UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

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1 UIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE EGEHARIA DE SÃO CARLOS FELIPE TUMEAS MARQUES OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS COM LOTES DE COMPRA E CUSTOS DE TRASAÇÃO, UMA ABORDAGEM POR ALGORITMOS GEÉTICOS São Carlos 2007

2 FELIPE TUMEAS MARQUES OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS COM LOTES DE COMPRA E CUSTOS DE TRASAÇÃO, UMA ABORDAGEM POR ALGORITMOS GEÉTICOS Dssertação apresentada à Escola de Engenhara de São Carlos da Unversdade de São Paulo para obtenção do Título de Mestre em Engenhara de Produção Área de Concentração: Engenhara de Produção Orentador: Prof. Dr. Marcelo Sedo agano São Carlos 2007

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5 DEDICATÓRIA A Ingrd, por todo amor, compreensão, apoo e pacênca ao longo da elaboração deste trabalho. v

6 AGRADECIMETOS Aos meus pas por todo o esforço pela mnha formação; À mnha avó elly pela ajuda sempre quando necessáro; Ao Professor Marcelo Sedo agano, pela orentação, conselhos e amzade; Aos Professores Alceu Camargo e Dasy Rebelatto pelas sugestões, crítcas e conselhos; Ao amgo Marcelo Botelho pela amzade e ncentvo a começar o mestrado em engenhara de produção. Ao Panqueca pelo companhersmo nas madrugadas de trabalho. v

7 RESUMO MARQUES, F. T. Otmzação de carteras com lotes de compra e custos de transação, uma abordagem por algortmos genétcos f. Dssertação (Mestrado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, Um dos problemas fundamentas em fnanças é a escolha de atvos para nvestmento. O prmero método para soluconar este problema fo desenvolvdo por Markowtz em 1952 com a análse de como a varânca dos retornos de um atvo mpacta no rsco do portfólo no qual o mesmo está nserdo. Apesar da mportânca de sua contrbução, o método desenvolvdo para a otmzação de carteras não leva em consderação característcas como a exstênca de lotes de compra para os atvos e a exstênca de custos de transação. Este trabalho apresenta uma abordagem alternatva para o problema de otmzação de carteras utlzando Algortmos Genétcos. Para tanto são utlzados três algortmos, o Algortmo Genétco Smples, o Algortmo Genétco Multobjetvo ( Mult Objectve Genetc Algorthm - MOGA) e o Algortmo Genétco de Ordenação ão Domnante (on Domnated Sortng Genetc Algorthm - SGA II). O desempenho apresentado pelos Algortmos Genétcos neste trabalho mostram a perpectva para a solução desse problema tão mportante e complexo,obtendo-se soluções de alta qualdade e com menor esforço computaconal. Palavras-Chave: Otmzação de Carteras, Markowtz, Algortmos Genétcos

8 ABSTRACT MARQUES, F. T. Portfolo Optmzaton wth round lots and transacton costs, an approach wth genetc algorthms p. Dssertaton (Master) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, One of the basc problems n fnance s the choce of assets for nvestment. The frst method to solve ths problem was developed by Markowtz n 1952 wth the analyss of how the varance of the returns of an asset mpacts n the portfolo rsk n whch the same s nserted. Despte the mportance of ts contrbuton, the method developed for the portfolo optmzaton does not consder characterstcs as the exstence of round lots and transacton costs. Ths work presents an alternatve approach for the portfolo optmzaton problem usng Genetc Algorthms. For that three algorthms are used, the Smple Genetc Algorthm, the Mult Objectve Genetc Algorthm (MOGA) and the on Domnated Sortng Genetc Algorthm (SGA II). The performance presented for the Genetc Algorthms n ths work shows the perpectve for the soluton of ths so mportant and complex problem, gettng solutons of hgh qualty and wth lesser computatonal effort. Keywords: Portfolo Optmzaton, Markowtz, Genetc Algorthms.

9 Lsta de Fguras FIGURA 1: POSSÍVEIS SOLUÇÕES 8 FIGURA 2: FROTEIRA EFICIETE 12 FIGURA 3: DIVISÃO DOS RISCOS 12 FIGURA 4: VAR E CVAR 19 FIGURA 5: DISTRIBUIÇÃO DOS RETOROS 23 FIGURA 6: FUCIOAMETO DE UM ALGORITMO GEÉTICO 32 FIGURA 7 SGA II 39 FIGURA 8: DISTRIBUIÇÃO DOS RESULTADOS POR ALGORITMO 52 FIGURA 9: DISTRIBUIÇÃO DOS RESULTADOS POR TAXA DE MUTAÇÃO 53 FIGURA 10: DISTRIBUIÇÃO DOS RESULTADOS POR TAMAHO DE POPULAÇÃO 54 FIGURA 11: DISTRIBUIÇÃO DOS RESULTADOS POR ALGORITMO E TAMAHO DE POPULAÇÃO 56

10 Lsta de Tabelas Tabela 1: VaR e CvaR 20 Tabela 2: Ações do IBrX Tabela 3: Ações para cada problema 44 Tabela 4: Custos de Transação 46 Tabela 5: Mudança de nvestmentos entre períodos 46 Tabela 6: Lotes de Transação 47 Tabela 7: Resultados 51 Tabela 8: Tabela AOVA 55 v

11 Lsta de Sglas AG Algortmo Genétco AOVA Análse de Varânca ARCH Modelo Heterocedastcdade Auto Regressva ARMA modelo auto regressvo e de médas móves CVaR Condtonal Value at Rsk GARCH Modelo Heterocedastcdade Auto Regressva Generalzado IGARCH Modelo Heterocedastcdade Auto Regressva Generalzado Integrado MAD DesvoAbsoluto Médo MOGA Mult Objectve Genetc Algorthm nc Contador de chos SGA II on Domnated Sortng Genetc Algorthm PSO Partcle Swarm Optmzaton VaR Value at Rsk v

12 LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE SIGLAS III IV V 1-ITRODUÇÃO LOCALIZAÇÃO PROBLEMA 3 2- OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO MODELO DE MARKOWITZ ESTUDOS POSTERIORES 13 A) MODELO DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (MAD) 14 B) MODELO VALUE AT RISK 16 C) MODELO CODITIOAL VALUE AT RISK 18 3-ALGORITMOS GEÉTICOS PARÂMETROS DO ALGORITMO ALGORITMOS GEÉTICOS MULTIOBJETIVOS MOGA (MULTI OBJECTIVE GEETIC ALGORITHM) SGA II (O DOMIATED SORTIG GEETIC ALGORITHM) 38 4-MÉTODO DE PESQUISA REPRESETAÇÃO DO PROBLEMA 41 4,2-CRUZAMETO E MUTAÇÃO QUATIDADE DE ATIVOS DISPOÍVEIS POPULAÇÃO IICIAL CUSTOS DE TRASAÇÃO LOTES DE COMPRA PREVISÃO DOS RETOROS, VOLATILIDADES E COVARIÂCIAS 48 5-AÁLISE DOS RESULTADOS 50 6-COSIDERAÇÕES FIAIS 57 7-REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS 58 AEXO DESEVOLVIMETO DO MODELO DE MARKOWITZ 62 1

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14 1-ITRODUÇÃO 1.1. Localzação O mercado fnancero passou por uma grande revolução nas últmas décadas com a dssemnação de métodos quanttatvos avançados para ldar com város aspectos na tomada de decsão. Métodos estes que não são apenas o dferencal, mas sm requstos báscos para a sobrevvênca em um ambente extremamente compettvo. O advento destes métodos é fruto de dos fatores prncpas: a necessdade de controlar os rscos de dferentes naturezas, provenentes do desenvolvmento de produtos fnanceros cada vez mas sofstcados como os dervatvos, e a dsponbldade de recursos computaconas com custo relatvamente reduzdo, tornando possível a aplcação de dversas técncas em problemas de fnanças, com a obtenção de respostas na velocdade que o mercado exge. Um dos problemas fundamentas em fnanças é a escolha de atvos para nvestmento. Todos os agentes do mercado, sejam ndvíduos ou empresas, enfrentam constantemente a questão de onde nvestr seus recursos dentre a enorme quantdade de alternatvas dsponíves. Para decdr a melhor combnação dessas opções é necessáro levar em conta tanto o retorno que será obtdo como o rsco que será ncorrdo. O trabalho feto por Markowtz em 1952 é um marco nas fnanças pos desenvolveu um método para soluconar de manera dreta a escolha dos atvos para nvestmento, suas déas fazem parte do níco do que é chamada Moderna Teora de Fnanças. A contrbução fundamental de Markowtz fo a defnção de como a varânca dos retornos de um atvo mpacta no rsco do portfólo no qual o mesmo está nserdo. Sob o ponto de vsta matemátco a abordagem de Markowtz para a otmzação de 2

