2 Modelos de Otimização sob Incerteza 2.1. Introdução

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1 2 Modelos de Otmzação sob Incerteza 2.. Introdução Modelos de programação matemátca são comumente utlzados para solução de problemas de programação da produção, de logístca, de schedulng e de planejamento estratégco de projetos. Mutos destes modelos partem do prncípo que os dados de entrada são conhecdos, ou seja, são modelos determnístcos. Porém, frequentemente esses modelos possuem dados que são sujetos a ncertezas. Para os casos em que a resposta do modelo não é muto sensível aos dados sujetos a ncertezas ou o grau de precsão dos parâmetros ncertos é alto, um modelo determnístco pode ser utlzado sem causar grande prejuízo a qualdade da nformação gerada. Por outro lado, prncpalmente para modelos com vsão de longo prazo, o resultado de uma análse determnístca pode não ser realsta e trazer prejuízos. Daí surge a motvação em desenvolver modelos de otmzação sob ncerteza. Para Sahnds (2004), a grande dfculdade na otmzação sob ncerteza é ldar com um enorme ntervalo de ncerteza que freqüentemente conduz a modelos de otmzação de grande porte. Váras abordagens de métodos de otmzação sob ncerteza são encontradas na lteratura. Algumas delas serão descrtas brevemente neste capítulo. Serão descrtos os modelos de otmzação sob ncerteza que não consderam rsco e posterormente os modelos com restrção de rsco. As meddas de rsco têm um papel crucal na otmzação sob a ncerteza, especalmente ao ldar com as perdas que podem ser ncorrdas na área fnancera (Rockafeller e Uryasev, 2002). Ao avalar um portfólo de atvos fnanceros, por exemplo, é mportante maxmzar o retorno esperado, mas ao mesmo tempo avalar também o rsco ao qual o nvestdor está exposto. O mesmo racocíno é váldo para o caso da avalação da cartera de nvestmento da cadea ntegrada de petróleo e dervados,

2 6 na qual se deseja maxmzar o resultado esperado no longo prazo dado um nível de rsco acetável. este capítulo serão apresentados também os modelos que utlzam técncas de gerencamento de rscos, os modelos de otmzação de portfólo. Estes modelos têm orgem na área econômco-fnancera e são utlzados para apoar na determnação de uma cartera de atvos fnanceros que maxmze o retorno do nvestdor, sujeto ao atendmento de um lmte de rsco, ou de forma alternatva, mnmze a exposção ao rsco, sujeto ao atendmento de um retorno mínmo requerdo pelo nvestdor. Ou seja, dada uma lsta de atvos canddatos, os modelos de otmzação de portfólo ndcam para o nvestdor aqueles que devem ser adqurdos, de modo que a cartera resultante forneça a melhor relação rsco versus retorno (Marzano 2004) Otmzação sob Incerteza Para Kallrath (2005), a otmzação sob ncerteza tem como objetvo a exploração dos dados futuros ncertos e nformações ncompletas, de forma a melhorar a qualdade fnal do desempenho global, sto é, a qualdade de decsões através do horzonte de tempo, ou aumentar a robustez do modelo. Em seu artgo, é feta uma revsão de váras abordagens de técncas que foram usadas em problemas reas ou que foram ctadas na lteratura. A partr destas abordagens, o autor pôde suportar o argumento que as dfculdades em modelar problemas de otmzação sob a ncerteza são muto maores do que aqueles de otmzação determnístca. Sahnds (2004) também faz uma revsão da teora e metodologas que foram desenvolvdas para ldar com a complexdade de problemas de otmzação sob ncerteza. As prncpas abordagens neste campo podem ser dvddas em programação estocástca e programação não estocástca (otmzação fuzzy). Programação estocástca Segundo Kallrath (2005), a prmera etapa para modelar o problema do mundo real envolvendo dados de entrada ncertos é analsar com cudado a

