ENFRENTANDO OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS COM O GEOGEBRA

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1 ENFRENTANDO OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS COM O GEOGEBRA André Luz Souza Slva IFRJ Andrelsslva@globo.com Vlmar Gomes da Fonseca IFRJ vlmar.onseca@rj.edu.br Wallace Vallory Nunes IFRJ wallace.nunes@rj.edu.br Resumo: Este mncurso propõe a expermentação da cração de atos de compreensão a partr do enrentamento a alguns dos obstáculos epstemológcos, descrtos por Serpnska, relatvos ao conceto de Função. A abordagem prvlega a análse e descrção dos aspectos geométrcos dnâmcos do gráco de unções por meo do sotware GeoGebra. Palavras-chave: Obstáculos Epstemológcos, Função, GeoGebra. 1. Introdução Serpnska (1992) destaca entre os obstáculos epstemológcos do conceto de unção o entendmento da varabldade da unção. Entendemos que a varabldade de uma unção, assocada por Rezende (2003a, 2007, 2008a, 2008b) ao desenvolvmento hstórco do conceto de unção se dá pela observação dos aspectos e característcas de crescmento ou decrescmento de uma unção, da velocdade com a qual esse crescmento ou decrescmento acontece, e do tpo de relação de cada elemento do domíno com o contradomíno e vce-versa. Isso nclu a caracterzação do domíno, a classcação reerente à njetvdade, sobrejetvdade e bjeção e consequentemente da exstênca e caracterzação da unção nversa. 2. Objetvos Para este mncurso escolhemos propor a expermentação da cração de atos de compreensão a partr do enrentamento a alguns dos obstáculos epstemológcos, descrtos por Serpnska, relatvos ao conceto de unção a partr de uma abordagem Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 1

2 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 que prvlega aspectos geométrcos. Esta abordagem é sugestão dos trabalhos de Ballejo (2009), Souza e Slva (2006) e Bazzo (2009), mas prncpalmente se aproveta do aspecto dnâmco do sotware GeoGebra e também contrapõe o prvlégo algébrco constatado na análse dos lvros ddátcos ressaltados nos trabalhos de Rezende (2008a, 2008b, 2007, 2003a, 2003b) e Botelho (2005). 3. Atvdades Atvdade 1 Reconhecmento e caracterzação dos subconjuntos do domíno onde uma unção é estrtamente crescente, decrescente ou constante. 1. Complete a tabela desta atvdade a partr da movmentação do seletor no arquvo do GeoGebra. 2. Agora responda: a) Os ntervalos onde a unção é CRESCENTE estão sendo marcados sempre com a mesma cor. Que cor é essa? b) Isso aconteceu em todos os casos? c) A outra cor o utlzada nos ntervalos onde a unção é DECERESCENTE? d) Isso acontece em todos os casos? 3. Quas destas unções não admtram alteração de crescmento? 4. Há alguma sempre crescente? 5. Há alguma sempre decrescente? 6. Escreva para as unções de 1 a 7 os ntervalos onde cada uma é crescente e onde á decrescente. 7. Um aluno dsse que consegua dentcar se uma unção era crescente ou decrescente pensando que um ponto do plano percorre da esquerda para dreta o gráco da unção, sendo que esta unção será crescente enquanto o ponto estver subndo e decrescente no caso contráro. A denção destes concetos aparece a segur. Explque se este aluno está ou não correto justcando sua resposta a partr das denções abaxo. Denção. Uma unção é dta crescente em um subconjunto I de seu domíno se ao tomarmos quasquer x1, x2i Dom, com x1 x2 mplcar x x. 1 2 Denção. Uma unção é dta decrescente em um subconjunto I de seu domíno se ao tomarmos quasquerx1, x2i Dom, com x1 x2 mplcar x x. 1 2 Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 2

3 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 Nesta atvdade uma reta tangente ao gráco de cada uma das unções está sendo utlzada. Nas unções 1 e 2 esta reta concdu com o gráco da unção, mas nas outras não. Consderaremos o coecente angular da reta tangente ao gráco de neste ponto P (este coecente aparece assnalado junto à reta tangente ao gráco) como a velocdade de crescmento de uma unção no ponto P x, x. Decorrem de nossa consderação algumas mportantes caracterzações. 8. Reveja os exemplos e verque se de acordo com os exemplos desta atvdade o snal da velocdade está assocado ao crescmento da unção. Ou seja, se podemos dentcar pelo snal da velocdade de crescmento quando uma unção é crescente ou quando é decrescente? Se armatvo, como? 9. A nclnação do gráco da unção está relaconada com a velocdade de crescmento. Como é esta relação? 10. Como são os grácos das unções que têm velocdade de crescmento constante? Importante: Para responder ao próxmo tem consdere, por exemplo, a = 0 e 1/ 2 na unção 3, ou a = -1 ou 0 ou 1 com mesmo na unção Quando uma unção tem velocdade de crescmento nula (zero) para um ponto de abscssa a, o que podemos observar (consdere os exemplos desta atvdade) com respeto ao crescmento da unção nos ntervalos a, a e aa, sendo um número real postvo arbtráro, porém próxmo de zero? (Se necessáro use desenhos que srvam tanto de lustração como de exemplo para sua argumentação). 12. E quanto aos possíves snas da velocdade de crescmento dessa unção nos mesmos ntervalos a, a e aa,? Denção. Um valor x 1 é dto um extremo de uma unção quando em x 1 o comportamento de crescmento da unção se altera. Ou seja, quando nos ntervalos x, x e x, x a unção tem comportamentos de crescmento derentes. 13. Identque, quando exstr os valores extremos das unções de 1 a Quando unção é decrescente para todo o conjunto dos números reas esta pode assumr algum valor extremo? 15. E se estver denda no conjunto ab, pode assumr algum valor extremo? Se armatva, que valor será esse? (Ilustre se necessáro) Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 3

