RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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1 Aula 11 Estatístca.... Classe Lmtes de classe... 7 Ampltude de um ntervalo de classe... 7 Ampltude total da Dstrbução... 8 Ponto médo de uma classe... 8 Tpos de frequêncas... 9 Meddas de Posção Médas Propredades da méda artmétca Cálculo breve da Méda Artmétca Medana (Md)... Moda Moda Bruta... 3 Processo de Czuber Processo de Kng.... Propredades da Moda Meddas de dspersão ou varabldade Desvo Absoluto Médo (Dm) Desvo padrão e Varânca Propredades da Varânca Propredades do Desvo-padrão Método smplfcado para o desvo padrão e varânca Relação das questões comentadas Gabartos Prof. Gulherme Neves 1

2 Estatístca RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB A Estatístca, ramo da Matemátca Aplcada, teve orgem na hstóra do homem. Desde a Antgudade, város povos regstravam o número de habtantes, de nascmentos, de óbtos, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo. Na Idade Méda colham-se nformações, geralmente com fnaldades trbutáras ou bélcas. No níco do século XVIII o estudo de tas fatos fo adqurndo feção verdaderamente centífca. A palavra fo proposta pela prmera vez no século XVII, em latm, por Schmetzel na Unversdade de Lena e adotada pelo acadêmco alemão Godofredo Achenwall. As tabelas tornaram-se mas completas, surgram as representações gráfcas e o cálculo das probabldades, e a Estatístca dexou de ser uma smples catalogação de dados numércos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partndo da observação de partes do todo (amostras). Podemos dzer, então, que a Estatístca é uma parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos para a coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. A coleta, organzação e a descrção dos dados estão a cargo da Estatístca Descrtva. A análse e a nterpretação dos dados fcam a cargo da Estatístca Inferencal. O aspecto essencal da Estatístca é o de proporconar métodos nferencas, que permtam obter conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente. Vamos à prmera fase de um processo estatístco. Imagne que você fo o encarregado para fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: Obvamente, quando você começa a sua pesqusa, os seus dados não estão organzados. A esses dados desorganzados denomnamos dados brutos. Prof. Gulherme Neves

3 A esse tpo de tabela, cujos elementos não foram numercamente organzados, denomnamos tabela prmtva. O próxmo passo, após realzar a coleta dos dados, é organzar esses dados em ordem crescente ou decrescente. Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol. Em suma, um rol é um arranjo de dados numércos brutos em ordem crescente ou decrescente. Colocar os dados brutos em rol é uma das fases da Estatístca Descrtva. À dferença entre o maor e o menor número do rol chama-se ampltude total dos dados. Então vamos lá... Coloquemos os dados em ordem crescente! Um pouco melhor ou não? Agora, podemos saber, com relatva facldade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maor (173 cm); que a ampltude total de varação fo de = 3 cm. 01. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE/006) Verfque os conjuntos A, B, C e D abaxo, no formato de rol e assnale a alternatva correta. a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,8. b) Não é possível calcular a ampltude total do conjunto D, pos estamos dante de um rol decrescente. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 7. d) A ampltude total do conjunto A é,1. e) A ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A. Resolução Prof. Gulherme Neves 3

4 O prmero passo é organzar os conjuntos A, B, C e D em formato de rol. Tanto faz organzar em ordem crescente ou decrescente. Por questão de costume, organzare em ordem crescente. A 0,05 0, ,1 B 0,5 0, ,35 C 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 D A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. Assm: a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,07 0,01 = 0,06. A letra A é, portanto, falsa. b) A ampltude total do conjunto D é 5 1 = 4. A letra B é, portanto, falsa. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 10,35 0,01 =10,34. A letra C é, portanto, falsa. d) A ampltude total do conjunto A é gual a 5,1 0,05 = 5,05. A letra D é, portanto, falsa. e) A ampltude total do conjunto B é gual a 10,35 0,5 = 10,1. Portanto a ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A e a alternatva E é verdadera. Letra E 0. (Audtor Interno do Poder Executvo- Secretaras de Estado da Fazenda e da Admnstração 005 FEPESE) Os pesos de 80 pacentes nternados em um hosptal estão relaconados na tabela abaxo. Com referênca a essa tabela, determne a ampltude total. Assnale a únca alternatva correta. a) 49 b) 53 Prof. Gulherme Neves 4

5 c) 79 d) 80 e) 97 Resolução RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB A ampltude total de um conjunto é a dferença entre o maor elemento e o menor elemento. O maor elemento desse conjunto é 99 (4ª coluna e 6ª lnha) e o menor elemento é 50 (9ª coluna e 7ª lnha). Assm a ampltude total é = 49. Letra A Vamos começar um estudo pormenorzado das dstrbuções de frequêncas, seus elementos e propredades. Voltemos ao exemplo ncal de nossa aula para entendermos as próxmas explcações. Imagne que você fo o encarregado de fazer uma pesqusa sobre a altura dos alunos do Ponto dos Concursos. Como são mutos alunos, você decdu realzar uma pesqusa com apenas 40 alunos. Suponhamos termos feto uma coleta de dados relatvos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos do Ponto, resultando a segunte tabela de valores: Denomnamos os dados dspostos em ordem crescente ou decrescente de rol Denomnamos frequênca o número de alunos que fca relaconado a um determnado valor da varável. Obtemos, assm, uma tabela que recebe o nome de dstrbução de frequênca. Por exemplo, temos 4 alunos com 161 cm de altura. Portanto 4 é a frequênca do dado 161 cm. Vamos relaconar cada dado com a sua frequênca correspondente. Prof. Gulherme Neves 5

6 Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq. Estat. (cm) Freq Total 40 O processo dado é anda nconvenente, já que exge muto espaço, mesmo quando o número de valores da varável é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mas acetável, pela própra natureza da varável contínua, é o agrupamento em város ntervalos. Assm, se um dos ntervalos for, por exemplo, (154 x< 158), em vez de dzermos que a estatura de 1 aluno é 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, dremos que 9 alunos têm estaturas entre 154, nclusve, e 158 cm, exclusve. Deste modo, estaremos agrupando os valores da varável em ntervalos, sendo que, em Estatístca, prefermos chamar os ntervalos de classes. O símbolo será muto utlzado e sgnfca que ncluímos o lmte nferor do ntervalo e excluímos o lmte superor do ntervalo. Chamando de frequênca de uma classe o número de valores da varável pertencentes à classe, os dados da tabela acma podem ser dspostos como na próxma tabela, denomnada dstrbução de frequênca com ntervalos de classe: Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Ao agruparmos os valores da varável em classes, ganhamos em smplcdade, mas perdemos em pormenores. Não sabemos mas qual a altura exata de cada um dos alunos. Prof. Gulherme Neves 6

7 O que pretendemos com a construção dessa nova tabela, é realçar o que há de essencal nos dados e, também tornar possível o uso de técncas analítcas para sua total descrção, até porque a Estatístca tem por fnaldade específca analsar o c onjunto de valores, desnteressando-se por casos solados. Analsemos, agora, detalhadamente, cada um dos elementos de uma dstrbução de frequêncas. Classe Elementos de uma dstrbução de frequênca Estaturas de 40 alunos Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 É cada um dos grupos ou ntervalos obtdos a partr do agrupamento ou conjunto de dados. Por exemplo, a tercera classe é Lmtes de classe Denomnamos lmtes de classe os extremos de cada classe. O menor número é o lmte nferor da classe ( l nf ) e o maor número, o lmte superor da classe ( l sup ). Na segunda classe, por exemplo, temos: l nf = 154 e l sup = 158 Ampltude de um ntervalo de classe Ampltude de um ntervalo de classe ou, smplesmente, ntervalo de classe é a medda do ntervalo que defne a classe. É obtda pela dferença entre os lmtes superor e nferor dessa classe e desgnamos por h. Assm, h= l l sup nf Prof. Gulherme Neves 7

8 Por exemplo, na tercera classe da tabela acma, temos: h= = 4 Ampltude total da Dstrbução Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da últma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera classe (lmte nferor mínmo). AT = lmáx lmín Em nosso exemplo, temos: AT = = 4 AT = 4cm É evdente que, se as classes possuem o mesmo ntervalo, verfcamos a rela AT = K h. Essa expressão é de fácl compreensão, vsto que são 6 classes e que a ampltude de cada classe é gual a 4. Assm, a ampltude total é gual a 6 x 4 = 4. Ponto médo de uma classe Ponto médo de uma classe ( x ) é, como o própro nome ndca, o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas. Para obtermos o ponto médo de uma classe, calculamos a méda artmétca dos lmtes da classe. lmnf + lm sup x = Assm, o ponto médo da quarta classe, em nosso exemplo é: lmnf + lm 4 sup x4 = x4 = = 164 x4 = 164cm O ponto médo de uma classe é o valor que a representa. Se as ampltudes dos ntervalos de classes forem constantes (como aconteceu no nosso exemplo), podemos calcular os pontos médos das classes da segunte manera: ) Calculamos o prmero ponto médo. ) Para calcular os próxmos pontos médos, basta adconar a ampltude de cada classe ao ponto médo da classe anteror. Dessa forma, como o prmero ponto médo é 15 cm, o próxmo ponto médo é = 156. O tercero ponto médo é = 160 cm. Estaturas X (cm) Prof. Gulherme Neves 8

