MODELO DE FILA HIPERCUBO COM MÚLTIPLO DESPACHO E BACKUP PARCIAL PARA ANÁLISE DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO MÉDICO EMERGENCIAIS EM RODOVIAS

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1 versão mpressa ISSN / versão onlne ISSN MODELO DE FILA HIPERCUBO COM MÚLTIPLO DESPACHO E BACKUP PARCIAL PARA ANÁLISE DE SISTEMAS DE ATENDIMENTO MÉDICO EMERGENCIAIS EM RODOVIAS Ana Paula Iannon Renaldo Morabto * Departamento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de São Carlos (UFSCar) São Carlos SP * Correspondng author / autor para quem as correspondêncas devem ser encamnhadas Recebdo em 06/2005; aceto em 05/2006 Receved June 2005; accepted May 2006 Resumo O modelo hpercubo é um modelo de flas espacalmente dstrbuídas baseado em aproxmações Markovanas para analsar a confguração e operação de sstemas emergencas servdor-para-clente, em que os servdores se deslocam até os clentes. Neste estudo adaptamos este modelo para tratar sstemas de atendmento médco emergencas (SAEs) em rodovas com polítcas partculares de despacho, em que somente algumas ambulâncas do sstema podem atender chamadas em uma dada regão (backup parcal), e duas ou mas ambulâncas dêntcas ou dferencadas podem atender uma únca chamada (múltplo despacho). Também consderamos stuações em que uma ambulânca pode se encontrar ocupada em sua própra base atendendo uma chamada não emergencal, sto é, sem ter que se deslocar na rodova. Resultados computaconas da aplcação do modelo num estudo de caso de um SAE de uma concessonára de rodovas no nteror de São Paulo são apresentados e analsados. Palavras-chave: sstemas emergencas; modelo hpercubo de flas; despacho de ambulâncas; rodovas. Abstract The hypercube s a spatally dstrbuted queung model based on Markovan analyss approxmatons to analyze the confguraton and operaton of server-to-customer emergency systems, n whch servers travel to the locatons of the customers. In the present study we adapt the model to analyze emergency medcal systems (EMS) on hghways operatng wth partcular dspatchng polces, whch consders that only certan ambulances n the system can servce calls n a gven regon (partal backup), and two or more dentcal or dstnct ambulances can smultaneously servce a sngle call (multple dspatch). We also consder the stuatons n whch an ambulance s busy n ts base servcng a non-emergency call (.e. t does not need to travel along the hghway). Computatonal results of the model applcaton to a case study of an EMS operatng on hghways n São Paulo state are presented and analyzed. Keywords: emergency medcal systems; hypercube queung model; ambulance deployment; hghways. Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

2 . Introdução Nos sstemas de atendmento médco emergencas (SAEs), o tempo médo de resposta é uma das meddas mas mportantes para o nível de servço ao usuáro. Ao proetar ou modfcar a confguração de SAEs, é fundamental a consderação do trade-off entre a qualdade de atendmento e os custos de nvestmento e operação nestes sstemas. Além dsso, como os SAEs em geral são servços do tpo servdor-para-clente (server-tocostumer), em que os servdores precsam se deslocar até o local da solctação do usuáro e há ncertezas com relação à localzação dos servdores e localzação e nstante dos chamados, a análse de desempenho destes sstemas deve levar em conta fatores probablístcos na dstrbução espacal e temporal dos chamados e servdores. Importantes contrbuções podem ser encontradas na lteratura em estudos sobre modelos descrtvos e prescrtvos (otmzação) que ncorporam estes aspectos probablístcos dos SAEs. No entanto, a maora destes modelos consdera apenas a aleatoredade assocada à dsponbldade dos servdores e não admtem que há outros aspectos probablístcos que devem ser consderados na análse. Nos trabalhos de Swersey (994), Owen & Daskn (998), Chyosh et al. (2000) e Brotcorne et al. (2003) são revstos os prncpas modelos de localzação para analsar os sstemas de atendmento emergencal, desenvolvdos nas últmas décadas. O modelo hpercubo (Larson, 974; Larson & Odon, 98), baseado em teora de flas espacalmente dstrbuídas, tem se mostrado como um dos modelos descrtvos mas efetvos para analsar estes sstemas. A déa básca é expandr o espaço de estado dos servdores de um smples sstema Markovano de flas com múltplos servdores (p.e, M/M/N, onde N é o número de servdores), de forma a representar cada servdor ndvdualmente e ncorporar as complexdades envolvdas na polítca de despacho. O modelo mplca na solução de sstemas lneares de O(2 N ) equações, cuas varáves envolvdas correspondem às probabldades de estado do sstema em equlíbro. Por meo destas probabldades podem ser estmadas mportantes meddas de desempenho para análse e gerencamento do sstema, tas como cargas de trabalho dos servdores, tempo médo de resposta aos usuáros e frações de despacho de cada servdor para cada regão. Como o modelo hpercubo orgnal de Larson (974) admte hpóteses que podem lmtar sua aplcação dreta para análse dos SAEs, dversas adaptações e extensões vêm sendo estudadas, prncpalmente em patrulhamento polcal e despacho de ambulâncas. Alguns estudos podem ser encontrados em Larson (975), Halpern (977), Chelst & Barlach (98), Larson & Mcknew (982), Jarvs (985), Burwell et al. (993), Mendonça & Morabto (2000, 200) e Iannon et al. (2005). Em partcular, Chelst & Barlach (98) modfcaram o modelo hpercubo para consderar duplo despacho de vaturas dêntcas em sstemas de patrulhamento polcal, e Mendonça & Morabto (2000, 200) modfcaram o modelo para consderar smples despacho com backup parcal em sstemas de atendmento médco, em que somente algumas ambulâncas podem atender chamadas em uma dada regão. Outros estudos propõem a combnação do modelo hpercubo com modelos de otmzação, tas como Batta et al. (989), Saydam et al. (994), Saydam & Aytug (2003), Chyosh et al. (2003), Galvão et al. (2005) e Iannon & Morabto (2006b). Exemplos de aplcações do modelo hpercubo em SAEs nos Estados Undos podem ser encontrados em Larson & Odon (98), Chelst & Barlach (98), Brandeau & Larson (986), Burwell et al. (993) e Sacks & Gref (994). Recentemente, o modelo hpercubo também vem sendo estudado para aplcação em sstemas de emergênca que atuam em caso de ataques terrorstas e catástrofes naturas de grande escala (Larson, 2004). No Brasl, 494 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

