METAHEURÍSTICA GRASP BI- OBJETIVO PARA UM PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES

Transcrição

1 METAHEURÍSTICA GRASP BI- OBJETIVO PARA UM PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES WELTON DE SOUZA RIBEIRO (UFV) JOSE ELIAS CLAUDIO ARROYO (UFV) Neste artgo é abordado um problema NP-Dfícl de localzação de facldades onde são otmzados dos objetvos ou crtéros: mnmzação de custos e maxmzação da cobertura de atendmento. O método utlzado para resolver o problema é basseado na heurístca de busca GRASP que, além das fases construtva e busca local, possu uma fase de ntensfcação baseada da técnca Path Relnkng. O desempenho da heurístca proposta é avalado em problemas testes de médo porte e os resultados obtdos são comparados com resultados ótmos gerados por um método de enumeração completa. Palavras-chaves: Heurístcas, GRASP, Localzação de Facldades, Otmzação Multobjetvo

2 1. Introdução Os Problemas de Localzação de Facldades (PLF) consstem em determnar/localzar um subconjunto de locas, a partr de um conjunto de m locas canddatos, para a nstalação/alocação de facldades que atendam às demandas de n clentes e otmzando um ou mas crtéros. O termo facldades é utlzado para desgnar postos de saúde, depóstos, escolas, fábrcas, antenas etc., enquanto clentes referem-se a barros, undades de vendas, estudantes etc. Localzar ou alocar facldades é uma mportante decsão estratégca a ser tomada por organzações prvadas ou públcas (OWEN & DASKIN, 1998). Na sua forma mas geral, o problema de localzação de facldades consste na escolha de locas para nstalar certo número de facldades (servdores) que atendam um conjunto de clentes (pontos de demanda) dstrbuídos em um espaço geográfco, e determnar a alocação dos clentes entre as facldades. Um dos problemas de localzação de facldades abordados na lteratura é o problema da máxma cobertura (CHURCH & REVELLE, 1974; GALVÃO & REVELLE, 1996; GALVÃO et al., 2000) que tem como objetvo localzar um número de facldades de modo que seja coberta ou atendda o máxmo número de clentes. Um clente é consderado coberto ou atenddo se ele está dentro da dstânca de servço (dstânca de recobrmento) de pelo menos uma facldade. Outro problema bastante estudado é o problema das p-medanas, que consste em localzar p facldades (medanas) de forma a mnmzar a soma das dstâncas de cada clente à sua facldade mas próxma (REVELLE & SWAIN, 1970; MLADENOVIC et al., 2007). Os problemas de localzação de facldades podem ser capactados ou não, sto é, cada facldade pode atender um número máxmo de clente (CORNUÉJOLS et. al, 1990; ZHANG et al. 2005). Os problemas de localzação de facldades são consderados problemas NP-dfícl (GAREY & JOHNSON, 1979; PAPADIMITRIOU & YANNAKAKIS,1991; CORNUÉJOLS et. al, 1990), ou seja, são altamente complexos e custosos do ponto de vsta computaconal. Algortmos exatos encontram dfculdades para resolver problemas das dmensões encontradas no mundo real. Os métodos mas usados para resolver problemas de localzação de facldades são heurístcas e metaheurístcas, que são algortmos rápdos e determnam soluções aproxmadas de excelente qualdade (RESENDE & WERNECK, 2006; MLADENOVIC et al., 2007). Tradconalmente, os problemas de localzação de facldades estão focados na mnmzação dos custos de atendmento aos clentes e custos fxos gerados pela alocação/abertura das facldades. Dependendo do contexto do problema, poderam exstr outros crtéros ou funções objetvos gualmente mportantes. Por exemplo, maxmzar a cobertura das facldades alocadas (EATON et al., 1985) e mnmzar as dstâncas dos clentes para as facldades (REVELLE & SWAIN, 1970). Devdo à presença de város objetvos relevantes, alguns pesqusadores têm modelado e resolvdos problemas de localzação facldade usando técncas de otmzação multobjetvo. Ehrgott & Gandbleux (2000) apresentam uma ampla exposção sobre problemas de otmzação combnatóra multobjetvo e métodos de resolução. Problemas de otmzação multobjetvo, ao contráro de problemas de otmzação monoobjetvo, não possuem soluções ótmas no sentdo de mnmzarem (ou maxmzarem) ndvdualmente todos os objetvos. A característca prncpal da otmzação multobjetvo é a exstênca de um conjunto de soluções acetáves denomnadas efcentes ou Pareto-ótmas na qual nenhuma solução é melhor que outra (soluções não domnadas). Neste tpo de problemas 2

