MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Transcrição

1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA OTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE FALHA COMBINANDO TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO DE ALGORITMOS CONTÍNUOS E DISCRETOS por Rodrgo Pruença de Souza Dssertação para obtenção do Título de Mestre em Engenhara Porto Alegre, Outubro de 2009.

2 OTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS COM RESTRIÇÕES DE FALHA COMBINANDO TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO DE ALGORITMOS CONTÍNUOS E DISCRETOS por Rodrgo Pruença de Souza Engenhero Mecânco Dssertação submetda ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca, PROMEC, da Escola de Engenhara da Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, como parte dos requstos necessáros para a obtenção do Título de Mestre em Engenhara Área de Concentração: Mecânca dos sóldos Orentador: Prof. Dr. Jun Sérgo Ono Fonseca Comssão de Avalação: Prof. Dr. Herbert Martns Gomes Prof. Dr. Ignaco Iturroz Prof. Dra. Letíca Fleck Fadel Mguel Prof. Dr. Rafael Antono Compars Laranja Prof. Dr. Horáco Antono Velmo Coordenador do PROMEC Porto Alegre, Outubro de 2009.

3 AGRADECIMENTOS Ao meu orentador Prof. Dr. Jun Sérgo Ono Fonseca pelo ncentvo, amzade e ensnamentos durante esta etapa da mnha formação. Ao Prof. Dr. Ignáco Iturroz, pela orentação ncal. Aos amgos Rafael Sommer e Júnor pelas dscussões acadêmcas, amzade e companhersmo. A toda mnha famíla pelo apoo, confança e estímulo. Sempre me encorajando a galgar novos desafos. E por fm um agradecmento mas que especal à mnha esposa Raquel e a mnha flha Manoela por me nsprarem e me darem forças nas batalhas do da a da.

4 A mente que se abre a uma nova déa jamas voltará ao seu tamanho orgnal. Albert Ensten

5 RESUMO O presente trabalho tem por objetvo apresentar uma formulação para a otmzação estrutural de trelças planas e espacas submetdas a restrções de tensão e deslocamento, combnando técncas que consderam o espaço de busca contínuo e dscreto. É mplementado um algortmo cuja fnaldade é ncorporar a smplcdade, efcênca e velocdade dos métodos determnístcos com a capacdade de produzr resultados mas realístcos dos métodos estocástcos. O programa desenvolvdo possu módulos de elementos fntos, análse de sensbldade e otmzação. Os problemas são resolvdos em duas etapas: A prmera etapa é baseada em Programação Lnear Seqüencal (PLS). Este método de programação matemátca necessta que a função objetvo e as restrções sejam sucessvamente lnearzadas por expansão em séres de Taylor e a análse de sensbldade é resolvda utlzando o método analítco. A segunda etapa usa Algortmos Genétcos (AG) e emprega o método das funções penalzadas, no qual o problema restrto é transformado em rrestrto, assocando uma penaldade às restrções voladas. Os resultados encontrados na prmera etapa são utlzados para melhorar a convergênca da segunda etapa. Para lustrar o desempenho do algortmo proposto são apresentados exemplos numércos de problemas clásscos comparando-os com outros métodos encontrados na lteratura. v

6 ABSTRACT The present work has as objectve the presentaton a formulaton for structural optmzaton of plane or space truss wth local stress and dsplacement constrants, combnng technques that consder the search space contnuous and dscrete. An algorthm was mplemented wth the purpose to ncorporate the smplcty, effcency and rapdty of the determnstc methods wth the ablty to produce more realstc results of stochastc methods. The software developed has modules for fnte element, senstvty analyss and optmzaton. Problems are solved n two steps: The frst s based on Sequental Lnear Programmng (SLP). Ths method of mathematcal programmng requres that the objectve functon and constrants are successvely lnearzed applyng a Taylor seres expanson and senstvty analyss s solved usng the analytcal method. The second step uses genetc algorthms (GA) and Penalty functon methods for transform the constraned problem nto an unconstraned problem, assocatng a penalty f a constrant s volated. The results n the frst stage are used to mprove the convergence of the second stage. Numercal examples are presented to llustrate the performance of the proposed algorthm comparng wth other methods found n lterature. v

7 INDÍCE 1. INTRODUÇÃO Motvação Objetvos Organzação do trabalho OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Hstórco otmzação estrutural Introdução aos problemas de otmzação Defnções báscas Varáves de projeto Função Objetvo Restrções Formulação do problema de otmzação Domíno Vável e Invável ALGORITMOS PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Classfcação dos algortmos Programação Lnear (LP) Programação Lnear Seqüencal (PLS) Análse de Sensbldade Método das Dferenças Fntas (MDF) Método Analítco (MA) Método Sem-Analítco (MSA) ALGORTIMOS GENÉTICOS Introdução Hstórco Defnções Estrutura do algortmo genétco básco Representação e Codfcação Geração da população ncal Operadores Genétcos Parâmetros Genétcos Funções de Aptdão (Ftness) MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS v

8 5.1 Hstórco do Método Elastcdade Lnear Elastcdade Undmensonal Trelças Formulação Varaconal IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Determnação da dervada da restrção de flexbldade Determnação da dervada da restrção de tensão Determnação da dervada da restrção de flambagem Determnação da Função de Aptdão (Ftness) APLICAÇÃO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL Introdução Casos estudados: Trelça de 10 barras Resultados empregando Programação Lnear Seqüencal (PLS) Resultados empregando Algortmos Genétcos (AG) Resultados empregando Algortmos Genétcos com utlzação de população ncal Trelça espacal de 25 barras Resultados empregando Programação Lnear Seqüencal (PLS) Resultados empregando Algortmos Genétcos (AG) Resultados empregando Algortmos Genétcos com utlzação de população ncal Trelça espacal de 72 barras Resultados empregando Programação Lnear Seqüencal (PLS) Resultados empregando Algortmos Genétcos (AG) Resultados empregando Algortmos Genétcos com utlzação de população ncal CONCLUSÃO SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS v

9 LISTA DE SÍMBOLOS A Área da barra, [m²] max A mn A C Área da seção transversal máxma admssível para a barra [m²] Área da seção transversal mínma admssível para a barra, [m²] Coefcente de penalzação mposto para a volação restrção. E Módulo de Young [N/m²] f Vetor de força externas f(x) Função objetvo f f p (x) Vetor forças de corpo Função objetvo penalzada, G Módulo de elastcdade transversal [N/m²] g j (x) Conjunto das restrções de desgualdade h k (x) Conjunto das restrções de gualdade I Matrz dentdade K Matrz de Rgdez do MEF L Comprmento da barra [m] nap Número de áreas de projeto nel Número de elementos N n j Função de nterpolação do nó Vetor normal untáro a superfíce j q(x) Carga dstrbuída na seção transversal da vga [N/m] r Rao externo do tubo t Vetor de trações superfcas [N/m²] Te Matrz dos cossenos dretores t Espessura do tubo. U Energa de deformação u Vetor de deslocamentos U Deslocamentos nodal do grau de lberdade [mm] max U mn U W Deslocamento nodal máxmo do grau de lberdade, [mm] Deslocamento nodal mínmo do grau de lberdade, [mm] Trabalho vrtual externo x Vetor das varáves de projeto v

10 j Deformação nfntesmal na dreção j perpendcular ao exo Multplcadores de Lagrange. Massa especfca do materal da barra, [kg/m³] Tensão normal atuante na barra, [MPa] C F Tensão admssível de compressão na barra, [MPa] Tensão admssível de Euler, [MPa] j Tensão na dreção de j perpendcular ao exo [N/m²] T Tensão admssível de tração na barra, [MPa] x

11 ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 1.1: Fluxograma para o processo de projeto convenconal... 2 Fgura 1.2: Fluxograma para processo de projeto otmzado... 3 Fgura 2.1: Problemas báscos de otmzação de trelças... 6 Fgura 2.2: Regões de domíno vável e nvável Fgura 2.3: Conceto de mínmo local e global Fgura 3.1: Processo seqüencal para encontrar o máxmo da função Fgura 3.2: Efeto do tamanho do passo na dervada Fgura 4.1: Representação de um Algortmo Genétco básco Fgura 4.2: Operador de cruzamento em um ponto Fgura 4.3: Operador de mutação Fgura 5.1: Estado de tensões em torno do ponto P em um corpo trdmensonal Fgura 5.2: Elemento de barra undmensonal Fgura 5.3: Forças atuando em um elemento de barra Fgura 5.4: Elemento de barra 2D genérco e suas funções de nterpolação Fgura 6.1: Dagrama representatvo do Algortmo PLS Fgura 6.2: Dagrama representatvo do Algortmo Genétco Fgura 7.1: Trelça de 10 barras Fgura 7.2: Gráfco da convergênca do PLS para a trelça de 10 barras Fgura 7.3: Geometra fnal trelça plana de 10 barras deformada Fgura 7.4: Gráfco da convergênca do AG para trelça de 10 barras Fgura 7.5: Gráfco da convergênca do PLS+AG e AG para a trelça de 10 barras Fgura 7.6: Trelça de 25 barras Fgura 7.7: Gráfco da convergênca do SLP para trelça de 25 barras Fgura 7.8: Geometra fnal da trelça espacal de 25 barras Fgura 7.9: Gráfco da convergênca do AG para a trelça de 25 barras Fgura 7.10: Gráfco da convergênca do PLS+AG e AG para a trelça de 10 barras Fgura 7.11: Trelça de 72 barras Fgura 7.12: Gráfco da convergênca do PLS para trelça de 72 barras Fgura 7.13: Geometra fnal da trelça espacal 72 barras Fgura 7.14: Gráfco da convergênca do AG para a trelça de 72 barras Fgura 7.15: Gráfco da convergênca do PLS+AG e AG para a trelça de 72 barras x

12 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 4.1: Vantagens dos AG em relação aos métodos de programação matemátca Tabela 7.1: Trelça de 10 barras - Carregamentos aplcados Tabela 7.2: Trelça de 10 barras - Propredades Tabela 7.3: Trelça de 10 barras - Comparatvo entre as áreas obtdas com o PLS Tabela 7.4 : Trelça de 10 barras - Deslocamentos obtdos ao fnal da otmzação com SLP Tabela 7.5: Trelça de 10 barras - Comparatvo entre as áreas obtdas com AG Tabela 7.6: Trelça de 10 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com AG Tabela 7.7: Trelça de 10 barras - Comparatvo dos resultados obtdos com PLS+AG e AG Tabela 7.8: Trelça de 25 barras - Carregamentos aplcados Tabela 7.9: Trelça de 25 barras - Varáves de projeto Tabela 7.10: Trelça de 25 barras - Propredades Tabela 7.11: Trelça de 25 barras - Tensão de flambagem em cada elemento da estrutura Tabela 7.12: Trelça de 25 barras - Comparatvo entre resultados obtdos com PLS Tabela 7.13: Trelça de 25 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com SLP Tabela 7.14: Trelça de 25 barras - Comparatvo entre resultados obtdos com AG Tabela 7.15: Trelça de 25 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com AG Tabela 7.16: Trelça de 25 barras - Comparatvo resultados obtdos com PLS+AG e AG Tabela 7.17: Trelça de 72 barras - Carregamento aplcados Tabela 7.18: Trelça de 72 barras - Varáves de projeto Tabela 7.19: Trelça de 72 barras - Propredades Tabela 7.20: Trelça de 72 barras - Resultados obtdos empregado PLS Tabela 7.21: Trelça de 72 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com PLS Tabela 7.22: Trelça de 72 barras - Resultados obtdos com AG Tabela 7.23: Trelça de 72 barras - Resultados obtdos com PLS + AG x

13 1 1. INTRODUÇÃO A utlzação de varáves dscretas é obrgatóra em mutos problemas de engenhara, pos os elementos estruturas estão dsponíves somente em algumas dmensões comercas. Devdo à dfculdade de aplcar algortmos dscretos, é comum tratar problemas que envolvem varáves dscretas como varáves contínuas, e ao fnal do processo de otmzação adotar um valor solado mas próxmo da solução. Entretanto, segundo [Fletcher, 1987] não exste garanta que este processo seja correto ou que produza bons resultados quando os valores das varáves dscretas estão muto espaçados. A maora dos métodos matemátcos e numércos destnados ao projeto de trelças é baseada em técncas que consderam o espaço de busca contínuo, e por sso, tendem a tratar a otmzação estrutural como um problema no qual o espaço de busca é lnear, quando na verdade o problema é dscreto. Estes métodos são geralmente smples, efcentes e rápdos, mas conduzem a dmensões não dsponíves comercalmente. Os Algortmos Genétcos (AG), por sua vez, são métodos de otmzação estocástca baseados na teora da evolução. Esta técnca consdera um espaço de busca dscreto, produzndo resultados mas realístcos que os métodos de Programação Lnear. No entanto, possuem a reputação de serem caros computaconalmente e usados somente em stuações especas ou quando todos os outros métodos falham. 1.1 Motvação Para demonstrar a mportânca da otmzação estrutural é necessáro ressaltar as dferenças báscas entre o projeto convenconal e o projeto ótmo. No processo convenconal o trabalho do engenhero é mutas vezes baseado no método da tentatva e erro, e o dmensonamento estrutural depende apenas da habldade, experênca e ntução do projetsta. Esta manera de elaborar projetos pode levar a resultados pergosos e errôneos, pos o processo depende uncamente do fator humano. No método convenconal não exste garantas de que a solução encontrada seja a melhor do ponto de vsta econômco. A fgura 1.1 lustra o fluxograma para o processo de projeto convenconal.