3 alguns exemplos de aplcação do modelo hpercubo em sstemas de atendmento médco são: a análse de alguns SAEs urbanos (Takeda et al., 2004, 2007; Costa, 2004) e alguns SAEs em rodovas do estado de São Paulo e Ro de Janero (Mendonça & Morabto, 2000, 200; Iannon, 2005; Iannon et al., 2005). No presente artgo, estudamos modfcações no modelo hpercubo para analsar os SAEs em rodovas consderando polítcas partculares de despacho. No prmero modelo, estendemos o modelo hpercubo múltplo despacho de Chelst & Barlach (98) consderando polítcas com backup parcal e múltplo despacho de ambulâncas dêntcas para uma mesma chamada. No segundo modelo, estendemos o prmero modelo ncorporando um tercero estado para cada servdor, enquanto realza atendmentos na sua própra base, que dferem dos atendmentos a acdentes realzados ao longo da rodova porque não envolvem deslocamento do servdor. No tercero modelo, estendemos o prmero modelo consderando que os servdores são dferencados e em cada regão são geradas chamadas que podem requer únco ou múltplo despacho de dferentes tpos de servdores. Estas varações do modelo hpercubo podem também ser ncorporadas em procedmentos de otmzação que utlzam o modelo hpercubo, por exemplo, em heurístcas de substtução de vértces de forma a determnar a localzação ótma das ambulâncas que maxmza a cobertura esperada dos usuáros, tas como os estudos de Batta et al. (989), Saydam & Aytug (2003), Chyosh et al. (2003) e Galvão et al. (2005). Para sstemas com moderado número de servdores, também podem ser utlzados smples métodos de enumeração, conforme estudado em Iannon et al. (2005). Os modelos apresentados no presente estudo são aplcados para analsar duas confgurações dferentes do SAE de uma concessonára de rodovas no estado de São Paulo. Este artgo está organzado da segunte forma: a seção 2 apresenta uma breve descrção de duas dferentes confgurações do SAE analsado; a seção 3 descreve cada uma das três varações do modelo hpercubo propostas para analsar o SAE; a seção 4 analsa os resultados das prncpas meddas de desempenho obtdas pelos modelos, valdando estes resultados por meo de análse da amostra de dados e smulação dscreta do sstema. Fnalmente, a seção 5 apresenta as conclusões deste estudo e perspectvas para pesqusas futuras. 2. Sstemas de Atendmento Emergencas em Rodovas Os SAEs em rodovas são em geral caracterzados por não admtrem flas de espera, pos quando os servdores canddatos estão ocupados, a chamada deve ser transferda a outro sstema (nem sempre capaz de oferecer a mesma qualdade de servço). Em geral, a operação dos SAEs em rodovas conta com uma central de nformações, localzada em um ponto da rodova ou cdade estratégca, que é responsável por receber as chamadas por atendmento, despachar as ambulâncas de acordo com a polítca de despacho do sstema e montorar os movmentos das mesmas. As ambulâncas destes SAEs têm a função de socorrer as vítmas de acdentes nas rodovas e, se necessáro, realzar o transporte das mesmas ao hosptal da cdade mas próxma. Alguns SAEs em rodovas brasleras são gerencados por organzações prvadas como parte do contrato de concessão com o governo do estado. De acordo com este contrato, estas organzações devem realzar todas as obras necessáras de planeamento, amplação e melhora das rodovas, assm como prover todo tpo de assstênca ao usuáro. Neste estudo, Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

4 analsamos duas confgurações dferentes de um SAE de uma concessonára do estado de São Paulo. Os dados analsados das duas confgurações foram obtdos em duas pesqusas de campo do mesmo SAE em épocas dferentes: A prmera confguração operava até 2004 e a segunda, operando desde então, corresponde à confguração anteror com certas modfcações na polítca operaconal, como descrto a segur. Confguração : Na prmera confguração há cnco bases de ambulâncas (chamadas SAU Servço de Atendmento ao Usuáro) ao longo do trecho de concessão, sendo que cada base possu uma ambulânca. As ambulâncas são todas dêntcas, e a central de nformações está localzada em uma das bases na rodova. A polítca de despacho consste em envar a ambulânca da base mas próxma do local da chamada, se a chamada requer apenas uma ambulânca (únco despacho). Se a ambulânca estver ocupada, a segunda ambulânca mas próxma (chamada backup) é despachada. Quando a chamada requer duplo despacho, as duas ambulâncas mas próxmas são aconadas. Se alguma delas estver ocupada, a ambulânca dsponível é despachada. Caso as duas ambulâncas mas próxmas estverem ocupadas, a chamada (únco ou duplo despacho) é transferda para outro sstema, e é consderada perdda para o sstema. O tempo de resposta em um duplo despacho é consderado gual ao da prmera ambulânca que chega no local, que deve ncar medatamente o atendmento. Além dsso, consderável parte das chamadas atenddas por cada ambulânca ocorre na sua própra base na rodova. Por exemplo, um usuáro da rodova ou trabalhador de uma nstalação próxma de uma base do SAE na rodova pode solctar atendmento nesta base. Tas eventos tornam os servdores ocupados mas são caracterzados por tempo de vagem gual a zero, conseqüentemente o tempo médo de atendmento aos usuáros (que genercamente compreende um tempo de preparação, o tempo de vagem até o local do acdente, o tempo de atendmento em cena e o tempo de retorno à base) deve ser dferencado para estas chamadas. Outra característca mportante é que quando uma chamada deste tpo chega em uma base cua ambulânca está ocupada realzando um atendmento fora da base, não há atendmento backup. Esta chamada é perdda para o sstema, mesmo que ambulâncas em outras bases esteam dsponíves. Note que, com esta polítca partcular de despacho, a chamada pode ser atendda por somente duas ambulâncas (preferencal e backup) ou por apenas a ambulânca preferencal (no caso das chamadas atenddas na base), e a tercera ambulânca nunca é despachada. Portanto, este sstema pode ser defndo como um sstema com múltplos servdores sem flas de espera de chamados, que não satsfaz algumas das prncpas hpóteses do modelo hpercubo orgnal de Larson (974). Estas hpóteses admtem que qualquer servdor pode vaar a qualquer átomo, um únco servdor pode ser despachado para cada chamada e qualquer chamada pode ser atendda por um servdor backup, caso o servdor preferencal estea ocupado. A Fgura lustra a área de atuação do SAE analsado neste trabalho, envolvendo trechos de rodovas do nteror do estado de São Paulo. 496 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

5 Fgura SAE em trechos de rodovas do nteror do estado de São Paulo. Na Fgura as localzações dos cnco SAUs (bases das ambulâncas) são: SAU (km 27), SAU 2 (km 82), SAU 3 (km 44), SAU 4 (km 99) e SAU 5 (km 225). Estes correspondem a trechos de três rodovas paulstas: Rodova SP-30 Washngton Luz (Corderópols a São Carlos SAU e SAU 2), Rodova SP-225 Eng. Paulo Nlo Romano (Itrapna a Jaú SAU 3) e Rodova SP-225 Comandante João Rbero de Barros (Jaú a Bauru SAU 4 e SAU 5). Confguração 2: A confguração 2 apresenta algumas modfcações com relação à confguração do SAE analsado. A partr de 2004, o sstema passou a operar com ses veículos, sendo cnco ambulâncas dêntcas (ou veículos resgates) e um veículo médco. O veículo médco dferenca-se do veículo resgate por ser um veículo mas leve que não permte transporte de vítmas, mas que transporta o médco, o enfermero, medcamentos, nstrumentos báscos de socorro e operações emergencas (p.e., equpamentos para realzação de um parto). Os veículos resgates são mas pesados que o veículo médco dado que transportam, além das vítmas do acdente e equpamentos de prmeros socorros, equpamentos para combate a ncêndo e quebra de ferragens para remoção das vítmas. A localzação e o número de bases de emergênca (cnco SAUs) ao longo da rodova não sofreu alterações, sendo que o veículo médco está localzado no SAU (km 27) (vea Fgura ). Dado que os veículos resgates dferencam-se do veículo médco nos aspectos descrtos acma, a polítca de despacho do sstema também sofreu alterações. Por meo desta nova polítca, as ambulâncas passaram a ser despachadas de acordo com o tpo de chamada de emergênca ao longo da rodova. De acordo com a descrção dos gerentes e operadores do sstema, o despacho dos veículos pode ocorrer da segunte forma: Despacho do veículo médco como únco despacho: que ocorre para determnados tpos de chamadas que não requerem o uso de equpamentos mas especalzados e/ou transporte de vítmas; Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

