SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL 8 a 11 de novembro de 2002, Rio de Janeiro/RJ A PESQUISA OPERACIONAL E AS CIDADES

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1 ALGORITMO GENÉTICO APLICADO À ELEÇÃO MULTI-CRITÉRIO DE CARTEIRA DE PROJETO DE PETRÓLEO E GÁ Karn upo Gavancho Departamento de Engenhara Elétrca, PUC-RIO, Rua Marques de ão Vcente 225, Ro de Janero Karsupo@ele.puc-ro.br Marco Aurélo Pacheco Departamento de Engenhara Elétrca, PUC-RIO, Rua Marques de ão Vcente 225, Ro de Janero. marco@ele.puc-ro.br lvo Hamacher Departamento de Engenhara Industral, PUC-RIO, Rua Marques de ão Vcente 225, Ro de Janero. hamacher@rdc.puc-ro.br Resumo - Grandes projetos de desenvolvmento de campos de petróleo demandam vultosos nvestmentos. Assm sendo, métodos para admnstração de carteras de campos (portfólos) e técncas de otmzação são cada vez mas mportantes na ndustra de petróleo e gás. O objetvo deste artgo é nvestgar o desempenho de Algortmos Genétcos assocados a um método mult-crtéro para a seleção de portfólos de produção de petróleo e gás. O algortmo proposto fo testado em carteras com 16 e 32 projetos e os resultados obtdos mostram que o Algortmo Genétco proposto é capaz de otmzar os objetvos do problema de seleção de portfólos. Palavras-chave: Algortmos Genétcos, eleção de Carteras de Projetos; Mult-crtéro, Petróleo e Gás. Abstract Due to large nvestments to explore ol and gas felds, methods to manage and to optmze the portfolos of these felds are becomng more mportant n the ol ndustry. Ths artcle nvestgates the performance of Genetc Algorthms, assocated wth a mult-crtera method, to optmze ol and gas explotaton portfolos. The proposed algorthm has been tested n portfolos wth 16 and 32 projects and the results showed the effectveness of the genetc algorthms n ths problem. Keywords: Genetc Algorthm, Portfolos, Mult-Crtera, Ol and Gas. 1. INTRODUÇÃO A ncorporação de novas metodologas e softwares no setor de petróleo e gás abrange um desenvolvmento tecnológco em dversas áreas do conhecmento, tas como: análse econômca e fnancera, smulação de reservatóros, computação e técncas de otmzação multdmensonal e ntertemporal, processo de refno, planejamento da produção de dervados, que são de grande relevânca para o setor. Companhas de petróleo ou agênca reguladoras estão constantemente enfrentando stuações em que devem decdr onde o captal deve ser aplcado. Grandes projetos de desenvolvmento de campos de petróleo demandam vultosos nvestmentos. Assm sendo, a otmzação dos projetos tem um grande mpacto econômco na Petrobras e no setor petróleo/upstream de uma manera geral. Esse mpacto deve-se a possíves reduções nos nvestmentos, aumentos na receta, dmnução do custo operaconal, etc. Uma melhora de 1% em qualquer um desses tens já sgnfcara um ganho fnancero muto elevado.

