Exame 1ª Época. Nº: Nome:

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1 Faculdade de Economa da Unversdade ova de Lsboa 04 Análse de Dados e Probabldade º Semestre 007/008 Fernando Brto Soares Erca Marujo Exame ª Época º: ome: Data: 6 de Junho de 008, 8:0 Duração: :0 horas ota: A utlzação de máqunas centífcas e gráfcas só será permtda depos de feto o respectvo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enuncado. ão desagrafe nenhuma folha. Apresente todos os cálculos e/ou justfcações para as suas respostas. I (0%). uma dada unversdade, para uma amostra de 000 alunos de Mestrado, verfcouse a segunte stuação: A B B B B Totas A A A Totas Em que o atrbuto A se refere ao Mestrado frequentado por cada aluno (A Economa; A - Gestão; A - Fnanças) e o atrbuto B se refere à regão de orgem de cada aluno (B orte; B Centro; B Sul). a) (5%) Escreva a dstrbução condconal do atrbuto B dada a modaldade A. b) (5%) Serão os atrbutos A e B ndependentes? Justfque.. A companha aérea SafeJet realzou um estudo, do qual foram retradas as seguntes nformações relatvas aos gastos totas mensas em combustíves, em mlhares de euros (G ) e às recetas mensas dessa empresa, também em mlhares de euros (R ): G R

2 Exame ª Época ln R 8,0495 ; ln G, ; ln R lng 9,764 ; ln R G = = ln R 46,948; ln G 8,58 ; = = a) (5%) Calcule a covarânca entre as duas varáves (G e R). = = 5,69 R = ; G =0809; G R =6750 = b) (5%) Calcule e nterprete o valor dos parâmetros da regressão de R em relação a G, assumndo uma função potênca. c) (5%) Calcule e nterprete o valor dos parâmetros da regressão de R em relação a G, assumndo uma função lnear. d) (5%) Qual destas regressões ajusta se melhor aos dados? Justfque recorrendo a um ndcador estatístco adequado. = = II (0%) A cadea hotelera Cílo recolheu os seguntes dados respetantes aos lucros semestras de uma das suas undades hoteleras, stuada numa lha do Oceano Atlântco, entre 004 e 007, em mlhares de euros: Anos º Semestre º Semestre a) (5%) Determne e estme a tendênca recorrendo ao método da regressão lnear. b) (0%) Determne e nterprete os índces de sazonaldade desta sucessão através do método multplcatvo. c) (5%) Calcule uma prevsão para a evolução dos lucros da cadea hotelera em 008, assumndo que se prevê a manutenção da tendênca de crescmento da ndústra do tursmo na lha onde está nstalada a undade hotelera em causa.

3 Exame ª Época III (5%) O stand 00 à Hora comercalza três marcas de carros: Ferrar (F), Lamborghn (L) e BMW (B). o seu relatóro anual de 007, foram dvulgadas as seguntes nformações, relatvas à evolução dos preços de cada um dos bens e às respectvas recetas entre 00 e 007, em mlhares de euros: Marca Preços Índces de preços Recetas Ferrar ,05, Lamborghn ,08, BMW ,06, OTA: Os índces de preços apresentados têm todos a mesma base. a) (5%) Construa um índce de preços com base em 00 para os BMW, para cada ano de 00 a 005, e calcule o índce das recetas obtdas para cada uma das marcas de carros em 007, com base em 006. b) (5%) Calcule o índce de Laspeyres e o índce de Paasche, ambos de preços, para o ano de 007, com base em 006. c) (5%) Sabe se que o aumento prevsto das recetas deste stand será de 5% em 008, avalado através do índce das recetas totas com base em 007. É também esperado para 008 um aumento de,5% nas recetas obtdas com as vendas dos Ferrars e um aumento de 4% nas recetas geradas pelas vendas dos BMW. Calcule o valor das recetas que o stand espera obter com a venda de Lamborghns, em 008. d) (0%) O índce de Fsher é reversível em relação aos factores? Justfque a sua resposta. IV (5%). (5%) Segundo as estatístcas ofcas da Academa da Força Aérea, são admtdos todos os anos em méda 50% dos alunos no curso de Ploto Avador, 0% nos cursos de Engenhara e 0% em Medcna. Apenas ngressam no curso de Ploto Avador os cadetes que passarem num teste básco de voo, obrgatóro para todos os alunos durante o período de recruta. A probabldade de um aluno que pretende segur o curso de Ploto Avador passar nesse teste é de 60%, enquanto que o valor dessa probabldade é de 45% para os alunos que pretendem segur Engenhara e de 0% para os que querem ngressar em Medcna. Qual a probabldade de ser admtdo um aluno no curso de Ploto Avador que não pretende segur esse curso?. Suponha que no fm do curso os plotos são destacados para as dferentes esquadras através de um sorteo, de tal forma que 0% dos plotos são destacados para a