3 é muto dfícl estabelecer uma preferênca pelos crtéros antes de fazer a busca de uma solução. O objetvo é determnar o conjunto de soluções Pareto-ótmas (ou uma aproxmação deste conjunto) de tal manera que um decsor opte pela solução mas adequada. A área da otmzação combnatóra multobjetvo teve um grande mpulso na década de 90. Nas revsões bblográfcas de Ehrgott & Gandbleux (2000), Jones et al. (2002), e Gandbleux & Ehrgott (2005), observa-se que os métodos heurístcos mas usados para resolver dversos tpos de problemas de otmzação multobjetvo foram: algortmos genétcos, busca tabu e smulated annealng. Estes métodos são classfcados como metaheurístcas que são heurístcas ntelgentes de busca que possuem uma estrutura com componentes genércos que são adaptados para resolver város tpos de problemas de otmzação. A lteratura sobre problemas de localzação de facldades com múltplos objetvos é anda escassa. Dentre os métodos aplcados para resolver estes problemas podem-se ctar: branchand-bound (MAVROTAS & DIAKOULAKI, 1998), programação dnâmca (FERNANDEZ & PUERTO, 2003), algortmos de aproxmação (SCHNIEDERJANS et al., 1982; ROSS & SOLAND, 1980), heurístca de relaxação lagrangeana (NOZICK, 2001) e algortmos genétcos (VILLEGAS et al., 2006; DIAS et al., 2007; DOERNER et al., 2007; MEDAGLIA et al., 2008; DOERNER et al., 2008). Neste trabalho é proposta uma metaheurístca GRASP (Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure) para resolver um problema b-objetvo de localzação de facldades não capactado. A metaheurístca GRASP já fo aplcada com muto sucesso para resolver problemas de localzação de facldades mono-objetvo (RESENDE & WERNECK, 2004, 2006). No entanto, não foram encontrados trabalhos sobre aplcações da metaheurístca GRASP para problemas de localzação de facldades multobjetvo. Gandbleux e Ehrgott (2005) apresentam uma revsão sobre aplcações de metaheurístcas para problemas de otmzação multobjetvo. Nessa revsão é ctado apenas um artgo sobre aplcação da metaheurístca GRASP para otmzação multobjetvo. Recentemente, na lteratura, estão sendo propostas aplcações da metaheurístca GRASP para resolver problemas de otmzação multobjetvo (VIANNA & ARROYO, 2004; ARROYO et al. 2008; HIGGINSA, et al., 2008; ISHIDA, et al., 2008). O artgo é organzado da segunte manera. A Seção 2 contém formulação do problema de localzação de facldades não-capactado abordado neste trabalho. A descrção da metaheurístca GRASP proposta para resolver o problema é apresentada na Seção 3. Na Seção 4 estão os testes computaconas realzados e na ultma seção estão as conclusões do trabalho. 2. Formulação do Problema B-objetvo de Localzação de Facldades Não-capactado O problema b-objetvo de Localzação de Facldades Não-capactado (PBLFN) abordado neste trabalho é defndo segundo as formulações matemátcas de dos problemas: Localzação de Facldades Não-capactado e Localzação de Máxma Cobertura. A formulação matemátca do problema BLFN é baseada na formulação apresentada por Revelle e Laporte (1996). Sejam, I = (1,..., m) o conjunto locas potencas (depóstos) e J = (1,..., n) o conjunto de centros consumdores (clentes). c é o custo fxo de abertura do depósto, dj é a demanda de compra do clente j. c j é o custo de atendmento ao clente j pelo depósto e h j é a dstânca entre o depósto e o clente j. D max é a máxma cobertura do depósto, ou seja, a demanda de um clente j é consderada atendda pelo depósto aberto se h j D max. O 3

