Palavras-chave: Corte de cana-de-açúcar; pesquisa operacional; rendimento econômico.

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1 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro em atvdades de gestão agrondustral 1 Use of genetc algorthms as auxlary tool for operatonal and economc decson makng process of agro-ndustry actvtes Celso Correa de Souza 2 José Francsco dos Res Neto 3 Edson Rubens Arrabal Aras 4 Wesley Osvaldo Pradella Rodrgues 5 Resumo: A programação lnear e não-lnear, ramos da matemátca aplcada, tem auxlado admnstradores de empresas no processo de gestão agrondustral, permtndo que uma decsão seja smulada e analsada exaustvamente antes da sua mplementação prátca. Exstem város aplcatvos clásscos na lteratura que soluconam tas problemas. Mas recentemente surgram os Algortmos Genétcos que propcam soluções efcentes de problemas de programação lnear e não-lnear, não requerendo nenhuma exgênca sobre a dervabldade das funções envolvdas. O objetvo desse trabalho de pesqusa fo testar a utlzação dos Algortmos Genétcos na solução de problemas de programação lnear e não-lnear aplcados à gestão agrondustral. Dos exemplos foram resolvdos. O prmero tratou da solução de um problema de programação lnear ntera e o segundo de um problema de programação não-lnear, ambos aplcados à gestão agrondustral. Os resultados podem ser consderados bons, com soluções guas às obtdas utlzando-se o consagrado aplcatvo Solver do Excel, que possu lmtações quanto ao número de varáves dos problemas e da contnudade das funções envolvdas em problemas de programação não-lnear. Palavras-chave: Corte de cana-de-açúcar; pesqusa operaconal; rendmento econômco. Abstract: Lnear and nonlnear programmng branches of appled mathematcs have helped managers n busness process management, allowng a decson to be smulated and analyzed extensvely pror to ts practcal mplementaton. There are several applcatons n classc lterature to solve such problems. More recently, genetc algorthms were avalable to provde effcent solutons for lnear programmng and nonlnear problems, whch do not demand any requrement on the dfferentablty of functons nvolved. The research objectve was to test the use of genetc algorthms to solve lnear and nonlnear programmng problems appled to agro-ndustry management. Two problem examples were solved. The frst one was related to soluton of nteger lnear programmng problem and the second example dealt wth a problem of nonlnear programmng both appled n the agro-ndustry actvtes. The results can be consdered good provdng solutons dentcal to those obtaned by usng the well known Excel Solver, whch has lmtatons on the number of varables and on functons contnuty nvolved n nonlnear programmng problems. Keywords: Sugarcane crop; operatonal research; economcal ncome. JEL: M 1 Artgo recebdo em feverero de 2010 e aprovado em abrl de Doutor em Engenhara Elétrca pela Unversdade Estadual de Campnas. Professor Ttular da Unversdade para o Desenvolvmento do Estado e da Regão do Pantanal. Campo Grande-MS, BraslE-mal: pc@underp.br 3 Meste em Admnstração pela Unversdade Federal do Ro Grande do Sul. Professor Ttular da Unversdade para o Desenvolvmento do Estado e da Regão do Pantanal. Campo Grande-MS, E-mal: jfresneto@terra.com.br 4 Doutor em Agronoma (Ftotecna) pela Unversdade Federal de Lavras. Professor ttular da Unversdade para o Desenvolvmento do Estado e da Regão do Pantanal. Campo Grande-MS, E-mal: edsonaras@pop.com.br 5 Graduando do Curso de Admnstração da Unversdade Anhanguera-Underp. Campo Grande-MS, E-mal: wesley174@uol.com.br

2 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... Introdução O agronegóco é um conjunto de operações que envolve as atvdades de produção e armazenamento no campo, bem como transporte, processamento e dstrbução dos produtos agropecuáros e seus dervados, além da dstrbução de nsumos e a dssemnação de novas tecnologas agropecuáras. Essas operações estão, de certa forma, nterlgadas formando as cadeas produtvas de almentos, fbras e também de bomassa para slagem e geração de energa. A agrondústra canavera, de grande mportânca atualmente no agronegóco braslero, é a mas antga atvdade econômca não-extratvsta do Brasl, tendo o