Projeto Multicritério de Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica sob Contextos Incertos Utilizando Algoritmos de Busca Local

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1 1 Unversdade Federal de Mnas Geras Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca Centro de Pesqusa e Desenvolvmento em Engenhara Elétrca Projeto Multcrtéro de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca sob Contextos Incertos Utlzando Algortmos de Busca Local Crstane Geralda Tarôco Dssertação de Mestrado submetda à Banca Examnadora desgnada pelo Colegado do Programa de Pós Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Mnas Geras, como requsto parcal para obtenção do título de Mestre em Engenhara Elétrca Orentador: Prof. Orane Magela Neto Co-orentador: Prof. Eduardo Gontjo Carrano Belo Horzonte, Feverero de 2010

2 A Deus que sempre me deu forças nesta mportante etapa de mnha vda. Aos meus pas, Sebastão e Mara Fausta, e mnha rmã Hosane que sempre me apoaram e me ncentvaram. Ao meu novo Leandro pelo amor, apoo e compreensão. 2

3 AGRADECIMENTOS 3 AGRADECIMENTOS Agradeço, prmero a Deus por ter me dado forças e ter me guado durante esta etapa da mnha vda. A Nossa Senhora de Fátma por ter me conduzdo, me lumnado e me protegdo em todos os momentos sejam fáces ou naqueles mas dfíces. Aos meus pas Sebastão e Mara Fausta por terem sempre me ncentvado e terem acredto que eu pudesse aqu chegar. Obrgado por todo amor, carnho e dedcação. A mnha rmã Hosane pelo companhersmo, apoo e por estar sempre me ajudando nos momentos de dúvda. Ao meu novo Leandro pelo amor e carnho e pela compreensão nos momentos de mnha ausênca. Seu apoo e ncentvo foram fundamentas para que eu pudesse aqu estar. Ao Professor Orane pela orentação, ensnamento e ncentvos durante a realzação deste trabalho. Ao Professor Eduardo Carrano pela orentação, dsponbldade e por toda ajuda que muto contrbuu para que este trabalho pudesse ser realzado. Aos professores que acetaram partcpar da banca da mnha dssertação. A todas as pessoas que alguma forma contrbuíram para realzação deste trabalho. A Fapemg pelo apoo fnancero.

4 RESUMO 4 RESUMO O constante uso de técncas de otmzação para o projeto de redes de dstrbução de energa elétrca é justfcado por sua mportânca socal e econômca, já que o mesmo atende grande parte da população braslera. Alguns algortmos não podem ser utlzados na obtenção da solução para o projeto de redes de dstrbução de energa devdo à natureza complexa do problema. Os Algortmos Evoluconáros são uma alternatva para a solução do problema devdo a sua robustez, flexbldade e capacdade de adaptação a problemas de naturezas dversas. O algortmo NSGA-II é utlzado neste trabalho para obtenção de soluções efcentes para o problema de redes de dstrbução de energa elétrca consderando o cenáro mas provável de carga em relação a três objetvos (custo, confabldade e robustez). As ncertezas presentes no projeto das redes de dstrbução são tratadas por meo da avalação destas soluções para cenáros dstntos do mas provável, que são gerados através de Smulações de Monte Carlo. Os dados coletados nas Smulações de Monte Carlo são utlzados como base para uma Análse de Sensbldade Mult-objetvo, onde as soluções do problema são avaladas para ses dferentes crtéros. Depos de feta esta análse mult-objetvo e obtdo o conjunto de soluções não domnadas, é aplcado sobre estas soluções o método de busca local desenvolvdo. Este método de busca local é baseado na geração de redes aleatóras a dstâncas pré-defndas utlzando a métrca T-norm. Isto possblta a cração de um maor número de soluções robustas para o problema de redes de dstrbução de energa elétrca. O método aqu desenvolvdo dá ao projetsta um conjunto maor de possbldades de escolha da rede a ser nstalada, levando em consderação crtéros mportantes na operação das redes tas quas confabldade e perdas de energa. No conjunto de possbldades dado ao projetsta já está ncorporado um padrão de robustez estabelecdo para as redes.

5 ABSTRACT 5 ABSTRACT The contnuous use of optmzaton technques for electrcal energy dstrbuton project s justfed by ts socal and economcal mportance snce t attends a great amount of Brazlan people. Some algorthms can not be used to obtan the soluton for the energy dstrbuton network project due to the complexty of the problem. Evolutonary Algorthms are an alternatve to solve the problem due to ther robustness, flexblty and capacty of adaptaton for several knds of problems. The NSGA-II Algorthm s used here to obtan effcent solutons for the problem of electrcal energy dstrbuton network consderng the most lkely load scenaro takng nto account three objectves (cost, relablty and robustness). The uncertantes n the project are treated through the evaluaton of those solutons for dfferent scenaros created by Monte Carlo Smulaton. The data obtaned usng the Monte Carlo Smulatons are used as an nput for a Multobjectve Senstvty Analyss where the solutons are evaluated for sx dstnct crterons. A set of non-domnated solutons s then obtaned and a local search method developed n ths work s appled for those solutons. The local search method s based on the generaton of random networks at pre defned dstances usng the T-norm metrc. Ths enables the generaton of a bgger number of robust solutons for the electrcal energy dstrbuton network problem. It s provded to the network desgner a large range of possbltes for choosng the better network to be nstalled. Important aspects for operatng the network have been taken nto account such as relablty and energy losses. A robustness standard s prevously ncorporated to the network set of possbltes gven to the desgner.

