TRANSPORTES. Sessão Prática 9 Modelos de Escolha Discreta Modelo Logit

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1 Mestrado Integrado em Engenhara Cvl TRANSPORTES Prof. Responsável: Lus Pcado Santos Sessão Prátca 9 Modelos de Escolha Dscreta Modelo Logt Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 1/19

2 O conjunto de atrbutos X observados para a alternatva em estudo A mas frequentemente consderados na parte determnístca (V(A)) da função utldade (U(A)) são quase sempre o tempo de vagem, o preço, o nº de transbordos por vezes a frequênca de servço e o conforto U ( A) A 0 MODELOS DE ESCOLHA DISCRETA Concetos também quase sempre, um parâmetro específco de cada modo, no qual são abrangdos todos os seus atrbutos mas dfíces de medr Cada um dos atrbutos têm parâmetro (w) que corresponde à sua mportânca (peso) relatvamente aos outros atrbutos na utldade das alternatvas w. X A k V ( A) k Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 2/19 k

3 O MODELO LOGIT e a utldade estocástca O modelo Logt, modelo de escolha dscreta, basea-se na Teora da Utldade Estocástca, com um conjunto de hpóteses sobre o termo aleatóro (e) (ou de erro) na expressão da utldade U( A) V ( A) A0 k w k. X k A Os termos de erro são ndependentes e com a mesma dstrbução e parâmetros para todas as alternatvas em presença A dstrbução dos termos de erro é a de Gumbel (dupla exponencal) O termo de erro toma valores pequenos em comparação com o valor da parte determnístca da utldade das alternatvas Esta formulação adtva mplca Termo aleatóro da função utldade a utldade é compensatóra, sto é, os defetos numa das dmensões são compensáves por (grandes) vrtudes noutras os contrbutos dos város atrbutos são ndependentes, sto é, o peso relatvo de cada um deles (dado pelo seu coefcente) é ndependente do valor que tome qualquer dos outros atrbutos Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 3/19

4 A expressão geral do modelo Logt é Axoma de Independênca de Alternatvas Irrelevantes: O ráco das probabldades de duas alternatvas não é afetado pela presença ou ausênca de outras no conjunto de escolha. Se A 1 e A 2 forem duas alternatvas de probabldade não nula: p( A ) 1 P( A ) exp A p( A2 ) P( A2 ) P 1 V ( A ) V ( A ) ln V ( A ) V ( ) Esta propredade representa uma debldade do modelo sempre que haja alternatvas claramente correlaconadas, e mplca um tratamento especal desses casos (por ex. 2 modos rodováros partlhando o mesmo camnho), com o modelo Logt Herárquco (não tratado nesta dscplna) O MODELO LOGIT e as suas propredades k exp V exp V k em que é o conjunto de escolha dsponível para o decsor 2 Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 4/19

5 V A w X A ) w Y( A ) MODELOS DE ESCOLHA DISCRETA Trade-offs Trade-off: quantdade do atrbuto Y que os ndvíduos estão dspostos a perder, para ganhar uma undade do atrbuto X, mantendo a utldade constante Sendo a função utldade V(A) para avalar a preferênca entre alternatvas A, consderando dos atrbutos genércos X e Y, dada por: V X ( Y Com os pesos dos atrbutos respetvos dados por: o mesmo que A X A ) Y( A ) ( V wx trade off X X, Y V wy Y Assm, trade-off traduz-se também pelo quocente entre os pesos dos atrbutos a relaconar w com X w w e w X Y Y Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 5/19

6 Consdere a segunte especfcação da função utldade V(A ) para avalar a preferênca entre modos alternatvos A, consderando dos atrbutos (tempo e custos de vagem): VA tempo TV( A ) custo CV( A ) Onde: V(A ) Utldade percebda em escolher modo A TV(A ) Tempo de Vagem com o modo A (mn); CV(A ) Custos de Vagem com o modo A ( ); pesos dos atrbutos (ou coefcentes de calbração da função de utldade) O trade-off mas comum é o valor do tempo - VdT (em nglês, VOT de Value of tme ) Quanto é que se está dsposto a pagar para reduzr o tempo de deslocação? É meddo em /undade tempo, neste caso, /mn MODELOS DE ESCOLHA DISCRETA Trade-offs O VdT corresponde à relação entre os coefcentes do tempo de vagem e do seu custo (trade-off TV,CV ). V TV tempo trade- offtv,cv VdT V custo CV Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 6/19