açúcar como o seu produto prncpal, desde o ano de 1540, data da mplantação desta agrondústra no Brasl. Em meados de 1983, devdo a grande alta do petróleo, o álcool carburante, (etanol), tomou o lugar do açúcar por pouco tempo, pos com a normalzação dos preços do petróleo, houve uma grande demanda nternaconal pelo açúcar. Recentemente, contudo, seja em função do novo patamar dos preços do petróleo, seja em função, prncpalmente, do problema ambental, surgu a possbldade de que o Brasl possa ser um grande exportador de etanol de cana-deaçúcar. O planejamento da colheta de cana-de-açúcar vsa otmzar o retorno agronômco do empresáro, vsto que somente em uma época do ano, geralmente no período seco, a cana acumula o máxmo de sacarose nos colmos. Após esse período, nca-se o período de reprodução, em que é utlzado parte dos açúcares acumulado, dmnundo a produtvdade. Dentre os mutos aspectos gerencas, a escolha do momento deal para colheta de lotes da cana-de-açúcar é uma das decsões mas dfíces de tomar. Esta decsão deve levar em consderação um conjunto de crtéros relaconados a esta prátca agronômca, como também outros aspectos ndustras, com o ntuto de reduzr custos operaconas e de demandas energétcas. O planejamento agrondustral é de mportânca fundamental para a obtenção de bons resultados econômcos, sendo feto através da elaboração do conjunto de metas que se pretende atngr, e das técncas e recursos dsponíves para se chegar até elas. Com sso, é possível antever com precsão os resultados de estratégas de ação, bem como detectar e corrgr possíves falhas durante sua execução. Assm sendo, o planejamento agrondustral na colheta da cana-de-açúcar que vsa a determnação da melhor época para a colheta de um determnado lote de cana, cujo acúmulo de açúcares no como seja o maor possível, é de grande mportânca para o empresáro, pos propca o maor lucro. A utlzação de modelos matemátcos e ferramentas computaconas na agrondústra da cana-de-açúcar vêm crescendo, mpulsonada pelo planejamento agrondustral que tem como objetvos obter melhor produtvdade e rentabldade. O setor agrondustral canavero ncou um processo de pesqusa e desenvolvmento que garante seu destaque no setor agrícola braslero. As agrondústras de cana-de-açúcar procuram se adequar ao cenáro da economa naconal por meo de novações como a melhor forma de ntegrar a área agrícola e a ndustral. A necessdade da mplantação de alternatvas técncas, equpamentos e recursos que benefcem o planejamento e o controle do processo produtvo ocorrem em razão do aumento de compettvdade no setor. A programação lnear e não-lnear são modelos matemátcos, assstda por ferramentas computaconas, que auxlam os empresáros no planejamento Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

3 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... agrondustral nas tomadas de decsão, na medda em que consttuem dealzações smplfcadas da realdade, que emprega símbolos matemátcos para representar as varáves de decsão do sstema real. Uma aplcação mportante da programação lnear é a sua utlzação pela agrondústra canavera, como ferramenta para suporte à decsão da organzação de frentes de corte de cana-de-açúcar em algumas regões do Brasl, prncpalmente, no Nordeste e Sudeste. Exstem város softwares que possuem rotnas consagradas para a resolução de problemas de programação lnear e não-lnear. Nos métodos teratvos clásscos podem ocorrer problemas de convergênca na solução de problemas não-lneares, quando a função objetvo possu pontos onde a mesma não é dervável, ou o valor da dervada está muto próxma de zero. Mas recentemente surgram os Algortmos Genétcos que, além de resolver problemas de programação lnear e não-lnear, não estão atrelados a problemas específcos de dervadas de funções. Algortmos Genétcos são algortmos de busca estocástcos que têm desenvolvmento e funconamento vnculados à genétca, em que todas as novas espéces são produzdas por meo de uma seleção natural em que o mas apto sobrevve gerando descendentes. O algortmo genétco básco é o que realza as seguntes funções: ncalza a população de cromossomos; avala cada cromossomo da população; cra novos cromossomos a partr da população atual (realza cruzamento e mutação); e termna, se o crtéro de fm for alcançado, se não, rencalza. O objetvo desse trabalho fo à aplcação de Algortmos Genétcos na tomada de decsão no planejamento de uma agrondústra vsando o maor retorno econômco e atendendo determnadas lmtações dessa atvdade. 