3 7 natureza da ncerteza. Apesar das dfculdades concetuas, recomenda-se fortemente que se alguns dados, como por exemplo, prevsão de demanda em modelos de planejamento e/ou dados da produção em shedulng, forem sujetos às ncertezas, estas devem ser consderadas. É crucal que as suposções sejam verfcadas, pos são a base de váras abordagens de solução. Programação estocástca é uma técnca utlzada para modelar as ncertezas e é uma das abordagens contemplada em seu artgo. Kallrath (2005) afrma que programação estocástca, partcularmente, modelos estocástcos mult-estágos, chamados também modelos recursvos, têm sdo reportados há algum tempo. Alguns trabalhos neste sentdo são ctados em seu artgo (como por exemplo Dantzg (955), Kall (976), Schultz (995), Brge e Louveaux (997)). a programação estocástca os modelos contêm a nformação da probabldade da ncerteza estocástca e a dstrbução não depende da decsão na maora dos casos. Ultmamente, a maora das lnguagens de modelagem usadas na otmzação matemátca usa programação estocástca baseada em cenáro para problemas de programação lnear (LP) (Kallrath, 2005). Khor (2006) cta duas característcas essencas de problemas típcos de programação estocástca: a ncerteza nos dados do problema e a seqüênca de decsões, em que alguns dos parâmetros do modelo são consderados varáves aleatóras que assumem valores a partr de determnada dstrbução de probabldade dscreta ou contínua. A decsão deve ser feta antes dos valores reas destes parâmetros aleatóros se realzarem. a programação estocástca de dos estágos, as varáves da decsão de um problema de otmzação sob ncerteza são dvddas em dos grupos. As varáves do prmero estágo são aquelas que têm que ser decddas antes da realzação real dos parâmetros ncertos. Subseqüentemente, uma vez que os eventos aleatóros se apresentaram, melhoras de projeto ou polítcas operaconas podem ser fetas, seleconando a certo custo, os valores do segundo estágo. Tradconalmente, as varáves de segundo estágo são nterpretadas como meddas corretvas ou recurso contra alguma nvabldade devdo a alguma partcular realzação de ncerteza. Entretanto, o problema de segundo estágo pode também ser um problema de decsão no nível operaconal, segundo o planejamento do prmero estágo e realzações de ncertezas. Devdo às ncertezas, o custo do segundo estágo é uma varável aleatóra. (Sahnds, 2004).

4 8 Sahnds (2004) mostra uma formulação padrão de programação estocástca lnear de dos estágos, onde o parâmetro ncerto do segundo estágo é uma varável aleatóra que possu uma dstrbução de probabldade contínua. O autor afrma anda que, face à suposção de dstrbuções dscretas dos parâmetros ncertos, o problema pode ser equvalentemente formulado como um problema de programação lnear de grande porte, que possa ser resolvdo usando a tecnologa padrão de programação lnear. Adconalmente, o autor descreve métodos presentes na lteratura para formulação de programação estocástca ntera, onde as varáves de decsão possuem natureza ntera. É mostrada também uma formulação para programação estocástca não lnear, que pode ser aplcada especalmente em projetos de engenhara, assm como em planejamento e schedulng. Programação fuzzy Como a programação estocástca, a programação fuzzy também se drge a problemas de otmzação sob a ncerteza. Uma dferença prncpal entre as abordagens de otmzação estocástca e fuzzy está na manera que a ncerteza é modelada. o caso de programação estocástca, a ncerteza é modelada com as funções dscretas ou contínuas da probabldade. Por outro lado, a programação fuzzy consdera parâmetros aleatóros como números fuzzy e as restrções são tratadas como conjuntos fuzzy. Alguma volação à restrção é permtda e o grau de satsfação de uma restrção é defndo como uma assocação de funções de restrções (Sahnds, 2004). Esta metodologa é muto mas nova do que a programação estocástca e é usada quando, do ponto de vsta da programação estocástca, a nformação for ncompleta. Se as dstrbuções de probabldade para os dados de entrada ncertos puderem ser fornecdas, a programação estocástca é a melhor escolha (Kallrath 2005).

