PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS

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1 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS Smone P. Saramago e Valder Steffen Jr UFU, Unversdade Federal de Uberlânda, Curso de Engenhara Mecânca Av. João Naves de Ávla, 2160, Santa Mônca, CEP , Uberlânda, MG E-mal: / Jefferson Duarte Slva Vllares Metals SA, Alfredo Dumont Vllares, 155, Jd. Santa Carolna, CEP Sumaré - SP E-mal: Sezmára de Fátma Perera Saramago UFU, Unversdade Federal de Uberlânda, Faculdade de Matemátca Av. João Naves de Ávla, 2160, Santa Mônca, CEP , Uberlânda, MG E-mal: 1. INTRODUÇÃO Em processos ndustras, é comum a exstênca de mutos fatores ou varáves que afetam a qualdade global do produto fnal. Neste contexto, alguns pesqusadores vêm estudando, desde a década de 1970, a Metodologa de Superfíces de Resposta (SR). Em essênca, esta metodologa consste em estmar coefcentes de regressão polnomal para a geração de um modelo empírco que aproxme uma relação (ncalmente desconhecda ou até mesmo conhecda, porém complexa) entre os fatores e as respostas de um processo. A técnca de superfíce de resposta está se tornando popular e sendo usada em conjunto com técncas de otmzação. A prmera etapa desta metodologa consste na modelagem, que é feta ajustando-se modelos polnomas a resultados expermentas, obtdos por meo de planejamentos fatoras com ou sem amplação (Barros Neto et al., 1995). Após essa etapa, é possível deslocar-se sobre a superfíce de resposta ajustada, a fm de localzar regões que satsfaçam condções de nteresse, calculando-se seus pontos extremos. A superfíce de resposta é útl quando o pesqusador não conhece a relação exata entre os fatores. Dentre as vantagens da metodologa, a prncpal é que seus resultados são robustos à nfluênca de condções não deas, tas como erros aleatóros e pontos nfluentes. Outra vantagem é a smplcdade analítca da superfíce de resposta obtda, pos normalmente trabalha-se com funções polnomas. No desenvolvmento de produtos e processos, encontram-se, com freqüênca, varáves qualtatvas como: cor da embalagem, forma do equpamento, tpo de sabor/aroma, tpo de ferramenta, presença ou não de lubrfcação e mutas outras. Na termnologa empregada em análse de regressão, tas varáves são conhecdas como varáves ndcadoras (dummy). Os métodos de otmzação, que são técncas já consagradas pelo uso, apresentam, porém, uma lmtação, qual seja, sua utlzação com varáves qualtatvas. Alguns trabalhos mas recentes (Cao et al., 2000) sugerem alternatvas para a otmzação seqüencal dreta desses sstemas. O objetvo deste trabalho é apresentar planejamentos para sstemas mstos, com varáves

2 qualtatvas (ndcadoras) e quanttatvas, bem como a otmzação dos modelos construídos, aplcando algortmos genétcos. Técncas evolutvas de otmzação têm-se mostrado uma alternatva nteressante, pos permtem trabalhar com modelos não-lneares, descontínuos, e convvem bem na presença de mínmos locas. A metodologa desenvolvda é aplcada em dos estudos específcos. No prmero caso, consdera-se o problema estudado por Bona et al.(2002), que trata do planejamento e otmzação de quejo Mnas frescal com adção de lete reconsttuído. Devdo à natureza de sazonaldade da produção letera, durante certo período do ano, ocorre uma queda na oferta e uma elevação no preço do quejo. Assm, o uso de lete reconsttuído, msturado ao lete, podera ser uma alternatva para a establzação da oferta do produto no mercado. Por se tratar de um produto largamente consumdo no Brasl, város estudos vêm sendo realzados vsando promover melhoras na técnca de fabrcação. Uma das opções é a adção de ácdo látco com fnaldade de aumentar o rendmento (Furtado et al., 1980). A segunda aplcação, por sua vez, refere-se à otmzação dos parâmetros de corte, durante a fabrcação de válvulas de motores de combustão nterna. No planejamento do processo, as técncas de otmzação são adaptadas, possbltando trabalhar tanto com varáves qualtatvas quanto com varáves quanttatvas. Como respostas do processo, realzam-se medções de dureza superfcal. Após a execução de todos os expermentos, os métodos numércos possbltam obter a melhor condção de corte, que corresponde ao menor valor possível de dureza superfcal. 2. METODOLOGIA Superfíce de Resposta (SR) Um dos problemas mas comuns que um pesqusador pode enfrentar é a determnação da nfluênca de uma ou mas varáves sobre outra varável de nteresse. Por exemplo, no estudo do volume do espaço de trabalho de um robô manpulador é nteressante verfcar como este volume é afetado ao se varar o ângulo entre as juntas do robô, os dados dmensonas, quando se consdera a presença de pontos sngulares. Fgura 1 Representação de um sstema. Esse problema é um caso partcular da stuação geral mostrada esquematcamente na Fgura 1, em que certo número de fatores, F 1, F 2,..., F k, atuando sobre o sstema em estudo, produz as respostas R 1, R 2,..., R j. O sstema pode ser uma função desconhecda que se deseja determnar ou até mesmo uma função conhecda, porém de formulação analítca complexa. Os fatores (ou varáves de projeto), sto é, as varáves controladas durante os testes tanto podem ser qualtatvas (como a presença ou não de pontos sngulares, como no exemplo anteror) como quanttatvas (como os dados dmensonas do robô). Dependendo do problema, pode haver mas de uma resposta de nteresse. Eventualmente essas respostas também podem ser qualtatvas.

3 Exstem mutas áreas nas quas não se conhece a relação exata entre as respostas e as varáves de projeto, mas se deseja saber como é a relação entre elas. Neste caso é muto útl usar um modelo empírco aproprado da forma y=f(z 1, z 2,,z n ). Esta função f é geralmente um polnômo de prmera ou segunda ordem. Tal modelo empírco é chamado de superfíce de resposta. Quando o modelo polnomal é usado, os coefcentes do polnômo podem ser estmados usando o Método dos Mínmos Quadrados. É necessáro conhecer os valores das respostas para algumas combnações das varáves de projeto (ou fatores) para construr a superfíce de resposta (SR). Cada combnação das varáves de projeto pode ser vsta como um ponto no espaço de projeto n-dmensonal, onde n é o número total de varáves de projeto. Um arranjo partcular de pontos no espaço de projeto é conhecdo como um projeto expermental ou projeto de expermentos (DOE desgn of experments). O projeto expermental é chamado de planejamento fatoral. Para executar um planejamento fatoral é necessáro em prmero lugar especfcar os níves em que cada fator será estudado, sto é, os valores dos fatores (ou as versões, nos casos qualtatvos) que serão empregados. Um planejamento fatoral requer a execução de expermentos para todas as possíves combnações dos níves dos fatores. Em geral, se houver n 1 níves do fator 1, n 2 do fator 2,..., e n k do fator k, o planejamento será um fatoral n 1 x n 2 x...x n k de expermentos. Este é o número mínmo para se ter um planejamento fatoral completo. Pode-se desejar repetr ensaos para se ter uma estmatva do erro expermental e, nesse caso, o número total de expermentos será maor. Havendo k fatores, sto é, k varáves controladas pelo expermentador, o planejamento de dos níves há de exgr a realzação de 2x2x...x2 = 2 k ensaos dferentes, sendo chamado por sso de planejamento fatoral 2 k (Barros, 1995). No planejamento expermental com n varáves, o modelo empírco usado para aproxmar a relação entre os fatores e as respostas é um polnômo de grau um ou de grau superor. A expressão usada para calcular esse polnômo é dada por: Y = f (X) + e (1) sendo que f(x) = f(x 1,..., x n ) é um polnômo de grau um ou de grau superor. O vetor coluna Y contém as respostas observadas e o vetor coluna e contém os resíduos. O polnômo f(x) pode ser representado na forma matrcal: [ X][ b] f (X) = (2) sendo que o vetor coluna [b] contém os coefcentes desconhecdos e [X] é a matrz formada pelos valores observados no planejamento fatoral. Denotando por N o número total de pontos no espaço expermental, o processo para calcular os coefcentes [b] envolve a mnmzação da soma dos quadrados dos resíduos: N ( ) 2 mnsr = mn y f = 1 (3) Os resultados deste processo são as equações normas, que podem ser expressas na forma matrcal como:

4 T T [ X] [ X][ b] [ X] [ Y] = (4) Assm, os coefcentes podem ser calculados usando uma smples multplcação de matrzes: T 1 T { } [ X] [ Y] [ b] [ X] [ X] = (5) A Equação 5 é utlzada na determnação da superfíce que se aproxma dos pontos do planejamento no espaço do expermento, denomnada como Superfíce de Resposta (SR). A vantagem de usar a Equação 5 é o baxo custo computaconal necessáro para determnar os coefcentes da superfíce de resposta. É mportante notar que para se calcular os coefcentes é necessáro um número de pontos maor do que o número de termos no polnômo. A análse dos resíduos é fundamental na avalação da qualdade da superfíce ajustada (ou modelo). Um modelo que dexe resíduos sgnfcatvos é obvamente um modelo nadequado. Já o modelo deal não dexara nenhum resíduo, ou seja, todas as suas prevsões concdram com os resultados observados. Procedmentos de teste de sgnfcânca são útes para aferr a qualdade da aproxmação gerada a partr de um conjunto de dados. Tas testes são baseados na análse de varânca e requerem a obtenção de parâmetros estatístcos (Montgomery, 1984) Algortmos Genétcos A fundamentação dos Algortmos Genétcos é baseada na genétca natural. Desta forma, é comum o uso dos termos: ndvíduos de uma população, cromossomos, genes e alelos. Nos Algortmos Genétcos, a população de ndvíduos é um conjunto de pontos do domíno da função a ser maxmzada ou mnmzada. A quantdade de pontos depende do número de varáves de projeto do problema em questão. Algortmos genétcos são algortmos teratvos, em que a cada teração a população é modfcada, usando as melhores característcas dos elementos da geração anteror e submetendo-as aos três tpos báscos de operadores, para produzr melhores resultados (Goldberg, 1989). Para atngr estes objetvos são usados os seguntes processos: Reprodução: é um processo no qual cada cadea é copada levando em conta os valores da função de adaptação f. A probabldade ou aptdão de cada ndvíduo é um valor que representa o grau de adaptabldade deste, ou seja, o quão próxmo o ndvíduo está da solução do problema em relação aos ndvíduos da população. Esta probabldade é medda com auxílo da função objetvo e pode ser dada pela segunte expressão: f (X) p = c, sendo p =1 (6) fc (X) Este processo é denomnado seleção por roleta. Exstem outras formas, tas como torneo e eltsta. Para se calcular o valor da função de adaptação f c, deve-se prmero converter a seqüênca bnára (base 2) para a base 10, ou seja, deve-se decodfcar um cromossomo, conforme a expressão:

5 m 1 j x = b j 2 (7) j= 0 Em seguda, calcula-se o valor real da varável x, dentro da regão vável, através da relação: x u l l x x x x = + (8) m 2 1 Cruzamento: é um processo no qual a combnação em partes de cada um de dos cromossomos gera um novo descendente. Mutação: é a modfcação aleatóra ocasonal (de baxa probabldade) do valor de um alelo da cadea. De modo geral, suponha que se deseja otmzar uma função f qualquer de n varáves, f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ) (9) sujeta a x l < x < x u = 1, 2,..., n (10) Então cada seqüênca de n varáves é denomnada de cromossomo ou ndvíduo (Haupt & Haupt, 1998) e cada uma das n varáves é um gene. Cada gene é representado no sstema bnáro; os bts 0 e 1 são denomnados alelos. O comprmento de cada gene depende da precsão requerda para o problema e da ampltude do ntervalo onde ele está defndo. O domíno de defnção do gene x é o ntervalo (x l, x u ). Admtndo que a precsão do problema é de p casas decmas, então o ntervalo ( x l, x u ) deve ser dvddo em (x u - x l )10 p subntervalos guas. Portanto, o gene x deverá ter pelo menos m bts, pos: m 1 u l P m < (x x ) < (11) Em outras palavras, o comprmento do gene x é a menor potênca de 2 dentre aquelas em que 2 M supera (x u - x l )10 p. Assm, cada cromossomo tem um total de m 1 + m2 + L+ mn bts (alelos) e é representado por: Ck n n n n [ b b Lb1b 0 b b Lb1 b0 Lb b Lb1 b0 ] = m1 1 m1 2 m 2 1 m 2 2 m n 1 m n 2 (12) Em que b (que tem valor 0 ou 1) é o (m j)-ésmo alelo correspondente ao -ésmo gene.

6 O procedmento consste em crar, aleatoramente, uma população ncal de ndvíduos {C 1, C 2,..., C n }. Em seguda, todos os ndvíduos dessa população são modfcados, submetendo-os aos operadores genétcos; reprodução, cruzamento e mutação. Consderando estas defnções, segundo Saramago (2003), o processo de otmzação utlzando algortmos genétcos é representado pelo fluxograma da Fgura 2. Iníco Codfcação sup nf x x m = log 2 precsão Crar a população Decodfcação Avalar o custo nf x = x + decmal ( gene ) 2 sup x x m 2 1 nf Crtéro de parada satsfeto? Sm Fm Não Seleção Cruzamento Mutação Fgura 2 - Fluxograma básco de um algortmo genétco bnáro Planejamento de sstemas mstos contendo varáves qualtatvas e quanttatvas Os sstemas mstos podem ser modelados através da adção de uma varável ndcadora z e o respectvo coefcente γ, sendo seu valor estmado de modo análogo aos coefcentes de regressão. Se a varável possu dos níves (A e B), ao termo z é atrbuído 0 (zero) para o nível A e 1 (um) para o B. Quando exstem três níves (A, B e C), são atrbuídos -1 (um negatvo) para o nível A, 0 (zero) para o nível B e 1 (um) para o C. Neste trabalho, a análse estatístca da matrz de dados fo realzada através de um códgo computaconal de Regressão Múltpla desenvolvdo pelos autores utlzando o software Matlab.

7 A otmzação por meo dos algortmos genétcos utlza a sub-rotna GAOT do MATLAB (Grace, 1992). Esta realza os cálculos normalmente dentro desse ntervalo padrão. Porém, os valores obtdos são arredondados para números nteros, por meo de uma função nterna e só então são substtuídos no modelo para a estmatva da resposta. Esse procedmento, no caso da varável qualtatva possur dos níves, exge a nclusão de uma restrção, dada pela expressão: 0 < z < 1 (13) No entanto, quando a varável qualtatva possu 3 níves, a restrção ncluída consdera o fato de que o valor absoluto de z deve sempre ser menor ou gual a 1: z 1 (14) 3. APLICAÇÕES 3.1. Planejamento e otmzação na obtenção de quejo Mnas frescal com adção de lete reconsttuído O objetvo é a maxmzação do rendmento na produção do quejo Mnas frescal com adção de lete reconsttuído e a verfcação da nfluênca da adção de ácdo látco durante o processo. Os resultados obtdos, que serão otmzados utlzando algortmos genétcos, serão posterormente comparados com os encontrados por Bona et al. (2002) através de técncas seqüencas do programa otplex. Como foram controlados apenas três fatores (um qualtatvo e dos quanttatvos), Gacula (1993) sugeru um delneamento fatoral 2 2 com ponto central, para eventual teste da curvatura. Este fatoral fo repetdo duas vezes para acomodar a varável qualtatva (Tabela 1). Consderase a varável qualtatva relaconada à presença (z=1) ou ausênca de ácdo látco (z=0) e as varáves quanttatvas referem-se à porcentagem de lete reconsttuído e à quantdade de CaCl 2 presente no lete. No processo de obtenção de quejo com acdfcação dreta adconou-se 0,9 ml de ácdo látco 85% a 4,0 L de lete tpo C homogenezado (Furtado et al., 1980). Como agente coagulante fo utlzada a qumosna (3 ml) e a temperatura de coagulação fo mantda em 37 ± 1ºC. Todos os quejos foram produzdos conforme o fluxograma proposto por Saboya et al. (1998). Nesta aplcação, serão utlzados dados do trabalho apresentado por Bona et al. (2002), conforme mostrado na Tabela 1. Por meo da análse dos resultados expermentas de cada tratamento (Tabela 1), Bona et al. (2002) elaboraram um modelo de regressão lnear para o rendmento através do software STATISTICA (1998). Neste trabalho, as superfíces de resposta obtdas, utlzando Regressão Polnomal Múltpla (Montgomery, 1984), são dadas pelas seguntes expressões: rendmento = 64,946 1,991x 1 + 0,411x 2 2,342z (15) rendmento = 65,071 1,9912 x 1 +0,4112 x 2 2,3420 z -0,1562 x 1 2-0,1562 x ,1813 x 1 x 2 (16)

8 A superfíce de resposta lnear obtda neste estudo fo concdente com a apresentada por Bona et al. (2002) e é dada de acordo com a Equação 15. O modelo encontrado apresenta razoável capacdade predtva (R 2 = 0,784) e baxa varabldade (C.V. = 2,3%). Elaborou-se anda um modelo de regressão quadrátco para o rendmento. A superfíce de resposta é representada pela Equação 16. Este modelo apresenta capacdade predtva e varabldade um pouco maores que as correspondentes à superfíce de resposta lnear (R 2 = 0,793 e C.V. = 2,8%). Tabela 1 Delneamento expermental com os níves de varação dos fatores, segundo Bona et al. (2002) Varáves Varáves Rendmento Número do codfcadas Orgnas expermental expermento Presença Lete CaCl 2 (%) z x 1 x 2 de ácdo Reconsttuído (%) (g/100 L de lete) ausente , ausente , ausente , ausente , ausente , presente , presente , presente , presente , presente ,84 z= (0) ácdo látco ausente e (1) ácdo látco presente; x 1 = (lete reconsttuído 25)/15; x 2 = (C a Cl 2 20)/10 Para cada aplcação do algortmo genétco, fo utlzada uma população de 80 ndvíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 terações do método, escolhendo-se então o melhor valor. Após 1759 terações realzadas ao longo de 18,24 s, encontrou-se como ponto ótmo da superfíce de resposta lnear condções dêntcas ao 3º expermento (rendmento = 67,36 %). Bona et al. (2002), através do programa otplex, obtveram o mesmo resultado. O ponto ótmo obtdo para uma superfíce de reposta quadrátca, após 1975 terações e 18,21 s, também equvale às condções do tercero expermento, mas, neste caso, o rendmento prevsto é um pouco nferor ao apresentado pelo modelo lnear (rendmento = 66,98 %). Através dos modelos obtdos é possível construr as superfíces de resposta lnear e quadrátca para o rendmento com ou sem adção de ácdo látco (Fguras 3 e 4, respectvamente).

9 Fgura 3 Superfíce de Resposta Lnear para o rendmento na produção de quejo mnas frescal com ou sem adção de ácdo látco. Fgura 4 Superfíce de Resposta Quadrátca para o rendmento na produção de quejo mnas frescal com ou sem adção de ácdo látco. As Fguras 3 e 4 confrmam os resultados das otmzações e fca evdente que o processo com melhor rendmento é aquele em que ácdo látco está ausente. Essa conclusão, porém, não deve ser generalzada para a produção nas condções onde não há adção de lete reconsttuído (Furtado et al., 1980).

10 3.2. Planejamento e otmzação dos parâmetros de corte durante a fabrcação de válvulas O objetvo é obter a melhor condção de corte durante a fabrcação de válvulas de motores de combustão nterna, que corresponde ao menor valor possível de dureza superfcal. Na otmzação dos parâmetros de corte, são controlados quatro fatores (dos qualtatvos e dos quanttatvos), cujos níves de parâmetros são mostrados na Tabela 2. Observe que as varáves quanttatvas são: x 1 que representa a velocdade de corte Vc (m/mn) e x 2 que está relaconada com o avanço lnear f (m/mn). As varáves qualtatvas são dadas por: x 3 que permte a escolha entre dos tpos de óleo de corte a ser usado na usnagem e x 4 representa a escolha entre três tpos de nserto para a ferramenta de corte. Para a obtenção de dados que permtssem a aproxmação do fenômeno por uma superfíce de resposta fo utlzado um planejamento fatoral completo, resultando em 54 ensaos (27 ensaos (3 3 ) para fludo de corte da Iorga + 27 ensaos (3 3 ) para fludo de corte da Blaser), conforme apresentado na Tabela 3. Superfíces de resposta foram obtdas utlzando regressão polnomal múltpla (Montgomery, 1984). Para a solução do problema de otmzação, que vsa mnmzação da dureza, fo utlzado o método de algortmo genétco. Em cada aplcação do método consderou-se uma população de 80 ndvíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 terações do método, escolhendo-se o melhor valor. Tabela 2 Valores e Níves dos Parâmetros.. Nível dos Parâmetros Óleo de Corte (x 3 ) -1 - Inserto (x 4 ) Saar Hartmetal V c (x 1 ) f (x 2 ) 40,0 2,0 0 Blaser Swssluble Boehlert 50,0 3,0 1 Iorga Hetran 60,0 4,0 Tabela 3 Projeto expermental: níves de varação dos fatores e respostas para cada teste. Planejamento Fatoral Completo Teste V Óleo de Corte Inserto c f Dureza [HB] , , , , , , ,9

11 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7

12 Por meo da análse dos resultados expermentas de cada tratamento (Tabela 3), dos modelos de regressão para a dureza foram elaborados: um lnear e um quadrátco. As superfíces de resposta encontradas, utlzando regressão polnomal múltpla (Montgomery, 1984), equvalem às seguntes expressões: Dureza = x x x x 4 (17) Dureza = x x x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 2 x x 2 x x 3 x 4 (18) A superfíce de resposta lnear encontrada neste estudo é dada de acordo com a Equação 17. O modelo apresenta baxa varabldade (C.V. = 2,55%). A superfíce de resposta quadrátca obtda para a dureza é representada pela Equação 18. Esta superfíce possu varabldade um pouco maor que a correspondente à superfíce de resposta lnear (C.V. = 2,83%). Em cada aplcação do método de algortmos genétcos, para mnmzação da dureza, fo utlzada uma população de 80 ndvíduos e 100 gerações, sendo executadas 40 terações do método, escolhendo-se o menor valor. Encontrou-se como ponto ótmo da superfíce de resposta lnear condções dêntcas ao 28º expermento com uma dureza mínma menor que a expermental (dureza = 353,4175). O ponto ótmo obtdo para a superfíce de reposta quadrátca, também equvale às condções do 28 expermento, mas, neste caso, a dureza prevsta é anda menor que as obtdas no teste e no modelo lnear (dureza = 338,6003). Óleo de corte Iorga Condções do 28º expermento : Tpo de nserto: Saar V c : 40 m/mn f: 2 m/ mn Dureza (HB): 353,7 Através dos modelos obtdos é possível construr as superfíces de resposta lnear e quadrátca para análse da presença do óleo de corte e escolha do nserto (Fguras 5 e 6, respectvamente).

13 Fgura 5 Análse da presença do óleo de corte e escolha do nserto Modelo lnear. Fgura 6 Análse da presença do óleo de corte e escolha do nserto Modelo quadrátco. As Fguras 5 e 6 confrmam os resultados das otmzações e mostram que o processo em que as válvulas fabrcadas terão menor dureza superfcal é aquele em que o óleo de corte Iorga está presente e no qual o nserto escolhdo é o Saar.

14 4. CONCLUSÕES Na área de desenvolvmento de sstemas, durante a otmzação de projetos, é comum encontrar-se sstemas mstos, ou seja, que dependem de varáves qualtatvas e quanttatvas. O trabalho propôs uma metodologa alternatva, baseada em técnca de superfíce de resposta usada em conjunto com métodos de otmzação, para o planejamento e otmzação destes sstemas. As superfíces de resposta apresentadas neste estudo foram aproxmadas por funções polnomas de 1º e 2º graus. Estmaram-se os coefcentes desses polnômos usando o Método dos Quadrados Mínmos. Por meo da adaptação do algortmo de otmzação fo possível a smulação e otmzação de sstemas mstos, consderando a nclusão de restrções. A metodologa desenvolvda fo aplcada em dos estudos específcos. O prmero refere-se à maxmzação do rendmento na produção do quejo Mnas frescal com adção de lete reconsttuído e na verfcação da nfluênca da adção de ácdo látco durante o processo. Neste expermento, que envolva um fator qualtatvo e dos quanttatvos, todos com 2 níves, construu-se um modelo a partr de um planejamento fatoral (2 2 ) mas o ponto central, com a smples nclusão da varável qualtatva. Foram desenvolvdos dos modelos, sendo um lnear e outro quadrátco. O modelo lnear se mostrou um pouco mas efcente que o quadrátco. Com a construção das superfíces de resposta, verfcou-se que o processo com melhor rendmento é aquele em que ácdo látco está ausente. Comparou-se o modelo lnear obtdo com aquele elaborado por Bona et al. (2002),e observou-se que os resultados são dêntcos. Já o segundo estudo consdera o caso da otmzação dos parâmetros de corte, durante a fabrcação de válvulas de motores de combustão nterna, cujo objetvo é mnmzar a dureza superfcal. Ao planejar expermentos específcos para dos fatores qualtatvos (um com 2 níves e o outro com 3 níves) e dos quanttatvos (ambos com 3 níves) fo construído um modelo msto a partr de um delneamento fatoral completo (2 3 ). Repetu-se o fatoral a fm de acomodar a varável qualtatva com 2 níves, resultando em 54 ensaos. Foram desenvolvdos dos modelos: um lnear e um quadrátco. Apesar dos dos terem encontrado o ponto ótmo sobre as mesmas condções, o modelo quadrátco se mostrou mas efcente que o lnear. Vale ressaltar, anda, que os dos modelos apresentaram resultados melhores que o encontrado no teste com essas condções. Construndo-se as superfíces de resposta é possível verfcar que o processo em que as válvulas fabrcadas terão menor dureza superfcal é aquele em que o óleo de corte Iorga está presente e no qual o nserto escolhdo é o Saar. Os resultados, no caso das duas aplcações, são consderados satsfatóros e mostraram que a modelagem proposta é uma ferramenta efcente para a otmzação de sstemas com város níves de complexdade. 5. AGRADECIMENTOS O prmero autor agradece o CNPq por conceder suporte fnancero através da bolsa de estudos n o C-028/2008.

15 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Barros Neto, B., Scarmno, I. S. and Bruns, R. E., Planejamento e Otmzação de Expermentos, Edtora Uncamp, Campnas, SP, 278p.,1995. Barros Neto, B. et al., Como fazer expermentos: pesqusa e desenvolvmento na cênca e na ndústra, Edtora Uncamp, Campnas, SP, Bona, E. et al., Aplcatvo para otmzação empregando o método smplex seqüencal, Acta Scentarum, Marngá, PR, v.22, n.5, p , Bona, E., Borsato, D., da Slva, R. S. S. F., Benetasso, D. L., Souza, D. A., Planejamento e otmzação de sstemas mstos controlados por varáves qualtatvas e quanttatvas, Acta Scentarum, Marngá, PR, v.24, n.6, p , Box, G. E. P., Draper, N. R, Emprcal Model-Buldng and response surfaces, John Wley & Sons, New York, Cao, Y. J. et al., An evolutonary programmng approach to mxed-varable optmzaton problems, Appled Mathematcal Modellng, Orlando, v.24, p , Draper, N. R., Smth, H, Appled Regresson Analyss. John Wley & Sons, Inc., New York, Furtado, M. M. et al., Estudo conclusvo a respeto da fabrcação do quejo mnas frescal por dferentes processos, Revsta do Insttuto de Latcínos Cânddo Tostes, Juz de Fora, MG, v.35, n.208, p.13-16, Gacula, Jr. M. C., Desgn and analyss of sensory optmzaton, Food & Nutrton Press Inc., Connectcut, Goldberg, D. E., Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Machne Learnng. Readng, MA: Addson-Wesley, Grace, A., Optmzaton Toolbox- For use wth Matlab, The Math Works Inc., Natck, Haupt, R. L., Haupt, S. E., Practcal Genetc Algorthms, Wley-Interscence Publcaton, New York, Montgomery, D.C., Desgn and analyss of experments, John Wley & Sons, New York, 2 ed., 537p., Saboya, L. V. et al., Efetos físco-químcos da adção de lete reconsttuído na fabrcação de quejo mnas frescal, Cenc. Tecnol. Alment., Campnas, SP, v.18, n.4, p , Saramago, S. F. P., Métodos de otmzação Randômca: Algortmos Genétcos e Smulated Annelang, São Carlos: SBMAC, v. 6, 35 p., Statstca, Statstca for Wndows, StatSoft Inc., Tulsa, 1998.

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