UM ESTUDO SOBRE PROBLEMAS DE AGRUPAMENTO CAPACITADO

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1 UM ESTUDO SOBRE PROBLEMAS DE AGRUPAMENTO CAPACTADO Fernando Stefanello Felpe Martns Müller Unversdade Federal de Santa Mara - Centro de Tecnologa Av. Rorama no Cdade Unverstára Barro Camob Santa Mara RS RESUMO O presente trabalho é um estudo sobre dos problemas de agrupamento capactado: o clássco Problema das P-Medanas Capactado (PPMC) e o Problema de Agrupamento Centrado Capactado (PACC), recentemente proposto por Negreros e Palhano (2006). De modo geral, o obetvo é obter agrupamentos de dados defndos com o auxílo de meddas de dstânca ou smlardade, consderando a capacdade de servço oferecda pelas medanas ou centródes. nstâncas propostas na lteratura são utlzadas para nferr a dfculdade de resolução desses problemas por resolvedores comercas. Um modelo de programação ntera quadrátca é apresentado para o PACC, bem como um modelo lnear com uma métrca alternatva para defnr os agrupamentos. Os expermentos computaconas demonstram que, para as nstâncas consderadas, o PPMC pode ser tratado efcentemente a partr do uso dreto de modelos matemátcos em resolvedores, o que não ocorre com relação ao PACC. PALAVRAS-CHAVE: Problemas de agrupamento capactado. Problema das p-medanas capactado. Problema de agrupamento centrado capactado. Otmzação Combnatóra ABSTRACT Ths paper presents a study on to problems n capactated clusterng problem, namely, the classcal Capactated P-Medan Problem (CPMP) and the Capactated Centred Clusterng Problem (CCCP) recently proposed by Negreros and Palhano (2006). Generally, the obectve s to fnd data clusters usng measures of dstance or smlarty and consderng the capacty of servce offered by the medan or centrod. nstances set proposed n the lterature are used to nfer the dffculty of solvng these problems by commercal solvers. A quadratc nteger programmng model s presented for the CCCP as ell as a lnear model th an alternatve metrc to defne the clusters. Computatonal experments sho that, for the nstances set consdered, the CPMP can be handled effcently from the drect use of mathematcal models n solvers and that t does not occur for CCCP. KEYWORDS: Capactated clusterng problems. Capactated p-medan problem. Capactated Centred Clusterng Problem. Combnatoral Optmzaton. XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2819

2 1. ntrodução Problemas de agrupamento capactado possuem dversas aplcações prátcas, como a localzação de fábrcas, hosptas, escolas e centros de coleta de lxo. Em todos esses casos, dado um conunto de nós assocado à realdade que se desea modelar, o obetvo é agrupá-los de forma a maxmzar a dssmlardade entre os agrupamentos. Nesse contexto, ressaltam-se dos problemas: o Problema das p-medanas Capactado (PPMC) e o Problema de Agrupamento Centrado Capactado (PACC). O PPMC trata da alocação de p facldades (medanas) para servr n pontos de demandas (nós). O obetvo é mnmzar a soma das dstâncas entre os nós e as medanas, com a restrção de não exceder a capacdade de cada medana nstalada. Para sso, são observados os trabalhos que tratam heurstcamente o PPMC, reportando-se às décadas de 80 e 90, com os estudos de Mulvey and Beck (1984), Osman e Chrstofdes (1994) e Manezzo et al. (1998). Esse últmo propõe um método evolutvo, e o prmero, algortmos de smulated annealng e busca tabu. Mas recentemente, Baldacc et al. (2002) utlzam um novo método baseado na formulação de partconamento de conuntos. Lorena e Senne (2002) apresentam um método de geração de colunas. Ahmad and Osman (2005) propõem uma composção de meta-heurístcas em um frameork denomnado GRAMPS (Greedy Random Adaptve Memory Search Method). Uma