2 Referencal teórco 2.1 Programação lnear e não-lnear Problemas de otmzação, na sua forma geral, têm como objetvo maxmzar ou mnmzar uma função defnda sobre um certo domíno. Na teora clássca de otmzação o valor ótmo é obtdo sobre um domíno nfnto. Já no caso dos chamados problemas de otmzação combnatóra, o domíno é tpcamente fnto, em que é possível lstar os seus elementos e também testá-lo se pertence ou não a esse domíno. O teste de todos os elementos deste domíno se torna nvável, prncpalmente, quando o domíno é de tamanho de moderado a grande (MIYAZAWA, 2009). Problemas de programação lnear e não-lnear são problemas de otmzação clássca que envolvem a maxmzação ou mnmzação de funções num domíno nfnto, normalmente defndo por um conjunto de restrções, como na expressão (01) (CAIXETA FILHO et al., 2000 ; BREGALDA et al., 1988). Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

4 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... Otmzar sujeto à f ( x) g ( x),, b x j 0 1,2,, m j 1,2,, n (01) sendo f (x) a função a ser otmzada (maxmzada ou mnmzada); g (x), ( 1,2,, m ), restrções do modelo, que relaconam os recursos dsponíves; x j, ( j 1,2,, n ), varáves de decsão do problema (são as ncógntas do problema); b, ( 1,2,, m), níves de dsponbldade de recursos ou quantdade mínma a ser suprda. Otmzar engloba os problemas de maxmzação ou mnmzação. Quando as funções f (x) e g (x), ( 1,2,, m ), são funções lneares, dz-se que o sstema (01) é Problema de Programação Lnear; se f (x) ou ao menos uma das funções g (x), ( 1,2,, m ), é uma função não-lnear, dz-se que o sstema (01) é Problema de Programação Não-lnear (HILLIER. e LIEBERMAN, 1988). Exstem város aplcatvos para a solução de problemas de programação lnear e não-lnear dsponíves para mcrocomputadores, entre eles, a ferramenta Solver do aplcatvo Mcrosoft Excel que, certamente, é o de mas fácl acesso devdo a populardade desta planlha eletrônca, possbltando acesso à maora dos letores que usam mcrocomputadores (CAIXETA e FILHO et al., 2000). A solução de problemas de programação não-lnear ser obtda utlzando-se recursos do Cálculo Dferencal, através do método dreto e teratvos, desde que as funções f (x) e g (x), ( 1,2,, m ) sejam derváves no seu domíno de solução (HILLIER e LIEBERMAN, 1988). Quando sso não acontece, os Algortmos Genétcos podem auxlar na resolução, pos são métodos que podem ldar com qualquer problema de otmzação, não estando atrelados, por exemplo, a problemas específcos de dervadas (LINDEN, 2008; MIRANDA, 2009; ALCALÁ et al, 2003) Algortmos genétcos Algortmos Genétcos são algortmos de busca estocástcos que têm desenvolvmento e funconamento vnculados à genétca, em que todas as novas espéces são produzdas por meo de uma seleção natural em que o mas apto sobrevve gerando descendentes. O algortmo genétco básco é o que realza as seguntes funções: ncalza a população de cromossomos; avala cada cromossomo da população; cra novos cromossomos a partr da população atual (realza cruzamento e mutação); e termna, se o crtéro de fm for alcançado, se não, rencalza. Na forma analógca, a mplementação dos Algortmos Genétcos parte de uma população ndvíduos gerados aleatoramente (confgurações ncas de um problema), realza-se a avalação de cada um (em relação a função objetva), selecona os mas aptos e promove os manpuladores ou operadores genétcos como Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