2 Tradconalmente, para avalar cada alternatva de nvestmento num campo de petróleo, procura-se a alternatva com maor Valor Presente Líqudo (VPL), sendo a melhor alternatva aquela de maor VPL. A equação do VPL nesse caso pode ser descrta como: VPL = qpb D (1) onde q é qualdade econômca da reserva, P é o preço do petróleo, B é o tamanho estmado da reserva e D é o nvestmento para desenvolvmento. Esta fórmula é aplcável quando todos seus termos são conhecdos (valores determnístcos). Todava, todos estes parâmetros apresentam ncertezas assocadas, o que torna o problema de dfícl solução. O presente artgo aborda a questão da obtenção do maor Valor Presente Lqudo (VPL) sob ncerteza. eu objetvo prncpal é analsar e desenvolver algortmos genétcos para determnar uma cartera (portfólo) efcente, composta por uma seleção de projetos de produção de petróleo. Utlza-se um modelo de otmzação mult-crtéro pelo fato dessas carteras serem avaladas sob três aspectos. O artgo organza-se da segunte forma: Na eção 2 apresenta-se a teora sobre seleção de portfólos. Na eção 3 é descrto o problema a ser tratado. Na eção 4 propõe-se uma possível solução para o problema. Esta solução assoca algortmos genétcos a um método de otmzação mult-crtéro, denomnado Modelo de Mnmzação de Energa Modfcado. Na eção 5 apresentam-se os resultados do testes realzados e fnalmente a eção 6 refere-se às conclusões fnas. 2. ELEÇÃO DE PORTFÓLIO Uma questão prmordal é dentfcar o portfólo ótmo. Entretanto, nem sempre está claro o que sgnfca ser um portfólo ótmo para uma empresa. Uma grande quantdade de elementos que compõe o portfólo deve ser consderada: Qual portfólo proporcona o maor retorno? Ele é vável? Atende as metas de produção? atsfaz as restrções de desenvolvmento? Estas consderações, dentre outras, tornam não-trval a determnação do que é um portfólo ótmo. Levam a uma sére de outras ndagações relaconadas ao tratamento que se dspensará ao rsco: Qual a defnção de valor? O custo do projeto é realmente conhecdo? Pode-se determnar quanto o projeto rá produzr? Valor é ndependente ao rsco? O que é rsco? (McVean, 2000). É muto mportante entender como a defnção do que é rsco afeta a escolha do portfólo. Neste contexto propõe-se estudar a seleção de carteras de campos de produção de petróleo e gás. Uma cartera efcente deve levar em consderação não somente as varáves-chave de cada campo, como preço do petróleo, produção e captal, mas também as ncertezas assocadas a cada varável. A moderna teora de carteras surgu quando Harry Markowtz publcou o artgo Portfolo electon (Markowtz, 1959). ua grande novação consstu em relaconar o retorno esperado, e o rsco, meddo pelo desvo padrão de cada cartera de títulos, consderando o grande número de combnações possíves de títulos que poderam compor uma cartera e, a partr daí, traçar a curva do conjunto das combnações efcentes de carteras (Frontera de Efcênca). Um portfólo é dto na Frontera de Efcênca ou domnante se: Para um dado retorno (VPL), não exste nenhum outro portfólo com menor rsco; ou Para um dado rsco, não exste outro portfólo com maor retorno. A Fgura 1 lustra a Frontera de Efcênca e relacona uma medda de retorno com uma medda de rsco.

3 Fgura 1: Portfólos Domnantes e Frontera de Efcênca Na Fgura 1, podemos observar 6 portfólos, A,B,C,D,E e F. Comparando os portfólos D e F, pode se observar que o portfólo D é domnante sobre F, pos para o mesmo valor de retorno, o portfólo D

4 7) Repta os passos 1 a 6 m vezes. O resultado é uma curva de freqüênca de VPL do portfólo. No nosso caso, o valor de m fo fxado em 100. Uma vez obtda a função de dstrbução do VPL de cada portfólo, são determnados 3 cálculos estatístcos: o prmero é a méda amostral, que chamaremos de VPL; o segundo cálculo é o desvo padrão amostral e o tercero é o P90. egundo os termos empregados na ndústra de petróleo, o P90 representa a probabldade de 90 % que o valor real do VPL seja superor ou gual ao valor do P90 calculado. Deseja-se, neste caso, projetos que possuam ao mesmo tempo maor VPL e maor P90 e menor desvo padrão. A Fgura 2 lustra a Frontera de Efcênca VPL vs Desvo Padrão e a Fgura 3 a Frontera de Efcênca VPL vs P90. Fgura 2: Frontera de Efcênca VPL vs. Desvo Padrão Fgura 3: Frontera de Efcênca VPL vs. P90 Os desafos neste problema são: Como gerar a frontera de efcênca? A determnação do número de portfólos possíves é um problema NP completo e, para cada portfólo, deve-se executar a mulação de Monte Carlo. Como seleconar os melhores portfólos segundo as meddas de rsco, ou seja, domnantes segundo os crtéros de maxmzar o VPL, mnmzar desvo padrão e maxmzar P90. No problema exemplfcado acma, exstem 940 portfólos domnantes, qual deles sera o mas adequado aos crtéros do decsor? 4. DECRIÇÃO DA OLUÇÃO Problemas de otmzação complexa/combnatoral que precsam consderar uma sére de restrções são problemas típcos para aplcação de Algortmos Genétcos (AG). Uma cartera de projetos (portfólo) deve ser seleconada dentro de um grande número de combnações de possíves portfólos que podem ser formados. Alguns autores como Fchter (2000) e McVean (2000) propõem algortmos genétcos para a solução deste tpo de problema. Os trabalhos de Coello, Horn (1997) e de Fonseca e Flemng (1995) mostram a possbldade de assocar modelos de otmzação mult-crtéro aos algortmos genétcos. Neste artgo será desenvolvdo um Algortmo Genétco para soluconar o problema da seleção de portfólos assocado a um método mult-crtéro. A seção 4.1 mostra característcas deste AG, a seção 4.2 elenca os objetvo a serem persegudos, a seção 5.3 descreve a metodologa de solução do problema enquanto que a seção 4.4 descreve o método mult-crtéro.