6 Despacho de veículos resgates como únco ou múltplo despacho, tal como no sstema confguração. Em geral atendem, por exemplo, acdentes que envolvam transporte de vítmas, quebra de ferragens, combate a ncêndo, remoção de vtmas ou anmas, entre outros; Despacho do veículo médco e de um veículo resgate: dversas chamadas no sstema exgem a presença do médco no local do acdente para realzar ou orentar os procedmentos de emergênca necessáros, além da operação de um veículo resgate, por exemplo, para resgatar as vítmas e realzar o transporte das mesmas; Despacho de até três veículos (veículo médco e dos veículos resgates, ou três veículos resgates): que ocorre apenas quando o número de vítmas envolvdas no acdente está acma da capacdade de atendmentos de um ou dos veículos resgates. Uma dferencação mportante da polítca de despacho da confguração 2 em relação à da confguração é que pode ocorrer o despacho do tercero veículo mas próxmo. Ou sea, quando ocorre uma chamada que requer o despacho do veículo médco e de um resgate, e um destes está ocupado, o tercero veículo mas próxmo pode ser despachado. Assm, além de volar as mesmas hpóteses do modelo hpercubo orgnal (da mesma forma que a confguração ), na confguração 2 há chamadas que requerem únco ou múltplo despacho de dferentes tpos de veículos em cada regão. Nas seções seguntes, mostramos três extensões do modelo hpercubo múltplo despacho para estudar os SAEs em rodovas: O prmero modelo (modelo ) é aplcado à confguração, cua polítca de despacho mplca em múltplo despacho de ambulâncas dêntcas e backup parcal. No entanto, esta extensão do modelo não analsa o sstema consderando as dferenças de atendmento entre chamadas atenddas na base e chamadas atenddas ao longo da rodova; O segundo modelo (modelo 2) também estuda a confguração do SAE analsado, mas trata as chamadas atenddas na base (que não requerem tempo de vagem) como um novo tpo de chamada, com tempo de atendmento dferencado das chamadas de emergênca com únco e duplo despacho de ambulânca; O tercero modelo (modelo 3) analsa a confguração 2 do sstema, consderando que a operação deste SAE envolve únco e múltplo despacho de ambulâncas dêntcas e dferencadas (veículo médco e veículos resgates) e backup parcal. 3. O Modelo Hpercubo para SAEs em Rodovas O nome hpercubo é dervado do espaço de estado do sstema, sendo que cada estado do sstema corresponde a um vértce de um hpercubo. Um estado (vértce) em partcular do sstema é representado pela lsta de servdores que estão lvres e ocupados. Se há dos estados possíves para cada servdor: lvre (0) ou ocupado () em certo nstante de tempo, temos então 2 N estados (vértces) para o sstema. Por exemplo, em um sstema com N = 3 servdores, o estado 0 corresponde ao estado (vértce de um cubo) em que os servdores e 3 estão ocupados e o servdor 2 está lvre. As prncpas hpóteses que são comuns as três extensões do modelo hpercubo múltplo despacho para análse dos SAEs em rodovas são: 498 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

7 A rodova é partconada em N A átomos geográfcos (regões), os quas correspondem a fontes ndependentes de chamadas. Em cada átomo admte-se que as chamadas são geradas de acordo com um processo de Posson. As chamadas podem ser dferencadas de acordo com o tpo de chamada (modelos, 2 e 3), tpo de atendmento (modelo 2) e tpo de veículo despachado de acordo com o tpo de chamada (modelo 3). Por exemplo, no modelo, as chamadas podem ser de dos tpos: chamadas tpo (com taxa de chegada λ ) são chamadas de emergênca que requerem despacho de uma únca ambulânca, e chamadas tpo 2 (com taxa de chegada λ ) requerem o despacho smultâneo de duas ambulâncas dêntcas. Há N ambulâncas espacalmente dstrbuídas ao longo da rodova, que permanecem fxas em suas bases quando dsponíves. Como menconado anterormente, de acordo com a polítca partcular dos SAEs em rodovas, cada ambulânca pode somente vaar para átomos de suas áreas preferencal e backup. Uma área preferencal de uma ambulânca corresponde aos átomos para os quas a ambulânca é despachada se dsponível, mesmo que todas as outras ambulâncas esteam dsponíves. O despacho dos servdores é realzado de acordo com uma lsta de preferênca para cada átomo. A ambulânca mas próxma está no topo desta lsta (prmera a ser despachada). Ocorre o backup parcal de ambulâncas, dado que devdo às restrções de dstânca, somente algumas ambulâncas podem atender como backup, e a chamada pode não ser atendda mesmo que haa outras ambulâncas dsponíves. Descrevemos a segur como a polítca de despacho é defnda em cada uma das confgurações e como cada modelo é defndo de forma a consderá-la. O tempo médo de atendmento para cada ambulânca nclu um tempo de preparação, os tempos de vagem (da e volta) e o tempo de atendmento em cena. Consdera-se que cada ambulânca do sstema possu um tempo médo de servço dstnto ( µ ). O modelo admte que o tempo de atendmento é representado por uma dstrbução exponencal negatva, mas tem sdo observado que desvos razoáves desta suposção não alteram sgnfcatvamente a precsão do modelo. Dado que os SAEs em rodovas não admtem flas, esta suposção é anda menos mportante para a acuracdade do modelo, uma vez que modelos M/M/N/N e M/G/N/N têm a mesma dstrbução de equlíbro (Larson & Odon, 98). O tempo de vagem entre cada par de átomos é conhecdo ou pode ser estmado utlzando os concetos de probabldade geométrca. As varações no tempo de atendmento devdo a varações no tempo de vagem são consderadas de segunda ordem quando comparadas a varações no tempo em cena ou no tempo de preparação. 3. Modelo hpercubo múltplo despacho com servdores dêntcos e backup parcal (modelo ) Como menconado anterormente, o modelo pode ser aplcado aos SAEs em rodovas cua polítca de despacho é smlar a da confguração do estudo de caso (seção 2). Este modelo admte que há dos tpos de chamadas no sstema: chamadas tpo que requerem o despacho de apenas uma ambulânca (com taxa de chegada λ ) e tpo 2 que requerem o despacho smultâneo de duas ambulâncas (com taxa de chegada λ ). Portanto, esta versão do Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

