MODELO DE SELEÇÃO DE PORTFOLIO USANDO FUNÇÃO DE UTILIDADE

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1 MODELO DE SELEÇÃO DE PORTFOLIO SDO FÇÃO DE TILIDDE Renata Patríca L. Jeronymo M. Pnto nversdade Federal da Paraíba Departamento de Estatístca João Pessoa, P rasl renata@de.ufpb.br Roberto Qurno do ascmento nversdade Federal da Paraíba Departamento de Estatístca João Pessoa, P rasl qurno@de.ufpb.br RESMO este trabalho apresentamos um modelo de seleção de portfolo usando função de utldade, onde o modelo encontrado é um modelo de programação quadrátca msta. samos a técnca de ranch and ound para obter a solução e fazemos uma aplcação para um portfolo composto de doze atvos comprados e venddos no mercado braslero comparando o resultado obtdo com a seleção de portfolo proposta por Markowtz. PLVRS-CHVE. Função tldade, Rsco, Desvo tldade Área Prncpal: Programação Matemátca, Economa e Fnanças STRCT In ths work, we present a portfolo selecton model usng a utlty functon, where the model found s a model of mxed quadratc programmng. We use the technque of ranch and ound for the soluton and make an applcaton for a portfolo composed of twelve assets bought and sold n the razlan market by comparng the result wth the portfolo selecton model proposed by Markowtz. KEYWORDS. tlty Functon, Rsk, tlty Devaton Man rea: Mathematcal Programmng, Economy and Fnance 680

2 . Introdução Rscos estão normalmente assocados a possíves perdas fnanceras ou a possbldade de não se atngr um nível de remuneração compatível com o nvestmento. elmnação total de rscos pode ser economcamente nvável ou mesmo mpossível. Por outro lado, stuações de rsco podem oferecer grandes oportundades de ganho. a área fnancera decsões referentes à alocação de recursos são encaradas em um contexto de rsco-retorno, ou seja, decsões que envolvem um maor nível de rsco só são acetas se proporconarem maores retornos. Exstem dversas abordagens de avalação de rsco unversalmente utlzadas, como: Varânca dos Retornos; Downsde rsk; rrependmento; Value at Rsk. déa de classfcação das carteras de atvos surgu com a ncorporação do rsco, que se ncou com o modelo de méda-varânca de Markowtz (952). Se o retorno esperado de uma cartera é tanto maor quanto o seu rsco, então o uso de alguma medda de rsco na avalação permte verfcar quanto do retorno proporconado pelo gestor vem do seu profssonalsmo, quanto vem da casualdade dos crtéros e quanto vem do rsco assumdo para obtê-lo. utlzação dos crtéros de méda-varânca se desenvolveu smultaneamente com o modelo tradconal Captal sset Prcng Management CPM, em 964. Treynor (966), Sharpe (966) e Jensen (968) foram poneros em reconhecer a mportânca do modelo para avalar o desempenho dos nvestmentos, através da relação retorno e rsco. O conceto do modelo tradconal está assocado ao equlíbro de forma que os nvestdores demonstram comportamento do tpo méda-varânca. Para Sharpe (964), no modelo CPM, os nvestdores escolhem seu portfolo deal maxmzando uma função utldade que depende apenas do crtéro méda-varânca do retorno do portfolo. as últmas décadas, grandes esforços foram realzados em duas vertentes na área de meddas de rsco: () crar meddas de rsco com propredades desejáves para problemas de decsões mult-período, e () encontrar formulações mas efcentes para essas meddas de forma a proporconar uma maor efcênca neste tpo de problema, que por natureza já são demasadamente complexos de serem resolvdos. Entretanto, poucos trabalhos foram realzados no sentdo de estabelecer a conexão entre teora de utldade e essas atuas meddas de rsco, como exemplo podemos ctar Leone (2004) e Leone, ascmento, Leone e Olvera (2007). Este trabalho consste em fazer uma pequena alteração no modelo proposto por Leone (2004) e soluconá-lo usando a metodologa de Programação Quadrátca Msta com o Método de ranch and ound ao nvés da técnca de Programação Geométrca Sgnomal utlzada pelo autor. O portfolo seleconado com esta metodologa será comparado com o obtdo através do Modelo de seleção de portfolo de Markowtz para uma cartera composta de doze atvos comprados e venddos no mercado braslero. O artgo está estruturado em sete seções, nclundo esta ntrodução. as três seções seguntes apresentamos o referencal teórco que nortea este trabalho; na seção 5 apresentamos o modelo desenvolvdo por Leone (2004) como também a nossa proposta para este modelo. Em seguda, tem-se a análse dos dados e as consderações fnas deste estudo. 2. Problema de Seleção de Portfolo - Modelo de Markowtz O problema de Markowtz fornece o fundamento para a teora de nvestmento para um período. O problema trata explctamente da relação entre a taxa de retorno esperada e a varânca da taxa de retorno de um portfolo. ma vez que o problema de Markowtz é formulado, ele pode ser resolvdo numercamente para obter uma solução numérca específca. 68

