Análise Descritiva com Dados Agrupados

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1 Análse Descrtva com Dados Agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas de posção e de dspersão. A) Varáves dscretas: para varáves dscretas os resultados com dados agrupados são os mesmos quando se tem a amostra, pos esta pode ser recomposta com as frequêncas da tabela. Exemplo : dados coletados em entrevstas com 48 mulheres de uma comundade rural sobre o número de vezes que fcaram grávdas (dados fctícos). X = varável número de gravdezes por mulher x n f Tabela de frequêncas F ac x f n ( x x) 7 0,46 0,46 0,46 30, ,7 0,47 0,54 5,9 3 0,9 0,646 0,687 0, ,46 0,79 0,584 5, ,5 0,97 0,65, ,083,000 0,498 34,059 Total 48,000-3,08 07,666 Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: ) Cálculo da méda: x n x j n j k xn n k x n n k x f

2 Portanto: x k x f ( 0,46) ( 0,7) (3 0,9) ( 40,46) (5 0,5) (60,083) x k x f 0,46 0,54 0,687 0,584 0,65 0,498 x k x f 3,08 3 gravdezes ) Cálculo da varânca e desvo padrão: s k n x x n 07,666 47,9 s,9,54 gravdezes ) Cálculo da medana: med ( x) 3 pos a 3ª classe acumula mas de 50% dos dados; v) Cálculo dos quarts: Q pos a ª classe acumula mas de 5% dos dados; Q 4 3 pos a 4ª classe acumula mas de 75% dos dados; v) mo ( x) é a observação com maor frequênca.

3 Fgura : Hstograma do númerdezes/mulher (dados fctícos).

4 B) Varáves contínuas: no caso de varáves contínuas devemos consderar uma aproxmação que assume que os dados estão dstrbuídos de manera homogênea dentro da classe. Assm sendo, para o cálculo das estatístcas descrtvas, devemos utlzar o ponto médo do ntervalo como referênca e proceder como no caso anteror. Exemplo : Saláro de 36 funconáros da Companha MB em número de saláros mínmos (dados fctícos) X = saláro (sm) Tabela de frequêncas classes Pto. Médo x n f F ac ,8 0,8,68 74, ,33 0,6 3,30 8, , 0,83 3,08 60, ,4 0,97,5 8, ,03,00 0,66 5,778 Total 36,000 -,4 698,34 x f n ( x x)

5 Calcular a méda, varânca, medana, moda, quarts: (no caso, x, =,,, k são os pontos médos das classes) ) Cálculo da méda: x k x f,4 sm ) Cáclculo da varânca e desvo padrão: s k n x x n 698, ,950 s 9,950 4,467 sm ) med (x) pertence à ª classe, pos a ª classe acumula mas de 50% dos dados ( F 0, 50). ac Como até a classe anteror temos 0,8 de dstrbução acumulada, os 0, restantes para totalzar 0,50 devem ser obtdos da ª classe. Assm, por meo da proporconaldade entre os retângulos na fgura (regra de três), obtém-se a medana. Logo, ( 8) 0,33 0, med ( x) 8,

6 de onde se obtêm: med ( x) 80,33 ( 8) 0, med ( x) 8 4 0, 0,33 med ( x) 0,67sm v) Para os quarts o procedmento é semelhante ao da medana. Para o quartl Q devemos encontrar a classe que acumula uma frequênca gual ou maor do que 0,5. Desta forma, Q pertence à ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0,8. Num procedmento semelhante ao anteror, temos: Portanto, (8 4) 0,8 0, Q 4 5 de onde se obtêm: Q 4 4 0,5 0,8 Q 7,57sm

7 v) Q 3 pertence à 3ª classe, que acumula uma frequênca gual a 0,83 (> 0,75). Desta forma, temos: Portanto, de onde se obtêm: (6 ) 0, 0, Q 4 3 Q 3 4 0,4 0, Q3 4,55sm

8 Os cálculos acma podem resumdos na fórmula dos percents amostras. No caso a medana é o percentl 0.50 (50%) e sua fórmula é dada por: Em que: med ( x) h = ampltude da classe; ( ) h 0.50 Fac Lnf, f L nf = lmte nferor da classe da medana; f = frequênca relatva da classe que contém a medana; () F = frequênca acumulada até a classe medatamente ac anteror à classe da medana. Obs: Para os quarts Q e Q 3 a fórmula é a mesma, substtundo apenas a frequênca 0,5 por 0,5 e 0,75, respectvamente.

