ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA A SOLUÇÃO DO MODELO DE CONTROLE DE POTÊNCIAS ATIVA E REATIVA

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1 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PARA A SOLUÇÃO DO MODELO DE CONTROLE DE POTÊNCIAS ATIVA E REATIVA ELIZETE DE ANDRADE AMORIM 1, RUBÉN A. ROMERO 1 E JOSÉ ROBERTO S. MANTOVANI 1 1 Departamento de Engenhara Elétrca Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera FEIS Unversdade Estadual Paulsta UNESP Av. Brasl Norte, 364 Caxa Postal 31 CEP , Ilha Soltera, SP, Brasl e-mals: elzete.amorm@gmal.com, ruben@dee.fes.unesp.br, mant@dee.fes.unesp.br Resumo Neste trabalho apresenta-se uma metaheurístca dedcada à solução do problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) multobjetvo. A metaheurístca desenvolvda utlza os concetos de domnânca de Pareto, eltsmo e preservação de dversdade na população, para determnar uma boa aproxmação do conjunto das soluções ótmas de Pareto. O problema de FPO é modelado como um problema de otmzação não-lnear ntero msto, com varáves dscretas e contínuas. Nos processos de recombnação e mutação consdera-se o desacoplamento mplícto das varáves de controle para evtar problemas de confltos entre os dferentes objetvos que compõem o problema de FPO. A efcáca e robustez da metaheurístca são testadas utlzando os sstemas testes RTS-96 e IEEE-354. Palavras-chave Controles corretvos de tensão, despacho econômco, fluxo de potênca ótmo, non-domnated sortng genetc algorthm (NSGA). Abstract Ths work presents a dedcated metaheurstc appled to the multobjectve Optmal Power Flow (OPF) problem soluton. The methaheurstc developed uses concepts of Pareto domnance, eltsm, and populaton dversty, to generate a good approxmaton of the Pareto-optmal solutons n the OPF problem. The OPF problem s modeled as a mxed nteger nonlnear programmng, wth dscrete and contnuous varables. In the recombnaton and mutaton processes, subsets of the control varables are separated to avod conflcts problems among the dfferent objectves nsde the OPF problem. Effcency and robustness of the metaheurstc are tested usng the tests systems RTS-96 and IEEE-354. Keywords Economc dspatch, non-domnated sortng evolutonary algorthms (NSGA), optmal power flow, voltage correctve control. [ 478 ]

2 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO 1. INTRODUÇÃO Mutos problemas do mundo real apresentam uma coleção de objetvos a serem otmzados que são na maora das vezes confltantes entre s, ou seja, é mpossível melhorar um objetvo sem deterorar algum outro. Estes problemas são conhecdos como multobjetvo ou multcrtéro e dstnguem-se de todos os demas ramos da teora da otmzação quanto ao sentdo que o conceto de solução ótma que o problema adqure. Por se tratar de objetvos confltantes, na otmzação multobjetvo cada objetvo corresponde a uma solução ótma. Isso faz com que esses problemas apresentem um conjunto de soluções ótmas. Os algortmos evolutvos têm sdo utlzados com sucesso para determnar a frontera Pareto-Ótma dos problemas de otmzação multobjetvo, porque eles trabalham com uma população de pontos (possíves soluções) que podem conter nformações sobre váras regões do espaço de busca, oferecendo, desta forma, maores possbldades para encontrar o conjunto Pareto-ótmo ou uma aproxmação dele (Arroyo, (22)). Nos últmos anos vêm aumentando os estudos na área de otmzação multobjetvo, trazendo como conseqüênca o desenvolvmento de métodos matemátcos para tal tarefa. Um exemplo da aplcação multobjetvo é o problema de despacho ótmo de potêncas atva e reatva que é abordado neste trabalho. Neste problema, além da mnmzação do custo operaconal da geração de potênca atva são de fundamental mportânca a mzação da efcênca operaconal e da qualdade e confabldade dos servços oferecdos pelas concessonáras de energa elétrca. Observa-se