos problemas bontnhos PROBLEM 9 (USMO 00) Seja n um ntero postvo maor que Suponha que são dados n pontos no plano, não havendo três colneares Suponha que n dos n são pntados de azul e os outros n de vermelho Uma reta no plano é dta balanceada se passa por um ponto azul e um ponto vermelho, e o número de pontos azus em cada um de seus lados é gual ao número de pontos vermelhos Prove que exstem pelo menos duas retas balanceadas DIC: Prove que cada ponto do fecho convexo dos pontos está em pelo menos uma reta balanceada PROBLEM 0 (Kömal 00) Dado um conjunto qualquer de pontos no plano, não contendo três colneares, prove que é possível colorr os pontos com duas cores (azul e vermelho) tal que todo semplano contendo pelo menos três pontos do conjunto contenha pelo menos um ponto de cada cor

4 Prncípo das Casas dos Pombos O prncípo da casas dos Pombos, PCP, é mportante e deve ser lembrado sempre Ele é usado para provar exstêncas ( se n + pombos estão em n casas, exste pelo menos uma casa contendo pelo menos dos pombos ) Nossos dos prmeros problemas dessa sessão são apenas versões dfcultadas daquele exercíco clássco do PCP : dados cncos pontos num quadrado untáro, exstem dos cuja dstânca entre eles é menor que PROBLEM (Japão 97) Prove que entre quasquer dez pontos no nteror de um círculo de dâmetro, exstem dos cuja dstânca entre eles é menor que PROBLEM (Coréa 97) Prove que entre quasquer quatro pontos no nteror de um círculo untáro, exstem dos deles cuja dstânca é menor que PROBLEM (Roplatense 00) Danel escolhe um ntero postvo n e dz a na Com esta nformação, na escolhe um ntero e dz a Danel Danel traça então n crcunferêncas em um papel e escolhe pontos dstntos com a condção de que cada um deles pertença a alguma das crcunferêncas que traçou Em seguda, apaga as crcunferêncas que traçou, sobrando vsíves apenas os pontos que marcou partr desses pontos, na deve reconstrur pelo menos uma das crcunferêncas que Danel traçou Determnar qual o menor valor de que permte na alcançar seu objetvo ndependente de como Danel escolha as n crcunferêncas e os pontos O valor mínmo é = n + Passo: = n + é sufcente Se são dados n + pontos marcados por Danel, como estes pontos são dstrbuídos em n crcunferêncas, pelo Prncípo das Casas dos Pombos, pelo menos n+ deles estão em uma mesma crcunferênca traçada por Danel Então, se na traça todas as crcunferêncas determnadas por estes n +, haverá uma delas, dgamos Γ, com pelo menos n + dos pontos Como estes n + pontos provém das n crcunferêncas de Danel, três deles estão numa mesma crcunferênca traçada por ele, dgamos ζ Logo, ζ e Γ têm pelo menos três pontos em comum, e portanto, são a mesma crcunferênca (abusando da notação: ζ = Γ ) ssm, na consegue determnar umas das crcunferêncas traçadas por Danel Passo: Se < n +, Danel pode traçar crcunferêncas e escolher pontos de modo a tornar mpossível para na determnar tas crcunferêncas Basta consderar = n :