3 Suponha um portfolo composto por atvos,, com taxas de retorno médo r, K,, respectvamente. Deseja-se determnar a proporção de captal x, =,, que r mnmze o rsco total do portfolo: Mnmze 2 = j= Sujeto a: = = r é o retorno esperado do portfolo; e σ é a covarânca entre os retornos dos atvos j x r = r K x x j σ j x =, 0 j w e,, j =,. Este problema assume como rsco a varânca do portfolo e se resume ao caso em que temos apenas um período. O modelo garante um retorno esperado com rsco mínmo, porém não garante que todos os atvos terão retorno satsfatóro, ou seja, pode exstr algum atvo no modelo com retorno abaxo do retorno esperado. O modelo de Markowtz fo uma novação brlhante na cênca de seleção de portfolo, pos mostrou que todas as nformações necessáras para escolher o portfolo ótmo para qualquer nível de rsco determnado estão contdas em três estatístcas smples: méda, desvopadrão e correlação. 3. Função de tldade Função de utldade é a ordenação dos benefícos que estão dsponíves a uma pessoa, de acordo com a satsfação que esses lhe trarão. Em um jogo, o resultado é ncerto, desconhecdo. nformação dsponível permte apenas nferr as probabldades dos eventos favoráves e desfavoráves. a teora da probabldade, o valor esperado ou esperança matemátca fornece o lucro esperado caso seja postva, ou o prejuízo esperado caso seja negatva. Em jogos de azar, por exemplo, a esperança sempre é negatva para o jogador e postva para a banca. o jogador cabe buscar uma estratéga que torne a sua esperança de lucro a maor possível. Entretanto, pode-se dzer que exstem dferentes perfs de jogadores. ns preferem arrscar-se mas a perder se sso trouxer a possbldade de altos ganhos. Outros preferem arrscar-se menos a perder, mesmo que sso sgnfque um menor lucro. função utldade de um jogador expressa o seu perfl de aversão ao rsco. Por exemplo, quando o gerente de um banco nfere sobre o perfl de nvestdor de um clente (agressvo, arrojado ou conservador), na verdade, está sendo analsada a função utldade que caracterza esse clente como nvestdor. Quando se deseja então buscar uma estratéga de jogo otmzada que leve em conta o perfl do jogador, não se busca maxmzar a esperança dos pontos adqurdos, mas a esperança da função utldade, que é uma função dos pontos. função de utldade modela as attudes de rsco subjetvo do nvestdor ndvdual. Conseqüentemente, nvestdores ndvduas podem dferr em seu grau de aversão ao rsco. ssm, um nvestdor pode ser extremamente avesso ao rsco, enquanto que outro pode apresentar menor aversão ao rsco. s funções de utldade consttuem-se numa classe especal de funções preferencas. Segundo aron (977), as funções devem satsfazer um grupo de 682