que estes objetvos são confltantes, já que para obter a operação dos sstemas de potênca a custo mínmo algumas vezes os mesmo são forçados a operar em seus lmtes físcos e operaconas. Assm, nenhuma solução que apresente menor custo operaconal, mas pelo menos um de seus lmtes físcos e/ou de confabldade está volado pode ser consderada superor à outra, com maor custo operaconal, mas atendendo todas as restrções do problema. Contudo, dentre todas as soluções exstem algumas que são superores a outras, sto é, apresentam confabldade maor ou equvalente por um custo menor ou gual. Estas soluções que superam outras são as soluções não-domnadas. Deste modo, é de fundamental mportânca, para os pesqusadores da área de planejamento e operação dos sstemas de energa elétrca, uma ferramenta que permta encontrar o conjunto de soluções não-domnadas, e a partr deste conjunto determnar as soluções que melhor atenda as suas necessdades. Os algortmos evolutvos por sua vez parecem ser propícos a ldar com problemas multobjetvo porque tratam smultaneamente uma sére de soluções possíves (população) que permtrão descobrr o conjunto Pareto-Ótmo (Coello (1996); Deb (21); Deb et. al (2); Srnvas and Deb, (1995), Arroyo, (22)) do problema ao nvés de realzar uma sére de smulações para cada uma das funções, como no caso das técncas de programação matemátca tradconas. Neste trabalho, é proposto um Algortmo Evolutvo Multobjetvo (AEMO) para resolver um problema de Fluxo de Potênca Ótmo (FPO) e obter um conjunto de soluções efcentes. O FPO proposto é um problema de programação não-lnear ntero msto, com varáves de controle contínuas e dscretas, e tem por objetvo realzar o despacho econômco da geração de potênca atva e ajustar os controles corretvos das magntudes das tensões, smultaneamente. As varáves dos subproblemas atvo e reatvo de FPO são fscamente confltantes entre s, e devem ser tratadas crterosamente. Para contornar este problema, as nfactbldades ocorrdas durante o processamento do algortmo evolutvo, são tratadas como funções objetvo do problema. Desta forma, o problema de FPO abordado é transformado em um problema de otmzação multobjetvo. O AEMO mplementado é baseado no algortmo Nondomnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA) e combna algumas estratégas a fm de realzar uma busca efcaz e encontrar um conjunto de soluções de boa qualdade. Estas estratégas são: Eltsmo; [ 479 ]

3 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO Classfcação da população de acordo com a domnânca das soluções (nondomnated sortng) para encontrar a melhor solução a cada geração; Escolha de uma solução efcente da frontera de Pareto através de funções de agregação; Desacoplamento mplícto das varáves de controle do problema; Seleção e recombnação smultaneamente; Preservação da dversdade na população. Para valdar a efcênca do modelo e da técnca de solução proposta apresentam-se os resultados e as análses das smulações realzadas com os sstemas testes RTS-96 (Grgg et. al (1999)) e IEEE-354 (Aguado e Quntana, (21)). 2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA O problema de FPO é um problema de otmzação não-lnear, não-convexo e de grande porte, utlzado prncpalmente no planejamento da operação dos SEP. Fo proposto em (Carpenter (1962)), a partr do problema de despacho econômco e defndo como FPO em (Dommel e Tnney, (1968)). O problema de FPO pode ser matematcamente formulado como segue: mn f ( xu, ) s. a: g ( x,u) =, = 1,, m h ( x,u), j = 1,, n (1) j mn x x x mn u u u T n sendo: x = ( θ, V, t) R o vetor das varáves de estado, sto é, ângulos de fase ( θ ), T n magntudes das tensões ( V ) e tap dos transformadores () t ; u = ( Pg, QgSc, ) R o vetor das varáves de controle, sto é, potêncas atva e reatva gerada ( Pg, Qg ) e, banco de capactores e mn reatores shunts ( Sc ); x e x representam os lmtes nferores e superores