9 v) Cálculo da moda: Para dados agrupados, ao nvés da moda, pode-se consderar a classe modal, que neste caso é a ª classe, com frequênca gual a, ou seja, a classe modal sera: [ 8; ). Porém, uma opção maa aproprada sera a moda de Czuber, calculada a segur: mo cz ( x) ( 4) mo cz ( x) 9.33sm 8 6

10 A segur são apresentados mas exemplos com dados agrupados varando a forma de cálculo: o prmero caso com dados dscretos e o segundo, dados contínuos. Dados coletados em entrevstas com 500 pessoas sendo coletadas nformações sobre o tempo de casamento até o prmero dvórco e o número de dvórcos de cada. Exemplo 3 Varável dscreta: X = número de dvórcos por ndvíduo Tabela de frequêncas. Dvórcos = x n f F ac x f n x 40 0,480 0,480 0, ,50 0,730 0, ,6 0,89 0, ,096 0,988 0, ,0,000 0, Total 500,000 -, ) Méda amostral: x k x f =,9 dvórcos ) Varânca e desvo padrão amostras: x nx ( n ) s (.90) (500 ) 56,95 499,3 s,06 dvórcos ) Medana: med(x) = dvórcos (F ac em x = é maor que 0,50)

11 v) Quarts: Q dvórco (F ac em x = é maor que 0,5) Q 3 3 dvórcos (F ac em x = 3 é maor que 0,75) Outra representação: Dvórcos = x n f F ac x f (x x ) n (x x ) 40 0,480 0,480 0,480-0,90 98, ,50 0,730 0,500 0,090, ,6 0,89 0,486,090 96, ,096 0,988 0,384,090 09, ,0,000 0,060 3,090 57,886 Total 500,000,90 56,950 Méda amostral: x x f =.9 dvórcos Varânca amostral: x x ( n ) s 56,95 499,3

12 Exemplo 4 Varável contínua: X = tempo, em anos, até o prmero dvórco. Tabela de frequêncas. Anos até º. Pto. médo dvórco x n f F ac x f n x ,56 0,56, ,8 0,84, , 0,96, ,03 0,99 0, ,0,00 0, Total 500,00 6, ) Méda amostral: x x f = 6.90 anos ) Varânca e desvo padrão amostras: x nx ( n ) s (6,90) (500 ) ,685 s 5,6 anos ) Medana: Pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que 0,50.

13 Regra de três de onde se obtêm: (6 0) 0,56 0, med ( x) 0 50 med ( x) 0,56 60,50, med ( x) 6 0,50 0,56 med ( x) 5,36anos v) Quarts: Q pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que 0,5. Regra de três (6 0) 0,56 0, Q 0 5 Q 0,56 60,5 Q,68anos,

14 Q 3 pertence à ª classe, pos sua F ac é maor do que 0,75. Acumulado até a classe anteror 0,56, portanto, faltam 0,75 0,56 0,9 de frequênca. Regra de três ( 6) 6 0,8 0, Q 9 Q 60,8 6 0, 9 Q 0,07anos, Outra representação: Anos = x ptos. médos n f F ac x f (x x ) n (x x ) ,56 0,56,68-3,9 458, ,8 0,84,5, 67, , 0,96,80 8, 3936,6 5 0,03 0,99 0,63 4, 98, ,0,00 0,7 0, 00,05 Total 500,00-6, Méda amostral: x x f = 6.90 anos Varânca amostral: 385 x x s 7.685anos ( n ) 499

15 Exemplo 5: Notas no teste GMAT (Graduate Management Apttude Test) na seleção de alunos de graduação numa unversdade amercana. Tabela de frequêncas. Escores Pto. médo: x n f x f n x ,035, ,08 30, , 90, ,8 34, ,76 9, ,8 67, ,047 9, ,047 3, Totas 85, ) Méda amostral: x x f = 488 pts ) Varânca e desvo padrão amostras: s n x nx ( n ) ,pts s 6558, 80,98 pts Hstograma:

16 Percents amostras pelo gráfco da dstrbução acumulada Escores Pto. médo: x n f F ac ,035 0, ,08 0, , 0, ,8 0, ,76 0, ,8 0, ,047 0, ,048,000 Totas 85,000 Obtenção da medana por semelhança de trângulos: