C são matrizes que satisfazem

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1 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Construa as guntes matrzes: a) tal que por a b) tal que < > a a a. () Consdere a rede de telecomuncações com nós e coneões reprentada abao: a) Escreva a matrz de adacêncas assocada a esta rede, sabendo que a este uma coneão entre o nó e o nó e a não este uma coneão entre o nó e o nó. () Determne e de modo que tenha () Dadas e, 9 C B, calcule B,.B C,.,..B,.C-.B. () Se, B e C são matrzes que satsfazem C B determne o valor de. () Se e B são matrzes de tpo, determne qual (s) da(s) operações (abao) podem r realzadas: (a) B (b) (B).B t (c).b (d) t B t (e) B t. () Calcule os guntes produtos: a) b) c) - - () Determne e de modo que as matrzes B e comutem.

2 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 (9) Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um peddo para comprar ações na gunda-fera, como gue: quotas de ação, quotas da ação B e quotas da ação C. s ações,b e C custam por quota R$,, R$, e R$, respectvamente. Encontre o custo total das ações, usando multplcação de matrzes. () Consderando a matrz, resolva os guntes tems: (a) Calcule,,. (b) Determne uma fórmula geral para n () Calcule a nversa de cada matrz abao: a) b) c)

3 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Calcule os determnantes abao utlzando a fórmula (fechada). a) b) 9 c) d) () Determne na matrz de forma que det(). () Se det(.b)9, det(c), det(b.c) e B e C são, determne o valor de (ustfcando) () Sem efetuar cálculos, determne o valor dos determnantes abao utlzando a propredade adequada (enunce a propredade utlzada) : a) 9 b) c) / () Consdere a matrz. Utlzando o determnante, determne o(s) valor(es) de de forma que a matrz admta nversa. () Consdere a matrz. Calcule o valor determnante de -. () Sea uma matrz e suponha que det(). Calcule det( - ), det(), det( - ). () Se det(), o que podemos dzer sobre det( )? Determne uma fórmula geral para det( n ).

4 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Resolva os sstemas abao utlzando escalonamento: a) b) c) (d) (e) () Efetuando escalonamento, dscuta, gundo o parâmetro a, o sstema: a () Você tem no bolso algumas moedas de centavos, de centavos e de centavos. Há moedas no total e eatamente duas vezes mas moedas de centavos do que de centavos. O valor total das moedas é de R$,. Consderando estas nformações, escreva o sstema e determne o número moedas de cada tpo. () Qual o valor de m para que o sstema m tenha solução? () Uma florsta oferece três tamanhos de arranos de flores com rosas, margardas e crsântemos. Cada arrano pequeno contém uma rosa, três margardas e três crsântemos. Cada arrano médo contém duas rosas, quatro margardas e s crsântemos. Cada arrano grande contém quatro rosas, oto margardas e s crsântemos. Um da, a florsta notou que hava usado um total de rosas, margardas e crsântemos, ao preparar as encomendas dess três tpos de arranos. Quantos arranos de cada tpo ela fez? (Resp: Dos pequenos, três médos e quatro grandes). () Consdere o sstema lnear :... λ λ λ, no qual λ é uma constante. Resolva o sstema tomando λ e depos tomando λ

5 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Consderando u(,) e v(-,) efetue os guntes cálculos: (a).u (b) uv (c) uv (d) uv (e) u-v () Dado o vetor v(,,), calcule.v, -.v,.v, v/ v () Seam u(,-,), v(,-,) e w(,,-). Calcule as epressões abao: a) uv b) u v c) uvw d) v -. u () Encontre u.v consderando: a) u(,) v(,-) b) u(,-,) v(,,). () Sea v(,,,-,). Encontre todos os escalares k tas que k.v () Para quas valores de k, houver, são u e v ortogonas? Sendo u(k,,) v(,,k) () Em cada parte, determne o número dado é um ISBN váldo conferndo o u dígto de verfcação. (a) -9-- (b) --- () Dados os vetores u(,-,) e v(,,-), verfque quas dos vetores w abao, podem r escrtos como uma combnação lnear de u e v. a) w(,,) b) w(,,) c)w(,,) (9) Epres os vetores w abao como combnações lneares de u(,,),v(,-,) e t(,,), ou a, determne k, k e k tas que w k.uk.vk.t a) w(-9,-,-) b) w(,,) c) w(,,9) () Escreva o vetor w como uma combnação lnear dos vetores u e v. (a) u(,-), v(,) e w(,) (b) u(-,), v(,) e w(,9) () Nos eercícos (a) e (b), determne o vetor v é uma combnação lnear do vetores u e u. (a) v(,) e u (,-) e u (,-) (b) v(,) e u (,-) e u (-,). () O conunto { (, ), (, ), (, )} gera o R? () Determne os vetores defndos em S{(-,,), (,,), (-,,)} geram o R. () Verfque que S{(,,), (-,-,), (,,-)} gera o R. () Seam c (.,.,.) e c (.,.,.) dos vetores de cor RGB e k / e k / escalares. Obtenha o vetor c como combnação lnear de c e c. Determne k e k de forma que a cor c (.,.,.) a combnação das cores c e c.