6 LISTA DE FIGURAS 6 LISTA DE FIGURAS Fgura 1: Exemplo de grafo...16 Fgura 2: Grafo completo obtdo para o grafo da Fgura Fgura 3: Exemplo de árvore Fgura 4: Dstânca méda x Número de conexões Fgura 5: Redes geradas aleatoramente para exemplfcar a T-norm Fgura 6: Cálculo da Crowdng Dstance. Os pontos marcados com círculos cheos pertencem ao mesmo front Fgura 7: Rede para cálculo do RL...53 Fgura 8: Modelo de crescmento anual de carga e modelo equvalente para um período 10 anos...58 Fgura 9: Confguração ncal do sstema de 21 nós Fgura 10: Confguração obtda pelo Controlled Greedy Encodng para o sstema de 21 nós.61 Fgura 11: Soluções Pareto ótmas fnas consderando avalações de função...76 Fgura 12: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 1: a) solução 3, b) solução 54 e c) solução 145, d) solução 228 e e) solução Fgura 13: Soluções Pareto ótmas fnas consderando avalações de função...87 Fgura 14: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 1: a) solução 2, b) solução 58, c) solução 139, d) solução 243 e e) solução Fgura 15: Soluções Pareto ótmas fnas para prmera smulação do NSGA-II consderando a prmera abordagem...96 Fgura 16: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 15: a) solução 5, b) solução 98, c) solução 174, d) solução 267 e e) solução Fgura 17: Soluções Pareto ótmas fnas para segunda smulação do NSGA-II consderando a prmera abordagem Fgura 18: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 17: a) solução 7, b) solução 30, c) solução 75, d) solução 148 e e) solução Fgura 19: Soluções Pareto ótmas fnas para tercera smulação do NSGA-II consderando a prmera abordagem Fgura 20: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 19: a) solução 5, b) solução 66, c) solução 118, d) solução 219 e e) solução Fgura 21: Soluções Pareto ótmas fnas para prmera smulação do NSGA-II consderando a segunda abordagem Fgura 22: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 21: a) solução 4, b) solução 67, c) solução 161, d) solução 223 e e) solução Fgura 23: Soluções Pareto ótmas fnas para segunda smulação do NSGA-II consderando a segunda abordagem Fgura 24: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 23: a) solução 6, b) solução 34, c) solução 121, d) solução 204 e e) solução Fgura 25: Soluções Pareto ótmas fnas para tercera smulação do NSGA-II consderando a segunda abordagem Fgura 26: Redes obtdas para as soluções em destaque na Fgura 25: a) solução 6, b) solução 52, c) solução 140, d) solução 202 e e) solução

7 LISTA DE TABELAS 7 LISTA DE TABELAS Tabela 1: Dstânca normalzada entre os exemplos de redes Tabela 2: Parâmetros da dstrbução de probabldade...62 Tabela 3: Dados para os condutores usados no projeto de redes de dstrbução de energa elétrca Tabela 4: Parâmetros utlzados na execução do NSGA-II para os testes...64 Tabela 5: Valores dos cnco objetvos na execução do NSGA-II para formulação do problema consderando duas funções objetvo...64 Tabela 6: Soluções com taxa de nfactbldade menor que 25% para cada execução do NSGA-II utlzando TFO Tabela 7: Soluções com taxa de nfactbldade menor que 25% para cada execução do NSGA-II utlzando TFO Tabela 8: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA-II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez...70 Tabela 9: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f Tabela 10: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para smulação com avalações de função...80 Tabela 11: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para smulação com avalações de função...85 Tabela 12: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para prmera smulação consderando a prmera abordagem...91 Tabela 13: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para prmera smulação consderando a prmera abordagem...94 Tabela 14: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para a segunda smulação consderando a prmera abordagem...99 Tabela 15: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para segunda smulação consderando a prmera abordagem Tabela 16: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para tercera smulação consderando a prmera abordagem Tabela 17: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para tercera smulação consderando a prmera abordagem Tabela 18: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para prmera smulação consderando a segunda abordagem Tabela 19: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para prmera smulação consderando a segunda abordagem Tabela 20: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para segunda smulação consderando a segunda abordagem Tabela 21: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para segunda smulação consderando a segunda abordagem...123

8 LISTA DE TABELAS 8 Tabela 22: Valores dos ses objetvos para as soluções com TI<25% encontradas pelo NSGA- II depos de feta a verfcação da robustez pela segunda vez para tercera smulação consderando a segunda abordagem Tabela 23: Valores dos ses objetvos para as soluções que formam o conjunto Pareto ótmo consderando f 5 e f 6 para tercera smulação consderando a segunda abordagem...130

9 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 9 LISTA DE ACRÔNIMOS E VARIÁVEIS a : uma aresta do conjunto A; A : AE : AG : conjunto de arestas de um grafo; Algortmo Evoluconáro; Algortmo Genétco; d : dstânca méda do nó ; dst s ( A, B) : vetor dstânca entre duas redes A e B; e r : -ésmo vetor da base canônca; fc f : custo de faltas na rede N; mc f : custo monetáro da rede N; mep f : mínma potênca excedente em cada lnha da rede N; f 1: f 2 : f 3 : f 4 : f 5 : f 6 : G : G c : ds ce custo orgnal da rede; custo das faltas da rede; mínma potênca excedente em cada lnha; taxa de nfactbldade da rede; custo médo da solução para os cenáros para os quas a rede é factível; custo médo das faltas para os cenáros para os quas a rede é factível; grafo; grafo completo; tan : Crowdng Dstance da solução ; m : M A : MBL : mnv : MOGA : mxv : n : número de arestas de um grafo; matrz de adjacênca; método de busca local; número mínmo de nós a que cada nó pode se conectar no Controlled Greedy Encodng; Multobjectve Optmzaton Genetc Algorthm; número máxmo de nós a que cada nó pode se conectar no Controlled Greedy Encodng; número de nós de um grafo;

10 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 10 NSGA : N : Nondomnated Sortng Genetc Algorthm; codfcação para uma rede qualquer; N r : vetor representatvo de uma rede N no espaçor m ; N : tpo de ramo da conexão na rede N; nc : número de conexões possíves para cada nó ; P : população no NSGA-II; p 1 : fator de penaldade 1; p 2 : fator de penaldade 2; Q : população de arquvo no NSGA-II; RL : rao local; r ( A, B) : vetor posção relatva entre duas redes A e B; r p S p : conjunto de soluções que a solução p domna; N s x : é o peso do nó x na rede N; TI : taxa de nfactbldade; TFO 1: tercera função objetvo 1; TFO 2 : tercera função objetvo 2; t c : V : VEGA : número de tpos de conexões possíves para as conexões; conjunto de vértces de um grafo; Vector Evaluated Genetc Algorthm; N w : peso da conexão na rede N.