5 Otmzação de Portfólo Introdução O problema de otmzação de portfólo é de nteresse prátco e teórco. Dessa forma, estes problemas têm sdo abordados na lteratura desde a proposção de modelo méda-varânca de Markowtz em 952. Modelos de otmzação de portfólo são desenvolvdos para reduzr o rsco assocado ao valor esperado do retorno do portfólo através da dversfcação da cartera de nvestmentos. O retorno de um nvestmento, geralmente, é representado pelo valor esperado da dstrbução dos retornos. Já a modelagem do rsco do portfólo possu dferentes abordagens propostas. esta seção serão apresentadas algumas destas abordagens. Incalmente, a proposta de Markowtz é mostrada. O modelo Mnmax, o Value-at-rsk (VaR) e o Condtonal Value-at-Rsk (CVaR) são apresentados em seguda. Por últmo, outras meddas de rsco encontradas na lteratura serão descrtas Méda Varânca Markowtz Em seu trabalho Portfolo Selecton Harry Markowtz (952) propõe um modelo que analsa a relação rsco-retorno para a escolha do melhor portfólo. Tal modelo, conhecdo como méda-varânca de Markowtz utlza parâmetros estatístcos para solução do problema de otmzação de portfólo: valor esperado do retorno para representar o retorno prevsto e varânca dos retornos para medr o rsco. O modelo méda-varânca de Markowtz é um clássco na área de otmzação de portfólo. Seu trabalho fo ponero na cração de um método de análse da relação rsco-retorno para seleção de portfólo. O modelo méda-varânca de Markowtz (952) pode ser descrto pela formulação abaxo:

6 20 Mnmzar s.a. = j= σ X X (2.) j = = X X j = E µ (2.2) = (2.3) X 0 =,..., (2.4) Onde: número de atvos canddatos a compor o portfólo X fração do captal a ser aplcado no atvo canddato σ j covarânca entre os retornos dos atvos e j (σ é a varânca do retorno dos atvos ) µ valor esperado dos retornos do atvo E valor esperado do retorno do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor) A equação (2.) é a função objetvo que tem como meta a mnmzação do rsco do portfólo. A restrção (2.2) dz que o retorno esperado do portfólo, que é a méda ponderada dos retornos ndvduas, deve ser gual a um dado E que é o valor requerdo pelo nvestdor. A restrção (2.3) garante que todo captal dsponível seja nvestdo e a restrção (2.4) não permte que seja nvestdo um percentual negatvo em qualquer atvo. este modelo, o rsco do portfólo é representado pela varânca da cartera que depende da covarânca entre os pares de atvos. Então, com esta medda, uma cartera de nvestmentos composta por dos ou mas atvos pouco correlaconados pode resultar em um rsco menor que a méda ponderada dos rscos ndvduas, podendo até resultar em um nível de rsco menor que o do atvo de menor rsco com um retorno maor que o deste atvo (Gonçalves Jr. et al., 2002). O modelo ndca como portfólo ótmo aquele que mnmza a varânca sujeto à restrção de um retorno requerdo pelo nvestdor. Através de váras

7 2 smulações do modelo, varando o retorno requerdo, é possível regstrar para cada nível de retorno um nível de rsco com uma composção ótma do portfólo. Estes regstros podem ser plotados em uma curva que representa a frontera efcente do portfólo (Fg. 2.). Fgura 2. Frontera Efcente O modelo de Markowtz, apesar de ser uma referênca teórca, não tem sdo usado frequentemente em sua forma orgnal para construção de portfólos de larga escala. A prncpal razão para sto é a dfculdade computaconal assocada ao alcance de uma solução ótma para problemas de otmzação quadrátca com uma extensa matrz de covarânca (Konno e Yamazak, 99). Outras crítcas foram fetas ao modelo de Markowtz. Uma delas é a nstabldade dos portfólos ótmos obtdos neste modelo devdo à obtenção de resultados completamente dferentes relaconados a pequenas varações dos parâmetros de entrada (Mtra et al., 2003). Além dsso, a mnmzação da varânca pode não ser adequada para medr o rsco do portfólo, pos ela penalza tanto desvos postvos quanto os negatvos em relação à méda (Mansn et al., 200; Cheng et al., 2004). Os nconvenentes detectados no modelo méda-varânca de Markowtz motvaram o desenvolvmento de modelos alternatvos para otmzação de portfólo.