4 conjunto de depóstos que podem atender o clente j é denotado por Q j ={ I: h j D max }. As varáves de decsão do problema são y e x j. y = 1 se o depósto é escolhdo para ser aberto; y = 0 caso contráro. x j = 1 se toda a demanda do clente j é atendda pelo depósto, caso contráro x j = 0. O problema BLFNC é modelado da segunte manera: Mnmzar f 1 = j xj + c c y, (1) I j J I Mnmzar f 2 = d j xj (2) Sujeto a: I j J Q j x = 1 j J (3) j x, I, j J (4) j y x j {0,1}, y {0,1}, I, j J (5) I (6) (P BLFN ) A função objetvo (1) representa o custo total de operação dos depóstos abertos. O prmero termo desta função representa o custo de atendmento aos clentes pelos depóstos abertos, e o segundo termo representa a soma dos custos fxos ncorrdos pela abertura dos depóstos. A função objetvo (2) mede a máxma cobertura dos depóstos e é defndo como a soma das demandas dos clentes atenddos pelos depóstos abertos dentro da máxma dstânca. Note que o problema da máxma cobertura fo transformado em um problema de mnmzação. A restrção (3) (juntamente com (5)) garante que cada clente é atenddo por um únco depósto. Enquanto a restrção (4) força o clente a ser atenddo pelo depósto aberto. Fnalmente, (5) e (6) defnem que as varáves de decsão são bnáras. y 2 = 0 x 35 = 1 y 5 = 1 Fgura 1. Representação de soluções do problema. Cada solução do PBLFN e representada pelo vetor bnáro y = (y 1,...,y m ), m = I, onde y = 1 ndca se o depósto está aberto e y = 0 se o depósto esta fechado. Na Fgura 1, são mostrados dos exemplos de soluções do problema com suas respectvas representações. Também, uma solução é representada pelas conexões entre os clentes e os depóstos (varáves x j ). 4

5 Uma solução s do PBLFN pertence ao espaço de decsão factível, denotado por Ω, se ela satsfaz as restrções (3) a (6). Note s é determnada pelo conjunto de valores das varáves y e x j. O espaço objetvo factível do PBLFN é defndo por Z = {z R 2 : z = (f 1 (s), f 2 (s)), s Ω }, ou seja, para cada solução s Ω exste um ponto z no espaço objetvo Z, tal que z = (f 1 (s), f 2 (s)). As soluções do problema b-objetvo, onde são mnmzados duas funções objetvos (f 1, f 2 ), são caracterzadas pelas seguntes defnções: Defnção 1: Soluções domnantes ou não domnadas Uma solução s 1 domna a solução s 2 se são satsfetas as três condções seguntes: ) f 1 (s 1 ) f 1 (s 2 ), ) f 2 (s 1 ) f 2 (s 2 ) e ) f 1 (s 1 ) < f 1 (s 2 ) ou f 2 (s 1 ) < f 2 (s 2 ). Defnção 2: Soluções Pareto-ótmas ou efcentes Uma solução s é Pareto-ótma ou efcente se ela não é domnada por nenhuma solução do espaço de soluções factíves. Resolver o problema (P BLFN ) consste em determnar o conjunto de todas as soluções Paretoótmas. 3. Metaheurístca GRASP para o Problema B-objetvo de Localzação de Facldades Não-capactado (PBLFN) O método GRASP (Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure) proposto por Feo e Resende (1995) é uma metaheurístca bastante usada para resolver problemas de otmzação combnatóra (RESENDE & RIBEIRO, 2005). A metaheurístca GRASP é um procedmento teratvo de múltplos renícos, onde a cada teração consste de duas fases: uma fase de construção para determnar uma solução ncal x e uma fase de busca local aplcada para melhorar a solução ncal x e obtendo uma solução ótma local x. Após de executar um número Max_Iterações, a metaheurístca retorna a melhor solução encontrada. Na Fgura 2, é mostrado os passos báscos do procedmento GRASP. Procedmento GRASP (Max_Iterações) Inco f(x*) = nfnto; Para ter = 1 até Max_Iterações faça x = Fase Construtva( ); x = Fase de Busca Local (x); Se f(x ) < f(x*) então x* = x; Fm Para; Retorne x*; Fm. Fgura 2. GRASP básco. Neste artgo, é proposta uma adaptação da metaheurístca GRASP para resolver o problema BLFN. A metaheurístca é denomnada de GRASP_Bobjetvo. Na Fgura 3 apresentam-se os passos da metaheurístca na forma de pseudocódgo. A metaheurístca GRASP_Bobjetvo tem dos parâmetros de entrada, o número máxmo de terações (Max_Iterações) e o número de soluções a serem geradas na fase construtva (q). O objetvo da metaheurístca é determnar (retornar) um conjunto D de soluções domnantes próxmas das soluções Pareto-ótmas. 5