5 4.1 Estrutura do Cromossomo: Utlza-se um cromossomo bnáro para representar cada portfólo. Cada posção do cromossoma corresponde ao número de um projeto. A Fgura 3 mostra que para este determnado cromossomo (portfólo), serão seleconados os projetos 2,3,6,7,..., 15. A escolha da representação bnára deve-se ao fato que se deve nvestr totalmente num projeto (valor do gene 1 no cromossoma) ou não nvestr no projeto (valor 0 no cromossoma). Não é possível nvestr parcalmente num projeto Função de Avalação Fgura 4: Representação do Cromossomo Os algortmos genétcos neste problema têm como objetvo: VPL: Deseja-se maxmzar o Valor Presente Lqudo da Cartera. Desvo Padrão: Deseja-se mnmzar o Desvo Padrão. P90: É desejável que a Cartera tenha um P90 maor possível. 4.3 Algortmo a segur 1. Obter as curvas de dstrbução de probabldades de VPL e de nvestmento de cada projeto. 2. Representar os portfólos genetcamente. 3. Evolur genetcamente (crossover e mutação) 3.1. Avalar os portfólos 3.2. Adção geométrca dos projetos Determnar o VPL, Desvo Padrão e P90 do portfólo. 4. Avalar usando o método mult-crtéro. 5. Atualzar pesos do mult-crtéro a cada N gerações. 6. Voltar para Repetr até atngr o crtéro de parada (n.º gerações, parada na evolução, etc.) Em nosso algortmo, a função mult-crtéro é avalada pelo Método de Mnmzação de Energa (Zebulum, 1999). 4.4 Mnmzação de Energa(MME-modfcado) A estratéga do método de mnmzação de energa procura, em prmero lugar, resolver a prncpal nconvenênca do método de agregação de objetvos, a escolha dos pesos de cada objetvo. Além dsso, também estão ncorporadas ao algortmo as especfcações do usuáro, o que não é realzado de forma trval com as técncas que buscam o conjunto Pareto Ótmo (Frontera de Efcênca). O método descrto a segur é projetado dentro do contexto dos algortmos genétcos e tem como característca básca a atualzação dos pesos ao longo do processo evoluconáro de forma a dar maor prordade aos objetvos menos satsfetos pela população de soluções em geral. A equação de agregação de objetvos é formulada da segunte forma:

6 1 N p p F = w. e p 1 (2) = 1 Onde: w é o respectvo peso assocado ao objetvo e corresponde ao erro da avalação da solução para um dado objetvo. p defne a forma como a dstânca entre vetores será medda. Para que esta avalação seja coerente, é mprescndível que os erros e sejam normalzados para valores comparáves entre s. Para tanto, é necessáro que se perceba também que uma normalzação adequada deve, para um determnado objetvo, consderar o valor da avalação f de cada solução com relação ao espaço de busca exstente para este objetvo. Desta forma, deseja-se que a melhor avalação possível para um objetvo proporcone e =0, e a por avalação possível fornecendo e =1. A normalzação dos erros é dada pela segunte equação. e best f best avg = (3) onde best corresponde à melhor avalação encontrada até o momento para o objetvo. avg corresponde à avalação méda da população para este objetvo. Baseando-se na equação de atualzação de pesos mplementada no algortmo de retropropagação do contexto de Redes Neuras Artfcas, a segunte fórmula para o reajuste de pesos fo obtda para esta estratéga:, t + 1 = k1. α. w, t + k 2 (1 α ). e Onde w, t (4) k 1 e k 2 são constantes de normalzação cujos valores serão determnados conforme procedmento lustrado a segur. α é uma constante análoga ao termo de momento utlzado em redes neuras: ntroduz memóra aumentando a establdade do sstema. e,t é o erro percentual. O calculo do erro percentual é consderado da segunte forma: e user f =, t (5) user O algortmo é ncalzado através da escolha de valores ncas para os pesos, cuja soma é: n wo = w, 0 (6) onde o valor de w, 0 é nteramente arbtráro, não nfluencando no desempenho do sstema. = 1

