Desenho de uma rede Logística

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1 Desenho de uma rede Logístca Desenho da rede Logístca ( Logístca empresaral) Desenho do sstema através do qual exste um fluxo de produtos entre os fornecedores e os clentes. Desenho da rede Logístca ( setor públco) Determnar onde localzar os equpamentos que vão servr as comundades No desenho de uma rede logístca as questões prncpas são: Onde devem ser localzados os equpamentos Quantos equpamentos devem ser construídos Qual a dmensão (capacdade) de cada equpamento Qual o papel de cada equpamento no sstema Que mercados devem ser servdos a partr de cada equpamento Quas os fornecedores que devem servr cada equpamento Quas os equpamentos que devem ser desatvados, deslocados, ou redmensonados 1

2 As decsões sobre onde localzar os equpamentos são fetas no ínco quando se desenha o sstema logístco. Devem também ser tomadas quando há varações nos padrões de procura dos bens há alterações nos custos das matéras prmas, energa, trabalho novos produtos ou servços são lançados ou a produção de certos artgos é descontnuada As decsões sobre onde localzar são tomadas a nível estratégco e tátco Nível estratégco Quando as fábrcas são compradas ou construídas, o que envolve grandes nvestmentos. Neste caso, alterar as localzações ou os equpamentos é muto mprovável a médo ou curto prazo. Nível tátco Quando há aluguer de equpamento ou de espaço ou subcontratação de servços (as decsões tomadas podem ser reversíves a médo prazo) 2

3 A tomada de decsões sobre o desenho de uma rede logístca basea-se conhecmento de um conjunto de dados: no Localzação dos clentes, fornecedores, equpamentos já exstentes, Quas os produtos a consderar e a procura (estmada) por clente; Meos de transporte que podem ser utlzados e respetvos custos; Custos assocados aos potencas equpamentos a nstalar; Restrções orçamentas; Objetvos a atngr. Quantdade de dados a tratar é mutas vezes elevada Agregação dos dados Agregação por procura Agregação por produtos Os clentes podem ser agrupados de acordo com a sua localzação geográfca, nível de servço ou frequênca das entregas. Os produtos podem ser agrupados de acordo com o seu padrão de dstrbução (produtos produzdos pelas mesmas fábrcas e dstrbuídos aos mesmos clentes são agrupados e consderados um únco produto), ou com as suas característcas(peso,volume, forma,custo,..). 3

4 Classfcação dos Problemas de Localzação Os problemas de localzação podem ser classfcados de acordo com um grande número de ctéros. Potencas localzações dos equpamentos Os equpamentos podem ser localzados em qualquer ponto do plano sendo defnda uma métrca para calcular as dstâncas (por ex. dstânca eucldana, dstânca de Manhattan,..) (Localzação no Plano) Os equpamentos podem ser localzados em qualquer ponto de uma rede (nodos ou arcos) (Localzação em Redes) Os potencas locas para nstalar equpamentos são conhecdos e em número fnto (Localzação dscreta) Objetvos Problemas com um únco objetvo (Problemas de localzação mono objetvo) - Mnmzar os custos totas (custos de transporte+ custos de nstalação) -Maxmzar a procura satsfeta -Maxmzar a equdade na prestação de servços - Mnmzar a dstânca ao clente que se encontra mas afastado de um determnado servço -. Problemas com város objetvos confltuosos (Problemas de localzação mult-objetvo) 4

5 Horzonte Temporal Problemas em que se consdera um únco período (Problemas estátcos). As decsões são tomadas no níco do horzonte temporal e com base em estmatvas conhecdas para os requstos do sstema logístco. Problemas em que se consdera o horzonte temporal dvddo em város períodos (Problemas dnâmcos). No níco do horzonte temporal decde-se a sequênca de alterações a fazer em determnados nstantes dentro do horzonte temporal (por ex. quando abrr ou fechar equpamentos ou expandr capacdades) Certeza ou Incerteza nos dados Problemas em que se consdera que os dados são conhecdos com total certeza (Problema determnístco) Problemas em que se consdera de forma explícta a ncerteza assocada aos dados (Problemas estocástcos) Tpos de Equpamentos Problemas em que se consdera que os equpamentos nstalados são todos do mesmo tpo (por exemplo fábrcas, armazéns, centros de dstrbução,..) Problemas em que se consdera a nstalação smultanea de város tpos de equpamentos (por exemplo, nstalar fábrcas e centros de dstrbução) Tpos de Produtos Problemas em que se consdera que exste um únco produto ou servço a ser fornecdo pelos equpamentos a localzar e que a procura por parte dos clentes é dêntca. Problemas em que se consdera a exstênca de város produtos com característcas dferentes e nclusvamente a possbldade de consderar uma procura dferencada por parte dos clentes (por exemplo consderando prordades) 5