6 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Verfque os conuntos de vetores dados abao são L.D ou L.I. (a) v (-,,) e v (,-,-) (b) v (,-), v (,) e v (-,) (c) v (,-,) e v (-,,) (d) v (,-) e v (,) (e) v (,-,) e v (,,) (f) v (,-,), v (,-,) e v (-,,) () Mostre que o conunto S{,,,-), (,,,) e (,-,,)} é L.D. Epres cada um dos vetores como combnação lnear dos outros dos. () Qual condção deve r obrvada para que v(a,b) e u(c,d) am L.I? pós a verfcação de tal condção, dê um eemplo numérco. () Sea {u,v,w} um conunto de vetores L.I em R. Verfque {uv,vw,uw} é L.I () Se u(,) obtenha todos os vetores v que am L.D com u. () Sea {u,v} um conunto L.I no R. Se k é um escalar não-nulo, o podemos dzer sobre o conunto {k.u,k,v} () Dê um eemplo de dos vetores L.I no R que am ortogonas?

7 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Verfque cada um dos conuntos de vetores abao defnem uma ba: (a) v (,) e v (,) e v (,) VR (b) v (,) e v (,) VR () Encontre o vetor de coordenadas de w em relação à ba B{v,v } de R (a) v (,) e v (,) e w(,-) (b) v (,-) e v (,) e w(,) () Encontre o vetor de coordenadas de v em relação à ba S{v,v,v } v(,-,) v (,,), v (,,) e v (,,) () Sabendo que B{(,-,), (-,,),v }, é uma ba ortogonal, determne v () Verfque que B{ (,,),(,, ),(,, ) } é uma ba ortonormal. () Mostre que B {u,u } e {u,u,u } é uma ba ortogonal para R ou R, respectvamente. Depos epres como combnação lnear dos vetores de B e. (a) u (,-), u (,), (9,-) (b) u (,), u (-,), (-,) (c) u (,,), u (-,,), u (,,-), (,-,-) () Seam {(,),(,)} e B{(,-),(,)} bas do R. Determne v B, sabendo que v (,) e determne v sabendo que v B (,).

8 Eercícos de Álgebra Lnear Prof: José ndré UNIPLI - 9 () Verfque as transformações a gur são lneares. (a) T() (b) T() (c) T() (d) T() (e) T(,).. (f) T(,) () Calcule T() e T(,) consderando o eercíco (). () Se T(u)- T(v) e T(w) e T defne uma transformação lnear, calcule os valores das guntes transformações: (a) T(uv) (b) T(u-v) (c) T(-9w) (d) T(uvw) (e) T(v-w) (f) T(uw) () Esboce v(,) e as suas magens, após uma refleão em torno do eo e do eo. () Esboce u (-,-) e a suas magens após a aplcação de uma epansão de fator em e uma contração de valor / em. () Esboçar o retângulo de vértces v(,), v(,), v(,) e v(,) e o retângulo transformado, consderando uma epansão reprentada por T(,)(,). () Esboçar a magem do retângulo de vértces v(,), v(,), v(,) e v(,) consderando uma rotação de o reprentada por T(,)(, ). () Esboçar a magem do retângulo de vértces v(,), v(,), v(,) e v(,) consderando um csalhamento por um fator na dreção. (9) Escreva a matrz natural assocada a cada uma das T.L abao: (a) T(,). b) (c) T(,)(,-,) (b) T(,)(-,) (d) T(,,z)(z,---z,-z)