7 Regra Prátca MODELOS DE ESCOLHA DISCRETA Trade-offs A função de utldade é admensonal, logo a undade de cada é o nverso da undade de cada atrbuto. Recorrendo ao exemplo da especfcação da função utldade anteror V A tempo TV A ) custo CV( A ) deduz-se que a undade de tempo é (1/mn) e custo é (1/ ). Assm, uma análse dmensonal pode ser utlzada para verfcar se o trade-off fo bem calculado. Neste caso, para calcular o VdT cuja undade sabemos que é /mn, recorreríamos ao segunte cálculo: VdT º æ è ç ( æ ö ç mn ø = ç è ç 1 mn 1 ö ø º b tempo b custo Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 7/19

8 Exercíco P9.1 Uma empresa de expedção rápda de encomendas, que serve atualmente váras cdades do País, tem neste momento dos modos de funconamento: (1) Servço Base: servço em que apenas recebe os peddos de transporte e os satsfaz posterormente através de uma transportadora com carreras regulares (outsourcng da transportadora); (2) Servço Melhorado: servço em que serve dretamente o clente realzando o transporte com o seu própro pessoal e veículos. A dferença entre estas duas modaldades é um custo fxo superor para a empresa no segundo caso porque precsa de ter uma nstalação própra e pessoal na cdade de orgem da encomenda, mas sso permte dmnur o tempo de vagem e o segumento em tempo real da posção da encomenda por parte do clente. Neste momento a empresa está a consderar a hpótese de nstalar uma representação numa determnada cdade e assm ncar o novo servço personalzado mas caro, mas mas rápdo e com a possbldade de acompanhamento, mantendo anda a possbldade do clente optar pela modaldade anteror. Para sso decdu basear-se na sua experênca de acetação desse mesmo servço noutras cdades, com os dados apresentados no quadro segunte. Possundo as quotas de peddos para os dos servços na lgação entre város pares de cdades pretende-se avalar a vabldade da nstalação de uma representação da empresa naquela cdade. a) Utlzando os dados apresentados no quadro, com base num modelo de escolha dscreta calbre um modelo que possa ajudar nessa avalação estmando o comportamento dos clentes na nova cdade. Analse os resultados obtdos, bem como os snas dos pesos dos atrbutos. b) Determne os trade-offs dos atrbutos dos servços prestados pela empresa. Comente e justfque. c) Calcule as quotas de peddos estmadas usando o modelo obtdo. Compare com as quotas observadas. Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 8/19

9 Exercíco P9.1 Par de cdades A-B C-D D-H G-H I-J J-A L-M Servço é o custo por Kg e por Km de transporte Custo para a empresa [ /(Kg*Km)] Tempo para despachar a encomenda [horas] Possbldade de segur a encomenda [-] Quota de peddos observada Servço Base Servço Melhorado Servço Base Servço Melhorado Servço Base Servço Melhorado Servço Base Servço Melhorado Servço Base Servço Melhorado (o tempo não se altera porque hava um bom acordo com a empresa de transporte) Servço Base Servço Melhorado Servço Base (Já hava a possbldade de segur a encomenda por acordo com a empresa de transporte) reflecte-se drectamente no tempo até à chegada da encomenda no destno saber a sua posção exacta em tempo real Servço Melhorado Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 9/19

10 Exercíco P9.1 - Resolução a) Equação a utlzar para a calbração do modelo,.e. para estmar os pesos dos atrbutos: P( a) ln U ( a) U ( b). P( b) C ( a) C( b). T ( a) T ( b). Poss( a) Poss( b) Colocando uma coluna gual à dferença de utldades em função de cada um dos pesos dos atrbutos, é possível, pelo método dos mínmos quadrados ou utlzando a Regresson Analyss do Excel (Tools -> Data analyss -> Regresson), calcular os parâmetros que mnmzam a dferença entre ln (P(a) / P(b)) e U(a)-U(b). Cálculo da dferença de atrbutos: Nº Par de cdades ln (P(a) / P(b)) C(a)-C(b) T(a) - T(b) Poss(a)-Poss(b) 1 A-B C-D D-H G-H I-J J-A L-M Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 10/19