4 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 Antes de responder a questão 17 a segur selecone e expermente novamente o exemplo 8 da atvdade azendo n = O mesmo ocorre para se sso or verdade apenas em um ntervalo ab,? E num ntervalo ab,? (Dca: Observe que no exemplo 8 a unção não está denda para x k, k.) Faça um texto descrevendo com suas palavras como dentcar: (a) quando uma unção é crescente ou decrescente conhecendo o seu gráco e/ou a velocdade de crescmento. (b) os extremos de uma unção quando conhecdo seu gráco ou os ntervalos onde a unção é crescente ou decrescente. Tabela tem 4 Função 1 No subconjunto do domíno Este ntervalo se apresenta na cor vermelha Snal da Veloc. de cresc. No Subconjunto do domíno Este ntervalo se apresenta na cor Snal da Veloc. de cresc. 2 3,0 0, 4 5-2, 6 7 2,36,,-1-1,,1 1,,0 0, 3,14, 3,14 3,14, 6,28 Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 4

5 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 Atvdade 2 Injetvdade, Sobrejetvdade e Bjeção. 1. Construa o gráco das unções abaxo e, em cada caso, verque ao movmentar a reta s pelo ponto P quantas vezes esta reta o ntercepta a) x x 5x 6 b) x x x c) x x 3x 4 d) x 2x 2 e) x log( x ) 1 ) x x x g) x log 2 h) ( x ) 20,95 3 x 4 1 2x ) x 5 1 j) x e x 2. O que podemos dzer das magens dos números 1 e 4 de uma unção sabendo que a reta s nterceptou o gráco dessa unção nos pontos de abscssas 1 e 4? (expermente o subtem (a) do tem anteror) 3. Reveja o subtem (b) do tem 2 e responda quantos são os elementos do domíno que têm magem 4 quando uma reta s (y = 4) ntercepta o gráco dessa unção três vezes. 4. Quando o gráco de uma unção or nterceptado duas vezes por uma reta s podemos armar que há dos elementos do domíno com mesma magem? Dê um exemplo ou contraexemplo que justque sua resposta. 5. Uma unção é dta njetva se todos os elementos do domíno têm magens derentes, ou seja, se para quasquer x1 x2 do domíno temos que x x x 1 2. Quas são as unções do tem 2 que são njetvas? Justque com argumentos geométrcos e algébrcos suas respostas. 6. Lembrando que uma unção é dta sobrejetva quando os conjuntos contra domíno e magem concdem, determne o contra domíno de cada uma das unções do tem 2 para que aquelas unções sejam sobrejetvas. Justque com argumentos geométrcos e algébrcos suas respostas. 7. Sabendo que uma unção é dta uma bjeção quando é njetva e sobrejetva quas são as unções do tem 2 que são bjeções? 8. Um proessor dsse a outro que uma unção é uma bjeção se por qualquer ponto M de seu gráco exstrem as retas r e s, tas que r é perpendcular ao Exo Ox e s é perpendcular ao Exo Oy e ambas possuem apenas o ponto M como nterseção com o gráco dessa unção. Construa um ponto sobre o gráco das unções do tem 2 e verque se o crtéro desse proessor está correto. No caso armatvo explque este argumento geométrco de dentcação de uma unção bjetora. Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 5