15 carteras é um problema de Pesqusa Operaconal, especfcamente um problema de Otmzação Quadrátca. Apesar da mportânca de sua contrbução, o método desenvolvdo para a otmzação de carteras não leva em consderação característcas do mundo real, como por exemplo a exstênca de lotes de compra para os atvos (em seu modelo os atvos são nfntamente dvsíves, ou seja, é possível comprar ou vender qualquer quantdade) e a exstênca de custos de transação (no momento da compra ou venda de atvos ocorre a ncdênca de custos de corretagem). Este trabalho apresenta uma abordagem alternatva para o problema utlzando Algortmos Genétcos Problema A necessdade de otmzar os recursos, dada a grande varedade de opções de nvestmento dsponíves, fez com que a otmzação de carteras se tornasse um tópco amplamente estudado. Dada a mríade de opções de nvestmento e o acrramento da competção em pratcamente todos os setores, a alocação de recursos tem que ser feta de manera mas efcente possível, balanceando o trade-off entre maxmzar o retorno e mnmzar o rsco. A mportânca deste trabalho consste na otmzação de carteras com a nserção de duas restrções do mundo real, lotes de transação mínmos para cada atvo e custos para a compra e venda destes atvos. Estas restrções não são consderadas conjuntamente nos modelos encontrados na lteratura. Isso se deve ao fato que tas restrções adconam uma grande complexdade para o problema, tornando-o pratcamente ntratável analtcamente. Para soluconar este problema uma ferramenta 3

16 de sstemas ntelgentes será aplcada de modo a contornar essa complexdade, os Algortmos Genétcos. A aplcação dos Algortmos Genétcos para esse tpo de problema tem como grande vantagem o fato que o desenvolvmento formal do modelo, com todo seu tratamento matemátco, é desnecessáro. O algortmo genétco necessta apenas de uma função que avale a qualdade das soluções (também chamaa de ftness), que no caso de otmzação de carteras são duas as varáves que determnar a qualdade da solução, o rsco e o retorno da cartera. Para ldar com esses dos objetvos confltantes também exste uma categora de Algortmos Genétcos que será consderada no trabalho: os Algortmos Genétcos multobjetvos. este trabalho serão utlzados três algortmos, o Algortmo Genétco Smples, o Algortmo Genétco Multobjetvo (Mult Objectve Genetc Algorthm - MOGA) e o Algortmo Genétco de Ordenação ão Domnante (on Domnated Sortng Genetc Algorthm - SGA II) Objetvo da Pesqusa O objetvo prncpal da pesqusa é analsar o desempenho de Algortmos Genétcos na otmzação de carteras, tendo como objetvos secundáros: 1. Verfcar a establdade dos resultados obtdos pelos algortmos e a possível necessdade de ajustes específcos para ldar com o problema; 2. Comparar o desempenho dos Algortmos Genétcos Multobjetvos e do algortmo genétco smples e verfcar os seus desempenhos para o problema de otmzação de carteras. 4

17 1.4. Justfcatva O modelo desenvolvdo por Markowtz (1952) para o problema de otmzação de carteras pode ser consderado um dos plares fundamentas da Moderna Teora de Fnanças e, segundo abholz (2006), o trabalho de Markowtz é baseado em oto hpóteses: Hpotese 1: Os nvestdores avalam carteras apenas com base no valor esperado e nas varâncas das taxas de retorno dos atvos dsponíves; Hpotese 2: Os nvestdores buscam maxmzar seu retorno. Quando postos a escolher entre duas carteras com mesmo rsco, sempre escolherão a com maor retorno; Hpótese 3: Os nvestdores buscam mnmzar seu rsco. Quando postos a escolher entre duas carteras com mesmo retorno, sempre escolherão a com menor rsco; Hpotese 4: Os atvos são nfntamente dvsíves, sendo possível comprar qualquer fração do atvo; Hpótese 5: Exste uma taxa lvre de rsco, na qual o nvestdor pode tanto aplcar, como tomar recursos emprestados; Hpótese 6: O volume das operações do nvestdor não afeta os preços de mercado; Hpótese 7: Os custos operaconas de comprar atvos são rrelevantes. Algumas destas hpóteses foram utlzadas para smplfcar a realdade e permtr o desenvolvmento analítco do modelo. Este trabalho busca contrbur para o modelo de Markowtz de modo que as hpóteses 4 e 7 não sejam necessáras, dado que estas duas hpóteses não correspondem 5

18 à realdade de um nvestdor no mercado fnancero, tornando o modelo mas generalsta Delmtações do estudo Este trabalho é baseado em modelos computaconas, onde a necessdade de cálculos cresce exponencalmente com o aumento de varáves. Portanto algumas lmtações precsam ser fetas quanto ao número de atvos consderados e os níves nas varáves das confgurações dos algortmos: a) Serão consderados 50 atvos dsponíves para nvestmento; b) A quantdade de níves nos fatores que nfluencam o desempenho do algortmo fo estabelecda de modo que todas as combnações possíves entre os níves dos fatores fossem realzadas Estrutura do trabalho O trabalho é dvddo em cnco seções. a seção 2 são descrtos os prncpas concetos que fundamentam a otmzação de carteras, o modelo desenvolvdo por Markowtz e os modelos desenvolvdos recentemente. a seção 3 são apresentados os Algortmos Genétcos e os concetos que fundamentam esse método de otmzação, assm como os Algortmos Genétcos Multobjetvos. a seção 4 é apresentado o método de pesqusa do processo de expermentação computaconal e seus resultados obtdos. a seção 5 são apresentadas as análses dos resultados obtdos e, fnalzando na seção 6, as consderações fnas. 6

19 2- OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS este capítulo são apresentados os prncpas plares teórcos nos quas se fundamenta este trabalho. Prmeramente são apresentados os prncípos da otmzação multobjetvo, em seguda é apresentado o modelo de Markowtz para otmzação de carteras e os modelos alternatvos para otmzação de carteras. 2.1-Otmzação Multobjetvo Um problema de otmzação é composto de uma função objetvo e um conjunto de restrções, ambos relaconados às varáves de decsão. O problema pode ser de mnmzação ou de maxmzação da função objetvo. A resposta para o problema, ou seja, o ótmo global, será o menor (ou maor) valor possível para a função objetvo para o qual o valor atrbuído às varáves não vole nenhuma restrção. Um problema de otmzação multobjetvo também é composto de restrções, mas apresenta um conjunto de funções objetvo que necesstam ser trabalhadas conjuntamente. Um exemplo de problema com mas de um objetvo sera o projeto de um prédo onde se deseja mnmzar o custo da obra e maxmzar a percepção de qualdade dos futuros compradores. À medda que se reduz o custo também dmnu a percepção 7

20 de qualdade. Portanto, não exste uma únca solução ótma e sm um conjunto de soluções Custo Qualdade Fgura 1: Possíves Soluções O objetvo neste caso é mnmzar o custo e maxmzar a qualdade. Consderando as cnco opções para o problema, conforme mostrado na fgura 1, a opção 4 é descartada pos oferece uma qualdade nível 7 por um custo de $60.000, enquanto a opção 3 oferece o mesmo nível de qualdade por $ A opção 1 é descartada pelo mesmo motvo. Sobram então as opções 3, 5 e 2 como boas alternatvas. Uma solução domna uma outra se seus valores são melhores em todos os objetvos ou pelo menos o valor em um objetvo é melhor e os outros são guas. o caso acma a opção 3 domna tanto a opção 1 como a opção 4. As opções 5 e 2 não são domnadas por nenhuma outra, assm como a 3. A lnha contendo todas as soluções não domnadas é conhecda como Frontera de Pareto. Para este caso, uma solução x domna uma solução y (x y) se: 1- A solução x não é por que y em nenhum objetvo; 2- Pelo menos um objetvo de x é melhor que y. o caso 3 1 e 3 4. O conceto de domnânca permte avalar soluções com múltplos objetvos. 8

21 Com relação a este caso, algumas propredades podem ser estabelecdas (ARAUJO, 1984): 1- ão reflexva. Uma solução não pode domnar a s mesma; 2- ão smétrca.x y não mplca em y x; 3- Transtvdade. Se x y e y z então x z. O conjunto de soluções não domnadas para todo o espaço de busca factível é chamado conjunto ótmo de Pareto. Quando a nformação adconal sobre a mportânca dos objetvos é desconhecda, todas as soluções Pareto-ótmas são gualmente mportantes. Deb (2001) assnala duas mportantes metas em Otmzação Multobjetvo: 1- Encontrar um conjunto de soluções o mas próxmo possível da Frontera de Pareto. 2- Encontrar um conjunto de soluções com a maor dversdade possível. A prmera meta é comum para qualquer processo de otmzação. Soluções muto dstantes da Frontera de Pareto não são desejáves. Porém, encontrar a maor dversdade dentro das soluções é uma meta específca para otmzação multobjetvo. Em relação ao problema de pesqusa, a otmzação de carteras consste na escolha de atvos de modo a obter o maor retorno dado um nível de rsco, ou o menor rsco dado um nível de retorno exgdo. A seleção correta de oportundades de nvestmento, entre os números atvos dsponíves no mercado fnancero, é tarefa constante no da a da das organzações. A dstrbução das aplcações entre os atvos é o que é chamada cartera, ou portfólo. 9

22 A otmzação de carteras, assm como mutos dos problemas do mundo real que envolvem múltplas meddas de avalação, possu dos objetvos confltantes a serem consderados no processo de otmzação: o retorno e o rsco. A Frontera de Pareto, em otmzação de carteras, é o conjunto de opções de nvestmento que ofereçam o maor retorno para dferentes opções de rsco. Em 1952 Harry Markowtz, em seu trabalho ponero, propôs um modelo formal para determnar uma cartera ótma. O modelo de Markowtz (1952) quantfca o problema utlzando apenas duas varáves: os retornos e a matrz de covarâncas como a medda do rsco. Sendo o rsco defndo como o grau de ncerteza assocado a um evento. 2.2-Modelo de Markowtz O modelo desenvolvdo por Markowtz (1952) estabelece uma estratéga de nvestmento baseada em maxmzar o retorno dado um nível de rsco prevamente especfcado, ou mnmzar o rsco dado um nível de retorno. Também conhecdo como modelo méda-varânca parte do prncípo que, para o nvestdor, o retorno esperado e a volatldade dos prováves retornos são aspectos crucas na defnção do portfólo ótmo. Para este modelo são utlzadas as meddas estatístcas de valor esperado e varânca da dstrbução dos retornos para descrever, respectvamente, o retorno e o rsco do nvestmento. A determnação da decsão ndcada pelo modelo é obtda utlzando a méda e a covarânca dos retornos entre os dversos atvos dsponíves no mercado. A formulação matemátca do modelo pode ser descrta como: 10