6 Interação entre equpamentos Em sstemas logístcos mas complexos pode consderar-se que exste fluxo de produtos entre equpamentos do mesmo tpo (por exemplo o fluxo de componentes, materas sem-acabados entre fábrcas). Neste caso, determnar a localzação ótma dos equpamentos depende não só da dstrbução espacal dos clentes para os produtos acabados como da localzação dos equpamentos relatvamente uns aos outros. Fluxo dos produtos Problemas em que se consdera apenas um nível, sto é, o fluxo de produtos que entra ou o fluxo de produtos que sa dos servços a localzar pode ser gnorado. Problemas em que se consdera a possbldade de localzar smultaneamente servços que pertencem a dferentes níves da cadea logístca de abastecmento (Problemas mult-nível ou herárqucos). Por exemplo, localzar smultaneamente fábrcas e centros de dstrbução em que exstem custos de transporte das fábrcas para os centros de dstrbução e destes para os clentes. Dvsbldade da procura Problemas em que cada clente é servdo por um só servço ou equpamento (por ex. por razões admnstratvas ou de contabldade) Problemas em que cada clente pode utlzar os servços de város servços ou equpamentos. 6

7 Influênca dos transportes nas decsões de localzação Problemas em que se consdera que o custo de transporte entre servços ou entre servços e clentes é proporconal à dstânca percorrda. Problemas em que se consdera que os clentes não são servdos dretamente nos equpamentos nstalados, mas sm através de veículos que saem do depósto, percorrem um certo conjunto de clentes, retornando depos ao depósto. Nestes casos, pretende-se localzar os servços de forma a mnmzar os custos totas (custos de nstalação dos servços+ custos dos veículos+custos das rotas efetuadas de modo a servr todos os clentes) (Problemas de localzação-dstrbução). Localzação dos Retalhstas No planeamento de uma rede de lojas ou retalhstas pretende-se determnar a localzação ótma no sentdo de competr com as outras lojas ou retalhstas. Neste contexto, prever as recetas esperadas é dfícl pos dependem de város fatores tas como o local, a área de vendas e o nível de competção. Estes problemas desgnam-se de Localzação Compettva. 7

8 Problemas de Localzação no setor públco Na localzação de servços no setor públco é mportante assegurar não só um custo mínmo mas também garantr um adequado nível de servço aos utentes. Exemplos: servços de combate a ncêndos, servços de transporte para defcentes motores, servço de ambulâncas,. Problema do p-centro Neste problema pretende-se determnar onde localzar p servços de modo que a máxma dstânca entre um clente e o servço que lhe está mas próxmo seja mínma, sto é, pretende-se que o clente que está mas afastado do servço a que está afeto esteja o mas próxmo possível. Este modelo aplca-se nas stuações em que é necessáro assegurar equdade nos servços prestados aos utentes espalhados numa área geográfca. 8

9 Modelo Matemátco Notação I J d : 1,..., n 1,..., m Conjunto dos potencas locas para nstalar equpamentos Conjunto de clentes cuja procura deve ser satsfeta Dstânca entre o equpamento localzado em e o clente j, Varáves de decsão I j J y 1 se se localza um equpamento em 0 caso contraro x 1 se se afeta o clente j a um equpamento localzado em 0 caso contraro 9

10 Modelo Mn Max d x I, jj s. a. x 1 j J (1) I x y I, j J (2) I p (3) x 0,1 I, j J (4) y 0,1 I (5) y Restrções (1) Garantem que cada clente está afeto a um só servço (2) A afetação é feta a servços nstalados (3) Instalam-se p servços (4) e (5) as varáves são bnáras 10