4 Exame ª Época esquadra dos caças F 6, 0% para as esquadras de helcópteros, 5% para as esquadras dos avões de carga como os C 0 Hércules e 5% para as restantes esquadras. a) (5%) Qual a probabldade de, num grupo de 5 plotos, pelo menos 0 não serem selecconados para a esquadra dos caças? b) (5%) Sabendo que, em méda, são selecconados por ano plotos para a esquadra dos caças, qual a probabldade de serem selecconados pelo menos 8 plotos para esta esquadra no espaço de dos anos?. A quantdade utlzada de combustível por voo de um F 6 é uma varável aleatóra com dstrbução ormal, de parâmetros μ=800 e σ = A capacdade máxma de combustível de um F 6 é de 500 ltros, e a quantdade mínma de combustível que é necessára para o avão atngr a velocdade MACH (ultrapassar a barrera do som) durante um voo é de 00 ltros. a) (5%) Qual a probabldade de um F 6 ter combustível sufcente para ultrapassar a barrera do som? b) (5%) Qual devera ser a quantdade mínma de combustível necessára para atngr a velocdade MACH de modo a que a probabldade anteror seja de 5%? 4

5 Dstrbuções de probabldade de v. a. dscretas Dstrbução Função de probabldade Função de dstrbução X ~ DU(, j) j + {, +,..., j j} x. x 0 + j + x < x j 0 {, +,..., j j} x, x > j q = p x = 0 0 x < 0 X ~ Bernoull( p) p x = q = p 0 x < 0 outros casos x X ~ Bn( n, p) n x n x ( ) p ( p) x 0 x { 0,,,..., n} { 0,, n} x,..., 0 x < 0 x p = 0 n ( p) 0 x < n x n λ x e λ 0 x < 0 x {,,... } X ~ Posson( λ) x! x λ λ e x 0 x,,... 0 { } = 0! Análse de Dados e Probabldade Fernando Brto Soares

6 Dstrbuções de probabldade de v. a. contínuas Dstrbução Função densdade de probabldade Função de dstrbução X ~ U ( a, b) b a [ a b] x, 0 x [ a, b] 0 x < a x a x a, b b a x > b [ ] X ~ ( µ, σ ) Z ~ (0,) x µ σ t µ x σ e e πσ πσ z e π π z t e dt dt 0 x < 0 0 x < 0 X ~ Exp( β ) β β e x x 0 x β e x 0 0 x 0 0 x 0 X ~ Gama( α, β ) α β Γ ( α ) x α e x β x > 0 x α β = 0! x e x > 0 β 0 x 0 0 x 0 X ~ χ ( ν ) ν x ν Γ ν e x x > 0 e ν x = 0 x! x > 0 ν ν + ν + Γ X ~ T ( ν ) + x ν ν πν Γ Análse de Dados e Probabldade x R ão exste expressão Fernando Brto Soares

7 TABELA DISTRIBUIÇÃO BIOMIAL (Contnuação) A. Função probabldade B. Função de dstrbução θ θ n x x

8 TABELA DISTRIBUIÇÃO DE POISSO (Contnuação) A. Função probabldade B. Função de dstrbução x x x x x x

9 Tabela : Probabldades acumuladas da dstrbução ormal estandardzada Z~ ( µ = 0, σ = ) : φ() z = F() z = P( Z z) = e dt (f.d.) π z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,59 0,579 0,59 0,559 0, 0,598 0,548 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,566 0,5675 0,574 0,575 0, 0,579 0,58 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,60 0,64 0, 0,679 0,67 0,655 0,69 0,6 0,668 0,6406 0,644 0,6480 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,676 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,7 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,74 0,757 0,789 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,767 0,7704 0,774 0,7764 0,7794 0,78 0,785 0,8 0,788 0,790 0,799 0,7967 0,7995 0,80 0,805 0,8078 0,806 0,8 0,9 0,859 0,886 0,8 0,88 0,864 0,889 0,85 0,840 0,865 0,889,0 0,84 0,848 0,846 0,8485 0,8508 0,85 0,8554 0,8577 0,8599 0,86, 0,864 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,8770 0,8790 0,880 0,880, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905, 0,90 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,9 0,947 0,96 0,977,4 0,99 0,907 0,9 0,96 0,95 0,965 0,979 0,99 0,906 0,99,5 0,9 0,945 0,957 0,970 0,98 0,994 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,946 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,955 0,9545,7 0,9554 0,9564 0,957 0,958 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,96,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,969 0,9699 0,9706,9 0,97 0,979 0,976 0,97 0,978 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,977 0,9778 0,978 0,9788 0,979 0,9798 0,980 0,9808 0,98 0,987, 0,98 0,986 0,980 0,984 0,988 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890, 0,989 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,99 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,995 0,997 0,999 0,99 0,99 0,994 0,996,5 0,998 0,9940 0,994 0,994 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,995 0,995,6 0,995 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,996 0,9964,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,997 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990, 0,9990 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999, 0,999 0,999 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995, 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 z t Alguns valores crítcos z z,8,645,960,6,576,090,9,89 4,47 φ ( z) 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0, , [ φ( z)] 0,0 0,0 0,05 0,0 0,0 0,00 0,00 0,000 0,0000 9

