VULNERABILIDADE DE REDES COMPLEXAS

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1 VULNERABILIDADE DE REDES COMPLEXAS Alunos: Antono Rossano e João Pedro Mano Orentador: Cela Anteneodo Introdução Dado um conjunto de elementos dscretos nteragentes (por exemplo, ndvíduos, proteínas, computadores ou aeroportos), as nformações detalhadas sobre quas elementos nteragem entre s e com qual ntensdade podem ser resumdas num grafo ou rede. Cada vértce de um grafo corresponde a cada elemento ndvdual do sstema em estudo. As lgações, entretanto, dependem da característca que se quer estudar. Por exemplo, ndvíduos podem estar lgados por conexões de amzade ou devdo ao compartlhamento de alguma opnão. Aeroportos poderão estar lgados se possuem alguma rota (vôo) que os conectam. Neste caso, dado uma mesma malha aérea podem surgr dferentes redes, segundo sejam consderadas rotas de transporte de passageros ou de carga, dreconadas ou não, com pesos ou não (que podem ser atrbuídos segundo número de assentos dsponíves, número efetvo de passageros, capacdade de carga ou dstânca percorrda, dentre outras possbldades). Assm, as redes consttuem a base para descrever e modelar uma grande varedade de sstemas naturas e artfcas. O seu amplo campo de aplcabldade tem motvado o estudo das redes complexas por pesqusadores de dversas áreas, como físcos, matemátcos, bólogos, engenheros e socólogos. O seu estudo fundamenta-se em concetos da teora de grafos e da físca estatístca. As redes podem ser caracterzadas por dversas grandezas estatístcas relatvas prncpalmente a sua topologa, a exemplo do grau ou conectvdade méda k e do mínmo camnho médo l. O prmero dz respeto ao número médo de prmeros vznhos, o segundo do comprmento mínmo entre dos vértces quasquer. Por exemplo, em redes socas a dstânca méda típca entre dos ndvíduos é pequena (entre 5 e 6). Esta é a propredade conhecda como "mundo pequeno" []. (a) (b) (c) Fg. Exemplos de redes, desde completamente regular (a) até completamente aleatóra (c). Extraído de []. As redes podem ser completamente regulares como a mostrada na Fg. (a) ou completamente aleatóras, como na Fg. (c). Dentre esses dos casos extremos, encontram-se as redes dtas complexas que ocorrem em mutas redes naturas e socas [2]. Elas apresentam padrões estatístcos peculares, a exemplo da propredade de "mundo pequeno" (Fg. (b)) e/ou de característcas "lvres de escala", ou seja, com dstrbução de graus segundo uma le de potênca.

2 Outra propredade que permte caracterzar uma rede, e que será focada neste trabalho, é a sua vulnerabldade a ataques. Com a remoção de partes estruturas da rede, a mesma sofre um determnado mpacto em sua efcênca, o qual permte medr a vulnerabldade da rede. Esta medda é relevante em mutas redes reas, como as de transporte (seja de passageros, carga ou correspondênca) e outras redes de comuncação como a WWW. Sua relevânca resde tanto na antecpação de danos quanto na possbldade da sua prevenção medante modfcações para tornar a rede mas robusta. Objetvos Estudar as propredades estruturas de redes complexas e aplcar estes concetos para caracterzar redes reas tas como as de tráfego aéreo de passageros. Prncpalmente estudar a vulnerabldade de redes aéreas a ataques a aeroportos e/ou a trajetos entre aeroportos. Metodologa I. Obtenção de dados e confecção de redes reas Grandes malhas aéreas já têm sdo estudadas na lteratura [3-5]. No presente trabalho escolhemos malhas aéreas moderadamente pequenas, com o mesmo número de cdades atenddas, porém com mercados dferentes, para efetuar estudos comparatvos. Escolhemos as malhas aéreas das companhas Gol e Ar France (apenas a malha Européa). Os dados foram obtdos a partr da WWW, dretamente dos stes das empresas ( e em As Fguras 2 e 3 lustram as respectvas redes. Os vértces correspondem a aeroportos (ndcados nas Tabelas I e II) e as lgações ndcam a exstênca de vôos entre aeroportos. Anda, as lgações podem ser caracterzadas por pesos, correspondendo, por exemplo, ao número de vôos em cada lgação. Fg. 2: Rede da Companha Aérea Gol