8 modelo hpercubo trata os SAEs com uma polítca de despacho partcular que envolve: duplo despacho de servdores dêntcos para atender um mesmo acdente; backup parcal (somente alguns servdores do sstema podem atender um determnado átomo) e não há fla de espera. De acordo com a lsta de preferênca de despacho em cada átomo, ao ocorrer uma chamada do tpo, a prmera ambulânca da lsta é despachada, e se esta estver ocupada, a ambulânca backup é despachada. No caso de chamadas tpo 2, as duas prmeras ambulâncas da lsta são despachadas, e se apenas uma delas estver dsponível, esta deve atender ao chamado soznha (possvelmente, com a auda de outro SAE). Se ambas as ambulâncas estverem ocupadas, tanto chamadas do tpo quanto do tpo 2 são perddas, dado que uma tercera ambulânca nunca é despachada (backup parcal). Com relação ao processo de atendmento, temos que: chamadas tpo são atenddas por uma únca ambulânca com taxa méda de atendmento µ, e chamadas tpo 2 são atenddas por duas ambulâncas e k, que operam de forma ndependente entre s com taxas médas de atendmento µ e µ k, respectvamente. Note que, com relação ao tempo de atendmento, uma chamada tpo 2 é tratada como duas chamadas tpo dstntas, sendo atenddas cada uma por uma ambulânca. Como dscutdo em Chelst & Barlach (98), tal consderação mantém o mesmo número de estados do sstema do modelo hpercubo orgnal (2 N ), pos se dferencássemos o tempo de atendmento para chamadas tpo 2, teríamos que consderar um estado adconal para cada ambulânca (quando ocupada atendendo uma chamada tpo 2), e o número de estados possíves para o sstema passara para 3 N. Equações de equlíbro no modelo : Para descrever brevemente como as equações de equlíbro são defndas no modelo, utlzamos um sstema exemplo com N A = 4 átomos e N = 3 servdores. Neste exemplo, em cada átomo, pode ocorrer chamadas tpo ( λ ) e tpo 2 ( λ ), conforme polítca de despacho descrta acma. A lsta de preferênca de despacho para cada átomo com duas ambulâncas (preferencal e backup) é composta da segunte forma: átomo ambulâncas e 2; átomo 2 ambulâncas 2 e ; átomo 3 ambulâncas 2 e 3 e átomo 4 ambulâncas 3 e 2, sendo que, a lsta de preferênca de despacho do átomo é a mesma para chamadas tpo e tpo 2. Analsando um dos 2 3 = 8 estados possíves do sstema, por exemplo, o estado {0} (onde os servdores e 2 estão ocupados e o servdor 3 está lvre), temos a equação de equlíbro: P0 2 P P P P ( λ + λ + λ + λ + µ + µ ). = ( λ + λ ). + ( λ + λ + λ + λ ). + ( λ λ λ λ λ ). µ. Note que esta equação é formulada consderando que, em equlíbro, o fluxo para dentro do estado deve ser gual ao fluxo para fora do estado. Assm, as possíves transções para fora deste estado são: {0} {} ocorre com a chegada de uma chamada tpo ou tpo 2 nos átomos 3 e 4 (taxa total λ3 + λ4 + λ3 + λ4 ), pos o servdor 3 (únco dsponível), só atende chamadas nestes átomos; 500 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

9 {0} {00} e {0} {00} ocorre com o térmno de servço do servdor (taxa µ ) e servdor 2 (taxa µ 2 ), respectvamente. As transções para dentro do estado {0} são: {} {0} térmno de servço do servdor 3 (taxa µ 3 ); {00} {0} chegada de uma chamada tpo ou tpo 2 no átomo (taxa λ + λ ) ou no átomo 2 (taxa λ2 + λ2 ). Note que uma chamada tpo 2 é atendda por apenas um servdor dsponível da sua lsta de despacho (servdor ); {00} {0} chegada de uma chamada do tpo nos átomos, 2 ou 3 (taxa total λ + λ2 + λ3 ) e do tpo 2 nos átomos e 2 (taxa total λ + λ2 ). Note que uma chamada tpo 2 nos átomos ou 2 só pode ser atendda pelo servdor 2, mesmo que o servdor 3 também estea dsponível; {000} {0} chegada de uma chamada tpo 2 nos átomos ou 2 (taxa total λ + λ ) Modelo hpercubo múltplo despacho com tercero estado para cada servdor (modelo 2) O modelo 2 modfca o modelo consderando que nos SAEs em rodovas, parte das chamadas são atenddas pelas ambulâncas na sua base e possuem característcas dferencadas das que decorrem de acdentes ao longo da rodova, conforme dscussão na seção 2. Tas eventos tornam os servdores ocupados na própra base e são caracterzados por tempo de vagem gual a zero, conseqüentemente o tempo médo de atendmento deve ser dferencado para estas chamadas. Além dsso, se o servdor estver ocupado quando uma chamada chega na sua base, não há atendmento backup e a chamada é perdda para o sstema. Ao dferencar as chamadas atenddas na base com relação à polítca de despacho (não há backup) e ao tempo de atendmento (não há tempo de vagem), devemos consderar um tercero estado para cada ambulânca, que corresponde ao estado ocupado atendendo uma chamada na sua base. Extensão smlar do modelo hpercubo únco despacho fo estudada por Larson & Mcknew (982) para analsar os sstemas de patrulhamento polcal consderando que, uma parte do tempo que permanecem ocupadas, as vaturas de polca estão atendendo eventos que não foram atrbuídos por ordem de despacho da central. Os autores chamam estes eventos de PIAs (Patrol Intated Actvtes). Neste estudo [ a] denomnamos as chamadas atenddas na base como tpo a, com taxa de chagada λ em cada átomo. Como descrto anterormente, o atendmento deve ser dferencado para [ I ] chamadas tpo a, e cada ambulânca possu taxa de atendmento µ para chamadas tpo [ II ] (únco despacho) e tpo 2 (duplo despacho) e µ para chamadas tpo a em sua base. Uma ambulânca pode estar nos estados: (0) lvre; () ocupada atendendo uma chamada tpo ou tpo 2 ao longo da rodova; (2) ocupada atendendo uma chamada tpo a na sua base, e assm há 3 N estados possíves para o sstema. Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

10 Equações de equlíbro no modelo 2: Utlzamos um exemplo com N A = 4 átomos e N = 3 servdores, smlar ao da seção 3., para descrever brevemente como as equações de equlíbro são defndas no modelo 2. No entanto, neste caso consderamos que além de chamadas tpo ( λ ) e tpo 2 ( λ ), [ a] ocorrem também chamadas do tpo a ( λ ), que são dferencadas e ocorrem na base dos servdores. De acordo com a mesma lsta de despacho descrta para o exemplo da seção 3., chamadas tpo a em cada átomo só podem ser atenddas pelo servdor preferencal. Como dscutdo anterormente, cada servdor passa a ter 3 estados e há 3 3 = 27 estados possíves para sstema. Analsando, por exemplo, o estado {20}, temos a equação de equlíbro: [ a] [ II] [ I] [ a] P 2 20 P P200 [ I] [ II]. P P22 ( λ + λ + λ + λ + λ + µ + µ ). = ( λ ). + ( λ + λ + λ + λ + λ ). + µ µ As transções para fora do estado {20} (lado esquerdo da equação) são: {20} {2} chegada de uma chamada tpo ou tpo 2 nos átomos 3 e 4 (taxa total λ + λ + λ + λ ); {20} {22} chegada de uma chamada tpo a no átomo 4 (taxa λ pelo servdor 3; [ a] 4 ), atendda {20} {00} térmno de servço do servdor ao atender uma chamada tpo a [ II ] (taxa µ ); {20} {200} térmno de servço do servdor 2 ao atender uma chamada tpo ou [ I ] tpo 2 chamadas de emergênca (taxa µ ). As transções para dentro do estado {20} são: 2 {2} {20} térmno de servço do servdor 3 ao atender uma chamada tpo ou [] tpo 2 (taxa µ Ι ); 3 {22} {20} térmno de servço do servdor 3 ao atender uma chamada tpo a no [ ] átomo 4 (taxa µ ΙΙ ); 3 {00} {20} ocorre com a chegada de uma chamada tpo a no átomo (taxa λ ); {200} {20} ocorre com a chegada de uma chamada tpo nos átomos, 2 ou 3 (taxa total λ + λ + λ ) e tpo 2 nos átomos e 2 (taxa total λ + λ ) [ a] 3.3 Modelo hpercubo múltplo despacho com servdores dferencados (modelo 3) Alguns SAEs em rodovas operam com servdores dferencados (além de chamadas dferencadas do tpo e 2), sendo que o despacho do tpo de servdor depende do tpo de chamado. Por exemplo, alguns destes SAEs possuem veículos resgates, que são veículos em geral mas pesados que transportam, além de equpamentos de prmeros socorros, 502 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