5 ζ ζ n Γ n ζ Γ Γ Traçamos n crcunferêncas concêntrcas Γ, Γ,, Γn e outras n crcunferêncas ζ, ζ,, ζ n duas a duas dsjuntas, de modo que ζ corta Γ em dos pontos dstntos, para, j =,,,n Há exatamente n pontos de ntersecção Se Danel marca estes pontos e apagas suas crcunferêncas, na não consegurá reconstrur com certeza nenhuma das crcunferêncas, pos Danel pode ter traçado ncalmente tanto Γ, Γ,, Γn quanto ζ, ζ,, ζ n j PROBLEM 4 (Roplatense 999) Dos jogadores e B dsputam o segunte jogo: escolhe um ponto de coordenadas nteras do plano e o pnta de verde; em seguda B escolhe 0 pontos de coordenadas nteras, anda não colordos e os pnta de amarelo O jogo contnua assm com as mesmas regras: e B escolhem um e dez pontos anda não colordos e os pntam de verde e amarelo, respectvamente (a) O objetvo de é obter pontos verdes que sejam as nterseções de retas horzontas e retas vertcas (e, paralelas aos exos de coordenadas) O objetvo de B é mpedr-lhe Determne qual dos jogadores tem uma estratéga vencedora que lhe assegura seu objetvo (b) O objetvo de é obter quatro pontos verdes que sejam vértces de um quadrado de lados paralelos aos exos coordenados O objetvo de B é mpedr-lhe Determne qual dos jogadores tem uma estratéga vencedora que lhe assegura seu objetvo Idéas Extremas Na matemátca em geral, problemas de exstênca são muto comuns e mportantes São aqueles problemas que nos pedem para provar que a exstênca de alguma cosa Na seção anteror, não explctamente, nos deparamos com problemas desse tpo E não fo para vender o artgo que ncamos ambas as seções falando da mportânca dessas déas, mas pelo o fato de que o PCP e o Prncípo Extremal juntos são as ferramentas mas ndspensáves para o ataque desses problemas Mas afnal, que Prncípo Extremal é esse? Dgamos que temos um problema onde nos é peddo para provar a exstênca de um elemento satsfazendo uma certa propredade P Então, nós escolhemos um elemento que satsfaz maxmalmente ou mnmalmente, ou seja, extremalmente (será que acabamos de nventar essas palavras?) uma outra propredade Q, não acdentalmente lgada com a desejada propredade P O que será que sso nos dá? Vejamos alguns problemas PROBLEM (ustrála 9) São dados n pontos no plano tas que a área de um trângulo formado por quasquer três deles é no máxmo Prove que os n pontos estão em um trângulo de área no máxmo 4 Sejam P, P,, Pn os n pontos Dentre os trângulos consderados, seja BC o de maor área (o cara com a propredade Q) Consdere por uma reta a paralela a BC Sendo assm, qualquer outro ponto P

6 Y Z C B c b X deve estar no mesmo semplano de B e C defndo por, pos do contráro teríamos um absurdo [ PBC ] > [ BC] (aqu [X], denota a área de X) nalogamente, consderando as retas b e c por B e C paralelas a C e B, respectvamente, concluímos que todos os pontos P devem estar no trângulo XYZ (acompanhe a fgura ao lado) Como, [ XYZ ] = 4[ BC] < 4 = 4, o resultado segue (sto é, XYZ satsfaz a propredade P) PROBLEM 6 (Putnam 979) Sejam n pontos no plano escolhdos de modo que quasquer não são colneares, n deles são pntados de vermelho e n deles são pntados de azul Prove que é possível parear os pontos usando segmentos lgando cada ponto vermelho a exatamente um ponto azul de modo que esses segmentos não se cortem Exstem n maneras de parear esses pontos É claro que alguns desses pareamentos não cumprem a condção do enuncado Olhemos em cada pareamento a soma dos seus segmentos Escolha o pareamento que tem soma mínma Suponha que nele exstem dos segmentos B e CD que se cortam (com e C vermelhos) Pela desgualdade trangular temos: D O C O + OD > CD B + CD > D + CB OB + OC > CB Logo se trocarmos B e CD por D e CB dmnuremos nossa soma ssm neste pareamento não temos dos segmentos que se cortam B PROBLEM 7 (Teorema de Sylvester) Um conjunto S de pontos no plano tem a segunte propredade: qualquer reta passando por pontos passa também por um tercero Mostre que todos os pontos estão sobre uma reta Consdere o conjunto L das retas que passam por dos pontos de S Cada ponto de S tem uma dstânca assocada a cada reta de L Como L e S são conjuntos fntos então temos um número fnto dstâncas Consdere o par ( l, s) do ponto s S e l L com a menor dstânca não nula assocada Como l passa por dos pontos de S então deverá passar por um tercero Pelo menos dos pontos de S, dgamos e B, deverão estar em um mesmo lado de l determnado por P (pé da perpendcular de s até l )