23 -Mnmzar a varânca do Portfólo, dada por: ou, σ = = 1 j = 1 w w j σ j -Maxmzar o retorno do Portfólo, dado por: R = = 1 w r ambos sujetos a: w = 1 e 0 w 1, = 1,..., = 1 Sendo R o retorno da cartera, r retorno do atvo, atvo e σ j a covarânca entre os atvos e j. w a proporção nvestda no Como fca explícto acma, o problema de otmzação de um portfólo tem dos objetvos competndo entre s, maxmzar o retorno e mnmzar a varânca do portfólo. Para esse problema o comum é, ou defnr o nível de rsco (varânca) do portfólo e encontrar a composção que forneça o retorno máxmo, ou defnr o retorno e determnar a composção que corresponda ao rsco mínmo, ou seja, para o nvestdor o retorno é algo desejável, já a varânca não. Obtendo, assocado a cada um dos níves de retorno, a composção da cartera de menor rsco (ou para cada um dos níves de rsco, a composção da cartera com maor retorno), pode-se então traçar uma curva com a relação rsco versus retorno, denomnada frontera efcente, conforme pode ser observado na Fgura 2. 11

24 Fgura 2: Frontera Efcente A lnha traçada na Fgura 2 é a frontera efcente (a Frontera de Pareto), onde estão as melhores soluções. O modelo desenvolvdo por Markowtz também traz a déa da dversfcação, ou seja: "não coloque todos os ovos na mesma cesta", partndo do prncípo que a varânca da soma dos atvos é menor, ou no máxmo gual, à soma das varâncas dos atvos. Pela Fgura 3 pode-se observar que conforme a quantdade de atvos for aumentanto o rsco da cartera se establza em torno de um valor, o rsco sstemátco. Este rsco é o qual estão expostos todos os atvos, não sendo possível mtgar este rsco através da aplcação em outros atvos. Já o nverso ocorre com o rsco própro, que é característco do atvo em que se está nvestndo. Este rsco pode ser mtgado através do nvestmento em um atvo que tenha correlação negatva com o atvo. Fgura 3: Dvsão dos Rscos 12

25 A determnação da frontera efcente é apenas uma parte do processo de escolha de nvestmentos, sendo a aversão ao rsco e as curvas de ndferença do nvestdor os fatores que rão determnar, em conjunto com a frontera efcente obtda, quas os atvos serão escolhdos para nvestmento. O foco deste trabalho é apenas no modelo de Markowtz para a determnação da frontera efcente, as curvas de ndferença e a aversão ao rsco dos nvestdores não serão tratadas neste trabalho. Para maor entendmento do modelo de Markowtz, o mesmo é apresentado no Apêndce Estudos Posterores Mutas pesqusas foram fetas na área de otmzação de portfólos mas, em todo o levantamento bblográfco, não fo encontrado modelo de otmzação de cartera que nvaldasse os concetos postulados por Markowtz (1952). Devdo à mportânca deste trabalho fo conceddo ao autor o prêmo obel em Economa no ano de A proposção de Markowtz permtu que os agentes do mercado, pela prmera vez, utlzassem os concetos de rsco e retorno de forma conjunta na avalação de nvestmentos. Apesar da grande acetação e dssemnação o modelo de Markowtz tem sofrdo algumas crítcas. Dentre as crítcas ao modelo, está a utlzação da varânca como medda de rsco. Apesar de ser a medda de rsco mas popular, a varânca não é a únca medda de rsco, podendo ser substtuída por outras meddas de rsco. Varabldade dos retornos, quando postvos, não devem ser penalzados, pos nvestdores se preocupam com baxos rendmentos do portfólo, e não com os altos.a varânca, que mede a dspersão dos dados ao redor de sua méda, penalza o nvestdor tanto pelos possíves ganhos como pelas possíves perdas (BRADLEY e TAQQU, 2004). 13

26 a) Modelo Desvo Absoluto Médo (MAD) Konno (1991) propôs um modelo de otmzação de carteras que utlza como medda de rsco o desvo absoluto médo. Segundo Rbero et al (2003) o modelo de Konno é apontado na lteratura de fnanças como uma mportante contrbução para a resolução de problemas de gestão de carteras por ntroduzr uma medda de rsco mas smples do que a utlzada por Markowtz. O modelo consdera que as ncertezas com relação aos retornos dos atvos são representadas de forma dscreta por meo de cenáros, de forma que o retorno do atvo no cenáro S sera representado por R s, e que o retorno do atvo sera dado por : µ S s= = 1 O desvo absoluto médo da cartera x=(x1,...,xn) sera dado por : W 1 S S S R ( x) = ( µ ) n s= 1 = 1 S R s x Matematcamente, a formulação do problema de otmzação de carteras proposto por Konno sera: 1 Mnmzar Z= sujeto a: S Y s S s= 1 14

27 Y Y s s = 1 = 1 ( Rs µ ) = 1 ( Rs µ ) = 1 x µ = ρ x 0 x = 1 x x onde: S - número de cenáros utlzados para representar as ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo; Ys - varável auxlar utlzada na modelagem do desvo absoluto médo; - número de atvos canddatos a compor o portfólo; Rs - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro s; µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo; x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato ; ρ - valor esperado dos retornos do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor). A função objetvo em conjunto com os dos prmeros conjuntos de restrções, modelam o desvo absoluto médo dos retornos do portfólo, que deve ser mnmzado. A tercera restrção representa o valor esperado do retorno do portfólo. A varável ρ é o valor desejado pelo nvestdor (dado de entrada para o modelo). A penúltma restrção garante que todo o captal dsponível seja nvestdo, e a últma restrção assegura a não exstênca de nvestmento negatvo. Konno destaca como vantagem da formulação MAD, quando comparada com o modelo méda-varânca de Markowtz, os seguntes pontos: o modelo MAD não requer a estmação da matrz de covarâncas; 15

28 o modelo MAD é lnear, o que faz com que sua solução seja mas rápda e efcente do que a solução do modelo quadrátco de Markowtz; o modelo MAD automatcamente lmta o número de atvos no portfólo em 2S + 2 (número de restrções do problema)1, mesmo se o número de atvos canddatos for muto maor. Tal fato pode mplcar em um menor custo de transação quando da revsão do portfólo. Segundo Rbero et al (2003) o modelo de Markowtz possu, como maor desvantagem, o fato de recar num problema de otmzação quadrátca. Por sua vez o modelo de Konno mnmza o valor absoluto o que, devdo à estrutura do problema, pode ser transformado num problema de programação lnear. Além dsso, Konno (1991) demonstra que se os retornos dos atvos segurem uma dstrbução normal multvarada, a mnmzação do desvo absoluto médo é equvalente à mnmzação da varânca. Apesar de todas estas vantagens Rbero et al (2003) realzaram um estudo comparatvo com ações do mercado português e encontraram um desempenho superor no modelo de Markowtz, apesar do maor custo computaconal. b) Modelo Value at Rsk A substtução da varânca por alguma medda de rsco baseada em quants (como o Value at Rsk ou Condtonal Value at Rsk) tem tdo espaço entre dversos autores. O Value at Rsk (VaR) tem como nformação a por perda possível com um nível de sgnfcânca e horzonte defndos, por exemplo a por perda em uma semana com 95% de certeza. 16

29 O VaR fo ncalmente aplcado a nvestmentos, como ações, no começo da década de 90 (JORIO, 1999) e posterormente passou a ser utlzado como métrca para dversos tpos de rscos, como rsco de crédto e operaconal, entre outros, tornando-se portanto, o padrão para uma enorme gama de empresas. Utlzando a estmação pelo método Delta-ormal, método este que assume que os retornos tenham dstrbução normal padronzada, o VaR de uma cartera será dado por (Joron, 1999): VaR = ασ pw = α x' x, p onde α é o nível de sgnfcânca desejado e é a matrz de covarânca dos retornos. Matematcamente, o problema de otmzação de portfólo cuja função objetvo seja a mnmzação do VaR a um dado nível de confança β %, sujeto ao atendmento a um dado valor esperado mínmo, pode ser formulado da segunte forma: Mnmzar α Sujeto a s= 1 = 1 = 1 x Y S s = 1 Y s = 0 { 0,1} [( 1 β %) S] x µ = ρ x R s x = 1 MY s α onde: 17

30 α- varável que representa o VaR ao nível de confança β%; - número de atvos canddatos a compor o portfólo; x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato ; rs - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro s; M- número muto grande (M + ); ys - varável auxlar para o cálculo do VaR; S - número de cenáros utlzados para representar as ncertezas com relação aos; retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo; β%- nível de confança para o cálculo do VaR µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo ρ - valor esperado dos retornos do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor) A função objetvo em conjunto com o prmero e segundo conjunto de restrções, modelam o VaR ao nível de confança β %, que deve ser mnmzado. O VaR ao nível de confança β % está assocado a um nível de perda que só é superado por (1 β)% dos cenáros. Apesar de o VaR ser uma medda amplamente aceta, seja pelos reguladores como pelos partcpantes do mercado fnancero, ele apresenta alguma lmtações. A prncpal lmtação é sobre sua qualdade como medda de rsco. c) Modelo Condtonal Value at Rsk Arztner et all (1997) propuseram quatro propredades necessáras para que uma medda de rsco, π, possa ser consderada coerente, dada uma varável aleatóra X: 18