4 axomas garantndo que o ndvíduo possa exbr um comportamento raconal e consstente. Mesmo dentro da classe de funções de utldade, uma grande varedade de formas funconas possíves estão dsponíves, cada uma com característcas dferentes. 4. Rsco baseado em tldade esta seção apresentaremos a metodologa desenvolvda por Leone (2004) para o cálculo do rsco baseado em uma função utldade parametrzada pela méda dos retornos e pelo desvopadrão do índce de mercado. Defnção : O desvo-padrão amostral (ou populaconal) de referênca é um desvopadrão amostral (ou populaconal) representatvo do mercado em que está nserda a amostra. Defnção 2: ma amostra é dta mostra Referencal Válda se:. + 6 σ > 0 2. Y 90, onde Y P ( ) % = { ; > 0, =, K n} n é o número de observações na amostra; é uma observação de ; é a méda da amostra; σ é o desvo-padrão amostral de referênca; e P Y é a probabldade assocada ao conjunto Y. ( ), Defnção 3: Função-tldade defnda em é dada por: é uma observação de ; ( ) = ρ ln é a méda da amostra referencal válda; σ é o desvo-padrão amostral de referênca; e ρ é um parâmetro postvo que depende do perfl do nvestdor, apenas quanto ao rsco. Defnção 4: Varânca-tldade é o número real dado por: VR n ( ) d, = = n n é o número de observações da amostra para as quas a função de utldade está bem defnda, sto é, as observações em que o logartmo exste; e 2 4 d(, ) = ( ) ln, e ρ = 683

5 Defnção 5: O Desvo-tldade é a raz quadrada da Varânca-tldade, ou seja, = VR Defnção 6: Covarânca tldade entre duas amostras referencas váldas e é dada por: COV (, ) = n 2 ( ) ln ( ) n 2 ln = é uma observação da amostra referencal válda ; é a méda da amostra referencal válda ; é uma observação da amostra referencal válda ; é a méda da amostra referencal válda ; σ é o desvo-padrão amostral de referênca; e n é o número de produtos bem defndos (para os quas a função utldade é defnda em ambas as amostras). Defnção 7: Correlação-tldade entre duas amostras referencas váldas e é dada por: COR (, ) = COV (, ) COV (, ) é a covarânca-utldade entre as amostras referencas váldas e ; e e são, respectvamente, os desvos-utldade das amostras referencas váldas e. 5. Modelo Proposto Consdere um portfolo consttuído de atvos,,. Sejam C o captal total dsponível para se nvestr no portfolo e o preço do atvo 0, =,. K taxa de retorno R do atvo, =, é defnda como: R = +, =, Leone (2004) propõe um modelo para a seleção de uma cartera de nvestmentos que maxmze o retorno, levando em conta o rsco e a maor aversão a desvos negatvos do que a desvos postvos, acrescdo da componente utldade. O modelo maxmza a segunte função objetvo: 684

6 C ρ 0 2 j j, = = = j 2 2 ( + R ) x ρ x + x x COR ( j) sujeto a: R Sr = x y C 0 y, b y x C0 x ; { 0,} R + R é o retorno do atvo, =, ; y, é o desvo-utldade do atvo, =, ; e COR (, j) é a correlação entre os atvos e, j ; O modelo proposto mnmza a função objetvo: ρ ρ ) = j 2 2 ( + R ) ( x y 2 x x x j jcor, j = = j sujeto a: = x b y x C0 C y, x ; { 0,} R + 0 y, Este modelo sera um problema de programação quadrátca clássco se não tvéssemos as varáves bnáras. o entanto, com a exstênca dessas varáves usaremos uma estratéga y do tpo ranch and ound para resolver este problema. 6. Resultados Computaconas O portfolo é composto por doze atvos comprados e venddos no mercado braslero e a coleta de dados fo realzada no período de 0 de mao de 2004 a 6 de mao de 2005, tendo assm um total de 256 observações para cada atvo. Para cada atvo anotou-se daramente, no período ndcado, o preço de fechamento do atvo. Para cada um dos atvos que compõe o portfolo verfcou-se que os mesmos satsfazem a condção de mostra Referencal Válda. Tabela a segur apresenta o desvo-padrão e o desvo-utldade da taxa de retorno para os doze atvos que compõem o portfolo. 685

