4. Conceitos de Risco-Retorno, diversificação e índices de desempenho de Fundos de Investimento

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1 4. Concetos de Rsco-Retorno, dversfcação e índces de desempenho de Fundos de Investmento O alto dnamsmo e a crescente sofstcação do mercado fnancero mundal fazem com que os nvestdores tenham o constante desafo de utlzarem estratégas que maxmzem a rentabldade das suas carteras de nvestmentos, mnmzando o rsco do portfolo. Através do processo de formação de carteras, é possível dlur o rsco envolvdo no nvestmento de captal e, anda assm, obter um maor retorno. Uma cartera de nvestmentos é uma combnação de atvos, como títulos públcos federas, ações, opções de dólar, commodtes, que pertence a um nvestdor, pessoa físca ou pessoa jurídca. A cartera tem como fnaldade reduzr o rsco por meo da dversfcação. Este capítulo apresenta a moderna teora de carteras, o conceto de rsco e retorno e o da dversfcação. Posterormente será apresentado o modelo Captal Asset Prcng Model (CAPM) e suas premssas, e por fm será feta uma descrção dos ndcadores de efcênca mas utlzados atualmente. 4.1 O Modelo de Markowtz: a orgem da Moderna Teora de Carteras Uma função utldade reflete a ordenação de preferênca do nvestdor além de revelar sua attude em relação ao rsco. Dado um nível de rqueza W, um nvestdor raconal avesso ao rsco tem uma função utldade estrtamente côncava e uma utldade margnal postva, ou seja, as duas prmeras dervadas da função utldade são as seguntes: U (W) > 0, para todo W U (W) < 0, para todow

2 50 O fato que o nvestdor tem uma utldade margnal postva mplca que este sempre prefere mas rqueza a menos. E como a dervada segunda da função utldade é negatva, à medda que a rqueza do nvestdor aumenta, um acréscmo de uma undade de rqueza tem utldade menor que o acréscmo anteror. Ou seja, a utldade margnal é decrescente. No problema de decsão de nvestmento, o objetvo do nvestdor é maxmzar sua função utldade. Os nvestdores se preocupam com momentos de ordem superor à varânca. Sobre as premssas que os nvestdores exbem utldade margnal postva e aversão ao rsco consstente em todos os níves de rqueza, além de estrta consstênca das preferêncas pelos momentos, os nvestdores gostam de assmetra postva e não gostam de curtose. De um modo mas geral, os nvestdores gostam dos momentos ímpares e não gostam dos momentos pares. Tradconalmente, o problema é soluconado na estrutura de méda e varânca desenvolvda por Markowtz (1952), entretanto, esta estrutura assume que ou os retornos são normalmente dstrbuídos, onde méda e varânca são sufcentes para caracterzar totalmente a dstrbução, ou a função utldade do nvestdor é quadrátca. Se a função utldade do nvestdor é quadrátca, sua utldade esperada é função apenas dos dos prmeros momentos da dstrbução. Portanto méda e varânca são sufcentes para resolver o problema de maxmzação, mesmo quando os retornos não são normalmente dstrbuídos. Entretanto, este tpo de função não faz sentdo para um nvestdor raconal, dado que a função permte utldade margnal negatva (sacedade) e mplca aversão ao rsco absoluta crescente. Na lteratura fnancera, os agentes econômcos estão sempre buscando obter o maor rendmento dos seus nvestmentos e ao mesmo tempo objetvando mnmzar o rsco da melhor manera possível. A prncpal adção aos modelos de fnanças no que dz respeto aos desenhos dos fundamentos da teora de composção de carteras deve-se aos trabalhos de Harry Markowtz na década de Em sua teora, ao consderar as correlações entre os atvos que compõem o portfolo, a decsão quanto ao que rá compor uma cartera está baseada em dos

3 51 fundamentos báscos que são conseqüênca de um processo de mnmzação de rsco: desvo padrão e valor esperado dos retornos da cartera. Varga (1999, p.1) defne bem a contrbução que Markowtz deu com a publcação do lvro Portfolo Selecton: effcent dversfcaton of nvestments: Se o retorno esperado de um atvo é tanto maor quanto seu rsco, então a nclusão de alguma medda de rsco na avalação deste permte verfcar quanto do retorno proporconado por um nvestdor vem de seu talento, quanto vem da sorte e quanto do rsco assumdo. Determnamos assm a verdadera contrbução do gestor para o retorno do fundo. Outro aspecto mportante na nclusão do rsco é a sua contrbução para a determnação da cartera ótma de um nvestdor (para nvestdores que se mportem com rsco, pos, no caso de nvestdores neutros ao rsco, basta conhecer o retorno esperado). Com sso, determnamos a contrbução do nvestdor para o retorno da cartera de ações seleconadas por ele. Os nvestdores são capazes de defnr todas as carteras ótmas, em relação ao bnômo rsco e retorno e formar assm a frontera efcente, que nada mas é do que a melhor combnação de um conjunto de atvos que tenha o maor retorno dado um nível de rsco ou com menor rsco para um determnado retorno. Os nvestdores se concentraram na seleção de uma melhor cartera na frontera efcente e gnoraram as outras consderadas nferores. Um nvestmento ou atvo com rsco domna outro quando, para o mesmo nível de retorno esperado, apresenta rsco menor ou quando, para o mesmo nível de rsco, apresenta retorno esperado maor. A fgura 2 abaxo lustra a curva onde se stuam todas as carteras dtas efcentes de atvos com rsco:

4 52 Fgura 2 Representação da Frontera Efcente: Retorno esperado B Frontera efcente A I Desvo padrão adrãopo Fonte: Samanez (2007) Pode-se vsualzar na fgura acma que é possível haver combnações abaxo da superfíce da curva (pontos A e B), como por exemplo, a combnação I, mas elas são nefcentes, pos para um mesmo nível de rsco, o retorno esperado da combnação B é superor ao da I. Em outras palavras, fxando-se o retorno esperado, a cartera de menor rsco é dta mas efcente, ou por outra ótca, ao fxar o rsco, a cartera mas efcaz é a que gera um maor retorno. Podemos perceber então que B domnará qualquer combnação stuada na porção nferor da frontera efcente. As carteras que Markowtz denomnou de carteras efcentes atendem a esses requstos de efcênca descrtos acma e estão stuadas na parte superor da curva chamada frontera efcente. O formato da frontera efcente mplca na exstênca de uma relação postva entre retorno e rsco; portanto, para obter maor retorno, o nvestdor terá necessaramente que ncorrer em maor rsco. 4.2 O Conceto de Rsco e Retorno em Carteras Como fo dto acma, a grande contrbução de Markowtz em sua teora de seleção de portfolos fo a de que esta levasse em consderação a relação de dependênca exstente entre os atvos, que é conhecda como correlação. Ao se formar uma cartera, deve-se ter em mente que o rsco não é smplesmente a soma ndvdual dos rscos, e sm da proporção com que esse partcpa frente aos outros atvos e como menconado, do grau de correlação entre os retornos.

5 53 Ao se consderar um unverso de N atvos. O retorno observado destes atvos é uma méda ponderada dos retornos observados (R ) dos atvos ndvduas. Seja X o peso aplcado a cada retorno correspondente a fração do valor da cartera aplcada naquele atvo: R c = N X = 1. R... (1) O valor esperado da cartera é o valor esperado da equação acma: N R c = E( X = 1. R ) = N X = 1. E(R ) = N X = 1. R... (2) A varânca de uma cartera de N atvos é a expectânca dos quadrados dos retornos observados em torno do retorno esperado: σ 2 = E ( R c c - R c ) 2 N = E ( X = 1. R - N X = 1. R ) 2... (3) σ 2 c = E ( N R = 1 R ). X ) 2... (4) σ 2 N 2 = c X σ 2 N N + = 1 = 1 j= 1 j X X j σ, j... (5); c.q.d. O rsco da cartera teórca acma leva em consderação os rscos de todos os atvos, tratados de forma ndvdual e ponderados pela relação exstente entre eles (covarânca) e pela partcpação de cada atvo na cartera. A covarânca representa uma medda de relação lnear entre dos atvos, ou de outra forma, a medda de dependênca lnear entre duas varáves aleatóras. Essa covarânca nada mas é do que o valor esperado do produto de dos desvos: os desvos dos retornos dos atvos e j em relação a seus retornos esperados, medndo dessa forma como os retornos dos atvos varam em conjunto.

6 54 Ao se dvdr a covarânca pelo produto dos desvos padrão dos dos atvos e j obtém-se uma medda estatístca denomnada coefcente de correlação, o qual possu as mesmas meddas da covarânca, stuado no ntervalo de -1 a +1. Onde: ρ, j = Cov,j. ( σ j. σ ) (6) Cov,j = covarâca entre as taxas de retorno do atvo e do atvo j. σ j = desvo-padrão da taxa de retorno do atvo j. σ = desvo-padrão da taxa de retorno do atvo. ρ, j = coefcente de correlação entre as taxas de retorno do atvo e do atvo j. Desta forma a determnação do coefcente de correlação nos possblta auferr as possbldades acerca da covarânca: Se -1 < ρ < 0, sto é, a covarânca é negatva, os atvos movem-se em dreções contráras. Neste caso os desvos postvos e negatvos ocorrem em momentos dferentes; Se ρ = 0, a covarânca é nula, os atvos são dtos ndependentes, ou seja, os desvos postvos e negatvos não estão correlaconados; e Se o < ρ < 1, a covarânca é postva, e os atvos movem-se na mesma dreção. Neste caso, os atvos apresentam desvos postvos e negatvos nos mesmos momentos. Destaca-se que a dvsão da covarânca pelo produto dos desvos padrão não modfca as propredades do coefcente de correlação, somente a normalza para que assuma valores compreenddos entre o ntervalo de -1 a Dversfcação de Carteras O rsco na manutenção de um atvo é composto por duas partes: um rsco não sstemátco, dversfcável e um rsco sstemátco, não dversfcável,