6 GRASP_Bobjetvo(Max_Iterações, q) 01 D = ; 02 Para ter = 1 até Max_Iterações faça 03 L = ; //Armazena soluções domnantes. 04 Para = 1 até q faça 05 s = ConstruçãoAleatóra( ); 06 L = L {s}; 07 Fm-Para 08 D = conjunto de soluções domnante de (D L); 09 Gere aleatoramente um vetor de pesos λ = (λ 1, λ 2 ); 10 s 1 = solução de L com menor f 1 ; 11 s 2 = solução de L com menor f 2 ; 12 s 3 = solução de L com menor F λ ; 13 s 1 = BuscaLocal(s 1, f 1, D); //D é atualzado com as soluções vznhas encontradas 14 s 2 = BuscaLocal(s 2, f 2, D); 15 s 3 = BuscaLocal(s 3, F λ, D); 16 s 4 = solução escolhda do conjunto D; 17 (x 1, x 2 ) = escolha duas soluções de {s 1, s 2, s 3, s 4 } 18 PathRelnkng(x 1, x 2, D); //D é atualzado com as soluções vznhas encontradas 19 PathRelnkng(x 2, x 1, D); 20 Fm-Para 21 Retorne D Fm-GRASP_Bobjetvo Fgura 3. Estrutura da metaheurístca GRASP B-objetvo. Nas seguntes subseções são detalhados os passos da metaheurístca GRASP B-objetvo. 3.1 Fases Construtva e Busca Local A cada teração ter da metaheurístca, é construído um conjunto L de soluções domnantes (Fase Construtva). Este conjunto é formado por soluções domnantes dentre q soluções geradas de forma aleatóra (passos 04-07). Na fase da Busca Local são exploradas três dreções de busca, ou seja, a busca local é aplcada a três soluções domnantes escolhdas do conjunto L. As duas prmeras, s 1 e s 2, são as soluções que possuem os menores valores de f 1 e f 2, respectvamente (passos 10 e 11). A tercera solução, s 3, é escolhda de L {s 1, s 2 } utlzando uma função de utldade F λ (passo 12) defnda de segunte manera: 6

7 mn f ( s) f F λ (s) = max λ ; = 1,2 max mn (7) f f onde, λ 1 e λ 2 são os pesos atrbuídos a cada função objetvo e são gerados aleatoramente tal que λ 1 +λ 2 = 1; f e f são respectvamente os valores máxmo e mínmo de cada max mm objetvo sobre o conjunto de soluções Pareto-ótmas obtdas até o momento; f (s) é o valor da função objetvo para uma solução s. A função F λ é a função de utldade de Tchebycheff que é normalzada pela faxa de varação de cada função objetvo. Cada função F λ possu um tmo global no conjunto de soluções Pareto-ótmas e cada solução Pareto-ótma possu uma função F λ que é ótmo (STEUER, 1986). As soluções, s 1, s 2 e s 3, escolhdas da lsta L, são melhoradas fazendo uma busca em vznhança até encontrar ótmos locas. s 1 e s 2 são melhoradas tentando mnmzar as funções f 1 e f 2, respectvamente (passos 13 e 14); s 3 é melhorada mnmzando a função de utldade F λ (passo 15). Note que, as três dreções de busca a serem exploradas são guadas pelas funções f 1, f 2 e F λ, respectvamente (Veja Fgura 4). f 2 s 1 F λ s 2 L s 2 f 1 Fgura 4. Busca Local. A busca local utlzada consste em gerar soluções vznhas a partr das soluções s 1, s 2 e s 3. As soluções vznhas são obtdas fazendo nserções, remoções e trocas de facldades na solução atual. Na nserção, uma nova facldade (depósto) é aberta; na remoção, uma facldade aberta é fechada (removda) e na troca, uma facldade aberta (ou fechada) é trocada com uma facldade fechada (aberta). Por exemplo, se a solução atual é s 1 = ( ). Os vznhos gerados através de nserção são: ( ), ( ), ( ). Os vznhos gerados através da remoção são: ( ), ( ), ( ). Os vznhos gerados fazendo trocas são: ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). Como a busca local é um processo teratvo, deve-se seleconar a melhor solução vznha, dentre todos os vznhos gerados. No exemplo acma, a partr de s 1 são gerados 15 vznhos. Destes 15, deve-se escolher o melhor vznho. Este melhor vznho é determnado pelas funções que estão sendo mnmzadas: f 1, f 2 e F λ, respectvamente para s 1, s 2 e s 3. A busca local fnalza quando não seja possível melhorar a solução atual (melhorar o valor da respectva função). Vale ressaltar que é mantdo um conjunto D que armazena as soluções domnantes dentre todas as soluções encontradas no processo da busca local. Para cada solução vznha s encontrada, sempre é feto D = domnates de (D {s}). 7