abordagem scatter search é utlzada por Scheuerer and Wendolsky (2006) e Daz e Fernandez (2006). O problema PACC fo recentemente proposto por Negreros e Palhano (2006). Esse problema é smlar ao PPMC, dferndo apenas pelo fato de que o centro do agrupamento dexa de ser um dos nós do agrupamento para ser o centróde defndo pelos nós pertencentes ao agrupamento. Os autores propõem algortmos heurístcos para encontrar uma solução ncal, fazendo uso do algortmo Forgy (FORGY, 1965) e, numa segunda fase de refnamento, com VNS (Varable Neghborhood Search). á Perera e Senne (2008) utlzam o método de geração de colunas desenvolvdo para o PPMC na busca de soluções do PACC. Além desses autores, Chaves e Lorena (2008) apresentam um procedmento meta-heurístco híbrdo denomnado Cluster Search, cua dea prncpal é dentfcar áreas promssoras no espaço de busca. O mesmo conunto de nstâncas é utlzado em ambos os trabalhos. Assm, nesse trabalho, apresenta-se um estudo sobre o uso de resolvedores comercas e modelos matemátcos para tratar os problemas de agrupamento capactado. O obetvo é nferr a dfculdade de resolução dos conuntos de nstâncas comumente utlzados na lteratura centífca. ncalmente, na seção 2, o PPMC é defndo formalmente. Na sequênca, a redução heurístca de varáves para ldar com as nstâncas de grande porte é proposta, de modo a possbltar a obtenção de soluções de boa qualdade em tempos acetáves. Na seção 3, estuda-se o PACC a partr de modelo de programação ntera quadrátca. Alternatvamente, expõe-se um modelo de programação lnear ntera, que utlza a dstânca de Manhattan como métrca para defnr os agrupamentos. Os expermentos computaconas são detalhados na seção 4. Por fm, na seção 5, são apresentadas algumas possbldades conclusvas sobre o assunto. 2. Problema das p-medanas Capactado O PPMC é um problema de alocação de facldades, no qual dado um grafo G = (V,E), em que V representa o conunto de nós e E o conunto de arcos com as dstâncas entre os nós, deve-se encontrar um subconunto de vértces Vp V tal que a soma das dstâncas de cada vértce restante até a sua correspondente medana em Vp sea a menor possível e a restrção capacdade sea satsfeta. As prmeras formulações do problema foram apresentadas em Hakm (1964). Esse problema é reconhecdamente NP-dfcl (Garey & ohnson, 1979), o que sugere a nvabldade do uso de métodos exatos para a sua resolução. Dante dsso, város estudos utlzam métodos heurístcos para encontrar soluções de boa qualdade em tempo computaconal acetável para uma tomada de decsão. No entanto, é mportante observar que a ntratabldade da questão não necessaramente ocorre em todas as nstâncas do problema, e uma escolha crterosa XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2820

3 do conunto de nstâncas deve ser feta para demonstrar o desempenho dos métodos heurístcos. O PPMC pode ser formulado matematcamente conforme segue. : varável bnára para desgnar se o ponto está assocado ao agrupamento ; d : dstânca entre os nós e ; p: número de facldades; q : demanda do ponto ; n: número de pontos; Q : capacdade do agrupamento. Modelo P: Sueto a: 1 p Mn d (P1), q Q {0,1}, (P2) (P3) (P4) (P5) (P6) A função obetvo é defnda em (P1). As restrções (P2), (P3) e (P4) asseguram que cada nó é desgnado a apenas uma medana. A restrção (P5) determna que a capacdade das medanas deve ser respetada, e a restrção (P6) corresponde à condção de bnaredade das varáves. As restrções (P4) e (P5) são redundantes, mas de acordo com o que é apresentado nos resultados computaconas, a restrção (P4) melhora o desempenho do resolvedor utlzado. Anda que o uso dessas aumente o número de restrções avaladas, observa-se que, dessa manera, o domíno do problema é