10 Faculdade de Economa da Unversdade ova de Lsboa 04 Análse de Dados e Probabldade º Semestre 007/008 Fernando Brto Soares Erca Marujo Correcção Exame ª Época I (0%). uma dada unversdade, para uma amostra de 000 alunos de Mestrado, verfcou se a segunte stuação: A B B B B Totas A A A Totas Em que o atrbuto A se refere ao Mestrado frequentado por cada aluno (A Economa; A - Gestão; A - Fnanças) e o atrbuto B se refere à regão de orgem de cada aluno (B orte; B Centro; B Sul). a) (5%) Escreva a dstrbução condconal do atrbuto B dada a modaldade A. A dstrbução condconada do atrbuto B dada a modaldade A não é mas do que a restrção da amostra aos ndvíduos cuja modaldade do atrbuto A é A : f B /A n A,B 80 n.,a ,6; f B /A n A,B 50 n.,a 500 0,5;f B /A n A,B 70 n.,a 500 0,4 este caso, não podemos condensar toda a nformação relatva aos ndvíduos cuja modaldade do atrbuto A é A numa tabela, uma vez que tanto A como B são varáves quanttatvas, pelo que não podemos acumular frequêncas relatvas smples e acumuladas relatvas a estas varáves, apenas frequêncas absolutas. b) (5%) Serão os atrbutos A e B ndependentes? Justfque. Para que os atrbutos A e B sejam ndependentes, é necessáro que a dstrbução de A seja gual quando condconada em qualquer uma das modaldades do atrbuto B e anda quando não é condconada (o que acontece na sua dstrbução margnal). Quer sto dzer que a percentagem de ndvíduos com a modaldade A do atrbuto A tem que ser a mesma para o grupo de ndvíduos que apresentam B, B, B e anda para o conjunto de todos os ndvíduos (sendo que se as três prmeras forem guas, a últma é também forçosamente gual). Obvamente que o mesmo tem que se passar para a modaldade A e A do atrbuto A. f A /B n.,b ,474; f A /B ,595; n.,b f A /B 70 n.,b ,5; f A,. n A, ,5

11 Correcção Exame ª Época f A /B f A /B f A /B f A f A /B 50 n.,b 80 0,95; f A /B 0 0,6; n.,b 40 f A /B 90 n.,b 00 0,45; f A,. n A, ,5 f A /B f A /B f A /B f A f A /B 50 n.,b 80 0,; f A /B 60 n.,b 40 0,4; 7 f A /B 40 n.,b ,; f A,. n A, ,5 f A /B f A /B f A /B f A Por outro lado, podemos verfcar se as frequêncas relatvas são guas ao produto das frequêncas margnas: f A,. 0,5; f.,b n.,b f A,B f.,b n.,b f.,b n.,b 80 0,8; ,8 0,9 0,5.0,8 f A,..f.,B ,4; f A,B ,; f A,B f A,. 0,5; f.,b 0,8; f A,B f.,b 0,4; f A,B f.,b 0,; f A,B f A,. 0,5; f.,b 0,8; f A,B f.,b 0,4; f A,B f.,b 0,; f A,B ,5 0, 0,5.0,4 f A,..f.,B ,07 0, 0,5.0, f A,..f.,B ,5 0, 0,5.0,8 f A,..f.,B , 0,47 0,5.0,4 f A,..f.,B ,09 0,07 0,5.0, f A,..f.,B ,05 0,057 0,5.0,8 f A,..f.,B ,06 0,06 0,5.0,4 f A,..f.,B ,04 0,0 0,5.0, f A,..f.,B De qualquer das formas, podemos verfcar que os atrbutos A e B não são ndependentes.

12 Correcção Exame ª Época. A companha aérea SafeJet realzou um estudo, do qual foram retradas as seguntes nformações relatvas aos gastos totas mensas em combustíves, em mlhares de euros (G ) e às recetas mensas dessa empresa, também em mlhares de euros (R ): G R ln R 8,0495 ; ln G, ; ln R lng 9,764 ; ln R G = = ln R 46,948; ln G 8,58 ; = G G = a) (5%) Calcule a covarânca entre as duas varáves (G e R). = = 5,69 R = ; G =0809; G R =6750 = Para calcular a covarânca entre G e R, prmero é necessáro calcular a méda de cada uma das varáves: R R CovG,R , Assm, a covarânca entre G e R é dada por: G G R R G R = G R = 4, ,5 b) (5%) Calcule e nterprete o valor dos parâmetros da regressão de R em relação a G, assumndo uma função potênca. B. Função Potênca: R AG, onde A e B são os parâmetros que defnem a função. Uma vez que o método dos mínmos quadrados ou método da regressão lnear apenas pode ser utlzado drectamente se estver a ser assumda uma função lnear entre as varáves, não é possível aplcar esse método drectamente no caso da função potênca para estmar o valor dos parâmetros A e B que a defnem. Contudo, após tomarmos logartmos neperanos, a função potênca pode ser reduzda a uma função lnear: lnr lnab lng R ' a ' b ' G Onde: R ' lnr ;G ' lng ; a ' lna; b ' B b ' R' G ' R ' G ' G ' G ' ' Mas então, passemos à estmação da função potênca lnearzada, começando por calcular o coefcente de regressão b ' : lnr lng lnr.lng lng lng