9 Tpos de frequêncas Frequêncas smples ou absolutas ( f ) São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüêncas smples é gual ao número total dos dados. k = 1 f O símbolo sgnfca somatóro. Nesse caso, como k = 6 (número de classes), então = n í 1 6. = = = 40 Frequêncas relatvas ( fr) São os valores das razões entre as frequêncas smples e a frequênca total, normalmente expressas em porcentagem. fr = n Lembre-se que para transformar qualquer fração para a forma percentual devemos multplcá-la por 100%. No nosso exemplo, a freqüênca relatva da tercera classe é: f3 11 fr3 = = 100% = 7,5% fr3 = 7,5% Evdentemente o somatóro das frequêncas relatvas é gual a 1 (100%). O propósto das frequêncas relatvas é o de permtr a análse ou facltar as comparações de cada classe com o total de observações. f Prof. Gulherme Neves 9

10 Frequênca absoluta acumulada crescente abaxo de ( fac) É o total das frequêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. fac = f1+ f f O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da prmera classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada, devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. Estaturas f fac (cm) Total 40 O que sgnfca exstrem 4 alunos com estatura abaxo de 16 cm (lmte superor da tercera classe). Frequênca absoluta acumulada decrescente ( fad ) É o total das frequêncas de todos os valores superores ao lmte nferor do ntervalo de uma dada classe. fad = f+ f fk O procedmento para o cálculo desta frequênca é o segunte: ) Repete-se a frequênca absoluta da últma classe. ) Para calcular a próxma frequênca acumulada (de baxo para cma), devemos somar a frequênca acumulada anteror com a frequênca absoluta da classe correspondente. Estaturas f fad (cm) Total 40 O que sgnfca exstrem 7 alunos com estatura gual ou superor a 158 cm (lmte nferor da tercera classe). Prof. Gulherme Neves 10

11 Podemos representar essas frequêncas acumuladas na forma percentual (frequênca relatva acumulada) dvdndo pelo total de observações (n) e multplcando por 100%. Meddas de Posção Nos tens anterores, vmos como resumr um conjunto de dados em tabelas de frequênca e também como representá-los grafcamente. Agora, a partr dos valores assumdos por uma varável quanttatva, vamos estabelecer meddas correspondentes a um resumo da dstrbução de tas valores. Estabeleceremos um valor médo ou central e um valor ndcatvo do grau de varabldade ou dspersão em torno do valor central. Como valores centras vamos estudar a méda, a medana (e outras meddas separatrzes (quants) como o decl, quartl, percentl, etc) e a moda. Médas Uma dea bastante mportante é a de méda. Estudaremos apenas a méda artmétca. Vejamos um exemplo. Sabendo-se que a produção letera dára de uma vaca, durante uma semana, fo de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 ltros, temos para produção méda da semana: x= = = Logo, x= 14 ltros. Ou seja, para calcular a méda artmétca de uma lsta de números, devemos somar os valores e dvdr pela quantdade de dados. x1+ x+ x xn x= n Em suma, méda artmétca para o rol é o quocente da dvsão da soma dos valores da varável pelo número deles: x x= n Dados agrupados Sem ntervalos de classe Consderamos a dstrbução relatva a 34 famílas de quatro flhos, tomando para varável o número de flhos do sexo masculno. Nº de f mennos Prof. Gulherme Neves 11

12 Neste caso, como as frequêncas são números ndcadores da ntensdade de cada valor da varável, elas funconam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a méda artmétca ponderada, dada pela fórmula: x f x= n O modo mas prátco de obtenção da méda ponderada é abrr, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos x f. x f Prof. Gulherme Neves 1 x f x f = 78 A prmera lnha nos dz que exstem famílas com nenhum flho homem, totalzando 0 flhos. A segunda lnha nos dz que exstem 6 famílas com 1 flho homem, totalzando 6 flhos homens. A tercera lnha nos dz que exstem 10 famílas com flhos homens, totalzando 0 flhos homens. E assm sucessvamente. No total, essas 34 famílas, possuem juntas 78 flhos homens. Temos, então: x f 78 x= = =,3 n 34 Isto é, x=,3 mennos Observação: Sendo x uma varável dscreta, como nterpretar o resultado obtdo, mennos e 3 décmos de menno? O valor médo,3 mennos sugere, neste caso, que o maor número de famílas tem mennos e mennas, sendo, porém, a tendênca geral de uma leve superordade numérca em relação ao número de mennos. Com ntervalos de classe Neste caso, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da fórmula x f x= n Onde x é o ponto médo da classe. Ora, quando temos dados dstrbuídos em classes perdemos nformações. Não temos mas as alturas exatas de cada um dos alunos. Olhe, por exemplo, para a segunda classe da tabela segunte. Temos 9 alunos com a altura entre 154

13 (nclusve) e 158 cm. Não sabemos a altura de cada um dos 9 alunos. Convenconamos que os 9 alunos possuem 156 cm (ponto médo da classe). Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Vamos, ncalmente, abrr uma coluna para os pontos médos e outra para os produtos x f. Estaturas f x x f Neste caso, (cm) Total 40 x f = 6440 x f 6440 x= = = 161 cm n 40 Vamos agora conhecer algumas propredades mportantíssmas sobre méda artmétca para que possamos garantr alguma eventual questão teórca sobre este assunto e aprovetar para aprendermos um método mas fácl para calcular méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Propredades da méda artmétca ) A méda artmétca sempre exste e é únca. )Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. ) Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. v) A soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. v)a soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é um valor mínmo. Prof. Gulherme Neves 13

14 Vamos verfcar essas propredades através de exemplos. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1), calculemos sua méda e verfquemos as propredades acma: x= 8 x= 8 Consderemos uma constante c=. Adconando essa constante a todos os valores da sequênca acma, temos a sequênca (4,6,8,10,1,1,14,14). E a nova méda será: x' = 8 x' = 10 Observe que x' = x+. Multplquemos agora a constante c= e obtemos a sequênca (4,8,1,16,0,0,4,4) cuja méda é: x'' = 8 x'' = 16 Observe que x'' = x. Anda trabalhando na sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x= 8. Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: d1 = x1 x= 6 d5 = x5 x= d = x x= 4 d6 = x6 x= d3 = x3 x= d7 = x7 x= 4 d = x x= 0 d = x x= Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = = 0 Fnalmente, verfquemos a 5ª propredade. Calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação à méda artmétca: d = ( 6) + ( 4) + ( ) d = A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer 96 Prof. Gulherme Neves 14

15 dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). ( d ') = ( 3) + ( 1) ( d ') = 168 Assm, ( d ') > ( d ). De posse dessas propredades, vamos aprender um método smplfcado (através de uma questão resolvda) para o cálculo da méda artmétca em dstrbuções de frequêncas. Esse método só é váldo nos casos em que as ampltudes das classes são constantes! Cálculo breve da Méda Artmétca 03. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em Frequêncas kgf) O peso médo do conjunto de pessoas, em kgf, é (A) 60 (B) 65 (C) 67 (D) 70 (E) 75 Resolução I Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. O ponto médo é a méda artmétca dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médo da prmera classe é = = 45. Prof. Gulherme Neves 15

16 Classes (em Frequêncas x x.f kgf) Basta-nos agora somar os valores da coluna x f e dvdr pela quantdade de observações. Letra C Resolução II x f x= = = = 67kgf n Baseado nas propredades da méda artmétca que descrev na anterormente, podemos agora resolver essa questão usando um artfíco: calcular a méda com o auxílo da varável transformada. Este método que re descrever só poderá ser utlzado se as ampltudes de TODAS c lasses forem guas. No nosso exemplo, as ampltudes de todas as classes são guas a 10 kgf (50 40 = =... = = 10). Méda artmétca ) Somando-se (ou subtrando-se) uma constante qualquer de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. )Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante qualquer, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. A mudança de varável será feta da segunte forma: subtraremos certa constante a todos os valores da varável. Assm, a méda artmétca também será subtraída. Em seguda, dvdremos por outra constante todos os valores obtdos. Assm, a méda artmétca será dvdda por essa constante. A constante que remos subtrar será qualquer um dos pontos médos. A constante que remos dvdr será a ampltude das classes. Daremos orgem a uma varável Y defnda por Y X X h =, onde X é o ponto médo de uma classe qualquer e h é ampltude das classes. Prof. Gulherme Neves 16

