A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA APRENDIZAGEM DA MÉDIA ARITMÉTICA

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1 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA APRENDIZAGEM DA MÉDIA ARITMÉTICA Elnaldo Coutnho Moras * Marsa Rosân Abreu da Slvera RESUMO: Este artgo az uma abordagem teórca da lnguagem matemátca no estudo da Méda Artmétca, dando ênase às dculdades encontradas pelo aluno neste campo do saber. Outro ponto abordado neste artgo dz respeto à ormalzação matemátca neste estudo, ou seja, a tradução da lnguagem natural para a lnguagem ormal, ortemente presente na matemátca escolar. Para a concretzação deste trabalho adotamos como suporte teórco os autores: Bcudo (2003), Changeux & Connes (1991), Granell (2003), Machado (2005), Ponte (2006), Slvera (2005), Toledo & Ovalle (1992) e Wodewotzk & Jacobn (2005). Mostramos que é possível superar essas dculdades e para tornar esta tarea possível, o proessor deve assumr papel undamental na comuncação matemátca, trabalhando este tema no Ensno Fundamental e Médo, estando sempre dsposto a ajudar o aluno na superação de suas dculdades. PALAVRAS CHAVES: Lnguagem Matemátca; Estatístca; Méda Artmétca; Lnguagem Formal. ABSTRACT: Ths artcle s a theoretcal approach o mathematcal language n the study o Arthmetc Mean, emphaszng the dcultes ounded by students n ths eld o knowledge. Another pont addressed n ths artcle concerns the mathematcal ormalzaton n ths study, n other words, the translaton o natural language to ormal language, wth strong presence n school mathematcs.to accomplsh ths work we have adapted as a theoretcal support to the authors: Bcudo (2003), Changeux & Connes (1991), Granell (2003), Machado (2005), Ponte (2006), Slvera (2005), Toledo & Ovalle (1992) and Wodewotzk & Jacobn (2005). Showed that t s possble to overcome these dcultes and to make ths task possble, the teacher should take key role n communcatng mathematcs, workng on ths subject elementary n the hgh school, always wllng to help students overcome ther dcultes. KEYWORDS: Language Mathematcs, Statstcs, Arthmetc Mean, Formal Language. * Mestre em Educação Matemátca pela Unversdade Federal do Pará; Proessor do Departamento de Matemátca e Inormátca da Unversdade Estadual do Maranhão; Proessor de Matemátca no Ensno Médo da Secretara de Educação do Estado do Maranhão. Pesqusa nancada pelo PICD/UEMA no bêno março/2008- março/2010. Doutora em Educação; Proessora Adjunta do Programa de Pós-Graduação em Educação em Cêncas e Matemátcas do Insttuto de Educação Matemátca e Centíca da Unversdade Federal do Pará. 58

2 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa 1 INTRODUÇÃO Este trabalho tem como unção analsar a lnguagem matemátca na aprendzagem da méda artmétca. Esta lnguagem que se apresenta de manera ormal, em mutos casos, leva o aluno à suas prmeras dculdades no entendmento de dversos problemas matemátcos. Bcudo (2003, p.3) se reporta a essas dculdades da segunte manera: Conversemos com proessores de matemátca. Não são raras as vezes em que relatam as dculdades de seus alunos em entender o que os problemas pedem, ou em transormar essa compreensão numa sentença matemátca clara e válda. Essas dculdades produzdas pela lnguagem matemátca (rero-me à lnguagem escrta ormalzada) são reqüentes em todos os níves escolares. Segundo Bcudo (2003, p.3-): Conversemos com alunos de cursos de Lcencatura e de Bacharelado em Matemátca. É muto comum descreverem dculdades que enrentam ao deparar-se com uma Matemátca ormalzada; os tropeços para a demonstração de resultados por vezes tão claros no enuncado que parecem prescndr de uma prova ormalzada ou para a elaboração de sentenças, ou mesmo para a vercação normal da valdade de proposções. Város estudosos estão debruçados em pesqusas no ntuto de descobrr processos de melhorar a aprendzagem matemátca, entretanto não se pode esconder dadas as númeras pesqusas e relatos de alunos, as dculdades na aprendzagem, matemátca. Segundo a mesma autora (p.): Váras são as orgens dessas dculdades mas, certamente, a lnguagem matemátca desempenha, quanto a sso, papel sgncatvo. 2 VÁRIOS OLHARES SOBRE A MATEMÁTICA Acredtamos que estes város olhares sobre a matemátca seja um dos grandes nós na aprendzagem matemátca. Estes város olhares, váras ormas de ver a Matemátca nos conduz a (...) três grandes correntes do pensamento matemátco, cada uma das quas pretendendo undamentar a Matemátca, sua produção, seu ensno, são o Logcsmo, o 59