13 Correcção Exame ª Época 9,7646 6,458,700 8,586,700,8094 Em que:c lnr lng lnr lng 8,0495 6,458 6,,700 6 Assm, o valor de a ' será dado por: a ' R' b ' G' lnr b' lng 6,458,8094,7000,449 Logo, a recta de regressão será dada por: R' 0,449,8094 G ' lnr0,449,8094 lng Calculados os logartmos das varáves ncas e ajustada a função lnear acma descrta, torna se smples em voltar à função potênca ncal, fazendo: Ae a' e lna e 0, ,6 e Bb ',8094. Assm, a função potênca estmada é dada por: R756707,6 G,8094 Em relação à nterpretação dos parâmetros, b ' é o coefcente de regressão da recta, e como neste caso tanto a varável explcada como a explcatva são os logartmos das varáves orgnas, então podemos nterpretar b ' como uma elastcdade entre R e G, sto é, podemos conclur que quando os gastos totas mensas em combustíves aumentam uma undade percentual (aumentam %), então as recetas mensas dessa empresa dmnuem,8094 undades percentuas em méda, ou seja, essas recetas decrescem,8094%. O parâmetro a ' corresponde à ordenada na orgem da recta de regressão, e corresponde, lteralmente, ao valor de recetas mensas obtdas pela SafeJet caso os gastos mensas totas em combustíves fossem nulos.tal nterpretação não faz muto sentdo, uma vez que caso esses gastos fossem nulos, não se efectuaram quasquer voos por parte da empresa, e consequentemente, o valor das recetas tera também que ser nulo ou até mesmo negatvo. c) (5%) Calcule e nterprete o valor dos parâmetros da regressão de R em relação a G, assumndo uma função lnear.. Função Lnear: R ab G este caso, podemos utlzar drectamente o método dos mínmos quadrados, porque o que se pretende é a estmação de uma recta de regressão, que logcamente assume uma relação lnear entre as duas varáves. Assm, temos: b G R G R G G , ,5 5,5 arb G7755,5 4,5996,646 Assm, a recta de regressão é dada por: R996,6465,5 G 4

14 Correcção Exame ª Época O parâmetro b corresponde ao coefcente de regressão, e o seu valor permte nos conclur que quando os gastos mensas em combustíves aumentam uma undade (neste caso, quando aumentam ml euros), as recetas mensas da companha aérea decrescem, em méda, 5,5 mlhares de euros. O parâmetro a corresponde à ordenada na orgem da recta de regressão, e dz nos que quando a SafeJet não efectua qualquer gasto mensal em combustíves as suas recetas são de 996,646 mlhares de euros, o que não faz sentdo, pelas mesmas razões já referdas na alínea b). d) (5%) Qual destas regressões ajusta se melhor aos dados? Justfque recorrendo a um ndcador estatístco adequado. Para determnarmos qual destas regressões se ajusta melhor aos dados, temos que calcular o coefcente de determnação, R, para cada uma delas. Assm, vamos começar por calcular o coefcente de determnação da função potênca: R FP b ' s lng sg ' s R ' lng slng 0,04797 B,8094 s lnr 0,85 0,85 Em que a varânca do logartmo da varável G e a varânca do logartmo da varável R são dadas respectvamente por: s lnr lnr R sg FL b s R lng 8,58,700 0, lnr 46,948 6,458 0,85 6 Vamos agora calcular o coefcente de determnação da função lnear: s G G 5,5 79,5 49,6 0,9769 Em que a varânca de G e a varânca de R são dadas respectvamente por: G ,5 79,5 s R R R ,6 6 Assm, temos que: R FP 0,850,9769R FL Como a regressão lnear apresenta um coefcente de determnação superor ao da função potênca, podemos conclur que a regressão que melhor se ajusta aos dados é a função lnear. 5

15 Correcção Exame ª Época II (0%) A cadea hotelera Cílo recolheu os seguntes dados respetantes aos lucros semestras de uma das suas undades hoteleras, stuada numa lha do Oceano Atlântco, entre 004 e 007, em mlhares de euros: Anos º Semestre º Semestre a) (5%) Determne e estme a tendênca recorrendo ao método da regressão lnear. Para determnarmos a tendênca desta sucessão pelo método da regressão lnear ou dos mínmos quadrados vamos ter que encontrar a recta de regressão que relacona a tendênca com a varável relatva ao tempo: T t ab t. Aplcando o método dos mínmos quadrados, obteríamos os valores dos parâmetros a e b da segunte forma: b t x t t x t t t t axb t Contudo, como queremos estmar uma recta de regressão em que a varável ndependente é o tempo, o somatóro das observações relatvas a esta varável não faz sentdo. Assm sendo, queremos encontrar uma varável que represente o tempo mas cujo somatóro seja gual a zero, ou seja, uma varável tal que: t ' 0 t t' t 0t' 0 Ou seja, vamos ter que fazer a mudança da varável t, que representa os anos, para a varável t, que também representa os anos, mas através de uma varável dscreta, centrada, com méda nula. A nova recta de regressão será então a segunte: T tab t '. Assm sendo, para encontrarmos os valores desta varável, temos que ter em conta se o número total de observações da amostra é par ou ímpar. Como =4 é par, temos que encontrar as duas observações centras da amostra da segunte forma: k4kk4as duas observações centras são xkx x 005 e x k x x 006. Assm sendo, para defnrmos t vamos começar por atrbur o valor t ' ao ano t006, depos atrbuímos t ' ao ano anteror, t005, atrbuímos t ' ao ano