11 Exercíco P9.1 - Resolução a) (cont) Para resolver o problema utlza-se a ferramenta regresson analyss do excel. Onde se faz a regressão (com termo de nterceção=0) entre o ln(p(a)/p(b)) - varável Y - e as dferenças entre os atrbutos da função de utldade - varáves X. Os resultados são apresentados em seguda: SUMMARY OUTPUT Regresson Statstcs Multple R R Square Adjusted R Square Standard Error Observatons 7 coefcente de determnação de 0.89 denota uma boa regressão entre a varável dependente e as varáves ndependentes ANOVA df SS MS F Sgnfcance F Regresson Resdual Total Coeffcents Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 0 #N/A #N/A #N/A #N/A #N/A X Varable X Varable X Varable Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 11/19

12 Exercíco P9.1 - Resolução Dferença de Atrbutos Nome da varável a) (cont) Análse de Resultados Pesos dos atrbutos Coefcente assocado a cada varável. É um estmador do valor esperado desse coefcente O erro estandardzado é uma estmatva do desvo padrão do coefcente O Valor do coefcente dvddo pelo erro estandardzado é gual ao valor da dstrbução de t-student com n-p graus de lberdade. t α;n p = B k β k s B k O valor p é dado pela estatístca de t e consste na probabldade de se obter uma estatístca do teste maor que a observada, assumndo a hpótese nula como verdadera (a hpótese nula é que o coefcente é gual a zero) B k é o valor real do coefcente k k é o valor de uma estmatva de B k S{B k } é a estmatva do desvo padrão de B k n é o número de observações p é o número de parâmetros do modelo Como o que nos nteressa saber é se B k é ou não sgnfcatvamente (para um determnado ) dferente de zero. Neste caso assummos que k é gual a zero e portanto t é gual a ao valor do coefcente a dvdr pelo erro estandardzado. Estes valores são os lmtes do ntervalo de confança dos valores que o coefcente pode tomar Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 12/19

13 Exercíco P9.1 - Resolução a) (cont) Análse de Resultados Varáves 1 e 3 pouco sgnfcatvas (p values maores que 10% ou t-stat <2 ). Introduz maores erros na estmatva das quotas dos peddos. Pesos dos atrbutos: b) Cálculo dos trade-offs entre os atrbutos, análse e nterpretação: / / Valor undade Interpretação Euros / Possbldade de segur a encomenda Horas / Possbldade de segur a encomenda / Euros / Horas Dsposto a pagar mas cêntmos por cada Kg*Km para ter a possbldade de segur a encomenda Dsposto a perder mas 0.17 horas em tempo para despachar a encomenda para ter a possbldade de a segur em tempo real Dsposto a pagar mas 32 cêntmos por cada Kg*Km para poupar uma hora no tempo de despacho Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 13/19

14 V c) Cálculo das quotas de peddos modeladas V A C A ) T ( A ) S( A ) ( A C A ) T ( A ) S( A ) Função de utldade modelada ( Par de cdades A-B C-D D-H G-H I-J J-A L-M Servço Quota de peddos observada Servço Base 0.4 Servço Melhorado 0.6 Servço Base 0.35 Servço Melhorado 0.65 Servço Base 0.5 Servço Melhorado 0.5 Servço Base 0.35 Servço Melhorado 0.65 Servço Base 0.6 Servço Melhorado (o tempo não se altera porque hava um bom acordo com a empresa de transporte) Quotas de peddos modeladas Exp(U) 0,44 0, ,56 0, ,39 0, ,61 0, ,44 0, ,56 0, ,32 0, ,68 0, ,58 0, ,42 0, Servço Base ,41 0, Servço Melhorado ,59 0, Servço Base (Já hava a possbldade de segur a encomenda por acordo com a empresa de transporte) Exercíco P9.1 - Resolução P k 0.4 0,38 0, exp V exp V k Somatóro Exp 0, , , , , , , Servço Melhorado 0.6 0,62 0, Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 14/19