17 Daremos preferênca ao ponto médo da prmera classe! Dessa forma, a varável transformada será Assm, Y Y 1 4 Y X = = = 0 Y = = 1 Y = = 3 Y5 = = = = 10 Não fo concdênca!! Se fzermos essa mudança de varável (subtrar o ponto médo da prmera classe e dvdr pela ampltude das classes), a varável transformada sempre assumrá os valores 0,1,,3,4,... Construímos a segunte tabela: y Frequêncas Calcularemos a méda artmétca da varável transformada Y. Para sso, multplcaremos os valores obtdos pelas suas respectvas frequêncas: y Frequêncas y.f A méda será y y f = = = =,kgf n Se Essa é a méda da varável transformada Y! X 45 Y =, então concluímos que X = 10 Y Agora aplcamos as propredades da méda artmétca. A méda de X será a méda de Y multplcada por 10 e adconada 45 undades. Se X = ay+ b, então X = ay+ b X = 10,+ 45= 67kgf. Letra C Prof. Gulherme Neves 17

18 Dexe-me resumr o método (admtndo que escolheremos o prmero ponto médo para a mudança de varável e que as ampltudes de todas as classes são guas): ) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... (Você não precsa fazer o cálculo para descobrr os valores da varável Y. Eles sempre assumrão esses valores.) ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, c alculamos a méda da varável transformada. ) Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. Vamos resolver novamente a questão utlzando o dspostvo prátco. Classes (em Frequêncas kgf) Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Classes (em Frequêncas y y.f kgf) x0= x1= x= x3= x4=1 y f y= = = =,kgf n Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (10) e adconamos o ponto médo da prmera classe (45). X = 10,+ 45= 67kgf Vamos calcular novamente a méda artmétca das estaturas dos 40 alunos do Ponto dos Concursos. Prof. Gulherme Neves 18

19 Estaturas de 40 alunos do Ponto dos Concursos Estaturas Frequênca (cm) Total 40 Já que as ampltudes são constantes ( =... = = 4 ), podemos aplcar o dspostvo prátco com o auxílo da varável transformada. Abrmos a coluna da varável transformada e multplcamos pelas respectvas frequêncas. Estaturas f y y f (cm) x 0 = x 1 = x = x 3 = x 4 = x 5 =15 Total 40 y f = 90 Prof. Gulherme Neves 19 y f 90 y= = =,5 n 40 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos (4) e adconamos o ponto médo da prmera classe ( 15 X = 4,5+ 15= 161cm. = ). 04. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. Classes (em anos) f

20 A méda das dades dessas cranças, em anos, é (A) 5,0 (B) 5, (C) 5,4 (D) 5,6 (E) 5,8 Resolução Já que as ampltudes são constantes ( 0 = 4 =... = 10 8 = ), podemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. ) Construa a coluna da varável transformada Y, consttuída pelos números naturas 0,1,,3,4,5... ) Multplque os valores da varável transformada pelas respectvas frequêncas, some os valores e dvda por n (n é o somatóro das frequêncas). Assm, c alculamos a méda da varável transformada. ) Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. y f y f Total 0 44 y y f 44 = = =, n 0 Agora, multplcamos esse valor pela ampltude dos ntervalos () e 0 + adconamos o ponto médo da prmera classe ( = 1 ). X =,+ 1= 5,4. Letra C 05. (Estatístco Pref. Manaus 004 CESGRANRIO) Analse as afrmatvas a segur, a respeto da méda artmétca. I - a soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero; II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma; Prof. Gulherme Neves 0

21 III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. Está(ão) correta(s) a(s) afrmatva(s): (A) II, somente. (B) I e II somente. (C) I e III somente. (D) II e III somente. (E) I, II e III. Resolução Questão puramente teórca! Uma dgna aula sobre méda artmétca. Vamos analsar cada um dos tens: I. A soma dos resíduos em relação à méda artmétca é sempre gual a zero. (VERDADEIRO) Já justfque essa propredade com um exemplo. E-lo novamente. Consderemos a sequênca de dados (,4,6,8,10,10,1,1). A méda artmétca é dada por x= x= 8 Sabemos que a méda artmétca desse conjunto de dados é x= 8. Denomnamos desvo ou resíduo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. Para o exemplo dado, temos: d = x x= 6 d = x x= d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= d = x x= 0 d = x x= Faclmente verfcamos que a soma dos desvos em relação à méda é gual a zero. De fato, d = = 0. Obvamente essa não fo uma demonstração matemátca. Apenas lustre a propredade através de um exemplo. De fato, qualquer que seja a dstrbução de dados, a soma dos desvos em relação à méda sempre é gual a zero! II - é em relação à méda artmétca que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. (FALSO) A proposção é falsa, pos é em relação à medana (estudaremos anda nesta aula) que a soma dos valores absolutos dos resíduos é mínma. III - é em relação à méda artmétca que a soma dos quadrados dos resíduos é mínma. (VERDADEIRO) Prof. Gulherme Neves 1

22 Voltemos ao nosso exemplo: a sequênca (,4,6,8,10,10,1,1). Os desvos em relação à meda já foram calculados. Para calcular a soma dos quadrados, devemos elevar cada resíduo ao quadrado e depos somar. d = ( 6) + ( 4) + ( ) d = A propredade nos dz que, para este conjunto A, o valor 96 é um valor mínmo. Isso porque, se construrmos um conjunto dos desvos d ' formado pela dferença entre os elementos x do conjunto e uma constante que não seja a méda, ou seja, um conjunto dos desvos em torno de um valor qualquer dferente da méda e, feto sso, acharmos o conjunto ( d ') e em seguda calcularmos o seu somatóro ( d '), este últmo valor será maor do que 96. Por exemplo, calculemos a soma dos quadrados dos desvos em relação ao número 5 (dferente da méda artmétca 8). Assm, Letra C ( d ') = ( 3) + ( 1) ( d ') = 168 ( d ') > ( d ) (MPE-RO CESGRANRIO 005) A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca O saláro médo, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1430,00 Nessa questão as ampltudes não são constantes!! Portanto, não poderemos calcular a méda artmétca com o auxílo da varável transformada. Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Prof. Gulherme Neves

23 Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. Lembre-se que para calcular o ponto médo das classes, basta calcular a méda artmétca dos extremos das classes, por exemplo, o prmero ponto médo é = 390. x f x= = = = 890,50 n Letra C Medana (Md) A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Dados não-agrupados Saláro (R$) x f x.f Dada uma sére de valores, como, por exemplo: 5,10,13,1,7,8,4,3,9. De acordo com a defnção de medana, o prmero passo a ser dado é o da ordenação (colocar os dados brutos em rol) dos valores. 3,4,5,7,8,9,10,1,13. Em seguda, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à dreta e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o número 8, já que, nessa sére, há 4 elementos acma dele e quatro abaxo. Temos então, Md=8. Se, porém a sére dada tver um número par de termos, a medana será, por defnção, qualquer dos números compreenddos entre os dos valores centras da sére. Convenconou-se utlzar o ponto médo. Prof. Gulherme Neves 3

24 Assm, a sére de valores,6,7,10,1,13,18,1 tem para medana a méda artmétca entre 10 e 1. Logo, Md = = 11 Md = 11 Verfcamos que, estando ordenados os valores de uma sére e sendo n o número de elementos da sére, o valor medano será: n+ 1 - o termo de ordem, se n for ímpar. n n - a méda artmétca dos termos de ordem e + 1, se n for par. Observações: ) O valor da medana pode concdr ou não com um elemento da sére. Quando o número de elementos da sére é ímpar, há concdênca. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é par. ) A medana depende da posção e não dos valores dos elementos na sére ordenada. Essa é uma das dferenças marcantes entre a medana e a méda (que se dexa nfluencar, e muto, pelos valores extremos). )A medana é também desgnada por valor medano. Dados Agrupados Sem ntervalos de classe Neste caso, é o bastante dentfcar a frequênca acumulada medatamente superor à metade da soma das freqüêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal frequênca acumulada. X f fac Verfcamos faclmente que o número de elementos da dstrbução é ímpar. Desta forma, temos apenas uma posção central. Posção central: = 0 Temos então que a medana será o termo da 0ª posção. Através da frequênca acumulada temos que Md=8. X f fac Prof. Gulherme Neves 4