das varáves de estado do sstema; u mn e controle; ( x) u representam os lmtes nferores e superores das varáves de f representa o custo da geração de potênca atva; g ( x) = representa o conjunto das equações de balanço do fluxo de potênca; h ( x) representa o conjunto das restrções funconas e de operação, sto é, lmtes de potênca atva e reatva gerada nas barras de geração, lmtes dos fluxos de potênca nas lnhas de transmssão e transformadores, lmtes das magntudes das tensões e dos capactores e reatores shunts nas barras do sstema. O problema de controle de potêncas atva e reatva é um subproblema do problema de FPO, e consste do despacho econômco da geração de potênca atva e nos ajustes dos controles corretvos de tensão. Trata-se de um problema de programação não-lnear ntero msto de grande porte, com varáves de controle contínuas e dscretas, que consste em realzar o despacho de potêncas atva e reatva smultaneamente, o que aumenta a complexdade de solução do modelo. Na maora das técncas de solução de problemas com restrções de desgualdade, as restrções voladas são adconadas à função objetvo do problema através das técncas de penalzação. Todava, esta abordagem, na solução do modelo de FPO, compromete a qualdade das soluções encontradas, devdo aos confltos, sob o aspecto físco entre os dferentes tpos de varáves, envolvdas nos subproblemas atvo e reatvo. Uma alternatva para contornar este problema é tratar as nfactbldades das restrções como funções objetvo do problema. Este tratamento dado às restrções voladas do problema transforma-o em um problema de otmzação multobjetvo (do nglês Multobjectve Optmzaton Problem (MOP)). Desta forma, o problema de controle de potêncas atva e reatva pode ser modelado como um problema multobjetvo através das seguntes manpulações: j [ 48 ]

4 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO Custo da geração de potênca atva: f1 = Mn C ( Pg ) G (2) N Infactbldade da geração de potênca atva: { } f2= h1 =, Pg Pg se é a barra de referênca (3) Infactbldade da geração de potênca reatva: sendo Infactbldade da magntude de tensão: sendo { } f3= h2= Qg G (4) Qg Qg, Qg < Qg Qg = Qg Qg Qg > Qg, caso contráro mn mn a, { } f4= h3= V N (5) V V, V < V mn mn, V = V V V > V, caso contráro Infactbldade da capacdade das lnhas de transmssão: Restrções de fluxo de carga: { } f5= h4 =, Sk Sk, k N (6) ( θ ) g1 = Pg Pc P, V, T = N (7) ( θ ) g2 = Qg Qc Q, V, T + Sc = N (8) Sendo: e j representam o índce das barras; N é o número total de barras do sstema; G é o conjunto das barras com tensão controlada; ( ) C Pg é a função objetvo que representa o custo mn mn da geração do sstema, e fo adotada como sendo uma função lnear; Pg, Pg, Qg e representam os lmtes mínmo e máxmo da geração de potêncas atva e reatva na barra Qg, respectvamente; P( θ Vt) e Q ( Vt) na barra ; Pg, mn na barra ; V e S j e j,, θ,, são as njeção líquda de potêncas atva e reatva Qc representam a geração e a demanda de potêncas atva e reatva V são os lmtes nferor e superor das magntudes de tensões na barra ; Pc, Qg e S representam o fluxo e capacdade máxma dos fluxos de potênca aparente na lnha j ; Sc representa os banco de capactores/reatores shunt na barra. Para solução do problema (2)-(8) propõem-se um algortmo evolutvo dentro do contexto da otmzação multobjetvo. Os algortmos evolutvos permtem orgnalmente tratar as varáves contínuas com facldade e, também podem ser expanddos para tratar conjuntamente as varáves contínuas e dscretas. Além dsso, estes métodos trabalham com um conjunto de soluções smultaneamente, não necesstam de nformações adconas a não ser o valor de aptdão das soluções, e podem escapar de ótmos locas. Estas característcas fazem dos algortmos evolutvos uma técnca promssora a ser empregadas na solução de problemas multobjetvos, [ 481 ]