7 55 conhecdo também como Rsco de Mercado. O rsco total nada mas é do que o somatóro destes dos rscos, conforme mostrado na fgura 3: Fgura 3 Dversfcação: Rsco de Mercado e Rsco Dversfcável Rsco Rsco σ 2 dversfcável Fonte: Samanez (2007) σ, j Rsco de mercado Número de atvos da cartera O rsco não sstemátco é um rsco específco a um determnado atvo, sendo assm ndependente de fatores externos. Este tpo de rsco pode ser elmnado ou atenuado através de uma adequada dversfcação, se a cartera for efcente. Este tpo de rsco está assocado a fatos como alterações ou problemas de gestão da empresa (problemas operaconas de uma empresa específca), alterações nos padrões de consumo relatvos aos produtos da empresa, alterações de legslações no que dz respeto a um segmento exclusvo, entre outros. Samanez (2007, p.189) defne da segunte forma: O rsco de uma cartera bem dversfcada depende apenas do rsco de mercado dos atvos que nela estão ncluídos. Esse é um dos prncípos fundamentas de fnanças, o prncípo de dversfcação, que mostra como elmnar o rsco não correlaconado aos movmentos geras do mercado. O rsco sstemátco ocorre devdo ao rsco relaconado com o mercado como um todo englobando aspectos polítcos, socas ou econômcos como, por exemplo, alterações nas taxas de juros, mudanças nas alíquotas dos mpostos, sejam estes do mundo, do país ou apenas para um setor específco, e não é possível reduz-lo ou cobr-lo através da dversfcação da catera.

8 56 Este rsco é representado pelo coefcente beta ( β ), que por decorrer da covarânca do atvo com o mercado não é dversfcável, e reflete o grau de sensbldade do título ao rsco da economa de forma geral. Vsto de uma outra forma, é a tendênca de uma ação ndvdual varar em conjunto com o mercado, onde estatstcamente é meddo através da covarânca do retorno de um título tomado de forma ndvdual com o da cartera que representa o mercado. O beta de um atvo também chamado de índce de rsco sstemátco pode ser vsto abaxo: Cov( R m, R ) β = σ 2 m... (7) Onde, Cov R m, R ) = Covarânca entre o retorno do atvo e a cartera de mercado. ( σ m 2 = Varânca dos retornos da cartera de mercado. O beta de uma cartera ou de um atvo específco nos mostra o seu comportamento em relação ao mercado, sendo classfcado da segunte manera:. Defensvo - β < 1. Nesse caso os retornos desse atvo ou da cartera têm uma varação menor que a varação sofrda pelo mercado, ou seja, a cartera de mercado é mas arrscada que a cartera de atvos;. Agressvo - β > 1. Já nesse caso os retornos do atvo ou da cartera sofrem uma varação maor que a sofrda pelo mercado. Vsto de outra forma, atvos que possuem essa característca têm um rsco maor se compararmos com o rsco de mercado. Se o mercado está em alta (bullsh), o retorno da cartera de atvos é maor que a cartera de mercado e, se o mercado está em baxa (bearsh), o retorno do mercado é superor à cartera de atvos;

9 57. Neutro - β = 1. Aqu há uma correlação dta perfeta do mercado com a cartera ou do atvo em que se está analsando, ou seja, a cartera de atvos tem o mesmo rsco que a cartera de mercado; e v. β < 0. Nesse últmo caso os retornos do atvo ou da cartera varam nversamente com os retornos do mercado. 4.4 O Modelo de Avalação de Atvos de Captal (CAPM) A Hpótese da Efcênca dos Mercados juntamente com o modelo de precfcação dos atvos fnanceros CAPM são o plar da moderna teora de fnanças. Samanez (2007, p. 224) em seu lvro denomnado Gestão de Investmentos e Geração de Valor faz uma descrção do processo de formação do modelo de formação de preços de atvos com rsco: A dfculdade em se estabelecer crtéros específcos de ajuste para dferentes níves de exposção ao rsco retardou a formalzação adequada dos prncípos de avalação de títulos e projetos de nvestmento, até o desenvolvmento, por Sharpe, Lntner e Mossn, do modelo de Equlíbro de mercado conhecdo como CAPM. Ao se afrmar que um mercado é efcente, se parte do pressuposto que não há assmetra de nformação, ou seja, todas as nformações dsponíves na economa estão refletdas gualmente nos preços dos atvos e esses preços se ajustam no mesmo momento a qualquer nova nformação. Dessa forma, pode-se dzer que a compra ou venda de atvos em um mercado de captas efcente pelo preço vgente nunca terá valor presente líqudo postvo. O CAPM é um modelo expectaconal (valores esperados), em que o retorno esperado do atvo é dvddo em duas partes dstntas, a saber: Retorno Esperado = Taxa lvre de Rsco + Prêmo de Rsco O prmero termo que é o retorno de uma taxa lvre de rsco representa o preço pelo tempo, que pode ser entenddo também como a compensação que o nvestdor tem ao postergar o consumo em favor do nvestmento. O segundo termo é o prêmo de rsco de mercado que representa o retorno adconal exgda