6 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 Atvdade 3 O Gráco da Função Inversa 1. Movmente com o mouse o seletor e sga as nstruções que aparecerão durante o movmento. Pare sempre que or solctado, lendo os textos e azendo as devdas observações junto à gura que se transorma com o movmento do seletor. 2. Agora que você já vu como são as coordenadas dos Pontos A e C, e como estas se relaconam, consdere a denção abaxo, e sga as etapas da atvdade. Denção. Dados uma reta r e um ponto P, dzemos que P é um ponto smétrco à P com relação à reta r se são guas às dstâncas de P e P à reta r a reta PP é perpendcular à r. 3. Use a denção acma, e as propredades do quadrado ABCD para mostrar que, A e C são pontos smétrcos com relação à reta r. 4. O ato dos pontos A x, y e C y, x serem smétrcos com relação a uma reta A A A A r é um caso partcular, que só vale se esta reta é a reta de equação y = x. Para mostrar que sto é verdade aça segunte construção: () Construa com a erramenta uma reta, e com a erramenta um ponto. () Renomee a reta para s e o ponto para P. () Com a erramenta construa o smétrco P (renomee se necessáro) de P com relação à reta s. (v) Exba os rótulos de P e P. (v) Compare as coordenadas de P e P e responda se elas têm mesma relação que as de A e C do níco da atvdade. 5. Movmente lvremente a reta r e o ponto P para vercar que dos pontos smétrcos com relação a uma reta têm coordenadas trocadas, ou seja, somente se, a reta tem equação y = x. x y e y x, se, e P P P P 6. Façamos uma observação: Até o momento apresentamos de duas maneras um ponto smétrco com relação a uma reta r. No caso geral o ponto smétrco de um ponto P com relação a essa reta é obtdo tomando-se na perpendcular à r que contém P, o ponto P cuja dstânca concde com a de P à r. No caso partcular apresentado no níco da atvdade o ponto C smétrco de A o construído como o quarto vértce de um quadrado que tnha A como vértce e dos outros vértces na reta de equação y = r. Vercamos no tem 3, que nessa construção C satsaz as condções da denção de ponto smétrco. As perguntas que precsamos responder são: Por que C o construído Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 6

7 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 assm? Que propredade entre C e A ganhamos nesta construção? Esta propredade é geral? 7. Descreva uma manera de obter o gráco da unção nversa de uma unção sabendo que esta admte tal nversa e conhecendo-se apenas o seu gráco. Faça sua descrção de duas maneras: prmero sem utlzar o sotware e depos o utlzando. 8. Com auxílo do sotware, construa a reta r de equação y = x, o gráco das unções abaxo e em cada uma delas um ponto smétrco P com relação à reta r. Construa o lugar geométrco à P. P ( nome da respectva unção) e seu LG de P com relação 9. Movmente P e verque que seu smétrco percorre o lugar geométrco construído no tem 9. Com base nos tens anterores sabendo que P têm coordenadas x, x determne as coordenadas de P. 10. O lugar geométrco LG é a curva obtda pela relexão da curva do gráco da unção. Quando podemos dzer que esta curva é o gráco da unção nversa da unção? 11. Quas os lugares geométrcos do tem 9 que são grácos das respectvas unções que os orgnaram? 12. Faça um resumo explctando uma orma de determnar o gráco da unção nversa de uma unção quando esta admte uma unção nversa. Justque anda a segunte armatva: Para uma unção qualquer dado o seu gráco é sempre possível determnar uma curva smétrca a este gráco, mas nem sempre esta curva é o gráco da unção nversa. LG 4. Resultados Esperados Esperamos que o mncurso oereça aos partcpantes a oportundade de crar suas própros nstrumentos para o ensno de unção consderando o enrentamento aos obstáculos epstemológcos e as potencaldades do sotware GeoGebra. 5. Reerêncas BALLEJO, C. C. O uso de sotware no ensno de unções polnomas no ensno médo. Trabalho de conclusão de curso (lcencatura em Matemátca) UFRGS. Porto Alegre, 2009 Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 7

8 XI Encontro Naconal de Educação Matemátca Curtba Paraná, 18 a 21 de julho de 2013 BAZZO, B. O uso dos recursos das novas tecnologas, planlha de cálculo e o GeoGebra para o ensno de unção no ensno médo. IX Congresso Naconal de Educação III Encontro Sul Braslero de Pscopedagoga, BOTELHO, L. M. L. Funções Polnomas na Educação Básca: Uma Proposta. Monograa (Especalzação em Matemátca) - Insttuto de Matemátca, UFF, REZENDE, W.M. Dos Escolástcos às Novas Tecnologas: Uma contrbução para o Ensno da Função Quadrátca. VI Semnáro de Pesqusa em Educação Matemátca do Estado do Ro de Janero, 2008a.. Galleu e as Novas Tecnologas no Estudo das Funções Polnomas no Ensno Básco. IV Colóquo de Hstóra e Tecnologa no Ensno da Matemátca, Ro de Janero, 2008b.. O Ensno de Cálculo: Dculdades de Natureza Epstemológca. (Doutorado em Educação) Unversdade de São Paulo. São Paulo, 2003a. Tese. Proposta de emersão das déas báscas do Cálculo no ensno básco de matemátca. Projeto de Pesqusa. Unversdade Federal Flumnense, Pró-Retora de Pesqusa e Pós-Graduação, Nteró, 2003b.. Um Mapeamento do Ensno de Funções Reas no Ensno Básco. IX Encontro Naconal do Ensno Médo (Comuncação Centíca). Belo Horzonte, SIERPINSKA, A. On understandng the noton o uncton. In: Dubnsky, E.; Harel, G. (Org.) The concept o uncton: Elements o Pedagogy and Epstemology. Nova York: Notes And Reports Seres O The Mathematcal Assocaton O Amerca, v. 25, p SOUZA, A. R.; SILVA, G. A. Desenvolvmento e analse de uma metodologa para o ensno de unção quadrátca utlzando os sotwares parábola e ocna de unções. Cempem, FE, Uncamp, jan.jun/2006, v. 14 n. 25. Anas do XI Encontro Naconal de Educação Matemátca ISSN X Págna 8