7 Tabela Desvo-Padrão e Desvo-tldade da Taxa de Retorno tvo Desvo -Padrão Desvo-tldade Vale do Ro Doce 0, ,00273 radesco 0,0958 0,0053 mbev 0,059 0,00 Embratel 0,0374 0,04543 Petrobrás 0,0858 0,00207 Eletrobrás 0, ,06568 cesta 0, ,0053 Ipranga 0, ,0043 Itaú 0,0824 0,0024 Telemar 0,0875 0,0029 Sada 0,0989 0,00222 ombrl 0, ,05 Para o cálculo da função-utldade da defnção 3, usou-se como desvo-padrão referencal a méda dos desvos-padrões dos atvos que compõem o portfolo e ρ =. Observa-se na Tabela acma que o desvo-utldade é maor que o desvo-padrão em apenas dos dos atvos que compõem o portfolo: Embratel e Eletrobrás, sendo nos demas sempre menor. escolha dos atvos da cartera que serão seleconados tanto pelo modelo proposto como pelo modelo de Markowtz podem ser vstos na Tabela 2 a segur. Tabela 2 Seleção dos tvos que compõem o portfolo tvo Modelo de Markowtz Modelo Proposto Vale do Ro Doce - - radesco 0,078 - mbev - - Embratel 0,07 - Petrobrás - 0,546 Eletrobrás 0,40 0,00 cesta 0,47 0,6 Ipranga - 0,266 Itaú 0,025 - Telemar 0,268 0,07 Sada 0,056 - ombrl - - Observa-se a Tabela 2 acma que o Modelo de Markowtz selecona 7 (sete) dos atvos que compõem o portfolo: radesco, Embratel, Eletrobrás, cesta, Itaú, Telemar e Sada, alocando 4% do captal na Eletrobrás segudo da Telemar (26,8%) e da cesta (4,7%). Por outro lado, o modelo por nós proposto selecona apenas 5 (cnco) atvos do portfolo: Petrobrás, Eletrobrás, cesta, Ipranga e Telemar, alocando 54,6% do captal na Petrobrás segudo da Ipranga (26,6%) e da cesta (6,). Enquanto o Modelo de Markowtz coloca a Embratel com a maor partcpação no portfolo, o modelo proposto aloca apenas % do captal neste atvo. 686

8 7. blografa aron, D. P. (977), On the utlty theoretc foundatons of mean-varance analyss, Journal of Fnancal Economcs, Jensen, M. (968), The performance of Mutual Funds n the perod , Journal of Fnance, V. 23,. 2, Leone, R. J. G. (2004), Modelagem e Otmzação de um Sstema de Telecomuncação sem fo e de uma Cartera de Investmentos, Tese de doutorado em Engenhara de Sstemas e Computação, COPPE/FRJ. Leone, R. J. G., acmento, R. Q., Leone, G. G., Olvera, P. (2007), Proposta de Mensuração de Rsco baseado em tldade, Revsta Contabldade & Fnanças, Volume 8, úmero 44, Luenberger, D. G., Investment Scence, Oxford nversty Press, ew York., 998. Markowtz, H. M. (952), Portfolo Selecton, Journal of Fnance, 7 (): pages 77-9, March. Sharpe, W. F. (964), Captal sset Prces: Theory of Market Equlbrum under Condtons of Rsk, Journal of Fnance, 9, , 964. Sharpe, W. F. (966), Mutual Fund Performance, Journal of usness, 39, January, 9-38, 966. Treynor, J. (966), How to rate management nvestment funds, Harvard usness Revew, V. 43,