10 58 pelo nvestdor para compensar a undade de rsco suplementar assumda pelo mesmo. Pode ser entenddo como a dferença entre os retornos de mercado e da taxa rsk free (lvre de rsco) que é multplcada pela covarânca entre os retornos do atvo e do mercado, dvddo pela varânca dos retornos do mercado. A dferença entre o modelo de Markowtz e o CAPM se dá quanto à consttução da frontera efcente, uma vez que o prmero se utlza do desvopadrão dos títulos com rsco e das correlações entre os pares de retornos esperados dos títulos com rsco. A smplcdade do modelo CAPM quanto ao prêmo de rsco o dstngue dos demas modelos e com sso ele passou a ser amplamente utlzado no mercado fnancero mundal para mensurar o custo de captal das empresas. Premssas Báscas do CAPM O modelo é baseado nos seguntes pressupostos báscos:. Os nvestdores são avessos ao rsco e maxmzam a utldade esperada;. Os nvestdores possuem expectatvas homogêneas acerca do retorno dos atvos (prêmos) e rscos dos atvos;. Os mercados são perfetos: o nvestdor é um tomador de preços e dessa forma é ncapaz de nfluencar as cotações dos títulos e não há custos de transação tanto na obtenção das nformações quanto nas transações; v. Os nvestdores possuem retornos líqudos dêntcos, possundo as mesmas taxações e custos operaconas; v. Exste um atvo lvre de rsco tal que os nvestdores podem emprestar ou tomar emprestado quantas lmtadas a uma mesma taxa de juros lvre de rsco;

11 59 v. Não exste lmte para empréstmos, restrções de revenda em curto prazo e lmte superor para a compra de ações; v. O únco rsco que os nvestdores ncorrem é o rsco sstemátco; e v. O horzonte de tempo é dêntco para todos os nvestdores; O CAPM pode ser defndo como a relação lnear exstente entre o rsco sstemátco de um atvo ( β ) e sua taxa de retorno esperada E(R), e assm, um nvestdor possurá um certo atvo se o retorno esperado proporconar uma compensação pelo nível de rsco ncorrdo. O modelo pode ser representado da segunte manera: E(R ) = R f + [E(R m -R f )] β... (8) Onde: E(R ) = Retorno esperado do Atvo ; R f = Retorno do atvo lvre de rsco; [E(R m -R f )] = Prêmo de Rsco de Mercado; β = Rsco Sstemátco do Atvo, sto é, a volatldade dos retornos do atvo em relação ao índce de mercado. Elton e Grubber (1991) menconam que a equação do CAPM estabelece que a taxa de retorno esperada de um atvo é gual à taxa lvre de rsco mas um prêmo de rsco. Samanez (2007) dz que o prêmo de rsco é o retorno adconal exgdo pelos nvestdores para compensar o rsco adconal assumdo, e é função de duas varáves: o beta, que mede a contrbução ncremental de certo atvo para o rsco da cartera dversfcada e a dferença entre o retorno esperado da cartera e a taxa lvre de rsco. A taxa lvre de rsco pode ser entendda como o retorno esperado dos atvos sem rsco. É váldo destacar a fundamental mportânca do beta quanto ao apreçamento de atvos, pos ndca a sensbldade dos retornos do atvo a varações na rentabldade da cartera. Pode ser vsto matematcamente da segunte manera:

12 60 cov( R, Rm) = var( Rm) σ, β = 2 σ m m... (9) O beta de uma empresa é determnado tanto pelo rsco de negócos quanto pelo rsco fnancero. O prmero está relaconado ao rsco operaconal da empresa e o segundo à alavancagem fnancera, meddo pelo seu índce de endvdamento. Partndo do pressuposto que o mercado está sempre em equlíbro, a relação medda pelo beta entre o rsco sstemátco de um atvo e sua taxa de retorno esperada será lnear, e esta frontera efcente lnear do CAPM é conhecda como Captal Market Lne ou Lnha de Mercado de Captas (LMC), podendo ser vsualzada na fgura 4: Fgura 4 Lnha de Mercado de Captas Fonte: Samanez (2007) O equlíbro no mercado de captas é dvddo em dos parâmetros conforme vsto na fgura acma. O ntercepto vertcal que nada mas é do que a taxa lvre de rsco e o coefcente angular da LMC (beta), que dz que quanto maor o beta, maor o rsco envolvdo, necesstando por sua vez de um maor retorno requerdo pelo nvestdor. A nclnação da LMC é gual ao prêmo por rsco de mercado, ou seja, a recompensa por assumr uma quantdade méda de rsco sstemátco. Qualquer atvo stuado fora da LMC estará em desequlíbro. Se esse atvo estver localzado acma estará subvalorado, e todos os agentes econômcos ao perceberem que o retorno desse atvo é superor aos outros, dado o nível de rsco sstemátco, automatcamente desejarão comprar esse atvo. Seu preço se elevará

