SEQÜENCIAMENTO DE TAREFAS COM MÁQUINAS PARALELAS, PERMITINDO ATRASOS E COM TEMPOS DE PREPARAÇÃO DE MÁQUINA DEPENDENTES DA SEQÜÊNCIA.

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1 A pesqusa Operaconal e os Recursos Renováves a 7 de novembro de, Natal-RN SEQÜENCIAMENTO DE TAREFAS COM MÁQUINAS PARALELAS, PERMITINDO ATRASOS E COM TEMPOS DE PREPARAÇÃO DE MÁQUINA DEPENDENTES DA SEQÜÊNCIA. Martín Gómez Ravett * Unversdade Federal de Mnas Geras (UFMG). Belo Horzonte, MG. martn@dcc.ufmg.br Geraldo Robson Mateus * Unversdade Federal de Mnas Geras (UFMG). Abstract The am of ths paper s to report the soluton of a schedulng problem wth parallel machnes and sequence-dependent setups, usng mxed nteger programmng. Ths problem s based n a real case and because of that ts soluton s constraned by the computatonal tme. Ths s a real applcaton and MIP s used as soluton method. To accelerate the optmal convergence, a cut s appled n the set of feasble solutons. A group of heurstcs s proposed to obtan upper bounds. Interestng mprovements are obtaned. Delays are allowed but a penalty coeffcent s appled for each one. For the computatonal tests, two and four parallel machnes and a total of ffteen jobs are consdered. Keywords: Schedulng problems, combnatoral optmzaton, nteger programmng, producton plannng. * O presente trabalho fo realzado com o apoo do Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco CNPq Brasl.

2 Introdução. Os problemas de seqüencamento encontram-se ntmamente lgados ao planejamento, programação e controle da produção (PPCP) nas ndústras. Utlzando uma vsão sstêmca das empresas manufatureras [], podemos caracterzar o departamento de PPCP como o encarregado da utlzação efcente dos recursos escassos na produção de bens e servços []. No que respeta à efcênca produtva, um bom seqüencamento é um fator chave, já que pode reduzr estoques, melhorar as datas de entrega e possbltar a redução dos gargalhos do sstema []. Especfcamente no contexto ndustral, os problemas de seqüencamento estão lgados a uma lnha de PPCP conhecda como MRP (Manufacturng Resource Plannng). Nesse sstema de PPCP a programação é dvdda em função do horzonte de planejamento. As decsões assocadas ao longo prazo são decsões de caráter estratégco, portanto tomadas pela alta admnstração. No horzonte médo encontramos o denomnado nível tátco; nesse caso, o objetvo será planejar a produção de forma tal a mnmzar os custos de fabrcação. O problema de seqüencamento se encontra na programação a curto prazo. Por curto prazo entendemos um da, uma semana ou, nas melhores condções, podendo chegar a um mês. É usual que nos problemas de seqüencamento já esteja defnda a quantdade dos produtos que serão fabrcados, assm como as datas de entrega. Dessa forma, o prncpal objetvo nesta etapa é defnr a seqüênca de fabrcação de cada produto de forma a atender suas demandas e datas de entrega. Devemos resgatar o fato de que exstem numerosos trabalhos sobre o tema com dferentes crtéros, entre eles podemos encontrar a mnmzação de custos assocados, número de trabalhos atrasados, atraso total, ou tempo de latênca. Como podemos perceber, neste tpo de problema, a generalzação de um resultado ou algortmo é muto dfícl e complcada, já que as restrções dependem de condções nerentes à empresa e de polítcas nternas assocadas a este setor. Até mesmo as condções da empresa ou da demanda podem varar de um período para outro. Neste trabalho estudamos um problema real de uma empresa stuada na cdade de Belo Horzonte, dedcada à fabrcação de produtos refratáros. Abordaremos o problema da programação da produção de uma de suas plantas (LD), dedcada à conformação de tjolos refratáros. Nossa aplcação consste em obter a programação das sete prensas da planta, de forma de mnmzar o tempo de fabrcação, atendendo as datas de entrega. Para sto utlzaremos a programação ntera e msta. Devemos ter presente que, nas empresas, a programação da produção é realzada em forma contnua, devdo à estrutura dnâmca do mercado e aos demas efetos esporádcos que podem ocorrer no da a da da fábrca. Por este motvo o tempo de solução é um parâmetro crítco a ser analsado. Smplfcações e consderações realzadas. Dentro das sete máqunas consderadas, encontramos um conjunto