11 equpamentos para combate a ncêndo e quebra de ferragens para remoção das vítmas de acdente. Outro veículo comum em alguns SAEs é o veículo de atendmento avançado (também chamado de UTI móvel) que possu equpamentos mas especalzados para tratar o pacente durante o transporte, mas que não transporta outros equpamentos pesados (p.e, de combate a ncêndo e remoção de ferragens) como o veículo resgate. Além dsso, outra possível dferença entre estes dos tpos de veículos é a equpe de profssonas transportada (resgatstas, médcos, enfermeros). Esta stuação é semelhante a dos sstemas urbanos SAMU, descrta em Takeda et al. (2004; 2007), onde as chamadas podem ser do tpo avançada (muto urgentes) ou báscas (urgentes) e, dependendo do tpo de chamada, é despachado prortaramente um veículo de suporte avançado (VSA) ou um veículo de suporte básco (VSB). Os SAEs smlares à confguração 2 do estudo de caso (seção 2) operam com veículos que transportam apenas o médco ao local do acdente (veículo médco), despachado smultaneamente com o veículo resgate. O veículo médco não transporta pacentes, medcamentos ou equpamentos. Em algumas das mas congestonadas rodovas do Brasl, os SAEs utlzam também helcópteros para socorro das vítmas para determnados tpos de acdente. Além das demas característcas de SAEs com múltplo despacho, backup parcal e servdores dêntcos (confguração ), devemos também consderar que nestes sstemas: As chamadas em cada átomo são dferencadas (p.e., tpo, 2, 3) e requerem dferentes tpos de servdores, portanto cada tpo de chamada em cada átomo possu uma lsta de preferênca de despacho. Assm, um dado átomo possu mas de uma lsta de preferênca. Note que esta stuação é dferente das anterores, todas com mesma lsta de despacho por átomo. A polítca de despacho torna-se mas complexa dado que podemos ter chamadas que requerem: servdor, 2 servdores dêntcos, 2 servdores dferencados, 3 servdores dêntcos, 3 servdores dferencados, etc. Além dsso, a polítca de backup parcal também torna-se mas complexa dado que podemos ter chamadas com mas de 2 servdores canddatos em sua lsta de despacho. Por exemplo, nos casos em que uma das bases mas próxmas abrga dos servdores dferencados. O modelo 3 é uma extensão do modelo hpercubo múltplo despacho para tratar SAEs em rodovas smlares a confguração 2 do estudo de caso. Neste sstema há dos tpos de veículos: veículo resgate e veículo médco. Cada átomo do sstema possu chamadas de 4 tpos: Chamadas tpo (taxa de chegada λ ) que requerem um únco despacho (um veículo resgate ou um veículo médco), dspondo para sso de até 2 possíves servdores (como na confguração ); [2 a] Chamadas tpo 2a (taxa de chegada λ ) que requerem duplo despacho (dos veículos resgates dêntcos), dspondo de até 2 possíves servdores (como na confguração ); [2 b] Chamadas tpo 2b (taxa de chegada λ ) que requerem duplo despacho (dos veículos dferencados: veículo resgate e o veículo médco), dspondo de até 3 possíves servdores (há um tercero veículo resgate que é backup de um dos dos prmeros, caso estea ocupado); Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

12 Chamadas tpo 3 (taxa de chegada λ [3] ) que requerem trplo despacho (dos veículos resgate e o veículo médco, ou três veículos resgates), dspondo de até 3 possíves servdores (não há backup para este tpo de chamada). Note que consderamos neste sstema que o veículo médco pode ter como backup um veículo resgate (chamadas tpo 2b), o que ocorre de fato no sstema real analsado. Esta hpótese também torna mas smples a análse. Caso contráro, teríamos que consderar para cada tpo de chamada, uma lsta de servdores backup para o veículo médco e o veículo resgate, separadamente. Para descrever o modelo 3 utlzamos, como nas seções 3. e 3.2, um sstema exemplo com operação smlar à confguração 2 do SAE do estudo de caso. Este sstema, representado na Fgura 2, possu N A = 3 átomos e N = 4 servdores, sendo três veículos resgates (R, R2 e R3) e um veículo médco (CM). Smlarmente a confguração 2 do sstema real, o veículo médco dvde sua base com o resgate no átomo, o resgate 2 está localzado no átomo 2 e o resgate 3 no átomo 3. Em cada átomo, chamadas podem ser do tpo, 2a, 2b e 3, com taxas λ, [2 a] [2 b] λ, λ e [3] λ. CM R R 2 R = + [2a] + [2b] λ λ λ λ + λ [3] λ λ2 λ 3 Fgura 2 SAE em rodova múltplo despacho com veículo médco. Para representar os dferentes tpos de chamadas que possuem dferentes lstas de preferênca de despacho, subdvdmos cada átomo de acordo com o número de lstas de preferêncas. No caso deste exemplo, cada átomo é subdvddo em duas camadas ( layerng ): camada a para chamadas que são atenddas somente por veículos resgate e camada b para chamadas que são atenddas por veículos médco e resgate. A lsta de preferênca de despacho de cada sub-átomo (camada do átomo) é dada a segur na Tabela, consderando servdor (veículo médco), servdor 2 (resgate ), servdor 3 (resgate 2) e servdor 4 (resgate 3). Note que chamadas do tpo 3 ocorrem nos átomos b, 2b e 3a (ao nvés de 3b). Tabela Subdvsão de átomos de acordo com o tpo de chamada e lsta de despacho. Sub-átomo Chamadas Prmero Segundo Tercero a, 2a b 2b, a,2a 3 2 2b 2b, a,2a, b 2b Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