13 61 reduzndo sua taxa de retorno e assm voltará ao equlíbro. O mesmo ocorre com atvos stuados abaxo da LMC, mas o racocíno é exatamente o oposto do descrto para atvos que possuem retornos superores aos outros para o mesmo nível de rsco sstemátco. A grande contrbução de Sharpe ao desenvolver este modelo específco é a de que ele é váldo tanto para as carteras de atvos quanto para atvos ndvduas. Isso não sgnfca que o referdo índce, ao ser sustentado por números pressupostos que mutas vezes não se adéquam a nossa realdade não possa ser utlzado. Black, Jensen e Scholes em 1972 realzaram testes empírcos ao analsar as ações negocadas na Bolsa de Nova Iorque (NYSE) entre 1960 e Black, Jensen e Scholes nesse mesmo ano de 72 também testaram a relação rsco-retorno das ações da NYSE entre 1931 e O própro Sharpe observou que sua teora é bastante lmtada, porém ressaltou que as hpóteses eram acetáves dadas suas mportantes aplcações. 4.5 Análse de Performance de Carteras Ao se calcular o retorno e o rsco de uma cartera de atvos pode-se aprofundar a análse e ncar a apresentação de alguns ndcadores de desempenho (performance). O prmero desses ndcadores será o Índce de Sharpe. Posterormente serão apresentados os Índces de Treynor, Sortno, Alfa de Jensen e fnalmente a Medda Ômega. Índce de Sharpe (IS) Este é um dos índces mas conhecdos tanto pelos nvestdores quanto para os membros da academa, e tem sdo objeto constante de uso por estes agentes na avalação de fundos de nvestmento. O índce em questão utlza a Captal Market Lne (CML) como padrão de comparação. Este índce, formulado ncalmente por Wllam Sharpe em 1966, é obtdo através da razão entre o prêmo de rsco e o rsco total da cartera. O Índce de Sharpe se enquadra de manera perfeta na teora de seleção de carteras, onde se constroem pontos na lnha de mercado de captas, que nada mas são do que as

14 62 carteras ótmas. Este índce como ldo, utlza a CML como padrão de comparação. Essa lnha está lgada dretamente ao modelo de Markowtz de seleção de carteras, em que o rsco é mensurado pelo desvo padrão e a partr dos retornos e dos rscos, se chega à lnha de frontera efcente. É mportante destacar que nessa frontera efcente se consegue mnmzar o rsco dado um nível de retorno, e dado um nível de rsco consegue-se maxmzar o retorno. O prêmo de rsco é a dferença entre a expectânca do retorno da cartera e a rentabldade dos atvos lvre de rsco. A fórmula é defnda da segunte manera: IS = Prêmo de Rsco = R - Rf... (10) Rsco Total σ Onde: R = Retorno Médo Esperado Rf = Retorno dos Atvos Lvre de Rsco σ = Desvo Padrão dos retornos de Este índce, que derva da teora de seleção de carteras, mede portanto o excesso de retorno por undade de rsco de uma cartera hpotétca. A teora da méda varânca de Markowtz fornece a composção da cartera ótma com relação ao rsco e retorno. O Índce de Sharpe sumarza, portanto, o retorno e o rsco de uma cartera em uma únca medda que nos dá o desempenho do fundo ajustado ao rsco. Quanto maor for o IS, maor é a efcênca da cartera, e assm categorza o desempenho do fundo ajustado ao seu rsco. Também é conhecdo como Rewardto-Varablty ou Recompensa pela Varabldade. É mportante ressaltar que o Índce de Sharpe merece cudado ao ser utlzado pos pode resultar em retornos negatvos no que dz respeto ao prêmo de rsco. Esse caso ocorrerá sempre que o retorno do atvo em questão for nferor ao retorno do atvo lvre de rsco que se está comparando, conforme a equação acma. Esse fato do ponto de vsta da moderna teora de fnanças é no mínmo sem

15 63 sentdo, já que o nvestdor pelo modelo tem sempre a possbldade de nvestr na taxa lvre de rsco. Pensando nesse fato, fo crado o Índce de Sharpe Modfcado, que coloca os índces em um rankng de forma ordenada mesmo que não evte os retornos negatvos. Desse modo, esse método alternatvo mostra que quanto menor o índce, mas exposção ao rsco, valendo o mesmo para o caso contráro onde quanto maor o índce menos rsco se corre: ISM = σ RD RD Abs(RD)... (11) Onde: RD = Retorno Dferencal =Retorno do Atvo (ou fundo) Retorno do Benchmark σ = desvo-padrão do atvo (rsco) Abs (RD) = Valor Absoluto do Retorno Dferencal Índce de Treynor (IT) A dferença exstente entre este ndcador de desempenho e o Índce de Sharpe é a de que o prmero utlza o desvo-padrão ou rsco total como medda de rsco enquanto o Índce de Treynor utlza o rsco sstemátco ( β da cartera), ao consderar que os nvestdores detêm um conjunto dversfcado de atvos. É também uma medda de excesso de retorno em relação ao rsco sstemátco e a sua utlzação é bem útl quando a cartera do nvestdor é uma das númeras carteras ncluídas dentro de um grande fundo, conforme a fórmula abaxo: IT = Prêmo de Rsco = R - Rf...(12) Rsco Sstemátco β