14 2 Fgura 1.1: Fluxograma para o processo de projeto convenconal A necessdade atual por maor efcênca e compettvdade, tem forçado os responsáves pelo dmensonamento de estruturas a terem grande nteresse nos aspectos econômcos de seus projetos. Os avanços na tecnologa computaconal tornaram dsponíves aos projetstas váras dscplnas da engenhara que permanecam ntocáves. O projeto ótmo não é apenas baseado na ntução, mas num processo teratvo que obrga o projetsta a dentfcar explctamente as varáves do projeto, a função objetvo a ser mnmzada ou maxmzada e as restrções mpostas ao sstema. Esta formulação permte obter um melhor entendmento do problema. Entretanto o engenhero, ao optar por esta alternatva, pode obter grandes benefícos usando sua experênca e ntução, fazendo uma estmatva ncal mas correta. A fgura 1.2 mostra o fluxograma para o processo de projeto ótmo.

15 3 Fgura 1.2: Fluxograma para processo de projeto otmzado 1.2 Objetvos Apresentar uma formulação matemátca para mnmzação da massa de trelças planas e espacas, submetdas a restrções de tensão, deslocamentos e áreas mínnas. Implementar um programa utlzando o MATLAB para otmzação estrutural de trelças empregando dos algortmos dstntos. O prmero baseado em Programação Lnear Seqüencal (PLS) utlzando varáves contínuas para obter as soluções. O segundo método trabalha com Algortmos Genétcos (AG) e utlza varáves dscretas. Demonstrar que é possível acelerar a convergênca do Algortmo Genétco através da ncalzação de uma população composta pelas soluções encontradas no PLS, mantendose a qualdade dos resultados.

16 4 Comparar os resultados obtdos aos encontrados na lteratura, para demonstrar a efcênca dos algortmos propostos. 1.3 Organzação do trabalho No capítulo 2 é apresentada à ntrodução aos problemas de otmzação estrutural e suas defnções báscas para a correta formulação dos problemas. Uma breve revsão bblográfca sobre o método também é apresentada neste capítulo. O capítulo 3 mostra alguns dos prncpas códgos de programação matemátca utlzados neste trabalho, dando-se maor ênfase à Programação Lnear Seqüencal (PLS). Neste capítulo descreve-se também os métodos de análse de sensbldade, como o Método das Dferenças Fntas (MDF), Método Analítco (MA) e Método Sem Analítco (MSA). O capítulo 4 apresenta uma revsão bblográfca e os prncpas fundamentos da técnca de Algortmos Genétcos (GA), suas defnções, procedmentos, vantagens, parâmetros de confguração e outros tópcos mportantes. O capítulo 5 traz uma breve ntrodução do método dos elementos fntos utlzados para análse estrutural, bem como a determnação da matrz de rgdez dos elementos mplementada no programa de análse. O capítulo 6 apresenta a formulação matemátca do problema proposto, assm como a descrção detalhada da mplementação computaconal da Programação Lnear Seqüencal (PLS) e dos Algortmos Genétcos (AG). Apresenta-se também um estudo das expressões das sensbldades que foram mplementadas neste trabalho. Os resultados da aplcação dos algortmos propostos em exemplos clásscos encontrados na lteratura são apresentados no capítulo 7. As conclusões deste trabalho são apresentadas no capítulo 8, juntamente com algumas recomendações para possível contnudade da pesqusa. No Apêndce I é mostrada a composção detalhada dos custos de soldagem.

17 5 2. OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 2.1 Hstórco otmzação estrutural Os prmeros passos da otmzação estrutural foram dados por [Maxwell, 1872] e posterormente por [Mchell, 1904]. Os problemas consstam em mnmzar o volume de estruturas formadas por barras (trelças) sujetas a carregamentos aplcados em pontos do domíno e restrções de deslocamentos aplcados em outros pontos. Seus surpreendentes resultados são anda hoje referêncas na teora de otmzação e também utlzados para aferr os programas comercas de otmzação estrutural. Entretanto, após os resultados obtdos por Mchell, a otmzação estrutural pratcamente não evoluu até a década de 60, quando [Schmt, 1960] publcou o seu mportante trabalho. O surgmento dos computadores no fnal desta década, somado ao desenvolvmento do Método dos Elementos Fntos (MEF) e da programação matemátca possbltou a cração de técncas para a solução dos problemas de otmzação estrutural. Antes desse período eram apenas estudados casos baseados em soluções de dervadas de equações dferencas resolvdas de forma analítca. Na década de 70 um grande número de algortmos de otmzação começou a ser mplementado para a solução de problemas não lneares. Na década de 80 surgem os prmeros programas comercas de otmzação estrutural e os softwares de elementos fntos passaram a ncorporar módulos de otmzação. Este período marca o desenvolvmento do Método de Otmzação Topológca (MOT), sendo que, este método tornou-se um dos campos mas promssores para o projeto de estruturas na ndústra automotva e aeroespacal. De 1990 até os das atuas, o MOT tornou-se dsponível em dversos programas comercas, sendo utlzado em outras áreas da engenhara além da mecânca. 2.2 Introdução aos problemas de otmzação Exstem bascamente três abordagens em otmzação estrutural: otmzação paramétrca, otmzação de forma e otmzação topológca. Na fgura 2.1 são apresentadas as três abordagens aplcadas ao projeto de trelças. Na otmzação paramétrca, fgura 2.1.a, são otmzados parâmetros dscretos como as dmensões (ou razão das dmensões) da estrutura, mantendo a sua

18 6 forma pré-defnda. Na otmzação de forma, fgura 2.1.b, são alterados os contornos (nternos e externos) da estrutura, ou seja, modfcam-se as posções dos nós da trelça. A otmzação topológca, fgura 2.1.c, consste na retrada de materal do nteror da estrutura formando uma nova topologa. (a) Otmzação paramétrca (b) Otmzação de forma (c) Otmzação topológca Fgura 2.1: Problemas báscos de otmzação de trelças

19 7 2.3 Defnções báscas Em problemas de engenhara exstem mutas soluções váves e o engenhero deve seleconar a mas adequada. Bascamente, em um problema de otmzação, deseja-se mnmzar ou maxmzar uma função, a qual é denomnada função objetvo. Esta função depende de determnados parâmetros que podem ser alterados durante o processo, chamados de varáves de projeto. Porém, a maora dos problemas é submetda a restrções para que o projeto seja consderado vável. Estas restrções são devdo às les da físca, requstos legas, lmtações no orçamento e mutos outros fatores. Os concetos que serão apresentados neste capítulo podem ser encontrados com maor detalhe nos trabalhos de [Haftka e Gürdal, 1992; Arora,1989] Varáves de projeto As varáves de projeto são o grupo de parâmetros usados para descrever o sstema [Haftka e Gürdal, 1992] e são expressos pelo vetor: x x, x,..., x ) (2.1) ( 1 2 n Do ponto de vsta da otmzação estrutural, estas varáves podem ser agrupadas em três classes. A prmera classe de varáves é chamada de parâmetros prescrtos que, por exemplo, são os valores das propredades dos materas, como por exemplo: módulo de elastcdade, coefcente de Posson e tensões admssíves. A segunda classe de varáves é conhecda como varáves de estado. São exemplos de varáves de estado o campo de deslocamento, estado de tensões geradas por carregamentos externos, as cargas de flambagem e as ampltudes de vbrações da estrutura. A tercera classe de varáves, chamada de varáves de projeto, são as que efetvamente o projetsta pode modfcar e alterar durante a concepção do projeto. As varáves de projeto podem representar certa dmensão que será alterada, como área da seção transversal de uma vga, espessura de uma chapa, casca ou membrana e a orentação das fbras de um materal compósto. A escolha das varáves de projeto é mportante para o sucesso da otmzação estrutural. O uso de mutas varáves de projeto.

20 8 As varáves de projeto são classfcadas em varáves de projeto dscretas e varáves de projeto contínuas. As varáves de projeto dscretas estão lmtadas a valores solados, enquanto as varáves de projeto contínuas podem assumr qualquer valor. Em geral, o processo de otmzação estrutural que utlza varáves de projeto dscretas é mas dfícl de ser resolvdo do que os que utlzam varáves de projeto contínuas Função Objetvo A função objetvo é utlzada como medda da efcênca do projeto, sendo função das varáves de projeto [Haftka e Gürdal, 1992]. A função objetvo pode ser classfcada em smples ou multobjetvo, sendo denotada por (x) respectvamente. f e Fx f x f x,..., f x, 1, 2 p Restrções As restrções são lmtações mpostas para se obter a solução ótma. Podem ser classfcadas em três tpos: lateras, gualdade e desgualdade. As restrções lateras mpõem lmtes superores e nferores nos valores das varáves de projetos. Consderando o conjunto de varáves de projeto, equação (2.1), uma restrção lateral é do tpo: x mn x x max 1,..., n (2.2) Uma restrção de desgualdade é uma equação do tpo: x 0, g j j 1,...,ng (2.3) A restrção de gualdade pode ser escrta da segunte forma: x 0 h k k 1,...,ne (2.4) As restrções de gualdade ou desgualdade são em geral mas dfíces de serem mplementadas. Enquanto que, as restrções de gualdade são representadas em problemas de otmzação pelas equações de equlíbro que a estrutura deverá satsfazer em termos das varáves

21 9 de projeto. As restrções de desgualdade são utlzadas para restrngr a tensão ou deslocamento em cada ponto da estrutura. Um aspecto relevante a ser observado é a mportânca da normalzação das restrções. Em problemas de otmzação estrutural é comum trabalhar com restrções com ordens de grandeza dferentes. No presente trabalho, por exemplo, enquanto o valor da restrção de tensão é da ordem de MPa, o valor da restrção de deslocamento é da ordem de mlímetros. Este fato gera problemas de condconamento numérco. Deste modo, deve-se normalzar as restrções como mostrado na segunte expressão: g j x g max j g g j x max j 1 g j x1 0 (2.5) Procura-se evtar, na medda do possível, um grande número de restrções no problema, pos sso encarece o custo computaconal do processo. Além dsto, as restrções podem ser classfcadas em restrções locas e globas. As restrções de tensão e deslocamento num ponto específco da estrutura são exemplos de restrções locas, pos devem ser mpostas em cada ponto da estrutura. O volume máxmo, freqüênca natural e cargas de flambagem da estrutura são exemplos de restrções globas. Transformar uma restrção local em uma restrção global pode ser útl para tratamento efcente do problema Formulação do problema de otmzação A notação adotada para representar problemas de otmzação estrutural sujeto a restrções é defnda da segunte forma [Haftka e Gürdal, 1992]. Mnmzar x Sujeto a x 0, x 0 f (2.6) j 1,...,n g j g h k k 1,...,ne Onde x denota o vetor das varáves de projeto, f(x) é a função a ser mnmzada e as funções g j (x) e h k (x) são as funções que contém as restrções de gualdade e desgualdade mpostas ao sstema.