13 A polítca de despacho para chamadas tpo e tpo 2a ocorre de forma smlar ao modelo. Consderando a polítca de múltplo despacho de servdores dferencados, no caso do exemplo da Fgura 2, temos: Chamadas tpo 2b são atenddas pelo prmero servdor preferencal (veículo médco) e o segundo servdor preferencal (veículo resgate). Quando um destes estver ocupado, o tercero servdor da lsta de preferênca é despachado. Quando apenas um dos três servdores está lvre, o mesmo é despachado soznho, podendo receber auxlo de servdores de outro SAE mas próxmo. Se os três servdores estverem ocupados, a chamada é perdda para o sstema (átomos b, 2b e 3b); Chamadas tpo 3 são atenddas pelo veículo médco e dos veículos resgates (átomos b e 2b), ou por três veículos resgates (átomo 3a). Se apenas dos dos três servdores estverem lvres, os mesmos devem atender a chamada como duplo despacho. Se há apenas um servdor dsponível, o mesmo deve também ser despachado soznho como descrto acma. Se os três servdores estverem ocupados, a chamada é perdda para o sstema. Equações de equlíbro no modelo 3: Como nos casos anterores, analsamos um dos 2 4 = 6 possíves estados do sstema exemplo, para lustrar como as equações de equlíbro do modelo 3 são defndas. Por exemplo, a equação de equlíbro do estado {0}: [2 a] [2 b] [3] [3] [3] [2 a] [2 b] [3] 3a + 3a + 3b + 3a P0 = b + 2b P a + a + b + b + [2 a] [2 b] [3] [2 b] [3] [2 b] [3] [2 b] [3] [2 b] 2a + 2a + 2b + 2b ). P000 + ( b + b + 2b + 2b ). P000 + ( b + b + 2b + [3] 2b ). P000 [2 a] [2 b] [3] [2 a] [2 b] [3] [2 a] [2 b] [3] [2 a] a a b b 2a 2a 2b 2b P00 a a b b 2a 2a [2 b] [3] [2 b] [3] [2 b] [3] 2b + 2b ). P00 + ( b + b + 2b + 2b ). P P ( λ λ λ λ µ µ µ ). ( λ λ ). ( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + ( λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ ). + ( λ + λ + λ + λ + λ + λ + λ λ λ λ λ λ µ Note no lado esquerdo da equação acma (fluxo para fora do estado {0}) que somente chamadas geradas nos átomos 3a e 3b podem ser atenddas pelo sstema, quando no estado {0}, pos somente o servdor 4 está lvre e atende chamadas soznho. No lado dreto da equação (fluxo para dentro do estado {0}), verfcamos que três servdores (, 2 e 3) podem passar de lvre a ocupados smultaneamente quando chamadas tpo 3 são geradas nos átomos e 2 (transção {0000} {0}). Além dsso, note que as transções {000} {0} e {000} {0} podem ocorrer com a chegada de chamadas tpo 2b nos átomos e 2, dado que se um dos dos servdores preferencas estver ocupado, o tercero servdor também é despachado. Por outro lado, chamadas tpos 2a, 2b e 3 que encontram um únco servdor dsponível são atenddas por este servdor, por exemplo, nas transções: {00} {0}, {00} {0} e {00} {0}. Entre as mas nteressantes meddas de desempenho descrtas pelo modelo hpercubo com backup parcal e múltplo despacho de ambulâncas, estão: as cargas de trabalho de cada ambulânca dferencando atendmentos de emergênca (tpos e 2) e chamadas tpo a atenddas na base, o tempo médo de resposta aos usuáros (consderando os dos tpos de chamadas), o tempo médo de vagem para chamadas com únco e múltplo despacho (.e, tpos e 2), o tempo médo de vagem para as duas ambulâncas despachadas para uma chamada tpo 2, o tempo médo de vagem para a prmera e segunda ambulânca que chega no local de uma chamada tpo 2, o tempo médo que a prmera ambulânca espera até a Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

14 chegada da segunda ambulânca no local de uma chamada tpo 2, a fração de despacho de cada ambulânca para cada regão de acordo com o tpo de chamada, a probabldade de perda para qualquer chamada do sstema ou para cada tpo de chamada. Por meo do modelo 3, podemos calcular meddas adconas consderando cada tpo m de chamada (m =, 2a, 2b e 3) e o número de servdores envados (únco, duplo ou trplo despacho), tas como: a probabldade de perda para qualquer chamada do sstema e para cada tpo de chamada m, as freqüêncas de despacho de cada ambulânca a cada átomo consderando cada tpo de chamada m, a freqüênca de despacho e o tempo médo de vagem no sstema para chamadas tpo m quando ocorre únco despacho, a freqüênca de despacho e o tempo médo de vagem para chamadas com duplo despacho para chamadas tpos 2a e 2b e tpo 3 (quando somente dos servdores estão dsponíves), o tempo médo de vagem para a prmera, segunda e tercera (no caso de trplo despacho) ambulânca a chegar no local da chamada, entre outras. 3.4 Outras meddas de desempenho para modelos, 2 e 3 Probabldade de perda: Esta é uma medda mportante para os SAEs em rodovas, dado que uma chamada pode ser perdda para o sstema, mesmo se há ambulâncas dsponíves (backup parcal). Podemos calcular a probabldade de perda para qualquer chamada do sstema ( P p ) e para cada tpo de chamada (p.e, no modelo 3, a probabldade de perda para chamadas tpo m ( P )). Mas detalhes sobre o cálculo das probabldades de perda nos modelos, 2 e 3 podem ser encontrados em Iannon (2005). [ m] p Fração de despachos: As dferentes adaptações do modelo hpercubo resultam em meddas adconas de fração de despacho. Sea P B a probabldade de equlíbro de um estado B do sstema. Algumas destas estatístcas são defndas da segunte forma: Fração de despachos tpo em que a ambulânca é envada ao átomo : ( λ / ) λ B E P B f =, onde E corresponde ao conunto de estados em que a ( Pp ) ambulânca é a prmera ambulânca dsponível na lsta de preferênca do átomo e λ N A = λ =. Esta expressão é válda para os três modelos descrtos acma. Fração de despachos tpo 2 (modelos e 2) e tpo 2a (modelo 3) em que as ambulâncas e k são envadas ao átomo : ( λ / λ ) B E(, k) (, k) = ( Pp ) f P B, onde E (, k) corresponde ao conunto de estados em que as ambulâncas e k são as duas prmeras ambulâncas dsponíves na lsta de N preferênca do átomo e λ = A λ. = 506 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

15 Fração de despachos tpo 2 (modelo e 2) em que a ambulânca é a únca ambulânca envada para o átomo, quando a ambulânca k está ocupada: f B F ( Pp ) ( λ / λ ) = P B, onde F corresponde ao conunto de estados em que somente a ambulânca pode responder chamadas no átomo. No modelo 3 podem ocorrer despachos de uma únca ambulânca para uma chamada do tpo 2a (se uma das duas ambulâncas da lsta estver ocupada); tpo 2b e 3 (se duas das três ambulâncas da lsta estverem ocupadas). N N Note que A Na N N N = = f = e f k f = = + = = + (, k ) =. Outras estatístcas de fração de despachos podem ser calculadas consderando o total de despachos no sstema, como: a fração de todos os despachos que enva a ambulânca para o átomo para '[ m] [ ] responder chamadas tpo m ( f, f e f, em caso de trplo despacho no ' m (, k) [ ] ' m (, kl,) modelo 3) e fração de todos os despachos que enva a ambulânca para o átomo para responder qualquer tpo m de chamadas, entre outras. Lembre-se que no modelo : m = e 2, no modelo 2: m =, 2 e a, e no modelo 3: m =, 2a, 2b e 3. Por exemplo, as freqüêncas de duplo despacho consderando todos os despachos do sstema para chamadas tpo 2a, 2b e 3, são defndas da segunte forma: () Chamadas tpo 2a e 2b: '[2 a] (, k) f [2 a] λ = λ B E(, k) ( P ) p P B e f [2 b] ' (, k ) [2 b] λ = λ B E(, k) ( P ) Note que, dferentemente das chamadas tpo 2a, no caso de chamadas tpo 2b, a ambulânca ou k pode ser o tercero servdor da lsta de preferênca de despacho do átomo, se a prmera ou segunda ambulânca estver ocupada. () Chamadas tpo 3 (atenddas por duas ambulâncas e k úncos dsponíves na lsta de preferênca de despacho): [3] λ B F(, k) PB [3] f ' (, k ) = λ, onde F (, k) corresponde ao conunto de estados em que as ( Pp ) ambulâncas e k são as úncas dsponíves na lsta de preferênca de despacho do átomo. Dversas meddas adconas de freqüênca podem ser defndas tas como: freqüêncas de únco despacho para chamadas tpo m, freqüêncas de trplo despacho para chamadas tpo 3 (consderando todos os despachos do sstema ou todos os despachos tpo 3), entre outras. p P B Meddas agregadas de tempo de vagem: Por meo das meddas de freqüênca de despacho, podemos obter algumas meddas nteressantes de tempo médo de vagem (mas detalhes sobre o cálculo destas e outras meddas de tempo de vagem são encontrados em Iannon, 2005). Apresentamos a segur algumas das prncpas meddas de tempo de vagem para o modelo. Lembre-se que no modelo 2, as meddas de tempo de vagem são as mesmas do modelo, dado que chamadas tpo a não requerem tempo de vagem. Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