de máqunas que podem ser consderadas dêntcas, sem perder precsão. As prensas restantes são consderadas com característcas dferentes entre s. Para a realzação deste trabalho, consderamos que já é conhecda a alocação de cada uma das tarefas, ou seja, sabemos com antecpação em qual máquna ou conjunto de máqunas será realzada uma tarefa qualquer. Esta smplfcação reduz sgnfcatvamente o espaço de soluções váves, e basea-se no fato de que cada produto possu uma rota predefnda pelo departamento de desenvolvmento de produtos. Na realdade, a maora dos produtos possu rotas alternatvas de produção que podem ser utlzadas para melhorar a efcênca da programação assm como para resolver problemas de capacdade das máqunas. Com esta mportante smplfcação o problema fca dvddo em quatro subproblemas, por um lado devemos programar cada uma das três máqunas consderadas com característcas dferentes e como quarto problema, temos a programação do conjunto das quatro máqunas consderadas dêntcas. Este últmo problema é o abordado neste trabalho. 7

3 Dentro dos problemas de seqüencamento, aqueles que consderam o tempo de preparação das máqunas dependente da seqüênca são consderados os mas dfíces. Basta menconar que, neste cenáro, com apenas uma máquna, o problema é equvalente ao problema do caxero vajante [], ou seja, pertence à classe NP - Não Polnomal. Se a este problema ncorporamos máqunas em paralelo, e mas um conjunto de restrções relatvas ao nosso sstema de fabrcação, como resultado obtemos um problema anda mas desafante. Defnção do problema. Este trabalho concentra-se no problema de seqüencamento consderando tempos de preparação dependentes da seqüênca em máqunas paralelas e dêntcas. Os objetvos dessa programação são, por um lado, atender as datas de entrega para cada produto e, por outro, mnmzar o tempo necessáro para completar os mesmos, lembrando sempre da necessdade de obter tempos de solução que sejam aplcáves no da a da da fábrca. Este problema de seqüencamento é tratado com a técnca da programação ntera e msta. Devdo ao tamanho do conjunto de soluções váves, ncorporamos um corte de forma a obter uma convergênca mas rápda à solução ótma. Uma mportante decsão adotada na solução do problema é permtr que as tarefas possam ser completadas com atraso, sendo esse atraso penalzado, segundo a mportânca. Com sto, no caso de não poder cumprr com as datas de entrega, o modelo permte um atraso naquelas tarefas menos crítcas para a empresa. Formulação do problema. Consderamos um número N de tarefas ou produtos que devem ser processados em uma das M máqunas exstentes. Uma vez que uma máquna começa a produzr um determnado produto nenhuma nterrupção é permtda, ou seja, para poder começar a processar outro produto o prmero deve ser concluído. Uma máquna pode processar um produto somente depos de ter sdo preparada adequadamente e o tempo de preparação gasto por essa máquna depende não só do produto a ser produzdo, mas também do produto que estava sendo produzdo pela máquna, ou seja, o tempo de preparação de máqunas depende da seqüênca em que as tarefas são executadas. Para formular o problema, podemos defnr a segunte notação. Varáves de Entrada: N Número total de tarefas ou produtos a serem fabrcados. Indexação das tarefas ou produtos a serem processados. =,..., N. M Número de máqunas paralelas. m Indexação das máqunas. m =,..., M. p de processamento da tarefa em qualquer uma das M máqunas. s de preparação de máqunas necessáro para passar da produção do produto para o processamento do produto. D Data de entrega do produto. A tarefa deve ser produzda até, no máxmo, esta data. ρ Atraso ou folga do produto. v Coefcente de penaldade por tempo de atraso da tarefa. d desde a data de níco do processamento da tarefa até a data em que a máquna encontra-se em condções de ncar o processamento do produto. Z necessáro para a conclusão de todas as tarefas, também conhecdo com makespan. 7