7 s Suponhamos que esteja entre B e P Seja m a reta que passa por B e s então: dstânca (, m) dstânca ( P, m) < < dstânca ( s, l) bsurdo! l P B m ssm todas as dstâncas assocadas têm que ser zero! Todos os pontos são colneares! segur, veja como usar o Teorema de Sylvester PROBLEM 8 São dados ( N ) pontos no plano, nem todos colneares Mostre que são necessáros pelo menos n retas para unr todos os possíves pares de pontos Vamos tentar usar ndução Se N = os três pontos formarão um trângulo s retas suportes dos três lados desse trângulo satsfazem nossa afrmação Suponha que a afrmação seja válda para N = Consdere um conjunto T de N = + pontos Como nem todos esses pontos estão sobre uma mesma reta decorre do teorema de Sylvester que exste uma reta que passa por apenas dos pontos ( e B) do conjunto Pelo menos um dos conjuntos T \ { } ou T \ { B} não poderá ter todos os seus pontos colneares Então pela hpótese teremos pelo menos retas, mas a reta B não fo contada, assm a afrmação também é verdadera para N = + PROBLEM 9 Dado um conjunto fnto S de pontos no plano onde não exstem quatro sobre um mesmo círculo e nem todos estão sobre uma mesma reta Mostre que exste um círculo que passa por três desses pontos e não contém nenhum ponto de S em seu nteror PROBLEM 0 (Ibero 9) Prove que para qualquer polígono convexo de área, exste um paralelogramo de área dos que o contém PROBLEM (OBM 94) Consdere todos os círculos cujas crcunferêncas passam por três vértces consecutvos de um polígono convexo Prove que um destes círculos contém todo o polígono PROBLEM (Roplatense 97) gustna e Santago jogam o segunte jogo sobre uma folha retangular: gustna dz um número n Santago, então marca n pontos sobre a folha Em seguda, gustna escolhe alguns dos pontos marcados por Santago Santago ganha o jogo se consegue desenhar um retângulo com lados paralelos aos da folha, que contenha todos os escolhdos por gustna e nenhum dos restantes Do contráro, gustna ganha Qual o menor número que deve escolher gustna para assegurar-se da vtóra, ndependente como jogue Santago? PROBLEM

8 (Rússa 000) São dados n + segmentos em uma lnha reta Cada segmento ntersecta pelo menos n outros Prove que um desses segmentos ntersecta todos os outros PROBLEM 4 (Japão 00) É dado um conjunto S de 00 pontos no plano xy, não havendo dos deles com a mesma abscssa x ou ordenada y Para quasquer dos desses pontos P e Q, consdere o retângulo cuja dagonal é PQ e cujos lados são paralelos aos exos Denotemos por W PQ o número de pontos de S no nteror desse retângulo, sem contar com P e Q Determne o maor valor N possível que satsfaz: não mporta como os pontos de S estão arranjados, exste pelo menos um par P e Q deles com W PQ N PROBLEM Dados n + pontos no plano, não havendo três colneares, prove que exstem dos deles que determnam uma reta que, dos n pontos restantes, separa n em um sem-plano e os outros n no outro sem-plano PROBLEM 6 (Banco IMO 9) Dados n + pontos num plano, não havendo três colneares nem quatro concíclcos, prove que podemos escolher três deles de modo o círculo passando por estes tem n dos pontos restantes no seu nteror e n no exteror Basta consderar a fgura abaxo Dexamos os detalhes para o letor n+ n+ = n+ = P Q n+ PROBLEM 7 São dados n pontos num plano Em cada ponto médo de um segmento lgando dos desses pontos, colocamos um marcador Prove que pelo menos n marcadores são utlzados 4 Problemas de Coberturas Nos problemas sobre pontos até agora, fcou claro que um pouco de geometra (sntétca, analítca, trgonométrca ou utlzando o plano complexo) pode ser útl Fnalzaremos esse artgo com uma seção falando um pouco dsso, em partcular, fazendo coberturas com círculos PROBLEM 8 Seja C um círculo de rao 6 e um anel tendo rao nterno e rao externo gora suponha que um conjunto S de 60 pontos é seleconado dentro de C Prove que, não mporta como os pontos de