31 1-Monotoncdade: X Y, π(x) π(y) ; 2-Translação: π(x+a) = π(x) + a ; 3-Homogenedade: π(λx) = λπ(x); 4-Sub-adtvdade: π(x+y) π(x) + π(y). O VaR não apresenta a quarta propredade, sub-adtvdade, sto é, o VaR da soma de dos atvos pode ser maor que a soma dos VaRs de cada atvo. Uma medda proposta pelos autores é o Condtonal Value at Rsk (CVaR), que é defndo como a perda esperada dado que essa perda fo maor que o VaR, ou seja: ( X X VaR) E <. A Fgura 4 a segur exemplfca o conceto do CVaR. ela está uma dstrbução de retornos e seu respectvo VaR. Como o CVaR é a perda esperada, ou perda méda, dado que esta perda fo menor que o VaR, perdas estas representadas pela área preenchda. Fgura 4: VaR e CVaR 19

32 1999): Se a dstrbução dos dados for normal então a o valor dos percents será (Joron, Percentl 90% 95% 99% α 1,28 1,65 2,32 E(X/X< α) 1,75 2,06 2,67 Tabela 1: VaR e CvaR O problema de otmzação de portfólo cuja função objetvo seja a mnmzação do CVaR a um dado nível de confança β %, sujeto ao atendmento a um dado valor esperado mínmo, pode ser escrto da segunte : Mnmzar Z= α + 1 S u s S s= 1 ( ) 1 β Sujeto a u u s s = 1 = 1 0 = 1 x µ = ρ x 0 x = 1 x R S α onde: α- varável que fornece o VaR do portfólo a nível de confança β%; β - nível de confança para o cálculo do VaR e do CVaR; S - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo; 20

33 us - varável auxlar para o cálculo do CVaR; - número de atvos canddatos a compor o portfólo; x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato ; rs - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro s; µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo; ρ - valor esperado dos retornos do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor). A função objetvo e os dos prmeros conjuntos de restrções modelam o CVaR do portfólo a nível de confança β %. A tercera restrção garante a obtenção do valor esperado requerdo pelo nvestdor. A quarta restrção garante o nvestmento total. A qunta restrção garante que não haja nvestmento negatvo.. Bradley e Taqqu (2004) utlzam a teora de Valores Extremos para estmar o Value at Rsk da cartera e depos utlzá-lo como medda de rsco na otmzação, já Luth e Doege (2005) utlzam o Condtonal Value at Rsk. Dentcheva e Ruszczynsk (2006) estabelecem a relação entre os concetos de VaR e CVaR e domnânca estocástca e os utlzam na otmzação de carteras de um agente avesso ao rsco. Prvu (2005) busca a otmzação de portfólo com restrção do Value at Rsk, ou seja, o rsco máxmo é estpulado e o foco passa a ser o máxmo retorno possível. Kaln e Zagst (1999) dervam as meddas de VaR e varânca para outros tpos de dstrbução, como a Dstrbução Hperbólca Generalzada, e mostram sua aplcabldade no problema de otmzação de carteras. Apesar da mportânca destas meddas de rsco, D Gorg (2002) faz um estudo comparatvo de otmzação de portfólos consderando três meddas de rsco (Varânca, VaR e CVaR) e mostra que a frontera efcente obtda quando o VaR e o CVaR são 21

34 utlzados é apenas um subgrupo da frontera que sera obtda se fosse utlzada a Varânca como medda de rsco. Além da medda de rsco utlzada, em mutos estudos é avalada a performance da otmzação quando são consderadas dversos tpos de dstrbuções para os retornos (a varável aleatóra da otmzação de carteras). Dentro desta categora, não consderando adequada a suposção da dstrbução normal multvarada para os retornos, D Clemente e Romano (2003) utlzam as dstrbuções não elíptcas para os retornos, Kato (2004) analsa a questão de otmzação de carteras com a dstrbução dscreta para os retornos. Já Martn et al (2003) utlzam dstrbuções alfa-estáves, que englobam tanto a dstrbução normal (gaussana) como dstrbuções não gaussanas, para capturar o efeto de assmetras e "caudas pesadas" na dstrbução dos fatores de rsco. Dentro desta categora o trabalho de Marnger (2003) consdera restrções em meddas de rsco da mesma forma que Prvu (2005) mas va além e também não consdera a hpótese de normaldade sobre a dstrbução dos retornos. O prncpal problema do pressuposto da dstrbução normal dos retornos é com relação ao rsco estmado. A dstrbução normal (gaussana) não consegue captar os valores extremos e de baxa probabldade, conforme por ser observado na fgura 5. 22

35 Fgura 5: Dstrbução dos Retornos Pela fgura 5 fca claro a não adequação da dstrbução gaussana para representar a dstrbução dos retornos de mercados aconáros. enhum dos quatro índces se ajustou completamente à dstrbução gaussana. D Clement e Romano (2003) comparam os resultados de dferentes tpos de dstrbução para ações do mercado talano e chegam a conclusão que, apesar da dstrbução dos retornos não serem normas, a frontera efcente obtda com utlzação da dstrbução normal dos retornos no modelo de Markowtz não apresenta grande dferença das fronteras obtdas com outras dstrbuções. Além da utlzação de dferentes dstrbuções para os retornos dos atvos, dversos autores propuseram métodos para o problema de otmzação de carteras, dentre eles Lauprete et al (2002) estudam formas robustas para a estmação dos 23

36 parâmetros a serem utlzados na otmzação, Gll e Kellez (2000) estudam a aplcação do algortmo "Threshold Acceptng", Bensalah (2002) e se utlzam da Teora de Valores Extremos para otmzar o portfólo de um agente com uma aversão ao rsco "extrema". Dentro dessa categora, poucos são os estudos utlzando Algortmos Genétcos. Dentre as aplcações encontradas de Algortmos Genétcos em Fnanças a grande maora é voltada para aplcações no mercado de captas, sendo o foco a questão de quando comprar ou não determnado atvo (Market Tmng) e/ou quas atvos serão utlzados (Stock Selecton). Lee et al (2005) utlzam os Algortmos Genétcos e Partcle Swarm Optmzaton (PSO) para a questão de Market Tmng, mostrando que as duas técncas são adequadas e que, no exemplo que ele utlzou, PSO necesstou de uma quantdade menor de terações para alcançar o ótmo. Bauer (1994) também utlza os Algortmos Genétcos para descobrr "boas regras" para operar no mercado de captas, se preocupando bascamente com a questão de Market Tmng. Já na área de otmzação de portfólos exstem trabalhos como o de Oh et al (2005) onde os Algortmos Genétcos são utlzados para montar uma cartera de nvestmentos que tenha o comportamento de determnado índce de mercado, no caso do artgo de Oh et al o índce utlzado como referênca fo o do mercado koreano. Xa et al (2000) ldam com o problema de otmzação de carteras, agregando o Rsco e o Retorno da função objetvo. o trabalho os autores buscam maxmzar a dferença entre o retorno e o rsco da cartera ponderados por um fator "aversão ao rsco". 24

37 Para entender melhor como o problema de otmzação de carteras pode ser tratado pelos Algortmos Genétcos a próxma seção traz os prncípos de seu funconamento. 25

38 3-ALGORITMOS GEÉTICOS A otmzação tem como objetvo a resolução da alocação de recursos, tpcamente lmtados, com o ntuto de alcançar determnados objetvos. Consderando que o problema tenha um conjunto dscreto de soluções possíves, a resolução do problema passa para um processo de geração, avalação e comparação de soluções, num determnado lmte de tempo. Segundo Souza (2007) grande parte desses problemas são classfcados na lteratura como P-dfíces, também chamados de problemas de otmzação combnatóra. O uso de métodos exatos nesta categora de problema é bastante lmtado e encontrar soluções ótmas, ou mesmo aproxmadas, é um desafo nem sempre fácl de ser obtdo. O desafo é consegur, em tempo reduzdo, soluções tão próxmas quanto possível da solução ótma, e como ferramenta para esta tarefa exstem as heurístcas. De acordo com Souza (2007) heurístca é defnda como sendo uma técnca que procura boas soluções (próxmas da otmaldade) a um custo computaconal razoável, sem, no entanto, estar capactada a garantr a otmaldade, bem como garantr quão próxmo uma determnada solução está da solução ótma. Uma heurístca pode ser desenvolvda para apenas um tpo de problema ou pode ser mas flexível, utlzada na resolução de uma classe mas ampla de problemas. Estas heurístcas mas flexíves, são conhecdas como metaheurístcas. Dentre as metaheurístcas destacam-se os Algortmos Genétcos, Redes euras, Smulated Annealng, Busca Tabu, Colôna de Formgas etc. Os Algortmos Genétcos são modelos computaconas nsprados na evolução encontrada na natureza que trabalham com soluções potencas para determnado 26