11 SUMÁRIO 11 SUMÁRIO RESUMO... 4 LISTA DE FIGURAS... 6 LISTA DE TABELAS... 7 LISTA DE ACRÔNIMOS E VARIÁVEIS PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA INTRODUÇÃO REPRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS DO PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRAFOS ÁRVORES REPRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS CONTROLE DIMENSIONAL EM PROBLEMAS DE REDES CONTROLLED GREEDY ENCODING REPRESENTAÇÃO DE REDES NO ESPAÇO CONTÍNUO O CONCEITO DE DISTÂNCIA NO ESPAÇO DE REDES MÉTRICA T-NORM GERAÇÃO DE REDES ALEATÓRIAS A DISTÂNCIAS PRÉ-DEFINIDAS FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA FORMULAÇÃO GERAL DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO MULTI-OBJETIVO FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE REDES Função Custo Monetáro da Rede Função Custo de Falta na Rede Função Mínma Potênca Excedente em Cada Lnha ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS INTRODUÇÃO ALGORITMOS GENÉTICOS DESCRIÇÃO DO ALGORITMO GENÉTICO MONO-OBJETIVO Fundamentos Bológcos Representação Cromossômca Estrutura Básca do Algortmo Genétco DESCRIÇÃO DO ALGORITMO GENÉTICO MULTI-OBJETIVO Introdução Algortmo Genétco Mult-objetvo O Algortmo NSGA-II ALGORITMOS UTILIZADOS NO PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA... 51

12 SUMÁRIO ALGORITMO NSGA-II APLICADO AO PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE MULTI-OBJETIVO MODELO DE CRESCIMENTO DA CARGA MODELO DE VARIAÇÃO DO PREÇO DA ENERGIA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA DAS INCERTEZAS SIMULAÇÃO MONTE CARLO MÉTODO DE BUSCA LOCAL RESULTADOS E DISCUSSÃO O SISTEMA DE 21 NÓS PARÂMETROS UTILIZADOS NAS SIMULAÇÕES METODOLOGIA UTILIZADA NO PROCESSO DE COMPARAÇÃO DE RESULTADOS RESULTADOS OBTIDOS UTILIZANDO NA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA AS FUNÇÕES OBJETIVO: CUSTO MONETÁRIO DA REDE E CUSTO DE FALTA NA REDE RESULTADOS OBTIDOS EM TESTES PARA A DEFINIÇÃO DA TERCEIRA FUNÇÃO OBJETIVO RESULTADOS OBTIDOS CONSIDERANDO TRÊS FUNÇÕES OBJETIVO NA FORMULAÇÃO DO PROBLEMA RESULTADOS UTILIZANDO DUAS NOVAS ABORDAGENS AO ENCONTRAR O CONJUNTO DE SOLUÇÕES EFICIENTES RESULTADOS OBTIDOS CONSIDERANDO A PRIMEIRA ABORDAGEM RESULTADOS OBTIDOS CONSIDERANDO A SEGUNDA ABORDAGEM CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS

13 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 13 1 PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 1.1 Introdução A utlzação de técncas de otmzação para o projeto de redes de dstrbução de energa é justfcada pela mportânca econômca e socal destes sstemas. Cerca de 85% da população braslera é consumdora de energa elétrca, o que corresponde a 40% de toda a energa consumda no país (Soares, 2001). Outra justfcatva é o fato de o sstema de dstrbução ser responsável pela maor parte das perdas ocorrdas no sstema elétrco e os recursos dsponíves para manutenção e expansão do mesmo são lmtados. Há uma sgnfcatva mudança nas cargas no decorrer dos anos, o que faz com que redes de dstrbução de energa tenham que ser constantemente expanddas ou reprojetadas (Carrano, et al., 2005). O projeto dessas redes tem que levar em consderação não apenas a carga atual, mas também a carga que é esperada para um dado horzonte de tempo. Isto sgnfca que este projeto tem ncertezas ntrínsecas já que geralmente não se consegue prever com exatdão os acréscmos de carga a serem nserdos no sstema para um horzonte a longo prazo. Adotar uma rede que fo projetada para uma carga sub-estmada sgnfca que rapdamente o sstema não será capaz de atender à demanda e um re-projeto será necessáro. Por outro lado, uma sobre-estmação da carga levará a uma rede de capacdade maor que a necessára e que deverá operar com parte de sua capacdade ocosa.

14 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 14 A varânca da dstrbução de probabldade que representa as varáves sujetas a ncertezas cresce ao longo do tempo. Como cada varável ncerta pode assumr um conjunto (não necessaramente fnto) de valores, exste um conjunto combnatóro de cenáros de carga dstntos para o sstema como um todo. Cada cenáro corresponde a um arranjo do estado em que cada varável do sstema pode apresentar. O conjunto de cenáros cresce exponencalmente com o número de nós, o que torna nvável a otmzação da confguração da rede consderando todo o conjunto de cenáros de carga possíves. Encontrar a solução ótma para este problema é uma tarefa árdua, mesmo para sstemas com poucos nós. Por sso a maora das metodologas consdera um únco possível cenáro (o mas provável), ao nvés de consderar um conjunto de possíves cenáros (Carrano et al., 2007a). É utlzada neste trabalho, para a expansão da rede de dstrbução, uma prevsão da demanda para um dado horzonte de tempo. É consderado um cenáro de carga médo ou mas provável, levando em conta apenas a méda de crescmento anual da carga para prever o cenáro futuro. A otmzação do sstema de dstrbução de energa elétrca é realzada para o cenáro mas provável. O projeto de redes de dstrbução é um problema complexo: problema de otmzação combnatóro, composto por funções não-lneares. Este projeto consste em encontrar a confguração ótma da rede, que nclu a topologa (pares de nós que serão conectados) e a capacdade de cada condutor numa topologa específca, sujeto a restrções técncas como atendmento à demanda. Este tpo de problema apresenta váras dfculdades de solução, mesmo em stuações nas quas smplfcações são consderadas (Perre, 1993). Dada sua natureza combnatóra, exste um número muto grande de possíves soluções para o problema e cada tpo de rede deve atender a característcas partculares. Esta característca das soluções no projeto de redes reduz o número de algortmos que podem ser utlzados. Os métodos determnístcos contínuos para otmzação não-lnear, que são baseados em dreções de busca e exclusão de sem-espaços, não são recomendados neste caso. Eles dependem de cálculos da dervada, que não exstem no espaço das soluções do problema de redes, que é dscreto. Técncas que montam árvores de possbldades garantem a obtenção do ótmo global, como o Branch-and-Bound (Vanderbe, 2001). No entanto, por terem custo computaconal exponencal, essas técncas tornam-se mpratcáves. Algortmos lneares para otmzação de grafos, como Djkstra (camnhos mínmos), Kruskal (árvore geradora mínma) e Ford- Fulkerson (fluxo máxmo) apresentam grande efcênca para os problemas a que foram propostos, tendo aplcação restrngda para outros problemas (Djkstra, 1959; Ahuja et al.,