3 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa Formalsmo e o Intuconsmo (MACHADO, 2005, p.26). Um olhar a que nos reerremos é o Formalsmo. Atentar para a Matemátca Formal é ver o ensno moderno. O ensno e aprendzagem estão pautados na ormalzação matemátca, pos esta se reporta ao conhecmento mas elaborado, mas renado, expondo demonstrações e provas. (...) É na demonstração, ou seja no nascmento da prova que surge a oportundade da cração matemátca. A demonstração eta pelo proessor não é sucente como técnca de ensno, ela soznha não ornece uma explcação (SILVEIRA, 2005, p.16). Exgr que proessores sejam logcstas, ormalsta ou ntuconstas é reduzr o ensno da Matemátca e negar a exstênca de grandes nomes na Matemátca. Wttgensten rejeta as três posções losócas e vê a matemátca como resultado de prátcas humanas (SILVEIRA, 2005, p. 31). Representando o Logcsmo podemos ctar Frege, Russel, Lebnz. Representando o ormalsmo cto Kant, Hlbert. Na deesa do ntuconsmo Morrs Klne advoga seu pensamento: Em artgo de 1970, Morrs Klne, debatendo-se contra a mplantação do que o a chamada Matemátca Moderna, deende que a vsão da abordagem dedutva ormal como sendo a essênca da Matemátca é equvocada. Klne pretende, com sua possante retórca e apoado em exemplos hstórcos extremamente esclarecedores, restabelecer o prmado da ntução nos processos de cração do conhecmento matemátco, advogando para que essa atenção à ntução seja levada às salas de aula como proposta pedagógca ( BICUDO, 2003, p.60-61). Vemos que esta luta entre Logcstas, Formalstas e Intuconstas já perdura por mutos anos, tendo sdo motvo de debates entre grandes matemátcos. Então, não deve ser questão smples para os proessores de Matemátca, decdrem-se por uma das três correntes losócas. 3 ENSINANDO E APRENDENDO Uma das grandes dculdades do proessor é superar as dculdades que se apresentam em sua prátca pedagógca. E uma destas dculdades está na construção de concetos por parte do aluno usando a lnguagem matemátca. Portanto, o proessor precsa melhorar sua comuncação com o aluno. 60

4 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa Quando o proessor conduz o aluno a azer conjeturas, a aula torna-se enrquecda, pos é no dálogo que se abre um horzonte de sentdos no qual o aluno pode construr o seu própro conceto do objeto, com julgamentos justos, e o proessor pode mostrar como sabe o que sabe. Assm, enquanto o aluno va construndo seu conceto, o proessor va aprmorando a manera de expor o seu. (SILVEIRA, 2005, p.16). Esta construção de concetos será abordada usando a estatístca como erramenta matemátca. No currículo de Matemátca, a Estatístca é um tema relatvamente recente. As abordagens usuas deste tópco enatzam os aspectos computaconas e procedmentas: como se calcula a méda ou o desvo padrão, como se az um gráco de barras, um gráco crcular ou um dagrama de caule e olhas. Como conseqüênca, a Estatístca pode tornar-se um dos temas de Matemátca mas aborrecdos de ensnar e de aprender. (PONTE et al, 2006, p.91) Acredtamos que Ponte se expressa com certo exagero quando dz que a Estatístca pode tornar-se um dos temas de Matemátca mas aborrecdos de ensnar e de aprender. No entanto, retrata-se com os amantes da Estatístca ao dzer: No entanto, este tema matemátco desempenha um papel essencal na educação para a cdadana. Na verdade, a Estatístca consttu uma mportante erramenta para a realzação de projetos e nvestgações em numerosos domínos, sendo usada no planejamento, na recolha e análse de dados e na realzação de nerêncas para tomar decsões (PONTE et al, 2006, p.91). UMA PRIMEIRA FORMA DE VER A MÉDIA ARITMÉTICA Ao estudarmos a Méda Artmétca, bem como qualquer outro conteúdo matemátco, o proessor está nteressado em que o aluno construa o seu conceto sobre o tema estudado. 61