11 A exstênca das restrções I x 1 j J Permte escrever a função objetvo como jj I Mn Max d x Qualquer das funções é não lnear mas faclmente se obtem um modelo lnear W Max d x jj I e adconam-se as restrções W d x j J I 11

12 Modelo Lnear Mn W s. a. x 1 j J (1) I x y I, j J (2) I I (3) (6) x 0,1 I, j J (4) y 0,1 I (5) y p W d x j J As restrções jj x y I, j J x ny I onde n J podem ser substtuídas pelas restrções e tem-se o que se desgna por formulação fraca. As formulações são equvalentes em termos de soluções nteras, não o são em termos de Relaxação Lnear. 12

13 Exemplo Na zona do Pnhal Interor todos os anos há város ncêndos. Além das meddas preventvas decduse nstalar mas 2 quartés de bomberos. Consderaram-se as localdades de Pamplhosa da Serra, Oleros, Sertã, Vla de Re e Mação como potencas locas para nstalar os quartés e como utentes dos servços prestados pelos quartés nstalados. 13

14 Matrz das dstâncas Pamplhosa da Serra Pamplhosa da Serra Oleros Sertã Vla de Re Proença-a- Nova Mação Oleros Sertã Vla de Re Proença-a- Nova Mação Seja I={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1- Pamplhosa da Serra 2- Oleros 3- Sertã 4- Vla de Re 5- Proença-a-nova s. a. x 1 j J (1) 6- Mação I: potencas locas de nstalação de servços J: localdades a servr Mn I x y I, j J (2) I I (3) (6) x 0,1 I, j J (4) y 0,1 I (5) W y p W d x j J 14

15 Neste caso tem-se I=J. Assm, é desnecessáro usar as varáves x11 y1 x22 y2 x33 y3 x44 y4 x55 y5 x66 y6 Modelo Matemátco y uma vez que Mn W sa.. x x x x x x 1 W 28 x +79x +75x +72x +140x x x x x x x 1 W 28 x +28x +49x +46x +107x x13 x23 x33 x43 x53 x63 1 W 79 x13 +28x 23+21x 43+20x 53+81x63 x x x x x x 1 W 75 x +49x +21x +39x +46x x x x x x x 1 W 72 x +46x +20x +39x +64x x x x x x x 1 W 140 x +107x +81x +46x x x x x x x 2 x 0,1, j I x x x x x x 6x x x x x x x 6x x x x x x x 6x x x x x x x 6x x51 x52 x53 x54 x55 x56 6x55 x x x x x x 6x x

16 A localdade mas afastada de um quartel é Mação. A dstânca máxma é 46Km 16

17 Se nstalássemos apenas um quartel sera em Proença-a-Nova. A localdade mas afastada de um quartel sera a Pamplhosa da Serra. A dstânca máxma sera 72Km 17

18 Problema de cobertura Problemas de Localzação no setor públco Nestes problemas pretende-se localzar a custo mínmo um conjunto de servços com uma restrção adconal que garante uma dstânca máxma entre qualquer clente e o servço que lhe está mas próxmo. Estabelece-se uma dstânca máxma ou um tempo que se consdera razoável para garantr a cada clente um nível mínmo na qualdade do servço de que usufru. Notação I J d : 1,..., n 1,..., m Conjunto dos potencas locas para nstalar equpamentos Conjunto de clentes cuja procura deve ser satsfeta Dstânca (camnho mas curto) entre o equpamento localzado em clente j I, j J e o f p j : : Custo fxo de construr um servço em Penalzação ncorrda por não servr o clente I j j J 18

19 Seja T a dstânca (tempo) máxmo permtdo entre um servço e um clente. Defne-se uma constante bnára a que toma o valor 1 se o servço pode servr o clente j e toma o valor zero, caso contráro. Asssm, a 1 se d T 0 caso contraro Varáves de decsão y 1 se se localza um equpamento em 0 caso contraro z j 1 se o clente j não é servdo 0 caso contráro 19

20 Modelo Mn f y p z I j j jj s. a. a y z 1 j J (1) I j y 0,1 I (2) z 0,1 j J (3) j Pretende-se mnmzar a soma dos custos fxos de nstalar os servços com as penalzaçõe por não servr os clentes. As restrções (1) garantem que para cada clente j J, z j 1 se os servços nstalados não servem o clente j,(. e. se a y 0) I 20