15 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ; Bazaraa et al., 1991). Versões dscretas do Smplex (Vanderbe, 2001) podem, também, ser aplcadas a problemas de redes, mas para sto as funções devem ser lneares. Isto faz com que problemas não lneares tenham que ser aproxmados por funções de prmera ordem, o que geralmente compromete a precsão do resultado fnal. A restrção ao uso da maor parte das técncas mplca no estudo de alternatvas para a solução do problema de redes, como por exemplo, métodos heurístcos. Os algortmos evoluconáros, que são exemplos destes algortmos, aparecem como ferramentas de destaque, prncpalmente por sua flexbldade e robustez. A flexbldade e robustez se dão prncpalmente pela forma com que os algortmos evoluconáros são construídos, sem premssas matemátcas fortes como lneardade, dferencabldade ou convexdade. Dadas estas característcas, exstem váras aplcações destes algortmos nos mas varados problemas relaconados a redes. O Algortmo Genétco, baseado na teora da Evolução Natural, é uma técnca de otmzação que pode ser empregada na solução do problema de redes. Os prmeros estudos relaconados aos Algortmos Genétcos começaram na década de 70 e o trabalho de Holland (1975) é consderado o ponto ncal para os estudos relaconados a estes algortmos. No presente trabalho é proposta uma otmzação mult-objetvo para o problema do projeto de redes de dstrbução de energa elétrca com o objetvo de encontrar soluções mas robustas para o problema na presença de ncertezas. É então utlzado o Algortmo Genétco mult-objetvo NSGA-II (Déb et al., 2002) que é uma versão mas efcente do NSGA (Nondomnated Sortng Genetc Algorthm) proposto por Srnvas e Deb (1994). A robustez das soluções encontradas pelo algortmo NSGA-II é avalada para um conjunto de cenáros dferentes do cenáro mas provável que é aquele utlzado pelo algortmo para encontrar o conjunto Pareto ótmo de soluções. Os cenáros dstntos do mas provável são obtdos através da smulação Monte Carlo, onde as ncertezas consderadas, que são a evolução no crescmento da carga e as varações no preço da energa elétrca ao longo do tempo, são modeladas por dstrbuções de probabldade para cada nó do sstema. Para cada cenáro obtdo são avaladas todas as soluções ótmas quanto ao seu desempenho para os crtéros estabelecdos. Uma mportante lmtação dos Algortmos Evoluconáros é que embora sejam ferramentas capazes de encontrar uma aproxmação do ótmo global do problema, eles pecam no sentdo da precsão da busca pelo ótmo (Wanner, 2006). Uma manera de melhorar o desempenho destes algortmos é a ncorporação de métodos capazes de realzar uma busca

16 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA local sobre as soluções obtdas pelo algortmo. Os algortmos provenentes da hbrdzação entre um algortmo de busca local e os Algortmos Evoluconáros são geralmente chamados de Algortmos Memétcos (AM), Algortmos Lamarkanos, Algortmos Baldwnanos, Algortmos Culturas, Busca Local Genétca (Goldberg and Voessner, 1999; Davs, 1991), embora outras denomnações também sejam utlzadas Representação das varáves do projeto de redes de dstrbução de energa elétrca Grafos Nesta seção são apresentados concetos geras de grafos, que são utlzados na modelagem de problemas de redes. Um grafo G( V, A) é defndo como um conjunto fnto V de vértces (ou nós), um conjunto fnto A de arestas (ou conexões ou ramos) e uma matrz de adjacênca assoca a cada aresta M A, que a A um par não ordenado de vértces de V (não necessaramente dstntos), chamados de extremos de a (Bondy e Murty, 1976; Wlson, 1996). Para a representação das redes de dstrbução são utlzados grafos planares, estruturados como árvores, com arestas não-dreconadas e sem realmentação dos nós. A Fgura 1 mostra um exemplo de grafo não-dreconal, G ( V, A), com ses vértces dados por V = [ 1,2,3,4,5,6 ] e dez arestas representadas por A [ a, b, c, d, e, f, g, h,, j] =. Fgura 1: Exemplo de grafo.

17 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 2. O grafo completo ou G c para o conjunto de vértces da Fgura 1 é mostrado na Fgura 17 Fgura 2: Grafo completo obtdo para o grafo da Fgura 1. A matrz de adjacênca que representa um grafo completo com n nós é dada pela Equação (1). A Equação (2) determna o número de arestas (m) em G c. M A a = a j = 0 = 1 j = 1,...,n (1) m = n.( n 1) 2 (2) Árvores Um grafo G ( V, A) qualquer pode ser defndo como uma árvore, se e somente se, G é um grafo conexo sem cclos. Alguns teoremas mportantes sobre árvores são transcrtos abaxo: Teorema 1: Exste um e apenas um camnho, entre qualquer par de vértces em uma árvore. Teorema 2: Uma árvore com n vértces tem n 1 arestas.

18 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 18 As demonstrações desses teoremas podem ser encontradas em (Narsngh, 1984). A remoção ou adção de um ramo em uma árvore faz com que ela dexe de ser árvore. A remoção de uma aresta de uma árvore faz com que ela dexe de ser conexa e a adção nsere um cclo. O Teorema 3 ( Cayley, 1989) é também mportante na teora de grafos. Teorema 3: Teorema de Cayley Em um grafo completo G c, com n vértces e m = n.( n 1) 2 arestas, exstem n 2 n árvores que são sub-grafos de G c. Pelo Teorema de Cayley pode-se perceber que para o problema de redes representadas por grafos em árvore, o aumento do número de nós faz com que o total de redes que podem ser obtdas aumente exponencalmente. A Fgura 3 mostra um exemplo de árvore. Fgura 3: Exemplo de árvore Representação das varáves Em geral, o grafo completo G c defne o espaço de busca do problema de otmzação de redes. Isso sgnfca que cada aresta do grafo representa uma varável de decsão, que pode estar habltada ou desabltada. O projeto de redes consste em buscar uma árvore que seja sub-grafo de G c e atenda às restrções técncas do problema, ao mesmo tempo que otmza um ou mas crtéros de projeto.