5 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO prncpalmente quando se deseja conhecer o conjunto das soluções Pareto-ótmas. Portanto, estes algortmos podem ser aplcados com sucesso na solução do problema de FPO sob estudo. 3. OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO E ALGORITMOS EVOLUTIVOS Em um problema de otmzação multobjetvo, as soluções são comparadas através da propredade de não-domnânca (Deb, (21)). A. Não-domnânca: Seja um problema multobjetvo, com k funções objetvo, para serem mnmzadas smultaneamente. Uma solução y 1 domna uma solução y 2, se y 1 é melhor que y 2 em pelo menos um objetvo f, e não é por que y 2 para qualquer outro objetvo f j, j= 1, 2,, k: y 1 domna y 2 se f (y 1 ) < f (y 2 ) e f j (y 1 ) < f j (y 2 ) B. Solução não-domnada ou ótma de Pareto: Uma solução y 1 P, que domna qualquer outra solução y 2 P (P S, sendo S o espaço de busca do problema), é chamada solução não domnada em P. As soluções que são não domnadas sobre todo o espaço S são chamadas de soluções ótmas de Pareto (Crtéro de otmaldade de Pareto). C. Frontera de Pareto: é a curva compostas por soluções não domnadas em um espaço contínuo. Os algortmos evolutvos para otmzação multobjetvo podem ser classfcados em três categoras (Coello, (1996)): técncas que utlzam funções de agregação; técncas não baseadas na teora de Pareto; técncas baseadas na teora de Pareto. As técncas que utlzam as funções de agregação fazem uma combnação lnear das dversas funções objetvo, transformando o MOP em um problema mono-objetvo (métodos da soma ponderada, programação por metas e satsfação por metas). Esta transformação é alcançada através da ntrodução de parâmetros adconas, que quantfcam a mportânca de cada objetvo. A otmzação smultânea de todos os objetvos pode ser efcentemente realzada através de métodos baseados em populações, como as algortmos evolutvos, porque eles geram múltplas soluções de uma únca vez. As prncpas técncas desenvolvdas para aplcação de algortmos evolutvos multobjetvo em problemas de engenhara podem ser encontradas em (Deb, (21); Coello, (1996)). 4. ALGORITMO EVOLUTIVO MULTIOBJETIVO PROPOSTO O AEMO desenvolvdo é baseado em um procedmento de ordenação dos pontos canddatos a serem pontos efcentes da população. Este método é conhecdo na lteratura técnca como Nondomnated Sortng Genetc Algorthm (NSGA). O NSGA fo proposto em (Srnvas and Deb, (1995)) e dfere do algortmo genétco smples apenas na forma como é executada a seleção, uma vez que os operadores recombnação e mutação permanecem dêntcos. Neste trabalho, o algortmo proposto combna algumas estratégas a fm de realzar uma busca efcaz e obter um bom desempenho. O processo teratvo do algortmo mplementado é lustrado na Fg. 1, e a segur apresentam-se as estratégas utlzadas: - Codfcação das varáves de controle em base real; - Classfcação da população de acordo com a domnânca das soluções; - Eltsmo; - Desacoplamento mplícto das varáves do problema; - Seleção e recombnação smultaneamente; [ 482 ]

6 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO - Preservação da dversdade; - Escolha de uma solução ncumbente da prmera frontera de Pareto. ENTRADA DE DADOS - Tamanho da população: (Npop) - Número de Gerações: (N) - Lmtes nf. e sup. das taxas de recombnação e mutação: População Incal (geração aleatóra controlada) g = 1 Soluções não domnadas (Algortmo de busca) Processar o FP (N) Classfcação das soluções (fronteras de domnação) Avalação NSGA Estratéga eltsta (Prmera frontera) g < n g = g + 1 (S) End Solução ncumbente (Técnca de escalarzação) Nova população Seleção e recombnação Mutação Fg. 1 Dagrama de blocos do AEMO mplementado Codfcação, População Incal e Fluxo de Potênca Exstem dversas formas para representar as soluções canddatas em um algortmo evolutvo. A escolha rá depender da natureza das varáves de decsão de cada problema. Neste trabalho, adotou-se uma representação em base