25 Neste segundo exemplo, o número de elementos da dstrbução é par, e, como vmos, teremos duas posções centras: 40 =0 e 0+ 1= 1 Novamente, através da frequênca acumulada verfcamos que as duas posções centras são guas a Assm, Md = = 8. E como últmo exemplo: X f fac Como o número de elementos é par, teremos duas posções centras. 36 =18 e = 19. O termo de posção 18 é gual a 6 e o termo de posção 19 é gual a 8. Temos então que a medana será 6+ 8 Md = = 7. E quanto ao cálculo da medana em dstrbuções de frequêncas? Vejamos através das próxmas questões resolvdas. 07. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) A tabela abaxo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectvas frequêncas. Não há observações concdentes com os extremos das classes. Classes (em Frequêncas kgf) O valor aproxmado, em kgf, do peso medano do conjunto de pessoas é (A) 67 (B) 68 (C) 69 (D) 70 (E) 71 Prof. Gulherme Neves 5

26 Resolução A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da medana em uma dstrbução de frequênca não teremos a preocupação de determnarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja maor ou gual ao valor de n. n 5 No nosso caso, n= =5. Assm, = = 1,5. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. E como se constró essa coluna? Para a prmera classe devemos smplesmente repetr a frequênca absoluta. Para as outras, devemos somar a frequênca absoluta da classe com a frequênca acumulada anteror. Dexe-me mostrar no exemplo: Ou seja, Classes (em Frequêncas Fac kgf) = = = =5 Classes (em Frequêncas Fac kgf) Prof. Gulherme Neves 6

27 Para determnar a classe medana, devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 1,5. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 1,5 teremos determnado a classe medana. Classes (em Frequêncas Fac kgf) Classe medana (14 > 1,5) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula da medana. n facant Md l = nf + h f Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 60). n = 1,5 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7). Frequênca absoluta da classe medana ( f = 7) Ampltude da classe medana ( h= 70 60= 10) A medana é dada por: n facant 1,5 7 Md = lnf + h= ,85 68cm f 7 Letra B 08. (Audtor IBGE CESGRANRIO 010) A tabela abaxo apresenta a dstrbução de frequêncas das dades de um grupo de cranças. Classes (em anos) f A medana da dstrbução de frequêncas apresentada é Prof. Gulherme Neves 7

28 (A) 5,5 (B) 5,6 (C) 5,7 (D) 5,8 (E) 5,9 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja n n 0 maor ou gual ao valor de. No nosso caso, n = 0. Logo, = = 10. Devemos construr a coluna de frequênca absoluta acumulada crescente. Classes (em anos) f Fac Vamos procurar a classe medana. Basta olhar para a coluna de frequêncas n acumuladas e comparar com o valor = 10. A prmera frequênca acumulada que for maor ou gual a 10 caracterzará a classe medana. Verfcamos faclmente que 11>10. Classes (em anos) f Fac Classe medana (11 > 10) Coloque em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 4). n = 10 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 7). Frequênca absoluta da classe medana ( f = 4) Ampltude da classe medana ( h= 6 4= ) Prof. Gulherme Neves 8

29 A medana é dada por: n facant 10 7 Md = lnf + h= 4+ = 5,5 f 4 Letra A (MPE-RO CESGRANRIO 005) O enuncado a segur refere-se às questões de números 09 e 10. A tabela apresenta uma dstrbução de frequênca dos saláros dos 00 empregados de certa empresa. Saláro (R$) Frequênca O saláro medano vale, aproxmadamente: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. n Para descobrr a classe medana devemos calcular. Como n = 00, temos n que = 100. E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac Classe medana (150 > 100) Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50). Prof. Gulherme Neves 9

30 n = 100 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( fac ANT = 50). Frequênca absoluta da classe medana ( f = 100) Ampltude da classe medana ( h= = 50). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo da medana deveremos utlzar a ampltude da classe medana!! Cudado... A medana é dada por: n facant Md = lnf + h= = 780 f 100 Letra B 10. O tercero quartl, aproxmadamente, vale: (A) R$ 600,00 (B) R$ 780,00 (C) R$ 890,50 (D) R$ 1 040,00 (E) R$ 1 430,00 Resolução O método para calcular o tercero quartl (e as outras meddas separatrzes como decs, percents e os outros quarts) é muto parecdo com o da medana. Em tempo: os decs dvdem a dstrbução em 10 partes de mesma frequênca. Os percents dvdem a dstrbução em 100 partes de mesma frequênca. Os quarts dvdem a dstrbução em 4 partes de mesma frequênca. A medana dvde a dstrbução em partes de mesma frequênca. n 3n Dferença: ao nvés de calcularmos o valor calcularemos. O denomnador 4 é gual a 4 porque trata-se de um quartl (dvdmos a dstrbução em quatros partes). O numerador é 3n porque estamos calculando o tercero quartl. Então, a únca cosa que va mudar na fórmula, é que ao nvés de utlzarmos n 3n utlzaremos. E para calcular a classe do tercero quartl deveremos 4 procurar a frequênca acumulada que é maor ou gual a 3 n. A fórmula do 4 tercero quartl fcará 3n facant Q 4 3 = lnf + h f Prof. Gulherme Neves 30

31 Já que n = 00, então 3 n 3 = 00 = E o que fazer agora? Construr a coluna das frequêncas acumuladas. Saláro (R$) Frequênca fac Classe do tercero quartl (150=150) Novamente em vermelho os valores que utlzaremos na fórmula da medana. Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana ( l nf = 50). 3 n = Frequênca acumulada da classe anteror à classe do tercero quartl ( fac ANT = 50). Frequênca absoluta da classe do tercero quartl ( f = 100) Ampltude da classe do tercero quartl ( h= = 50). Observe que nessa questão as ampltudes não são constantes. Para o cálculo do tercero quartl deveremos utlzar a ampltude da classe do tercero quartl!! Cudado... O tercero quartl é dado por: 3n facant Q3 = lnf + h= = 1040 f 100 Letra D Moda Fo Karl Pearson quem ntroduzu em Estatístca pela prmera vez,no século XIX, o conceto de moda, talvez baseado no própro sgnfcado da palavra. A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mas de uma moda. Neste caso dzemos ser plurmodal, caso contráro, será unmodal, ou anda, amodal (quando todos os valores das varáves em estudo apresentarem uma mesma frequênca). ) Para dados não agrupados em classe Para a dentfcação da moda em um conjunto ordenado de valores não agrupados em classe, basta verfcar, no conjunto, aquele valore que aparece com maor frequênca. Prof. Gulherme Neves 31

32 Exemplos: X 1 ={1,,3,4,5,6} (Conjunto amodal) X ={10,10,1,13,18} M o =10 (Conjunto Unmodal) X 3 ={100,100,00,00,300,600} M o =100 e M o =00 (Conjunto bmodal) ) Para dados agrupados não agrupados em classe Quando os dados estverem dspostos em uma Tabela de Frequênca, não agrupados em classe, a localzação da moda é medata, bastando para sso, verfcar na tabela, qual o valor predomnante. Estatura Freq. (m) 1,60 3 1,6 8 1,64 1 1,70 0 1, ,80 7 1,83 3 1,88 1 Na tabela o valor modal é 1,70m, sto porque é o resultado que apresenta o maor número de alunos (0). ) Dados agrupados em classe Tratando-se de dados agrupados em classe, a moda não é percebda tão faclmente como nos casos anterores. Para tal, utlzamos dversos processos na sua obtenção. Mas qualquer que seja o processo adotado, o prmero passo é dentfcar a classe que contém a maor frequênca. A esta classe denomnamos classe-modal. Aprenderemos a determnar a moda da dstrbução de frequêncas pelo método da moda bruta, pelo Método de Czuber e pelo Método de Kng. Se a questão não especfcar qual das fórmulas a ser empregada, pedndo apenas que se calcule a moda, usaremos a fórmula de Czuber. Consequentemente, só empregaremos a fórmula de Kng quando assm for solctado expressamente. Moda Bruta De todos os processos, este é o mas elementar, bastando, para sso, tomar o ponto médo da classe modal (aquela que contém a maor frequênca). Na próxma tabela, verfcamos, de medato, que a dstrbução possu apenas uma Moda e, que ela está contda na classe 4 6 chamada Classe Modal. Logo, o ponto médo da classe modal o caso, Nota 5, é conhecda como Moda Bruta. Prof. Gulherme Neves 3