8 3.2 Intensfcação utlzando Path Relnkng Na metaheurístca GRASP-Bobjetvo também é utlzado um procedmento de ntensfcação baseado na técnca path relnkng (passos 17-19). Esta técnca fo orgnalmente proposto por Glover (1996) para ser utlzada junto com as metaheurístcas busca tabu e scatter search (GLOVER et al., 2000). Atualmente a técnca path relnkng é bastante usada com outras metaheurístcas tas como GRASP (RESENDE & RIBEIRO, 2005). A técnca path relnkng possu como entrada duas soluções x 1 e x 2 denomnadas respectvamente de orgem e gua. A déa é construr um camnho de x 1 para x 2 com o objetvo de encontrar novas soluções com característcas de x 1 e x 2. A técnca nca com x 1 e ela é gradualmente transformada em x 2, utlzando operações de nserção e remoção de facldades. Na solução x 1, são nserdas facldades que estão em x 2 x 1 e são removdas facldades que estão em x 1 x 2. A cada passo é gerado um conjunto de soluções vznhas de x 1. A escolha da melhor solução vznha é baseada no conceto de domnânca, ou seja, dentre as soluções vznhas domnantes escolhese aleatoramente uma solução. A partr desta solução contnua-se a trajetóra até chegar na solução gua x 2. A segur apresenta-se um exemplo da técnca path relnkng: Sejam, x 1 = ( ) e x 2 = ( ) as soluções orgem e gua, respectvamente. No prmero passo, as seguntes soluções vznhas são obtdas a partr de x 1 : v 1 = ( ), v 2 = ( ) e v 3 = ( ). Suponha que v 2 seja a solução domnante escolhda. No segundo passo, a partr de v 2 = ( ), são obtdas as seguntes soluções vznhas v 4 = ( ) e v 5 = ( ). Se v 5 é a solução domnante escolhda, no tercero passo, chega-se na solução gua x 2 = ( ). Como a técnca path relnkng é uma técnca de ntensfcação, ela é geralmente aplcada a soluções de elte. Neste trabalho, as soluções orgem (x 1 ) e gua (x 2 ) são escolhdas de um conjunto de quatro soluções (passo 17), três delas são as soluções melhoradas pela busca local e uma delas é escolhda do conjunto D de soluções domnantes encontradas até o momento. A técnca path relnkng é aplcada duas vezes, de x 1 para x 2 e vce-versa. 4. Testes Computaconas A metaheurístca GRASP-Bobjetvo fo programada na lnguagem Java e fo testada utlzando um computador com processador Pentum IV 3.0 Ghz com 512 Bb de memóra. Os dos úncos parâmetros da metaheurístca são: número máxmo de terações (Max_Iterações) e número de soluções geradas na fase construtva (q). Foram testados dferentes valores para estes parâmetros. Os valores que deram establdade à metaheurístca gerando bons resultados foram: Max_Iterações = 100 e q = 20. Neste trabalho é testado o comportamento de duas versões da metaheurístca, a prmera versão, denotada por GRASP-Bobjetvo, é uma mplementação básca que consste das duas fases prncpas, construção de soluções domnantes ncas e busca local. A segunda versão da metaheurístca, denomnada GRASP-Bobjetvo+PR, consste de três fases, construção, busca local e ntensfcação. Na fase de ntensfcação é utlzada a técnca Path Relnkng. As soluções obtdas pelas duas versões da metaheurístca são comparadas com soluções Pareto-ótmas determnadas por um método de enumeração completa (EC). Nas seguntes subseções são apresentadas a forma de geração de problemas testes, técnca utlzada para a comparação de soluções e os resultados computaconas obtdos. 8