4 Varáves de Decsão: α m β m α m =, se o produto é processado na máquna m; α m =, em caso contráro. β m =, se o produto precede a tarefa na máquna m. β m =, em caso contráro. Quando um produto precede um produto, a data de níco do processamento da tarefa deve ser posteror à data de térmno do processamento da tarefa mas o tempo necessáro para preparar a máquna para receber o produto. As relações expostas acma podem ser expressas por, ( ) ( α m ). M + ( α ' m ). M + ( β ' m ). M + t' t + d', m com esta restrção permtmos que a restrção t ' t + d' seja válda, somente quando as tarefas e são executadas na máquna m e o produto precede ao. Dado que se as duas tarefas são executadas na máquna m, e não precede a, necessaramente precederá a tarefa, e para contemplar esta opção precsamos uma segunda restrção, α ). M + ( α ). M + β. M + t ( ) ( m ' m ' m ' ', t + d m onde d é a soma do tempo de processamento do produto mas o tempo necessáro para a preparação da máquna para a execução do produto, ou seja, d' = p + s'. Estas relações de precedênca () e () foram propostas por Acero e Delgado num problema de lnha flexível de produção [], sendo baseadas no modelo proposto por Manne []. A solução encontrada deve respetar as datas de entrega, para cada um dos produtos. Nesta restrção ncorporamos uma varável de folga, de forma a permtr um atraso em caso necessáro. Esta decsão deve-se a que no da a da das empresas é usual ter que ldar com programas de produção nváves, ou seja, nos quas não podemos atender todas as datas prevstas. Neste cenáro, parece nteressante ter a possbldade de ponderar os dferentes produtos tentando encontrar uma solução que permta respetar as datas de entregas de produtos crítcos, atrasando aqueles menos mportantes. ( ) t + p D + ρ Também é necessáro um conjunto de restrções que permtam obter o tempo de conclusão de todos os produtos, o makespan Z. Mesmo não atendendo as datas de entrega, devemos mnmzar o tempo de execução das tarefas, para sto, temos a segunte restrção, ( ) Z t + p com a restrção () estamos garantndo que Z assumrá o valor da data de fnalzação da últma tarefa agendada. Resulta também necessáro ncorporar uma restrção que ndque que uma tarefa ou produto somente pode ser processado por uma máquna. Para sto, colocamos, () M m= α m = 77

5 com () mpedmos que as tarefas sejam alocadas em mas de uma máquna. Também graças a esta restrção podemos prescndr do conjunto de restrções envolvendo as varáves β m, porque as relações () e () precsam não só da varável β m para confrmar a restrção como também das varáves α m e α m. Ao não colocar as restrções envolvendo β, obteremos uma solução com mutas varáves β m assumndo valores, sem que sto altere a solução do problema, mas evtando um bom número de restrções que poderam atrasar o tempo de solução. O objetvo deste modelo será a mnmzação do tempo necessáro para completar todas as tarefas, assm como mnmzar o atraso dos produtos. Lembramos que o atraso das tarefas está ponderado por valores, v, que também são objetos de análse no trabalho. Com sto, a função objetvo utlzada, pode ser escrta como, N ( ) Mn Z + v. ρ = Exstem algumas stuações onde o tempo de preparação de máquna é muto valoso e/ou custoso, em tas casos, estes tempos podem ser ncorporados à função objetvo ponderados pelo custo correspondente. Outra análse a ser feta, tem relação com os valores v ; quando colocados todos guas a (um) o modelo procura uma solução mnmzando o tempo total de atraso, enquanto que se outorgamos dferentes valores aos v, o modelo procura atrasar, caso seja necessáro, as tarefas menos crítcas para a empresa. O espaço de soluções váves para este problema é muto grande, o que lmta o tamanho do problema que pode ser resolvdo utlzando este modelo, assm como também afeta o tempo de solução necessáro. Para dmnur esses efetos, ncorporamos o segunte corte, ( c) α m α N N = = m m Esta restrção obrga a que a máquna m tenha um maor número de tarefas alocadas que a máquna (m-). Desde o ponto de vsta prátco, esse corte resulta muto nteressante porque, neste caso partcular, a empresa possu uma prensa com melhores vas de acesso. Lembre-se que este tpo de produto é muto pesado e precsa de uma nfra-estrutura de trlho e vagões para a movmentação dentro da planta. Em casos mas geras também pode ser nteressante executar um maor número de tarefas numa máquna, seja para consegur um melhor funconamento da máquna ou para executar trabalhos de manutenção. Mesmo não sendo necessáro, o ganho em tempo de solução é muto sgnfcatvo e, como podemos perceber no caso de máqunas dêntcas, este corte não elmna o ótmo do conjunto de soluções váves, já que qualquer solução encontrada sem o mesmo, pode ser reacomodada para respetar as restrções mpostas pelo corte. Heurístcas utlzadas As heurístcas foram utlzadas com o objetvo de obter um bom lmte superor e possbltar cortar parte da árvore de branch and bound utlzada pelo solver CPLEX, ao resolver os problemas. A segur descrevemos os algortmos, podendo acompanhar seu resultado através de um pequeno exemplo. As duas prmeras heurístcas são smlares, se uma prmera etapa. São ordenadas as tarefas que serão produzdas utlzando o peso do produto como crtéro prncpal e a data de entrega como crtéro secundáro, ou seja, utlzado em caso de empate. Uma vez ordenadas as tarefas, estas são alocadas nas dferentes máqunas, e é aqu onde as heurístcas dferem. 7

6 79 O últmo método utlza uma ordenação dferente para as tarefas que serão executadas, com o mesmo processo de alocação utlzado na prmera heurístca. Prmera Heurístca. Tendo ordenado prevamente as tarefas, sua alocação será para a prmera máquna que fque dsponível para começar seu processamento. Neste cálculo levamos em consderação o tempo de preparação de máquna necessáro para ncar o processamento da próxma tarefa. Segunda Heurístca Neste segundo método, a alocação das tarefas se realza levando em consderação uncamente o tempo de preparação de máquna, ou seja, a déa é aprovetar os menores tempos não produtvos. Um cudado especal deve ser levado em consderação para a mplementação desta heurístca: devemos lmtar o número de tarefas que possam ser processadas nas máqunas. Isto porque pode ocorrer que, consderando este método de alocação, é possível encontrar uma solução onde todas as tarefas estejam alocadas numa únca máquna. O lmte utlzado fo calculado como ( / )*, N M, ou seja, o prmero ntero superor ao quocente entre o número de tarefas e o número de máqunas amplado em %. Evdentemente este número afeta a solução encontrada e pode ser modfcado arbtraramente em função do problema específco. Tercera Heurístca Esta heurístca, muto smlar à prmera, dferenca-se no vetor das tarefas ordenadas. Neste caso ordenamos prorzando a data de entrega mas próxma e em caso de empate escolhemos as tarefas de maor peso. Uma vez ordenados os produtos, utlzamos o mesmo crtéro de alocação que o descrto na prmera heurístca. Exemplos Dentre os problemas resolvdos na batera de testes realzada, mostraremos o exemplo -, oto tarefas em quatro máqunas. Matrz de tempos de preparação, vetor de tempos de produção, vetor de datas de entrega e o vetor dos v, respectvamente, = S j = 9 p = D = v Ordenando os produtos segundo seu peso e utlzando a data de entrega em caso de empate, obtemos; ( ) 7

7 Podemos perceber que as tarefas e são ordenadas na frente por ter peso maor, ao mesmo tempo em que a tarefa é colocada em prmero lugar por ter uma data de entrega menor. Ate aqu ambas heurístcas funconam da mesma forma, mas vão se dferencar na hora de alocar as tarefas nas máqunas correspondentes. Prmera heurístca: M: > > M: M: 7 > M: > Makespan: No de undades de tempo atrasadas: Atraso ponderado: Lmte superor: + = 9 Como pode-se observar, as prmeras quatro tarefas são alocadas uma em cada máquna. Para alocar a qunta tarefa, neste exemplo a número, devemos calcular qual é a prmera máquna que fca dsponível é pronta para começar a produção da mesma, M: tempo[] + prep[ - ] = + = M: tempo[] + prep[ - ] = 9 + = M: tempo[7] + prep[7 - ] = + = M: tempo[] + prep[ - ] = + 7 = Segunda heurístca: M: > > M: > M: 7 M: > Makespan: No de undades de tempo atrasadas: Atraso ponderado: Lmte superor: + = 9 Da mesma forma que no caso anteror as quatro prmeras tarefas são alocadas uma em cada máquna. Para alocar a próxma tarefa devemos comparar os tempos de preparação de máqunas exstentes. Este método tenta aprovetar os menores tempos de preparação de máqunas, M: prep[ - ] = M: prep[ - ] = M: prep[7 - ] = M: prep[ - ] = 7 desta forma a tarefa será alocada na máquna M. Utlzando a mesma metodologa obtemos a seqüênca já apresentada. Tercera Heurístca : Como já fo menconado, está heurístca dfere da prmera somente na forma de ordenação dos trabalhos. Neste caso prorzamos a data de entrega sobre o peso dos produtos.

8 ( 7 ) Como podemos observar, a tarefa será a prmera tarefa a ser processada devdo a que possu a menor data de entrega. Desta forma a seqüênca obtda será, M: > > M: M: 7 > M: > Makespan: Número de trabalhos atrasados: Atraso ponderado: Lmte superor: Concluídas as heurístcas, seleconamos o menor lmte superor encontrado tendo em consderação os atrasos. Para os efetos deste exemplo o melhor lmte superor encontrado é. Resultados Computaconas. Para avalar este modelo fo feta uma sere de testes computaconas. Os testes foram realzados em um computador Sun Blade que possu um processador UltraSPARC de MHz e Gbyte de memóra RAM. O sstema operaconal é o Solars.., utlzando o solver CPLEX 7.. Podemos dvdr os testes em duas etapas. Incalmente foram comparados os modelos sem e com o corte utlzando ponderações dferentes para os atrasos, ou seja, com dferentes valores de v. Numa segunda etapa, fo analsada a mportânca destes valores de ponderação (v ), no tempo de resolução dos dferentes problemas, sempre para o caso onde aplcamos o corte. Para realzar os testes foram gerados dferentes problemas com valores aleatóros tanto no tempo de preparação de máqunas quanto no tempo de processamento de cada uma das tarefas. Os problemas foram resolvdos consderando a utlzação de duas máqunas e quatro máqunas em paralelo. As datas de entrega foram especalmente escolhdas de forma de obter soluções sem a necessdade de atrasos e obrgando, em alguns casos, o modelo a seleconar as tarefas que serão atrasadas. Prmera batera de testes Como já fo menconado, o objetvo desta batera de teste é a análse das vantagens obtdas ao utlzar o corte no modelo. Para cada resultado serão computados o tempo de C.P.U. gasto, o número de terações realzadas pelo método smplex, o valor da função objetvo, o valor do tempo de conclusão de todas as tarefas (makespan), o número de trabalhos com atraso e a somatóra do tempo de atraso para todos os produtos. Em todos os testes fo mposto um lmte de tempo de segundos ( hs.) para a resolução. Esta lmtação surge da necessdade que a empresa tem de re-programar as tarefas em função das alterações ocorrdas no setor comercal. No caso especal desta empresa, acredtamos que horas é um tempo razoável para obter uma boa solução. Escolhemos apresentar os resultados dferencando os casos onde trabalhamos com duas e quatro máqunas. Esta decsão deve-se a que o conjunto de soluções váves para este tpo de

9 problema é muto dependente do número de máqunas, e quanto maor o número de máqunas maor é o efeto postvo do corte. Resultados para duas máqunas A tabela abaxo apresenta os resultados obtdos para um conjunto de problemas, consderando que temos apenas duas máqunas dêntcas em paralelo. Tabela. Sem o Corte total de atrasos Com o Corte No de No trab Fun. prod. CPU Iter. Fun Obj. mkn c / atraso CPU Iter. Obj. mkn,, No de trab. com atraso, 9, 7, 7 7 7,7 7 7, 9, 7 9, , 77 7, , * 7 7 *,E+7 7 7, ** 9,E+7 97 * Solução, obtda depos de que o tempo de resolução superou os segundos. ** Solução nterrompda por lmtação de memóra. No de prod. Como podemos observar na tabela acma, com a utlzação do corte o tempo de resolução dos problemas dmnu notavelmente sem sacrfcar um bom resultado. Em todas as soluções o ótmo é atngdo. Resulta nteressante observar que para o caso de tarefas, em ambos casos o tempo de horas nterrompeu a resolução, mas as funções objetvo apresentam uma dferença de %, ndcando que a utlzação do corte apresenta uma melhor convergênca ao ótmo. Resultados para quatro máqunas No caso em que consderamos a utlzação de quatro máqunas, observamos que o efeto do corte se fortalece, provocando uma dmnução percentual maor do tempo de resolução dos problemas e, como acontece no caso anteror, anda atnge o ótmo. Tabela. Sem o Corte No trab c / atraso total de atrasos Com o Corte No de trab. com atraso Função Função CPU Iter. Obj Mkn CPU Iter. Obj Mkn,,7 7,7 77, 9 7, 77 7,9.7,9 9 9 * 777 9, 9 * 9, , * 7 *,E , ** * E+7,7 ** * * Solução, obtda depos de que o tempo de resolução superou os segundos. ** Solução nterrompda por lmtação de memóra. total de atrasos total de atrasos

10 Assm, resulta evdente o ganho obtdo com a aplcação do corte, prncpalmente a partr dos problemas com 9 ou mas tarefas. Também resulta nteressante observar o problema com produtos. Neste caso, ambas as soluções conseguem programas, cumprndo as datas de entrega, mas a solução obtda com a aplcação do corte possu um makespan menor, ou seja, são completadas todas as tarefas em um tempo menor. Isto permte observar que a segunda opção, novamente, apresenta uma melhor convergênca ao ótmo, o que pode ser de muta utldade numa aplcação como esta, na qual o tempo é um fator crítco e provavelmente teremos que reduzr o tempo do processo de resolução. Para problemas maores, acma de tarefas em máqunas, a resolução começou a apresentar problemas de memóra e resultados pouco nteressantes no lmte de tempo prevsto. Segunda batera de testes O objetvo deste conjunto de testes é a análse da manera em que os valores v, ncorporados à função objetvo, afetam a solução do problema. Para consegur sso, foram avalados os mesmos problemas utlzando um modelo com a aplcação do corte e com todos os v guas a (um). A nova função objetvo fca, Z + N = ao trabalhar com uma função objetvo como essa, o modelo tenta mnmzar a somatóra do tempo total atrasado. Na tabela, se comparam alguns dos resultados obtdos para os modelos com a aplcação do corte, com os v dferentes e com os v guas a um. Tabela. v = No trab c / atraso total de atrasos ρ v dferentes No de trab. com atraso Prod/ Função Função Maq CPU Iter. Obj Mkn CPU Iter. Obj Mkn,7,,,, 9, 9 7,9 7 7, ,7 7,9 7,7, *,E * E+7 * Solução, obtda depos de que o tempo de resolução superou os segundos. Esses testes, a dferença do que acontece no caso anteror, não apresentam uma relação ou vantagem muto explícta para qualquer um dos modelos. Alguns dos problemas resolvdos apresentam uma nformação bastante nteressante. No caso -. Ambas soluções conseguem chegar ao resultado ótmo rapdamente, mas à dferença de todos os outros casos nos quas o ótmo fo atngdo, as soluções dferem. Estas podem fcar mas claras através de um dagrama de Gantt. total de atrasos Dados para o problema -. Matrz de tempos de preparação, vetor de tempos de produção, vetor de datas de entrega e o vetor dos v, respectvamente,

11 S j = 7 p = 7 7 D = 9 v = P P P P P Fg. Dagrama de Gantt, para o caso - com os v = para todo. P P P P P Fg. Dagrama de Gantt, para o caso - com os v aleatóros. Nos gráfcos das soluções, podemos observar como ambas as soluções são váves para os dos modelos, mas, utlzando a mesma ponderação para todos os produtos, o makespan obtdo é de melhor qualdade, fg., já que todos os produtos fcam prontos em vnte () undades de tempo em lugar das vnte e uma () gastas no outro modelo, fg.. Na segunda solução os produtos, e são alocados na forma em que seu atraso for menor, devdo às suas ponderações mas elevadas. Conclusões Neste trabalho utlzamos a programação ntera e msta para a resolução de um problema de seqüencamento com máqunas paralelas e tempos de preparação de máquna dependentes da seqüênca. Como se trata de um problema real, o tempo de solução resulta em um fator crítco. Para aumentar a convergênca do método se ncorporou um corte ao modelo utlzado. Foram também utlzadas algumas heurístcas para obter um bom lmte superor de forma a acelerar a convergênca do algortmo. O corte e as heurístcas mostraram-se muto efcentes, permtndo ganhos elevados no que se refere ao tempo de solução. Quando utlzadas quatro máqunas em paralelo, a efetvdade dos cortes aumentou, permtndo ganhos mas consstentes nos tempos de resolução.

12 A partr dos problemas com qunze tarefas, o fator crítco fo o tempo, desta forma não podemos garantr que a solução encontrada seja a ótma, dexando uma porta aberta para contnuar tanto a melhorar as heurístcas como para pesqusar sobre outras técncas de solução. Permtram-se atrasos nos produtos fabrcados, para sto se ncorporou uma ponderação de cada produto na função objetvo. Desta forma o programador poderá ponderar produtos crítcos ou clentes mportantes. O que é de muta utldade no da a da da empresa. Com referênca à dstorção que esses valores de ponderação podem provocar nas soluções, podemos conclur que estes não afetaram o problema sgnfcatvamente. Inclusve comprovamos que podemos obter soluções com pequenas dferenças, como fo apresentado no caso -. No caso real, chegam a ser resolvdos problemas de até tarefas em quatro máqunas. Com sto podemos observar que este método pode ser aplcado num ambente real. Mas, como já fo dto anterormente, o objetvo do presente trabalho fo tentar obter bons resultados a partr da programação ntera e msta. Sendo uma prmera aplcação de uma sére sobre o mesmo problema, já em andamento, podemos menconar a utlzação, em outros trabalhos, da relaxação lagrangeana [9] e da técnca de constrant programmng [, ]. Referêncas []. R. D. Acero, J.F. Torres Delgado. Aplcacón De Una Heurístca De Búsqueda Tabú En Un Problema De Programacón De Tareas En Línea Flexble De Manufactura. COLOMBIA. []. Baker K R, Requrements Plannng, Chapter, S C Graves et al., Eds., Handbooks n OR & MS, Vol., 99. []. R.B. Chase, N. J. Aqulano and F. R. Jacobs. Admnstracón de Produccón y Operacones. Colomba. Mc Graw Hll,. []. Chung-Yang Lu and Sh-Chung Chang. Schedulnd Flexble Flow Shops wth Sequence- Dependent Setup Effects.IEEE Transactons on Robotcs and Automaton, vol., No, August. []. A. S. Manne. On The Jobshop Schedulng Problem. Operatons Research,. 9. []. R. A. A. Morán, El Sstema de Planfcacón de la Produccón. Unversdad Naconal de Rosaro UNR, Rosaro 99. [7]. M. Pnedo. Schedulng Theory, Algorthm and System. Englewood Clffs, NJ. Prentce Hall, 99. []. P. B. Luh, L. Gou, T. Nagahora, M. Tsuj, K. Yoneda, T. Hasegawa, Y. Kyoya, and T. Kano. Job Shop Schedulng Wth Group-Dependent Setups, Fnte Buffers, And Long Tme Horzon. [9]. N. F. Maculan, R. E. Campello e L.B. Rodrgues Lopes. Relaxação Lagrangeana em programação Intera. UFRJ. []. Irvn J. Lustg and Jean-Francos Puget. Program!= Program: Constrant Programmng and ts Relatonshp to Mathematcal Programmng. Interfaces Vol, No., pp. 9-, December,. []. J. Vpul and I.E. Grossman. Algorthms for Hybrd MILP/CP Models for a Class of Optmzaton Problems. Departament of Chemcal Engneerng, Carnege Mellon Unversty.