19 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Uma possível representação da lsta de conexões possíves (ou codfcação) em um problema de n nós é mostrada na Equação (3). O vetor X representa a codfcação das redes tratado neste problema. Se x = 1 sgnfca que os nós referentes à conexão estão conectados 19 e se x = 0, não exste conexão entre eles. de n 1 para n X = [ x x... x x... x 1 2 n n+ 1 m ] x Z / x [0,1] (3) onde: m é o número de conexões possíves. Neste trabalho uma determnada conexão pode possur valores dstntos de 0 ou 1, pos elas representam o tpo de cabo a ser utlzado. Cada cabo possu característcas própras. Uma alternatva vável para soluconar este problema é a utlzação da representação proposta em (Ramrez-Rosado e Bernal-Agustín, 1998). Nesta codfcação, cada conexão possível pode assumr valores nteros que varam de 0 (ausênca de conexão) à t c (nós conectados com uma conexão do tpo t c, onde t c é o número de tpos de conexões possíves). Esta codfcação é lustrada na Equação (4). de nn 1 para n x Z / x [0, t ] X = [ x x... x n n+ 1 m x x n ] c (4) 1.3 Controle dmensonal em problemas de redes No problema de redes, o número de conexões possíves cresce de forma quadrátca com o número de nós. Isso faz com que a solução dreta de problemas de méda e grande dmensão apresente custo computaconal elevado, devdo ao alto número de varáves a serem consderadas.

20 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Uma alternatva para reduzr o conjunto de conexões possíves é aplcar conhecmentos a pror do problema tratado. Em problemas de redes de dstrbução de energa elétrca, por exemplo, devem-se gnorar conexões entre nós que se encontrem separados por acdentes geográfcos como lagos, montanhas, etc. A nstalação de lnhas de dstrbução nesses locas é nvável tanto econômca quanto tecncamente. Para problemas de grande porte, a exclusão destas conexões não é sufcente. Na lteratura (Mranda et al., 1994) (Ramrez-Rosado e Bernal-Agustín, 1998)(Coss et al., 2005), o conjunto de conexões váves para o problema é estabelecdo manualmente, baseado na experênca do projetsta. A técnca do Controlled-Greedy Encodng de redução dmensonal da codfcação do problema (Carrano et al., 2006) fo utlzada no presente trabalho para contornar a dfculdade de se fazer a codfcação do problema de redes. Esta técnca representa um procedmento automátco de redução do conjunto de varáves do problema. O resultado da aplcação deste método é um número bem menor de varáves, sendo anda possível a aplcação do conhecmento do projetsta para a exclusão de arestas nváves que enventualmente permaneçam após a aplcação da técnca Controlled Greedy Encodng Os Algortmos Gulosos (Greedy Algorthms) são a base para a construção do Controlled-Greedy Encodng (Carrano et al., 2006). Em geral, estes algortmos são escrtos de forma a sempre conectar cada nó ao nó mas próxmo. O processo se repete, até que seja construída uma rede, que em geral é um ótmo local. Para evtar este efeto, buscou-se controlar a gula do algortmo utlzando dos parâmetros: mnv : número mínmo de nós a que cada nó pode se conectar. mxv : número máxmo de nós a que cada nó pode se conectar. (5). O prmero passo é calcular a dstânca méda de cada nó ( d ) utlzando a Equação

21 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA d = 1 n dst(, j) (5) n j= 1 21 O nó com menor dstânca méda deve se conectar com mxv nó e o nó com maor dstânca méda deve se conectar com mnv nós. Para os nós ntermedáros fo proposta a utlzação de uma função lnear dscretzada conforme Fgura 4. Com sso o número de conexões admssíves para cada nó ( nc ) pode ser determnado usando a Equação (6). onde: d mn = mn(d) d ma x = max(d) nc mnv mxv =. mn mxv d max d mn ( d + d ) + (6) Fgura 4: Dstânca méda x Número de conexões. O procedmento da codfcação é apresentado a segur:

22 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 22 Controlled Greedy Encodng for from 1 to n do cn φ; d 1 n n n j= 1 dst(, j) ; nc mnv mxv d d max d mn + mxv + d mxv mnv d max d mn mn ; for j from 1 to nc do cn end for end for cn vz j ; 1.4 Representação de redes no espaço contínuo O projeto de redes consste: Da busca pela topologa ótma da rede (defnção de quas são os nós que se conectam entre s); Da busca pelo tpo ótmo de ramo para cada conexão (defnção de qual tpo de cabo deve ser utlzado). O desempenho da rede é meddo por uma função não lnear da sua estrutura e dos tpos de conexão. Nos problemas que envolvem redes, como redes de energa elétrca e redes de transporte, qualquer mudança na topologa ou no tpo de ramo afeta todo o fluxo na rede. O fluxo total também pode mudar em alguns casos. Isto pode acontecer em redes de dstrbução de energa elétrca. Nestes casos, a função custo se torna uma função não lnear da topologa da rede e do fluxo resultante (Carrano, 2007).