9 4.1. Geração dos Problemas Testes Foram geradas dferentes nstâncas do problema consderando dferentes valores para o número de depóstos (m) e o número de clentes (n). Os tamanhos m n dos problemas são: , , , , , , , e Para cada m n foram gerados 5 problemas, totalzando 45 problema. Para o problema de localzação de facldades abordado neste trabalho, os depóstos estão unformemente dstrbuídos em um quadrado de undades de dstânca, ou seja, as dstâncas h j dos depóstos para os clentes estão na faxa U(0, ), onde U(a, b) representa valores aleatóros unformemente dstrbuídos no ntervalo a e b. Os custos c j de atendmento estão na faxa U(100, 1.000). Os custos fxos c de nstalação dos depóstos são gerados na faxa de U(1.000, ). A dstânca de cobertura máxma de cada depósto ( D max ) esta na faxa de U(0, ) Comparação de soluções Em otmzação multobjetvo não exste uma medda smples e natural que seja capaz de capturar nformações sobre a qualdade de um conjunto de soluções aproxmadas (conjunto de soluções domnantes D) com relação ao conjunto de soluções Pareto-ótmas (conjunto de referênca R). Neste trabalho, a qualdade das soluções geradas por um método heurístco é avalada usando duas meddas: Medda de cardnaldade: n de soluções de referênca obtdas pela heurístca (N Po = D R ). Medda de dstânca (CZYZAK & JASKIEWICZ, 1998): mede a proxmdade de um conjunto D de soluções heurístcas em relação ao conjunto de referênca R. Assume-se que D é uma boa aproxmação de R se as soluções de D estão bem próxmas das soluções de R. Em outras palavras, para cada ponto z R exste z D tal que a dstânca entre z e z seja mínma. Consdera-se a dstânca méda (D med ) defnda da segunte manera: D med = 1 mn d( z', z) R z' D z R onde R é a cardnaldade do conjunto R e d é defndo por: 1 d( z', z) = max ( z j z j ) j= r, z' = ( z 1,..., zr ) D, z = (z 1,...,z r ) R 1,..., j onde j = max f j mn f (dferenca entre maor e menor valores encontrados para o objetvo j f j ) Resultados Computaconas Na Tabela 1, para cada tamanho de problema, é mostrado o número de soluções encontradas pelos métodos de enumeração completa (EC), GRASP-Bojetvo (versão básca da metaheurístca) e GRASP-Bojetvo+PR (versão da metaheurístca que nclu um procedmento de ntensfcação). Na segunda coluna da Tabela 1 estão os números totas de soluções Pareto-ótmas obtdas pelo método EC. Nas outras colunas, lstam-se para cada versão da metaheurístca, o número total de soluções domnantes obtdas (Ns) e o número de soluções Pareto-ótmas encontradas (N Po ). De um total de 4845 soluções Pareto-ótmas obtdas pelo método EC, as versões GRASP-Bojetvo e GRASP-Bojetvo+PR encontraram 9

10 respectvamente 1986 (41,0%) e 3581 (73,9%) das soluções Pareto-ótmas. Note que o método GRASP-Bojetvo+PR obteve um maor número de soluções Pareto-ótmas em relação ao método GRASP-Bojetvo. Na Fgura 5 lustra-se o crescmento do número de soluções Pareto-ótmas a medda que a quantdade de depóstos (m) e quantdade de clentes (n) são ncrementadas. Problema Método EC GRASP-Bobjetvo GRASP-Bobjetvo+PR m n N Po Ns N Po Ns N Po 15 x x x x x x x x x Total Tabela 1. Número de soluções Pareto-ótmas obtdas pelas metaheurístcas n de soluções Pareto-ótmas n de soluções Pareto-ótmas m n Fgura 5. Varação do número de soluções Pareto-ótmas com relação a m e n. Na Tabela 2, apresentam-se os tempos computaconas médos gastos pelos métodos e as dstâncas médas das soluções obtdas pelas metaheurístcas com relação às soluções Paretoótmas geradas pelo método exato EC. Nesta tabela observa-se que os tempos das metaheurístcas são muto menores que os tempos do método exato EC, exceto para os problemas com 15 depóstos. Também, nota-se que as dstâncas médas da metaheurístca GRASP-Bobjetvo+PR são menores que as dstâncas da versão GRASP-Bobjetvo. Isto sgnfca que soluções do método GRASP-Bobjetvo+PR são melhores. Problema Método EC GRASP-Bobjetvo GRASP-Bobjetvo+PR m n Tempo (s) D med Tempo (s) D med Tempo (s) 15 x 100 1,0 0,007 1,8 0,0003 1,9 15 x 200 2,6 0,013 3,2 0,002 4,0 15 x 300 4,6 0,011 5,4 0,002 6,2 20 x ,4 0,013 5,4 0,0004 6,2 20 x ,4 0,018 9,2 0,018 9,2 10