3 - AJU 2 - XAP 23 - JPA 34 - NVT 45 - ROS 2 - ASU 3 - COR 24 - JOI 35 - PMW 46 - SSA 3 - BEL 4 - CZS 25 - JDO 36 - PNZ 47 - STM 4 - CNF 5 - CGB 26 - LDB 37 - POA 48 - SCL 5 - BVB 6 - CWB 27 - MCP 38 - BPS 49 - SLZ 6 - BSB 7 - FLN 28 - MCZ 39 - PVH 50 - CGH 7 - EZE 8 - FOR 29 - MAO 40 - PPB 5 - GRU 8 - CPV 9 - IGU 30 - MAB 4 - REC 52 - VVI 9 - CPQ 20 - GYN 3 - MGF 42 - RBR 53 - THE 0 - CGR 2 - IOS 32 - MVD 43 - GIG 54 - UDI - CXJ 22 - IMP 33 - NAT 44 - SDU 55 - VIX Tabela I: Aeroportos da rede da Gol Fg. 3: Rede da Companha Aérea Ar France (malha Européa)

4 - Ajacco 2 - Le Havre 23 - Nce 34 - Argel 45 Lsboa 2 Annecy 3 - Llle 24 - Pars 35 - Amsterdam 46 Londres 3 Basta 4 - Lmoges 25 - Pau 36 - Barcelona 47 Madrd 4 Barrtz 5 - Lorent 26 - Perpgnan 37 - Brmngham 48 Mlão 5 Bordeaux 6 - Lourdes/Tarbes 27 - Qumper 38 - Bolonha 49 Monque 6 Brest 7 - Lyon 28 - Rennes 39 - Bruxelas 50 Praga 7 Caen 8 - Marselle 29 - Rodez 40 - Copenhague 5 Roma 8 - Calv 9 - Metz-Nancy 30 - Rouen 4 - Dusseldorf 52 Stuttgart 9 - Clermont-Ferrand 20 - Montpeller 3 - Strasbourg 42 - Florença 53 Tuns 0 - Fgar 2 - Mulhouse 32 - Toulon 43 - Genebra 54 Veneza Lannon 22 - Nantes 33 - Toulouse 44 - Hambourg 55 Vena Tabela II: Aeroportos da rede da Ar France II. Meddas de análse das redes As redes estudadas foram caracterzadas por dversas meddas, tanto meddas relaconadas à conectvdade da rede (força dos vértces, coefcente de assortatvdade), meddas relaconadas a cclos (coefcente de aglomeração), quanto meddas relaconadas a dstâncas (camnho médo, efcênca), segundo as defnções a segur [6]. Como prmero passo, uma rede ou grafo pode ser representada por uma matrz de adjacêncas a, cujos elementos a j assumem o valor caso o vértce tenha uma conexão dreta com o vértce j, e 0, caso contráro. Já numa matrz de peso w, os elementos assumem o valor do peso da aresta que conecta os vértces e j. Se o grafo é dreconado as matrzes podem ser assmétrcas. Uma medda do grau de smetra é dado pelo coefcente de recprocdade ( a a)( a a) onde, j R, j j, j j ( a a) a a /[ N( N )]. Dado que nos casos aqu analsados as matrzes são smétrcas, j defnremos as grandezas estudadas a segur, apropradas para o caso smétrco. j 2 Conectvdade: k N a j j Essa medda avala a conectvdade de cada vértce, baseado no número de conexões de cada vértce pertencente à rede. Através desta medda é possível encontrar os chamados hubs (do nglês, concentradores), ou seja, vértces com uma conectvdade bem maor do que a maora dos demas vértces. Também nteressa o seu valor médo dado por k N k N que representa uma característca global da rede.