21 Se todos os clentes tverem que ser servdos temos o problema de cobertura de um conjunto. Se os custos fxos de nstalação forem guas para todos os potencas locas pode ser convenente escolher de entre todas as soluções com o menor número de servços abertos aquela a que corresponde o tempo total mínmo de transporte (ou a dstânca total mínma) Sejam as varáves x Tem-se o modelo 1 se o clente j usa o servço nstalado em 0 caso contraro Mn My d x I I jj s. a. a x 1 j J (1) I jj x J y I (2) y 0,1 I (3) x 0,1 I, j J (4) M é uma constante postva muto grande. As restrções (1) garantem que todos os clentes são servdos e as restrções (2) garantem que só são servdos por servços que estão abertos. 21

22 Exemplo Um consórco de 10 munícpos decdu melhorar o sstema de combate a ncêndos exstente. Decdu-se que deveram ser construídos quartés de bomberos de modo a que cada localdade seja servda num tempo máxmo de 15 mnutos. A cada quartel estará afeto um veículo. As dstâncas (em Km) entre as localdades estão na tabela que se segue. Almada Azenha Carregosa Corroos Lavrado Macau Mota Monto Palmela Pnhal Novo Almada Azenha Carregosa Corroos Lavrado Macau Mota Monto Palmela Pnhal Novo

23 Se suposermos que a velocdade méda é de 60 km/h, em termos de valor, as dstâncas e os tempos em mnutos são guas. A matrz de 0 e 1 com a ndcação de quas as localdades alcançaves num tempo menor ou gual a 15m é Almada Azenha Carregosa Corroos Lavrado Macau Mota Monto Palmela Pnhal Novo Almada Azenha Carregosa Corroos Lavrado Macau Mota Monto Palmela Pnhal Novo

24 Se os custos de nstalação forem guas para todos os locas e muto superores às dstâncas entre as localdades (por exemplo euros) a solução ótma é neste caso: Instalar um quartel de bomberos em Almada ou Corroos e nstalar outro quartel na Mota. Se os custos de nstalação dos quartés vararem as soluções obtdas já são dferentes. Seja por exemplo: Almada Azenha Carregosa Corroos Lavrado Macau Mota Monto Palmela Pnhal Novo Custos Neste caso a solução ótma será construr um quartel em Corroos, Carregosa e Pnhal Novo. O custo total será euros. 24

25 Problema de localzação Smples Neste problema consdera-se um conjunto de clentes cuja procura é satsfeta por equpamentos que se pretendem construr. Exste um conjunto de potencas locas para os nstalar. Não se consderam capacdades assocadas aos equpamentos, sto é, cada equpamento é capaz de satsfazer a totaldade da procura dos clentes. Consdera-se anda que a procura de cada clente é satsfeta por um só equpamento nstalado. Seja I J c f : : Varáves 1,..., n 1,..., m Conjunto dos potencas locas para nstalar equpamentos Conjunto de clentes cuja procura deve ser satsfeta custo untáro de satsfazer a procura do clente localzado em I, j J Custo fxo de construr um servço em j a partr do equpamento y 1 se se localza um equpamento em 0 caso contraro x 1 se o clente j fca afeto ao servço nstalado em 0 caso contraro 25

26 Modelo Matemátco Mn f y c x I I jj s. a. x 1 j J (1) I x y I, j J (2) y 0,1 I (3) x 0,1 I, j J (4) Restrções (1) Garantem que cada clente será afeto a apenas um equpamento (2) Garantem que um clente só será afeto a um servço que esteja nstalado (3) e (4) defnem o domíno de varação das varáves de decsão 26

27 Exemplo Uma empresa pretende determnar onde nstalar armazéns na regão de Trás-os-Montes de modo a poder fornecer os seus clentes em Camnha, Vana do Castelo, Barcelos, Terras de Bouro, Chaves e Melgaço. Ponte de Lma Lndoso Vana Ruvães Clentes Potencas locas de nstalação de armazéns 27