22 Domíno Vável e Invável Defndo o problema de otmzação, precsa-se determnar a regão de localzação de sua solução. As restrções dvdem o espaço de projeto em domíno vável e domíno nvável. A fgura 2.2 mostra um espaço de projeto bdmensonal, onde cada exo de coordenada representa uma varável do projeto x. Qualquer ponto no espaço é canddato a solução. No espaço de projeto, as constantes f(x) = c 1, g j (x) = c 2 e h k (x) = c 3, representam superfíces onde c é uma constante dada. A superfíce f(x) = c é chamada de contorno objetvo e g j (x) = 0 e h k (x) = 0 são as superfíces de restrção. Na maor parte dos problemas o mínmo da função é encontrado no lmte entre os domínos vável e nvável, que é um ponto onde g k (x)=0. No domíno vável todas as restrções são satsfetas e pelo menos uma das restrções está atva, enquanto no domíno nvável pelo menos uma das restrções é volada. Fgura 2.2: Regões de domíno vável e nvável A fgura 2.3 mostra as curvas de nível da função objetvo f e dependendo da função restrção especfcada surge o conceto de mínmo local e mínmo global. O mínmo local aparece numa cavdade secundára. Em geral problemas de otmzação tem mutos mínmos locas e por mutas vezes os algortmos de otmzação estaconam em um destes pontos. Em problemas de otmzação estrutural é muto dfícl encontrar o ótmo global devdo à natureza do mesmo. Contudo, exste uma classe especal de problemas denomnados convexos, onde a função objetvo é uma função convexa e o domíno vável é um domíno convexo também. Para estes problemas pode-se provar que o mínmo local é também o mínmo global.

23 Fgura 2.3: Conceto de mínmo local e global 11

24 12 3. ALGORITMOS PARA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL A programação matemátca fo prmeramente empregada em problemas de otmzação estrutural por [Schmt, 1960]. Pode ser usada dretamente em uma gama de problemas prátcos nas dversas áreas do conhecmento (engenhara, economa, bologa, etc.). Mutos autores de otmzação estrutural [Haftka e Gürdal, 1992; Arora,1989] têm reservado um capítulo ou mas, abordando os métodos e teoras da programação matemátca em seus trabalhos 3.1 Classfcação dos algortmos Para soluconar um problema de otmzação estrutural exstem dversos métodos de programação matemátca, defndos de acordo com as característcas da função objetvo e das restrções. Os métodos de programação matemátca podem ser dvddos quanto às funções envolvdas: lnear ou não lnear. Na programação lnear a função objetvo e as restrções são funções lneares das funções objetvos, enquanto na programação não lnear a função objetvo ou pelo menos uma das restrções não são funções lneares das varáves de projeto. A programação lnear apresenta facldade de mplementação, entretanto sua aplcação a problemas de otmzação em engenhara é lmtada, pos a maora dos problemas reas é não lnear. Quando é possível empregar programação lnear, o método com maor aplcação é o Smplex. Na programação não lnear pode ser encontrada uma varedade de métodos para solução de problemas rrestrtos, com restrções lateras, com restrções de desgualdade e restrções de gualdade. Os problemas de otmzação não lnear rrestrtos ocorrem com pouca freqüênca em aplcações prátcas de engenhara. Alguns dos métodos requerem apenas nformações sobre o valor da função objetva, outros, utlzam a prmera ou segunda dervada. Estes métodos são conhecdos como métodos de ordem zero, um e dos, respectvamente. Os métodos Pattern Search e Powell são exemplos de métodos de ordem zero. O Método do Gradente e do Gradente Conjugado pertence à classe de métodos de prmera ordem, enquanto o Método de Newton é um exemplo típco de segunda ordem. Exstem também métodos de ordem ntermedára com é o caso do Método Quas-Newton.

25 13 Os problemas de programação matemátca que envolve funções não lneares com restrções são os de maor dfculdade de solução e podem ser dvddos em três categoras: técncas de transformação, técncas dretas e técncas recursvas. As técncas de transformação transformam um problema com restrções em um problema com restrções lateras, sendo as funções de penaldades, de barrera e o Lagrangeano as mas empregadas para este fm. Os métodos de técnca dreta atacam dretamente o problema restrto, através de uma seqüênca de mnmzações undmensonas, ao longo de dreções váves. São exemplos típcos desta técnca o Método das Dreções Váves, do Gradente Reduzdo e do Gradente Projetado. A técnca recursva é smplesmente a aplcação recursva de um algortmo, onde a cada teração tanto a função objetvo quanto as restrções são lnearzadas. Pode-se ctar como exemplo desta técnca a Programação Lnear Seqüencal (PLS). Nesta pesqusa foram utlzados os algortmos programação lnear seqüencal (SLP) e algortmos genétcos (GA) com funções de penaldades. A explcação detalhada dos métodos de otmzação podem ser encontrada nos trabalhos de [Haftka e Gürdal, 1992; Arora,1989; Cheng, 1992] Programação Lnear (LP) O termo programação lnear descreve uma partcular classe de problemas de otmzação lnear, onde a função objetvo e as restrções são funções lneares em relação às varáves de projeto. Quando as funções são não-lneares, anda é possível utlzar este método, expanddo as funções em séres de Taylor truncada nos termos lneares. Então a solução é obtda através de váras terações. Esse método é denomnado programação lnear seqüencal (PLS) e será vsto em detalhes na seção A formulação geral para problemas de programação lnear é: encontrar x x x,..., T (3.2) 1, 1 f x C Ax b x 0 T mn x tal que x n onde n é o número de varáves de projeto, C é o vetor de dmensão n x 1, A é uma matrz de dmensões m x n, com m restrções, e b é um vetor de dmensões m x 1. A matrz A pode ser composta por restrções de gualdade e de desgualdade.

26 14 Em 1947, [Dantzg, 1963] propôs o método chamado Smplex que tornou possível a solução de problemas de otmzação de város tpos, como transporte, produção, alocação de recursos e problemas de escalonamento. O desenvolvmento dos computadores permtu a aplcação do Smplex em problemas de grande porte, enquanto que, o método revelou alguns dos problemas numércos que podem ocorrer em cálculos fetos através dos computadores. Dantzg demonstrou em seu trabalho que o chamado problema prmal da mnmzação da função lnear sobre um conjunto de restrções lneares é equvalente a um problema de maxmzação de outra função lnear sobre outro conjunto de restrções, chamado de problema dual. O problema prmal é defndo da segunte forma: mn f p c x c x... c sujeto a: x b, n j1 j x n n (n varáves) (3.3) a =1,...,m, (m restrções) j x j 0 j=1,...,n. E o problema dual é defndo: max f b b... d b n n (m varáves) (3.4) m sujeto a: a c, j=1,...,m, (n restrções) 1 j 0 j=1,...,m. j onde são os multplcadores de Lagrange. A escolha da formulação do problema prmal ou dual depende do número de varáves do projeto e do número de restrções. O esforço computaconal na solução dos problemas de programação lnear aumenta com o número de restrções. A rotna LINPROG do MATLAB será utlzada para resolver os problemas propostos. Este algortmo é conhecdo como método dos pontos nterores (MPI) e fo desenvolvdo por [Karmarkar, 1984]. É sgnfcatvamente dferente do método smplex, que resolve o problema lnear começando com um ponto nterno ao longo da frontera para, fnalmente, chegar a um ponto extremo ótmo. O método projetado por Karmarkar raramente vsta pontos extremos, antes que um ponto ótmo seja alcançado, ou seja, o algortmo acha soluções no nteror da solução.

27 Programação Lnear Seqüencal (PLS) O método da Programação Lnear Seqüencal utlzado neste trabalho faz parte de um grupo de métodos de solução denomnados de aproxmação seqüencal. Este método é empregado em problemas de otmzação que apresentam alto custo computaconal no cálculo da função objetvo e dervadas. O problema não-lnear pode ser defndo da segunte forma: Mnzar f (x) (3.5) Sujeto a x 0, j 1,...,n g j g h k x 0 k 1,...,ne x x mn x max onde x denota o vetor das varáves de projeto sobre o qual se mpõem lmtes máxmos x max e mínmos x mn, f(x) é a função a ser mnmzada, g j (x) e h k (x) são as matrzes que contém as restrções de gualdade e desgualdade, respectvamente. Consdera-se que estas funções são todas contínuas e dferencáves. A déa básca do PLS para soluconar problemas não lneares de otmzação é aproxmá-lo por sucessvos subproblemas lneares de otmzação que podem ser resolvdos usando métodos de programação lnear. A cada teração a função objetvo e as restrções são lnearzadas usando séres de Taylor. A formulação para cada subproblema lnear é dado por: Mnmzar f x x x 0 n 1 0 f x j sujeto a: x x x 0 e x0 n x x0 (3.6) g g j=1,...,n g, j h h k=1,...,n g, a n k x x0 l x x0 au k x x x 0 Após encontrar a solução x do problema lnearzado, substtu-se x no lugar de x 0 e lnearza-se novamente o problema. O processo é repetdo até obter a convergênca do problema não-lnear.

28 16 A fgura 3.1 demonstra o conceto do método. Na fgura 3.1 deseja-se encontrar o máxmo de uma função undmensonal f(x). Fgura 3.1: Processo seqüencal para encontrar o máxmo da função Usando séres de Taylor para lnearzar a função f(x) em torno do ponto x 0, tem-se: f f ( x) x 2 f ( x0 ) ( x x0) x (3.7) x0 A aproxmação da função f(x) apresentada na equação 3.7 é somente válda próxma a vznhança do ponto x 0. Desta forma, a solução deste problema de otmzação estará num dos extremos dos lmtes móves x 1 = x 0 +Δx. Na próxma teração a solução x 1 será o novo ponto de partda, e assm por dante. As terações procedem com x sendo substtuído por x +1, até que ocorre a convergênca da solução. Os lmtes móves desempenham papel fundamental no processo de convergênca mnmzando erros na expansão em sére de Taylor. Se o ncremento Δx for muto grande, o erro da aproxmação será grande e se forem muto pequenos podem aumentar o custo computaconal para obter a solução do problema. Na medda em que o algortmo se aproxma da solução ótma (dervada zero) deve-se reduzr os lmtes móves, caso contráro pode-se passar pelo ponto ótmo gerando osclações no valor da função objetvo. Para evtar erros excessvos e aumentar a conservatvdade do problema, sto é, a tendênca a gerar uma solução dentro da regão admssível, é acrescentada restrções lateras adconas ao problema. Estas restrções são artfcas e vão sendo atualzadas a cada teração, sendo por este motvo denomnado lmtes móves. O coefcente de relação ε que é mostrado na equação (3.7) é usado para fazer a redução dos lmtes móves durante cada uma das terações.

29 Análse de Sensbldade O objetvo da análse de sensbldade é determnar o cálculo das dervadas (ou gradentes) da função objetvo e restrções em relação às varáves de projeto. Ela permte analsar a mudança do comportamento da estrutura em relação a pequenas mudanças nas varáves do problema, com um custo menor do que realzar novas análses. Exstem três formas de análses báscas para o cálculo da sensbldade: método das dferenças fntas (MDF), método sem-analítco (MSA) e método analítco (MA). A escolha do método mas adequado rá depender da expressão matemátca para função objetvo e restrções Método das Dferenças Fntas (MDF) O método das dferenças fntas é um método de resolução de equações dferencas que se basea na aproxmação de dervadas por dferenças fntas. A grande vantagem deste método é que ele pode ser usado caso não haja a dervada analítca. A manera mas smples de calcular os gradentes de uma função pelo método das dferenças fntas é usar a aproxmação de prmera ordem, denomnada dferença progressva. Dada uma função u(x) a aproxmação por dferença progressva de Δu/Δx da dervada du/dx é dada pela equação (3.8). u x u x x ux x (3.8) Outra aproxmação por dferenças fntas muto utlzada é a chamada dferença fnta central, que é mostrada na equação (3.9). u x u x x ux x 2x (3.9) Também é possível usar dferenças fntas para calcular a dervada de expressões de alta ordem, mas estes casos, são raros em otmzação estrutural porque apresentam um elevado custo computaconal. O grande dlema do método esta na escolha do tamanho do passo Δx adequado ao problema. Para tamanhos de passo Δx elevados predomnam erros de truncamento, e para baxos

30 18 valores de Δx predomna os erros de condconamento numérco. A fgura 3.2 lustra o efeto do tamanho do passo no cálculo da dervada. O erro de truncamento é resultado dos termos neglgencados na aproxmação du/dx utlzando expansão por séres de Taylor. O erro de condconamento é a dferença entre o valor numérco da função e o valor exato [Haftka e Gürdal, 1992]. Fgura 3.2: Efeto do tamanho do passo na dervada Método Analítco (MA) Entre todas as opções dsponíves para cálculo da sensbldade os métodos analítcos são os mas precsos. Neste método a sensbldade é determnada analtcamente antes de realzar a avalação numérca por elementos fntos. Exstem dos métodos analítcos clásscos para o cálculo da sensbldade: o método dreto e o método adjunto. No presente trabalho adotou-se o método analítco dreto para o cálculo das sensbldades, pos para elementos fntos soparamétrcos, as expressões obtdas pelo método analítco são smples de serem mplementadas e não apresentam dfculdades adconas em relação aos outros métodos. Consderando uma equação do tpo f(u,x) que dependa dos deslocamentos nodas u e das varáves de projeto x. Usando a regra da cadea é possível obter a dervada desta função em relação às varáves de projeto x:

31 19 df dx f T du z (3.10) x dx onde: z f e f z u Para obter o valor fnal da sensbldade de f é necessáro determnar a sensbldade dos deslocamentos que dependem mplctamente das varáves de projeto (Z T du/dx). A parcela explícta (df/dx) é nula porque não depende das varáves de projeto. Método Dreto (3.11): A equação de equlíbro em termos dos deslocamentos nodas u é dada pela equação Ku f (3.11) onde K é a matrz de rgdez e f é o vetor forças. Aplcando a regra da cadea para obter a dervada da expressão (3.11) em relação às varáves de projeto x obtém-se: du df dk K 1 u dx dx dx (3.12) Calculando a parte mplícta da equação (3.12), a dervada total é dada: df T 1 df Z dx dx K df dx dk u dx (3.13) Método Adjunto O método adjunto defne um vetor adjunto que representa a solução do sstema. A equação (3.11) pode ser reescrta da segunte forma: K T T 1 z z K (3.14)

32 20 Dervando a equação (3.14) em relação às varáves de projeto e calculando a parte mplícta a dervada fca: df dx df dx T df dk u (3.15) dx dx Os resultados gerados pelas equações (3.13) e (3.15) são dêntcos, entretanto o custo computaconal entre o método dreto e o método adjunto é dferente, e depende da relação entre o número de varáves de projeto e restrções. O método dreto é mas efcente quando o número de varáves de projeto é menor que o número de restrções Método Sem-Analítco (MSA) A utlzação do método dreto ou adjunto requer as dervadas da matrz de rgdez com relação às varáves de projeto. Esta dervada é freqüentemente dfícl de ser calculada analtcamente. Por essa razão o Método Sem-Analítco calcula a dervada da matrz de rgdez usando dferenças fntas, ou seja: dk dx x x Kx K (3.16) x A dervada total utlza este termo e o restante da regra da cadea é analítca. Este método é bastante smples de ser mplementado e apresenta resultados satsfatóros. Porém, em algumas estruturas modeladas por elementos fntos de vga, placa ou casca, o método demonstra problemas quando a estrutura apresenta movmentos de corpo rígdo e rotação. A dscussão detalhada deste problema pode ser encontrada em [Muñoz-Rojas, 2003].

33 21 4. ALGORTIMOS GENÉTICOS Os métodos baseados em dervadas necesstam que as funções sejam contínuas e dferencáves podendo fcar preso a mínmos locas, fato este, que lmta seu domíno de aplcação. Os métodos estocástcos, por sua vez, podem trabalhar tanto com codfcação contínua como dscreta das varáves e não necesstam que as funções sejam dferencáves. O método de Monte Carlo e os Algortmos Genétcos são exemplos de métodos estocástcos. No entanto, o Método de Monte Carlo, apesar de possur prova de convergênca, é nefcente para a maora dos casos, enquanto os Algortmos genétcos são razoavelmente efcentes para a maora dos problemas exstentes. 4.1 Introdução Algortmos Genétcos (AG) são métodos computaconas de otmzação nsprados nos mecansmos da evolução natural e genétca, descrtos pela prmera vez por Charles Darwn em Foram ncalmente propostos por [Holland, 1975]. Combnam os concetos de adaptação seletva, troca do materal genétco e sobrevvênca dos ndvíduos mas capazes. [Goldberg e Samtan, 1986] foram os prmeros a sugerr uso de Algortmos Genétcos para otmzação estrutural usando varáves dscretas. No artgo publcado em 1986 o peso da trelça clássca de dez barras fo mnmzado. A partr deste artgo uma sére de outros relevantes trabalhos surgu na lteratura. Rajeev e seus colaboradores [Rajeev e Krshnamoorthy, 1992] usaram funções de penalzação para resolver problemas com varáves dscretas aplcadas com um parâmetro que depende do grau de volação das restrções. [Adel e Kamal, 1992] apresentaram um algortmo genétco para otmzação de grandes estruturas. [Grerson e Park, 1993] resolveram alguns problemas com varáves dscretas envolvendo tamanho, geometra e topologa de estruturas de edfícos. [Ca and Theref, 1993; Coello, 1994] apresentaram em seus trabalhos versões modfcadas dos Algortmos Genétcos. [Lemonge e Barbosa, 2000] propuseram Algortmos Genétcos para otmzação de trelças espacas combnando varáves dscretas e contnuas. O trabalho de [Guerra, 2008] apresenta os fundamentos e concetos necessáros para aplcar Algortmos Genétcos na otmzação de trelças planas e espacas, consderando restrções de tensões, flambagem e deslocamentos. A déa básca dos Algortmos Genétcos é transformar uma população ncal de ndvíduos em uma nova geração mas apta, smulando os processos naturas, através da

34 22 utlzação de operadores genétcos tas como cruzamento e mutação. Cada ndvíduo da população representa uma possível solução do problema de otmzação, sendo representado por um conjunto de genes denomnado cromossomo. Os cromossomos, por sua vez, são representados por uma cadea de bts de tamanho varável, que defnem as característcas do ndvíduo. 4.2 Hstórco Nesta seção será apresentado um breve hstórco dos Algortmos Genétcos baseado nos trabalhos de [Castro, 2001; Guerra, 2008]. Durante o século XIX, os naturalstas acredtavam que cada espéce hava sdo crada separadamente por um ser supremo ou através da geração espontânea. O trabalho do naturalsta Carolus Lnaeus levou a acredtar na exstênca de certa relação entre as espéces. Por outro lado, Thomas Robert Malthus propôs que fatores ambentas tas como doenças e carêncas de almentos, lmtavam o crescmento de uma população. No século XX, após anos de observação e expermentos, Charles Darwn apresentou em 1858 sua teora da evolução através de seleção natural. Esta teora prvlega os ndvíduos mas aptos e com maor probabldade de reprodução. Os prncípos báscos de genétca populaconal se baseam na déa que a varabldade entre ndvíduos de uma população de organsmos que se reproduzem sexualmente se dá pela mutação e pela recombnação genétca. Estas déas foram desenvolvdas durante os anos 30 e 40 por bólogos e matemátcos de mportantes centros de pesqusa. A década de 40 também marca o surgmento do Método de Monte Carlo (MMC). O MMC caracterza-se por ser um método estatístco utlzado em smulações estocástcas com dversas aplcações em áreas da físca, matemátca e engenhara. Sua orgem data de 1949, com a publcação do artgo The Monte Carlo Method [Metropols, 1949]. Nas décadas de 50 e 60, mutos bólogos começaram a desenvolver smulações computaconas de sstemas genétcos, entretanto, fo John Holland, da unversdade de Mchgan, quem começou a desenvolver as prmeras pesqusas sobre o tema. Holland fo gradualmente refnando suas déas e em 1975 publcou o seu lvro [Holland, 1975], hoje consderado a prncpal referênca em Algortmos Genétcos. Nos anos 80, Davd Goldberg, exaluno de Holland, consegue o prmero sucesso em aplcação ndustral de algortmos genétcos. Os estudos de Goldberg foram publcados [Goldberg, 1989]. Desde então, estes algortmos vêm sendo aplcados com sucesso nos mas dversos problemas de otmzação.

35 Defnções Segundo [Goldberg, 1989], as prncpas defnções relaconadas com os Algortmos Genétcos são: Cromossomo Cadea de caracteres representando alguma nformação relatva às varáves do problema. Cada cromossomo representa deste modo uma possível solução do problema. Gen ou Gene É a undade básca do cromossomo. Cada cromossomo tem certo número de gens, cada um descrevendo uma varável do projeto. População Conjunto de cromossomos ou soluções. Geração O número de terações que o algortmo genétco executa. Operações genétcas Operações que o algortmo genétco realza sobre cada cromossomo. Os AG consttuem uma classe de ferramentas versátl e robusta que pode ser utlzada na solução de problemas de otmzação estrutural [Goldberg, 1989], embora não devam ser consderados estrtamente mnmzadores de funções. A tabela 4.1 mostra uma comparação entre os métodos de programação matemátca, Algortmos Genétcos e Monte Carlo..

36 24 Tabela 4.1: Vantagens dos AG em relação aos métodos de programação matemátca Métodos de Programação Matemátca Têm dfculdade em dentfcar soluções ótmas globas, uma vez que dependem do ponto de partda. Têm dfculdade em tratar problemas de engenhara com varáves dscretas. Requerem funções dferencáves. Têm domíno de aplcação restrto. Algortmos Genétcos Não apresentam nenhuma restrção quanto ao ponto de partda. Trabalham tanto com codfcação contínua como dscreta das varáves ou anda uma combnação de ambas. Não necesstam que a função objetva ou restrções sejam contínuas ou dferencáves. São razoavelmente efcentes para a maora dos problemas exstentes Método de Monte Carlo Não apresentam nenhuma restrção quanto ao ponto de partda. Trabalham tanto com codfcação contínua como dscreta das varáves ou anda uma combnação de ambas. Não necesstam que a função objetva ou restrções sejam contínuas ou dferencáves. São nefcentes para a maora dos problemas exstentes. Os Algortmos Genétcos não são presos a mínmos locas, como os algortmos clásscos, podendo por esse motvo, levar a descoberta de soluções não convenconas e novadoras. 4.4 Estrutura do algortmo genétco básco A fgura 4.1 é apresentada a representação de um AG genérco, o qual funcona da segunte forma: Incalmente é gerada uma população, na forma de cromossomos, formada por um conjunto aleatóro de ndvíduos que podem ser vstos como possíves soluções do problema e respectvo cálculo da função objetvo.

37 25 Acontece então o processo evolutvo, onde esta população é avalada e cada ndvíduo recebe uma nota, ou índce, refletndo sua habldade de adaptação a um determnado ambente. Posterormente nca-se o processo teratvo, uma porcentagem dos ndvíduos mas adaptados é mantda, enquanto os outros são descartados. Os membros mantdos pela seleção podem sofrer modfcações em suas característcas fundamentas através de mutações e cruzamentos ou recombnação genétca gerando descendentes para a próxma geração. Este processo, chamado de reprodução, é repetdo até que uma solução satsfatóra seja encontrada. Embora possam parecer smplstas do ponto de vsta bológco, estes algortmos são sufcentemente complexos para fornecer mecansmos de busca adaptatvos poderosos e robustos. Fgura 4.1: Representação de um Algortmo Genétco básco 4.5 Representação e Codfcação Bascamente exstem três tpos de codfcação dos parâmetros em algortmos genétcos. A codfcação clássca (ou bnára), números nteros e a codfcação real. Esta codfcação é necessára para transformar as varáves do problema em um cromossomo para que o algortmo possa manpular corretamente. A codfcação ntera representa uma gama de problemas muto pequena. A codfcação bnára, ou clássca fo a prmera a ser construída, sendo utlzada na maora dos trabalhos desenvolvdos. Na codfcação bnára cada cromossomo é um vetor

38 26 composto por zeros e uns, com cada bt representando um gene do mesmo. Porém, conforme a necessdade de maor precsão numérca, as cadeas de bts tornam-se excessvamente longas, o que acarreta a necessdade de um esforço computaconal maor, causando também um consumo maor de tempo até a convergênca dos algortmos. A codfcação real trabalha dretamente com os números reas, o que torna possível cobrr um domíno bastante abrangente, mesmo para domínos desconhecdos, das varáves. Utlza-se números de ponto flutuante para representar o valor das varáves e executar as operações genétcas de cruzamento e mutação. Exste assm, uma grande desvantagem no caso da representação bnára, que seram as constantes conversões entre valores de ponto flutuantes e bnáros. 4.6 Geração da população ncal Geralmente a população ncal de ndvíduos ou cromossomos é realzada de forma aleatóra. Neste trabalho, é ntroduzda uma população ncal de ndvíduos resultantes de um processo de otmzação anteror, baseado em Programação Lnear Seqüencal na tentatva de acelerar o processo de otmzação. No entanto, a lteratura demonstra [Goldberg, 1989] que a ncalzação usando uma população não é crítca, ou seja, se o número de ndvíduos da população for grande sufcentemente a utlzação de uma população ncal não afeta o processo. 4.7 Operadores Genétcos Segundo Goldberg o prncípo básco dos operadores genétcos é transformar a população através de sucessvas gerações, estendendo a busca até chegar a um resultado satsfatóro. Os operadores genétcos são necessáros para que a população se dversfque e mantenha característcas de adaptação adqurdas pelas gerações anterores. Entre os prncpas operadores genétcos exstentes, podem-se ctar dos: cruzamentos e mutações que têm papel sgnfcatvo nos Algortmos Genétcos.

39 27 Cruzamento O cruzamento é o operador responsável pela recombnação de característcas dos pas durante a reprodução, permtndo que as próxmas gerações herdem essas característcas. A déa prncpal é propagar as característcas postvas dos ndvíduos mas aptos da população através da troca de segmentos de nformações entre os mesmos, o que orgnará novos ndvíduos. As formas mas comuns de troca de segmentos nos AG são: um - ponto: O ponto de cruzamento é escolhdo de forma aleatóra e a partr deste ponto as nformações genétcas dos pas serão trocadas. As nformações anterores a este ponto em um dos pas são lgadas às nformações posterores a este ponto no outro pa, como é mostrado na fgura 4.2. multpontos: é realzada da mesma forma do cruzamento de um ponto, porém a troca de materal genétco através de um número maor de pontos, onde mutos pontos de cruzamento podem ser utlzados. Fgura 4.2: Operador de cruzamento em um ponto Mutação O operador de mutação é conhecdo com um operador background sendo responsável pela ntrodução e manutenção da dversdade genétca da população [Holland, 1975], alterando arbtraramente um ou mas componentes de uma estrutura escolhda, como é lustrado na fgura 4.3. Trata-se de uma modfcação aleatóra no valor do elo da cadea. Caso o elo escolhdo seja zero ele passa a valer um e vce-versa. Desta forma, a mutação assegura que a probabldade de se chegar a qualquer ponto do espaço de busca nunca seja zero, com o ntuto de tentar contornar o problema de ótmos locas.

40 28 Fgura 4.3: Operador de mutação 4.8 Parâmetros Genétcos Os parâmetros genétcos nfluencam o comportamento e desempenho dos algortmos genétcos, e afetam da mesma forma a codfcação real e a codfcação clássca. A efcênca dos Algortmos Genétcos é altamente dependente dos seguntes parâmetros: Tamanho da População: O tamanho da população afeta o desempenho global e a efcênca dos AG. Ao trabalhar-se com uma população pequena o desempenho pode se comprometdo, pos deste modo o espaço de busca é reduzdo. Uma grande população geralmente fornece uma cobertura representatva do domíno do problema, além de prevenr convergêncas prematuras para soluções locas ao nvés de globas. Porém, ao trabalhar com grandes populações, são necessáros maores recursos computaconas. Taxa de Cruzamento: Uma alta taxa de cruzamento permte que novas estruturas sejam ntroduzdas na população. No entanto, se esta taxa for muto elevada, a maor parte da população com boas aptdões serão substtuídas. Um valor baxo, o algortmo pode tornar-se muto lento. Taxa de Mutação. Uma baxa taxa de mutação prevne que uma dada posção fque estagnada em um valor, além de possbltar que se chegue a qualquer ponto do espaço de busca. Com uma taxa muto alta a busca se torna essencalmente aleatóra.

41 29 Intervalo de Geração: Determna a porcentagem da população que será substtuída na geração segunte. Caso o valor seja alto, a maor parte da população é substtuída, aumentando as chances de perder estruturas de alta aptdão. Com um valor baxo, o algortmo pode tornar-se muto lento. 4.9 Funções de Aptdão (Ftness) As funções de penalzação são utlzadas para consderar as restrções em algortmos genétcos. Bascamente, essa técnca consste em utlzar uma combnação lnear da função objetvo e uma função penalzação para testar os membros de uma determnada geração. A função objetvo é sempre bem defnda, pos já está estpulada no problema de otmzação a ser resolvdo. O problema consste, pos, em determnar "como" penalzar. Um método smples para se penalzar soluções não váves é aplcar uma penaldade constante. Assm, a função objetvo penalzada assume o valor da função objetvo não penalzada adconada da penaldade. Exstem técncas alternatvas a proposta no presente trabalho e podem ser encontradas em [Deb, 2001; Krpka, 2004]. A função de penalzação para o problema de mnmzação, com mutas restrções pode ser escrto da segunte forma: f ( x) f ( x) (4.1) p C Onde: f p (x) é a função penalzada, f(x) é a função orgnal =1 se a restrção é volada =0 se a restrção não é volada C é o coefcente de penalzação mposto para a volação de -ésma restrção.

42 30 5. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Método dos Elementos Fntos (MEF) é uma ferramenta de smulação numérca que pode obter soluções aproxmadas de uma abrangente varedade de problemas de engenhara como: análse de tensões, escoamento de fludos e transferênca de calor. Embora orgnalmente desenvolvdo para estudar tensões em estruturas aeronáutcas complexas, vêm sendo amplamente empregado em dversos campos da mecânca do contínuo. Os métodos analítcos tradconas permtem o cálculo dos deslocamentos, deformações e tensões na estrutura, entretanto são lmtados a casos smples. Desta forma, têm-se procurado desenvolver procedmentos aproxmados que pudessem ser aplcados, ndependente da forma da estrutura e da condção de carregamento. Dentre estes métodos, os que têm sdo mas utlzados são aqueles baseados na dvsão do meo contínuo em geometras mas smples. O Método dos Elementos Fntos é a técnca de dscretzação de sstemas contínuos mas utlzada como alternatva aos procedmentos analítcos clásscos. 5.1 Hstórco do Método Embora o termo elementos fntos tenha sdo ctado prmeramente por [Clough, 1960], em um artgo sobre problemas de elastcdade plana, as déas da análse de elementos fntos datam de muto antes. De fato, a questão de quem orgnou o método dos elementos fntos? e quando começou? há três dferentes respostas, depende se perguntado a um matemátco, físco ou engenhero [Felppa, 1995]. Todos estes especalstas têm suas justfcatvas para revndcar o método dos elementos fntos, porque cada um desenvolveu as déas ndependentemente e em dferentes momentos e por razões dferentes. O esforço destes três grupos resultou em três conjuntos de artgos com dstntos pontos de vsta. Em 1943, o matemátco Rchard Courant [Courant, 1943] sugeru a utlzação de funções lneares espacas sobre regões trangulares e aplcou o método para solução de problemas de torção. Este elemento é conhecdo como trângulo de deformação constante (CST), sendo utlzado até hoje para resolver problemas de elastcdade plana. As Publcações de [Argyrs e Kelsey, 1960; Turner et al, 1956] podem ser consderadas um marco no estudo do MEF, pos tas publcações unram os concetos de análse estrutural e

43 31 análse do contínuo. Assm, as equações de rgdez passaram a ser escrtas em notação matrcal e resolvdas em computadores dgtas. Em 1963, o método fo reconhecdo como rgorosamente correto e tornou-se uma respetável área de estudos acadêmcos. Este período fo segudo por um ntensvo desenvolvmento de programas computaconas, e passou a ser utlzado também na solução de problemas de mecânca dos fludos, termodnâmca e magnetsmo. 5.2 Elastcdade Lnear Os corpos materas se deformam quando submetdos a ações externas (forças devdas ao contato com outros corpos, ação gravtaconal agndo sobre sua massa, etc.), e retornam a sua confguração ncal quando a carga é retrada. Esta afrmação é válda em elastcdade lnear até certo lmte, onde as tensões aplcadas são proporconas à deformação. A teora da elastcdade fornece os concetos fundamentas para a solução dos problemas da mecânca clássca e método dos elementos fntos. Na solução de problemas, seja analtcamente ou numercamente é necessáro resolver as equações de equlíbro para determnar a resposta do sstema. Os trabalhos de [Bores e Chong, 1987; Atkn e Fox, 1980] apresentam de detalhadamente as equações de equlíbro e a teora da elastcdade. A equação de equlíbro é escrta da segunte forma: x j j f 0 (5.1) O termo j refere-se à tensão na dreção do exo j perpendcular ao exo, f é o vetor de força de corpo e representa a força dstrbuída por undade de volume. Estas equações são à base de toda a mecânca do contínuo. Aplcando o prncípo da conservação da quantdade de movmento angular [Atkn e Fox, 1980], chega-se à conclusão que o tensor de tensão é smétrco, para sso a segunte relação dever ser satsfeta:

44 32 j j (5.2) Fgura 5.1: Estado de tensões em torno do ponto P em um corpo trdmensonal Conhecendo os componentes de tensão j e as normas n j de uma superfíce em um elemento dferencal como o mostrado na fgura 5.1, o vetor de tração atuando em qualquer plano neste elemento dferencal pode ser calculado. Este vetor é conhecdo como tensor tensão de Cauchy e pode ser calculado pela equação (5.3): t n (5.3) j j Para aplcações em estátca, normalmente se requer apenas a posção ncal e fnal do corpo. O mapeamento da confguração ncal para a fnal é chamado de deformação do corpo. O movmento do corpo pode ser descrto através da segunte relação: u u x, x ) (5.4) 0( 1 2, x3 onde u 0 é o vetor que representa a confguração no níco do fenômeno.

45 33 como: Desprezando os termos de alta ordem, defne-se o tensor de deformações nfntesmas 1 u u j j (5.5) 2 x j x onde j é a componente da deformação nfntesmal na dreção j perpendcular ao exo (fgura 5.1). Sabe-se através da le de Hooke que a tensão é dretamente proporconal à deformação. Esta regra é lmtada a pequenas deformações e certos materas. A forma usual da elastcdade nfntesmal lnear pode ser escrta: 2 j (5.6) j kk j onde e são os coefcentes de Lamé. Portanto, um materal sotrópco apresenta apenas duas constantes ndependentes. Os materas mas comuns em engenhara podem ser analsados como sotrópcos, especalmente os metas polcrstalnos, cujo tamanho de grão é pequeno em relação à peça. Entretanto, em engenhara, prefere-se trabalhar com constantes dferentes do módulo de Young, o coefcente de Posson, ou o coefcente volumétrco. As equações para a conversão das constantes elástcas sotrópcas podem ser encontradas com detalhe em [Atkn e Fox, 1980]. No estado plano de tensões (EPT) a espessura do corpo é pequena comparada com as outras dmensões e os carregamentos são aplcados no plano que contém a estrutura. Estas consderações permtem desconsderar as tensões em uma das dreções da estrutura ( 33 =0). Com sto, os coefcentes de Lamé podem ser relaconados ao módulo de Young (E), coefcente de Posson () e Módulo de elastcdade transversal (G) pelas seguntes expressões: 3 2 E (5.7) ve (5.8) 2 1 v E G (5.9) 2(1 v)

46 34 O estado plano de deformação (EPD) se caracterza por ter a espessura grande comparada com as outras dmensões, e os carregamentos serem aplcados apenas no plano transversal da estrutura. Pode-se, desta forma, assumr que o deslocamento em uma das dreções é desprezível ( 33 =0). Neste caso: ve (5.10) 1 v1 2v 5.3 Elastcdade Undmensonal No presente trabalho deseja-se otmzar estruturas compostas de barras, desta forma, será utlzada a hpótese de que a tensão seja undmensonal para reduzr o problema de mecânca dos sóldos para uma dmensão. Seja o corpo de seção transversal constante orentado com o exo (1) mostrado na fgura 5.2. Supondo que todos os carregamentos t estão aplcados na dreção (1) e unformemente dstrbuídos na seção transversal. Fgura 5.2: Elemento de barra undmensonal A equação (5.3) pode ser smplfcada, pos as trações se anulam nas outras faces (t 2 =t 3 =0). t1 1 jn j (5.11)

47 35 Se não houver forças de corpo a tensão será constante, e seu valor va depender apenas das cargas aplcadas no contorno. Para um materal sotrópco com deslocamentos nfntesmas o problema de mecânca dos sóldos pode ser reduzdo à segunte forma: E (5.12) Trelças A Trelça consste em uma sére de elementos estruturas retos de comprmento muto maor que as dmensões de sua seção transversal, e que conectados uns aos outros em suas extremdades compõem uma estrutura retculada [Alves Flho, 2000]. A partculardade mportante das trelças é que as juntas estruturas conectadas, ou seja, o encontro dscreto de dos ou mas membros do conjunto são artculados. As forças externas atuantes em uma estrutura em forma de trelças são aplcadas nos nós, excepconalmente uma barra de trelça poderá estar sujeta a cargas atuando entre os nós. Porém, para propóstos de análse, estas cargas poderão ser substtuídas por cargas estatcamente equvalentes atuando no nteror nos nós. As barras das trelças transmtem apenas forças axas de tração ou compressão, sto é, na dreção da barra. Para este elemento não são contablzados esforços decorrentes da ação de momentos fletores, torçores e forças cortantes Formulação Varaconal Nos mecansmos dos materas é possível demonstrar que a energa nterna U em um ponto de um materal com comportamento lnear-elástco sujeto a um estado de tensão undmensonal e uma deformação é dada pela segunte relação: U L 0 x xdx (5.13) onde é relaconado com o deslocamento u através da le de Hooke equação (5.12) e a relação deformação-deslocamento é dada pela equação (5.5).

48 36 O trabalho vrtual externo W pode ser defndo como o trabalho feto pelas forças de superfíce e de corpo. Entretanto, para este trabalho as barras em estudo estão submetdas apenas a forças dscretas, e nenhuma força de corpo atua. A expressão do trabalho fca reduzda a: W L q x) u( x) dx 0 ( (5.14) q(x) é a carga dstrbuída na seção transversal da vga apresentada na fgura 5.3 Fgura 5.3: Forças atuando em um elemento de barra A função do deslocamento aproxmado u(x) vara lnearmente ao longo do elemento e pode ser escrta: u e e e e e ( x) N u N u (5.15) j j As funções N (e) e N (e) j que multplcam os deslocamentos nodas u (e) e u (e) j são chamadas de funções de nterpolação. Estas funções nterpolam os deslocamentos nternos dretamente nos nós. Na fgura 5.4 é possível vsualzar estas funções que são defndas nas equações (5.16) e (5.17): 1 (5.16) N e 1 x j (5.17) N e x

49 37 onde e L denota o comprmento do elemento, e x é a coordenada admensonal, também conhecda como coordenada natural. Fgura 5.4: Elemento de barra 2D genérco e suas funções de nterpolação A equação (5.5) que relacona a deformação com deslocamento pode ser reescrta na segunte forma: e e e e e du ( ) ( ) dn dn j u 1 u e e 1 1 e Bu (5.18) dx dx dx u j u j onde B é chamada matrz de deformação-deslocamento. Para o elemento de barra de dos nós, a energa nterna U e é: U e 1 2 x2 1 EAdx x EA d (5.19) A deformação é relaconada com os deslocamentos nodas através da equação (5.18). Esta forma é smetrcamente expandda pela nserção de =Bu e na segunda deformação e fazendo = T na prmera tem-se: U e e 1 e e EA 1 1 u 1 1 e T e e u u d u K u e 1 1 u2 2 (5.20) A rgdez do elemento é dada pela equação (5.21):

50 38 K e EA d 1 (5.21) Se a rgdez EA for constante sobre o elemento a matrz de rgdez do elemento pode ser escrta da segunte manera: EA 1 1 K e (5.22) 1 1 A barra em estudo esta submetda apenas a forças dscretas, e nenhuma força de corpo atua, a expressão do trabalho para o elemento de barra com dos nós fca reduzda a: W e e e e f 1 e T e u u u f f 1 2 e (5.23) 2 No método dos elementos fntos o processo de dscretzação para funconal TPE pode ser defndo na segunte forma algébrca: e nel e e U W e1 (5.24) É mportante notar que estas três energas dependem apenas da função de deslocamento nodal u e. U e e W e dependem quadratcamente e lnearmente da função deslocamento. Fazendo o varaconal da dscretzação do TPE da Equação (5.24) com respeto aos deslocamentos nodas dados na equação (5.23): nel e nel e T e T e e e u u K u f 0 e 1 (5.25) u 1 Como o δu e das varações pode ser arbtráro, esta quantdade deve desaparecer, produzndo: K e u e f e 0 (5.26)

51 39 6. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Neste capítulo será apresentada a organzação das estruturas computaconas que compõem este estudo. A plataforma escolhda para a programação das rotnas matemátcas fo o MATLAB R2008e. No ambente MATLAB foram mplementados dos algortmos de otmzação, o prmero baseado em Programação Lnear Seqüencal (PLS) e o segundo utlzando Algortmos Genétcos (AG). Também fo desenvolvdo um códgo em elementos fntos de barras para trabalhar em conjunto com estes dos algortmos. Os algortmos podem trabalhar de forma ndvdual ou conjunta e a estrutura de cada um pode ser dvda em pré-processamento, programa prncpal e pós-processamento. Cada etapa contém funções com fnaldades dstntas como mostram as fguras 6.1 e 6.2. Fgura 6.1: Dagrama representatvo do Algortmo PLS Fgura 6.2: Dagrama representatvo do Algortmo Genétco

52 40 Na fase de pré-processamento é defndo em um arquvo do tpo ASCII a geometra do problema, condções de contorno, carregamentos, conectvdades e propredades dos elementos. Na fase de processamento uma rotna especalzada (FEA_READ.m) fará a letura dos arquvos com extensão.txt e carregará os dados na rotna de otmzação. Exstem duas rotnas de otmzação estrutural denomnadas (SLP_TRUSS.m) e (GA_TRUSS.m). Ambas as rotnas estão conectadas ao módulo de elementos fntos (FEA_TRUSS.m). A dferença entre os dos fluxogramas é a exstênca de uma rotna responsável pela função de avalação da aptdão (FITNESS.m) nos algortmos genétcos. No fnal das terações a rotna (PLOTA3d.m) apresenta os resultados da convergênca dos algortmos e anda permte vsualzar a estrutura trdmensonalmente plotando as áreas ótmas. Um fato mportante de ser menconado é a possbldade de combnar as duas rotnas. O resultado gerado pela prmera pode ser armazenado em um arquvo que será posterormente ldo pela segunda rotna. Neste caso, o Algortmo Genétco usará esta nformação para defnr uma população ncal não aleatóra. A segur será apresentada à formulação matemátca mplementada no MATLAB. A grande dfculdade neste tpo problema deve-se ao fato de as restrções serem funções não-lneares em relação às váras de projeto A. O problema de otmzação de trelças pode ser formulado da segunte manera [Souza e Fonseca, 2008]: mnmzar W nel 1 L A (6.1) sujeto a: =1,...,nel U C mn F T U U =1,...,nglr max =1,...,nel A mn A A =1,...,nap max

53 41 onde as três prmeras restrções são de desgualdade e a últma é lateral. Na expressão (6.1) têm-se: A = Área da barra, A max = Área da seção transversal máxma admssível para a barra, A mn = Área da seção transversal mínma admssível para a barra, L = Comprmento da barra, nap = Número de áreas de projeto, nel = Número de elementos, U = Deslocamento nodal do grau de lberdade, U max = Deslocamento nodal máxmo do grau de lberdade, U mn =Deslocamento nodal mínmo do grau de lberdade, = massa especfca do materal da barra, = Tensão normal atuante na barra, C = Tensão admssível de compressão na barra, F = Tensão admssível de Euler, T = Tensão admssível de tração na barra, A função objetvo é lnear e por sso não precsa ser expandda em séres de Taylor, entretanto, as equações das restrções são não-lneares e precsam ser lnearzadas para sua utlzação no algortmo de programação lnear. A restrção da tensão expandda em séres de Taylor pode ser reescrta da segunte forma: C ( (6.2) nap 0 0 Aj Aj ) j1 Aj T Expanddo a restrção de deslocamento obtém-se: U U ( U (6.3) nap 0 mn 0 Aj Aj ) j1 Aj max A restrção de flambagem pode ser reescrta na segunte forma:

54 42 nap nap 0 F 0 0 ( Aj Aj ) F ( Aj Aj ) j1 Aj j1 Aj (6.4) A próxma etapa consste em determnar os gradentes das restrções em relação às varáves de projeto A j. Esta etapa é conhecda como análse de sensbldade e estes gradentes ndcam a sensbldade da resposta das funções das restrções a pequenas mudanças. A análse de sensbldade é a etapa prncpal e mas demorada no processo de otmzação, consumndo grande esforço computaconal na maora das vezes. Erros na precsão do cálculo do método fatalmente levam a problemas de convergênca nos algortmos de otmzação. Portanto, na escolha do método a ser utlzado para o cálculo dos gradentes devem ser consderados dos aspectos báscos: precsão e efcênca. Adota-se o método de dferencação dreta. Entretanto, o cálculo da dervada em relação às varáves de projeto não é smples requerendo o uso da regra da cadea. 6.1 Determnação da dervada da restrção de flexbldade A equação de equlíbro para estruturas com comportamento lnear estátco (trelças) é obtda através do método dos elementos fntos: 1 u K f (6.5) onde K é a matrz de rgdez, u é vetor dos deslocamentos nodas e f é o vetor das cargas externas. Dervando mplctamente a equação (6.5) em relação à varável de projeto A j, têm-se: du da j 1 dk f (6.6) da j Ao aplcar na matrz de rgdez a propredade básca da álgebra que dz que uma matrz multplcada pela sua nversa resulta em uma matrz dentdade de mesma ordem, obtém-se: 1 KK I Dervando ambos os lados da equação (6.7) em relação à A j, têm-se: (6.7)

55 43 d KK da 1 di j da j (6.8) Aplcando a regra da cadea na equação (6.8): dk K da 1 j dk da j K 1 0 (6.9) Isolando-se o termo dk 1 da j, obtém-se a dervada desejada: dk da 1 j K 1 dk da j K 1 (6.10) Substtundo a expressão (6.10) em (6.6), o cálculo da dervada da matrz nversa torna-se desnecessáro: du da j 1 dk K u (6.11) da j A dervada da matrz de rgdez é calculada através da soma das contrbuções da matrz de rgdez de cada elemento. dk da j nel T 1 T d K da j T (6.12) onde [T] é a matrz dos cossenos dretores relatvos ao -ésmo elemento da barra e esta matrz têm a segunte forma: T nx 0 ny 0 nz 0 0 nx 0 ny 0 nz (6.13) sendo: nx ( X X1) / L 2

56 44 ny ( Y Y ) 1 / L 2 nz ( Z Z ) 1 / L Determnação da dervada da restrção de tensão Esta restrção é fundamental em problemas de otmzação estrutural, pos quase todas as estruturas são projetadas para suportar carregamentos sem ultrapassar a tensão admssível em qualquer ponto da estrutura. Uma característca mportante deste problema é o fato dele ser um problema local, ou seja, cada ponto da estrutura deve ter seu lmte de tensão controlado. Por este motvo, os problemas evolvendo tensão geralmente apresentam um grande número de restrções, sendo às vezes dfíces de manusear. Para o elemento de barra a relação tensão versos deformação é dada pela segunte relação: xx E xx (6.14) O deslocamento pode ser relaconado com a deformação através da expressão: u L uj ui xx (6.15) x L L onde os índces e j são os nós fnas e ncas do elemento de barra. Deste modo, a equação (6.14) pode ser reescrta da segunte forma: uj ui xx E (6.16) L Expanddo a expressão da tensão em sére de Taylor e truncando no termo lnear, obtémse: 0 0 ( Aj Aj ) (6.17) A j

57 45 A expressão pode ser encontrada dervando a equação (6.16) em relação à varável de A j projeto: k A j E L k u A J j ui A j (6.18) onde o k é uma medda de tensão equvalente em um elemento relatvo ao caso k. Introduzndo a constante B k a expressão (6.18) pode ser reescrta: k A j E L k A j B u k k (6.19) B k [ 1 1] u k u u J I Desta forma, a únca dervada que precsa ser determnada é a na equação (6.11). u A j defnda anterormente 6.3 Determnação da dervada da restrção de flambagem A tensão de flambagem local para uma barra é conhecda pela expressão: E I F (6.20) A L 2 2 onde I é o momento de nérca da seção e E é o módulo de elastcdade do materal. Pode-se defnr o coefcente K:

58 A I K (6.21) A equação (6.20) pode ser reescrta na segunte forma: 2 F L KE A (6.22) Dervando a equação (6.22) em relação a A j obtém-se: j j F L KE A A L KE da d 2 2 (6.23) 6.4 Determnação da Função de Aptdão (Ftness) A função aptdão (a ser mnmzada) mplementada no Algortmo Genétco desenvolvdo no presente trabalho é a mesma usada no trabalho de [Lemonge e Barbosa, 2000] e é dada pela equação (6.24): j j p u u C x f x f 2 max 2 max 1 1 ) ( ) ( (6.24) onde C é o coefcente de penalzação da função objetvo, e [x] + = x se x > 0.

59 47 7. APLICAÇÃO EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL 7.1 Introdução Três problemas de otmzação estrutural são apresentados neste capítulo para lustrar a metodologa e os algortmos dscutdos nos capítulos anterores. Os exemplos servem como teste padrão e têm sdo estudos extensamente por dversos pesqusadores na lteratura [Haftka e Gürdal, 1992; Rajeev e Krshnamoorthy; 1992; Krpka 2004]. Os problemas aqu estudados rão permtr demonstrar a vabldade da metodologa proposta e a efcênca do uso de algortmos baseados em Programação Lnear Seqüencal (PLS) e Algortmos Genétcos (AG) na solução de problemas de otmzação estrutural. Em todos os casos deseja-se mnmzar a massa das trelças, sendo que a tensão axal e a deflexão de cada uma das barras devem fcar dentro de lmtes estabelecdos. As varáves de projeto serão as áreas das seções transversas das barras. Os testes computaconas foram realzados em um mcrocomputador com processador Intel Core 2 Duo T GHz e 2038 MB de RAM. A efcênca dos métodos de otmzação fo avalada em termos do número de terações e tempo de que cada algortmo gastou para atngr o crtéro de parada. 7.2 Casos estudados: Cada um dos problemas utlzados no presente trabalho fo resolvdo empregando três abordagens dferentes: 1. Caso 1: Os problemas são resolvdos consderando as varáves de projetos como contínuas e utlzando um algortmo de Programação Lnear Seqüencal (PLS) baseado nos trabalhos de [Haftka e Gürdal,1992; Cheng, 1992]. 2. Caso 2: Na segunda abordagem, as varáves de projeto são tratadas como varáves dscretas, e os problemas são resolvdos utlzando Algortmos Genétcos (AG) [Goldberg, 1989] com a geração da população ncal de forma aleatóra.

60 48 3. Caso 3: Roda-se o problema de otmzação utlzando novamente a rotna baseada em AG. No entanto, é ntroduzda uma população ncal composta pelas soluções encontradas no caso 1. Desta forma, espera-se acelerar o tempo de convergênca do algortmo. 7.3 Trelça de 10 barras A trelça de 10 barras mostrada na fgura 7.1, tem sdo estudada por dversos pesqusadores, entre eles [Ca e Thereut, 1993; Rajeev e Krshnamoorthy, 1992] para demonstrar a valdade de novos algortmos. A mínma massa da estrutura é obtda varando as seções transversas das barras. A trelça é submetda a restrções de tensão e deslocamento. Na solução do problema utlzando Programação Lnear Seqüencal, as áreas das seções transversas das barras, são representadas por varáves contínuas e deverão ser lmtadas a um valor mínmo de 0,1 n² (64,5 mm²) para permtr que os elementos não desapareçam durante o processo de otmzação. No Algortmo Genétco as varáves de projeto são valores dscretos e foram obtdos a partr do manual do Insttuto Amercano de Construção em Aço AISC (Amercan Insttute of Steel Constructon). Os carregamentos aplcados e as propredades dos materas são apresentados nas tabelas 7.1 e 7.2, respectvamente. Fgura 7.1: Trelça de 10 barras

61 49 Tabela 7.1: Trelça de 10 barras - Carregamentos aplcados Número Nó Px (Kps) Py (Kps) (-444,89 kn) (-444,89 kn) Tabela 7.2: Trelça de 10 barras - Propredades Módulo de elastcdade E=1,0 x 10 7 ps (68950 MPa) Densdade = 0,10 lb/n 3 (2767 kg/m 3 ) Tensão admssível ±25000 ps (±172 MPa) Deslocamentos ±2,0 n (50,8 mm) Resultados empregando Programação Lnear Seqüencal (PLS) Na tabela 7.3 são apresentados os valores das varáves de projeto encontradas ao fnal do processo de otmzação. A evolução da função objetvo com o número de terações é mostrada na fgura 7.2, enquanto a geometra fnal da trelça de 10 barras pode ser vsualzada na fgura 7.3. A solução detalhada deste problema pode ser encontrada em [Haftka e Gürdal,1992]. Método Área ncal Área fnal Haftka Tabela 7.3: Trelça de 10 barras - Comparatvo entre as áreas obtdas com o PLS Massa lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² A9 n² A10 n² (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) ,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 (1315) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) (3226) ,37 0,1 23,24 14,34 0,1 0,1 8,56 20,34 20,94 0,1 (2284) (20240) (65) (14994) (9252) (65) (65) (5523) (13123) (13510) (65) ,52 0,1 23,2 15,22 0,1 0,55 7,46 21,04 21,53 0,1 (2295) (19692) (65) (14969) (9820) (65) (355) (4813) (13575) (13891) (65) Como se pode observar na tabela 7.3, os valores das varáves de projeto e da função objetvo encontrados fcaram próxmos aos encontrados por Haftka e Gürdal.

62 Massa (lb) 50 Tabela 7.4 : Trelça de 10 barras - Deslocamentos obtdos ao fnal da otmzação com SLP Número Nó Deslocamento em x n (mm) Deslocamento em y - n (mm) 1 0,26 (6,60) -2,00 (-50,80) 2-0,50 (-12,7) -2,00 (-50,80) 3 0,25 (6,35) -0,72 (-18,28) 4-0,27 (6,85) -1,47 (-37,34) 5 0,0 0,0 6 0,0 0,0 Como se pode verfcar na tabela 7.4 as restrções de deslocamento no nó número um e dos na dreção y encontram-se atvas. Para este exemplo as restrções de tensões não foram atvadas e os valores encontrados para as tensões nas barras fcaram abaxo dos valores admssíves para este exemplo Iterações Fgura 7.2: Gráfco da convergênca do PLS para a trelça de 10 barras A fgura 7.2 mostra o valor fnal da função objetvo após a realzação de 20 terações em cerca de 5 segundos.

63 51 Fgura 7.3: Geometra fnal trelça plana de 10 barras deformada Na fgura 7.3 é apresentada a geometra fnal da estrutura deformada através da aplcação dos carregamentos propostos Resultados empregando Algortmos Genétcos (AG) Na tabela 7.5 são apresentados os resultados encontrados para o problema de otmzação da trelça de 10 barras usando Algortmos Genétcos. Os resultados são comparados com os obtdos por dversos pesqusadores. Os valores dscretos correspondentes às áreas das seções transversas das barras, que serão atrbuídos às varáves de projeto, podem ser escolhdos a partr do Manual AISC. Foram consderados os seguntes valores: 1,62; 1,80; 1,99; 2,13; 2,38; 2,62; 2,63; 2,88; 2,93; 3,09; 3,13; 3,38; 3,47; 3,55; 3,63; 3,84; 3,87; 3,88; 4,18; 4,22; 4,49; 4,59; 4,80; 4,97; 5,12; 5,74; 7,22; 7,97; 11,50; 13,50; 13,90; 14,20; 15,50; 16,00; 16,90; 18,80; 19,90; 22,00; 22,90; 26,50; 30,00; 33,50 (n 2 ). Confguração do AG utlzado: População ncal: aleatóra Tamanho da população: 300 Número máxmo de terações: 100 Probabldade de mutação Pm: 0,01 Coefcente de penaldade: 1,0 x 10 8

64 Massa (lb) Iterações Fgura 7.4: Gráfco da convergênca do AG para trelça de 10 barras A fgura 7.4 mostra o hstórco da convergênca da função objetvo, resultando em 59 terações em cerca de 40 segundos. Tabela 7.5: Trelça de 10 barras - Comparatvo entre as áreas obtdas com AG Massa lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² A9 n² A10 n² Método (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) ,7 33,5 1,62 22,9 15,5 1,62 1, ,97 1,62 22 (2491) (21613) (1045) (14774) (10000) (1045) (1045) (14193) (5141) (1045) (14193) ,8 33,5 1, ,5 1,62 1,62 19,9 14,2 2,62 19 (2546) (21613) (1045) (14193) (10000) (1045) (1045) (12839) (9161) (1690) (12258) ,7 33,5 1,62 22,9 15,5 1,62 1, ,92 1,62 22 (2491) (21613) (1045) (14774) (10000) (1045) (1045) (14193) (5109) (1045) (14193) ,7 33,5 1,62 22,9 14,2 1,62 1, ,9 1,62 22 (2490) (21613) (1045) (14774) (9161) (1045) (1045) (14193) (8968) (1045) (14193) ,1 33 1,62 22,9 13,5 1,62 1,62 22,9 11,5 1,99 22 (2512) (21290) (1045) (14774) (8710) (1045) (1045) (14774) (7419) (1284) (14193) onde: 1- Método da função da penaldade melhorada (Ca and Thereu, 1993) 2- Algortmo Genétco (Rajeev and Krshnamoorthy, 1992) 3- Algortmo Genétco (Coello, 1994) 4- Método do Recozmento Smulado (Krpka, 2004) 5- Presente trabalho

65 53 Na tabela 7.5, apresenta-se os valores das varáves de projeto e da função objetvo encontrados ao fnal do processo de otmzação empregando o algortmo genétco proposto. Os resultados obtdos mostraram-se satsfatóros quando comparado com os valores encontrados pelos autores ctados acma. Entretanto, ao comparar o custo computaconal deste algortmo com o SLP, exemplo 7.3.1, pode-se conclur que o presente algortmo apresenta uma clara desvantagem, levando um tempo maor para encontrar o ponto ótmo. Tabela 7.6: Trelça de 10 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com AG Número Nó Deslocamento em x n (mm) Deslocamento em y - n (mm) 1 0,39 (9,90) -1,92 (-48,76) 2-0,51 (-12,25) -2,00 (-50,80) 3 0,25 (6,35) -0,82 (-20,82) 4-0,26 (6,60) -1,10 (-27,94) 5 0,0 0,0 6 0,0 0,0 Como se pode verfcar na tabela 7.6 a restrção de deslocamento no nó número dos na dreção y encontra-se atva. Para este exemplo as restrções de tensões não foram atvadas e os valores encontrados para as tensões nas barras fcaram abaxo dos valores admssíves para o exemplo Resultados empregando Algortmos Genétcos com utlzação de população ncal O problema de mnmzação da massa da trelça de 10 barras apresentado na seção é novamente resolvdo, mas agora, ntroduz-se uma população ncal no problema. Os ndvíduos usados para formar a população ncal são os valores obtdos na solução do problema empregando o PLS, seção Entretanto, estes elementos não concdem com os valores do AISC, e por sso foram seleconados valores próxmos aos obtdos para gerar a população ncal do problema. Os resultados obtdos são comparados aos encontrados na seção e podem ser vsualzados na fgura 7.5: Confguração do AG utlzado: População ncal: 7,97; 0,01; 7,97; 3,88; 0,01; 0,01; 5,74; 5,74; 3,88; 0,01 Tamanho da população: 300 Número máxmo de terações: 100

66 Massa (lb) 54 Probabldade de mutação Pm: 0,01 Coefcente de penaldade: 1,0 x Iterações GA GA+SLP Fgura 7.5: Gráfco da convergênca do PLS+AG e AG para a trelça de 10 barras A fgura 7.5 mostra uma lgera redução do valor da função objetvo consegudo com a ntrodução de uma população ncal não aleatóra. Entretanto, o ganho sgnfcatvo com a metodologa proposta fo no tempo computaconal, que é reduzdo de 59 segundos para 31 segundos neste exemplo. Tabela 7.7: Trelça de 10 barras - Comparatvo dos resultados obtdos com PLS+AG e AG Método Massa lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² A9 n² A10 n² (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) AG ,0 1,62 22,9 13,5 1,62 1,62 22,9 11,5 1,99 22,0 (2512) (21290) (1045) (14774) (8710) (1045) (1045) (14774) (7419) (1284) (14193) SLP+ AG ,0 2,93 22,9 13,9 1,62 1,80 19,9 11,5 3,63 18,8 (2439) (19355) (1890) (14774) (8968) (1045) (1161) (12839) (7419) (2342) (12129) Na tabela 7.7, apresenta-se os valores das varáves de projeto e da função objetvo encontrados ao fnal do processo de otmzação utlzando algortmo genétco com população ncal não aleatóra (SLP+AG) e algortmo genétco com população ncal aleatóra (AG). A utlzação desta metodologa permtu uma redução de 3% na massa total da estrutura.