5 Força: s N w j j Essa medda avala a força dos vértces, baseado nos pesos das conexões de cada vértce. O seu valor médo é dado por Coefcente de Assortatvdade: j s N s N j j j j M j M j 2 r 2 M 2 k k a 2 2 k k j a j k k j M k k Mede a tendênca dos vértces de conectvdades semelhantes estabelecerem lgações entre s. Caso o coefcente de assortatvdade seja maor do que 0, a rede é dta assortatva, ou seja, os vértces de conectvdades semelhantes tendem a se lgar. Caso seja menor do que 0, é dta dssassortatva e os vértces com mas conexões tendem a se lgar com os de menos conexões. Se for gual a zero, não há correlação. Coefcente de aglomeração: j 2 a 2 aj cc N N j m k a j a jm k a m cc w s j m jm k 2 Os coefcentes de aglomeração medem o nível de aglomeração de cada vértce de uma rede complexa. Dependendo das característcas da rede que está sendo estudada, pode ser meddo de duas formas dferentes, a prmera medda mostrada acma, mede o grau de aglomeração sem pesos nas lgações, já a segunda numa rede com pesos nas lgações entre os vértces. Como nos casos anterores, os coefcentes da rede como um todo, são obtdos calculando os respectvos valores médos cc e cc w. Em redes socas este coefcente assume valores ntermedáros entre o característco das redes aleatóras (baxa aglomeração) e o das regulares (alta aglomeração) []. Camnho médo: O camnho médo de uma rede complexa é dado pela méda entre as dstâncas mínmas entre todos os vértces, segundo a expressão abaxo: l N jm w j N Esta grandeza permte caracterzar, por exemplo, a propredade de mundo pequeno. As dstâncas mínmas podem ser determnadas pelo algortmo de Djkstra: este algortmo consdera um conjunto S de menores camnhos, ncado com um vértce ncal I. A w m d j j a a a

6 cada passo do algortmo, busca-se nas adjacêncas dos vértces pertencentes a S aquele vértce com menor dstânca relatva a I e adcona-o a S e então repetndo os passos até que todos os vértces alcançáves por I estejam em S. Arestas que lgam vértces já pertencentes a S são desconsderadas. Efcênca Global: A efcênca de uma rede é medda através da méda do nverso das dstâncas entre todos os vértces. Quanto menor a dstânca percorrda entre os vértces da rede, maor a sua efcênca. E N N Vulnerabldade da Rede: A vulnerabldade de uma rede é medda através da análse do mpacto sofrdo pela mesma frente a ataques em sua estrutura. Ao remover um vértce ou uma aresta da rede, a mesma sofre um determnado dano em sua efcênca global. A vulnerabldade pode ser medda segundo: * * E E V E Onde E* é a efcênca da rede modfcada, por exemplo, pela remoção de um vértce. A vulnerabldade global da rede é defnda como o valor máxmo V= max(v*). III. Resultados As tabelas III-VI apresentam os valores das conectvdades (número de vznhos ou conexões) e forças (número de vôos em um sentdo) de cada vértce das malhas aéreas da Gol (tabelas III e V) e da Ar France (tabelas IV e IV). j dj Tabela III: Conectvdade dos vértces da rede da Gol

7 Tabela IV: Força dos vértces (número de vôos) da rede da Gol Tabela V: Conectvdade dos vértces da rede da Ar France

8 Tabela VI: Força dos vértces (número de vôos) da rede da Ar France As fguras 4 e 5 mostram os gráfcos de força (número de vôos) x conectvdade (número de vznhos) para cada vértce (aeroporto) das respectvas malhas da Gol e da Ar France. Podemos observar que, a pesar da tendênca de que aeroportos com mas conexões possuem mas vôos, a relação não é lnear. No caso da Gol, quebram a lneardade prncpalmente os aeroportos de Congonhas (50) e Santos Dumont (44) com maor número de vôos em proporção ao número de conexões em comparação com os outros aeroportos servdos pela companha. No caso da Ar France, a exceção é o aeroporto de Pars com aproxmadamente três vezes mas vôos em relação à tendênca quase lnear seguda pelos outros aeroportos da malha européa. Fg. 4: Força x conectvdade para cada vértce da Gol

9 Fg. 5: Força x conectvdade para cada vértce da Ar France Na Fgura 6 são apresentadas as dstrbuções de graus das duas companhas. Podemos observar que não possuem a propredade lvre de escala, dado que as dstrbuções não seguem uma le de potênca, e sm uma le tpo exponencal estcada [3]. 0 0 GOL Ar France 0 - P(k) k Fg. 6: Dstrbução acumulada de graus da Gol e da Ar France. O gráfco nserdo mostra os mesmos dados em escala log-lnear. O número de vôos entre aeroportos (dados não exbdos por lmtações de espaço) permtem defnr tanto a matrz de adjacêncas a (sendo a j = se exstem vôos entre e j, 0 em caso contráro) quanto a dos pesos w (sendo no presente trabalho w j =número de vôos de para j).