7 Resta então determnar os valores das constantes de normalzação k 1 e k 2. n w, t = k3 e, t = k3e, t = 1 (7) onde: w0 k 3 = (8) e0 e0 é a soma dos erros obtdos na prmera geração. k 3 é uma constante de proporconaldade que leva em conta o efeto da escolha do valor de wo. Para que a soma dos pesos obedeça à relação acma, as constantes de normalzação devem assumr os seguntes valores: k w, t 1 = k2 = w, t 1 w, t e, t (9) 5. ÍNTEE DO REULTADO E CONCLUÕE Para cada projeto de exploração e produção de petróleo e gás fo crado aleatoramente uma dstrbução de probabldade F com 200 dados, segundo as dstrbuções propostas por McVean (2000). Foram fetos testes em dos conjuntos de dados, o prmero composto por 16 projetos (que formam 2-1 portfólos possíves) e o segundo composto por 32 projetos (que formam 2-1 portfólos possíves). As Fguras 5, 6, 7, 8 e 9 referem-se ao conjunto de dados composto por 16 projetos. Na Fgura 5, observa-se a avalação de todos os portfólos segundo os crtéros de VPL e de desvo padrão. Para facltar a vsualzação, somente são apresentados os melhores portfólos, desprezando os portfólos de baxo desempenho, que estaram localzados na parte superor e esquerda da fgura. Neste caso, deseja-se obter o maor VPL possível e o menor desvo padrão. Os pontos assnalados por um círculo vermelho mostram o melhor ndvíduo (portfólo) encontrado em cada geração do algortmo genétco. O quadrado verde mostra o melhor ndvíduo na últma geração. Este ndvíduo é domnante, ou seja, pertence à Frontera de Efcênca segundo os crtéros de VPL e Desvo Padrão.

8 Fgura 5 Avalação dos portfólos, crtéros VPL x Desvo Padrão A Fgura 6 apresenta a mesma análse da fgura anteror, desta vez comprando-se os crtéros de VPL e de P90. Deseja-se obter o maor VPL e P90 possíves. Exste anda uma tercera análse que pode ser feta para este problema, que compara P90 e Desvo Padrão. O número de portfólos domnantes neste problema, segundo cada um dos três crtéros, tomados 2 a 2, é de 940 portfólos um portfólo domnante segundo um par de crtéros não necessaramente é domnante segundo outro par de crtéros. Conforme pode ser vsto na Fgura 6, o melhor ndvíduo da últma geração do algortmo genétco não é domnante segundo os crtéros de VPL e P90, mas tem valores muto próxmos ao ndvíduo domnante.deve-se destacar que não exste nenhum ndvíduo que seja domnante segundo os 3 pares de crtéros. Fgura 6 Avalação dos portfólos, crtéros VPL x P90

9 As Fguras 7, 8 e 9 mostram o comportamento dos objetvos durante 100 gerações. Em todos os objetvos, a convergênca do algortmo fo encontrada na 72. a geração. Na Fgura 7 verfca-se que o VPL está sendo maxmzado ao longo do tempo. Na Fgura 8 observa-se que o valor do desvo padrão fo mnmzado ao longo do processo evoluconáro. Na Fgura 9 vê-se o comportamento do objetvo P90. população de VPL VPL gerações eres1 Fgura 7 Evolução do algortmo, 16 projetos, crtéro VPL população std std gerações eres1 Fgura 8 Evolução do algortmo, 16 projetos, crtéro desvo padrão população P90 p gerações eres1 Fgura 9 Evolução do algortmo, 16 projetos, crtéro P90 Observa-se anda a pora de um objetvo em algumas gerações, porém, sto se deve a tentatva de melhorar o resultado em outro objetvo. O algortmo atualza dnamcamente os pesos relatvos assocados a cada objetvo. Um objetvo que tenha uma má avalação numa geração pode ter seu peso relatvo aumentado numa geração futura, tentando, assm, melhorar sua avalação. Foram também realzados testes com portfólos compostos por até 32 projetos e os resultados mostraram também uma convergênca rápda, com tempo de execução nferor a 5 mnutos (Pentum III). Na Tabela 1 são apresentados os parâmetros do Algortmo Genétco proposto.

10 8. CONCLUÃO Tamanho da População 200 Número de Gerações 100 Taxa de Crossover 75% Taxa de Mutação 1% teady tate 20% Tabela 1: Parâmetros do AG Neste artgo foram utlzados algortmos genétcos como uma forma de representação e avalação de seleção de carteras de campos de produção de petróleo e gás sob ncerteza. Além dsso, fo usado o Método de Mnmzação de Energa para a ava