reduzdo, permtndo que se encontre boas soluções num tempo computaconal menor do que sem o uso delas. Para nstâncas de maor porte, o uso de resolvedores torna-se nvável devdo à grande quantdade de varáves envolvdas, á que um arquvo em modo texto para nstâncas com 3038 nós pode chegar a 800 MB de tamanho em dsco. Dante dsso, fo usada uma estratéga para elmnar heurstcamente varáves com poucas chances de estarem envolvdas na solução ótma. O modelo resultante é denomnado Modelo Reduzdo. Neste modelo, para todo nó, leva-se em conta apenas o k pontos mas próxmos de, cuo somatóro das demandas sea nferor a uma dada capacdade atrbuída ao nó, á subtraída de sua própra demanda, conforme segue. k = 1 αw em que 1 é um fator de expansão da capacdade. A aplcação dessa metodologa proporcona uma sgnfcatva redução do número de varáves. Com tal redução, apesar de não garantr a otmaldade, possblta-se o tratamento de problemas de maor porte. XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2821

4 3. Problema de Agrupamento Centrado Capactado Problemas de Agrupamento Centrado Capactado consste no método de determnar um conunto de p agrupamentos de capacdade lmtada, de forma a mnmzar a dssmlardade entre os pontos dos agrupamentos. O PACC é smlar em mutos aspectos ao PPMC, entretanto, dferem-se pelo fato de que, no prmero, cada agrupamento possu um centróde calculado segundo a méda dos seus pontos pertencentes, enquanto que, no PPMC, os agrupamentos são centrados em nós (medanas) que pertencem ao grafo assocado ao problema. O modelo orgnalmente proposto por Negreros e Palhano (2006) é apresentado a segur. a : coordenadas de um ponto no espaço; x : coordenadas do centróde do cluster ; n : número de pontos no cluster ; q : demanda do ponto ; Q : capacdade de do cluster. Modelo C: Mn a x 2 (C1) Sueto a: 1 (C2) n (C3) a n x (C4) q Q x, n N, {0,1},, (C5) (C6) A Função Obetvo é defnda em (C1), a qual mnmza o somatóro do quadrado da dferença entre as coordenadas de cada ponto e o centróde do cluster a que este pertence. A restrção (C2) determna que um dado ponto estea assocado a exatamente um cluster. As restrções (C3) e (C4) fornecem o número de pontos em cada cluster e as coordenadas do centróde, respectvamente. A restrção (C5) determna que a capacdade de cada agrupamento deve ser respetada. A últma restrção mpõe as condções de ntegrdade e bnaredade. Uma observação a ser feta é que as restrções (C3) e (C4) são redundantes, á que os pontos que mnmzam a função obetvo são centródes dos agrupamentos. Esse problema é NP-Dfícl, uma vez que pode ser faclmente reduzdo ao Mn-sum Clusterng problem (Brucker, 1978). Para propcar o uso do resolvedor comercal dsponível, o problema fo modelado como um problema de programação ntera quadrátca, conforme segue. C : dstânca entre o ponto e o centróde do agrupamento ; M: um número sufcentemente grande. XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2822

5 Modelo Q: Sueto a: q 1 Q Mn 2 C (Q1) (Q2) (Q3) x a C (1 ) M, (Q4) C 0, {0,1},, Em (Q1), tem-se a função obetvo, que consdera o mínmo do somatóro do quadrado da dferença entre as coordenadas de cada ponto e o centróde do cluster ao qual este está assocado, conforme defndo pela restrção (Q4). A restrção (Q2) determna que um ponto deve ser assocado a um únco cluster. A restrção (Q3) determna que a capacdade de cada agrupamento deve ser respetada e a restrção (Q5) mpõe as condções de ntegrdade e bnaredade. Consderando-se n o número de pontos de demanda e p o número de agrupamentos, o uso desse modelo requer uma quantdade de varáves N, dada por N=3*n*p+2*p, em que n*p é o número de varáves bnáras e 2*n*p+2*p é o número de varáves contínuas (caso bdmensonal). Restrções