10 A Tabela VII resume os valores das grandezas defndas na secção I que caracterzam globalmente as redes estudadas. Para fns comparatvos, a tabela nclu também resultados da rede naconal (obtdos da referênca [3]) e da rede mundal (das referêncas [4,5]). Tanto a malha aérea da Gol quanto a malha da Ar France possuem 55 cdades (vértces) e suas conectvdades médas, sto é, a quantdade de vértces vznhos que cada cdade possu é de 5,309 e 5,073 vznhos respectvamente. A força de cada aresta, ou seja, a quantdade de vôos que cada cdade tem, por méda, é de 94,872 e 22,0 vôos respectvamente. Meddas Gol Ar France RBA () [3] WAN (2) Número de vértces da rede N [4] Recprocdade R da matrz a 0,869 Conectvdade méda dos vértces k 5,309 5,073 0,28 9,70 [4] Força méda dos vértces s 94,872 22,0 Assortatvdade r -0,297-0,505 Coefcente de aglomeração cc 0,469 0,605 0,63 0,62 [5] Coefcente de aglomeração cc w 0,495 0,66 Camnho médo l 2,458,894 2,34 4,37 [6] Efcênca E 46,3% 5,9% Tabela VII: Resultados obtdos para as malhas aéreas da Gol e da Ar France () RBA=Rede Braslera de Aeroportos, dados referentes ao ano de 2006 [3]. (2) WAN=Rede Mundal de Aeroportos (World Arport Network), dados referentes a 2002 [4] e 2000 [5]. A partr da matrz de adjacêncas fo possível calcular o coefcente de assortatvdade das redes e os valores obtdos foram -0,297 para a Gol e -0,505 para a Ar France. Por ambos os valores serem negatvos, nos ndca que as duas redes são dssassortatvas (sendo a Gol menos dssortatva). Esta característca é típca deste tpo de redes de transporte, os vértces com mas conexões tendem a se lgar com os de menos conexões e é exatamente sso que podemos observar. No caso da Gol, a maora das cdades tendem a se lgar com Brasíla e Guarulhos (São Paulo), já no caso da Ar France as cdades tendem a se lgar com Pars. Entretanto, aeroportos pequenos não têm conexões dretas entre s, especalmente no segundo caso. Também foram calculados os coefcentes de aglomeração da rede, baseados tanto na conectvdade quanto na força de cada vértce. Os valores encontrados para a rede da Gol foram cc = 0,469 e cc w = 0,495 e para a rede da Ar France, cc = 0,605 e cc w = 0,66, valores dentro do esperado, pos em redes de comuncação esse coefcente assume valores ntermedáros. Nota-se que os coefcentes de aglomeração da Gol são menores que os da Ar France e nclusve que os da rede naconal braslera, são próxmos dos da Ar France. Outra medda calculada fo o camnho médo da rede, ou seja, a dstânca (em arestas) méda entre dos vértces. Para a Gol, o camnho médo é de 2,458 arestas e para a Ar France é de,894 aresta. Isto mostra que ambas as redes possuem a propredade de "mundo pequeno" típca das redes de comuncação. A partr do nverso da dstânca de todos os vértces, é possível calcular a efcênca da rede que no caso da Gol é de 46,3% e da Ar France é de 5,9%. Quanto menor for a camnho médo de uma rede, maor é a sua efcênca. Fo estudado o comportamento de cada rede frente a ataques pontuas, sto é, o mpacto (vulnerabldade) que ela sofre em sua efcênca quando um dos vértces é retrado. As tabelas VIII e IX apresentam o mpacto da retrada de cada um dos aeroportos de cada malha.