16 64 Onde: R = Retorno Médo Esperado Rf = Retorno dos Atvos Lvre de Rsco β = Rsco Sstemátco em Relação a um benchmark (Ibovespa por exemplo) Duarte Júnor (2005) destaca que a utlzação da Razão de Treynor requer uma cudadosa estmação dos betas dos fundos de nvestmento escolhdos ou uma base de dados confável para esses betas. O autor ctado mencona em seu lvro, Gestão de Rscos para Fundos de Investmentos, a dfculdade em se estmar precsamente esses betas em dversos trabalhos acadêmcos. Sharpe (1966) dz que pelo fato do Índce de Treynor não capturar a porção de varabldade relatva à falta de dversfcação, ele é uma medda nferor no que dz respeto ao desempenho passado, mas superor quando se trata de prevsão quanto ao desempenho futuro. Esse fato decorre porque qualquer dstorção entre a varabldade dos retornos e a porção relatva a movmentos do mercado pode ser consderada como transtóra, desde que os fundos sejam bem dversfcados. Assm, ao se procurar prever o desempenho futuro se mostra mas nteressante focar na parte sstemátca da varabldade dos retornos do fundo, pos é uma relação mas permanente, dexando de lado os efetos transtóros. Duarte Júnor (2005) também mencona que tanto a Razão de Sharpe quanto a de Treynor dão usualmente ordenações bastante smlares no que dz respeto à sua aplcabldade em um mesmo conjunto de fundos de nvestmentos, não sendo válda essa aplcabldade ao se realzar a Razão de Sortno, que será ctada a segur. Índce de Sortno (ISor) Sortno (1994), dz que o Índce que leva seu nome dfere do Índce de Sharpe, pos leva em consderação no cálculo da varânca somente as perdas fnanceras que são defndas a partr do chamado Retorno Mínmo Acetável (RMA), englobando assm um novo conceto denomnado Downsde Rsk (DR), que é exposto abaxo:

17 65 DR = m = 1 mn [ 0;( r RMA) ] m 2... (13) Nesse índce, m é o número de observações realzadas em ntervalos de tempo guas para o retorno r da cartera analsada. A partr do conceto de Downsde Rsk, chega-se ao ISor, que mede o rsco de não se consegur atngr o ganho em relação a uma meta estabelecda (RMA). A vantagem de se utlzar esse índce está no fato de que na estmação do rsco consdera apenas as perdas, que são meddas em função do RMA: ISor = [ r ] E p RMA DR... (14) Onde: E [ r p ] = Retorno Esperado do Portfolo Duarte Júnor (2005) dz que uma comparação entre a razão de Sharpe e a Razão de Sortno depende bascamente de como o RMA fo seleconado. Outro ponto mportante destacado pelo autor ctado no parágrafo acma dz respeto ao entendmento dessa medda de efcênca. Como tal efcênca depende exclusvamente do RMA estpulado pelo gestor do fundo de nvestmento, a Razão de Sortno é uma medda de efcênca de mas fácl acetação e compreensão por parte dos analstas técncos. Índce de Jensen Este índce fo desenvolvdo por Jensen (1968) e se baseou nas mplcações do CAPM. Essa medda é dada pela dferença entre a taxa de retorno méda da cartera e o retorno médo encontrado no CAPM, ou de outra manera, mede a dferença entre o retorno prevsto do mercado e o retorno médo da cartera.

18 66 Nesse caso, o modelo mostra que, se um gestor tvesse a capacdade de prever os preços dos atvos analsados, as carteras que fossem formadas apresentaram desempenho superor ao esperado pelo CAPM. Jensen também buscou defnr uma medda que fosse absoluta, onde fosse possível dzer que um fundo é melhor que o outro como também se um fundo possu um desempenho nferor ou superor em relação a um benchmark. Ao assumr que os retornos de um fundo de nvestmento podem ser explcados pelo CAPM, tem-se que: E (R ) = R f + [ E (R m ) R f ] β + E... (15) Onde: E (R ) = Retorno Esperado do Atvo ; R f = Retorno do Atvo Lvre de Rsco; E (R m ) = Retorno esperado da cartera de mercado; β = Rsco Sstemátco do atvo ; E = Erro resdual Ao subtrar R f de ambos os lados tem-se: E (R ) R f = [ E (R m ) R f ] β + E... (16) Jensen dz que se um gestor consegur prever corretamente o comportamento do mercado, ele deve adqurr os atvos com β <1 quando o mercado estver em queda e β > 1 quando o mercado estver em alta. Se sso for verdade, ou seja, se o admnstrador consegur prever acertadamente as osclações, deve-se consderar a exstênca de uma constante dferente de zero na equação de Jensen, que reescrta fca da segunte manera: E (R ) R f = [ E (R m ) R f ] β + [ α + E ]... (17) Partdo do pressuposto que E tem valor esperado zero, resta o termo α, que nada mas é do que o retorno adconal da cartera não afetado pelas osclações do

19 67 mercado. Sendo assm, quando o retorno do mercado for zero, α é gual ao retorno adconal (acma do retorno da renda fxa) do fundo. Outra manera de nterpretar este índce é que caso o gestor esteja agndo corretamente, sto é, comprando nos momentos de baxa e vendendo nos pcos de alta, o α será postvo. Se o α for negatvo, dz-se que o gestor não está prevendo corretamente os movmentos de mercado. Medda Ômega (Ω) Esta seção apresenta uma abordagem concetual sobre a Medda Ômega, a qual é uma proposta relatvamente nova e com poucos estudos para aplcação em composção de carteras. A metodologa da medda em questão é de fácl mplementação e adaptável a qualquer tpo de cartera de atvos. Prmero, uma breve ntrodução sobre o conceto de efcênca. Posterormente, será dscutda a sua aplcabldade por meo da exposção das vantagens e desvantagens da medda Ômega. Na lteratura fnancera, é bem conhecdo o fato de que os nvestdores sempre desejam obter o maor rendmento nos seus nvestmentos, procurando mnmzar quanto for possível o rsco envolvdo. Markowtz (1952) fo quem desenhou os fundamentos da teora de composção de carteras de nvestmentos. De acordo com sua teora, os nvestdores podem determnar todas as carteras ótmas, no sentdo rsco e retorno, e formar a frontera efcente. A frontera efcente pode ser descrta como o melhor conjunto possível de carteras, sto é, todas as carteras têm o mínmo nível de rsco para um dado nível de retorno. Os nvestdores se concentraram na seleção de uma melhor cartera na frontera efcente e dexaram de lado as demas consderadas nferores. Embora a teora clássca de Markowtz (1952) seja consderada de fácl aplcação e efcente na composção dos atvos da cartera, as complcações aparecem quando os atvos apresentam dstrbuções dos retornos notoramente não normas, o que não é contemplado nas premssas báscas do modelo de Markowtz (1952). Recentemente, dversos autores propuseram meddas de rsco-retorno (conhecdas também como meddas de performance) mas consstentes com a

20 68 dstrbução esperada de ganhos observadas na prátca, sto é, dstrbuções não normas. Entre elas, a medda Ômega (Ω), apresentada por Keatng e Shadwck (2002), leva em conta todo o formato da dstrbução de retornos do atvo para avalar seu rsco. Devdo às crítcas referentes à abordagem de méda-varânca proposta por Markowtz (1952), a qual se basea na hpótese da normaldade da dstrbução dos ganhos, Keatng e Shadwck (2002) apresentam a medda unversal de performance denomnada de Ômega (Ω). A maora dos ndcadores de performance consdera duas mportantes smplfcações: 1) A méda e a varânca descrevem completamente a dstrbução de retornos, uma vez que a dstrbução dos retornos é consderada normal. 2) As característcas do rsco-retorno de uma cartera podem ser descrtas sem precsar fazer referênca a nenhum nível de retorno além da méda dos retornos. Estas smplfcações são váldas se é assumda uma dstrbução normal dos retornos, mas é geralmente aceto o fato empírco de que os retornos de atvos não possuem uma dstrbução normal. A medda Ômega (Ω) consegue ncorporar todos os momentos da dstrbução, de tal modo que resulta uma medda ntutvamente atratva e faclmente computável. Ao nvés de estmar dos momentos ndvduas, Ômega mede o mpacto total da dstrbução. Para defnr a função Ômega (Ω), prmeramente deve-se defnr exogenamente o retorno lmte (L) ou o RMA (retorno mínmo acetável). Este dvde a dstrbução de probabldades de retornos em duas áreas: a área de ganhos, e a área de perdas. Este lmte vara de um ndvíduo para outro. Na Fgura 5 se lustra um exemplo de uma dstrbução de retornos de um atvo, com L = 1,4.

21 69 Fgura 5 - Dstrbução de probabldade de retornos com um lmte L=1,4 0,25 L=1,4 0,2 0,15 0,1 0,05 0-0,2 0 0,3 0,7 0,9 1,4 1,7 1,9 2,4 2,9 Prob 0,03 0,06 0,13 0,18 0,22 0,15 0,1 0,07 0,04 0,02 Fonte: Keatng e Shadwck (2002) Calcula-se a medda Ômega (Ω), através da dstrbução da função cumulatva, exbdo na Fgura 6. Os ganhos (g ) e as perdas (l ) podem ocorrer com alguma probabldade nas áreas consderadas de ganho (r >L) ou de perda (r <L). Fgura 6 Função densdade de probabldade acumulada dos retornos 1 0,9 g3=0,5 g4=0,5 0,8 g2=0,2 0,7 0,6 l 5=0,6 g1=0,3 0,5 l 4=0,2 0,4 0,3 l 3=0,4 0,2 0,1 l 1=0,2 l 2=0,3 0-0,2 0 0,3 0,7 0,9 1,4 1,7 1,9 2,4 2,9 Fonte: Keatng e Shadwck (2002)

22 70 perdas. Reduzndo os ntervalos entre retornos refna-se a estmatva de ganhos e De acordo com a Fgura 6, o ganho total ponderado sera calculado: r>=l g = r +1 -r [1-F(r)] g*[1-f(r)] 1,4 0,3 0,23 0,069 1,7 0,2 0,13 0,026 1,9 0,5 0,06 0,03 2,4 0,5 0,02 0,01 2,9 Ganho Ponderado = g *F(r ) = 0,135 e, a perda total ponderada sera: r<l l = r +1 -r F(r) l*f(r) -0,2 0,2 0,03 0, ,3 0,09 0,027 0,3 0,4 0,22 0,088 0,7 0,2 0,4 0,08 0,9 0,5 0,62 0,31 1,4 Perda Ponderada = l *F(r )= 0,511 Assm, Ω = 0,135 / 0,511 = 0,2642. Quando a dstrbução de probabldades dexa de ser dscreta, sto é, uma função de densdade contínua, a forma que toma a Fgura 6 no lmte, quando os ntervalos se tornam cada vez menores, é exbda na Fgura 7.