67 Trelça espacal de 25 barras A trelça de 25 barras mostrada na fgura 7.6, fo projetada para suportar o carregamento apresentado na tabela 7.8. As propredades do materal são dadas na tabela A otmzação deve ser realzada mantendo-se a relação de smetra da estrutura em relação aos planos y-z e x- z. Por esta razão, oto varáves de projeto são usadas para dmensonar os 25 elementos da trelça, conforme lustrado na tabela 7.9. A tabela 7.11 mostra a tensão admssível de flambagem em cada um dos elementos da estrutura. Fgura 7.6: Trelça de 25 barras Tabela 7.8: Trelça de 25 barras - Carregamentos aplcados Número Nó Px (kps) Py (kps) Pz (kps) 1 1,0 (4,454 kn) -10 (-44,53 kn) -10 (-44,53 kn) (-44,53 kn) -10 (-44,53 kn) 3 0,5 (2,227 kn) (2.672 kn) 0 0

68 56 Tabela 7.9: Trelça de 25 barras - Varáves de projeto Varáves de projeto Conectvdades dos nós 1 (1,2) 2 (1,4),(1,5),(2,3),(2,6) 3 (1,3),(1,6),(2,4),(2,5) 4 (3,6),(4,5) 5 (3,4),(5,6) 6 (3,10),(4,9),(5,8),(6,7) 7 (3,8),(4,7),(5,10),(6,9) 8 (3,7),(4,8),(5,9),(6,10) Tabela 7.10: Trelça de 25 barras - Propredades Módulo de elastcdade E=1 x10 7 ps (68950 MPa) Densdade = 0.10 lb/n 3 (2767 kg/m 3 ) Tensão admssível ps (257,8 MPa) Deslocamento admssível 0,35 n (8,89 mm) Tabela 7.11: Trelça de 25 barras - Tensão de flambagem em cada elemento da estrutura Varáves de projeto Cargas de flambagem ps (-226MPa) ps (-75 MPa) ps (-111 MPa) ps (-226MPa) ps (-226MPa) ps (-44 MPa) ps (-45 MPa) ps (-71 MPa) Resultados empregando Programação Lnear Seqüencal (PLS) Os resultados encontrados para o projeto fnal da estrutura usando PLS são mostrados na tabela Nesta tabela os resultados são comparados aos obtdos por [Haftka e Gürdal,1992]. A geometra fnal é apresentada na fgura 7.8 e o gráfco de convergênca da função objetvo é mostrado na fgura 7.7.

69 Massa (lb) 57 Tabela 7.12: Trelça de 25 barras - Comparatvo entre resultados obtdos com PLS Método Área ncal Área fnal Haftka Massa lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) 3307, (1500) (6500) (6500) (6500) (6500) (6500) (6500) (6500) (6500) 498,78 0,01 0,192 3,59 0,01 1,27 0,819 0,846 3,66 (226) (6,5) (123,9) (2316,1) (6,5) (819,4) (528,4) (545,8) (2361,3) 542,22 0,01 1,987 2,991 0,01 0,012 0,683 1,679 2,664 (246) (6,5) (1281,9) (1929,7) (6,5) (7,7) (440,6) (1083,2) (1718,7) Pode-se observar na tabela 7.12 que, após a otmzação, houve uma redução da função objetvo de 84,9 %. Os resultados encontrados fcaram próxmos aos valores encontrados por Haftka e Gürdal Iterações Fgura 7.7: Gráfco da convergênca do SLP para trelça de 25 barras A fgura 7.7 mostra o hstórco da convergênca da função objetvo, neste exemplo o algortmo encontrou a solução ótma após 41 terações em cerca de 16 segundos.

70 58 Tabela 7.13: Trelça de 25 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com SLP Número Nó Desloc. em x (n) Desloc. em y (n) Desloc. em z (n) 1 0,09-0,34-0,04 2 0,04-0,35-0,05 3 0,00 0,02 0,06 4 0,02 0,02 0,06 5-0,02 0,04-0,14 6 0,02 0,04-0,13 7 0,00 0,00 0,00 8 0,00 0,00 0,00 9 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 Observa-se na tabela 7.13 que a restrção de deslocamento máxmo no nó número dos na dreção y se faz atva no fnal da otmzação. As restrções de tensões e flambagem não foram atvadas neste exemplo, pos os valores não alcançaram os lmtes defndos na tabelas 7.10 e Fgura 7.8: Geometra fnal da trelça espacal de 25 barras Na fgura 7.8 é apresentada a geometra fnal da estrutura ao fnal do processo de otmzação.

71 Resultados empregando Algortmos Genétcos (AG) Neste exemplo o problema da mnmzação da massa da trelça de 25 barras é resolvdo, utlzando Algortmos Genétcos. Os valores dscretos, correspondentes as áreas das seções transversas das barras, podem ser obtdos a partr da segunte lsta de perfs dsponíves: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,8; 3,0; 3,2; e 3,4 (n 2 ). Os resultados encontrados são mostrados na tabela 7.14, bem como as comparações com os de outros autores. A fgura 7.9 mostra a curva do processo de convergênca do problema de otmzação dscreta da trelça. Confguração do AG utlzado: População ncal: aleatóra Tamanho da população: 300 Número máxmo de terações: 100 Probabldade de mutação Pm: 0,01 Coefcente de penaldade: 1,0x10 5 Tabela 7.14: Trelça de 25 barras - Comparatvo entre resultados obtdos com AG Método Peso lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) 1 487,41 0,1 0,1 3,4 0,1 2,0 1,0 0,7 3,4 (221,1) (64,5) (64,5) (2193,5) (64,5) (1290,3) (645,2) (451,6) (2193,5) 2 546,01 0,1 1,8 2,3 0,2 0,1 0,8 1,8 3,0 (247,7) (64,5) (1161,3) (1483,9) (129) (64,5) (516,1) (1161,3) (1935,5) 3 539,78 1,5 0,7 3,4 0,7 0,4 0,7 1,5 3,2 (244,8) (967,7) (451,6) (2193,5) (451,6) (258,1) (451,6) (967,7) (2064,5) 4 484,33 0,1 0,4 3,4 0,1 2,2 1,0 0,4 3,4 (219,7) (64,5) (258,1) (2193,5) (64,5) (1419,4) (645,2) (258,1) (2193,5) 5 495,2 0,1 0,6 3,2 0,1 0,8 0,9 0,9 3,4 (224,6) (64,5) (387,1) (2064,5) (64,5) (516,1) (580,6) (580,6) (2193,5)

72 Massa ( lb) Método da função da penaldade melhorada (Ca and Thereu, 1993) 2- Algortmo Genétco (Rajeev and Krshnamoorthy, 1992) 3- Algortmo Genétco (Coello, 1994) 4- Método do Recozmento Smulado (Krpka, 2004) 5- Presente trabalho Na tabela 7.15, é possível notar que o algortmo genétco empregado nesta dssertação conseguu resultados compatíves em relação aos resultados encontrados pelos autores ctados acma Iterações Fgura 7.9: Gráfco da convergênca do AG para a trelça de 25 barras A fgura 7.9 mostra a curva de convergênca da função objetvo para a otmzação da trelça de 25 barras empregando algortmos genétcos. Este algortmo encontrou a solução ótma após 38 terações em cerca de 128 segundos. Ao comparar o custo computaconal deste algortmo com o SLP, exemplo 7.4.1, pode-se conclur que o algortmo necessta de um tempo maor para encontrar o ponto ótmo.

73 61 Tabela 7.15: Trelça de 25 barras - Deslocamentos obtdos no fnal da otmzação com AG Número Nó Desloc. em x (n) Desloc. em y (n) Desloc. em z (n) 1-0,01-0,35-0,03 2 0,01-0,35-0,03 3 0,01 0,01 0,07 4 0,01 0,03 0,07 5-0,02 0,02-0,12 6 0,01 0,00-0,10 7 0,00 0,00 0,00 8 0,00 0,00 0,00 9 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 Observa-se na tabela 7.15 que a restrção de deslocamento máxmo no nó número um e dos estão atvas na dreção y. Da mesma forma do exemplo 7.4.1, as restrções de tensões e flambagem não se encontram atvas Resultados empregando Algortmos Genétcos com utlzação de população ncal O problema descrto na seção é novamente resolvdo. Porém, desta vez é defnda uma população ncal empregando os resultados encontrados na seção Os resultados obtdos para as varáves de projeto são mostrados na tabela O hstórco da convergênca da função objetvo é dsposto na fgura Confguração do AG utlzado: População ncal: 0,10; 0,2; 3,4; 0,10; 1,30; 0,80; 0,80; 3,40 (n²) Tamanho da população: 300 Número máxmo de terações: 100 Probabldade de mutação Pm: 0,01 Coefcente de penaldade: 1,0 x 10 5

74 Massa (lb) 62 Tabela 7.16: Trelça de 25 barras - Comparatvo resultados obtdos com PLS+AG e AG Método Peso lb A1 n² A2 n² A3 n² A4 n² A5 n² A6 n² A7 n² A8 n² (kg) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) (mm²) AG 495,2 0,1 0,6 3,2 0,1 0,8 0,9 0,9 3,4 (224,6) (64,5) (387,1) (2064,5) (64,5) (516,1) (580,6) (580,6) (2193,5) SLP+AG 485,5 0,1 0,2 3,4 0,1 1,5 0,9 0,8 3,4 (220,2) (64,5) (129) (2193,5) (64,5) (967,7) (580,6) (516,1) (2193,5) Na comparação dos resultados utlzando algortmo genétco com população ncal não aleatóra (SLP+AG) e algortmo genétco com população ncal aleatóra (AG), tabela 7.16, o algortmo com a população ncal não aleatóra obteve o melhor resultado, com 1,95% de dferença a menos na massa Iterações AG PLS+AG Fgura 7.10: Gráfco da convergênca do PLS+AG e AG para a trelça de 10 barras Neste exemplo o Algortmo Genétco com a população ncal aleatóra, seção 7.4.2, converge em 38 terações em cerca de 120 segundos, enquanto o Algortmo Genétco em que fo defnda a população ncal, seção 7.4.3, converge em 17 terações em cerca de 54 segundos. Isto mplca em uma redução do custo computaconal de 85 % com o emprego de uma população ncal não aleatóra.

75 Trelça espacal de 72 barras A trelça trdmensonal de 72 barras é lustrada na fgura Devdo às smetras exstentes na trelça as varáves de projeto podem ser agrupadas em 16 parâmetros de projeto como lstado na tabela Os apoos desta estrutura estão localzados na base e os carregamentos externos são mostrados na tabela As barras são fetas de alumíno e suas propredades estão defndas na tabela Fgura 7.11: Trelça de 72 barras