9 S são seleconados dentro de C, o anel pode ser colocado de modo a cobrr pelo menos 0 pontos de S Queremos mostrar que exste um ponto X no plano que possu uma dstânca maor que e menor que à pelo menos 0 pontos de S Sobre cada ponto de S coloque um anel Basta mostrarmos que exste um ponto X que está no nteror de pelo menos 0 desses anés s nterseções desses anés produzem pequenas regões (veja a fgura) Veja que exstem três pequenas regões que estão em dos anés e uma que está em três Somando as áreas dos três anés contaremos três regões duas vezes e uma três vezes Somando a área de cada anel temos 60 (9π 4π ) = 0π umentando o rao do círculo C para 9 poderemos cobrr todos esses anés Se cada pequena regão fo contada no máxmo 9 vezes contaremos no máxmo 9 vezes a área desse novo círculo, ou seja, 99 π = 49π < 0π ssm exstrá uma pequena regão contda em pelo menos 0 anés Basta escolhermos um ponto X dessa regão PROBLEM 9 (Teste de Seleção da Romêna para a IMO 978) M é um conjunto de n pontos no plano tal que a maor dstânca entre quasquer dos desses pontos é undade Prove que: a Para quasquer 4 pontos de M, a dstânca entre algum par de pontos é pelo menos b lgum círculo de rao cobre todo o conjunto M c Exste algum par entre os n pontos de M cuja dstânca entre eles é no máxmo ( 4 n ) a Vamos tentar arranjar um trângulo não acutângulo em M Consdere o fecho convexo de quatro pontos de M Podemos ter um quadrlátero (degenerado quando três pontos forem colneares) ou um trângulo com um ponto de M em seu nteror No caso do quadrlátero como pelo menos um dos quatro ângulos nternos é 90 basta escolhermos o vértce com este ângulo e os adjacentes a ele No caso do trângulo vamos olhar para o ponto no nteror Esse ponto olha para os três lados do trângulo com ângulos que somados resultam em 60 Pelo menos um deles é 0 Seja XYZ um trângulo com XYZ 90 Pela le dos cossenos temos: y = x + z xz cos XYZ x + z Como y x ou z

10 b Seja r = B a maor dstânca entre dos pontos de M Tracemos círculos de rao r centrados em e B M deverá estar contdo em cada um desse círculos Então M deverá estar contdo na regão de nterseção entre eles Tracemos um círculo de rao r centrado no ponto médo C de B Veja que este novo círculo cobre a regão de nterseção c Vamos usar a mesma déa do problema dos anés Se dos Y ponto de M estão em um círculo de rao r então a dstânca entre eles não pode ser maor ou gual a r Então nosso objetvo é mostrar que exstem dos pontos de M dentro de um C B círculo de rao ( n ) M X Seja C um círculo de rao que cobre M Centrado em cada ponto de M tracemos um círculo de rao r Suponha que Z é um ponto na nterseção de dos desses círculos Então o círculo de centro Z e rao r cobre dos pontos de M(os centros dos círculos que cobram Z) Como mostrar pelo menos dos desses círculos que traçamos rão se ntersectar para r =? Vamos aumentar o rao ( n ) de C e obter um círculo D de rao + r com mesmo centro Todos esses círculos estarão contdos em D Se a área de D for menor que a soma das áreas de cada círculo com certeza pelo menos dos π π deles terão nterseção Mas sso acontece se n r < + r gora basta fazermos o estudo + n + n do snal Como a maor raz é e n > 0 se r> OK! r> (n ) (n ) ( n ) (Veja que podemos melhorar um pouco a cota do problema, pos > ) PROBLEM 0 (Ibero 97) Seja P = { P, P,, P997} um conjunto de 997 pontos no nteror de um círculo de rao, com P sendo o centro do círculo Para =,,, 997, seja x a dstânca de P ao ponto de P mas próxmo de P Mostre que: 997 x + x + + x 9

11 P n P Note que x, para todo Para cada ponto P, consdere uma crcunferênca x centro P e rao Γ de Sendo assm, todos essas crcunferêncas se tocam em no máxmo ponto e estão no nteror de uma crcunferênca de [ Γ ] + [ Γ ] + + [ Γ ] π centro donde: P e rao / Logo, ( ) π x + π x ( ) π x + + n π x 9 + x + + xn PROBLEM (IMO 89) São dados n e nteros postvos e um conjunto S de n pontos no plano tas que () não há três pontos em S colneares, () Para qualquer ponto P de S exstem pelo menos pontos de S eqüdstantes de P Prove que < + n PROBLEM (Ibero 98) Encontre o maor ntero n para o qual exstem pontos reas r,,, r rn tas que a dstânca entre P e P j é r + r j P,,, P Pn no plano e números Referêncas Bblográfcas: [] Revsta Eurea! N 6 [] Ross Honsberger, Mathematcal Gems VolI, The Dolcan Mathematcal Expostons, M [] ndreescu, Feng, Mathematcal Olympads: Olympad problems from around the world, , M 000 [4] Marcn Kuczma, Internatonal Mathematcal Olympads, , M 00 [] wwwmathlnsro