33 Processo de Czuber RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Notas f Classe f = 110 O processo utlzado por Czuber leva em consderação as frequêncas anteror e posteror à Classe Modal. M oc = Moda (Processos de Czuber) = f f 1 máx ant = f máx post f h = ampltude do ntervalo de classe l = Lmte nferor da classe modal Assm, a moda de Czuber é dada por 1 MoC = l + h 1+ Observação: A demonstração desta fórmula fo colocada por mm no ste do Ponto dos Concursos no lnk g=4 No nosso exemplo, 1= 34 16= 18 = 34 17= 17 h= l = 4 Logo, 18 MoC = 4+ = 5, Mo = 5, 085 C Processo de Kng No processo proposto por Kng, é consderada a nfluênca sobre a classe modal das freqüêncas das classes anteror e posteror. A nconvenênca deste processo é justamente não levar em consderação a frequênca da classe modal. Prof. Gulherme Neves 33

34 No nosso exemplo, f = 17 post fant = 16 h= l = 4 Logo, 17 MoK = 4+ 5, = + MoK = 5, 0303 Propredades da Moda f post MoK = l + h fant + fpost Somando-se (ou subtrando-se) uma constante c de todos os valores de uma varável, a moda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. Multplcando-se (ou dvdndo-se) todos os valores de uma varável por uma constante c, a moda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. 11. (AFRFB 009 ESAF) Consdere a segunte amostra aleatóra das dades em anos completos dos alunos em um curso preparatóro. Com relação a essa amostra, marque a únca opção correta: 9, 7, 5, 39, 9, 7, 41, 31, 5, 33, 7, 5, 5, 3, 7, 7, 3, 6, 4, 36, 3, 6, 8, 4, 8, 7, 4, 6, 30, 6, 35, 6, 8, 34, 9, 3, 8. a) A méda e a medana das dades são guas a 7. b) A moda e a méda das dades são guas a 7. c) A medana das dades é 7 e a méda é 6,08. d) A méda das dades é 7 e o desvo-padrão é 1,074. e) A moda e a medana das dades são guas a 7. Resolução Méda artmétca: x x= n 105 x= 8,43 37 Rol: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 30, 31, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 39, 41. A medana será o termo de ordem = 19º. Logo, a medana é 7. A moda é defnda como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maor frequênca em um rol. Prof. Gulherme Neves 34

35 A moda é 7. Letra E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB 1. (AFRF 1998) Os dados seguntes, ordenados do menor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomadas numa bolsa de valores nternaconal. A undade monetára é o dólar amercano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,1 0,10,10,11,11,1,1,13,13,14, 15,15,15,16,16,18,3. Assnale a opção que corresponde ao preço modal. a) 8 b) 3 c) 7 d) 10 e) 9 Resolução Questão muto fácl! Basta verfcar o valor de maor frequênca. Faclmente verfca-se que a moda é 8, pos ele tem a maor frequênca (aparece mas vezes). Letra A 13. (AFRF/ESAF/1996) Para efeto desta questão, c onsdere os seguntes dados. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS DAS IDADES DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA ALFA, EM Classes de Idades (anos) Resolução Prof. Gulherme Neves 35 f Pontos Médos (PM) 19,5 4,5 4,5 9, ,5 34, ,5 39, ,5 44, ,5 49, ,5 54,5 7 5 Total 100 Marque a opção que representa a moda das dades dos funconáros em 1º/01/90. a) 35,97 b) 36,6 c) 36,76 d) 37,03 e) 37,31

36 O prmero passo é determnar a classe modal (maor frequênca). A classe modal é a quarta classe 34,5 39,5, cuja frequênca é 9. A frequênca anteror à classe modal é 3, e temos que 1 =9 3 = 6. A frequênca posteror à classe modal é 18 e temos que =9 18 = 11. O lmte nferor da classe modal é 34,5 e a ampltude da classe modal é 5. Assm, a moda de Czuber será Letra B 1 MoC = l + h 1+ Mo C 6 = 34,5+ 5= 36, Meddas de dspersão ou varabldade Dscutmos dversas maneras de obter um valor que fosse representatvo para os demas em um dado conjunto. Mutas vezes apenas os cálculos ou apresentações de um valor específco para um conjunto qualquer não são sufcentes para caracterzar uma dstrbução ou um conjunto de valores. O grau ao qual os dados numércos tendem a dspersar-se (afastar-se) em torno de um valor chama-se varação ou dspersão dos dados. Dspõe-se de váras meddas de dspersão. Estudaremos as mas mportantes. Desvo Absoluto Médo (Dm) Aprendemos que a soma algébrca dos desvos tomados em relação à méda é nula. Assm, não nos mportara crar uma medda de dspersão que utlze a soma algébrca dos desvos, pos essa, como sabemos, é sempre zero. Temos duas alternatvas a tomar: trocar o snal dos desvos negatvos (calcular o módulo dos desvos) ou elevar os desvos negatvos ao quadrado (pos todo número elevado ao quadrado não é negatvo). Ao tomar a prmera posção, damos orgem ao desvo absoluto médo e ao tomar a segunda posção damos orgem à varânca. O desvo absoluto médo também é chamado apenas de desvo médo ou desvo absoluto. Desvo médo é a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos da dstrbução, em relação a uma medda de tendênca central: méda ou medana. Na presente aula lmtar-nos-emos apenas em relação à méda artmétca. Dm= n = 1 n Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Prof. Gulherme Neves 36 X X

37 Dm= n = 1 X X f n Denomnamos desvo em relação à méda a dferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a méda artmétca. (,4,6,8,10,10,1,1) A méda artmétca dessa lsta de números é gual a 8. Por exemplo, o desvo em relação à méda do prmero número é 8 = - 6. d = x x= 6 d = x x= d = x x= 4 d = x x= 6 6 d = x x= d = x x= d = x x= 0 d = x x= Para calcular o desvo absoluto médo, devemos consderar o valor absoluto (módulo) dos valores acma obtdos. d d d d = 6 d = = 4 d = = d = 4 = 0 d = Dam= n d Onde d é a dferença entre cada valor e a méda artmétca Dam= 8 Dam= 3 Vejamos um exemplo do cálculo do desvo absoluto médo em uma dstrbução de frequêncas. O prmero passo é calcular a méda artmétca da dstrbução (se possível utlzando o método smplfcado). Em seguda, devemos calcular cada desvo em relação à méda, tomar seus valores absolutos, multplcar cada resultado pela frequênca da classe, somar todos os valores e dvdr por n. Prof. Gulherme Neves 37

38 Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: Dam= n = 1 X X f n 14. (AFRF 00./ESAF) O atrbuto do tpo contínuo X, observado como um ntero, numa amostra de tamanho 100, obtda de uma população de 1000 ndvíduos, produzu a tabela de freqüêncas segunte: Classes Frequênca (f) 9,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59, ,5-69,5 0 69,5-79,5 6 79,5-89, ,5-99,5 10 Assnale a opção que c orresponde ao desvo absoluto médo do atrbuto X. a) 16,0 b) 17,0 c) 16,6 d) 18,1 e) 13,0 Resolução O prmero passo, como fo dto, é calcular a méda artmétca da dstrbução. Já que as ampltudes são constantes (guas a 10), então poderemos utlzar o método breve. Lembrando que devemos abrr uma coluna para a varável transformada y, que é formada pela sequênca dos números naturas. Classes (f) y 9,5-39, ,5-49, ,5-59, ,5-69, ,5-79, ,5-89, ,5-99, Prof. Gulherme Neves 38

39 Para calcular a méda artmétca, devemos multplcar os valores da varável transformada pelas suas respectvas frequêncas. Somar os valores e dvdr por n. Classes (f) y y.f 9,5-39, ,5-49, ,5-59, ,5-69, ,5-79, ,5-89, ,5-99, y= = 3,5 100 Essa é a méda da varável transformada. Para calcular a méda da varável orgnal, devemos multplcar a méda artmétca encontrada pela ampltude e somar o ponto médo da prmera classe. x= y h+ x 1 x= 3, ,5 x= 69,5 Para calcular o desvo absoluto médo, devemos calcular o módulo da dferença entre cada ponto médo e a méda artmétca. Calculamos o prmero ponto médo, que é a méda artmétca entre 9,5 e 39,5. Logo, o prmero ponto médo é gual a 34,5. Para calcular os próxmos pontos médos, basta adconar a ampltude das classes. Ou seja, o próxmo ponto médo é gual a 34, = 44,5. Classes (f) X 9,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59, ,5 59,5-69,5 0 64,5 69,5-79,5 6 74,5 79,5-89, ,5 89,5-99, ,5 Prof. Gulherme Neves 39