5 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... cruzamento e mutação, orgnando novas gerações de ndvíduos (BITTENCOURT, 1998; HOLLAND, 1975; SANTA CATARINA & BACH, 2003). Cada ndvíduo na população representa uma possível solução para um dado problema, o que o Algortmo Genétco faz é buscar aquela solução que seja muto boa ou a melhor do problema analsado através da cração de população de ndvíduos cada vez mas aptos levando à otmzação da função objetva (KARR, 1993). Na Fgura 1 é possível resumr os Algortmos Genétcos através do fluxograma. Fgura 1 - Fluxograma da solução de problemas de otmzação com Algortmos Genétcos Fonte: Alencar & Corrêa (2006); Guervós (2009); Lnden (2008); Vana (1998); Pacheco (2009); Langdon & Poll (2002); Karr, (1993) A aplcação dos Algortmos Genétcos, como descrto pelo fluxograma da Fgura 1, consta dos seguntes passos: Escolha da População - a ncalzação da população é feta da forma mas smples possível, fazendo-se uma escolha aleatóra ndependente para cada ndvduo da população ncal ou por processo heurístco, sto é, smplesmente escolher n ndvíduos dentro do espaço de busca. Essa técnca permte gerar uma boa dstrbução, cobrndo um espaço maor no espaço de busca, sem nteressar se são boas soluções ou não, assm como na natureza, para haver evolução é necessáro dversdade. Avalação - a função de avalação, ou função objetva, é utlzada para determnar a qualdade de um ndvduo como solução do problema, ou seja, é uma forma de mensurar quão aptos estão os ndvíduos da população. A função de avalação deve refletr os objetvos a serem alcançados na resolução de um problema e é dervada dretamente das condções mpostas pelo problema; Seleção - a seleção dos ndvíduos da população deve smular o mecansmo de seleção natural, sobrevvênca dos mas fortes, em que os pas mas aptos geram mas flhos. O algortmo permte, também, que alguns ndvíduos menos aptos gerem Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

6 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... flhos, garantndo a dversdade entre os ndvíduos melhores e os pores. Se apenas os melhores ndvíduos se reproduzrem a população tenderá a ser cada vez mas semelhante, não ocorrendo a evolução. Há dversas formas de seleção dos ndvíduos reprodutores, entre elas as mas usadas são os métodos de seleção por Torneo e pelo método da Roleta Vcada; Seleção Va Método da Roleta Vcada - este método emprega o prncpo da probabldade de sobrevvênca do mas apto, ou seja, que possu a melhor função objetva assocada. Com base nos valores de f ( x ), onde x é o ndvíduo avalado entre os n ndvíduos amostrados. Os ndvíduos mas aptos são seleconados e duplcados em substtução aos menos aptos. Neste método, a probabldade p do -ésmo ndvíduo da população vr a ser seleconado é dado pela expressão (02). p n f 1 f (02) Neste método, os ndvíduos com alta aptdão recebem uma proporção maor na roleta e os ndvíduos com baxa aptdão uma porção relatvamente menor na roleta. Na Fgura 2 estão dspostos 4 pas, A1, A2, A3 e A4, com as suas respectvas aptdões (áreas dos setores crculares), para serem seleconados através da roleta e gerarem uma nova população. Observa-se que o ndvíduo A1 tem maores chances de ser escolhdo ao rodar a roleta (ALCALÁ et. al., 2003). Fgura 2 - Seleção de ndvíduos através da roleta vcada Fonte: Resultados da Pesqusa O ato de rodar a roleta deve ser completamente aleatóro, podendo ser smulado escolhendo-se um número aleatóro r no ntervalo [0, 1] e comparar seu valor com a probabldade acumulada q, consderando q 0, expressão (03). Assm, se q 1 r q deve-se seleconar o ndvduo x. 0 Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

7 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... q p k k 0 (03) Este método tem a desvantagem de possur uma alta varânca, podendo levar a um grande número de cópas de um bom cromossomo, dmnundo a dversdade da população, podendo causar uma convergênca prematura do algortmo para uma solução não almejada (MITCHELL, 1998). Quando a evolução está avançada, em que as aptdões não dferencam entre s, pode causar um estagnação do algortmo, sto é, pouca modfcação na seleção dos ndvíduos; Eltsmo - o eltsmo vsa preservar os melhores cromossomos de uma geração para outra sem alterações, garantndo sempre que a melhor solução encontrada em qualquer uma das gerações seja mantda até o fnal do processo. Geralmente usa-se nos Algortmos Genétcos uma taxa de eltsmo de 30% do total de ndvíduos gerados. A prncpal vantagem deste método é que a convergênca é garantda, sto é, se o máxmo global for descoberto, AG converge para esse máxmo, entretanto, da mesma forma exste o rsco da estagnação em um máxmo local. Neste trabalho de pesqusa utlzou-se Algortmos Genétcos Bnáros, em que os pontos do espaço de