11 20 x ,8 0,017 15,2 0,004 16,8 25 x ,035 10,2 0,002 11,4 25 x ,2 0,040 17,8 0,006 19,4 25 x ,8 0,011 36,4 0,002 41,0 Méda 3267,2 0,018 11,6 0,004 12,9 Tabela 2. Tempos computaconas e dstâncas médas das soluções aproxmadas com relação às soluções Paretoótmas 5. Conclusões Neste artgo fo desenvolvdo uma metaheurístca GRASP com ntensfcação para resolver o problema de alocação de facldades onde são otmzados dos objetvos, custo e cobertura. A ntensfcação, que é baseada na técnca Path Relnkng, se mostrou bastante efcente, possbltando encontrar 80,3% mas soluções Pareto-ótmas quando comparado ao método básco sem ntensfcação. Comparando os tempos de processamento dos dos métodos, o GRASP-Bobjetvo+PR fo, em méda, apenas 1,3 segundos mas demorado que o GRASP- Bobjetvo, o que é um atraso admssível, consderando que o número de soluções encontradas foram muto maores do que o método sem path relnkng. Tanto em qualdade das soluções quanto em tempo de processamento, a versão GRASP-Bobjetvo+PR apresentou-se superor a outra versão. Agradecmentos Este trabalho fo fnancado pelo Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq), processos: /2006-9, / Referêncas ARROYO, J. E. C., VIEIRA, P. S. & VIANNA, D. S. A GRASP algorthm for the mult-crtera mnmum spannng tree problem. Annals of Operatons Research Vol. 159, n.1, p , BADRI, M.A., A.K. MORTAGY, & C.A. ALSAYED. A Mult-Objectve Model for Locatng Fre Statons. European Journal of Operatonal Research Vol. 110, n. 2, p , BRANDEAU, M. & S. CHIU. An Overvew of Representatve Problems n Locaton Research. Management Scence Vol. 35, n. 6, p , CHURCH, R.; REVELLE, C. The Maxmal Coverng Locaton Problem. Papers of the Regonal Scence Assocaton, Vol. 32, n.1, p , CORNUÉJOLS, G., NEMHAUSER, G.L. & WOLSEY, L.A. The uncapactated faclty locaton problem, n: P.B. Mrchandan, R.L. Francs (Eds.), Dscrete Locaton Theory, Wley-Interscence, New York, p , CURRENT, J., M. DASKIN, & D. SCHILLING. Faclty Locaton: A Survey of Applcatons and Methods, 1. ed. New Yourk: Sprnger Verlag, CZYZAK, P, JASKIEWICZ, A., Pareto smulated annealng A metaheurstc technque for multple objectve combnatoral optmzaton. Journal of Multcrtera Decson Analyss. Vol. 7, n. 1, p , DASKIN, M.. Network and Dscrete Locaton. Models, Algorthms and Applcatons. 1. ed. Wley, New York, DIAS, J., CAPTIVO, M. E. CLÍMACO, J. A memetc algorthm for mult-objectve dynamc locaton problems. Journal of Global Optmzaton, artgo aceto em 2008, aguarda mpressão. DOERNER, K. F., GUTJAHR, W. J. & NOLZ, P.C. Mult-crtera locaton plannng for publc facltes n tsunam-prone coastal areas. OR Spectrum, artgo aceto em 2008, aguarda mpressão. 11

12 DOERNER, K., FOCKE, A. & GUTJAHR, W. J. Multcrtera tour plannng for moble healthcare facltes n a developng country. European Journal of Operatonal Research. Vol. 179, p , EATON, D., M. DASKIN, D. SIMMONS, B. BULLOCH, & G. JANSMA. Determnng Medcal Servce Vehcle Deployment n Austn, Texas. Interfaces, Vol. 15, p , EHRGOTT, M. & X. GANDIBLEUX. A Survey and Annotated Bblography of Multobjectve Combnatoral Optmzaton. OR Spektrum, Vol. 22, n. 4, p , FEO, T. A. & RESENDE, M. G. C. Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures. Journal of Global Optmzaton. Vol. 6, p , 1995 FERNANDEZ, E. & J. PUERTO. Multobjetve Soluton of Uncapactated Plant Locaton Problem. European Journal of Operatonal Research, Vol. 145, p , GALVÃO, R. D. AND REVELLE, C. S. A Lagrangean Heurstc for the Maxmal Coverng Locaton Problem. European Journal of Operatonal Research. Vol. 88, p , GALVÃO, R. D., ESPEJO, L. G. A. AND BOFFEY, B. A Comparson of Lagrangean and Surrogate Relaxatons for the Maxmal Coverng Locaton Problem. European J. of Operatonal Research. Vol. 124, p , GANDIBLEUX X. & M. EHRGOTT Years of Multobjectve Metaheurstcs. But What About the Soluton of Combnatoral Problems wth Multple Objectves?. Thrd Internatonal Conference, EMO, Sprnger. Lecture Notes n Computer Scence. Vol. 3410, p , GAREY MR & JOHNSON DS. Computers and ntractablty, a gude to the theory of NP-completeness. 