39 problema e, através de um método de geração de novas soluções, buscam a solução ótma para o problema. Segundo Fogel (1995) os organsmos vvos podem ser vstos como a dualdade de seu genótpo (o códgo genétco) e seu fenótpo (a resposta do organsmo contda no comportamento, fsologa e morfologa do organsmo), ou seja, exstem dos espaços, o espaço G para a população de genótpos e o espaço F para a população de fenótpos e quatro funções: epgênese (ftness), seleção, cruzamento e mutação. De acordo com Goldberg (1989) os Algortmos Genétcos são algortmos de busca baseados na mecânca da seleção natural. São modelos de processamento computaconal que vsam smular os mecansmos de seleção natural e evolução encontrados na natureza. A déa que o algortmo genétco usa como base é a mesma que rege o segunte prncípo que exste na natureza: a sobrevvênca dos mas aptos. Sua utlzação tem sdo cada vez mas explorada prncpalmente pela robustez e smplcdade que oferece. Os Algortmos Genétcos foram desenvolvdos na década de 70 por John Holland na Unversdade de Mchgan. Os métodos clásscos de otmzação ncam-se com um únco canddato, chamado de solução básca, e pelo cálculo de dervadas se determna para qual dreção se deve camnhar na busca do próxmo canddato. Já os Algortmos Genétcos transformam uma população de possíves soluções em uma nova geração de soluções usando os prncípos Darwanos de reprodução e sobrevvênca dos mas aptos, pela aplcação de operações genétcas tas como cruzamento e mutação. 27

40 -Representação das Soluções Os Algortmos Genétcos têm como prncípo a evolução através de gerações de uma população de ndvíduos. Segundo Ávla (2002) os ndvíduos nada mas são do que uma possível solução do problema, ou seja, são pontos dspostos dentro do unverso de busca da solução ótma. Um ndvíduo (X) pode ser representado da segunte forma, também chamada de strng: X= [X1, X2,..., Xn ], onde X1 X2 Xn _representam as varáves que formam o ndvíduo, as quas são parâmetros que dependem do problema. O número de varáves determna a dmensão do espaço de busca. Segundo Ávla (2002) o número de ndvíduos na população é escolhdo em função da dfculdade do problema a ser resolvdo. Com um número baxo de ndvíduos, o unverso de busca pode estar sendo representado de manera muto pobre. Já com um número muto grande de ndvíduos, o tempo computaconal pode se tornar nvável. -Codfcação das Varáves Defndo o conceto de ndvíduo dentro do Algortmo Genétco é necessáro entender como é feta a codfcação das varáves. O ponto de partda para a utlzação como ferramenta para solução de problemas, é a representação destes problemas de manera que os Algortmos Genétcos possam trabalhar adequadamente sobre eles. Dentre as codfcaçõe possíves, estão: 28

41 -Codfcação Bnára Como o própro nome dz, esta codfcação utlza números bnáros (apenas conjuntos de 0 e 1) para representar as varáves. Um ndvíduo com codfcação bnára é representado da segunte forma: X=[ ] onde cada varável é representada por um conjunto de bts (genes). De acordo com Ávla (2002) exstem algumas dfculdades em trabalhar com a codfcação bnára. O prncpal é a presença de Hammng clffs, que são grandes dferenças nas cadeas de bts que codfcam dos números nteros próxmos. Esta dfculdade fca evdente quando, por exemplo, se realza uma perturbação nos bts mas sgnfcatvos da varável. Esta perturbação pode causar um grande deslocamento da varável no unverso de busca, o que nem sempre é desejado. -Codfcação Real Dferentemenda da codfcação bnára a codfcação real trabalha dretamente com números reas. Isto é extremamente prátco quando se trabalha com varáves reas por natureza e se usa uma lnguagem de programação que lda dretamente com números reas. Como exemplo de ndvíduo com codfcação real pode-se ter: X=[12,45; 7,88; 9,42] 29

42 o trabalho de Ávla (2002) é feta uma comparação entre as dferentes metodologas de codfcação e conclu-se que não é a codfcação das varáves o responsável maor pelo sucesso dos AGs. O trabalho conclu que é mportante que se observe em qual lnguagem de programação os AGs serão mplementados e, evdente que se a lnguagem trabalha dretamente com números bnáros, a velocdade de processamento dos AGs com códgo bnáro será maor. Ao contráro, trabalhando-se com varáves reas num ambente de programação tpcamente real, não será necessáro efetuar a decodfcação das varáves a cada avalação da função de mérto. Os Algortmos Genétcos são algortmos de otmzação global que empregam uma estratéga de busca paralela e estruturada, mas aleatóra. Apesar de aleatóros, o processo de geração de soluções não é apenas uma camnhada aleatóra não dreconada, os AGs exploram nformações hstórcas para encontrar novos pontos de busca onde são esperados melhores desempenhos. Isto é feto através de processos teratvos, onde cada teração é chamada de geração. Durante cada teração, os prncípos de seleção e reprodução, os operadores genétcos, são aplcados a uma população de canddatos. O objetvo dos operadores genétcos é transformar a população através de sucessvas gerações, buscando melhorar a aptdão dos ndvíduos. Os operadores genétcos são necessáros para que a população se dversfque e mantenha as característcas de adaptação adqurdas pelas gerações anterores. a maor parte dos casos, os AGs utlzam três operadores: seleção, cruzamento e mutação -Seleção Este operador genétco, também chamado reprodução, selecona os ndvíduos que sofrerão cruzamento e mutação. Da mesma forma que ocorre no processo de 30

43 seleção natural, os ndvíduos mas qualfcados, de acordo com a equação de mérto, têm mas chances de serem escolhdos. Com os pares formados, passa-se aos demas operadores genétcos: o cruzamento e a mutação. -Cruzamento O objetvo do cruzamento é a permutação de materal genétco entre os pares de ndvíduos prevamente seleconados. O cruzamento é o operador responsável pela recombnação de característcas dos pas durante a reprodução, permtndo que as próxmas gerações herdem essas característcas. -Mutação Entende-se por mutação a nserção de materal genétco novo na população. Este processo pode ou não ocorrer, de acordo com uma dada probabldade de mutação. Esta perturbação no códgo genétco dos ndvíduos é uma arma poderosa para evta que o algortmo fque preso em ótmos locas. De forma resumda as prncpas defnções relaconada aos Algortmos Genétcos são: -Indvíduo: Cadea de caracteres representando alguma nformação relatva às varáves do problema. É uma solução potencal para o problema; Gene: É a undade básca do ndvíduo. Cada ndvíduo tem um certo número de genes, cada um descrevendo uma certa varável do problema; População: Conjunto de ndvíduos ou soluções; Geração: O número da teração que o Algortmo Genétco executa; 31

44 Operações Genétcas: Operações que o Algortmo Genétco realza sobre cada um dos ndvíduos. A estrutura do funconamento de um Algortmo Genétco está apresentada na fgura 6 abaxo: Fgura 6: Funconamento de um Algortmo Genétco Pela Fgura 6 o processo de funconamento de um Algortmo Genétco segue passos smples. O prmero passo é determnar a população (soluções) ncal para o problema. Esta escolha pode ser feta de forma aleatóra ou utlzando alguma heurístca. Com a população ncal defnda são seleconados os ndvíduos (soluções) mas aptos como pas da nova população por meo do ftness. Escolhdos os ndvíduos são 32

45 aplcados os operadores de crossover e mutação para gerar novas soluções até que se tenha completa uma nova população. Este processo é realzado até ser encontrada a solução para o problema 3.1-Parâmetros do Algortmo Város fatores podem alterar a performance de um algortmo de otmzação. Dentre os dversos fatores que podem nfluencar a performance dos Algortmos Genétcos três parâmetros devem ser vstos com um cudado especal: o tamanho da população, a população ncal e a taxa de mutação. -Tamanho da População e População Incal A população ncal de ndvíduos é, na grande parte das vezes, realzada de forma aleatóra. Isto é feto embora exstam ocasões onde é mas aproprado ntroduzr logo de níco, um ou mas ndvíduos "nteressantes", contendo algum tpo de nformação préva. A preocupação nesta fase deve ser quanto ao tamanho da população ncal, para que contenha um número de ndvíduos com característcas sufcentemente varadas. Segundo Bauer (1994) não é necessáro conhecmento prévo de possíves soluções para a utlzação dos Algortmos Genétcos. Com uma população pequena o desempenho do algortmo pode ser prejudcado, pos deste modo a população fornece uma pequena cobertura do espaço de busca do problema. Por outro lado, uma grande população geralmente fornece uma cobertura representatva do domíno do problema, além de prevenr convergêncas prematuras 33

46 para soluções locas ao nvés de globas. O prncpal mpacto do parâmetro está relaconada com o desempenho global e a efcênca dos Algortmos Genétcos. o entanto, para se trabalhar com grandes populações são necessáros maores recursos computaconas ou que o algortmo trabalhe por um período de tempo maor. A prncpal déa é que quanto maor for a strng maor deverá ser o tamanho da população para obter uma boa dversdade. -Taxa de Mutação A taxa de mutação é utlzada para fornecer novas nformações, prevenndo que o resultado tenha uma convergênca prematura em um ótmo local. Com sso há um aumento na dversdade populaconal e uma maor varredura do espaço de busca. Apesar de Goldberg (1989) afrmar que o operador de mutação tem um papel secundáro em um algortmo genétco smples, é necessáro muto cudado, pos a escolha de uma taxa de mutação muto alta pode fazer com que não ocorra a convergênca do algortmo. Segundo Bauer (1994) a maora das taxas utlzada vara entre e 0.1. Dentro dos Algortmos Genétcos exste uma classe específca de algortmos que ldam com multplos objetvos smultaneamente, os Algortmos Genétcos multobjetvos, que são tratados na seção segunte. 3.2-Algortmos Genétcos Multobjetvos Os Algortmos Genétcos foram crados para ldar com apenas um objetvo, o ftness. Em mutos casos temos város objetvos a serem consderados na otmzação, e os mesmos podem não ser agregados em um únco objetvo. 34