16 Correcção Exame ª Época t004, e fnalmente atrbuímos t ' ao últmo ano, t007. Deste modo, obtvemos uma varável centrada cuja méda é zero, e cujos valores correspondem ao número de anos observados. O próxmo passo será, logcamente, estmar a recta de regressão através do método dos mínmos quadrados, cujas expressões para determnar os valores de a e b serão smplfcadas devdo ao facto da méda da varável t ser zerot ' 0. o quadro segunte, temos reundos os cálculos auxlares que nos permtem obtermos os valores de a e b: x t Méda Anual t ' ' Anos=t º S º S x t t t ' ,5 - -9, Σ - - 9,5 0 59,5 0 Em que, uma vez que temos semestres, fo necessáro calcular a varável xtcomo a méda anual dos dos semestres de cada ano: x t x t ºS ºS x t, t004, 005, 006, 007 Este procedmento é necessáro uma vez que a recta de regressão relacona os valores da tendênca com a varável t, que dz sempre respeto à varável tempo em anos. Assm sendo, os valores dos parâmetros a e b são os seguntes: b t t x t t ' x t ' t ' t ' axb t ' x t T t,5,975 t x t t t x t t ' t ' 9,5 4,5 59,5 0,975 Logo, a recta de regressão que determna a tendênca é dada por: ' Falta nos anda estmar a tendênca desta sucessão. Isso sgnfca que vamos ter que calcular uma estmatva da tendênca da sucessão para cada um dos semestres dos quatro anos que compõem a amostra. Sabemos que o coefcente de regressão, b, representa a varação verfcada na tendênca por cada ano que passa, ou seja, dz nos neste caso que, a cada ano que passa, os lucros semestras desta cadea hotelera aumentam em méda,975 mlhares de euros. Ou seja, b,975 é o acréscmo médo anual que se verfca nos lucros. Se qusermos encontrar o acréscmo semestral, teremos logcamente que dvdr este valor pelo número total de semestres exstentes num ano, ou seja, dos: 7

17 Correcção Exame ª Época Acréscmo semestral,975,4875 Ao estmarmos o valor da tendênca anual, ou seja, substtundo os valores de t na recta de regressão, estamos a determnar a estmatva da tendênca méda anual centrada a meo de cada um dos anos, ou seja, corresponderá à estmatva do valor da tendênca no da de Julho de cada ano. Assm, se qusermos encontrar as estmatvas da tendênca para cada um dos semestres de cada ano, teremos que subtrar e somar a essa estmatva da tendênca anual não o valor do acréscmo semestral, mas sm o valor do acréscmo de meo semestre, ou seja:,975 4 Acréscmo de meo semestre,4875 0,7475 Como o centro tanto do prmero semestre como do segundo semestre não concde exactamente com o centro ou meo do ano (ou seja, o da de Julho de cada ano), temos que subtrar ou somar à estmatva da tendênca anual o acréscmo de meo semestre, para permtr centrar essa estmatva exactamente a meo de cada um dos semestres. Caso fosse subtraído o valor do acréscmo semestral à estmatva anual, sso permtra stuar a estmatva para o níco do prmero semestre de cada um dos anos, e caso esse valor fosse somado à estmatva anual, essa estmatva correspondera ao fnal do segundo semestre de cada ano, o que não é o nosso objectvo. Como o objectvo é encontrar estmatvas para a tendênca que correspondam exactamente ao centro de cada subperíodo, terá que ser o valor do acréscmo de meo semestre que teremos que subtrar à estmatva da tendênca anual para encontrarmos a estmatva da tendênca para o prmero semestre de cada ano, e que teremos que somar para encontrar as estmatvas da tendênca para o segundo semestre de cada ano. Assm, as estmatvas da tendênca desta sucessão são as seguntes: T ºS 004,5,975 0,7475,4565 T ºS 004,5,975 0,74754,9475 T ºS 005,5,975 0,74759,4065 T ºS 005,5,975 0,74750,8975 T ºS 006,5,975 0,74755,565 T ºS 006,5,975 0,74756,8475 T ºS 007,5,975 0,7475,065 T ºS 007,5,975 0,7475,7975 O quadro segunte reúne todas as estmatvas quadrmestras da tendênca entre 005 e 007: 8

18 Correcção Exame ª Época Anos º Semestre º Semestre 004,4565 4, ,4065 0, ,565 6, ,065,7975 b) (0%) Determne e nterprete os índces de sazonaldade desta sucessão através do método multplcatvo. Para calcular os índces de sazonaldade desta sucessão através do método multplcatvo, temos, antes de mas, começar por elmnar a tendênca desta sucessão. Como estamos a utlzar ao método multplcatvo sso sgnfca que estamos a assumr que qualquer sucessão cronológca pode ser obtda como o produto das quatro componentes que a consttuem: x t T t E t C t e t Em que Tt corresponde à tendênca da sucessão, E t corresponde à sazonaldade, Ct corresponde à componente cíclca e e t corresponde à componente aleatóra ou ruído. Ora, se qusermos elmnar a tendênca utlzando este modelo, sgnfca que vamos dvdr as observações orgnas da sucessão pelas estmatvas da tendênca, para cada semestre, solando dessa forma, as restantes componentes: x t T t E t C t e 7,4565 t Assm, para o º semestre de 004, o valor da sucessão sem a tendênca será:,64. Para elmnarmos a tendênca para os restantes períodos procedemos de forma análoga. Assm, o quadro segunte reúne todos os valores da sucessão após a elmnação da tendênca: Anos º Quadrmestre º Quadrmestre 004,64 0, ,08 0, ,0648 0, ,086 0,9758 Para determnarmos os índces de sazonaldade, o próxmo passo consste em calcular o valor dos índces de sazonaldade não corrgdos, que não são mas do que as médas smples dos valores elmnados da tendênca para cada um dos semestres: Anos º Semestre º Semestre IS nc,4075 0, = IS nc,0565 9