solução são codfcados como uma cadea de bts 0 ou 1, dentro de cada ndvíduo. Cada bt podera ser consderado um gene do cromossomo ou ndvduo. A escolha dos Algortmos Genétcos Bnáros se prende à facldade de se efetuar os cruzamentos e as mutações entre os ndvíduos. Cruzamento - o cruzamento ou crossover é em processo de recombnação de partes das seqüêncas de caracteres entre pares de cromossomos, com o objetvo de gerar nova descendênca. Esta troca de materal genétco garante a recombnação da população, possbltando, assm, uma probabldade maor de produzr ndvíduos mas evoluídos que seus pas. Para maor facldade de se efetuar os cruzamentos e as mutações, a população de números decmas de ser transformada para a base 2. Recomenda-se que a taxa de cruzamento deve em geral ser alta, cerca de 80% à 95%. Entretanto, alguns resultados mostram que para alguns tpos de problemas, uma taxa de cruzamento de cerca de 60% é o melhor. Um Ponto de Corte - esta é a forma mas smples de cruzamento, e que fo utlzada neste trabalho, onde dos ndvíduos da população, após a seleção, são submetdos ao processo de cruzamento, no qual o ponto de corte é aleatoramente gerado, os caracteres ou bts que precedem o ponto de corte são preservados, e os bts posterores são trocados entre o par partcpante do processo (Fgura 2). Mutação - este operador é responsável pela ntrodução e manutenção da dversdade genétca na população. O operador de mutação nverte os valores de bts, ou seja, muda o valor de dado bt de 1 para 0 ou de 0 para 1, com o objetvo de tentar regenerar algum ndvduo que possa ter sdo elmnado de forma nesperada. Para que uma determnada população não sofra mutas alterações, esta operação é processada para um pequeno percentual PM de seus elementos, em torno de 1% de todos os genes. Após as operações de cruzamento e mutação, com a obtenção de uma nova população, esta deve ser avalada nos novos pontos do espaço de busca, com a conversão da população para números decmas, através da expressão (04), Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

8 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... x l nf ( L Sup nbts 2 l nf 1 ) b 10 (04) onde l nf e LSup são, respectvamente, os lmtes nferor e superor do ntervalo de busca, b10 é o número decmal, gerado aleatoramente dentro do ntervalo obtdo através da precsão estabelecda, não necessaramente pertencente ao espaço de busca de otmzação (Cartwrght, 2006).. Se a solução atual não satsfzer a precsão adotada, repete-se os passos anterores para a nova população gerada. 3 Materal e métodos Neste trabalho utlzou bascamente o método descrtvo exploratóro, que consstu numa pesqusa bblográfca sobre os modelos matemátcos de programação lnear e não-lnear e seus métodos clásscos de resolução, bem como sobre Algortmos Genétcos, objeto prncpal desse trabalho, que é um método bem recente para a resolução desses modelos matemátcos. Como objetos da pesqusa foram apresentados dos estudos de casos. O prmero trata de uma agrondústra que dspõe de 15 lotes de cana-de-açúcar, de dferentes áreas, a serem colhdos, dando preferênca aqueles que têm os maores teores de sacarose, vsando o maor rendmento em açúcar bem como a maor quantdade de fbras para a co-geração de energa elétrca com a quema do bagaço, além de respetar a capacdade de moagem da ndústra. A função objetva (05) a ser maxmzada deve prorzar os valores de sacarose, denotado por PCC (Porcentagem de Sacarose no Caldo de Cana) e Fbra, representadas por f (x) e g (x), respectvamente. Assm, a função f (x) está lgada ao rendmento de açúcar no colmo e g(x) ao bagaço da cana que será quemado nas calderas vsando a co-geração de energa elétrca. z f ( x) g( x) (05) As funções f (x) e g(x) ou seja: foram normalzadas para que pudessem ser somadas, N 100 x PCC 1 f ( x) N e PCC g( x) N 1 N 1 x Fbra Fbra As ncógntas x ( 1,2,, N) ndcam os lotes de cana-de-açúcar a serem colhdos. As funções f (x) e g(x) podem ser multplcadas por ( 0 1) e ( 1 ), respectvamente, obedecendo a um crtéro de ponderação, que é fornecdo pelo usuáro Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