8 Modelo MnMax Um modelo de seleção de portfólo que utlza o retorno mínmo como medda de rsco fo apresentado por Young (998). O portfólo ótmo encontrado neste modelo é a solução de um problema smples de programação lnear, e é defndo como aquele que maxmza o retorno do por cenáro, sujeto a um nível de retorno esperado. Consderando atvos canddatos, sujetos a ncertezas representadas através de C cenáros, a formulação matemátca para o modelo Mnmax é apresentada abaxo: Maxmzar M p (2.5) s.a. = x r M 0 c =,...,C (2.6) c p = x µ ρ (2.7) = x = (2.8) x 0 =,..., (2.9) portfólo Onde: M p retorno esperado do por cenáro número de atvos canddatos a compor o portfólo x - fração do captal alocado ao atvo canddato µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo r c - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro c

9 23 ρ nível mínmo requerdo pelo nvestdor para o valor esperado do retorno do portfólo A equação (2.5) é a função objetvo e maxmza Mp, que, de acordo com a restrção (2.6), representa o retorno esperado do por cenáro. A restrção (2.7) garante que o valor esperado do retorno do portfólo seja maor ou gual a um dado nível defndo pelo nvestdor (ρ). A restrção (2.8) garante que todo captal dsponível seja nvestdo e a restrção (2.9) mpede que seja nvestdo um percentual negatvo em qualquer atvo. Young (998) apresenta anda uma formulação equvalente para o modelo Mnmax, na qual o retorno esperado é maxmzado, sujeto ao atendmento de um retorno mínmo em cada um dos cenáros: Maxmzar s.a. = x µ (2.0) = x r c H c =,...,C (2.) = x = (2.2) x 0 =,..., (2.3) portfólo Onde: número de atvos canddatos a compor o portfólo x - fração do captal alocado ao atvo canddato µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo r c - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro c H nível mínmo para o valor esperado do retorno em cada cenáro c

10 24 A função objetvo (equação 2.0) representa o retorno esperado do portfólo que deve ser maxmzado. A restrção (2.) lmta o retorno de cada cenáro a um valor mínmo H defndo pelo nvestdor. As demas restrções são dêntcas à prmera formulação do problema MnMax. Young (998) afrma que para problemas de otmzação de portfólo, em que os retornos são representados por uma dstrbução normal, as meddas de rsco varânca do retorno (proposta por Markowtz) e mínmo retorno são smlares. Por outro lado, o autor mostra que para portfólos com dstrbução de retorno assmétrca a utlzação de mínmo retorno como medda de rsco é mas aproprada. Porém, os modelos MnMax são extremamente conservadores, ou seja, possuem forte aversão aos pores resultados, o que faz com que sua solução possa ser afetada pela presença de valores de cenáros muto pouco prováves no conjunto de dados (Marzano 2004) Value-at-Rsk (VaR) Value-at-Rsk (VaR) tornou-se uma medda de rsco de larga utlzação e acetação em nsttuções fnanceras de todo mundo. VaR é um método de mensuração de rsco que utlza técncas estatístcas padrões e é de fácl compreensão para o controle de rscos (Joron, 997). O VaR mede o por valor esperado da perda que uma nsttução fnancera está sujeta a sofrer ao longo de um determnado horzonte de tempo, a um dado nível de confança. Em outras palavras, com certa probabldade, as perdas não excederão o VaR, ou seja, o VaR a nível de confança 95% está assocado a um nível de perda cuja probabldade de esta perda ser excedda é gual a 5% (Marzano, 2004). A formulação do problema de otmzação de portfólo que mnmza o VaR pode ser expressa pelas seguntes equações:

11 25 Mnmzar α (2.4) s.a. = x r c My c α c =,...,C (2.5) C c= y c = ( β %) C (2.6) = x µ = ρ (2.7) = x = (2.8) x 0 =,..., (2.9) y {0,} c =,...,C (2.20) c onde: portfólo α - varável que fornece o VaR do portfólo com um nível de confança β% - número de atvos canddatos a compor o portfólo x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o β - nível de confança para o cálculo do VaR C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo r c - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro c M número muto grande face as grandezas da equação em questão y c - varável bnára auxlar para o cálculo do VaR ρ nível mínmo para o valor esperado do retorno do portfólo A função objetvo (2.4) é a mnmzação do VaR do portfólo. A restrção (2.5) utlza uma varável bnára auxlar y c, que assume o valor quando o

12 26 cenáro c apresentar perda (representada pelo termo = x r c ) maor que α (VaR) - nos demas cenáros a perda pode ser no máxmo α e a varável y c fca gualada a zero. O número de cenáros que pode possur perdas maores que VaR é dado por (-β)%c, o que é garantdo pela restrção (2.6). A restrção (2.7) assegura que o valor esperado do retorno do portfólo seja gual a um dado nível defndo pelo nvestdor (ρ). A restrção (2.8) determna que todo captal dsponível seja nvestdo e a restrção (2.9) mpede que seja nvestdo um percentual negatvo em qualquer atvo. Marzano (2004) atenta para o fato do problema de otmzação de portfólo com restrção de VaR utlzar mutas varáves bnáras, o que faz com que sua solução seja extremamente complexa. Apesar de ser uma medda de rsco popular com status elevado na ndústra fnancera, o VaR possu algumas defcêncas. O VaR é uma medda nstável e dfícl de trabalhar numercamente quando as perdas não são representadas por uma dstrbução normal (Rockafellar e Uryasev, 2002). Além dsso, Artzner et al. (999) mostram que o VaR não é uma medda de rsco consstente, pos não possu subadtvdade. Este é seu nconvenente prncpal. A não-subadtvdade sgnfca que o rsco de um portfólo pode ser maor do que a soma ndvdual de rscos de seus componentes. Outra defcênca apontada é que o VaR é uma medda do rsco que somente dz respeto à freqüênca das perdas, mas não fornece nenhuma nformação sobre a extensão das perdas maores que VaR (Rockafellar e Uryasev, 2002). Além dsso, o uso do VaR na prátca pode ser mprópro, por causa de sua não convexdade, o que pode causar a exstênca de mutos extremos locas, que conduzrão a um rankng nstável de rsco (Cheng et al., 2004) Condtonal Value-at-Rsk (CVaR) A partr das crítcas ao VaR em relação a sua consstênca como medda de rsco e as dfculdades na obtenção da solução na programação matemátca, foram propostas novas meddas para representar o rsco do portfólo, como o Condtonal