do tpo C,, podem ser adconadas ao modelo para melhorar o lmtante nferor. No entanto, essas só podem ser consderadas quando fca assegurado que, na solução ótma, não exstem agrupamentos com apenas um elemento. á que grande parte das aplcações de problemas de agrupamento refere-se a aplcações em zonas urbanas, nas quas exstem dvsões em quarterões, realzar o cálculo do agrupamento a partr da dstânca de Manhattan ou Cty Block pode ser mas representatvo que a partr da dstânca eucldana, além de levar a um modelo lnear. O modelo matemátco para esse caso é apresentado a segur. C : dstânca entre o ponto e o centróde do agrupamento ; E : varáves lvres que determnam o erro em relação à méda; M: um número sufcentemente grande. Modelo D: Sueto a: q 1 Q Mn C (Q5) (D1) (D2) (D3) E C, (D4) x a E (1 ) M, (D5) E M 0 E M C 0, {0,1}, E,, (D6) (D7) (D8) XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2823

6 Nesse modelo, tem-se em (D1) a função obetvo. A restrção (D2) determna que um ponto sea assocado a apenas um cluster. A restrção (D3) determna que a capacdade de cada cluster sea respetada. A restrção (D4) defne a dstânca dos pontos aos centros, ou sea, as varáves C, As restrções (D5) a (D7) determnam os centródes dos agrupamentos. Por fm, a restrção (D8) defne as condções de ntegrdade de bnaredade. Se n é o número de pontos de demanda e p o número de agrupamentos, assm, a quantdade de varáves N é dada por N=5*n*p+2*p, onde n*p representa o número de varáves bnáras e 4*n*p+2*p o número de varáves contínuas (caso bdmensonal). 4. Resultados Computaconas Para a realzação dos testes computaconas fo utlzado o resolvedor CPLEX com a confguração padrão e o conunto de nstâncas proposto por Lorena e Senne (1994) e Lorena e Perera (2003), dsponíves em Todos os testes foram fetos em um computador provdo com um processador Pentum V 2,8 GHz com 2MB de memóra RAM e sstema operaconal Lnux. 4.1 Resultados para PPMC Os prmeros testes para o PPMC foram realzados sem o uso da restrção (P4) apresentada no Modelo P. Nesse caso, verfcou-se que, após dos mnutos de processamento para a menor nstânca (sc1), é possível obter uma solução com um gap (dferença entre a solução prmal e o lmtante nferor) menor que 4%; mas, para obter a solução ótma, o CPLEX gastou horas de processamento. Devdo a sso, os testes seguntes consderam o Modelo P com a restrção (P4) e o modelo reduzdo. A Tabela 1 apresenta os resultados comparatvos para o PPMC, consderando o Modelo P e o Modelo Reduzdo com dferentes nstâncas. Nessa tabela, a prmera coluna desgna a nstânca analsada, os elementos das colunas n e p correspondem ao número de pontos e medanas de cada nstânca. A coluna FO* traz a melhor solução encontrada para a nstânca na lteratura (com exceção das nstâncas p3038_1000 a p3038_600, neste trabalho denomnadas 1 a 5, cuos valores são referentes aos resultados obtdos por Lorena et al. (2003) com o algortmo CG(1)). As próxmas duas colunas referem-se aos resultados do Modelo P, no qual, respectvamente, trazem os valores de função obetvos e o tempo computaconal de obtenção da solução. A coluna FOr traz os valores de função obetvo encontrados para o Modelo Reduzdo. A coluna segunte, gap, com gap = (FOp- FOr)/ FOp), representa a dferença percentual da solução do Modelo Reduzdo em relação ao Modelo P, e, por últmo, a coluna Tempo(s) mostra o tempo de busca da solução de cada nstânca para o Modelo Reduzdo. É possível observar que, para algumas nstâncas, há uma dferença entre as soluções ótmas apresentadas e as relatadas na lteratura. Os autores atrbuem essa dferença ao fato de que, ao gerar as restrções do modelo matemátco, as dstâncas entre os nós foram arredondadas para duas casas