19 Correcção Exame ª Época Ou seja, para calcularmos os índces de sazonaldade não corrgdos do º semestre e do º semestre, respectvamente, fazemos: ºS,64,08,0648,086, IS nc ºS 0,86990,8650,85680,9758 0, IS nc Contudo, o nosso objectvo é encontrar índces de sazonaldade cuja soma seja exactamente gual ao número de subperíodos da amostra, que neste caso, é de dos uma vez que a amostra está dvdda em semestres. A esses índces de sazonaldade desgnamos por índces de sazonaldade corrgdos. Logcamente, a soma dos índces de sazonaldade não corrgdos não é exactamente gual ao número de subperíodos, pelo que teremos que calcular os índces corrgdos a partr destes. Para determnarmos os índces de sazonaldade corrgdos é necessáro prmero calcular o factor de correcção, que é obtdo da segunte forma: f c IS nc º de subperíodos,0565 0, A partr dos índces de sazonaldade não corrgdos e do factor de correcção, podemos fnalmente determnar os índces de sazonaldade corrgdos: IS c f c IS nc IS ºS c f c IS ºS nc 0, ,4075,54 IS ºS c f c IS ºS nc 0, , ,8846 Anos º Semestre º Semestre IS c,54 0,8846 IS c = Para nterpretar os índces de sazonaldade, é necessáro colocá los em termos percentuas, para uma mas fácl nterpretação: IS c ºS,54 00,54% IS c ºS 0, ,54% O índce de sazonaldade do º semestre sgnfca que a méda das observações do º semestre é, em méda,,54% superor à méda das observações dos dos semestres, ou seja, à tendênca; e de forma análoga, o índce de sazonaldade do º semestre sgnfca que a méda das observações do º semestre é, em méda,,54% nferor à méda das observações dos dos semestres, ou seja, à méda anual, a tendênca. 0

20 Correcção Exame ª Época c) (5%) Calcule uma prevsão para a evolução dos lucros da cadea hotelera em 008, assumndo que se prevê a manutenção da tendênca de crescmento da ndústra do tursmo na lha onde está nstalada a undade hotelera em causa. Para calcular uma prevsão para os lucros da cadera hotelera em 008, temos que começar por calcular uma estmatva da tendênca da sucessão para cada um dos semestres. Para sso,na recta de regressão, temos que substtur t pelo valor que corresponderá ao ano de 008, que será de t ' 5, neste caso. Assm, temos: T ºS 008,5,975 50,74757,565 T ºS 008,5,975 50,74758,7475 Agora, para determnarmos o valor total prevsto para os lucros da Cílo para 008, basta somar o lucro estmado para cada um dos semestres, corrgdo da sazonaldade (para corrgr a sazonaldade, basta multplcar o valor estmado da tendênca de cada um dos semestres pelo resctvo índce de sazonaldade corrgdo): ºS π 008 π 008 IS ºS ºS c π 008 IS ºS c 7,565,548,7475 0,884675,8845 III (5%) O stand 00 à Hora comercalza três marcas de carros: Ferrar (F), Lamborghn (L) e BMW (B). o seu relatóro anual de 007, foram dvulgadas as seguntes nformações, relatvas à evolução dos preços de cada um dos bens e às respectvas recetas entre 00 e 007, em mlhares de euros: Marca Preços Índces de preços Recetas Ferrar ,05, Lamborghn ,08, BMW ,06, OTA: Os índces de preços apresentados têm todos a mesma base. a) (5%) Construa um índce de preços com base em 00 para os BMW, para cada ano de 00 a 005, e calcule o índce das recetas obtdas para cada uma das marcas de carros em 007, com base em 006. Um índce de preços é um índce smples com base num ano, neste caso, 00. Um índce das recetas, ou índce de despesa, ou anda índce de rendmento, é um índce smples do produto de um determnado preço por uma determnado quantdade, neste caso calculado para o ano de 006 com base no ano de 006, em que R representa as recetas: p B p B 0 I 0/0 B p ; I 04/0 p B p B 04 B p ,5; I 05/0 p B p B 05 B p ,5