13 27 Value-at-Rsk (CVaR). O CVaR, chamado também Mean Excess Loss, Mean Shortfall, ou Tal VaR, é consderado como uma medda de rsco mas consstente que o VaR. (Rockafeller e Uryasev, 2000). CVaR é defndo como a perda méda excedda do Value-at-rsk (VaR) (Palmqust et al., 999), em outras palavras, o CVaR a nível de confança β% é defndo como o valor esperado condconal das perdas de um portfólo, dado que as perdas a serem contablzadas são as maores ou guas ao VaR (Marzano 2004). Por exemplo, para β = 95%, o CVaR é dado pela méda das 5% maores perdas. A defnção assegura que o VaR a nível de confança β nunca é maor do que o CVaR a nível de confança β, assm os portfólos com baxo CVaR devem ter também baxo VaR (Rockafeller e Uryasev, 2000). Rockafeller e Uryasev (999) apresentam uma abordagem para o otmzação de portfólo que calcula o VaR e otmza o CVaR smultaneamente. Baseado nas perdas assocadas a um vetor de decsão que representa o portfólo e um vetor aleatóro que representa as ncertezas, como por exemplo, parâmetros de mercado que podem afetar a perda, os autores demonstram que o CVaR pode ser mnmzado a partr de uma expressão com boas propredades matemátcas, ou seja, o CVaR pode ser efcentemente mnmzado va técncas de programação lnear, o que permte o tratamento de portfólos com grande número de atvos e ncertezas representadas por um grande número de cenáros. Esta abordagem consdera mnmzação de CVaR enquanto requer um mínmo de retorno esperado. Este método, além de mnmzar o CVaR, dmnu também o VaR do portfólo, uma vez que o CVaR é maor ou gual ao VaR. Porém, em mutos casos é preferível maxmzar retornos com restrção de rsco, sto é, especfcar um nível máxmo de rsco. Assm, Palmqust et al. (999) estendem a abordagem proposta por Rockafeller e Uryasev (2000) para problemas de otmzação com restrção de CVaR, partcularmente otmzação de portfólo de atvos fnanceros. Segundo esta abordagem, a formulação matemátca do problema de otmzação de portfólo com restrção de CVaR, consderando as ncertezas de forma dscreta através de C cenáros equprováves é dada por:

14 28 Maxmzar s.a. x = µ (2.2) C + u ( β ) C c= c K α (2.22) u 0 c =,...,C (2.23) c = = x r + α + u 0 c =,...,C (2.24) c = c x (2.25) x 0 =,..., (2.26) onde: portfólo - número de atvos canddatos a compor o portfólo x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o α - varável que fornece o VaR do portfólo a nível de confança β% β - nível de confança para o cálculo do VaR e do CVaR C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo uc - varável auxlar para o cálculo do CVaR Κ - lmte no CVaR do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor) r c - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro c A função objetvo (2.2) representa o retorno esperado do portfólo ou, em outras palavras, a méda ponderada dos retornos ndvduas. As restrções (2.22), (2.23) e (2.24) modelam o CVaR do portfólo que deve ser menor ou gual a um lmte K especfcado pelo nvestdor. O parâmetro u c é utlzado como uma varável auxlar para o cálculo do CVaR. Pode ser verfcado que para os cenáros com perdas que excedam o VaR do portfólo (representado pela varável α), a

15 29 varável u c assume um valor maor que zero. Este valor é contablzado na equação do lado esquerdo da prmera restrção que é lmtada por um valor máxmo, K. Quanto maor o rsco assumdo (maor o valor de K), maor poderá ser a méda dos (-β)% pores retornos. A restrção (2.25) garante que todo captal dsponível seja nvestdo e a restrção (2.26) mpede que seja nvestdo um percentual negatvo em qualquer atvo. A formulação apresentada é baseada na dstrbução de perdas. Marzano (2004) faz uma adaptação a esta formulação para o caso onde se trabalha com dstrbução de retornos. Maxmzar s.a. = x µ (2.27) C + u ( β ) C c= c K α (2.28) u 0 c =,...,C (2.29) c u g α c =,...,C (2.30) c = c x (2.3) = x 0 =,..., (2.32) onde: portfólo - número de atvos canddatos a compor o portfólo x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o α - varável que fornece o VaR do portfólo a nível de confança β% β - nível de confança para o cálculo do VaR e do CVaR C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo

16 30 uc - varável auxlar para o cálculo do CVaR Κ - lmte no CVaR do portfólo (valor requerdo pelo nvestdor) g c - retorno do portfólo no cenáro c este caso, como está se trabalhando com retornos, os snas de nequação das três prmeras restrções foram nvertdos. Assm, a varável auxlar u c assumrá valores menores que zero quando o retorno do portfólo no cenáro for menor que α (VaR do portfólo). Dessa forma, estes valores negatvos serão contablzados na equação do lado esquerdo da prmera restrção que é lmtada por um valor mínmo de K. Quanto maor o rsco assumdo (menor valor de K), menor deverá ser a méda dos (-β) % pores retornos (CVaR). Vale ressaltar que o CVaR é representado a partr de uma função convexa, permtndo a construção de algortmos de otmzação efcentes. Além dsso, o cálculo numérco do algortmo é efcente e estável (Cheng et al., 2004) Outras Meddas de Rsco a lteratura são encontrados modelos que utlzam outras meddas de rsco, além daquelas já ctadas, para avalação de nvestmento. Kono e Yamazak (99) propuseram uma medda de rsco para formulação de problemas de otmzação de portfólo de grande porte. O modelo do desvo absoluto médo (MAD) é uma alternatva à méda-varânca de Markowtz, cujo modelo de rsco lda com problemas de programação lnear quadrátca. O desvo absoluto médo é defndo como: MAD = C C c= = ( r c ) x µ (2.33) onde: C - número de cenáros utlzados na representação das ncertezas com relação aos retornos dos atvos canddatos a compor o portfólo

17 3 portfólo - número de atvos canddatos a compor o portfólo r c - retorno do -ésmo atvo canddato a compor o portfólo no cenáro c µ - valor esperado dos retornos do -ésmo atvo canddato a compor o x - fração do captal a ser aplcado no atvo canddato Aseer e Bagajewcz (2004) apresentaram alguns novos concetos e procedmentos para a gestão de rscos fnanceros. Para complementar o uso do Value at Rsk (VaR), os autores propuseram uma medda semelhante, o Upsde Potental (UP) ou Opportunty Value (OV) como meo de medr a perda de oportundade versus redução de rsco. Com o argumento de que o VaR e o UP são pontos de meddas e não representam o comportamento de toda a curva de rsco, apenas os seus valores em determnados pontos, Aseer e Bagajewcz (2004) propuseram um método que compara as áreas entre duas curvas. A razão proposta, o Rsk Area Rato (RAR), pode ser calculado como razão entre o Opportunty Area (O_Area), área fechada pelas duas curvas acma de suas nterseções, com o Rsk Area (R_Area), área fechada pelas duas curvas abaxo de suas nterseções. A equação (2.34) mostra a defnção do RAR. a Fgura (2.2), pode ser vsto um gráfco do Valor Presente Líqudo (VPL) ou et Present Value (PV) - pelo Rsco onde estão representadas as curvas de dos portfólos a serem comparados. RAR O R Area Area = (2.34) Fgura 2.2 Rsk Area Rato (Aseer and Bagajewcz, 2004)

18 32 Shadwck e Keatng (2002) apresentaram uma nova abordagem para analsar as dstrbuções de retorno de um nvestmento, a função Omega. De acordo com os autores, Omega fo desenvolvda para superar as nadequações de mutas meddas tradconas quando aplcadas a nvestmentos que não possuem dstrbução normal de retornos. Esta medda consdera todos os momentos da dstrbução, além da méda e varânca, e também leva em conta o nível de retorno contra o qual um determnado resultado será vsto como um ganho ou perda. Ela reflete a chance de ganho em relação ao rsco de perda dado um certo nível L que representa o resultado mínmo exgdo.omega é defndo como: Ω( L) = b [ F( x) dx] L L a F( x) dx (2.35) Onde x é a taxa retorno aleatóra de um período do nvestmento, F(x) = Pr {x<=y} é a dstrbução acumulada do retorno de um período, L é o lmar seleconado pelo nvestdor, e (a,b) representam os valores nferor e superor da dstrbução, respectvamente. Kazem et al. (2003) mostraram a medda Omega de forma mas ntutva, ou seja, a medda Omega de forma mas ntutva, ou seja, Omega pode ser escrta como: b ( ) x L f ( x) dx E max ( x L;0 ) L Call( L) Ω ( L) = = = L E max ( L x;0) Put( L) x f ( x) dx a ( L ) (2.36) Fazendo referênca à teora de opções, o numerador sera o payoff de uma opção de compra sem desconto e o denomnador sera o payoff de uma opção de venda sem desconto. Os autores também apresentam uma nova versão de Omega chamada Sharpe- Omega. Essa medda fornece exatamente a mesma nformação que Omega, mas