decmas. A resolução da nstânca sc4a necesstou um tempo computaconal relatvamente alto, se comparado a outras nstâncas. Entretanto, analsando-se o desempenho no decorrer do tempo, verfca-se que a solução obtda em menos de 260 segundos apresenta um gap menor que 1% e com 1777 segundos o resolvedor á encontra uma solução com um gap nferor a 0,5%. Em termos de tempo computaconal, o Modelo Reduzdo mostrou mas efcáca que o Modelo P, vsto que o tamanho do prmero é menor, permtndo ao resolvedor provar a otmaldade da solução num menor tempo. Todos os testes do Modelo Reduzdo foram realzados com α=2. Para as nstâncas de grande porte (1 a 5), houve uma sgnfcatva redução no número de varáves, com mas de 99,5% das varáves elmnadas, o que levou arquvos, que ncalmente possuíam um tamanho aproxmado de 780 MB, para menos de 3,5 MB. 1 XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2824

7 Tabela 1 Resultados Computaconas Modelo P e Modelo Reduzdo. Modelo P Modelo Reduzdo nst. n p FO* FOp Tempo(s) FOr gap Tempo(s) Sc , ,55 57, ,48 0,71% 21,54 Sc , ,08 96, ,08 0,00% 45,99 Sc3a , ,84 309, ,84 0,00% 111,01 Sc3b , ,66 97, ,85 0,07% 22,27 Sc4a , , , ,69 0,00% 307,51 Sc4b , ,30 584, ,30 0,00% 96, , ,82 3,81% 14389, , ,17 2,80% 6983, , ,10 2,07% 7430, , ,15 1,28% 9332, , ,22 0,82% 20078,52 Para as nstâncas de grande porte, os resultados do CPLEX, usando o Modelo Reduzdo, foram comparados ao melhor resultado obtdo em Lorena et al. (2003) com o algortmo CG(1). O processamento fo nterrompdo sempre que o valor da função obetvo não era atualzado por um determnado tempo lmte. A Fgura 1 mostra a evolução do valor da função obetvo no decorrer do processamento (em vermelho) e o melhor valor obtdo pelo algortmo CG(1) (em azul). O gráfco consdera a nstânca com 3038 e 1000 medanas. Percebe-se que, num reduzdo tempo de processamento, á é possível encontrar uma solução de boa qualdade. Fgura 1. Valor da F.O. no decorrer do tempo para a nstânca P1 Mesmo que o Modelo Reduzdo tenha sdo dealzado para tratar nstâncas de grande porte, verfca-se que esse também pode ser aplcado a nstâncas de pequeno e médo porte, pos o desempenho é comparável aos resultados obtdos com o Modelo P. 4.2 Resultados para o PACC Os modelos descrtos anterormente para o PACC não apresentaram bom desempenho quando resolvdos pelo CPLEX, mesmo para pequenas nstâncas. sso mostra que, para o conunto de nstâncas utlzadas, esse problema possu nível de dfculdade maor que o PPMC. A Tabela 2 mostra os resultados obtdos pelo CPLEX usando o Modelo Q. A coluna nst contém a desgnação das nstâncas analsadas e os elementos das colunas n e p correspondem ao número de pontos e medanas. A coluna FO* traz a melhor solução encontrada na lteratura para o PACC. A coluna Modelo Q traz o valor da solução encontrada pelo CPLEX XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2825

8 com uma hora de processamento. Na últma coluna, é apresentado o gap = (Modelo Q - FO*)/ FO*), que representa a dferença percentual da solução do Modelo Q em relação à melhor solução encontrada na lteratura. Tabela 2 Resultados Computaconas Modelo Q. nst. n p FO* Modelo Q gap Sc , ,46 118,68% Sc , ,67 148,73% Sc3a , ,26 182,97% Sc3b , ,72 234,07% Sc4a , ,16 191,61% Sc4b , ,79 263,26% O desempenho do Modelo D fo levemente superor ao do Modelo Q, mas os resultados foram de baxa qualdade, motvo pelo qual não são tabulados. No entanto, é nteressante consderar grafcamente a dferença entre as soluções encontradas por esses dos modelos para o PACC. A Fgura 2 exemplfca essa stuação para a prmera nstânca da OR-Lbrary 2, a qual orgnalmente fo proposta para o PPMC. A referda nstânca possu 50 nós e 5 medanas. A Fgura 2a apresenta a solução