real. Os taps dos transformadores e os bancos de capactores e os bancos de capactores e reatores shunts são representados através de valores dscretos como segue: t = 1+ t t H (9) Sendo que Sc = Sc Sc C (1) t e reatores orgnas do sstema, respectvamente e o tamanho do passo. H e C são os conjuntos dos taps dos transformadores e dos bancos dos capactores e reatores shunts, respectvamente. Os ndvíduos (cromossomos) que compõem a população são formados por quatro subconjuntos de varáves, representadas pelas varáves de controle do sstema, como lustrado na Fg. 2. Sc representam os taps dos transformadores e os bancos de capactores e Pg1 V 1... Pg m V t 1 n tk Sc1 Sch Subconjunto 1 Subconjunto 2 Subconjunto 3 Subconjunto 4 Fg. 2 - Estrutura do cromossomo da população do AEMO. Devdo as característcas físcas do problema, para se obter um desempenho satsfatóro do AEMO sob os aspectos da efcênca computaconal e qualdade das soluções otmzadas fornecdas pelo algortmo, é necessáro gerar uma população ncal de boa qualdade. As varáves de controle (Pg nas barras de geração e V nas barras de tensão controlada) são geradas de forma sem-aleatóra, satsfazendo a regão de factbldade. Além dsso, a geração de potênca atva deve satsfazer a demanda e as perdas do sstema como segue: Pg = D sendo D a demanda de potênca atva, nclundo as perdas. (11) G L [ 483 ]

7 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO Após a geração da população calculam-se as equações de fluxo de carga (7) e (8), através do método de Newton (Montcell, (1983)), para cada um dos ndvíduos Classfcação da População e Estratéga Eltsta Após os cálculos do fluxo de potênca para cada um dos ndvíduos da população, as soluções são classfcadas com base na defnção de pontos efcentes (conceto de Pareto-ótmo). Nesta fase, os ndvíduos efcentes presentes na população corrente são prmeramente dentfcados. F F F. Os Assm estes ndvíduos defnrão uma lsta de NF fronteras domnantes 1, 2, NF pontos pertencentes a uma frontera F possuem o mesmo grau de domnânca, sto é, nenhum ponto domna o outro. Os ndvíduos da prmera frontera ( F 1) são consderados os mas aptos, pos estão assocados aos pontos domnantes da população. Os pontos efcentes pertencentes à frontera F 2 domnam os pontos em F 3, ou seja, os pontos pertencentes à frontera F domnam os pontos em F + 1. A estratéga eltsta, dentro do contexto multobjetvo, deve ser expandda para o conjunto das soluções não-domnadas da população corrente. Este procedmento é fundamental na resolução de problemas multobjetvos, uma vez que a solução destes problemas é na verdade um conjunto de soluções frontera ótma de Pareto. Após a classfcação da população os pontos pertencentes à prmera frontera ( ) 1 F são retrados da população e armazenados em um subconjunto eltsta E, para serem utlzados no processo de recombnação, para aumentar a pressão de seleção e ao mesmo tempo acelerar a convergênca do algortmo Desacoplamento Implícto das Varáves de Controle Durante os procedmentos de recombnação e mutação é realzado o desacoplamento mplícto das varáves de controle, para evtar os confltos entre as dferentes restrções operaconas. Esta estratéga consste em separar as varáves dos subproblemas atvo e reatvo de FPO e fo mplementada, conforme lustrada na Fg. 3. Seleconar aleatóramente um objetvo Iníco Subproblema Reatvo Realzar a recombnação ou mutação nos subconjuntos: f1, f2 ou f5? (S) Subproblema Atvo Realzar a recombnação ou mutação subconjunto: V1... Vn (N) Pg1... Pg m Subconjunto 2 t1... tk (S) f ou f? 3 4 Subconjunto 1 Subconjunto 3 Sc1... Sch Subconjunto 4 (S) (N) f1, ou f5? Fm Fg. 3 - Estrutura do desacoplamento mplícto das varáves do FPO Operadores Genétcos a) Seleção por torneo e recombnação O procedmento de seleção adotado é o de torneo, na qual algumas soluções são aleatoramente escolhdas da população e, com base em algum crtéro, a solução vencedora é [ 484 ]