21 Correcção Exame ª Época R F Recetas 07 F Recetas 06 I 07/06 R L Recetas 07 L Recetas 06 R B Recetas 07 B Recetas 06 I 07/06 I 07/06 p p 07 I 07/t p t F p 07 F F q 07 F F q 06 p 06 L p 07 L L q 07 L L q 06 p 06 B p 07 B B q 07 B B q 06 p , , , b) (5%) Calcule o índce de Laspeyres e o índce de Paasche, ambos de preços, para o ano de 007, com base em 006. Sabendo que o índce de Laspeyres de preços é uma méda artmétca ponderada de índces smples de preços, em que os ponderadores são as percentagens da receta referentes a cada um dos bens, no ano base e que o índce de Paasche de preços é uma méda harmónca ponderada de índces smples de preços, em que os ponderadores são as percentagens da receta referentes a cada um dos bens, no ano corrente, o cálculo dos índces peddos é smples. Prmero temos que calcular o índce de preços smples para o ano de 007, com base em 006, para cada um dos bens, e para tal, sabemos que tanto o índce de preços smples de 007 como o de 006 têm ambos a mesma base, que nos é desconhecda, por sso basta fazer a segunte mudança de base: p F I p F 07/t I 07/06 p I F 06/t p 07 p t p06 p 06 p07 p 06 p06 p I p p 07/06 I 06/t I 07/06 t p p I 07/t Assm, o índce de preços em 007 com base em 006 para cada um dos bens é o segunte: p L 07/06 p 07 p 06 p I 06/t,,05,06; I p L 07/06 I p L 07/t,4 p I L,08,5; I 07/06 06/t.q 06.q 06 p B I p B 07/t,66 p B,06, I 06/t Assm, o índce de Laspeyres de preços de 007 com base em 006 será: %Recetas 06 p 06.q 06. p 07 p 06 Recetas 06 Recetas 06 Recetas 06 p.i 07/ I p F 07/ I p L 07/ ,06., ,,0994 p.i 07/06 p B 6500.I 07/06 E o índce de Paasche de preços de 007 com base em 006 é dado por: p P 7/06 p 07 0 p 06.q 07.q 07 Recetas 07 p 07.q 07. p 06 Recetas 07 p 07. p I 07/06 Recetas 07

22 Correcção Exame ª Época Recetas 07. Recetas 07 p I 07/06 R R I 08/07,05; I F 08/07,05; I 08/07,04 R p 08 p 07 I 08/07.q 08.q 07 R L p I 07/06 %Recetas 07 p 08.q 08. p 07 p 07 Recetas 07, ,06 080,5 080, c) (5%) Sabe se que o aumento prevsto das recetas deste stand será de 5% em 008, avalado através do índce das recetas totas com base em 007. É também esperado para 008 um aumento de,5% nas recetas obtdas com as vendas dos Ferrars e um aumento de 4% nas recetas geradas pelas vendas dos BMW. Calcule o valor das recetas que o stand espera obter com a venda de Lamborghns, em 008. Uma vez que se prevê que as recetas totas deste stand cresçam 5%, que as recetas obtdas com as vendas dos Ferrars aumentem,5% e que as recetas obtdas com os BMW aumentem 4%, de 007 para 008, podemos afrmar que: Sabendo que o índce das recetas totas de preços é uma méda artmétca ponderada de índces smples das recetas, em que os ponderadores são as percentagens da receta referentes a cada um dos bens, no ano base, temos:.q 07.q 07 Recetas 07 R.I Recetas 07 08/07 %Recetas 07.q 08.q 07 p 07.q 07. p 08 p 07 Recetas 06 R.I 08/07, , I R 08/ ,04, , Recetas L Recetas Recetas L 9500 F p t/0 L t/0 p p P t/0 Recetas L 089 L ,04 Logo, o valor das recetas esperadas com a venda de Lamborghns em 008 é de 089 mlhares de euros. d) (0%) O índce de Fsher é reversível em relação aos factores? Justfque a sua resposta. O índce de Fsher de preços e o índce de Fsher de quantdades são dados repctvamente pelas seguntes expressões: q L q q t/0 P t/0 ; F t/0 Para averguar se o índce de Fsher respeta o crtéro da reversão quanto aos factores, tem que verfcar a segunte condção: F p t/0 F q V t/0 I t/0 V t/0 Em que I representa o índce de valor, de rendmento ou da despesa, sto é:

23 Correcção Exame ª Época V k p t I t/0 q t k p 0 q 0 Assm, substtundo o índce de Fsher de preços e de quantdades pelas respectvas expressões temos: p t/0 F q t/0 L p p t/0 P t/0 F L t/0 q P q t/0 k p t q 0 k p k t q t k p 0 q 0 k p q. p0 q t k p t q t 0 k p t 0 q 0 k p t q 0 k p t q 0 k p t q t k p 0 q 0 k p 0 q k p 0 q t t k p q k pt q t k p t q t 0 k p 0 t q 0 k p 0 q k p t q t V I 0 k p 0 q t/0 0 Logo, podemos conclur que o índce de Fsher é reversível em relação aos factores. IV (5%). (5%) Segundo as estatístcas ofcas da Academa da Força Aérea, são admtdos todos os anos em méda 50% dos alunos no curso de Ploto Avador, 0% nos cursos de Engenhara e 0% em Medcna. Apenas ngressam no curso de Ploto Avador os cadetes que passarem num teste básco de voo, obrgatóro para todos os alunos durante o período de recruta. A probabldade de um aluno que pretende segur o curso de Ploto Avador passar nesse teste é de 60%, enquanto que o valor dessa probabldade é de 45% para os alunos que pretendem segur Engenhara e de 0% para os que querem ngressar em Medcna. Qual a probabldade de ser admtdo um aluno no curso de Ploto Avador que não pretende segur esse curso? PA: Ser admtdo no curso de Ploto Avador E: Ser admtdo no curso de Engenhara M: Ser admtdo no curso de Medcna T: Passar no teste básco de voo PPA0,5;PE0,;PM0, PT\PA0,6; PT\E0,45; PT\M0, PT\PA0,60,4; PT\E0,450,55; PT\M0,0,7 PA, E e M consttuem uma partção do espaço amostral já que não se ntersectam e, reundos, equvalem ao unverso, ou seja, um aluno da Academa da Força Aérea tem que estar no curso de Ploto Avador, no curso de Engenhara ou no curso de Medcna e não pode estar em mas do que um ao mesmo tempo. O acontecmento T ntersecta se com cada um dos acontecmentos anterores e a sua probabldade pode ser calculada através da soma das probabldades da ntersecção de T com estes acontecmentos, de acordo com o Teorema da Probabldade Total, ou seja, um aluno pode passar no teste básco de voo se for do curso de Ploto Avador, do curso de Engenhara ou do curso de Medcna: 4