28 De acordo com estudos fetos consderaram-se como potencas locas para nstalação de servços Monção, Lndoso, Ponte de Lma e Ruvães. Tendo em conta a procura estmada dos clentes nos próxmos 10 anos conclu-se que a capacdade de qualquer um dos armazéns a construr será sufcente para a satsfazer na sua totaldade. As dstâncas entre as localdades e os potencas locas de nstalação dos armazéns são: Clentes Camnha Vana do Castelo Barcelos Terras de Bouro Chaves Melgaço Monção Potencas Locas Lndoso Ponte de Lma Ruvães Se admtrmos que o custo de transporte por Km e por undade transportada é 0.5 euros consdere-se a matrz com os custos de afetar cada clente a cada potencal local de nstalação de armazéns. 28

29 Clentes Camnha Vana do Castelo Barcelos Terras de Bouro Chaves Melgaço Monção Potencas Locas Lndoso Ponte de Lma Ruvães Se consderarmos os custos de nstalação Monção Lndoso Ponte de Lma Ruvães Sendo I={potencas locas} 1-Monção 2-Lndoso 3-Ponte de Lma e 4-Ruvães J={clentes} 1-Camnha 2-Vana do Castelo 3-Barcelos 4-Terras de Bouro 5-Chaves e 6-Melgaço temos o segunte modelo 29

30 Mn 100y 180y 165y 60y Custos de nstalação dos armazéns x 46x 54x 52.5x 86x 11.5x x 34.5x 43x 19.5x 67.5x 28.5x x 15x 24.5x 23.5x 79x 39x x 56x 35.5x 19x 39.5x 82x Custos de afetação dos armazéns aos clentes Restrções x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cada clente será afeto apenas a um únco armazém 30

31 x y, x y, x y, x y, x y, x y x y, x y, x y, x y, x y, x y x y, x y, x y, x y, x y, x y x y, x y, x y, x y, x y, x y Todos os clentes são abastecdos por armazéns nstalados Vamos consderar a formulação fraca x x x x x x 6y x x x x x x 6y x x x x x x 6y x x x x x x 6y Todas as varáves são bnáras 31

32 A solução ótma deste problema consste em construr um armazém em Monção e outro em Ruvães. O armazém de Monção fornecerá os clentes de Melgaço, Camnha e Vana do Castelo e o armazém de Ruvães fornecerá os clentes de Chaves, Terras de Bouro e Barcelos. O custo total será Ponte de Lma Lndoso Vana Ruvães 32

33 Se para o mesmo problema consderarmos os custos de nstalação todos guas a a solução ótma será nstalar apenas um armazém em Ponte de Lma que servrá todos os clentes da zona. O custo total será de Ponte de Lma Lndoso Vana Ruvães 33

34 Exemplo Consdere-se o segunte grafo que representa 12 localdades e 5 potencas locas para nstalação de servços Potencal local de nstalação 12 6 localdade 34

35 Incalzação. Iteração t. Heurístca Greedy (Cornuejols, Fsher, Nemhauser, 1977) Para cada = 1, 2,..., n calcular Determnar * tal que Fazer C(S) = * z S = {*} u j = * (j=1, 2,..., m) Para cada S calcular Determnar * tal que Se Se * * d j 0 0 z * segue para o Fm. fazer S = S {*} C(S) = C(S) + Se S I Repetr a teração t. mn z 1 n m m j1 z f d f mn (0, d u ) j j1 * mn S * u j = mn ( u j, * ) (j=1,2,..., m) d j Fm. S é a solução obtda com custo C(S). STOP 35

36 Exemplo Servços Clentes Custos de nstalação Custos

37 Heurístca Greedy (Cornuejols, Fsher, Nemhauser, 1977) Incalzação. Para cada =1,2,3,..,6 calcular m j1 z f d Determnar * tal que z * mn z 1 n *=5. Fazer S={ 5 } C(S)= 768 u j d 5 j j1 d f z

38 Vamos agora ver se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrr mas um servço, sto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo servço Matrz com mn(0, d uj ) Para cada S, sto é, para ={1,2,3,4,6} calcular m f mn (0, d u ) j j j1 mn(0, d u ) f j

39 * 1 mn Como S * 1 0 tem-se S={1,5} * C(S)= = =661 u 1 mn( u, d ) j j 1 j u j Como S I Vamos ver novamente se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrr mas um servço, sto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo servço 39