23 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA A estrutura de rede e os tpos de conexão são crtéros que devem ser tratados smultaneamente no projeto de redes, uma vez que ambos nterferem no desempenho da mesma. Uma alternatva para trabalhar com problemas de redes é a utlzação de Algortmos Evoluconáros. A busca pela topologa ótma e pelo tpo ótmo da conexão podem ser trabalhadas ao mesmo tempo através de adaptações nos operadores destes algortmos. As perturbações fetas sobre as soluções para o caso contínuo sempre levam a soluções que têm sentdo real, ou seja, permanecem fazendo sentdo físco para o problema. Quando as mesmas perturbações são realzadas sobre uma solução de um problema dscreto, elas podem levar a redes que não fazem nenhum sentdo prátco. Na codfcação apresentada na subseção 1.4, por exemplo, uma alteração num dado elemento x em uma rede factível, pode dar orgem a uma rede desconexa ou acrescentar um loop. Esta rede perde sua estrutura de árvore e se torna nfactível, não fazendo mas sentdo físco para o projeto de redes (Smth e Walters, 2000; Carrano et al., 2006). A utlzação de penaldades e tratamento das soluções nfactíves para o caso não são alternatvas muto satsfatóras, pos podem ocorrer os seguntes resultados: propagação de soluções nfactíves, o que força a busca apenas sobre as poucas soluções factíves, reduzndo a efcênca do algortmo; substtução das soluções nfactíves por novas soluções o que mplca em perda de efcênca do algortmo e aumento do custo computaconal, uma vez que as soluções novas não passaram por nenhum processo de melhora; substtução de soluções nfactíves por soluções factíves já presentes na população o que dmnu a dversdade de busca, comprometendo o desempenho do algortmo; adequação de soluções nfactíves para torná-las factíves, o que pode ter um custo computaconal muto elevado. Como a utlzação de penaldades e tratamento de soluções nfactíves não são uma boa alternatva, o que pode ser usado para tratar as soluções nfactíves no problema de redes de dstrbução é a mplementação de operadores capazes de garantr que as soluções obtdas sejam factíves. Isto pode aumentar o desempenho dos algortmos utlzados em problemas de redes (Carrano et al., 2006). Uma representação vetoral para redes fo proposta em (Carrano et al, 2010) para que fosse possível a construção de operadores capazes de gerar redes factíves, com operações baseadas em propredades do espaço contínuo. Esta representação, através dos concetos de espaços métrcos (Lma, 1995), permte uma representação das redes 23

24 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA no espaço contínuo permtndo assm a utlzação de propredades deste espaço, sendo desta manera cada rede representada por pontos dscretos no espaço R m, onde m é a dmensão deste espaço (número de varáves). Esta representação contínua das redes é baseada em uma defnção adequada de norma, chamada T-norm, que é defnda a partr de um produto escalar, conforme será vsto adante. Com a representação no espaço contínuo é possível defnr concetos como posção relatva, dstânca, vznhança, entre outros, para as redes O conceto de dstânca no espaço de redes métrca T-norm A defnção da métrca T-norm apresentada a segur fo adaptada de Carrano (2007) e Carrano et al. (2010). Consdere uma rede N qualquer, que pode ser defnda em um grafo G ( V, A), com t c tpos de conexões dstntas. De acordo com os concetos de espaços métrcos (Lma, 1995), a rede N pode ser representada como um vetor N r no espaço R m representação é mostrada na Equação (7). de Hlbert. Esta onde: r m N N r (7) N = ( w. p1 + N. w. p2 ) e = 1 N w é o peso da conexão na rede N ; N é o tpo de ramo da conexão na rede N ; p1 é o fator de penaldade 1 (usualmente tc k. ); p2 é o fator de penaldade 2 (usualmente 1); e r é o -ésmo vetor da base canônca. A representação de redes feta como mostrado na Equação (7), faz com que o problema seja nserdo no espaço R m. Assm o problema passa a ter as propredades deste espaço. Duas defnções mportantes envolvendo redes são a posção relatva e a dstânca entre duas redes.

25 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 25 Sejam duas redes quasquer A e B : = = = + = m m AO A A e c e p w A p w A )... ( r r r (8) = = = + = m m BO B B e c e p w B p w B )... ( r r r (9) A posção relatva de A em relação a B é defnda como: ( ) = + = m B A B A p e w w p w B w A p B A r )] ( ).. ( [, r r = = m c AB e 1. r (10) A r também pode ser vsto como a posção relatva de A em relação a orgem ) (O. Ao se calcular a norma Eucldana de (10), está sendo calculada a dstânca entre as redes A e B. Isto é mostrado na Equação (11). Esta é a norma chamada T-norm. ( ) ( ) ( ) [ ] , + = = m B A B A s w w p w B w A p B A dst (11) Na Equação (10) o termo ) 1.( B A w w p calcula a parcela do vetor referente a dferenças na topologa e o termo ). 2.( B A w B w A p calcula a parcela do vetor relaconada com a dferencação de ramos. Ao longo deste trabalho, o peso das conexões ( N w ) é calculado usando a Equação (12): 2 N b N a N s s w = (12)

26 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA s N x N d x, = 1 max( d raz N j, raz ) (13) 26 onde: a e b são os nós extremos da conexão na rede N ; N s x é o peso do nó x na rede N ; d, é a dstânca total do camnho entre o nó x e o nó raz da rede N (medda em km); N x raz N max( d j, raz ) é a máxma dstânca dos camnhos entre um nó j e a raz da rede N, para todos os j pertencentes ao conjunto V. Conexões próxmas à raz da rede têm nfluênca maor na caracterzação da rede do que conexões próxmas às extremdades da rede. Assm, uma mudança em uma conexão próxma à raz causa uma grande modfcação no vetor que representa a rede, enquanto uma mudança em uma conexão extrema da rede causara uma modfcação pequena no vetor que representa a mesma. Em uma rede de dstrbução de energa o fluxo de potênca sofre uma grande perturbação se ocorrer uma mudança nas conexões próxmas a subestação (raz da rede) enquanto que uma mudança nas conexões termnas da rede provoca suaves alterações no fluxo. Os fatores de penaldade p 1 e p 2, neste trabalho, são arbtrados como p. 1 = k tc e p 2 = 1, onde k é uma constante e t c é o número de tpos de ramo. Neste caso, uma mudança na topologa tem um mpacto k vezes maor que a mudança no tpo de ramo. Para lustrar a métrca T-norm, quatro redes foram geradas aleatoramente e são mostradas na Fgura 5. A Tabela 1 mostra a dstânca normalzada entre estas redes. A dstânca entre as redes A e B é pequena, já que se dferem apenas no tpo de ramo. A dstânca entre A e D ou B e C é grande, pos possuem grande dferença na topologa. A dstânca entre A e C é próxma à dstânca entre B e C dado a smlardade entre A e B. com base nestas observações, percebe-se que a métrca proposta em (11) tem o comportamento esperado de uma medda de dstânca, o que dá suporte à sua aplcação (Carrano, 2007).