15 Exercíco P9.2 Uma companha aérea low-cost verfcou que o tempo de rotação dos seus avões é muto afectado pela quantdade de bagagens despachadas e que podera baxar anda mas os seus preços se consegusse que uma menor quantdade dos seus passageros despachasse bagagem. Nesse caso há anda a vantagem para os passageros de esperarem menos nas operações de check-n. Para tal, quer começar a cobrar uma sobretaxa ao preço do blhete por cada peça de bagagem despachada. A questão que se coloca é: qual o valor que os passageros desta companha aérea estão dspostos a pagar por cada peça de bagagem? Para estudar esta questão conduzu-se um nquérto de preferêncas declaradas entre os passageros desta companha, pedndo-lhes que comparassem os dos tpos de polítcas comercas: Blhetes mas baratos e sobretaxa por bagagens despachadas vs. Blhetes mas caros com despacho de bagagens sem sobretaxa. Foram nqurdas 8 pessoas, às quas foram apresentados 6 cartões, cada um deles com duas opções: com e sem sobretaxa. A tabela segunte apresenta os resultados do nquérto: Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 15/19

16 Alt A - Habtual Alt B - Com sobretaxa Exercíco P9.2 A força da preferênca é dada pela segunte dstrbução: Respostas possíves Prob(A) Prob(B) Prob(A)/ Prob(B) 1 Prefere A fortemente ,00 2 Prefere A moderadamente ,33 3 Indferença ,00 4 Prefere B moderadamente ,43 5 Prefere B fortemente ,11 Aplcando um modelo logt sobre os dados do nquérto, responda à questão formulada no enuncado. Pessoa nº Cartão nº T_checkn (mn) Preço_blhete (euros) Sobretaxa_bag (euros) T_checkn (mn) Preço_blhete (euros) Sobretaxa_bag (euros) Resposta Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 16/19

17 Exercíco P9.2 - Resolução As expressões necessáras para resolver este problema são as seguntes: V( A).( T_checkn ).( Preço_blh ete ).( Sobretaxa_ bagagem ) P( A) ln P( B) A V ( A) V ( B).( T( A) T( B)).( P( A) P( B)).( SB( A) SB( B)) A A Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 17/19

18 Exercíco P9.2 - Resolução Pessoa nº Cartão nº Prob(A)/Prob(B) ln(p(a)/p(b)) Df(Temp_Chkn) Df(Pr_Blh) Df(Sobretx) Df_Utls 1 1 1,000 0, , ,333 0, , ,429-0, , ,429-0, , ,429-0, , ,000 0, , ,429-0, , ,111-2, , ,429-0, , ,429-0, , ,000 0, , ,333 0, , ,000 0, , ,000 0, , ,429-0, , ,429-0, , ,429-0, , ,429-0, , ,000 0, , ,429-0, , ,000 0, , ,000 0, , ,429-0, , ,429-0, , Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 18/19

19 Exercíco P9.2 - Resolução SUMÁRIO DOS RESULTADOS Estatístca de regressão R múltplo 0, Quadrado de R 0, Quadrado de R a 0, Erro-padrão 0, Observações 48 Aplcando a ferramenta Regresson do Analyss Tools do Excel, com ln(p(a)/p(b)) como varável dependente e Df(Temp_Chkn), Df(Pr_Blh), Df(Sobretx) como varáves ndependentes, e sem termo constante, obtêm-se os seguntes resultados: ANOVA gl SQ MQ F F de sgnfcânca Regressão 3 21, , , ,0105E-17 Resdual 45 4, , Total 48 26, Coefcentes Erro-padrão Stat t valor P 95% nferor 95% superorinferor 95,0%Superor 95,0% Interceptar 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D #N/D Varável X 1-0, , , ,3448E-14-0, , , , Varável X 2-0, , , ,5603E-09-0, , , , Varável X 3-0, , , ,3957E-14-0, , , , As três varáves são estatstcamente sgnfcatvas, e o coefcente de determnação de 0.83 denota uma boa regressão entre a varável dependente e as varáves ndependentes. Trade-offs / / / 0,785 Euros de blhete / mnuto de espera no check-n 1,027 Euros de sobretaxa de bagagem / mnuto de espera no check-n 1,308 Euros de sobretaxa de bagagem / Euros de blhete Insttuto Superor Técnco / Mestrado Integrado Engenhara Cvl Transportes Aulas Prátcas 19/19