8 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO então seleconada. Normalmente, o crtéro utlzado pela maora dos algortmos evolutvo mono-objetvo é o valor da função de aptdão, já para os algortmos evolutvos multobjetvos alguma estratéga de ncho é empregada de forma a modfcar as aptdões reas dos ndvíduos conforme a densdade de vznhos no seu entorno. Neste trabalho, o procedmento de torneo empregado é efetuado dretamente sobre as ordens (fronteras) recebdas pelos ndvíduos, deste modo, os ndvíduos são seleconados não só pelas suas aptdões, mas sm pelas suas aptdões dentro do contexto multobjetvo de domnânca. Além dsso, este procedmento é realzado em conjunto com o operador de recombnação de um únco ponto. Seja { pop} soluções { M M N pop e M E} M um conjunto que contém as / para serem utlzadas nos processos de seleção e recombnação, N o número máxmo de ndvíduos da população e { } como segue:. Seleconar por torneo um ndvíduo pa, P1, do subconjunto M;. Seleconar aleatoramente o segundo pa, P2, do subconjunto E;. Seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema e ncar o processo de recombnação; v. Gerar um número aleatóro r [,1]. Se r < Pr, então obter aleatoramente o ponto de recombnação. Caso contráro, voltar ao passo ; v. Se o objetvo escolhdo no passo se refere ao custo da geração, então a recombnação de um únco ponto é realzada consderando todos os subconjuntos de varáves de controle (Fg. 2). Caso contráro, o desacoplamento mplícto das varáves do problema é realzado; v. Repetr os passos à v até que a nova população possua o número de ndvíduos predefndo. b) Mutação A mutação é um operador de grande mportânca para a solução do problema de FPO abordado, pos ntroduz, aleatoramente, novas nformações na população, prevenndo a convergênca prematura do algortmo. A seqüênca deste procedmento é descrta abaxo:. Gerar um número aleatóro [,1] m ;. Se m < Pm, então seleconar aleatoramente um dos objetvos do problema, para realzar a mutação. Caso contráro, voltar ao passo ;. Se o objetvo escolhdo no passo é dferente do custo da geração, então, deve-se realzar o desacoplamento mplícto das varáves do problema. Caso contráro, a mutação é efetuada em todos os subconjuntos das varáves de controle (Fg. 2); v. Seleconar o ponto de mutação para a varável que sofrerá mutação. v. Trocar o valor atual da varável seleconada, por um valor gerado, aleatoramente, no domíno desta varável; v. Repetr os passos à v até que a nova população tenha o número de ndvíduos predefndo Dversdade Geralmente para preservar a dversdade da população em algortmos evolutvos multobjetvos utlza-se a técnca de nchng (Goldberg, (1987); Deb et. al (2)). Esta técnca tenta evtar a convergênca prematura do AEMO mantendo sub-populações estáves de soluções de boa qualdade. No AEMO proposto para preservar a dversdade na população utlzam-se taxas de recombnação e mutação atualzadas de forma adaptatva, como segue: mn Pr= Pr g ( Pr Pr ) n (12) mn ( ) = + mm Pm Pm g Pm Pm n (13) [ 485 ]

9 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO Sendo: Pr e Pm as taxas de recombnação e mutação, respectvamente; mn mn Pr, Pr, Pm e Pm representam os lmtes nferor e superor das taxas de recombnação e mutação, respectvamente; g e n o índces e o número máxmo de gerações, respectvamente Avalação da Função Ftness e Solução Incumbente Os algortmos multobjetvos fornecem um conjunto grande de soluções acetáves. Tas soluções estão dstrbuídas em dversas fronteras, e conforme já menconado, todos os pontos em uma frontera partcular possuem o mesmo grau de domnânca, sendo os pontos da prmera frontera os mas aptos, porque estão assocados aos pontos domnantes da população. Na resolução do problema de FPO abordado é desejável encontrar uma solução para o qual os valores de todas as funções objetvo são consderados