9 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... para determnar o grau de relevânca de cada uma das funções (Alencar, 2006). A função z, expressão (05), está sujeta a uma restrção TESP (Tonelagem Esperada), expressão (06), que deve ser menor ou gual à capacdade de moagem de cana da agrondústra TDES (Tonelagem Desejada). TESP N 1 x Area TCH (06) Por convenênca, não fo permtdo a colheta de uma fração de um lote, se tratando, então, de um problema de programação lnear ntera, expressão (07). Máx z f ( x) g( x) s / a TESP TDES x 0 x nt ero (07) Será utlzado o aplcatvo Solver na solução desse problema, mas o objetvo prncpal é resolvê-los utlzando-se Algortmos Genétcos e estabelecer comparações. O segundo estudo de caso trata da obtenção do maor rendmento de produção de uma empresa que dspõe, sem restrção, de quantdades varáves de nsumo e mão de obra. Tem-se, também, os custos desses nsumos e mão-de-obra na elaboração de cada undade de produto. A receta z R( x, é dada por uma expressão matemátca, obtda emprcamente pelo setor econômco da empresa, que relacona captal e mão-deobra, ndcando que serão produzdas x undades de um produto A e y undades de um produto B. A função R ( x,, de domíno restrção, expressão (08). 2, deve ser maxmzada sem nenhuma Máx z R( x, (08) Para a solução desse segundo caso utlzar-se-á o método dreto clássco, Algortmos Genétcos e o aplcatvo Solver, estabelecendo-se comparações entre eles. 4 Resultados e dscussão O prmero caso trata de uma agrondústra que pretende colher os lotes de cana-de-açúcar que têm os maores teores de sacarose vsando o maor rendmento em açúcar, bem como a maor quantdade de fbras para a co-geração de energa elétrca com a quema do bagaço, além de respetar a capacdade de moagem da ndústra. A entrada de dados fo através de uma planlha Excel com os dados dos 15 lotes de cana-de-açúcar (Tabela 1). Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

10 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... Tabela 1 - Dados econômcos de lotes de cana-de-açúcar de uma agrondústra de açúcar e álcool do Noroeste do Estado de São Paulo, Brasl, em 2005 Lote ( nº. ) Área ( ha ) PCC ( % ) TCH ( t ) Fbra ( t ) Fonte: (ALENCAR, 2006). Obtdo o sstema (07) a partr dos dados da Tabela 1, o problema de programação lnear ntera fo resolvdo aplcando-se Algortmos Genétcos, smulando três níves de capacdade de moagem TDES (Tonelagem Desejada), lgadas à capacdade da agrondústra. Incalmente, foram gerados 30 números aleatóros no sstema bnáro, população ncal, cada um com 15 bts, cada bt representando um lote, de acordo com a sua posção no número, dos 15 lotes de cana a serem colhdos. O bt 0 sgnfcava que o lote não sera colhdo, enquanto o bt 1 ndcava que aquele lote sera cortado. Para cada número bnáro gerado, eram somadas as tonelagens de cana a serem cortadas, dos lotes correspondentes aos bts 1, para a verfcação do atendmento à tonelagem desejada, que corresponda à capacdade da agrondústra. Caso um ndvíduo não atendesse, era descartado e gerado outro em seu lugar. Sobre essa população ncal, e nas demas, foram aplcadas todas as etapas de cada teração dos Algortmos Genétcos: avalação, seleção, cruzamento e mutação, com a fnaldade de melhorar as novas populações. Na Tabela 2 estão os valores ótmos para os três níves de capacdade de moagem TDES, as tonelagens esperadas TESP, os lotes colhdos e os números bnáros fnas, lembrando que a posção do dígto zero sgnfca que aquele lote não fo colhdo, enquanto a posção do dígto um sgnfca que o lote fo colhdo. Tabela 2 - Resultados de três smulações sobre a determnação de lotes de cana-deaçúcar a serem colhdos vsando o maor retorno econômco Smulação TDES ( t ) TESP ( t ) Lotes colhdos Bnáro fnal , , 6, 10, , 6, 9, 10, 11, Fonte: Resultados da Pesqusa. Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

