Ramos Energia e Automação

Transcrição

1 Mestrado Integrado em Engenhara Electrotécnca e de Computadores Investgação Operaconal Ramos Energa e Automação Prova com consulta Alunos admtdos a exame com avalação contínua Duração: 2h30 Partda da UnEng5/FND/UNIFIL para o Teatro de Operações do Líbano Partu no da 01 de Dezembro de 2008, em aeronave fretada pelas Nações Undas, o grosso da Undade de Engenhara N o 5 (UnEng5) para render o contngente naconal que está estaconado no Teatro de Operações no Líbano. A UnEng5, comandada pelo Tenente-Coronel de Engenhara Antóno José Soares Perera, do Exércto Português, num total de 141 mltares, ncou o seu Aprontamento e Treno Operaconal a 02 de Julho de Esta Força Naconal Destacada tem como mssão executar trabalhos de Construções Horzontas e Vertcas em apoo às undades da Unted Natons Interm Force n Lebanon (UNIFIL) em toda a Área de Operações, de Dezembro de 2008 a Junho de Prepara-se anda para contrbur para garantr a lberdade de movmentos em toda a Área de Operações e apoar as Forças Armadas Lbanesas e Agêncas cvs em actvdades de Ajuda Humantára dentro das suas capacdades, de acordo com as orentações do Comando da Força. A UNIFIL fo crada pela ONU em 1978 com o objectvo de apoar o governo lbanês, assegurando a retrada das forças sraeltas e a manutenção de paz no país. O Exércto português ncou, em Novembro de 2006, o seu contrbuto para a mssão da UNIFIL, no Líbano. Sendo esta a qunta Força para este Teatro de Operações, já perto de 750 mltares portugueses partcparam nesta mssão de apoo à reconstrução do Sul do Líbano. retrado de 1

2 1. (20/3 valores) A UnEng5 ntegra 12 ofcas, 37 sargentos e 92 praças, sendo 15 por cento dos efectvos (21) mulheres e 55 por cento já com experênca anteror em mssões nternaconas. Esse contngente mltar fcará nstalado no sul do Líbano, em Camp Ubque e será a partr dessa base que partrão para o Teatro das Operações. O contngente de 141 mltares ntegra também um conjunto de veículos e 40 equpamentos que vsam permtr a execução dos trabalhos de engenhara que ncluem, entre outros, a construção de vas de comuncações, terraplanagens, remoção de obstáculos, construção de abrgos, aeródromos e helportos, trabalhos de desmatação, escavação, aterro e drenagem, recuperação de edfícos públcos, fornecmento e dstrbução de energa eléctrca, e também a nactvação de engenhos explosvos. Antes da partda da UnEng5 fo necessáro fazer o levantamento de todas as ntervenções realzáves, para se poder fazer um planeamento agregado das ntervenções para o período da mssão. Esse levantamento ncluu as durações estmadas (em meses), os recursos a utlzar, custos de operação e também uma medda do retorno dos trabalhos realzados (em valor monetáro), que reflecte a melhora das condções de vda das populações locas e é também uma medda de prestígo da mssão portuguesa. O resultado desse levantamento está representado na tabela 1. Tabela 1: Lsta de ntervenções Duração Ofcas Sargentos Praças Equpamentos Custo Retorno (meses) (quant.) (quant.) (quant.) (quant.) (Ke) (Ke) t o s p e cus ret Int A Int B Int C Int D Int E Int F Int G Int H O comando operaconal em Portugal, após analsar as ntervenções a realzar e após longas conversações com o comando da UNIFIL no Líbano, alertou para as seguntes stuações: De entre as ntervenções A, B e C é necessáro realzar pelo menos duas. Se for realzada pelo menos uma das ntervenções D ou E, é necessáro que se realze a ntervenção F. 2

3 O orçamento global para as ntervenções é de 1500 Ke. Durante todo o período da mssão, deverão permanecer em Camp Ubque 2 ofcas, 5 sargentos e 10 praças. (a) Escreva o modelo de Programação Matemátca que permta determnar as ntervenções a serem realzadas pela UnEng5 durante a sua mssão de 6 meses no Líbano. (b) Anda antes da partda para o Líbano, já depos de terem sdo decddas as ntervenções a realzar no Teatro das Operações, fo necessáro decdr qual a sequênca para a realzação dessas ntervenções. Para tal fo construído o segunte modelo de Programação Matemátca: Índces Constantes {0,..., I} Intervenção a realzar; m {1,..., 6} Mês; t Duração da ntervenção o Número de ofcas necessáros para realzar a ntervenção O Número total de ofcas s Número de sargentos necessáros para realzar a ntervenção S Número total de sargentos p Número de praças necessáros para realzar a ntervenção P Número total de praças e Número de equpamentos necessáros para realzar a ntervenção E Número total de equpamentos Varáves de decsão Função objectvo x m {0, 1} Igual a 1 se ntervenção decorre durante o mês m M Folga de recursos max M Restrções m O (o x m ) M (1) m S (s x m ) M (2) m P (p x m ) M (3) m E (e x m ) M (4) x m = t (5) ) Descreva o que se pretende com a função objectvo. ) Descreva o que se pretende modelzar com as restrções 1, 2, 3 e 4. ) Descreva o que que se pretende modelzar com a restrção 5. v) Consdera a função objectvo adequada? Sugra, justfcadamente uma função objectvo alternatva. v) Que problemas antevê na solução óptma obtda por este modelo, tendo em conta a varável de decsão x m e as restrções apresentadas? m 3