40 A méda artmétca é gual a 69,5. O desvo da prmera classe é 34,5 69,5 = O módulo desse desvo é 35. Faremos da mesma manera o cálculo nas próxmas classes. Classes (f) X X-X 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44,5 5 49,5-59, , ,5-69,5 0 64,5 5 69,5-79,5 6 74,5 5 79,5-89, , ,5-99, ,5 5 O próxmo passo é multplcar cada desvo pela sua respectva frequênca. Classes (f) X X-X X-X.f 9,5-39,5 4 34, ,5-49,5 8 44, ,5-59, , ,5-69,5 0 64, ,5-79,5 6 74, ,5-89, , ,5-99, , Estamos prontos para calcular o desvo absoluto médo. Basta somar os valores da últma coluna e dvdr por n. Letra E 1300 Dam= = Desvo padrão e Varânca De todas as meddas de dspersão apresentadas até aqu, o Desvo Padrão é o mas utlzado, e cuja defnção nada mas é do que a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. O conceto de desvo padrão está ntmamente lgado ao estudo da varânca. Essas duas meddas de dspersão apresentam uma peculardade: teremos que prestar atenção se questão será com amostras ou com a população. Suponhamos que desejamos conhecer alguma cosa sobre determnada população por exemplo, a méda salaral, o desvo padrão Prof. Gulherme Neves das alturas, o 40

41 percentual de ntenções de voto para um determnado canddato - e essa população é composta de mlhares (talvez mlhões) de elementos, de tal modo que sera muto dfícl pesqusar o valor correto, pos sera nvável pesqusar todos os elementos. Nesse caso, temo de recorrer aos valores encontrados em uma amostra!! Seja qual for o caso, o fato é que, em mutas stuações, precsamos obter as nformações de uma amostra. O valor da população, chamado de parâmetro populaconal, é desconhecdo. O que é possível de se obter é um valor da amostra, que supostamente nos dá uma dea do valor correto (populaconal) do parâmetro. Esse valor amostral é chamado de estmador do parâmetro populaconal. Por exemplo, queremos saber a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos. Como há mutos estudantes, recorremos a uma amostra de, dgamos 150 alunos. A méda da amostra encontrada fo de 4 anos. Essa é a nossa estmatva! Mas a méda de dade dos estudantes do Ponto dos Concursos é realmente 4 anos? Não dá para saber, a não ser que todos os estudantes do Ponto fossem pesqusados. Portanto, são cosas dferentes o parâmetro populaconal e o estmador e, portanto, devem ser representados de maneras dferentes, por exemplo: X = méda amostral ( estmador) µ = méda populaconal ( parâmetropopulaconal) E não é só uma dferença de valores!! O parâmetro populaconal é, em geral, um valor fxo. O estmador depende da amostra. A prncpal propredade desejável de um estmador é a de que esse estmador, na méda, acerte o valor correto. Ou seja, se pudéssemos repetr a experênca nfntas vezes, o valor médo das estmatvas encontradas em cada expermento sera o valor correto do parâmetro populaconal. A esperança (trataremos a esperança com detalhes neste curso) do estmador deve ser o parâmetro populaconal. Se sso ocorre, dzemos que o estmador é não vesado (não vcado). Se, entretanto, o estmador erra, em méda, dzemos que ele é vesado (vcado). Pos bem, o desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. No caso do rol (população), aplcaremos a segunte fórmula: ' = ( )* *,- Prof. Gulherme Neves 41

42 Quando os dados se apresentarem ordenados em uma tabela de frequênca com dados agrupados em classe ou dados solados ponderados, utlzaremos a segunte fórmula: ' = ( )* *,- São fórmulas muto parecdas com a do desvo absoluto médo. A dferença é que no lugar de tomar os valores absolutos dos desvos, devemos elevar os desvos ao quadrado. E do resultado fnal, extrar a raz quadrada. E se estvermos trabalhando com amostras. A únca dferença é que o denomnador da fórmula não será n! Será n-1!! = / )0 10, é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. 5 Utlzaremos a segunte notação: se estvermos trabalhando com população, a letra ndcadora do desvo padrão será a letra grega sgma σ. O desvo padrão amostral será desgnado pela letra latna s. Lembrando mas uma vez: se estvermos trabalhando com amostras, na fórmula do desvo padrão (e também da varânca que veremos adante) o denomnador deverá ser trocado por n-1. E quanto às fórmulas da varânca?? Se você sabe como calcular o desvo padrão, automatcamente já sabe calcular a varânca. Basta não extrar a raz quadrada. Varânca populaconal ' = )* *,- Varânca Amostral = )* 1*,- Em suma, a varânca é o quadrado do desvo padrão e o desvo padrão é a raz quadrada da varânca!!! Vejamos alguns exemplos. 15. (Audtor IBGE - CESGRANRIO 010) No últmo mês, Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular cujas durações, em mnutos, estão apresentadas no rol abaxo O valor aproxmado do desvo padrão desse conjunto de tempos, em mnutos, é (A) 3,1 (B),8 (C),5 Prof. Gulherme Neves 4

43 (D), (E),0 Resolução Nesse caso, não estamos trabalhando com uma amostra. Pos Alípo fez apenas 8 lgações de seu telefone celular. Então, na fórmula do desvo-padrão o denomnador será o própro n (o número de elementos da população). Estamos trabalhando com um parâmetro populaconal. ( x ) x σ = n Devemos, portanto, calcular a méda artmétca dos elementos da população e fnalmente aplcarmos a fórmula do desvo-padrão populaconal. E o desvo-padrão será µ = = 6 8 x x x ( ) x x = -1 (-1) = 1 6 = -4 (-4) = = 5 5 = = = = -3 (-3) = = = = 1 1 = = - (-) = σ = = = Podemos calcular o valor aproxmado da 8 utlzando o método de Newton- Raphson. Para aprender com detalhes o método de Newton-Raphson basta acessar o lnk que dsponblze no ste do Ponto: g=4. Em resumo, o método de Newton-Raphson dz que toda raz quadrada pode ser aproxmada por uma fração em que o numerador é formado por uma soma de dos números: o própro número e o quadrado perfeto mas próxmo. Já no denomnador, você va multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. No nosso caso, o quadrado perfeto mas próxmo de 8 é 9 (3 ). Então o numerador será 8+9. E no denomnador sempre devemos multplcar a raz quadrada do quadrado perfeto por. Prof. Gulherme Neves 43

44 σ = 8 =, Letra B 16. (PETROBRAS 008 Admnstrador Júnor CESGRANRIO) Do total de funconáros de uma empresa, fo retrada uma amostra de ses ndvíduos. A tabela abaxo apresenta o tempo trabalhado na empresa, em anos completos, por cada um deles. X 1 X X 3 X 4 X 5 X A varânca dessa amostra é (A) 3,7 (B) 4,0 (C) 4,4 (D) 5,0 (E) 5,5 Resolução ( x ) x s = n 1 é um estmador não vcado (não vesado) da varânca. Lembre-se que quando trabalhamos com amostras (desvo padrão e varânca) o denomnador das fórmulas serão sempre n-1. Voltemos agora à nossa questão. X 1 X X 3 X 4 X 5 X Queremos calcular a varânca dessa amostra. Prmeramente calculemos a méda dessa amostra x= = 3 6 Calculemos agora os quadrados dos desvos dos valores da amostra em relação à méda. x x x Assm, a varânca amostral é dada por: ( ) x x = 0 0 = = 4 4 = 16-3 = -1 (-1) = 1-3 = -1 (-1) = = 0 0 = = - (-) = 4 Prof. Gulherme Neves 44

45 ( x x) s = = = = 4,4 n Letra C Está lembrado da nossa pesqusa com uma amostra de 40 alunos do Ponto, em que pesqusamos a estatura deles? Vamos calcular o desvo padrão e a varânca dessa amostra. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas f x (cm) Total 40 Já tvemos a oportundade de calcular a méda artmétca x= 161 cm. Para calcular o desvo padrão e a varânca, devemos calcular o quadrado dos desvos em relação a méda. Por exemplo: o prmero ponto médo é gual a 15, portanto seu desvo é gual a = - 9. Devemos calcular (-9) = 81. Em seguda devemos multplcar esses valores pelas suas respectvas frequêncas. Obtemos a segunte tabela: f x ( x X) ( x X) f = 140 Lembrando que no cálculo dessas duas meddas de dspersão, ao trabalhar com amostras, devemos colocar n-1 no denomnador. n ( X ) X f = S = = = 31,79 n S = 31,79 = 5,638 (Tente calcular um valor aproxmado do desvo padrão utlzando o método de Newton-Raphson). Prof. Gulherme Neves 45

46 Esse exemplo fo um pouco trabalhoso!! Por sso, aprenderemos algumas propredades do desvo padrão e da varânca e um método smplfcado para o cálculo dessas meddas. O desvo padrão goza de algumas propredades parecdas com as da méda artmétca. Propredades da Varânca ) Somando-se ou subtrando-se uma c onstante qualquer a c ada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa constante. Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X) Temos propredades muto parecdas o desvo padrão. Propredades do Desvo-padrão ) Somando-se ou subtrando-se uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, o desvo padrão fcará multplcado ou dvddo por essa constante. Isso porque o desvo-padrão, da mesma forma que a varânca, é uma medda de dspersão. Por exemplo, magne que a méda artmétca das dades de 100 pessoas é gual a 0 anos. Daqu a 5 anos, todas as pessoas fcarão 5 anos mas velhas. Ou seja, nós adconamos 5 às dades de todas as 100 pessoas. Dessa forma, a méda artmétca que hoje é gual a 0 anos, daqu a 5 anos será 0+5=5 anos. Da mesma manera, se trplcarmos as dades de todas as 100 pessoas, ou seja, se multplcamos todas as dades por 3, a méda artmétca também será Prof. Gulherme Neves 46

47 multplcada por 3. A méda que orgnalmente era gual a 0 anos será gual a 0x3=60 anos. Nesse exemplo das 100 pessoas, daqu a 5 anos as dades estarão gualmente espalhadas. Por exemplo, se seu rmão é 4 anos mas velho do que você, ele sempre será 4 anos mas velho do que você. Suas dades estarão sempre com o mesmo grau de afastamento. Assm, a adção e a subtração não alteram o desvo-padrão e a varânca. É válda, portanto, a segunte relação: ) dp( ax + b) = a dp( X ) 17. (PETROBRAS 006 Admnstrador Pleno CESGRANRIO) Se Y = X+1 e a varânca de X vale, a varânca de Y é gual a: (A) (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) 9 Resolução É mportantíssmo conhecermos algumas propredades da varânca: ) Somando-se ou subtrando-se uma c onstante qualquer a c ada elemento de um conjunto de valores, a varânca não se altera. ) Se multplcarmos ou dvdrmos uma constante qualquer a cada elemento de um conjunto de valores, a varânca fcará multplcada ou dvdda pelo quadrado dessa constante. Por exemplo, se os valores trplcam, a varânca é multplcada por 9 (3 ). Se os valores são quadruplcados, a varânca é multplcada por 16 (4 ). Em relação à adção e à subtração, tem-se que a varânca não é nfluencada. Isso porque a varânca é uma medda de dspersão se somarmos o mesmo valor a todos os valores de X, eles contnuarão dspersos, espalhados da mesma forma, apenas mudarão de posção. É válda, portanto, a segunte relação: var( ax + b) = a var( X) var(x 1) var( X ) = = =. Assm, Poderíamos racocnar da segunte manera: Como chegamos à varável Y a partr da varável X? Multplcamos os valores de X por e em seguda adconamos 1 ao resultado encontrado. Prof. Gulherme Neves 47

48 Assm, a varânca (que é gual a ) multplcada por 4 é gual a 8. Letra D Método smplfcado para o desvo padrão e varânca Há casos em que é muto trabalhoso calcular a méda artmétca, em seguda calcular os desvos em relação à méda, elevar esses valores ao quadrado, etc. Ufa! Cansou só de ler... Por sso, exste um método smplfcado para o c álculos dessas meddas de dspersão. Esse método dspensa o cálculo dos desvos!! O método é descrto a partr das seguntes fórmulas: Fórmula Desenvolvda do desvo padrão para dstrbução de freqüêncas No caso de estarmos trabalhando com os elementos uma população: ' = ( 1 6 * ) * - 7 No caso de estarmos trabalhando com os elementos de uma amostra: ( X ) f 1 S = X f n 1 n Smplfcado????? Este método está parecendo muto complcado!!!! Calma... Se não fosse smplfcado eu nem falara nele... Para começar: qual a dferença entre * e ) * -? Prof. Gulherme Neves 48

49 * Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. ) * - Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Como é que vamos utlzar essas fórmulas? No lugar de trabalhar com a varável orgnal, trabalharemos com a varável transformada. Sm, aquela mesma da méda artmétca, que é formada pela sucessão dos números naturas. Então, na fórmula, no lugar de trabalhar com a varável X, trabalharemos com a varável transformada Y (0,1,,3,4...). Calculamos o desvo padrão e a varânca da varável transformada. Na méda artmétca, para fazer o camnho da volta, nós multplcávamos a méda da varável transformada pela ampltude da classe e depos adconávamos o prmero ponto médo. Aqu é bem mas fácl!! O camnho da volta: Desvo padrão: basta multplcar pela ampltude. Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. Vamos calcular novamente o desvo padrão e a varânca dos 40 alunos do ponto com o método smplfcado. Utlzaremos a fórmula desenvolvda juntamente com a varável transformada: 1 S= X f n 1 ( X ) f No lugar da varável X, utlzaremos a varável Y formada pela sucessão dos números naturas. Estaturas de 40 alunos do Ponto Estaturas f x (cm) Total 40 n Prof. Gulherme Neves 49

50 f x y y f y y f = 90 = 80 Qual o sgnfcado de cada uma das colunas desta tabela? Dê uma olhada na fórmula: ( X ) f 1 S = X f n 1 n * Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. ) * - Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Já que estamos trabalhando com a varável transformada: 8 Você deve elevar Y ao quadrado (coluna 5), multplcar pela frequênca (coluna 6) e em seguda somar os valores (coluna 6 últma lnha). ) 8 - Você deve multplcar Y pela frequênca (coluna 4), somar esses valores (coluna 4 últma lnha) e elevar o resultado ao quadrado. Cálculo da Varânca da Varável Transformada y S 1 = y f n 1 y [ ] ( y ) f 1 S y = 80 0,5 = 1, O valor 0,5 fo obtdo elevando 90 ao quadrado e dvdndo o resultado por 40. O camnho da volta: Varânca: basta multplcar pelo quadrado da ampltude. Assm, S = 1, = 31, 79 E o desvo padrão é a raz quadrada da varânca. 31,79 5,638 S = = n Prof. Gulherme Neves 50

51 18. (Audtor do Governo do Estado do Amapá FGV/ 010) Os dados a segur são as quantdades de empregados de cnco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A varânca da quantdade de empregados dessas cnco empresas é gual a: (A) 0,8. (B) 1,. (C) 1,6. (D),0. (E),4. Resolução Podemos calcular a varânca dessa população pelo método tradconal ou pelo método smplfcado. Método Smplfcado ' = 1 6 * ) * - 7 * Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, multplcar pela frequênca e em seguda somar os valores. ) * - Você deve multplcar o ponto médo (valor da varável) pela frequênca, somar esses valores e elevar o resultado ao quadrado. Nesse caso, as frequêncas são todas guas a 1. Logo, a fórmula fca assm: ' = 1 6 * ) * - 7 * Você deve elevar o ponto médo (valor da varável) ao quadrado, em seguda somar os valores. ) * - Você deve somar os valores e elevar o resultado ao quadrado. * = = 186 Assm, 9 * : = ) = 900 ' = 1 5 ; < = = 1, Letra B Prof. Gulherme Neves 51

52 19. (AFRF 1998/ESAF) Os dados seguntes, ordenados do menor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomadas numa bolsa de valores nternaconal. A undade monetára é o dólar amercano. 4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,10,10,10,1 0, 11,11,1,1, 13,13,14, 15,15,15,16,16,18,3. Os valores seguntes foram calculados para a amostra: ( ) X X = 490 e X = Assnale a opção que corresponde à medana e à varânca amostral, respectvamente (com aproxmação de uma casa decmal). a) 9,0 e 14,0 b) 9,5 e 14,0 c) 9,0 e 13,6 d) 8,0 e 13,6 e) 8,0 e 15,0 Resolução Quanto à medana não há problema: são 50 preços (número par). Assm, a medana será a méda artmétca entre o 5º e o 6º termos. A medana é gual a 9. E quanto à varânca amostral? A ESAF fo muto generosa!! Prvlegou quem saba a fórmula desenvolvda. Quem não saba... Snto muto! Pos calcular os desvos, elevá-los ao quadrado, depos somar...acabou o tempo da prova! ( X ) X = Esse fo o presente da ESAF!! S 1 = X n 1 Agora, lembre-se que tratando de amostras o denomnador deve ser n-1. S = S =13,6 Letra C ( X ) n Prof. Gulherme Neves 5