1. ed. Freeman, New York, GLOVER, F. Tabu search and adaptve memory programmng: Advances, applcatons and challenges, n: R.S. Barr, R.V. Helgason, J.L. Kennngton (Eds.), Interfaces n Computer Scence and Operatons Research, Kluwer, p. 1 75, GLOVER, F., LAGUNA, M. & MARTÍ, R. Fundamentals of scatter search and path relnkng, Control and Cybernetcs. Vol. 39, p , HIGGINSA, A. J., HAJKOWICZA, S. AND BUIB, E. A mult-objectve model for envronmental nvestment decson makng, Computers & Operatons Research. Vol. 35, n. 1, p , ISHIDA, C. Y., CARVALHO, A. B., POZO, A. T. R., GOLDBARG, E. F. G. AND GOLDBARG, M. C. Explorng Mult-objectve PSO and GRASP-PR for Rule Inducton, Eghth European Conference on Evolutonary Computaton n Combnatoral Optmsaton, Berln : Sprnger, Vol. 1, p , JONES, D., S. MIRRAZAVI, & M. TAMIZ. Mult-Objectve Meta-Heurstcs: An Overvew of the Current State-of-the-Art. European Journal of Operatonal Research, Vol. 137, p. 1 9, MAVROTAS, G. & D. DIAKOULAKI. A Branch and Bound Algorthm for Mxed Zero-One Multple Objectve Lnear Programmng. European Journal of Operatonal Research, Vol. 107, p , MEDAGLIA, A. L., VILLEGAS, J. G. & RODRÍGUEZ-COCA, D. M. Hybrd bobjectve evolutonary algorthms for the desgn of a hosptal waste management network, Journal of Heurstc, artgo aceto em 2008, aguarda mpressão. MIRCHANDANI, P. & R. FRANCIS. Dscrete Locaton Theory. 1. ed. New York: John Wley & Sons,1990. MLADENOVIC, N., BRIMBERG, J., HANSEN, P. & MORENO-PÉREZ J. A. The p-medan problem: A survey of metaheurstc approaches. European Journal of Operatonal Research. Vol. 179, n. 3, p , NOZICK, L.K. & M.A. TURNQUIST. Inventory, Transportaton, Servce Qualty and the Locaton of Dstrbuton Centers. European Journal of Operatonal Research. Vol. 129, p , NOZICK, L.K. The Fxed Charge Faclty Locaton Problem wth Coverage Restrctons. Transportaton Research Part E. Vol. 37, p ,

13 OSLEEB, J. & S. RATICK. A Mxed Integer and Multple Objectve Programmng Model to Analyze Coal Handlng n New England. European Journal of Operatonal Research. Vol. 83, p , OWEN, S.H. & M.S. DASKIN. Strategc Faclty Locaton: A Revew. European Journal of Operatonal Research. Vol. 111, p , PAPADIMITRIOU, C.H. & YANNAKAKIS, M. Shortest paths wthout a map. Theoret.Comput. Sc. Vol. 84, n. 1, p , RESENDE, M. G. C. & RIBEIRO, C.C. GRASP wth path-relnkng: Recent advances and applcatons, n: T. Ibarak, K. Nonobe, M. Yagura (Eds.), Metaheurstcs: Progress as Real Problem Solvers, Sprnger, p , RESENDE, M. G. C. & WERNECK, R. F. A hybrd heurstc for the p-medan problem, Journal of Heurstcs. Vol. 10, n 1, p , RESENDE, M. G. C. & WERNECK, R. F. A hybrd multstart heurstc for the uncapactated faclty locaton problem. European Journal of Operatonal Research. Vol. 174, n. 1, p , REVELLE, C. & G. LAPORTE. The Plant Locaton Problem: New Models and Research Prospects. Operatons Research. Vol. 44, p , REVELLE, C. S. AND SWAIN, R. W. Central Facltes Locaton. Geographcal Analyss. Vol. 2, p , REVELLE, C., D. MARKS, & J. LIEBMAN. An Analyss of Prvate and Publc Sector Locaton Models. Management Scence. Vol. 16, p , ROSS, G. & R. SOLAND. A Multcrtera Approach to the Locaton of Publc Facltes. European Journal of Operatonal Research. Vol. 4, p , SCHNIEDERJANS, M.J., N.K. KWAK, & M.C. HELMER. An Applcaton of Goal Programmng to Resolve a Ste Locaton Problem. Interfaces. p , STEUER, R. E. Multple crtera optmzaton-theory, computaton and applcaton. 1. ed. Wley, VIANNA, D. S. & ARROYO, J. E. C. A GRASP Algorthm for the Mult-Objectve Knapsack Problem, XXIV Internatonal Conference of the Chlean Computer Scence Socety (SCCC'04) p , VILLEGAS, J.G., PALACIOS, F., MEDAGLIA, A.L. Soluton methods for the b-objectve (cost-coverage) unconstraned faclty locaton problem wth an llustratve example. Annals of Operatons Research. Vol.147, n. 1, , ZHANG, J. CHEN, B. & YE, Y. A Multexchange Local Search Algorthm for the Capactated Faclty Locaton Problem, Mathematcs of Operatons Research. Vol. 30, n. 1, ,