4 2. (20/3 valores) O Tenente-Coronel Alves Caetano, responsável pela gestão dos materas para a reabltação de edfícos exstentes, defronta-se no momento com um problema de logístca. Assm, sabendo que brevemente lhe serão envadas 50 ton de area, 15 ton de brta, 20 ton de cmento e 7 ton de terra, espera decdr que quantdades armazenar em cada um dos dos estaleros que a sua base mltar, o Ubque Camp, possu. O Estalero Norte do Ubque Camp possu uma capacdade de armazenagem de 40 ton, enquanto que o Estalero Sul possu uma capacdade de 65 ton. Os custos mensas de armazenagem dos materas, por tonelada, em cada um dos estaleros estão ndcados na tabela segunte: Materal Area Brta Cmento Terra Estalero Norte 2,0 e 1,0 e 3,5 e 1,5 e Estalero Sul 2,5 e 1,2 e 3,0 e 2,1 e Pretende-se então saber que quantdade de cada tpo de materal deve ser armazenada em cada estalero de forma a mnmzar os custos de armazenagem. (a) ) Formule o problema como um problema de transportes; ) determne uma solução ncal pela Regra dos Custos Mínmos; ) faça uma prmera teração pelo Algortmo de Transportes; v) verfque se a solução obtda após essa prmera teração é óptma ou não e explque porquê; v) apresente a solução obtda; v) calcule o valor da função objectvo para a solução obtda. (b) Admta agora que o Estalero Norte não possu as condções de armazenagem necessáras para garantr a manutenção das propredades do cmento e, como tal, não se poderá armazenar o cmento neste. Admta anda que se deverá usar a capacdade máxma de armazenagem do Estalero Sul. Apresente o novo quadro ncal de transporte que apresentou na alínea anteror por forma a contemplar estas restrções. Atenção: deve só apresentar o quadro ncal e não deve fazer nenhuma teração. 4

5 3. (20/3 valores) No âmbto das suas actvdades de construções vertcas, a UnEng5 tem como mssão a reconstrução da escola prmára de Naqoura, parcalmente destruída nos confrontos com Israel em Este não é um projecto complcado em termos de engenhara, mas dado o seu carácter urgente, tem lugar de destaque nas prordades da Undade portuguesa. A rede segunte representa a relação entre as váras actvdades dentfcadas como essencas para concretzar o projecto, bem como as suas durações (valor médo e desvo padrão). (a) Determne a duração e o camnho crítco do projecto. (b) Indque todas as folgas (total e lvre) de cada uma das actvdades do projecto. (c) Um atraso de 2 das no níco da actvdade F comprometerá a duração total do projecto? Justfque. (d) Qual a probabldade do projecto se prolongar por 3 ou mas das? 5

6 Resolução 1. (a) Índces {A,..., H} Intervenção a realzar; Constantes t Duração da ntervenção (em meses) 6 Duração total da mssão (em meses) o Número de ofcas necessáros para realzar a ntervenção 2 Número de ofcas que se devem manter em Camp Ubque 12 Número total de ofcas s Número de sargentos necessáros para realzar a ntervenção 5 Número de sargentos que se devem manter em Camp Ubque 37 Número total de sargentos p Número de praças necessáros para realzar a ntervenção 10 Número de praças que se devem manter em Camp Ubque 92 Número total de praças e Número de equpamentos necessáros para realzar a ntervenção 40 Número total de equpamentos cus Custo assocado à realzação da ntervenção ret Retorno assocado à realzação da ntervenção Varáves de decsão x {0, 1} Igual a 1 se ntervenção for planeada para ocorrer durante a mssão Função objectvo max (ret cus ) x 6