24 Correcção Exame ª Época PTPTPATETMPPA.PT\PAPE.PT\EPM.PT\M 0,5 0,60, 0,450, 0,0,495 Contudo, a probabldade que se pretende não é a probabldade de um aluno passar no teste básco de voo, mas sm a probabldade de ser admtdo um aluno no curso de Ploto Avador que não pretende segur esse curso, ou seja, a probabldade de ter sdo admtdo um aluno que pretenda segur Engenhara ou Medcna sabendo que passou no teste básco de voo. Aplcando o Teorema de Bayes, faclmente obtemos a probabldade pedda: PPA \T PPA T PETMT PE.PT\EPM.PT\M PT PT PPA.PT\PAPE.PT\EPM.PT\M 0, 0,450, 0, 0,95 0,495 0,495 0,9 De gual modo, poderíamos obter a probabldade pedda pelo complementar do acontecmento em causa: PPA \TPPA\T PPAT PPA.PT\PA PT PPA.PT\PAPE.PT\EPM.PT\M 0,5 0,6 0,495 0, 0, 9 0,495. Suponha que no fm do curso os plotos são destacados para as dferentes esquadras através de um sorteo, de tal forma que 0% dos plotos são destacados para a esquadra dos caças F 6, 0% para as esquadras de helcópteros, 5% para as esquadras dos avões de carga como os C 0 Hércules e 5% para as restantes esquadras. a) (5%) Qual a probabldade de, num grupo de 5 plotos, pelo menos 0 não serem selecconados para a esquadra dos caças? A probabldade de, num grupo de 5 plotos, pelo menos 0 não serem selecconados para a esquadra dos caças é precsamente a mesma probabldade de, num grupo de 5 plotos, no máxmo 5 serem seleconados para essa esquadra. O que se pede é a probabldade de, numa experênca que consste em 5 tentatvas, todas com a mesma probabldade de sucesso, haver 5 bem suceddas. Recorrendo à dstrbução Bnomal, resolvemos o problema: X: úmero de plotos, em 5, que são selecconados para a esquadra dos caças X~Bnn5;p0, PX5F50,9978 b) (5%) Sabendo que, em méda, são selecconados por ano plotos para a esquadra dos caças, qual a probabldade de serem selecconados pelo menos 8 plotos para esta esquadra no espaço de dos anos? Pelo enuncado, percebemos mplctamente que estamos perante uma nova varável que segue uma dstrbução Posson, uma vez que nos dão o número de eventos durante um determnado ntervalo de tempo (ou seja, neste caso, dão nos o número médo de plotos selecconados para a esquadra dos caças durante um ano). A probabldade pedda refere se ao número de plotos selecconados para a esquadra dos caças no espaço de dos anos, por sso, sabendo se que, na dstrbução de Posson, o valor médo (número de plotos 5

25 Correcção Exame ª Época selecconados, neste caso) e a ampltude do ntervalo de contagem (número de anos, neste exemplo) são proporconas, concluímos que, sendo o número de anos multplcado por, o mesmo deve acontecer ao número médo de plotos selecconados: Y: úmero de plotos selecconados para a esquadra dos caças, num ano Y~Pλ W: úmero de plotos selecconados para a esquadra dos caças, no espaço de dos anos W~Pλ λ 6 PW8PW8PW7F70,77400,56. A quantdade utlzada de combustível por voo de um F 6 é uma varável aleatóra com dstrbução ormal, de parâmetros μ=800 e σ = A capacdade máxma de combustível de um F 6 é de 500 ltros, e a quantdade mínma de combustível que é necessára para o avão atngr a velocdade MACH (ultrapassar a barrera do som) durante um voo é de 00 ltros. a) (5%) Qual a probabldade de um F 6 ter combustível sufcente para ultrapassar a barrera do som? Q: Quantdade de combustível utlzada por voo de um F 6 Q~µ800;σ Z Qµ ;Z~µ σ Z 0;σ Z Um F 6 só atnge e ultrapassa a barrera do som se tver pelo menos a quantdade mínma de combustível necessára para atngr a velocdade MACH : PQ00PQ00P Qµ 00µ σ σ P Q PZ,5Φ,50,90, (5%) Qual devera ser a quantdade mínma de combustível necessára para atngr a velocdade MACH de modo a que a probabldade anteror seja de 5%? O que se pretende saber é qual a quantdade mníma de combustível que é necessára para que a probabldade de um F 6 ter combustível sufcente para ultrapassar a barrera do som seja de 5%. Desgne se esta quantdade mínma por q e tenha se em atenção que Φ é njectva, pelo que tem nversa: PQq0,05 PQq0,05 P Qµ σ qµ 0,95 σ P Z q800 q800 0,95 Φ q800 0,95 Φ 0, q80000 Φ 0,95 q 80000,645 q 9 6