27 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 27 a) rede A b) rede B c) rede C d) rede D Fgura 5: Redes geradas aleatoramente para exemplfcar a T-norm. Tabela 1: Dstânca normalzada entre os exemplos de redes. Rede A B C D A B C D

28 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Geração de redes aleatóras a dstâncas pré-defndas 28 Neste trabalho é feto um processo de busca local onde uma rede aleatóra é gerada a uma dstânca pré-defnda de uma dada rede. Este processo é descrto abaxo. Seja uma rede ncal P e uma dada dstânca requerda γ para defnr uma rede R que esteja à dstânca γ de P, deve-se segur os seguntes passos: Geração de redes aleatóras a dstâncas pré-defndas conf 1; r r P ; R x f conf = 1then r C r conj.removdas(r ) ; f R x else CR r não é vazo then x A aleatóro(c ) ; r R end f x r mod fcação1(r, A) ; conf = 1; conf = 0 ; end f r CC r conj. tpos(r ) ; R x r r R ; R x for = 1 até R r x CC R r do x r r RR mod fcação2(r,cc r ()) ; r f T norm(p, RR) γ ε R r RR ; end f Saa do for x x x x R x

29 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA end for 29 onde: P r : rede a partr da qual será gerada uma nova rede à dstânca γ pela métrca T-norm com uma tolerânca ε; CR r : conjunto de conexões de x R r x que podem ser removdas. conj. removdas: determna o conjunto de conexões de R r x que podem ser removdas, tal que a rede resultante R (após ser corrgda para manter-se factível) cumpra a desgualdade: R, P γ ; A: varável auxlar que defne uma conexão escolhda aleatoramente dentro do conjunto C r ; modfcação1: remove a conexão defnda em A de copa o resultado para R r x ; conj. tpos: determna o conjunto de conexões de R r x, mantendo a rede resultante factível e R r x que podem ter seus tpos mudados de R x forma que a rede resultante R cumpra R, P γ ε ; modfcação2: muda o tpo de conexão da conexão do conjunto CC r da rede R r ; R x x RR : varável auxlar; R r : rede gerada a uma dstânca γ pela métrca T-norm com uma tolerânca ε da rede P r. 1.5 Formulação do Problema de Redes de Dstrbução de Energa Elétrca Formulação geral do problema de otmzação mult-objetvo Em um problema mult-objetvo, o vetor de parâmetros que devem ser escolhdos é dado por x sendo n n m x R. Seja f ( ): R R. a o vetor de m funções objetvos desse problema. O conjunto de soluções efcentes * X é descrto por:

30 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA 30 X * = arg mn f 1( x)... (x) f m (14) sujeto a: g 1( x) 0... g r ( x) 0 h 1 ( x) = 0... ( x) = 0 h p (15) O conjunto de restrções defndo em (15) forma a regão na qual o problema se encontra restrto F X. Em geral não exste um únco ponto mínmo para todas as funções. Então: x Fx em que f (.) atnge valor X * * * * = { x F z F onde f ( z) f ( x ) e f ( z) f ( x )} (16) X X onde os operadores relaconas e são defndos para vetores u, v R m, tal que: u v u v = 1,..., m u v u v =,..., m (17) Os pontos x Fx que não pertencem ao conjunto * X são dtos domnados, uma vez que há alguns outros pontos, z, tas que f ( z) f ( x) e f ( z) f ( x), o que quer dzer Fx que f (z) é melhor que f (x) em pelo menos uma coordenada, sem ser por em qualquer outra coordenada. Neste caso, z domna x. As soluções * x que pertencem ao conjunto são dtas soluções efcentes, uma vez que não são domnadas por nenhum outro ponto. Nos X *

31 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA pontos efcentes todas as coordenadas (objetvos) não são pores em comparação com as coordenadas dos pontos não efcentes que eles domnam, mas não necessaramente em comparação com as coordenadas de todos os pontos não efcentes. A característca que determna que um ponto seja não efcente é que ele é domnado por algum ponto efcente, não por todos os pontos efcentes. Portanto, a otmzação mult-objetvo procura pelas soluções efcentes para o problema de otmzação vetoral. O conjunto das soluções efcentes é denomnado conjunto Pareto ótmo. Com a obtenção do conjunto Pareto para determnado problema é que o projetsta avala o efeto da substtução de uma solução por outra, tendo em vsta a perda em um objetvo com o smultâneo ganho em outro (ou outros). Na abordagem mono-objetvo esta análse não pode ser feta Formulação do problema de redes Consderando a representação de redes apresentada na Seção e sendo f c (X ) uma função de X que se deseja mnmzar, pode-se formular o problema do projeto de redes da segunte forma: onde: F x é o conjunto de redes factíves; Gc é um grafo completo. X * Sujeto a = arg mn f ( X ) (18) X c : X F x G c (19) No presente trabalho é consderado o problema mult-objetvo do projeto de redes de dstrbução de energa elétrca. Este problema pode ser representado por: X * mc f ( N) fc = arg mn f ( N) X mep f ( N) (20) Sujeto a : X F X G c (21)

32 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA onde: f mc (N) é o custo monetáro da rede N (dado em $) 32 f fc (N) é o custo de faltas da rede N (dado $) f mep (N) é a mínma potênca excedente em cada lnha da rede N (dado em kw). A solução para o problema é obtda consderando a mnmzação do custo monetáro e do custo de faltas da rede e a maxmzação da mínma potênca excedente em cada lnha da rede. Como o problema proposto fo modelado como um problema de mnmzação é necessáro converter a maxmzação da função em uma mnmzação, o que é feto consderando a mnmzação da função com snal nverso Função Custo Monetáro da Rede No projeto de redes de dstrbução de energa elétrca três aspectos devem ser levados em consderação: Mnmzação do nvestmento para a nstalação e/ou redmensonamento do sstema; Mnmzação dos custos com a manutenção da rede; Mnmzação das perdas de energa elétrca na rede. Além dos três aspectos ctados acma, a rede deve atender a requstos técncos de projeto para que ela possa operar em conformdade com a legslação estabelecda pelos órgãos reguladores. Quatro restrções devem ser obedecdas (Wlls et al., 1996): Atendmento a todos os consumdores (todos os nós devem ter sua demanda de energa atendda); Manutenção da estrutura da rede (a rede deve manter sua estrutura de árvore); Trabalhar sob o lmte de capacdade de transferênca de potênca das lnhas de transmssão da rede; Atender aos níves de tensão regulamentados para cada barra de carga. Os três aspectos ctados podem ser agregados em uma únca função objetvo que representa a função custo. Esta agregação é possível porque representam grandezas econômcas e se dferem apenas no momento em que os recursos fnanceros são aplcados (Ramrez-Rosado e Bernal-Austn, 1998; Carrano et al., 2006). As equações (22) e (23)

