Resolução das Questões Objetivas

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1 COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO PISM III - TRIÊNIO Prova de Matemátca Resolução das Questões Objetvas São apresentadas abaxo possíves soluções para as questões propostas. Nessas resoluções buscou-se justfcar as passagens vsando uma melhor compreensão do letor. 1) Seja E o espaço amostral de resultados assocados a um certo expermento aleatóro. Sejam A e dos eventos ( A E e E ). Sabe-se que a probabldade do evento A ocorrer é 0,3. Denotando por M o complemento de um evento M, dentre os eventos seguntes, o que pode ter probabldade nferor a 0,3 é: a) A b) A c) A d) A e) A Uma das propredades da Teora de Probabldades estabelece que: se M e N são dos eventos tas que M N então P M P N. Utlzaremos essa propredade para analsar as alternatvas propostas: a) P A P A 0,3, pos A A b) P A P A 1 0,3 0,7 pos A A A A c) P A P A 0,3 pos d) P A P A P A 1 0,3 0,7 pos A A e) P A P A 0,3 pos A A Logo, o únco evento que pode ter probabldade nferor a 0,3 é A. Gabarto: c

2 2) Seja 1. Das alternatvas abaxo, a únca que contém dos números que podem ser raízes de um mesmo polnômo de grau 3, com coefcentes reas, é: a) 1 e 1 b) 1 e c) 1 e 1 1 d) 1 e 1 e) 1 e 1 Um polnômo de grau 3 tem exatamente três raízes, consderadas as multplcdades. As raízes complexas de um polnômo com coefcentes reas ocorrem sempre aos pares conjugados, sto é, se um número complexo é raz de um polnômo então seu conjugado é também raz desse polnômo. A alternatva que apresentar dos números complexos que sejam conjugados um do outro será a alternatva correta. Analsando as opções conclu-se que os números 1 e 1 são complexos conjugados e portanto podem ser raízes de um mesmo polnômo de grau 3. Gabarto: d

3 3) Um veternáro de uma fazenda produtora de suínos estabeleceu uma deta, por anmal, com base nos almentos I, II e III para atender às necessdades dáras de, exatamente, 7 gramas de vtamna A, 6 gramas de vtamna e 8 gramas de vtamna C, que podem ser encontradas nesses almentos, segundo a tabela abaxo. Almentos Vtamnas por kg Custo por kg A C de almento I 2g 1g 2g R$ 0,50 II 3g 1g 2g R$ 0,20 III 1g 2g 2g R$ 0,30 O custo dáro da deta, por anmal, é: a) R$ 1,10 b) R$ 1,20 c) R$ 1,30 d) R$ 1,40 e) R$ 1,50 Sejam x, y e z as quantdades, em kg, dos almentos I, II e III utlzados por anmal para elaborar essa deta. Pelas nformações do enuncado e da tabela tem-se: 2x 3y z 7 x y 2z 6 2x 2y 2z 8 Fazendo obtém-se: z 2 v ou 2x 3y z 7 x y 2z 6 x y z 4 Substtundo v em e obtém-se: 2x 3y 5 v x y 2 v Fazendo v 2v, obtém-se: y 1. Substtundo y 1 em v chega-se a x 1. Com sso, para elaborar essa deta, serão necessáros, daramente, 1 kg do almento I, 1 kg do almento II e 2 kg do almento III. Portanto, o custo dáro da deta, por anmal, é Gabarto: c 1 R$ 0,50 1R$ 0,20 2R$ 0,30 R$ 1,30.

4 4) No plano cartesano, seja C uma crcunferênca stuada no 1º quadrante, tangente à reta x 3 e tangente ao exo x no ponto 7,0. Uma equação cartesana de C é: a) x y b) x y c) x y d) x 7 y 49 e) x y Observe a fgura abaxo. A crcunferênca procurada, por ser tangente ao exo das abscssas no ponto 7,0, terá seu centro sobre a reta vertcal x 7. Como essa crcunferênca também deve ser tangente à reta x 3, e como essa dsta da reta x 7 exatamente 4 undades, segue que o seu rao deverá ser gual a 4. Consequentemente o centro dessa crcunferênca deve ser um ponto que dsta 4 undades do exo x e 4 undades da reta x 3. Portanto o centro deve ser o ponto 7,4. A equação da crcunferênca procurada é então: Gabarto: a x y x y

5 5) Consdere o sstema a x b y c z d a x b y c z d nas varáves x, y e z. Sobre este sstema, podemos afrmar que: a) possu uma únca solução. b) possu exatamente três soluções. c) possu nfntas soluções. d) não possu soluções. e) não possu soluções ou possu nfntas soluções. Todo sstema de equações lneares só admte três possbldades para seu conjunto solução: ) ser um conjunto untáro (ter solução únca); ) ser um conjunto vazo (não possur solução); ) ser um conjunto nfnto (possur nfntas soluções). Nesse problema, por se tratar de um sstema de duas equações lneares a três ncógntas, não é possível que esse sstema tenha solução únca, já que o número de equações é nferor ao número de ncógntas. Portanto restam para esse sstema duas possbldades: Gabarto: e não possu soluções ou possu nfntas soluções.