47 Ao se nclur múltplas meddas de desempenho para uma solução (.e., múltplos objetvos), surge um problema para que seja possível comparar de manera adequada duas soluções dstntas. Goldberg (1989) propôs um ordenamento de soluções baseado no conceto de domnânca, onde o ftness de uma solução é proporconal ao número de soluções que ela domna. Segundo Castro (2001) duas são as fnaldades quando se deseja determnar o conjunto de Pareto de problemas multobjetvos va métodos evoluconáros: 1- Guar a busca na dreção da regão ou conjunto ótmo de Pareto; 2- Manter a dversdade da população na frontera de Pareto. Dferentes versões de algortmos de otmzação multobjetvos foram baseados nas déas apresentadas por Goldberg (1989), dentre eles, serão utlzados neste trabalho os seguntes algortmos genétcos denomnados de MOGA e SGA II, conforme apresentados a segur: MOGA (Mult Objectve Genetc Algorthm) Desenvolvdo em 1993 por Flemmng e Fonseca (apud Tcona, 2003), este algortmo se dferenca dos Algortmos Genétcos tradconas pela forma que calcula o rankng das soluções. O rankng de cada solução é calculado da segunte forma: r = 1 + n, onde cada solução tem o rankng de 1 acrescdo do número de soluções que a domnam. Uma solução não domnada tem rankng gual a um, ou seja, quanto menor o rankng melhor a solução. 35

48 Toda a população é verfcada e todos as soluções não-domnadas recebem uma posção ou ordem 1. As outras soluções são posconados segundo a não domnânca delas em relação ao restante da população do segunte modo: para cada ndvíduo (solução), o número de soluções que o domnam estrtamente é prmeramente determnado na população, logo, a posção no ordenamento deste ndvíduo será este número mas 1. Após o cálculo do rankng as soluções são ordenadas conforme o r obtdo. Feta a ordenação é dado a estas soluções um ftness prelmnar (raw ftness, raw ) usando algum tpo de função de classfcação. Realzados estes cálculos, é quantfcado o valor médo das aptdões para cada rankng da segunte manera: F = µ raw ( r ) onde µ ( r ) é o número de soluções no rankng r o fnal deste ordenamento poderão exstr mutos ndvíduos compartlhando a mesma posção no ordenamento. A rotna de seleção usa este ordenamento para seleconar ou remover blocos de pontos até escolher os ndvíduos para reprodução. A mplementação faz uso do método de formação de nchos para dstrbur a população através da regão ótma de Pareto, além de compartlhar os valores da função de aptdão. Para manter a dversdade das soluções é utlzado o ftness sharng. O objetvo do mesmo é dstrbur as soluções em dferentes espaços de busca. Para cada solução é calculado um valor para o contador de ncho nc µ ( r ) nc usando a expressão abaxo: ( ) = Sh D j j= 1 36

49 onde D j representa a dstanca entre duas soluções e j que possuem o mesmo rankng r. Essa dstânca é calculada através de: D j = m k= 1 f f ( ) k max k f f ( j) k mn k 2 objetvo. onde max f k e mn f k são os valores máxmo e mínmo para a k-ésma função A função Sh é conhecda como função de compartlhamento de objetvo, sendo defnda como: D Sh(d) = 1 σshare O parâmetro D é a dstânca entre duas soluções, α defne o comportamento da função Sh e σ é chamado rao de ncho, que defne a vznhança de uma solução. O valor de σ é calculado dnamcamente. E com sso o valor da aptdão compartlhada será: F F ' = nc α De acordo com Castro (2001) embora esta estratéga mantenha a dversdade nos valores da função de aptdão, pode não manter a dversdade no conjunto das varáves, assm, o MOGA pode não estar apto a achar as múltplas soluções em problemas onde dferentes pontos ótmos de Pareto correspondem para os mesmos valores de aptdões. Após esses cálculos são utlzados os operadores comuns dos Algortmos Genétcos: seleção, cruzamento e mutação. O destaque relevante deste algortmo é a ntrodução do ordenamento dos ndvíduos por crtéros de domnânca. 37

50 3.2.2-SGA II (on Domnated Sortng Genetc Algorthm) Desenvolvdo por Horn em 1994 (apud Tcona, 2003), a déa prncpal deste algortmo é a ordenação por eltsmo, ou seja, os melhores ndvíduos de uma geração serão necessaramente seleconados para a próxma geração (preservando as melhores soluções encontradas até o momento). Outro conceto utlzado neste algortmo é a dstânca da multdão (crowdng dstance). Além da utlzação de um procedmento de seleção por ordenamento também é utlzado conjuntamente um método voltado para a cração de nchos para manter a dversdade da população. Segundo Castro (2001) a dferença desta mplementação em relação a um algortmo genétco smples está apenas no modo com que o operador de seleção é empregado. Tanto o operador de recombnação quanto o operador de mutação são os usuas da técnca. Antes do procedmento de seleção ser aplcado, a população é ordenada com base na não-domnânca dos ndvíduos, sto é, todas os ndvíduos não-domnados da população recebem valores altos de aptdão. Esta aptdão é a mesma para todos os ndvíduos na mesma faxa de domnânca. Os melhores ndvíduos, os não domnados, rão necessaramente para a próxma geração, teração do algortmo. Já os ndvíduos na segunda faxa de não domnânca em dante são alocados conforme a necessdade de novos pas para a próxma geração. a Fgura 7 está uma representação gráfca do funconamento do algortmo, conforme Tcona (2003): 38

51 Fgura 7 SGA II (DEB, 2001) A partr da geração ncal composta por P+Q são seleconadas prmeramente as soluções não domnadas F1, depos as soluções na frontera F2 (domnadas por uma solução). Estas novas soluções são ordenadas pela domnânca e as melhores são passadas para a próxma geração. A dversdade das soluções é enfatzada ao utlzar, como crtéro de desempate entre as soluções, a dstânca de multdão. Esta dstânca da multdão serve para manter a dversdade na população das soluções não-domnadas, onde as mesmas compartlham os seus valores de aptdão segundo suas dstâncas Eucldanas. Pela fgura 7 fca clara a déa do algortmo, onde as melhores soluções são levadas para a próxma geração e a partr delas são geradas novas soluções, sempre preservando as melhores soluções encontradas. De acordo com Castro (2001) a característca mas mportante deste algortmo é que pratcamente qualquer número de objetvos pode ser usado para os dos tpos de problemas: maxmzação ou mnmzação, bastando mudar o modo como os ndvíduos não domnados são dentfcados. Com estes concetos estabelecdos é necessáro defnr quas o método de pesqusa para avalar a otmzação de carteras com os Algortmos Genétcos. 39

52 4-MÉTODO DE PESQUISA A proposta deste trabalho é avalar a otmzação de carteras de nvestmento com Algortmos Genétcos levando em consderação duas restrções do mundo real: a exstênca de lotes de compra e de custos de transação (os custos de transação são consderados os custos de corretagem decorrentes da compra e venda de ações). O desenvolvmento analítco de métodos de otmzação consderando estas duas restrções é mpratcável, por este motvo serão utlzados os Algortmos Genétcos, que são um método de busca extremamente efcaz para ldar com problemas de alta complexdade. Para tanto serão consderados neste trabalho três Algortmos Genétcos: o Algortmo Genétco Smples, o MOGA e o SGA II. Os atvos dsponíves para nvestmento serão as ações do índce de ações IBrX- 50, composto em 05/07/2006, que são as 50 ações mas líqudas negocadas na Bovespa, conforme apresentado na tabela 2: 40

53 Códgo Ação Códgo Ação ACES4 ACESITA ITSA4 ITAUSA AMBV4 AMBEV KLB4 KLABI S/A ARCZ6 ARACRUZ LIGT3 LIGHT S/A ARCE3 ARCELOR BR LAME4 LOJAS AMERIC BBDC4 BRADESCO ATU3 ATURA BRAP4 BRADESPAR ETC4 ET BBAS3 BRASIL PCAR4 P.ACUCAR-CBD BRTP3 BRASIL T PAR PRGA3 PERDIGAO S/A BRTP4 BRASIL T PAR PETR3 PETROBRAS BRTO4 BRASIL TELEC PETR4 PETROBRAS BRKM5 BRASKEM SBSP3 SABESP CCRO3 CCR RODOVIAS SDIA4 SADIA S/A CLSC6 CELESC CSA3 SID ACIOAL CMIG4 CEMIG CRUZ3 SOUZA CRUZ CTAX3 COTAX TLP3 TELEMAR CTAX4 COTAX TLP4 TELEMAR CPLE6 COPEL TMAR5 TELEMAR L ELET3 ELETROBRAS TMCP4 TELEMIG PART ELET6 ELETROBRAS TCSL4 TIM PART S/A EMBR3 EMBRAER UBBR11 UIBACO EBTP4 EMBRATEL PAR USIM5 USIMIAS GGBR4 GERDAU VCPA4 V C P GOAU4 GERDAU MET VALE3 VALE R DOCE GOLL4 GOL VALE5 VALE R DOCE PTIP4 IPIRAGA PET VIVO4 VIVO ITAU4 ITAUBACO Tabela 2: Ações do IBrX-50 (Fonte: Bovespa) 4.1-Representação do Problema O prmero passo para a utlzação dos Algortmos Genétcos é a transcrção do problema para o formato de uma strng, ou cromossomo, que é manera que o algortmo trabalha com as soluções. Cada solução potencal terá a representação em forma de strng da segunte manera: Ação A B C... Z Solução Solução