16 Tempo médo de vagem para chamadas tpo : NA N = = T = f t, onde t é o tempo médo de vagem da ambulânca à base do átomo obtdo pela análse da amostra de dados do sstema. Tempo médo de vagem para chamadas tpo 2 (consderando a prmera ambulânca que chega no local da chamada): NA N N N T = = = k= + f(, k) mn( t, tk ) + = f t Tempo médo de vagem para as duas ambulâncas envadas para atender uma chamada tpo 2 (modelos e 2): NA N N N Tt = = = k= + f(, k) ( t + tk ) + = f t Tempos médo de vagem para a prmera e segunda ambulânca que chegam no local de uma chamada tpo 2, consderando apenas os despachos em que as duas ambulâncas e k são despachadas: T NA N N = = k= + (, k) F NA N N = = k= + f(, k) = f mn( t, t ) k T NA N N = = k= + (, k) S NA N N = = k= + f(, k) = f max( t, t ) Tempo médo de vagem para a ambulânca únco despacho e duplo despacho: N A = f t TU = NA N k f(, k) t f t = + TU N = A NA N = f = k f(, k) + f Tempo médo de vagem no sstema (consderando chamadas tpo e tpo 2): NA N ( ' ' NA N N ) ( ' = = = = k= + (, k) ) k, onde T= f + f. t + f.mn( t, t ) k ' ',, ' (,) l f f f correspondem a freqüênca de despachos para chamadas do tpo e 2, consderando todos os despachos do sstema. No modelo 3, além das meddas agregadas de tempo de vagem descrtas pelos modelos e 2, podemos defnr outras meddas adconas de acordo com o tpo de chamada e o número de ambulâncas envadas (únco, duplo ou trplo despacho). Entre estas estão: tempo médo de vagem no sstema para chamadas tpo m quando ocorre únco despacho, tempo médo de vagem para chamadas com duplo despacho para chamadas tpos 2a, 2b e tpo 3 (quando somente dos servdores estão dsponíves), tempo médo de vagem para a prmera, segunda e tercera (no caso de trplo despacho) ambulânca a chegar no local da chamada, entre outras. Fração de chamadas atenddas em mas que t v mnutos: Podemos também calcular a probabldade de uma chamada no sstema ser atendda em um tempo superor a t v (lmte predetermnado), utlzando a dstrbução do tempo de vagem da ambulânca de sua base a cada átomo (local da chamada): 508 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

17 P t> tv N N A [ v] f = = =, onde f [ v] corresponde a fração de todas as chamadas para as quas a ambulânca é envada ao átomo, e cuo tempo de vagem excede t v. No modelo, por [ v] ' ' ' exemplo, esta medda pode ser defnda como: f = p( t > tv ) f + f + f(, k ) [ v], k L onde t corresponde a varável aleatóra do tempo de vagem da ambulânca ao átomo [ v] ; L corresponde ao conunto de ambulâncas da lsta de despacho do átomo tal que t < tk, e o termo p( t tv ) > corresponde a fração de chamadas no átomo que esperam mas que t v mnutos pela chegada da ambulânca (calculado a partr dos dados de tempo de vagem da amostra). 4. Resultados Computaconas 4. Análse da confguração usando os modelos e 2 Para aplcação dos modelos apresentados na seção 3, o trecho de rodovas estudado fo dvddo em 8 átomos (segmentos), de acordo com a área prmára de cada base estabelecda pelos operadores e gerentes do sstema. Como menconado anterormente, os dados de entrada das duas confgurações do sstema foram coletados em épocas dferentes na central de operações do SAE. A Tabela 2 apresenta os dados do processo de chegada e atendmento e a lsta de preferênca de despacho para cada átomo da confguração do SAE analsado. Os dados desta confguração foram coletados no período de dezembro de 200 a unho de 2002, 8 com um total de 945 eventos. Note que, λ = ( λ ) + λ = 0,878 chamadas/h e 5 = µ = µ = 5,432 chamadas/h. = Átomo Chegada tpo λ (ch/h) Tabela 2 Dados dos processos de chegada e atendmento. Chegada tpo 2 λ (ch/h) Servdor preferencal Servdor backup Servdor Taxa de servço µ (ch/h) Carga de trabalho ρ Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

18 Realzamos testes de aderênca (Kolmogorov-Smrnov e Qu-quadrado) para verfcar a hpótese de que o processo de chegada é Posson. Os resultados obtdos desta análse, com nível de sgnfcânca α = 0, 05, mostraram que, para todos os átomos, não se pode reetar esta hpótese. Por outro lado, estes testes de aderênca reetaram a hpótese de que, para todos os servdores, a dstrbução dos tempos de atendmento sea exponencal, smlarmente ao sstema analsado por Mendonça & Morabto (2000; 200). Porém, como comentado em Jarvs (985) e na seção 3, dado que o sstema não admte flas, desvos razoáves desta suposção não alteraram sgnfcatvamente a precsão do modelo. Aplcamos também a análse de varânca para verfcar a varabldade entre os tempos médos de atendmento dos servdores. Esta análse mostrou que, com nível de sgnfcânca α = 0, 05, as dferenças são sgnfcantes e os servdores devem ser consderados não homogêneos na aplcação do modelo hpercubo (.e., as taxas de atendmento µ são dstntas). As equações de equlíbro são defndas como no exemplo da seção 3.. Como a 5 confguração do SAE analsado tem N = 5 ambulâncas, há 2 = 32 estados possíves. De acordo, com a lsta de preferênca de despacho na Tabela 2, as equações de equlíbro podem ser formuladas, por exemplo, como a expressão abaxo para o estado {00}: 00 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8 λ4 λ5 λ6 λ7 λ 8 µ µ 2 µ ( λ + λ2 + λ3 ) + P000( λ + λ2 + λ3 + λ + λ2 + λ3 ) + 000( λ + λ2 + λ3 + λ + λ2 + λ3 ) + P000 ( λ 8 ) + P0( µ 3) + P0( µ 4 ) P P P (( ) ) = Os resultados obtdos para as probabldades de estado de equlíbro mostraram que na maor parte do tempo, o sstema permanece ocoso (todos servdores lvres), pos P = 0,8434 e P = 0, Calculando a carga de trabalho ρ para cada ambulânca, os resultados obtdos são: ρ = 0,0578, ρ 2 = 0,0537, ρ 3 = 0,086, ρ 4 = 0,0253 e ρ 5 = 0,085. Observe que ρ (máxmo valor) é mas que 200% maor que ρ 5 (mínmo valor). Os desvos dos resultados do modelo para a amostra (Tabela 2) são pequenos (desvo médo de apenas,0%). A probabldade de perda para uma chamada de qualquer tpo no sstema é P p = 0,6%. Calculando as meddas de freqüêncas descrtas na seção 3, os resultados mostraram que os despachos da ambulânca ao átomo e da ambulânca 2 ao átomo 2 correspondem aos eventos mas freqüentes: f = 33,0%, ( f(,2) + f ) = 29,48%, f = 32,89% e f 22 = 25,92%, ( f(2,)2 + f22 ) = 4,46%, f 22 = 24,73%. Utlzando a expressão da seção 3.4, calculamos a fração de chamadas atenddas em tempo superor a t v = 0 mnutos: P tv > 0. Esta medda fo calculada utlzando os dados da amostra da dstrbução de chamadas atenddas em tempo maor que 0 mnutos para cada servdor em cada átomo. Os resultados obtdos pelo modelo mostraram que para 26,2% de todas as chamadas, 25,7% das chamadas tpo e 33,5% das chamadas tpo 2, o tempo de resposta é maor que 0 mnutos. Note que, apesar do sstema permanecer a maor parte do tempo ocoso (dada a relação demanda/capacdade da Tabela 2), estas frações de chamadas atenddas em tempo superor a t v = 0 mnutos são relatvamente altas, se comparadas com outros sstemas com boa qualdade de servço. De acordo com Gendreau et al. (200) e Galvão et al. (2005), a legslação amercana estabelece que 95% de chamadas seam atenddas dentro de 0 mnutos. De forma smlar, nas cdades de Montreal e Londres, 70% e 50 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