40 Para cada S, sto é, para ={2,3,4,6} calcular m f mn (0, d u ) j j j1 mn(0, d u ) Matrz com mn(0, d u ) f j j

41 * 3 mn Como S * 3 0 tem-se S={1, 3,5} * C(S)= 661+ =661-23=638 u 3 mn( u, d ) j j 3 j u j Como S I Vamos ver novamente se, em termos de custo, há alguma vantagem em abrr mas um servço, sto é, se a poupança em termos de custos de afetação compensa o custo de abertura de um novo servço 41

42 Para cada S, sto é, para ={1,2,3,4,6} calcular m f mn (0, d u ) j j1 Matrz com mn(0, d u ) j u j j mn(0, d u ) f j

43 * 2 mn * Como 2 0 S TERMINA A solução obtda pela heurístca é nstalar servços nos locas 1, 3 e 5 A afetação dos clentes aos servços é Valor desta solução =

44 Problema da p-medana Neste problema consdera-se que o conjunto dos clentes e dos potencas locas de nstalação de servços concdem. Pretende-se determnar onde localzar exatamente p servços de modo a garantr a satsfação da procura dos clentes. Consdera-se que os custos fxos de nstalação são nulos ou exatamente guas para todos os potencas locas de nstalação de servços. O objetvo é neste caso a mnmzação dos custos totas de afetação dos servços aos clentes. Seja I potencas locas para nstalar servços clentes Varáves de decsão x 1 se o clente j fca afeto ao servço nstalado em 0 caso contraro c : custo de afetar o clente j ao servço localzado em Como o conjunto dos potencas locas de nstalação concde com as localzações dos clentes podemos consderar c 0 I x 1 se se localza um servço em I 44

45 Modelo Matemátco Mn I ji s. a. x 1 j I (1) I I p (2) x x, j I, j (3) x 0,1, j I (4) x c x As restrções (3) podem ser substtuídas por jj x I x (formulação fraca) 45

46 Heurístcas para o problema da p-medana Heurístca Greedy (Cornuejols, Fsher, Nemhauser, 1977) Processo de tpo greedy (adaptado da localzação smples): localza o 1º servço na 1-medana; teração t (1< t p) localza o servço t na comundade que orgna maor dmnução no valor da função objetvo. Tetz e Bart, 1968 Parte de uma solução arbtrára X p e tenta trocar um ponto não pertencente a X p com um ponto de X p por forma a melhorar o valor da função objetvo. Transformações locas de tpo 1-optmal, 1988 Processo semelhante ao algortmo de Tetz e Bart mas funconando ao contráro dele. Parte de uma solução qualquer Xp e tenta trocar um ponto de Xp com um ponto não pertencente a Xp por forma a melhorar o valor da função objetvo. Faz apenas um cclo de trocas. 46

47 Exemplo Pretende-se nstalar 2 servços (p=2) Matrz com as dstâncas (comprmento camnho mas curto) Heurístca Greedy (Cornuejols, Fsher, Nemhauser, 1977) Incalzação. Para cada = 1, 2,..., n calcular z n j1 c Determnar * tal que z * mn 1 n z 47

48 Fazer S {*} C(S) u j = c *j (=1, 2,..., n) S {1} C(S) 13 Como temos que abrr mas um servço, vamos agora ver qual é o que dá maor vantagem, sto é, o que dá maor poupança nos custos de afectação. Para cada S calcular n mn (0, c u ) j j1 Determnar * tal que Fazer * S S {*} mn S C(S) C(S) + * z * S {1, 2} C(S) z u j

49 S {1, 2} C(S) 1358 u j mn (u j, c *j ) (=1,2,..., n) Já temos 2 servços nstalados. TERMINA c c A solução ótma é u j Valor da solução obtda pela heurístca é 8. Valor ótmo = 7 49

50 Problema de localzação de servços com restrções de capacdade Em mutas stuações é necessáro consderar que os servços ou equpamentos têm uma capacdade máxma. Notação I J c f : : proc Cap 1,..., n 1,..., m j : Varáves : Conjunto dos potencas locas para nstalar equpamentos Conjunto de clentes cuja procura deve ser satsfeta custo untáro de satsfazer a procura do clente localzado em I, j J Custo fxo de construr um servço em Procura assocada ao clente Capacdade do equpamento a localzar em y 1 se se localza um equpamento em 0 caso contraro j j a partr do equpamento x : Percentagem da procura do clente j que é satsfeta pelo equpamento localzado em 50