54 a Solução 1 é proposta a compra de 100 lotes da ação A, nenhum lote da ação B, 25 lotes da ação C e assm sucessvamente. Já a solução 2 propõe a compra de 70 lotes da ação A, 10 da ação B, 6 lotes da ação C e assm sucessvamente. Ou seja, cada valor representa o lote de ações a ser comprado. 4,2-Cruzamento e Mutação Após a seleção das melhores soluções é feto o cruzamento para geração de novas soluções, ou flhos. Ação A B C... Z Pa Pa Com o cruzamento é feta a troca na composção das soluções no ponto de corte ndcado, fazendo com que as novas soluções sejam dadas por: Ação A B C... Z Flho Flho O ponto de corte utlzado neste trabalho será, consderando n ações dsponíves, n / 2. Com este ponto de corte as novas soluções serão cradas a partr da mudança de metade de sua estrutura. A decsão quanto ao ponto de corte fo feta por convenênca e o mpacto de possíves mudanças no ponto de corte sobre o resultado do algortmo estão além do escopo deste trabalho. 42

55 Feto o cruzamento, o operador genétco a ser aplcado é a mutação, que evta com que as soluções fquem presas em ótmos locas. Para cada ação de cada solução é jogada uma moeda, sendo que a probabldade de sucesso é a taxa de mutação. Ocorrendo o sucesso é feta uma alteração na quantdade nvestda na ação, sendo a adção de um lote à quantdade nvestda na ação. As taxa de mutação consderadas neste trabalho serão: 1%, 5%, 10%, 15%, 20%, 25% e 30%; 4.3-Quantdade de Atvos Dsponíves Para analsar a performance dos Algortmos Genétcos no problema de otmzação de carteras fo escolhdo trabalhar com quatro problemas dstntos, cada um sendo a otmzação de uma cartera com uma quantdade dferente de atvos dsponíves. A escolha dos atvos dsponíves para cada problema fo escolhda da segunte forma aleatóra: 1- Ordenação em ordem alfabétca dos 50 atvos dsponíves; 2- Para o problema de 5 ações escolher as 5 prmeras ações; 3- Para o problema de 10 ações escolher da 6ª à 16ª ação; 4- Para o problema de 25 ações escolher da 17ª à 42ª ação. Com sto, os atvos a serem trabalhados em cada um dos problemas serão: 43

56 Quant Ações Quant Ações ACES ELET PETR AMBV EMBR SBSP ARCZ EBTP SDIA ARCE GGBR CSA 5 BBDC GOAU CRUZ CTAX 10 CPLE BRAP ITSA TLP BBAS KLB TMAR BRTP LIGT TMCP BRTO LAME TCSL BRKM ATU UBBR CCRO ETC USIM CLSC PCAR VCPA CMIG 25 PRGA Tabela 3: Ações para cada problema 4.4-População Incal Para ldar com o número de varáves aleatóras do problema, a quantdade nvestda em cada atvo dsponível (50 ações), fo escolhdo trabalhar com uma população de 100 soluções. Prmeramente a população ncal de soluções fo escolhda de forma aleatóra. Com esta escolha da população ncal o tempo estmado para chegar ao resultado fnal, consderando o algortmo genétco smples, de um período (um da) era de cerca de 17 horas. Com um tempo de processamento elevado desta manera se tornou mperatvo o desenvolvmento de uma heurístca para seleção da população ncal de manera que o tempo de processamento fosse reduzdo. Para a escolha da população ncal fo desenvolvda a segunte heurístca: 44

57 1- Prmeramente é efetuado o cálculo das soluções na Frontera de Pareto pelo método de Markowtz, sem consderar nenhuma restrção de lotes mínmos ou custos de transação; 2- É realzada a escolha das n prmeras soluções para a população ncal de tamanho n (no caso deste trabalho n=100); 3- Para cada solução n é feto o arredondamento do valor nvestdo na ação para o maor lote de compra da ação possível. Com as soluções ncas calculadas com esta heurístca o tempo de processamento de um período de um da passou de 17 horas para cerca de 5 mnutos. 4.5-Custos de Transação a movmentação fnancera de compra e venda de atvos exstem, no mundo real, custos para realzar tas operações. Esta característca, os custos de transação, é gnorada no modelo desenvolvdo por Markowtz de manera a facltar o desenvolvmento analítco do modelo, mas será consderada neste trabalho. Como custos de transação foram escolhdos, por convenênca, os custos de corretagem dsponblzados no ste da corretora Hedgng-Grffo. O custo de corretagem é formado por um valor fxo somado a um valor varável de acordo com o volume total das operações realzadas no mesmo da, conforme a tabela a segur: 45

58 Valor da operação Taxa Custo Fxo Até R$ 135,05 0,00% R$ 2,70 De R$ 135,06 até R$ 498,615 2,00% R$ 0,00 De R$ 498,62 até R$ 1.514,68 1,50% R$ 2,49 De R$ 1.514,69 até R$ 3.029,37 1,00% R$ 10,06 A partr de R$ 3.029,38 0,50% R$ 25,21 Tabela 4: Custos de Transação (Fonte: Hedgng-Grffo) Como custos de transação foram consderadas as mudanças nos totas nvestdos em cada ação. Por exemplo: Ação Período 1 Período 2 Varação A B C Total 60 Tabela 5: Mudança de nvestmentos entre períodos o período 1 a cartera contnha R$100 da ação A e no período 2 passa a conter R$70 o montante a ser utlzado como base para o cálculo do custo de corretagem, custo de transação, será de R$30. o exemplo acma, o total a ser consderado como base para o cálculo dos custos de transação será de R$ 60, ou seja, são consderadas as varações tanto na hora de comprar como vender ações entre os períodos. 46

59 4.3-Lotes de Compra Outra característca do mercado fnancero é que os atvos são transaconados em múltplos de quantdades mínmas, conhecdos como lotes. a Bovespa os lotes mínmos de negocação e a respectva cotação de cada atvo consderado neste trabalho são apresentados na tabela 4: Ação Lote Cotação Ação Lote Cotação ACES 100 untára KLB untára AMBV por lote de ml ações LIGT por lote de ml ações por lote de ml ARCZ 100 untára LAME ações ARCE 100 untára ATU 100 untára BBDC 100 untára ETC 100 untára por lote de ml BRAP 100 untára PCAR ações BBAS 100 untára PRGA 100 untára por lote de ml BRTP ações PETR 100 untára BRTO por lote de ml ações SBSP por lote de ml ações BRKM 100 untára SDIA untára CCRO 100 untára CSA 100 untára CLSC untára CRUZ 100 untára por lote de ml CMIG ações TLP 100 untára CTAX 100 untára TMAR 100 untára por lote de ml por lote de ml CPLE ações TMCP ações por lote de ml por lote de ml ELET ações TCSL ações EMBR 100 untára UBBR 100 untára por lote de ml EBTP ações USIM 100 untára GGBR 100 untára VCPA 100 untára GOAU 100 untára VALE 100 untára ITSA untára VIVO 100 untára Tabela 6: Lotes de Transação (Fonte: Bovespa) 47

60 4.4- Prevsão dos Retornos, Volatldades e Covarâncas Além dos custos de transação e dos lotes mínmos, é necessáro defnr qual a nformação a ser consderada para a composção da cartera. A nserção apenas da sére hstórca dos preços das ações é de poucas possbldades se comparada à smulação de dferentes preços das ações. A smulação consderada neste trabalho é baseada no horzonte de um da, ou seja, são fetas as prevsões para um da dos preços das ações e, com os preços defndos através da smulação, é defnda a composção da cartera. Como crtéro para gerar as prevsões será utlzado neste trabalho o modelo IGARCH. O modelo IGARCH parte de uma característca mportante das séres fnanceras que, enquanto os retornos são ndependentes, o quadrado dos retornos não o são. Com esta autocorrelação do quadrado dos retornos, fca nválda a hpótese de heterocedastcdade (a heterocedastcdade mplca que a méda e a varânca de uma sére temporal são constantes ao longo do tempo). Em 1982 Engle desenvolveu o chamado Modelo Heterocedastcdade Auto Regressva (ARCH) que leva em consderação o fato que a varânca do erro atual é uma função das varânca dos erros passados. O modelo ARCH relacona a varânca do erro ao quadrado dos erros dos períodos anterores, modelando desta manera séres que apresentem sua volatldade varando no tempo. Especfcamente, consderando retornos e assumndo que = σ z, onde ~ (0,1), a sére σ² é modelada por: t t t z t t os Onde α > 0 0 e α 0, > 0 48

61 Em 1986 Bollerslev desenvolveu o modelo GARCH, generalzando o modelo ARCH, onde a varânca dos erros segue um processo auto regressvo e de médas móves (ARMA). este caso, um modelo GARCH(p,q) é dado por: Se a soma dos coefcentes alfa e beta do modelo for gual a 1 o modelo é chamado IGARCH (GARCH Integrado). A grande vantagem destes modelos é levar em consderação que os períodos de alta volatldade são agrupados e que essa volatldade segue um processo conhecdo. Um caso específco do IGARCH é a méda móvel alsada exponencalmente usado pelo Rskmetrcs (1996) que será utlzada para a prevsão de retornos, varâncas e correlações neste trabalho. A varânca segurá o segunte processo: σ 2 t λσ λ 2 2 = t 1 + ( 1 ) rt 1 onde, σt é a varânca no tempo t, rt é o retorno no período t e λ é denomnado fator de decamento. Segundo a metodologa do Rskmetrcs (1996) será utlzado como fator de decamento 0,94 para dados dáros. Da mesma forma a covarânca será dada por: Cov λ ( a, b) t = Cov( a, b) t 1 + (1 ) r( a) t 1r( b) t 1 λ Já os preços, e consequentemente os retornos, serão dados por: p + σ ε t = p t 1 t t, onde t ε ~(0,1) 49