5 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa O aluno constró seu conceto matemátco ao estar nserdo nos jogos de lnguagem e quando trabalha com sentdos ntersubjetvos dados ao objeto. Desta relação do aluno com o outro, com o proessor, com o colega, com o contexto da sala de aula e da relação com a própra dscplna, nascem condções para o movmento de ação do seu conceto matemátco. (SILVEIRA, 2005, p.2-25) A segur, apresentaremos um estudo da Estatístca, onde a lnguagem matemátca é ortemente aplcada. Usaremos esse estudo para mostrar a nluênca dessa lnguagem na aprendzagem da Méda Artmétca. Seja X uma varável que representa as notas de um estudante em determnada dscplna. Por exemplo, se tomarmos como notas os dados 7,0; 9,0; 8,0; 10,0 e se desejarmos calcular a nota méda dessas notas ou a méda artmétca dessas notas, deveremos assm proceder da segunte manera: somar todas as notas, tomar o resultado e dvdr pela quantdade de dados, que neste caso é quatro. Em lnguagem matemátca, assm ca: MA = MA = MA= 8,5. Percebemos que a comuncação matemátca o realzada e dclmente o aluno tera dculdades para entender o que o proposto, que neste caso, é o entendmento sobre o que seja a méda artmétca. No entanto, aqu já aparecem alguns termos que não azem parte do cotdano do aluno. São estes: varável, representada pela letra X, e a sgla MA que propostadamente aqu representa a méda artmétca. Vejamos agora que esta comuncação pode ser eta de outra orma, usaremos uma Lnguagem Matemátca Formal, derente da apresentada anterormente. Em Lnguagem Formal, usa-se uma smbologa para dentcação da méda artmétca. Esta será dentcada, segundo Toledo (1992), por x. Observe que temos um traço horzontal sobre uma letra x e esta smbologa é lda como x barra. A ntrodução de tal smbologa, por s só, acarreta dculdades no entendmento do conteúdo matemátco. Por que usar um x com traço em cma? Resolvendo então a questão proposta em Lnguagem Formal: daremos nomes às varáves, que são as notas. Neste caso, notas. Chamaremos então de n e representará o tamanho da amostra que será pesqusada. Desse modo 7,0 será chamado x 1 ; 9,0 será chamado x 2 ; 8,0 será chamado x 3 ; 10,0 será chamado x. Organzando estes dados, 62

6 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa podemos reescrever da segunte manera: x 1 = 7,0; x 2 = 9,0; x 3 = 8,0; x = 10,0. Procedendo x x x x então ao cálculo da méda artmétca, teremos: x =. n Substtundo as notas e o valor de n na órmula da méda, teremos a mesma stuação anteror, que é MA = MA = MA = 8,5. Observamos que a órmula pode ser tratada da segunte manera, usando um tratamento anda mas ormal. Se tomarmos x = x x x x n, perceberemos que o numerador é uma soma, o que nos permte reescrevê-lo em orma de somatóro, logo x = x. Percebemos aqu o surgmento de uma órmula estatístca, com toda uma notação e 1 smbologa própra da estatístca. Esta smbologa e lnguagem se não or bem comuncada poderá acarretar dculdades no processo de aprendzagem no estudo da méda artmétca. Aqu aparecem termos totalmente desconhecdos do repertóro de conhecmentos do aluno: x, n, x (= 1, 2, 3, ). O surgmento de termos e símbolos novos ao aluno remete uma nova postura do proessor, nduzndo-o a aprmorar a sua comuncação matemátca, dando grande ênase na lnguagem matemátca. Na Estatístca, (...) A sua lnguagem e concetos são utlzados em cada passo do da-a-da para apoar armações em domínos como a saúde, o desporto, a educação, a cênca, a economa e a polítca. Todo o cdadão precsa saber quando um argumento estatístco está ou não a ser utlzado com propredade. (PONTE et al, 2006, p.91). 5 UMA SEGUNDA FORMA DE VER A MÉDIA ARITMÉTICA Imagnemos agora, como na stuação anteror, uma stuação mas abrangente, contendo as notas de alguns alunos de uma determnada turma. Seja X a varável que representa essas notas. As notas são: 7,0; 9,0; 8,0; 10,0; 7,0; 6,0; 7,0; 8,0; 6,0; 9,0; 63