acetáves pelo projetsta ou decsor. Em outras palavras, deseja-se determnar, sobre o conjunto Pareto-Ótmo um conjunto partcular de varáves de controle (Fg. 2) que permtam atngr valores efcentes de todas as funções objetvos baseado em algum crtéro de decsão. Neste trabalho, para determnar uma solução partcular, a cada geração aplcou-se uma técnca de escalarzação nas soluções pertencentes a prmera frontera ( F 1 ) sendo: ( ) best, como segue: k best = = 1 ( ) ϖ ( ) f x f x f x a função ftness; ϖ os coefcentes ponderados que representam a mportânca relatva dos objetvos f, e k o número máxmo de objetvos que compõem o problema. Na Fg. 4 lustram-se os concetos de frontera de Pareto, soluções domnadas e não domnadas, consderando um problema de otmzação b-objetvo ( f 1 ) e ( f 2 ). Os pontos x 1 e x 2, nessa fgura, representam algumas das soluções não domnadas da prmera frontera, nas quas se aplca a técnca de escalarzação. A solução efcente que apresentar o menor valor para fbest ( x ) é denomnada solução ncumbente Prmera Frontera x3 Soluções Domnadas Soluções não Domnadas f x f1 Fg. 4 Frontera de Pareto, soluções domnadas e não domnadas, caso b-objetvo. x2 [ 486 ]

10 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO 4.7. Crtéros de parada O crtéro de parada escolhdo para o AEMO é o número máxmo de gerações ( n ). Consdera-se que as equações de fluxo de potênca (8) e (9) estão convergdas quando seus 6 módulos forem menores ou guas a um determnado ε, neste caso, ε = TESTES E RESULTADOS Nesta seção, para comprovar a efcênca do algortmo proposto apresentam-se os resultados de smulações usando os sstemas testes RTS-96 e IEEE-354. Os lmtes mínmo e máxmo de tensão, para os dos sstemas, são guas a,94 pu e 1,6 pu, respectvamente. Os tamanhos do passo para as varáves dscretas são = t,1 e Sc =,125.Os lmtes nferor e superor das mn mn taxas de recombnação e mutação são: Pr =,1; Pr =,9; Pm =,1; Pm =, Sstema RTS-96 Este sstema possu 72 barras, 96 geradores e 119 lnhas de transmssão. Na Fg. 5 mostra-se o custo da geração de potênca atva para a melhor solução encontrada em cada geração, enquanto na Fg. 6 mostra o comportamento das nfactbldades da geração de potêncas atva e reatva, respectvamente. As nfactbldades referentes à potênca atva dos geradores, que ocorrem no níco das gerações, estão assocadas à barra de referênca, que deve suprr as demanda e as perdas do sstema. 4 3 Custo da geração de potênca atva (US$/h) Pg (pu) Qg (MVar) gerações gerações Fg. 5 Custo da geração de potênca atva (RTS-96) Gerações Fg. 6 Infactbldades da geração de potêncas atva e reatva RTS Sstema IEEE-354 Este sstema é baseado no sstema teste IEEE-118 (Lebow, (1984)) e possu 354 barras, 162 geradores e 558 lnhas de transmssão. Na Fg. 7 mostra-se o custo da geração de potênca atva para a melhor solução encontrada em cada uma das gerações, enquanto nas fguras 8 e 9 apresentam-se o comportamento das nfactbldades da geração de potênca reatva e das magntudes de tensão, respectvamente. Na Fg. 9 mostram-se as magntudes das tensões, antes e depos da aplcação da solução do FPO, assm como os seus lmtes nferor e superor. Este sstema não apresenta problemas de fluxos nas lnhas de transmssão. A potênca atva dos geradores fo gerada dentro dos seus lmtes operaconas, atendendo a demanda e as perdas do sstema, e na barra de referênca não ocorreu nenhuma nfactbldade durante as smulações deste sstema. [ 487 ]