62 5-AÁLISE DOS RESULTADOS Além da quantdade de atvos dsponíves, fatores que nfluencam o desempenho do algortmo como a taxa de mutação e o algortmo genétco também foram consderados.cada uma destas varáves pode ser consderada um fator a ser testado, e para cada fator serão consderados os seguntes níves: - Atvos Dsponíves: 5, 10, 25 e 50; - Taxa de mutação (em %): 1, 5, 10, 15, 20, 25 e 30; - Algortmo utlzado: Smples, MOGA e PGA. Consderando que este trabalho contemplará todas as combnações destes fatores, um expermento fatoral completo, serão necessáros: 4 x 7 x 3 = 84 testes. Os resultados serão gerados em duas etapas a partr do segunte processo: - Prmeramente a cartera é otmzada com as nformações dsponíves, a prevsão de retorno e as covarâncas para um da adante, pelo IGARCH; - Após a otmzação é calculado, no da segunte, o retorno realzado com os dados de mercado. Para os resultados dos algortmos não serem nfluencados pelo desempenho partcular de um da, fo escolhdo trabalhar com os resultados de 90 das e, a partr deles, ter uma méda do desempenho, e a respectva varânca, para cada combnação de fatores. Está dsponível ncalmente R$ 100 ml para a composção da cartera, não é permtda a venda a descoberto, a venda de uma ação que o nvestdor não possua, os possíves ganhos ou perdas são repassados para o período segunte. 50

63 Outro fator a ser consderado é o fato dos Algortmos Genétcos Multobjetvo não apresentarem nenhum problema em ldar com dos objetvos confltantes como o rsco e o retorno. Já com o algortmo genétco smples sto não ocorre, sendo necessáro agregar estes dos objetvos confltantes em uma só métrca. Fo utlzada a varável Retorno Médo / Desvo Padrão como manera de agregar os dos objetvos confltantes. Com esta varável tem-se que quanto maor o Retorno Médo melhor o índce, quando menor o Desvo Padrão, melhor o índce, ou seja, é desejado Retorno maor e Desvo Padrão menor. Os resultados para cada combnação de fatores estão na tabela abaxo: 50 ações 25 ações 10 ações 5 ações Smples MOGA SGA Mutação(%) Retorno DesvPad Tempo Retorno DesvPad Tempo Retorno DesvPad Tempo 1 0, , ,934 17, ,032 21, , , ,996 20, , , ,0713 3, ,231 9, ,006 19, , , ,660 14, ,5032 9, , , ,982 16, ,142 23, , , ,735 15, , , , , ,103 8, ,008 19, , , , , ,003 55, ,031 42, , , , , ,006 34, ,012 27, , , , , , , , , , , , , ,105 31, ,093 29, , , , , ,987 13, , , ,206 68, ,8647 9, ,1482 8, ,039 66, ,0941 2, ,936 33, ,0402 1, , , ,063 54, ,081 36, ,903 89, , , ,021 76, , , ,101 54, ,022 36, , , , , , , , , , , ,762 73, , , , , ,443 75, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,195 73, , , , , , , , , , , ,186 76, Tabela 7: Resultados 51

64 a utlzação do Algortmo Genétco Smples, apenas em um caso o Retorno Médo fo negatvo, no problema com 50 ações e taxa de mutação de 1%, onde o Retorno Médo fo de -0,1147. O mesmo ocorre com o SGA, onde apenas um caso apresenta Retorno Médo negatvo, o problema com 50 ações e taxa de mutação de 5%, com -0,0841. O menor Desvo Padrão, de 3,54, ocorre no Algortmo Genétco Smples, no problema com 5 ações e taxa de mutação de 10%. O maor Desvo Padrão, de 89,21, também ocorre no Algortmo Genétco Smples, no problema de 25 ações com taxa de mutação de 15%. A prmera questão a ser verfcada é se algum algortmo apresenta um desempenho melhor. Como crtéro de análse também fo utlzada a varável Retorno Médo / Desvo Padrão como manera de agregar os resultados dos algortmos. Pela Fgura 8, da dstrbução dos resultados, há uma ndcação que o comportamento do resultado do Algortmo Genétco Smples (1) é tão bom quanto o desempenho do Algortmo SGA II (3). Fgura 8: Dstrbução dos Resultados por Algortmo 52

65 Enquanto o MOGA apresenta alguns resultados negatvos, o Algortmo Genétco Smples e o SGA apresentam um caso cada. E estes resultados negatvos do MOGA não são explcados pela dspersão dos dados, dado que não ocorrem resultados melhores que os do Algortmo Genétco Smples e do SGA. A segunda questão a ser respondda é se exste alguma taxa de mutação que apresente melhor performance para o problema de otmzação de carteras. Isto pode ser analsado pela dspersão dos resultados por cada taxa de mutação, conforme pode ser observado pela Fgura 9. Fgura 9: Dstrbução dos Resultados por Taxa de Mutação Pela dspersão dos resultados há um ndcatvo que o desempenho do algortmo é melhor com uma taxa ao redor de 15%, onde a dspersão dos dados é pequena e os resultados concentrados na faxa de 0,04. A taxa de mutação com resultados mas nstáves, sto é mas dspersos, é 1% segunda por 5%. Pelo gráfco há uma evdênca que os resultados vão se establzando conforme a taxa de mutação aumenta entre 10% e 15%, e depos desta faxa começam a se tornar mas dspersos novamente. 53

66 A tercera questão a ser analsada é se a quantdade de atvos dsponíves para nvestmento tem uma nfluênca dreta no desempenho dos algortmos. Isto pode ser observado pela Fgura 10 : Fgura 10: Dstrbução dos Resultados por Tamanho de População Pode-se observar que ocorre o melhor desempenho dos algortmos conforme o número de atvos dsponíves dmnu. Isto pode ser explcado pelo fato que quanto menor o número de atvos dsponíves, menor espaço de busca, fazendo com que o trabalho de busca de boas soluções seja mas fácl. A varabldade dos resultados é reduzda e o desempenho se torna melhor. Apesar do problema com 25 ações dsponíves apresentar os dos melhores resultados, sto pode ser explcado pela dspersão dos dados que abrange até o segundo por resultado. Além destes ndcatvos, é necessára uma análse formal dos dados, de forma que se possa afrmar quas varáves mpactam no resultados dos algortmos, o quanto elas mpactam e se exste nteração entre os fatores consderados no desempenho dos algortmos. 54

67 O método a ser utlzado para analsar a nfluênca dos fatores nos resultados fo a análse de varânca (AOVA). A análse de varânca é um teste estatístco que vsa fundamentalmente verfcar se exste uma dferença sgnfcatva entre as médas de grupos dferentes e se os fatores exercem nfluênca em alguma varável dependente. Os fatores propostos podem ser de orgem qualtatva ou quanttatva, mas a varável dependente necessaramente deverá ser contínua. A tabela AOVA com os resultados para cada fator consderado está apresentada abaxo: Tabela AOVA Fator Soma Quad g.l. Quad Medo F Prob>F X1 0, , ,75 0,0066 X2 0, , ,8 0,1496 X3 0, , ,04 0,0257 X1*X2 0, , ,41 0,2043 X1*X3 0, , ,62 0,0316 X2*X3 0, , ,24 0,2856 Erro 0, ,00046 Total 0, Tabela 8: Tabela AOVA Pela tabela Anova fca claro a mportânca do fator Algortmo utlzado (X1), dado que o F calculado é maor que um valor crtco, sendo sgnfcante a um nível de 5% de confança. Isto ndca que o dependendo do algortmo exstrão resultados dferentes. Já o fator Taxa de Mutação (X2) não apresenta efeto sgnfcatvo no resultado dos algortmos, não sendo sgnfcante a um nível de 5% de confança. O fator Tamanho da População (X3) tem nfluênca nos resultados sendo o fator sgnfcante a 5% de confança. Além da nfluênca solada de cada fator é necessáro também analsar a nteração dos fatores nos resultados dos algortmos. 55

68 Entre as nterações entre os fatores, apenas a nteração Algortmo utlzado e Tamanho da População (X1*X3) é sgnfcante estatístcamente, consderando um nível de confança de 5%. As outras possíves nterações não foram sgnfcantes estatstcamente, ou seja, a utlzação destas nterações não explcou a varabldade dos dados. Fgura 11: Dstrbução dos Resultados por Algortmo e Tamanho de População Pela fgura 11 a dspersão dos resultados há uma ndcação que o prncpal fator atuando é o tamanho da população, onde os resultados dos três algortmos (os três prmeros na fgura 11) apresentam um resultado melhor, e a dspersão dos mesmos é bem reduzda quando comparada à dspersão para os outros tamanhos de população. Conforme é aumentado o número de ações dsponíves os resultados se tornam mas dspersos, e não necessaramente com melhores resultados (o que ndcara que o rsco sendo aumentado as oportundades para maores retornos também aumentaram). 56