51 Modelo Matemátco Mn f y c x proc j I I jj s. a. x 1 j J (1) jj I proc x Cap y I j (2) y 0,1 I (3) x 0,1 I, j J (4) Restrções (1) Garantem que a procura de cada clente é satsfeta (2) Garantem que a procura é satsfeta apenas por servços que estão nstalados e que a capacdade de cada servço não é excedda (3) e (4) defnem o domíno de varação das varáves de decsão 51

52 Exemplo Consderemos de novo o exemplo apresentado para o problema de localzação smples. Ponte de Lma Lndoso Vana Ruvães 52

53 Onde os custos untáros de transporte são Clentes Camnha Vana do Castelo Barcelos Terras de Bouro Chaves Melgaço Monção Potencas Locas Lndoso Ponte de Lma Ruvães Os custos de nstalação Monção Lndoso Ponte de Lma Ruvães Sendo I={potencas locas} em que 1-Monção 2-Lndoso 3-Ponte de Lma e 4-Ruvães J={clentes} em que 1-Camnha 2-Vana do Castelo 3-Barcelos 4-Terras de Bouro 5-Chaves e 6-Melgaço Procura dos clentes Capacdade dos armazéns Camnha Vana do Castelo Barcelos Terras de Bouro Chaves Melgaço Monção Lndoso Ponte de Lma Ruvães

54 Modelo Matemátco Mn 100y 180y 165y 60y Custos de nstalação dos armazéns (28x 45x 25.5x 67.5 x ) (46x 34.5x 15x 56 x ) (54x 43x 24.5x 35.5 x ) (52.5x 19.5x 23.5x 19 x ) (86x 67.5x 79x 39.5 x ) (11.5 x 28.5x 39x 82 x ) Custos de transporte 54

55 Restrções x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A procura de cada clente tem que ser satsfeta 10x 20x 13x 5x 10x 15x 30y x 20x 13x 5x 10x 15x 15y x 20x 13x 5x 10x 15x 35y x 20x 13x 5x 10x 15x 10y Varáves bnáras y Varáves x 0,1 Não se pode exceder a capacdade de cada armazém 55

56 A solução ótma para este problema é Ponte de Lma Lndoso 2 Vana Ruvães O valor ótmo é

57 Podem também defnr-se as varáves x : Nos problemas de localzação de servços com capacdade lmtada pode fazer sentdo consderar que a procura de um clente é satsfeta na totaldade apenas por um servço. Neste caso temos as varáves x Quantdade transportada do equpamento para o clente j 1 0 se a totaldade da procura do clente j é satsfeta pelo equpamento localzado em caso contráro x do segunte modo Em alguns problemas faz sentdo abrr um servço apenas se há um mínmo de servço fornecdo pelo servço. Neste caso exstem também restrções de capacdade mínma utlzada. Seja capm : capacdade mínma utlzada requerda para cada servço Tem-se então as restrções capm y proc x Cap y I j jj 57

58 Problemas de localzação herárqucos Exste por vezes a necessdade de localzar smultaneamente servços que pertencem a dferentes níves no sstema logístco. Estes problemas desgnam-se habtualmente de problemas herárqucos, mult-nível ou k-nível, em que k é o número de níves consderados. Consdere-se a segunte rede logístca de abastecmento Fornecedores Fábrcas Armazéns Clentes 58

59 Exste um conjunto de fornecedores que fornece um conjunto de fábrcas. A mercadora produzda é transportada das fábrcas para os armazéns e posterormente destes para os clentes. Pretende determnar-se a localzação ótma das fábrcas e dos armazéns e as quantdades a serem transportadas com o objetvo de mnmzar os custos totas (custos fxos + custos varáves de transporte) Notação J K I G 1,..., m 1,..., h 1,..., n 1,..., l Conjunto de clentes cuja procura deve ser satsfeta Conjunto de potencas localzações para armazéns Conjunto de potencas localzações para fábrcas Conjunto de fornecedores 59