11 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO 5 25 Custo da geração de potênca atva (US$/h) gerações Fg. 7 Custo da geração de potênca atva (IEEE-354). Qg (MVar) gerações Fg. 8 Infactbldades da geração de potênca reatva IEEE-354. Magntudes das Tensões (pu) FPO FP Vmn V Barras do sstema Fg. 9 Magntudes de tensões nas barras do sstema IEEE Dscussão dos Resultados O AEMO mplementado convergu para soluções de boa qualdade, ou seja, alteraram-se os controles de potênca reatva dsponíves, melhorando o perfl de tensão. Ressalta-se que as magntudes de tensões permaneceram dentro dos lmtes estabelecdos para todas as barras (referênca, geração e carga) dos sstemas testados. Para o sstema RTS-96 não foram apresentadas as magntudes de tensões, porque este sstema não apresenta problemas de tensão. A restrção de fluxo nas lnhas fo devdamente atendda nas smulações com os dos sstemas teste. A Tabela 1 (a) apresenta o custo da geração obtda através da solução do Fluxo de Potênca convenconal (FP) e do FPO multobjetvo. As nfactbldades de potênca reatva obtdas com as duas técncas são mostradas na Tabela 1(b). Tabela 1: Custo da geração de potênca atva. Custo da Geração de Potênca Atva (US$/h) Sstemas FP FPO RTS , , 28 IEEE ,88 64,57 Infactbldades da Geração de Potênca Reatva (pu) Sstemas FP FPO RTS-96 1,17, IEEE-354 1, 5,15 (a) Comparando-se os resultados mostrados na Tabela 1 observa-se que a modelo de FPO multobjetvo resolvdo através do AEMO mplementado fo capaz de mnmzar sgnfcatvamente os custo da geração de potênca atva e atender a restrção de geração de potênca reatva. (b) [ 488 ]

12 Pesqusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento 12 a 15/9/6 Goâna, GO 6 - CONCLUSÕES Neste trabalho, apresentou-se um algortmo evolutvo multobjetvo para resolver o problema de FPO, gerando uma aproxmação do conjunto de soluções efcentes. Os resultados obtdos, com dos sstemas teste da lteratura, mostram que a técnca de solução através de AEMO proposta é versátl, e permte determnar soluções ótmas ou otmzadas de boa qualdade. Além dsso, permte atender dferentes objetvos, de acordo com as necessdades do usuáro, tas como, despacho ótmo de potêncas atva e reatva, ajustes do controle de tensão enquanto satsfaz o conjunto de restrções físcas do modelo. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o suporte fnancero da CAPES e do CNPq. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Aguado, J. A. and Quntana,V. H., 21. Inter-utltes power-exchange coordnaton: A marketorented approach; IEEE Trans. Power Syst., vol. 16, pp Arroyo, J.E.C., 22. Heurístcas e metaheurístcas para otmzação combnatóra multobjetvo; Tese (Doutorado em Engenhara Elétrca) Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação, Unversdade Estadual de Campnas. Carpenter, J Contbuton a. I estude du dspatchng economque; Bull. Soc. Francase Elect.,,vol. 3, pp Coello, C.A.C, An Emprcal Study of Evolutonary Technques for Multobjectve Optmzaton n Engneerng Desgn; PhD. Thess, Department of Computer Scence, Tulane Unversty, New Orleans, Lousana. Deb, K., 21. Mult-Objectve Optmzaton Usng Evolutonary Algorthms; edtora Wley. Deb, K.; Pratap, A.; Agarwal, S. and Meyarvan, T., 2. A fast and eltst non domnated sortng genetc algorthm for multobjectve optmzaton: NSGA-II; Kan Gal report. Dommel, H.W., Tnney, W.F., Optmal power flow solutons; IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, 87: Goldberg, D. and Rchardson, J., Genetc algorthms wth sharng for multmodal functon optmzaton. Genetc algorthms and ther applcatons: Proceedngs of the Second Internatonal Conference on Genetc Algorthms, Grgg, C.; Wong P.; Albrecht, P.; Allan, R., Bhavaraju, M.; Bllnton, R.; Chen, Q.; Fong, C.; Haddad, S.; Kuruganty, S.; L,W.; Mukerj, R.; Patton, D.; N. Rau, D. Reppen, A. Schneder, M. Shahdehpour, C., Sngh, The relablty test system-1996; IEEE Trans. Power Syst, Vol. 14, pp Lebow, W. M.; Mehra, R. K.; Nadra, R.; Rouhan, R. and Usoro, P.B.; 1984 "Optmzaton of Reactve Volt-Amperes (VAR) Sources n System Plannng" EPRI Report El-3729, vol I, Project Montcell, A., Fluxo de Carga em Redes de Energa Elétrca, Edtora Edgard Blücher Ltda. Srnvas, N. and Deb K Mult-Objectve Functon Optmzaton Usng Non-Domnated Sortng Genetc Algorthm; Evolutonary Computaton, 2(3), pp [ 489 ]