33 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA representam a função objetvo e as restrções para o problema de redes de dstrbução de energa elétrca. 33 f mc ( N) = m at N Y. IC( N ) + = 1 t= 1 m = 1 Y N [ MC( N ) + LC ] (1 nt rt ) t 1 (22) c c c c m N 1 : Y = V 1 = 1 m N 2 : Y S 1 = : I I max ( N ) : 0.94 n V N V (23) onde: N é a rede avalada; m é o número de conexões possíves; at é o tempo prevsto para o projeto; f mc (N) é o custo monetáro no tempo presente da rede N (em $); N Y é 1 se a conexão está presente na rede N ou 0 caso contráro; N é o tpo de ramo utlzado na conexão ; IC N ) = l. brc( N ) é o custo total da nstalação (ou substtução) do ramo (em $); ( MC N ) = l. mnc( N ) é o custo total de manutenção do ramo (em $/ano); ( I f tax LC l. en. = P é o custo total de perdas do ramo (em $/ano); L rt nt é a taxa de juros anual; V é o conjunto de nós da rede N ; S é o conjunto de nós nduzdo pelo conjunto de conexões N ; I é a corrente no ramo ; n V é a tensão do nó ; l é o comprmento da conexão (em km) brc ( N ) é o custo do ramo de tpo N (em $/km); mnc ( N ) é o custo de manutenção do ramo de tpo N (em $/km/ano);

34 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA f l é o fator de perda; 34 tax en é a tarfa de energa (em $/kwh); L P é a perda de energa no ramo (em KW). A função objetvo é composta de duas parcelas: a prmera corresponde aos custos fxos, compostos pelos custos com nstalação (gastos quando a rede é nstalada), e a segunda corresponde aos custos varáves, compostos pelos custos de manutenção e perdas de energa (ocorrem ao longo do tempo de projeto e devem ser transformados em valor presente). Os custos de nstalação e manutenção são estrtamente dependentes do comprmento e do tpo de cabo utlzado nas conexões. Os custos com perdas de energa são relaconados à topologa da rede e à condção de operação consderada no projeto Função Custo de Falta na Rede A confabldade do sstema de dstrbução de energa elétrca é uma grandeza que sempre deve ser consderada durante o projeto porque nterrupções no fornecmento de energa podem ser causadores de conseqüêncas graves como prejuízo fnancero da concessonára e clentes, desgaste da magem da empresa, não atendmento de clentes prortáros (hosptas, clíncas, etc). Assm, dos novos aspectos devem ser levados em consderação no planejamento: Mnmzação do número de nterrupções; Mnmzação do tempo das nterrupções. Estes dos aspectos podem ser agregados em uma únca função que é mostrada na Equação (24). Essa função estma a confabldade do sstema através do custo causado por falhas no sstema. f fc ( N) = at t= 1 m = 1 Y N. λ( N ). l A tax tax [ r( N ). P. en + fl ] j (1 nt rt ) t 1 (24) onde: f fc (N) é o custo de falta da rede N (em $); λ( N ) é a taxa de falha do ramo de tpo N (em falhas/km.ano);

35 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA r ( N j ) é a duração méda por falta do ramo de tpo N (em h/falha); 35 A P é a potênca atva no ramo (em kw); tax fl é o custo médo por falha. Alguns trabalhos como (Mranda et al., 1994; Chng-Tzong e Guor-Rurng, 2002) ncluem a confabldade no problema de otmzação, porém utlzando uma soma ponderada dos custos monetáros e dos custos relaconados a falhas no sstema. Essa abordagem não é recomendada, já que torna mpossível o mapeamento de parte do conjunto Pareto na maor parte dos problemas prátcos Função Mínma Potênca Excedente em Cada Lnha A nserção da função objetvo mínma potênca excedente e sua maxmzação no processo de otmzação possblta a obtenção de redes mas robustas para ldar com ncertezas, já que redes bem avaladas nessa função apresentam boa capacdade ocosa, que pode ser ocupada com cargas além das prevstas. Esta função é mostrada na Equação (25). f mep PMx PLn ( N) = mn PLn (25) onde: f mep (N) é a mínma potênca excedente em cada lnha; = 1,...,n ; n é o número de lnhas; PLn é a potênca que flu na lnha ; PMx é a máxma potênca que pode flur na lnha. Quando cenáros dstntos do mas provável são crados, algumas redes podem se tornar soluções nadequadas, pos estas podem não ser capazes de ldar com város dos cenáros de carga possíves. Quando é feta a otmzação para o cenáro mas provável com os dos objetvos descrtos em , e com a função mínma potênca excedente em

36 CAPÍTULO 1: PROJETO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA cada lnha, um consderável número de redes apresenta comportamento satsfatóro quando submetdas a cenáros dstntos do mas provável. 36

37 CAPÍTULO 2: ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS 37 2 ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS 2.1 Introdução Os Algortmos Evoluconáros (AE's) possuem funconamento smples e não mostram sgnfcatvas dfculdades para serem mplementados computaconalmente. Isto justfca sua grande acetação no âmbto da otmzação. Exemplos de Algortmos Evoluconáros são: Algortmos Genétcos (GA's) (Goldberg, 1989), Algortmos de Colôna de Formgas Ant Colony Algorthms (Dorgo et al., 1996; Dorgo and Gambardella, 1997; Dorgo et al.,1999) e Sstemas Imunológcos Artfcas (de Castro and Tmms, 2003; de Castro and Von Zuben, 2002; de Castro, 2001). Quanto à aplcação de Algortmos Evoluconáros em problemas de redes de energa elétrca, pode-se ctar: - Algortmos Genétcos: projeto de redes de dstrbução (Soares, 2001; Ramírez-Rosado and Bernal-Agustín, 1998); projeto de redes de transmssão de energa (Chung et al., 2003; Duan & Yu, 2002); posconamento de subestações assocado ao projeto da topologa do sstema utlzando GA's híbrdos (Carrano et al., 2005; Carrano et al., 2007b);