60 proc Cf ' " : Cak : Sg : f : fa : c c c g k kj k : : : j : Procura assocada ao clente j Capacdade da fábrca a localzar em Capacdade do armazém a localzar em k Quantdade máxma dsponível no fornecedor g Custo fxo de nstalar uma fábrca em Custo fxo de nstalar um armazém em k Custo untáro de transporte de mercadora do fornecedor g para a fábrca localzada em Custo untáro de transporte de mercadora da fábrca para o armazém localzado em k Custo untáro de satsfazer a procura do clente j a partr do armazém localzado em k 60

61 Varáves de Decsão y 1 se se localza um fabrca em 0 caso contraro ' 1 se se localza um armazem em k yk 0 caso contraro x g Quantdade transportada do fornecedor gpara a fábrca ' x k Quantdade transportada da fábrca para o armazém k " x kj Quantdade transportada do armazém k para o clente j 61

62 Modelo Matemátco Mn f y fa y c x c x c x ' ' ' " " k k g g k k k k I kk gg I I kk kk jj Custos de nstalação Custos de transporte s. a. x S g G (1) I gg ' k g " ' kj I g ' k " kj g g ' ' x Ca k kyk k K I " xkj proc j j J kk ' x x k g I kk gg jj x Cf y I x x k K k (2) (3) (4) (5) (6) y 0,1 I (7) y 0,1 k K (8) x 0 g G, I (9) x 0 I, k K (10) x 0 k K, j J (11) Não se excede a dsponbldade de mercadora nos fornecedores A capacdade de cada fábrca não é excedda e a mercadora só é transportada para fábrcas nstaladas A capacdade de cada armazém não é excedda e a mercadora só é transportada para armazéns nstalados A procura dos clentes é satsfeta garantem a coerênca entre a quantdade transportada entre os níves da cadea logístca. defnem o domíno das varáves Fornecedores Fábrcas Armazéns Clentes 62

63 A função objetvo consdera a mnmzação dos custos totas (fxos +varáves) Restrções (1) Não se excede a dsponbldade de mercadora nos fornecedores (2) A capacdade de cada fábrca não é excedda e a mercadora só é transportada para fábrcas nstaladas (3) A capacdade de cada armazém não é excedda e a mercadora só é transportada para armazéns nstalados (4) A procura dos clentes é satsfeta (5) e (6) garantem a coerênca entre a quantdade transportada entre os níves da cadea logístca. (7), (8), (9), (10), (11) defnem o domíno das varáves Nota: pode haver stuações em que a totaldade do que chega a um equpamento deve ser exatamente gual à totaldade do que sa desse equpamento. Nestes casos as restrções (5) e (6) são gualdades. Dz-se que exste conservação de fluxo nos nodos. Este modelo pode faclmente ncorporar a possbldade de transportar dretamente de uma fábrca para um clente ou a hpótese de não satsfazer completamente a procura de um clente medante uma penalzação. 63

64 Exemplo Uma empresa de recolha de resíduos sóldos urbanos será responsável pela recolha dos resíduos em 5 freguesas do Concelho de Mafra. Esta empresa pretende desenhar uma rede logístca que lhe permta a custo mínmo fazer o transporte dos resíduos para estações de transferênca onde serão armazenados e compactados para serem posterormente depostados nos aterros. Depos de um estudo que envolveu uma equpa de técncos de váras áreas escolheram-se 5 potencas locas para nstalação das estações de transferênca e 3 potencas locas para a nstalação dos aterros. Os custos untáros (em undades monetáras) de transporte entre as freguesas e as estações de transferênca estão na tabela segunte: Estações de Transferênca Freguesa Freguesa Freguesa Freguesa Freguesa

65 Os custos untáros (em undades monetáras) de transporte entre as estações de transferênca e os aterros estão na tabela segunte: Aterros Estações de Transferênca Os custos fxos (em undades monetáras) de nstalação e as capacdades máxmas (em mlhares de toneladas) estão na tabela segunte: Custos fxos Estações de transferênca Aterros capacdade A quantdade de resíduos em cada freguesa (em mlhares de toneladas) é Freguesas Resíduos

66 Sstema Logístco Freguesas Estações de Transferênca Aterros 66

67 Solução ótma Utlzando o Solver do Excel tem-se 67

68 68

69 69

70 70

71 71

72 Custo total =