11 Observamos que os hubs tendem a ser, geralmente, os vértces cuja remoção é capaz de mas danfcar a rede. No caso da Gol o maor mpacto na rede (4,9%) é com a remoção do aeroporto de Congonhas (São Paulo), com 693 vôos, já no caso da Ar France o maor mpacto da rede (48,4%) é com a remoção do aeroporto de Pars, com 380 vôos. 3,46 % 5 4,0 % 29 4,32 % 43 5,83 % 2 3,02 % 6 5,8 % 30 6,48 % 44 3,89 % 3 6,69 % 7 6,69 % 3 3,24 % 45 3,02 % 4 5,8 % 8 4,32 % 32 2,8 % 46 4,54 % 5 2,59 % 9 3,46 % 33 3,67 % 47 2,8 % 6 4,5 % 20 4,0 % 34 3,02 % 48 2,38 % 7 6,05 % 2 3,46 % 35 3,24 % 49 3,67 % 8 3,46 % 22 3,46 % 36 2,59 % 50 4,9 % 9 3,89 % 23 3,67 % 37 9,93 % 5 5,83 % 0 6,48 % 24 3,02 % 38 3,46 % 52 2,59 % 3,02 % 25 2,8 % 39 3,67 % 53 3,46 % 2 2,8 % 26 3,24 % 40 3,24 % 54 3,24 % 3 2,8 % 27 2,59 % 4 6,9 % 55 3,89 % 4 2,38 % 28 3,46 % 42 5,83 % Tabela VIII: Vulnerabldade na efcênca da rede Gol 3,66 % 5 3,47 % 29 3,28 % 43 3,47 % 2 3,27 % 6 3,28 % 30 2,89 % 44 3,28 % 3 3,66 % 7,4 % 3 4,05 % 45 3,47 % 4 3,47 % 8 4,43 % 32 3,28 % 46 3,47 % 5 4,24 % 9 3,08 % 33 4,05 % 47 3,28 % 6 3,47 % 20 3,47 % 34 3,47 % 48 3,47 % 7 3,47 % 2 3,47 % 35 3,85 % 49 3,47 % 8 3,47 % 22 4,24 % 36 3,47 % 50 3,66 % 9 3,85 % 23 4,62 % 37 3,28 % 5 3,66 % 0 3,47 % 24 48,4 % 38 3,28 % 52 3,47 % 3,27 % 25 3,47 % 39 2,89 % 53 3,47 % 2 2,89 % 26 3,28 % 40 3,47 % 54 3,47 % 3 3,47 % 27 3,28 % 4 3,28 % 55 3,47 % 4 3,47 % 28 3,66 % 42 3,28 % Tabela IX: Vulnerabldade na efcênca da rede Ar France Analsamos possíves correlações entre a vulnerabldade e dversas grandezas como a conectvdade, a forca e o coefcente de aglomeração do vértce removdo. Com a análse das fguras 7-9, é possvel perceber que o mpacto na rede pela remoção de um vértce na malha aérea da Gol não possu uma conecção e/ou dependênca dreta com sua conectvdade ou com a quantdade de vôos que o aeroporto retrado possu ou mesmo com o coefcente de aglomeração do vértce. Com a remoção dos hubs da rede, obtemos os maores mpactos, como era de se esperar, porém, de uma manera geral, com a remoção de um vértce, mesmo sem alta conectvdade ou força, mas que conecta dos hubs, haverá um grande mpacto na rede, pos assm aumentará o camnho médo da rede e, consequentemente, dmnurá a efcênca da mesma.