53 Uma observação mportante: já que a varânca é o quadrado do desvo padrão, então a sua undade de medda será o quadrado da medda do desvo padrão. Logo, se estamos trabalhando com alturas em metros, então a undade da varânca será m ; se estamos trabalhando com massas em kg, a undade da varânca será kg, (Companha Catarnense de Águas e Saneamento Economsta 006 FEPESE) Sobre meddas de dspersão, é correto afrmar: a) O desvo padrão é meddo em quadrados da undade da varável orgnal. b) O desvo padrão é a raz quadrada da covarânca entre duas varáves. c) A varânca tem relação lnear com os afastamentos da méda. d) Maor varânca sgnfca que a méda da amostra é mas elevada. e) A varânca não é expressa em undades da varável orgnal. Resolução a) O desvo padrão é meddo na mesma undade da varável. Falso. b) O desvo padrão é a raz quadrada da varânca da varável orgnal. Falso. c) A varânca não tem relação lnear com os afastamentos (desvos) da méda, pos elevamos os desvos ao quadrado. Falso. d) Maor varânca sgnfca maor afastamento em relação à méda. Falso. e) Verdadero. Letra E 1. (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Em uma amostra de cnco resdêncas de uma determnada rua, regstram-se os seguntes números de moradores em cada uma: A varânca amostral é (A) 5,8 (B) 5,5 (C) 5,1 (D) 4,8 (E) 4,4 Resolução X 1 X X 3 X 4 X Queremos calcular a varânca dessa amostra. Prof. Gulherme Neves 53

54 Prmeramente calculemos a méda dessa amostra.? = = 4 5 Calculemos agora os quadrados dos desvos dos valores da amostra em relação à méda. x x x ( x x) Assm, a varânca amostral é dada por: 3 3 4= 1 ) 1- = = =4 4= ) - = =3 3 =9 4= ) - =4 = )??- = = = 5,5 1 Letra B Lea a tabela a segur para responder às questões de nos a 4.. (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Consderando-se que uma pessoa será escolhda ao acaso, qual a probabldade de que a sua dade esteja entre 8 e 36 anos, dado que a pessoa escolhda terá 4 anos ou mas? (A) 11/40 (B) 13/3 (C) 19/40 (D) 19/3 (E) 9/40 Resolução O prmero passo é calcular a coluna de frequêncas absolutas. Para sto, repetmos a prmera frequênca acumulada e calculamos as dferenças entre as frequêncas acumuladas consecutvas. Prof. Gulherme Neves 54

55 A tabela fcará assm: RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Idades (anos) Frequênca Acumulada Frequênca Absoluta = = =10 Idades (anos) Frequênca Absoluta O total de pessoas com dade entre 8 e 36 anos é gual a = 38 (basta somar as frequêncas da tercera e da quarta classe). Como a pessoa escolhda tem 4 anos ou mas, então estamos consderando um unverso de = 80 pessoas. A probabldade de que a sua dade esteja entre 8 e 36 anos, dado que a pessoa escolhda terá 4 anos ou mas é gual a: Letra C = (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) Sejam A e md, respectvamente, a méda e a medana das dades. O valor de A md é (A) 0,80 (B) 0,75 (C) 0,70 (D) 0,65 (E) 0,60 Resolução Na questão, construímos a segunte tabela. Idades Frequênca (anos) Absoluta Prof. Gulherme Neves 55

56 Para calcular a méda artmétca de uma dstrbução de frequêncas, convenconamos que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Abrremos ncalmente uma coluna para os pontos médos das classes (x ) e em seguda multplcaremos esses valores pelas suas respectvas frequêncas. O ponto médo é a méda artmétca dos extremos da classe. Por exemplo, o ponto médo da prmera classe é BC =. Idades (anos) Frequênca?? Absoluta x = x 6 = x 30 = x 34 = x 38 = 380 Basta-nos agora somar os valores da coluna x f e dvdr pela quantdade de observações (o somatóro das frequêncas absolutas é gual a 100). A = = 8,40 A medana é outra medda de posção defnda como número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor stuado de tal forma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. No cálculo da medana em uma dstrbução de frequênca não teremos a preocupação de determnarmos se o número de elementos é par ou ímpar. Os passos báscos para determnar a medana de uma dstrbução serão: ) Descobrr a classe medana. ) Aplcar a fórmula da medana para dstrbução de frequêncas. Para determnarmos a classe medana, deveremos calcular o valor n. Em seguda comparamos esse valor com os valores da frequênca absoluta acumulada crescente. Procuraremos a classe cuja frequênca acumulada seja maor ou gual ao valor de n. Como são 100 pessoas, então / = 50. Prof. Gulherme Neves 56

57 Para determnar a classe medana, devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 50. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 50 teremos determnado a classe medana. Classe medana (5 > 50) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula da medana. n facant Md l = nf + h f Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe medana (F 54 = 4). / = 50 Frequênca acumulada da classe anteror à classe medana ( GHI = 0). Frequênca absoluta da classe medana ( = 5 0 = 3) Ampltude da classe medana (J = 8 4 = 4) A medana é dada por: K = F 54 + L GHI M J 50 0 K = 4 + ; < 4 3 K = 4 + ; 30 3 < 4 = 7,75 Prof. Gulherme Neves 57

58 Desta forma: A K = 8,40 7,75 = 0,65 Letra D 4. (Técnco Admnstratvo BNDES 008/CESGRANRIO) A dstânca nterquartl é, aproxmadamente, (A) 6,3 (B) 6,5 (C) 6,7 (D) 6,9 (E) 7,1 Resolução A dstânca nterquartl é gual à dferença entre o tercero quartl e o prmero quartl. O método para calcular os quarts (e as outras meddas separatrzes como decs, percents) é muto parecdo com o da medana. n 5 Dferença: ao nvés de calcularmos o valor calcularemos (se for o prmero quartl) ou 3 n (se for o tercero quartl). O denomnador é gual a 4 porque 4 trata-se de um quartl (dvdmos a dstrbução em quatros partes). O numerador é 1n porque estamos calculando o prmero quartl ou 3n porque estamos calculando o tercero quartl. Para calcular a classe do prmero quartl deveremos procurar a frequênca acumulada que é maor ou gual n/4. A fórmula do prmero quartl fcará N = F 54 + L 4 GHI M J E para calcular a classe do tercero quartl deveremos procurar a frequênca acumulada que é maor ou gual a 3 n. A fórmula do tercero quartl fcará 4 3n facant Q 4 3 = lnf + h f ) Cálculo do prmero quartl Como são 100 pessoas, então n/4 = 5. Prof. Gulherme Neves 58

59 Devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 5. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 5 teremos determnado a classe do prmero quartl. Classe do prmero quartl (5 >5) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula do prmero quartl. N = F 54 + L 4 GHI M J Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe do prmero quartl (F 54 = 4). /4 = 5 Frequênca acumulada da classe anteror à classe do prmero quartl ( GHI = 0). Frequênca absoluta da classe do prmero quartl ( = 5 0 = 3) Ampltude da classe do prmero quartl (J = 8 4 = 4) O prmero quartl é dado por: N = F 54 + L 4 GHI M J 5 0 N = 4 + ; < 4 3 N = 4 + ; 5 3 < 4 = 4,65 ) Cálculo do tercero quartl Como são 100 pessoas, então 3n/4 = 75. Devemos comparar cada uma das frequêncas acumuladas com o valor 75. Quando encontrarmos o prmero valor que for maor ou gual a 75 teremos determnado a classe do tercero quartl. Prof. Gulherme Neves 59

60 Classe do prmero quartl (78 >75) Estamos prontos para aplcarmos a fórmula do tercero quartl. 3 N = F 54 + L 4 GHI M J Precsaremos dos seguntes valores: Lmte nferor da classe do tercero quartl (F 54 = 8). 3/4 = 75 Frequênca acumulada da classe anteror à classe do tercero quartl ( GHI = 5). Frequênca absoluta da classe do tercero quartl ( = 78 5 = 6) Ampltude da classe do tercero quartl (J = 8 4 = 4) O tercero quartl é dado por: 3 N = F 54 + L 4 GHI M J 75 5 N = 8 + ; < 4 6 N = 8 + ; 3 6 < 4 31,538 Desta forma, a dstânca nterquartl é aproxmadamente: Letra D N N 31,538 4,65 N N 6,913 Prof. Gulherme Neves 60

61 Relação das questões comentadas 01. (Economsta - Insttuto de Prevdênca do Estado de Santa Catarna FEPESE/006) Verfque os conjuntos A, B, C e D abaxo, no formato de rol e assnale a alternatva correta. a) A ampltude total do conjunto C é gual a 0,8. b) Não é possível calcular a ampltude total do conjunto D, pos estamos dante de um rol decrescente. c) A ampltude de todos os conjuntos é gual a 7. d) A ampltude total do conjunto A é,1. e) A ampltude total do conjunto B é o dobro da ampltude total do conjunto A. 0. (Audtor Interno do Poder Executvo- Secretaras de Estado da Fazenda e da Admnstração 005 FEPESE) Os pesos de 80 pacentes nternados em um hosptal estão relaconados na tabela abaxo. Com referênca a essa tabela, determne a ampltude total. Assnale a únca alternatva correta. a) 49 b) 53 c) 79 d) 80 e) 97 Prof. Gulherme Neves 61

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