UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economia Análise de Dados e Probabilidade 2º Semestre 2008/2009 Exame Final 1ª Época. Grupo I (4 Valores)

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1 UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economa Análse de Dados e Probabldade º Semestre 008/009 Exame Fnal ª Época Clara Costa Duarte Data: 8/05/009 Graça Slva Duração: h0 Grupo I (4 Valores) A gelatara Gelados Dados é especalsta em gelados de chocolate. Por esta razão, a gelatara vende apenas gelados de dos sabores: chocolate branco e chocolate preto. O número de gelados venddos por da com sabor a chocolate branco e chocolate preto, B e P respectvamente, têm a segunte função de probabldade conjunta: B/P ,08 b 0, 0 a 0, 0, ,08 0, 0, a) Sabendo que B0/P0) 0,4, calcule os valores de a e b. b) Estude a ndependênca das duas varáves. c) Calcule o valor médo e a varânca da varável D P-B. Grupo II (4 valores) Consdere que a varável X t representa o número de vstantes da Dsneyworld (em mlhões de vstantes). Com base numa amostra de observações

2 semestras de 00 a 008, estmou-se a segunte recta dos mínmos quadrados: t t. a) Qual a méda de vstantes durante o período referdo? Justfque b) O coefcente de correlação do ajustamento lnear é dado por r 0,5. O que pode dzer quanto á qualdade deste ajustamento? c) Sabendo que os índces de sazonaldade obtdos, a partr dos dados referdos anterormente, foram 0,8 e,4 para o prmero e segundo semestre, respectvamente. Na sua opnão qual julga ter sdo o método de decomposção utlzado? Justfque a sua resposta. d) Calcule os índces de sazonaldade corrgdos de acordo com a sua resposta à alínea anteror. Grupo III (5 Valores) Consdere os seguntes conjuntos de dados recolhdos num estudo realzado numa portagem de auto-estrada entre as 0h e as h de um da de semana: X: po de veículo Y: nº Ocupantes / veículo W: Preço da portagem X j Nº de veículos Y j Nº de veículos W r Nº de veículos motocclo lgero 56 0,5 56 Pesado passageros Pesado Mercadoras 5 [,5] [6,0] 5 8

3 a) Determne para cada uma das varáves em estudo a medda de localzação central mas aproprada. Interprete os resultados obtdos e justfque a escolha que fez para cada uma das varáves. b) Desenhe a função de dstrbução acumulada para a varável Y, determne o tercero quartl e nterprete o resultado. c) Determne para a varável W o coefcente de assmetra de Bowley e nterprete o resultado obtdo. Grupo IV ( Valores) No quadro segunte são apresentadas as quantdades consumdas de três frutos tropcas (Papaa, Manga e Goaba), em toneladas, bem como os respectvos valores: Valor (mlhares de euros) Quantdades (toneladas) Papaa Goaba Manga Conhece-se anda a segunte nformação relatva à evolução dos preços de cada um dos frutos:

4 4 Índce de preços (todos com base no ano t) Papaa,,8 Goaba,,0 Manga,4, a) Calcule o índce do tpo Paasche, de 008 com base em 007, que sntetze a evolução global das quantdades mportadas dos três frutos. b) Determne o índce smples de preços de cada um dos frutos para 008 com base em 007. Grupo V (5 valores). Suponha que as notas do prmero e segundo trabalho de Análse de Dados seguem uma dstrbução Normal com méda 5 e 6 valores, respectvamente. Sabe-se anda que o desvo padrão é gual em ambos os trabalhos e gual a valores. a) Qual a probabldade de um aluno selecconado ao acaso ter nota superor a 7 valores no prmero trabalho? b) Assumndo que as notas dos dos trabalhos são ndependentes, determne a probabldade de um aluno ter nota superor a 6 em pelo menos um dos trabalhos?. A probabldade da professora das aulas prátcas de Análse de Dados acertar no nome de um aluno, quando faz uma questão durante as aulas, é de 0,7 se este é rapaz e de 0,6 se é raparga. Sabe-se que a percentagem de rapargas que frequentam as aulas prátcas é gual à percentagem de rapazes.

5 5 a) Sabendo que a professora selecconou um aluno ao acaso para lhe fazer uma questão e não acertou no seu nome, qual a probabldade de ter sdo uma raparga? b) Qual a probabldade de numa aula prátca a professora questonar 0 alunos e no máxmo acertar no nome de 6?

6 UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA Faculdade de Economa Análse de Dados e Probabldade º Semestre 008/009 Correcção Exame Fnal ª Época Clara Costa Duarte Data: 8/05/009 Graça Slva Duração: h0 Grupo I (4 Valores) A gelatara Gelados Dados é especalsta em gelados de chocolate. Por esta razão, a gelatara vende apenas gelados de dos sabores: chocolate branco e chocolate preto. O número de gelados venddos por da com sabor a chocolate branco e chocolate preto, B e P respectvamente, têm a segunte função de probabldade conjunta: B/P ,08 b 0, 0 a 0, 0, ,08 0, 0, a) Sabendo que B0/P0) 0,4, calcule os valores de a e b. B0/P0) 0,4 0,08/(a+0,6)> a 0,04 b - (0,+0,8+0,) 0, b) Estude a ndependênca das duas varáves. Ex: f B (50) 0,4 ; f P (50) 0,4 f(50,50) 0, 0,*0,4 0,68 B e P não são ndependentes

7 c) Calcule o valor médo e a varânca da varável D P-B. B f B(b) 0,4 0, 0,4 P f p) 0, 0,4 0,8 E[P] 57,4 ; E[B] 4; E[P ] 66 ; E[B ] 84 Var(P) Var(B) 84 (57,4) 67,4 Cov(B;P) E[BP] E[P] E[B] 98 57,4*4 -,6 Cov( B; P) -,6 Corr( B; P) -0,9 S P S B 84 67,4 E[D] E[P-B] E[P] - [B] 57,4-4 80,8 Var[D] Var[P-B] Var[P] +Var[B] 4Cov(B;P) 4 67, (-,6) 58, 56 Grupo II (4 valores) Consdere que a varável X t representa o número de vstantes da Dsneyworld (em mlhões de vstantes). Com base numa amostra de observações semestras de 00 a 008, estmou-se a segunte recta dos mínmos quadrados: t t. a) Qual a méda de vstantes durante o período referdo? Justfque. a 000 a X t bt

8 t 6,5 000 X 600 6,5 X 5900 mllhões de vstantes t t b) O coefcente de correlação do ajustamento lnear é dado por r 0,5. O que pode dzer quanto á qualdade deste ajustamento? R 0,5, apenas 5% da varânca de Y é explcada pela tendênca. c) Sabendo que os índces de sazonaldade obtdos, a partr dos dados referdos anterormente, foram 0,8 e,4 para o prmero e segundo semestre, respectvamente. Na sua opnão qual julga ter sdo o método de decomposção utlzado? Justfque a sua resposta. Mutplcatvo. d) Calcule os índces de sazonaldade corrgdos de acordo com a sua resposta à alínea anteror. Assumndo o modelo multplcatvo temos que: S Wc w 0,8 +,4, logo os índces dados não estão corrgdos S c 0,8/(,/) 0,77 e S c,4/(,/),77 Grupo III (5 Valores) Consdere os seguntes conjuntos de dados recolhdos num estudo realzado numa portagem de auto-estrada entre as 0h e as h de um da de semana:

9 4 X: po de veículo Y: nº Ocupantes / veículo W: Preço da portagem X j Nº de veículos Y j Nº de veículos W r Nº de veículos motocclo lgero 56 0,5 56 Pesado passageros Pesado Mercadoras 5 [,5] [6,0] 5 8 a) Determne para cada uma das varáves em estudo a medda de localzação central mas aproprada. Interprete os resultados obtdos e justfque a escolha que fez para cada uma das varáves. X escolho a moda- varável qualtatva, valores não tem sgnfcado. Moda são os veículos lgeros Y escolho a medana - Medana é 50% dos veículos tem ou menos passageros. Méda muto nfluencada por valores extremos pouco sgnfcatva W escolho a méda - Méda (*45+,5*56+5*6)/64,05 Valor médo da portagem por veículo tem um sgnfcado relevante. b) Desenhe a função de dstrbução acumulada para a varável Y, determne o tercero quartl e nterprete o resultado. F(5)-( F) F(5)- F( q ) 5-5-q 0,9-0,74 0,9-0,75 q,095 5-q