7 Restrções Não exceder os ofcas mês dsponíves (o t x ) (12 2) 6 Não exceder os sargentos mês dsponíves (s t x ) (37 5) 6 Não exceder os praças mês dsponíves (p t x ) (92 10) 6 Não exceder os equpamentos mês dsponíves (e t x ) 40 6 De entre as ntervenções A, B e C é necessáro realzar pelo menos duas. x A + x B + x C 2 Se for realzada pelo menos uma das ntervenções D ou E, é necessáro que se realze a ntervenção F. x F x D + x E O orçamento global para as ntervenções é de 1500 Ke. (cus x ) 1500Ke (b) Note-se que se consderaram de forma ndependente as restrções de capacdade de cada um dos recursos, pos o modelo que se pretende é um modelo de planeamento agregado. Num nível mas fno de planeamento sera necessáro resolver um modelo de sequencamento das ntervenções. ) Com a função objectvo pretende-se que o recurso com menor folga num determnado mês tenha a maor folga possível (MaxMn). Como no modelo não se lmta a varável de decsão M a valores maores ou guas a zero, um valor nferor a zero para a função objectvo sgnfca que não há recursos sufcentes (de um ou mas tpos, num ou mas meses) para realzar as operações planeadas para o Líbano e anda assm essa ser a solução óptma para o problema. ) Com as restrções 1, 2, 3 e 4 pretende-se, em cada mês, restrngr a utlzação de cada um dos recursos, contrbundo anda para o objectvo MaxMn através da varável M. O facto de a varável M não estar restrta a valores maores ou guas a zero, permte que o problema tenha solução mesmo quando a quantdade de um ou mas tpos de recursos não for sufcente num determnado mês. ) Com as restrções 5 pretende-se garantr que todas as ntervenções decorrem exactamente no número de meses prevsto. v) Ao consderar a folga de todos os recursos gualmente mportante (uma folga de um ofcal gualmente mportante que uma folga de um equpamento) a função objectvo não parece estar a reproduzr a mportânca dos recursos em causa. Uma função objectvo alternatva poda por exemplo medr separadamente essas folgas e dar-lhe valores (pesos) dferentes, a decdr pelo agente de decsão. v) Com a varável de decsão defnda neste modelo pode acontecer que uma ntervenção que tenha que decorrer em város meses não decorra em meses consecutvos. Isto é: decorre durante um mês, pára no mês segunte e só recomeça num outro mês. 7

8 Em certas stuações de sequencamento essa stuação não pode acontecer e terá que ser acautelada defnndo uma varável de decsão dferente e/ou acrescentando restrções, de tal forma que, se uma ntervenção começar deverá ser realzada até ao fm. 8

9 2. (a) ) Para formular este problema como um problema de transportes vamos consderar como orgens os materas e como destnos os estaleros. É necessáro para equlbrar a capacdade de armazenagem com a quantdade a armazenar e acrescentar um materal fctíco que absorverá o excesso de capacdade. Estalero Norte Estalero Sul Area 50 Brta 15 1,0 1,2 Cmento 20 3,5 3,0 Terra 7 1,5 2,1 X 13 0,0 0, ) Determnando uma solução ncal pela regra dos custos mínmos tem-se: Estalero Norte Estalero Sul Area Brta ,0 1,2 Cmento ,5 3,0 Terra 7-7 1,5 2,1 X ,0 0, ) Fazendo uma teração pelo algortmo de transportes: 2 2,5 0,0 18+θ 32-θ -1,0 15-θ θ 1,0 1,2 0,5-20 3,5 3,0-0,5 7-1,5 2,1-2,5-13 0,0 0,0 Com θ=mn(15,32)=15, dando orgem ao segunte quadro: 2 2,5 0, ,0-15 1,0 1,2 0,5-20 3,5 3,0-0,5 7-1,5 2,1-2,5-13 0,0 0,0 v) A solução obtda é óptma porque não exstem dferenças j = c j U V nãonegatvas, conforme apresentado no quadro abaxo. 9

10 2 2,5 0, ,3-15 0,3 1,0 1,2 0,5-20 1,0 3,5 3,0-0,5 7-1,5 0,1 2,1-2,5-13 0,5 0,0 0,0 v) O armazenamento deverá ser feto da segunte forma: Armazem Norte: 33 ton. de area; 7 ton. de terra; Armazem Sul: 17 ton. de area; 15 ton. de brta; 20 ton. de cmento. v) A função objectvo terá um valor de 197e. (b) Dado que não é permtda a armazenagem do cmento no Estalero Norte, o problema pode ser reformulado consderando um custo nfnto para o armazenamento deste materal neste estalero. Por outro lado, dado que a capacdade de armazenamento do Estalero Sul deve ser usada na totaldade, não poderá haver qualquer materal fctíco assocado a este estalero, daí se consderar um custo nfnto de armazenamento. Estalero Norte Estalero Sul Area 50 Brta 15 1,0 1,2 Cmento ,0 Terra 7 1,5 2,1 X 13 0,

11 3. (a) A rede do projecto está desenhada na fgura segunte: Duração prevsta: 18 das Camnho crítco: A C E G I (b) Folgas Totas e Lvres ndcadas na fgura anteror. (c) Tendo em conta que para a actvdade F: FT = FL = 1 da, um atraso de 2 das no níco desta actvdade mplcara um atraso de 1 da na conclusão do projecto, que demorara 19 das a ser concluído. (d) Duração méda do projecto: Varânca da duração do projecto: µ T = µ A + µ C + µ E + µ G + µ I = 18 σ 2 T = σ 2 A + σ 2 C + σ 2 E + σ 2 G + σ 2 I = 8 P rob(d T 21) = P rob(z ) = P rob(z 1, 06) = 0, , 46% 11