19 33 com formulação dferente. Em partcular, Sharpe-Omega de um nvestmento é dado por: Sharpe Omega = Retorno Esperado Lmar Put Opton Prce 2.4. Conclusões este capítulo foram apresentados modelos de otmzação sob ncerteza, sto é, modelos que consderam dados de entrada probablístcos. Váras técncas de modelagem foram desenvolvdas na lteratura para soluconar estes problemas. Essas técncas podem ser dvddas em programação estocátca e não estocátcas (programação fuzzy). A programação estocástca trabalha com funções de dstrbução de probabldade para modelar a ncerteza dos dados de entrada. Já a programação fuzzy consdera parâmetros aleatóros como números fuzzy e as restrções são tratadas como conjuntos fuzzy. Geralmente os modelos de otmzação sob ncerteza representam modelos de grande porte e, consequentemente, de dfícl manpulação. Junto com as estruturas de modelagem propostas na lteratura, uma varedade de algortmos fo desenvolvda e usada com sucesso em mutas aplcações (Sanhds, 2004). Os modelos de otmzação sob ncerteza trabalham com dados ncertos, mutas vezes relaconados com probabldade de ocorrênca de eventos no futuro. Dessa forma, podem exstr rscos envolvdos em dversos casos, como por exemplo, na escolha de um portfólo de atvos fnanceros. As meddas do rsco têm um papel crucal na otmzação sob a ncerteza, especalmente em ldar com as perdas que podem ser ncorrdas na área fnancera ou na aqusção de atvos para ndústra (Rockafellar e Uryasev, 2002). Exstem váras abordagens para otmzar o rsco de um portfólo de nvestmentos que são utlzadas para restrngr os modelos de otmzação de portfólo. Algumas dessas abordagens foram detalhadas ao longo deste capítulo. Incalmente foram mostrados o modelo méda varânca Markowtz e o modelo

20 34 Mnmax. Em seguda, foram apresentados os modelos que utlzam o Value-atrsk (VaR) e o Condtonal Value-at-Rsk (CVaR) como meddas de rsco. Os problemas da gerênca de rsco com VaR e CVaR podem ser classfcados na otmzação estocástca (Rockafellar e Uryasev, 2002). Vale ressaltar que restrngr o CVaR de um portfólo se caracterza como uma estratéga de gerencamento de rscos mas conservadora do que restrngr o VaR, já que as perdas a serem contablzadas são as maores ou guas ao VaR (Marzano, 2004). Rockafellar e Uryasev (2002) afrmam que o CVaR fornece facldades na otmzação, uma vez que, com as técncas de programação lneares, mutos cálculos de problemas de grande porte tornam-se prátcos, ao contráro daqueles que utlzam outras meddas, como o VaR, por exemplo. Em seu artgo, os autores lustram, através de exemplo, a efcênca e a establdade numércas de tas cálculos. A partr da análse das métrcas de rsco encontradas na lteratura, observouse que o CVaR é uma medda adequada para ser utlzada no modelo estudado nesta dssertação, devdo à sua consstênca e boas propredades matemátcas. este trabalho serão apresentadas duas abordagens para tratamento do rsco em um problema de otmzação sob ncerteza na área de petróleo e dervados: MnMax e CVaR. É mportante lembrar que a aplcação dos modelos desenvolvdos para a área econômco-fnancera à área de suprmento de petróleos e dervados não é dreta, e sm deve haver uma adaptação consderando as restrções de oferta de petróleo, demanda de dervados, lmtes operaconas entre outras.