11 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... As Percentagens totas de açúcar no Caldo de Cana e a Fbra total podem ser calculadas a partr dos dados das Tabelas 1 e 2. Esse sstema também fo resolvdo com a utlzação da ferramenta Solver do Excel, para os três níves de capacdade de moagem TDES, obtendo-se os mesmos resultados explctados na Tabela 2, permtndo comprovar a efcênca da resolução aplcando Algortmos Genétcos, que, embora mas demorado do que a ferramenta Solver, é justfcada a sua aplcação levando-se em conta a lmtação dessa ferramenta quanto ao número de varáves de decsão (aproxmadamente 200 varáves para o MS_Excel 2003, lmtação superada pelos Algortmos Genétcos. O segundo caso tratou-se de um problema dealzado de uma agrondústra que produz dos tpos de produtos A e B que, colocados no mercado, orgna uma receta representada pela função não-lnear R( x, nas varáves x e y, numa undade monetára qualquer, com x representando o número de undades produzda do produto A e y o número de undades produzda do produto B. A agrondústra tem como meta maxmzar essa receta estabelecendo os níves deas de produção dos produtos A e B vsando essa meta. A expressão de R( x, fo determnada de manera empírca no Departamento de Marketng da empresa, dada pela expressão (08), sendo R( x, y x 20y 3xy 2x 2,5. Resolvdo o problema de máxmo utlzando-se o método clássco, com a utlzação do Cálculo Dferencal, pos R( x, é dervável nas varáves x e y em todo o seu domíno de defnção, encontrou-se R máx ( 20,16) 480. Assm, devem ser produzdas 20 undades do produto A e 16 undades do produto B, auferndo-se uma receta máxma de 480 undades monetáras. Para a aplcação dos Algortmos Genétcos na maxmzação desse problema, estabeleceu-se que as varáves x e y deveram varar de 1 a 32, pos no domíno [ 1,32] [1, 32], como constatado, a função R( x, passa por um máxmo. Observe que podera ser qualquer domíno que contvesse o ponto ( 20,16). Exstem métodos clásscos para a determnação de ntervalos que contém raízes de funções. Utlzando-se uma precsão 0, 03, fo gerada uma população ncal composta de 20 números ( n 20 ), no ntervalo de 1 a 1.024, correspondendo-se números na forma bnára de 10 bts, de modo que, quando partconado ao meo, os dos números bnáros obtdos correspondem números decmas entre 1 e 32. Na Tabela 3 está representada a prmera teração do algortmo, composto de 2 números reas, de uma população ncal (Pop.Incal), de 20 números reas, escolhdos aleatoramente entre 1 e e os seus correspondentes na base 2, o partconamento ao meo de cada bnáro, gerando os bnáros x e y, os correspondentes valores em reas dessas duas varáves x (real) e (real), os valores numércos da função R ( x,, as probabldades P de passar à próxma geração e as probabldades acumuladas Q de cada um dos valores de R ( x,, 1,2,3,, n, para a mplementação da roleta vcada. y Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

12 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... Tabela 3 - Dos elementos de uma população ncal de 20 elementos Pop.Incal Pop.Incal I x (reas) (bnáros) y x (real) y (real) R (x, P Q Fonte: Resultados da Pesqusa. Após doze terações dos Algortmos Genétcos, mplementados no MS Excel, houve a convergênca do algortmo, obtendo-se a mesma solução já obtda anterormente através do método clássco, sto é, x 20, y 20 e F ( 16, 20) 480. Conclusão Os resultados podem ser consderados bons, vsto que o objetvo deste trabalho fo alcançado, ou seja, com a utlzação de Algortmos Genétcos, no estudo de caso 1, na tomada de decsão no planejamento de uma agrondústra vsando o maor retorno econômco e atendendo determnadas lmtações dessa atvdade. Com sso, pôde-se planejar a produção dára de uma ndústra que dspunha de nsumos em quantdades lmtadas para a fabrcação de açúcar e vsando o maor rendmento econômco, ao mesmo tempo em que a fbra era usada para a co-geração de energa elétrca, respetadas todas as restrções mpostas à ndústra em termos de capacdade de moagem da agrondústra.. No estudo de caso 2, fo soluconado um problema de programação não-lnear para o planejamento da produção dára de outra agrondústra que não tnha nenhuma restrção, nem de ndustralzação, nem de mercado. Neste caso, o problema também fo resolvdo com a utlzação do cálculo dferencal, pos neste caso a função era dervável, obtendo-se os mesmos resultados. Nos dos casos as soluções va Algortmos Genétcos foram mplementadas no aplcatvo MS Excel, utlzando-se planlhas de cálculos, o que tornou os processamentos custosos e demorados. Se a opção fosse a programação desse algortmo em qualquer lnguagem computaconal, como C++, Delph, entre outros, o processo sera muto mas rápdo. Esses dos problemas também foram