23 71 Fgura 7 Função densdade de probabldade acumulada contínua Fonte: Keatng e Shadwck (2002) O lmte quando a undade de ganhos e perdas tende a zero. A taxa da área superor dvdda pela área nferor sera a medda Ω (L=1,4). Consderando o caso de uma função de densdade contínua, defne-se: (a,b) = Os lmtes nferor e superor, respectvamente, da faxa de retornos da dstrbução. Na maora das vezes, a = - e b=. I 2 (L) = A méda ponderada de ganhos acma de um nível L (área superor da Fgura 7). I 1 (L) = A méda ponderada de perdas abaxo de um nível L (área nferor da Fgura 7). Assm, a medda de performance Ω na sua forma contínua se defne através da Equação (18): Ω(L) [ ] onde: F = função de dstrbução cumulatva dos ganhos, L = nível mínmo requerdo de ganhos, a = retorno mínmo, b = retorno máxmo. I b 1 F(x) dx L =,...(18) F(x) 2 = L I1 a

24 72 A função Ω(L) permte comparar retornos de dferentes atvos e classfcálos em relação à magntude dos seus Ômegas. Um Ω(L)=1, ndcará que os ganhos ponderados gualam às perdas ponderadas. Será desejável sempre um Ω(L)>1. Kazem, Schneewes e Gupta (2003) apresentam a medda Ômega de forma mas ntutva, demonstrando que a Equação (1) pode ser escrta como uma dvsão de dos valores esperados. Na Equação (19), o numerador é o valor esperado do excesso de ganho (x-l) condconal a resultados postvos, ou também conhecdo como Expected Chance (EC), e, o denomnador é o valor esperado da perda (L-x) condconal a resultados negatvos, chamado também de Expected Shortfall (ES). Ω(L) = b b [ 1 F(x) ] dx (x - L)f(x)dx L L E[ Max(x L; 0) ] = = = L L F(x)dx (L - x)f(x)dx E[ Max(L- x; 0) ] ES(L) a a EC(L)...(19) Na últma década, as meddas de performance tradconas, ctadas neste capítulo, que partem da hpótese de normaldade dos retornos, têm sofrdo uma sére de crítcas na lteratura por não levar em consderação todos os momentos da dstrbução de ganhos. Segundo Guterrez Castro (2008), as hpóteses adotadas, como o fato de méda e varânca descreverem como um todo a dstrbução de probabldade e a de que as característcas do rsco e retorno de uma cartera podem ser descrtas sem precsar realzar referênca a nenhum nível de retorno além da méda dos retornos, não é sufcente para analsar de forma completa o real comportamento dos atvos no cotdano. A necessdade de ncorporar nessas meddas de performance nformações que vão além do cálculo de tas meddas estatístcas, levaram Keatng e Shadwck ao desenvolvmento de uma técnca em 2002, denomnada medda Ômega (Ω). A hpótese de normaldade assumda nos índces tradconas, como o Índce de Treynor (1965), Índce de Sharpe (1966) e Jensen (1968), gera como conseqüênca que o retorno esperado de uma cartera é tanto maor quanto seu rsco sstemátco segundo uma forma lnear. (Guterrez Castro, 2008). A capacdade de ldar com o alto dnamsmo do mercado fnancero mundal, onde gestores têm a necessdade de tomar decsões em um curto espaço

25 73 de tempo, requer modelos que levem em consderação os momentos de ordem superor na mensuração de meddas de performance. Ao levar em consderação o formato do comportamento da dstrbução de retorno dos atvos que compõem a cartera, os tomadores de decsão conseguem avalá-los com mas exatdão. Ao observar a fgura 8, retrada do trabalho de Guterrez e Castro (2008), as duas dstrbuções seram equvalentes do ponto de vsta dos ndcadores clásscos, pos possuem médas e desvos-padrão guas. Por outro lado, ao analsar os momentos de ordem superor como curtose e assmetra elas não são smlares, e dessa forma, a utlzação da medda Ômega tera vtal mportânca: Fgura 8 Dstrbuções com Varânca e Méda guas Fonte: Adaptado de Guterrez Castro (2008) Pode-se dzer então, que o objetvo é obter um índce Ω (r) > 1, já que a gualdade nos dz que perdas ponderadas e ganhos ponderados se gualam. Por fm pode-se afrmar que dentre as meddas de performance ctadas nesse trabalho, a medda Ω é a mas correta do ponto de vsta da análse de rsco, para os retornos dos nvestmentos que não apresentam uma normaldade de dstrbuções de ganhos e perdas.