12 Já nas fguras 0-2, percebemos que na malha aérea da Ar France, o mpacto na rede pela remoção de um vértce está ntdamente com as grandezas consderadas. O mpacto cresce com a conectvdade e com a força do vértce. Isto pode ser explcado pos os aeroportos com baxa conectvdade e/ou força têm poucos vznhos, assm, com a sua remoção não aumenta consderavelmente o camnho médo da rede. Entretanto o mpacto decresce com o coefcente de aglomeração (quando não nulo), sto pode ser explcado porque para um vértce com alta aglomeração exstem conexões alternatvas que compensam a remoção do vértce. Fg. 7: Vulnerabldade x conectvdade do vértce removdo, para a Gol Fg. 8: Vulnerabldade x força (número de vôos) do vértce removdo, para a Gol

13 Fg. 9: Vulnerabldade x coefcente de aglomeração, para a Gol Fg. 0: Vulnerabldade x conectvdade do vértce removdo, para a Ar France

14 Fg. : Vulnerabldade força do vértce removdo (número de vôos), para a Ar France Fg. 2: Vulnerabldade x coefcente de aglomeração, para a Ar France Na tabela IX observamos que, com exceção dos aeroportos de Pars (24) e Lyon (7), com vulnerabldades de 48,4 e,4% respectvamente, os restantes aeroportos da malha da Ar France apresentam baxos valores do coefcente de vulnerabldade: concentrados entre 2,89 e 4,62%. Estas característcas podem ser observadas também nas Fgs No caso da Gol, na tabela VIII, e também nas Fgs. 7-9, observamos que com exceção dos aeroportos de Congonhas (50), Brasla (6) e Porto Alegre (37) que apresentam vulnerabldades de 4,9, 4,5 e 9,93% respectvamente, os restantes aeroportos possuem valores entre 2,38 e 6,9%, ou seja com uma dspersão maor que no caso da Ar France.

15 Também a partr dos resultados apresentados na tabela VII podemos conclur que a estrutura da malha da Gol é em algum sentdo mas homogênea, de acordo com a menor dssortatvdade (assortatvdade r menos negatva). Assm, a rede da Ar France possu prncpalmente um ponto (hub) muto vulnerável (segundo meddo pela dferença relatva de efcêncas) frente ao fechamento do aeroporto (com mpacto de 50%), entretanto a estrutura menos centralzada da malha da Gol faz com que, apesar da maor dspersão dos valores de vulnerabldade, seja como um todo mas robusta frente a esse tpo de danos (o mpacto causado não superando o 5%). Conclusões As propredades comumente consderadas para analsar redes complexas foram aqu utlzadas para caracterzar quanttatvamente redes reas de companhas aéreas como a GOL e a Ar France. Este estudo permtu uma análse comparatva de duas redes relatvamente pequenas e de tamanhos semelhantes assocadas a companhas de dos dferentes mercados. Observamos que apresentam a propredade de mundo pequeno, porém não são lvres de escala. As propredades das pequenas malhas consderadas foram também comparadas com as de grandes redes como a naconal braslera e a mundal, mostrando que mesmo malhas pequenas preservam as prncpas característcas e tendêncas das grandes redes. Em partcular fo caracterzado o grau de vulnerabldade de cada rede frente à remoção de vértces (fechamento de aeroportos), baseado na medda de efcênca defnda na seção II. Observamos a maor robustez da malha da Gol em termos globas, porém com exceção de alguns hubs a grande maora dos aeroportos da Ar France apresenta valores menores de vulnerabldade. O estudo da vulnerabldade de uma rede é mportante para a antecpação de danos e conseqüentemente a prevenção dos mesmos. Os resultados deste tpo de estudo pode também guar a reestruturação uma rede para torná-la menos susceptível a ataques ou acdentes. Os programas computaconas desenvolvdos neste trabalho para estudar as propredades estruturas e o mpacto da remoção de partes da rede poderão ser aplcados ao estudo futuro de outras redes reas. Referêncas - WATTS. D. J.. STROGATZ S. H.. Collectve dynamcs of small world networks. Nature BARABASI. A.-L.. ALBERT R. Emergence of scalng n random networks. Scence. v oct ROCHA. Lus. Structural evoluton of the Brazlan arport network. J. Stat. Mech.. v.04. P GUIMERA R.; AMARAL. L.A.N. Modelng the world-wde arport network. Eur. Phys. J. B. v BARRAT A, BARTHELEMY M, PASTOR-SATORRAS R, VESPIGNANI A The archtecture of complex weghted networks. PNAS v.0. n RODRIGUES. F.A. Caracterzação, classfcação e análse de redes complexas. Tese de doutorado - Insttuto de Físca de São Carlos (USP)