19 50% das chamadas devem ser atenddas dentro de 7 e 8 mnutos, respectvamente. No Brasl, apesar de não haver uma legslação que estabeleça lmtes para o tempo de resposta nos SAEs urbanos, as concessonáras de rodovas têm procurado reduzr as frações P tv > 0 nos seus SAEs para melhorar a qualdade do servço e satsfazer cláusulas contratuas com os governos dos estados. Para calcular algumas meddas de tempo de vagem da seção 3, utlzamos a matrz dos tempos de vagem de cada base a cada átomo, obtda pela análse da amostra de dados. A Tabela 3 apresenta algumas meddas agregadas de tempos de vagem calculadas pelo modelo hpercubo, e compara estes resultados com os resultados obtdos pela análse da amostra de dados. Como por meo da análse da amostra não fo possível dentfcar e consderar os despachos que envam uma únca ambulânca para atender uma chamada tpo 2, calculamos ' t T ' e T (dados pelas expressões abaxo), ao nvés de T e T t (conforme defndos na seção 3), respectvamente. Desta forma, contablzamos somente os despachos que envam duas ambulâncas para atender uma chamada tpo 2, para comparar os resultados com a amostra de dados. T ' NA N N = = k= + (, k) NA N N = = k= + f(, k) = f mn( t, t ) k T NA N N ' = = k= + (, k) t NA N N = = k= + f(, k) = f ( t + t ) k Algumas meddas obtdas pelo modelo da seção 3. foram também valdadas por um modelo de smulação, por meo da análse do ntervalo de confança (nível de confança α = 0,05 ) dos resultados. Para construr o modelo de smulação realzou-se a análse estatístca dos tempos de atendmento sem os tempos de vagem da base ao local da chamada, dado que a smulação utlza estes dados como um dado de entrada ndependente do tempo atendmento (lembre-se que no modelo hpercubo o tempo médo de atendmento nclu os tempos de vagem). O modelo fo construído e analsado por meo do software Arena. Utlzamos um procedmento descrto em Iannon & Morabto (2002, 2006a), baseado no método de loteamento (Law & Kelton, 99; Pedgen et al., 995; Kelton et al., 2002), para calcular o tempo de fase transente e o tempo total de smulação necessáro para análse dos resultados. Na qunta e sexta colunas da Tabela 3, encontram-se o valor médo e o ntervalo de confança para cada medda obtda pela smulação. Tabela 3 Meddas agregadas de tempo médo de vagem (em mnutos) modelo. Medda Hpercubo Amostra Desvo Smulação (méda) Smulação (Intev. Conf.) T 6,277 5,962 5,3% 6,279 6,235 6,322 T 8,86 8,33 7,858 8,408, T 7,776 7,20 7,9% 7,82 7,567 8,074, T t 25,30 25,44 0,06% T F 7,776 7,77 0,06% 7,82 7,567 8,074 T S 7,373 7,944 3,3% 7,426 7,245 7,607 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de

20 Verfcamos na Tabela 3 que os resultados do modelo apresentam desvos relatvamente pequenos com relação à amostra. Além dsso, o modelo também é valdado pelo modelo de smulação, consderando que os resultados obtdos pelo modelo hpercubo estão dentro do ntervalo de confança dos resultados da smulação (sexta coluna da Tabela 3). Para aplcação do modelo 2, analsamos separadamente as chamadas tpo a (com tempo de vagem dferente de zero) e as chamadas de emergênca dos tpos e 2 ao longo da rodova. A Tabela 4 mostra as taxas de chegada para os três tpos de chamada (, 2 e a) e duas taxas [ I ] [ II ] de atendmento: µ (tpo e 2) e µ (tpo a) para cada ambulânca do sstema. Átomo Tabela 4 Dados dos processos de chegada e atendmento com chamadas tpo a. Chegada tpo λ (ch/h) Chegada tpo 2 λ (ch/h) Chegada tpo a [ a] λ (ch/h) Servdor Taxa de servço [ I ] µ (ch/h) Taxa de servço [ II ] µ (ch/h) 0, , ,0660,340 2,99 2 0,0405 0, ,0074 2,0387, , , ,7960, ,009 0, , ,0782,29 5 0, ,0094 5,23, , , ,048-0, ,0663 0,0096 0,00274 De acordo com a dscussão do modelo 2 na seção 3.2, temos 3 5 = 243 possíves estados para o sstema. Calculando as probabldades de estado, obtemos as prncpas meddas de desempenho do sstema, nclundo meddas adconas com relação ao modelo anteror. Por [ I ] exemplo, calculamos separadamente as cargas de trabalho para chamadas tpo e 2 ( ρ ) e [ II ] tpo a ( ρ ) para cada ambulânca, e como esperado os resultados de ρ (modelo ) são, [ I ] [ II ] aproxmadamente, a soma dos resultados de ρ e ρ (modelo 2). Os resultados de tempos de vagem para chamadas tpo 2 sofrem poucas alterações com relação aos resultados da análse da aplcação do modelo (apenas as relaconadas às modfcações nas probabldades de equlíbro). Apresentamos a segur os tempos de vagem relatvos ao únco despacho de ambulâncas. Por exemplo, o tempo médo para chamadas tpo no sstema defndo na seção 3.4 é: T = 7,376 mnutos, e o resultado para esta medda obtdo pela análse da amostra é 7,96 mnutos (desvo de -2,5%). Lembre-se que no modelo, T = 6,277 (4,89% menor do que o modelo 2). A Tabela 5 apresenta os resultados do tempo médo de vagem de cada ambulânca para chamadas tpo ( TU ), comparando-os com os resultados da análse da amostra (desvo relatvo). 52 Pesqusa Operaconal, v.26, n.3, p , Setembro a Dezembro de 2006

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