7 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa. Por exemplo, se desejamos calcular a nota méda dessas notas ou a méda artmétca dessas notas deveremos assm, proceder como no caso anteror e teremos x = x = x = 7, Na verdade, o que zemos o somar todas as notas e dvdr pela quantdade total de notas. Da mesma orma, podemos usar uma Lnguagem Formal para escrever o entendmento sobre a méda, observando que estas notas apresentam algumas repetções. Chamaremos estas repetções de reqüêncas e reorganzaremos os dados assm: x 1 = 7, 1 = 3; x 2 = 9, 2 = 2; x 3 = 8, 3 = 2; x = 10, = 1; x 5 = 6; 5 = 2. Podemos então eetuar ao cálculo da méda artmétca da segunte orma: x = 7, x = x = x = 10 O procedmento matemátco pode ser apresentado de orma ormal da segunte manera: x = x 1 1 x x3 3 3 x Se observarmos novamente para o numerador desta ração, veremos com clareza que temos uma soma de produtos, e o denomnador uma soma de termos. Podemos então reescrever, usando uma matemátca ormal da segunte orma: x = x x 1 5 Se tvermos certa amlardade com a notação estatístca, poderemos escrever x =. Lembrando que é a soma das reqüêncas ou repetções das notas e, x 5 5 6

8 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa portanto pode ser entenddo como o tamanho da amostra estudada, comumente representada pela letra n. Mas uma vez podemos reescrever para x = x Percebemos novamente que a comuncação matemátca o realzada e, no entanto, as dculdades para o aluno no que dz respeto ao entendmento sobre o que é a méda artmétca parecem ter sdo aumentadas. Este grau de dculdade aumentado dá-se ao ato de que acontece a ntrodução de novos elementos na Lnguagem Matemátca. No entanto, para se ter um estudo completo sobre o tema proposto é necessáro que o aluno entre em contato com esta ormalzação estatístca ou a matemátca ormal presente na estatístca. Vejamos, por exemplo, que a órmula x = x n n, que possu uma aplcação elementar, pode apresentar-se como peça de dícl demonstração ou prova para o aluno que se mpressonar com a sua aparênca, com a Lnguagem Matemátca usada para escrevê-la. Aqu, trazemos de volta a questão: É convenente estudar a Méda Artmétca apenas aplcando a órmula acma? E o camnho para se chegar à construção dessa órmula? Não precsa o aluno tomar conhecmento desse camnho? A construção dessa órmula obedece à Matemátca Formal. Se or necessáro que o aluno tome conhecmento desse camnho, então o estudo da méda artmétca não pode prescndr da Lnguagem Matemátca usada na Matemátca Formal. (...) o conhecmento matemátco é proundamente dependente de uma lnguagem especíca, de caráter ormal, que dere muto das lnguagens naturas. A característca dessa lnguagem é tentar abstrar o essencal das relações matemátcas, elmnando qualquer reerênca ao contexto ou à stuação, ao ponto de na lnguagem algébrca consderada como a autêntca lnguagem da matemátca -, os números, em s mesmo abstratos, serem substtuídos por letras, que têm um caráter muto mas genérco. (GRANELL, 2003, p.260) Segundo a mesma autora (p.260): A lnguagem matemátca envolve a tradução da lnguagem natural para uma lnguagem unversal ormalzada. Percebemos na órmula apresentada para a méda artmétca a presença dos símbolos x,, e do própro x, sto nos leva a pensar na abstração presente na matemátca. Dando mportânca à abstração, Granell (2003, p.259) se reporta dzendo: (...) Como se sabe, alguns concetos matemátcos, 65