resolvdos com a utlzação da ferramenta Solver da MS_Excel, com os mesmos resultados, o que não nvablza a aplcação de Algortmos Genétcos nas suas soluções, já que esse últmo é ndcado, também, na solução de problemas de otmzação envolvendo funções não-lneares, derváves ou não no ntervalo de soluções. Por outro lado, os algortmos genétcos têm-se mostrado mas lentos que determnados métodos clásscos de otmzação. A utlzação de Algortmos Genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro tem muto mas vantagens do que desvantagens. Pode-se enumerar algumas vantagens: é uma técnca de fácl mplementação, não exgndo aprofundados conhecmentos matemátcos; utlzam nformação de custo e benefíco; não é necessára nformação acerca do gradente da função objetvo, portanto não está atrelado à dervada da função; descontnudades ou complexdades exstentes na representação gráfca do problema não apresentam nfluênca sgnfcatva; trabalham com toda a população e não com um únco ponto o que permte realzar buscas smultâneas em város espaços de busca; a presença de mínmos locas não reduz a efcênca do algortmo; o desempenho do algortmo tem apresentado bons Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

13 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... resultados em problemas de otmzação de grande porte; pode ser utlzado com outras heurístcas e; utlzam regras de transção probablístcas e não determnístcas. Pode-se, também, enumerar algumas desvantagens: dfculdade em se encontrar o valor ótmo exato; é necessáro efetuar mutas avalações de valores de Aptdão e; exstem mutas possbldades de confgurações dos genes. As aplcações dos algortmos genétcos são vastas, podendo-se destacar: problemas de otmzação, objetvo desse trabalho; o problema do caxero vajante; problemas de sequencamento; escalonamento de pessoal; síntese de crcutos analógcos; evolução muscal; obtenção de retratos falados, entre outros. Referêncas ALCALÁ, R, BENITEZ, J. M.,CASILLAS, J., CORDÓN, O., PÉREZ, R., Fuzzy Control of HVAC Systems Optmzed by Genetc Algorthms. Appled Intellgence, v.18 n.2, p , March-Aprl 2003 ALENCAR, C. E. R. de; CORRÊA, R. F., Ferramenta de suporte para a decsão de frentes de corte de cana-de-açúcar usando algortmos genétcos. Trabalho de Conclusão de Curso. Recfe: Escola Poltécnca de Pernambuco, BREGALDA, P. F.; OLIVEIRA, A. F. de E BORNSTEIN, C. T., Introdução à Programação Lnear. Ro de Janero: Edtora Campus Ltda., CAIXETA FILHO, J. V., GOLDBARG, M. C. e PACCA, H. L. L., Otmzação Combnatóra e Programação Lnear: Modelos e Algortmos. Ro de Janero: Edtora Campus, CARTWRIGHT, H. M. The Genetc Algorthm n Scence. Physcal and Theoretcal Chemstry Laboratory. Oxford Unversty, UK, Dsponível em ( Acessado em 28 de abrl de GUERVÓS, J. J. M. Informátca Evolutva: Algortmos Genétcos. Dsponível em Acessado em 22/11/2009. HILLIER, F. S. E LIEBERMAN, G. Introdução à Pesqusa Operaconal. Ro de Janero: Edtora Campus Ltda./Edtora USP, KARR, C. L., Genetc algorthms for modellng, desgn, and process control. Proceedngs of the second nternatonal conference on Informaton and knowledge management, p November 01-05, Washngton, D.C., Unted States. LANGDON, W. e POLI, R., Foundatons of Genetc Programmng. Sprnger Verlag Pub, LINDEN, R., Algortmos Genétcos. Ro de Janero: Brasport, Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun

14 Uso de algortmos genétcos como ferramenta auxlar no processo decsóro... MACULAN N. F. e PERREIRA, M. V. F., Programação Lnear. Ro de Janero: Edtora Atlas, MIRANDA, M. N. de., Algortmos Genétcos: Fundamentos e Aplcações. Dsponível em Acessado em 28 de abrl de MITCHELL, M., An Introducton to Genetc Algorthms. The Mt Press, MIYAZAWA, F. K. Otmzação Combnatóra. Dsponível em Acessado em 28 de abrl de PACHECO, M. A. C. Algortmos Genétcos: Prncípos e Aplcações. Dsponível em Acessado em 28 de abrl de SANTA CATARINA, A. e BACH, S. L. Estudo do efeto dos parâmetros genétcos na solução otmzada e no tempo de convergênca em algortmos genétcos com codfcações bnára e real. Acta Scentarum: Technology. Marngá, v. 25, n.2, p , VIANA, G. V. R. Meta-heurstcas e programação paralela em otmzação combnatóra. Fortaleza: EUFC, Informe Gepec, Toledo, v. 14, n. 1, p , jan./jun