10 5 F(w) W c) Determne para a varável W o coefcente de assmetra de Bowley e nterprete o resultado obtdo. qqq > coefcente gual a 0. A dstrbução não é smétrca mas 50% das observações centras tem o mesmo valor de portagem. Grupo IV ( Valores) No quadro segunte são apresentadas as quantdades consumdas de três frutos tropcas (Papaa, Manga e Goaba), em toneladas, bem como os respectvos valores: Valor (mlhares de euros) Quantdades (toneladas) Papaa Goaba Manga Conhece-se anda a segunte nformação relatva à evolução dos preços de cada um dos frutos:

11 6 Índce de preços (todos com base no ano t) Papaa,,8 Goaba,,0 Manga,4, a) Calcule o índce do tpo Paasche, de 008 com base em 007, que sntetze a evolução global das quantdades mportadas dos três frutos. Q P P Q 08/ 07 Q P α Q 08 / , , ,5,489 b) Determne o índce smples de preços de cada um dos frutos para 008 com base em 007.,8,8 P P P Papaa > 08 / 07 08/ t t / 07, 78 P, 07 / t,0,0 P P P Goaba > 08 / 07 08/ t t / 07, 04 P, 07 / t,, P P P Manga> 08 / 07 08/ t t / 07, 75 P,4 07 / t Grupo V (5 valores). Suponha que as notas do prmero e segundo trabalho de Análse de Dados seguem uma dstrbução Normal com méda 5 e 6 valores,

12 7 respectvamente. Sabe-se anda que o desvo padrão é gual em ambos os trabalhos e gual a valores. a) Qual a probabldade de um aluno selecconado ao acaso ter nota superor a 7 valores no prmero trabalho? N( μ 5; σ > 7) Z 9) 7-6 > ) Z > 0,67) - 0,7486 0,54 b) Assumndo que as notas dos dos trabalhos são ndependentes, determne a probabldade de um aluno ter nota superor a 6 em pelo menos um dos trabalhos? N(μ >6 6;σ 9) >6) >6) + >6)- >6) ( >6) 6-5 > 6) Z > ) > 6) Z > 0) 0,5 Z > / ) 0,707 P ( > 6 > 6) 0, ,5-0,707 0,5 0,6855. A probabldade da professora das aulas prátcas de Análse de Dados acertar no nome de um aluno, quando faz uma questão durante as aulas, é de 0,7 se este é rapaz e de 0,6 se é raparga. Sabe-se que a percentagem de rapargas que frequentam as aulas prátcas é gual à percentagem de rapazes. a) Sabendo que a professora selecconou um aluno ao acaso para lhe fazer uma questão e não acertou no seu nome, qual a probabldade de ter sdo uma raparga? A/H) 0,7 A/M) 0,6 H) M) 0,5

13 8 M / A) M A) A) A / M ) M ) A / M ) M ) + A / H ) H ) 0,4 0,5 0,4 0,5 + 0, 0,5 0,574 b) Qual a probabldade de numa aula prátca a professora questonar 0 alunos e no máxmo acertar no nome de 6? P ( A) A) -0,5 0,65 X- número de alunos, em 0, em que a professora acerta o nome quando os questona X B(n 0; p 0,65) W- número de alunos, em 0, em que a professora não acerta o nome quando os questona W B(n 0; p 0,5) X 6 ) W 4) - W < 4) - W ) Consultando a tabela da Função de dstrbução para n 0; p 0,5 e x temos que: W ) 0,58. Assm, X 6 ) -0,58 0,486.