9 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa como os números magnáros, por exemplo, oram dendos e demonstrados muto antes de ser encontrada alguma aplcação concreta para eles. A lnguagem matemátca tem sdo motvo de estudo de mutos pesqusadores. Granell (p.263) az alguns questonamentos do tpo: a) A matemátca é apenas uma lnguagem? Ou melhor: em que sentdo é lnguagem?; a matemátca como uma lnguagem ormal e autônoma mplca a necessdade de algum sgncado que não seja ormal, algum vínculo com a realdade? b) A maora das pessoas carece realmente da capacdade de abstração necessára para domnar lnguagens ormas? Ou o processo de ensno adotado é nadequado? Reportando-se à lnguagem matemátca Alan Connes e Jean-Perre Changeux (1991, p.39-0) também conversam sobre esta questão. JPC (1991, p.39) dz: (...) Tu concordas que a matemátca consttu uma lnguagem e que exstem váras lnguagens elementares..talvez a matemátca consttua a síntese aprmorada de todas estas lnguagens, uma espéce de lnguagem unversal... AC (1991, p.0) responde: (...) É certo que a matemátca é usada como uma lnguagem por outras cêncas, mas não saberíamos, sem cometer um grave erro, reduz-la apenas a uma lnguagem. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Concordamos com Bcudo (2005) de que exste atualmente uma tendênca da Estatístca em se azer presente nos lvros ddátcos do ensno undamental e médo, bem como a exgênca de dversos conteúdos serem abordados nesses níves de ensno. Esta tendênca se az pela própra exgênca do mundo moderno. A Estatístca está presente no cotdano das pessoas e se consttu como erramenta de trabalho para mutos prossonas. Então, entender e aprender a estatístca, em partcular a méda artmétca, é não vê-la dssocada da matemátca e perceber nela toda uma lnguagem matemátca que precsa ser traduzda e compreendda pelos alunos para que estes possam usurur destes conhecmentos no seu da-a-da. 66

10 Generated by Foxt PDF Creator Foxt Sotware For evaluaton only. Revsta Pesqusa em Foco: Educação e Flosoa REFERÊNCIAS BICUDO, Mara Aparecda Vggan, Garnca, Antono Vera Maraot. Flosoa da Educação Matemátca. 3. ed. Belo Horzonte: Autêntca, CHANGEUX, Jean-Perre, Aaln Connes. Matéra Pensante. Tradução de Carlos Lourenço e Ana Paula Olvera. Revsão centíca de Augusto J. Franco de Olvera. -1. ed. - Portugal: Gradva Publcações,1991. GOMEZ-GRANELL, Carmem. A aqusção da lnguagem matemátca: símbolo e sgncado. In: TEBEROSKY, Ana. TOLCHINSKY, Llana. (Orgs.). ALÉM DA ALFABETIZAÇÃO: a aprendzagem onológca ortográca, textual e matemátca. São Paulo: Edtora átca, 2003, p MACHADO, Nlson José. Matemátca e realdade: análse dos pressupostos losócos que undamentam o ensno da matemátca. - 6 ed. São Paulo: Cortez, 2005 PONTE, João Pedro da. Brocardo, Joana. Olvera, Héla. Investgações Matemátcas na sala de aula.- 1.ed., 2ª remp. Belo Horzonte: Autêntca, SILVEIRA, Marsa Rosân Abreu da. Produção de sentdos e construção de concetos na relação ensno/aprendzagem da matemátca. Tese (doutorado). Orentadora Nadja Mara Amlba Hermann. Porto Alegre : UFRGS, TOLEDO, Geraldo Lucano. OVALLE, Ivo Izdoro. Estatístca Básca. 2. (10ª tragem- 1992). Ed. São Paulo: Atlas, WODEWOTZKI, Mara Lúca Lorenzett, Jacobn, Otavo Roberto. O Ensno de Estatístca no Contexto da Educação Matemátca. IN: BICUDO, Mara Aparecda Vggan, Borba, Marcelo de Carvalho. Educação Matemátca: pesqusa em movmento. 2. ed. Revsada São Paulo: Cortez,