encontrada ao se usar o Modelo D, e a Fgura 2b mostra a solução para o Modelo Q. O tempo de processamento máxmo fo lmtado em uma hora, e, ao completar esse tempo, o CPLEX não fo hábl para provar a otmaldade das soluções em nenhum dos casos. Fgura 2a. Solução encontrada usando Modelo D Fgura 2b. Solução encontrada usando Modelo Q Fgura 2. Solução encontrada para os dos modelos utlzados O baxo desempenho apresentado pelo resolvedor, tanto para o Modelo Q quanto para o Modelo D, mostra que o problema é de dfícl tratamento por resolvedores genércos. Mesmo com uma formulação lnear, a utlzação do Bg M mplca num lmtante nferor pobre, o que compromete a obtenção da solução ótma. sso pode ser vsto pela dfculdade do resolvedor em reduzr o gap da solução. 2 XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2826

9 5. Conclusão Os expermentos realzados demonstram que as nstâncas do tpo SC podem ser tratadas dretamente a partr do Modelo P. Para as nstâncas de maor porte, 1 a 5, o Modelo Reduzdo apresentou bom desempenho, pos em tempo computaconal relatvamente baxo encontrou boas soluções. Para as nstâncas de pequeno porte, na maora dos casos, encontrou os mesmos valores de função obetvo do Modelo P. Dferentemente do PPMC, a busca por soluções de boa qualdade para o PACC, fazendo-se uso de resolvedores, é muto onerosa. Nos testes realzados com o modelo quadrátco e o modelo lnear, as soluções obtdas, mesmo para nstâncas de pequeno porte, foram de baxa qualdade. Verfca-se, desse modo, que o problema é de dfícl tratamento por métodos exatos em resolvedores comercas. Em trabalhos futuros, pretende-se estudar a geração de nstâncas de dferentes tamanhos e de dfícl resolução para o PPMC. Com relação ao PACC, a ntenção é proetar métodos heurístcos de resolução. 6. Referêncas Ahmad, S., Osman,.H. (2005). Greedy random adaptve memory programmng search for the capactated clusterng problem. European ournal of Operatonal Research 162 (1), Baldacc, R.; Hadconstantnou, E.; Manezzo, V.; Mngozz, A. (2002). A ne method for solvng capactated locaton problems based on a set parttonng approach. Computer and Operatons Research, 29 (3): Brucker P. On the complexty of clusterng problems. Lecture notes n economcs and mathematcal systems, vol. 157, p Chaves, A; Lorena, L; (2008). Clusterng search algorthm for the capactated centered clusterng problem. Computers and Operatons Research, Daz,.A., Fernandez, E. (2006). Hybrd scatter search and path relnkng for the capactated p- medan problem. European ournal of Operatonal Research 169, Forgy, E. W. Cluster analyss of multvarate data: effcency versus nterpretablty of classfcatons. Bometrcs, v. 21, n. 3, p , Garey, M. R. et ohnson, D. S. (1979). Computers and ntractablty. A Gude to the Theory of NP-Completeness. W. H Freeman and Company. Hakm, S.L. (1964), "Optmal locatons of stchng centers and the absolute centers and the medans of a graph", Operatons Research 12, Lorena, L.A.N. and Senne. E.L.F, (2002). Abordagens de Geração de Colunas para um Problema de p-medanas Capactado XXXV SBPO - Ro de anero Lorena L.A.N. and Senne E.L.F, (1994): A column generaton approach to capactated p- medan problems. Computers and Operatonal Research, Vol Lorena, L.A.N., Perera, M.A.; Salomão, S.N.A. (2003). A relaxação lagrangeana/surrogate e o método de geração de colunas: novos lmtantes e novas colunas. Revsta Pesqusa Operaconal, 23(1): Manezzo V, Mngozz A, and Baldacc R (1998) A bonomc approach to the capactated p- medan problem. ournal of Heurstcs 4: Mulvey,.M.; Beck, M.P. (1984) Solvng capactated clusterng problems. European ournal of Operatonal Research 18, Negreros, M. and Palhano, A.: 2006, The capactated centred clusterng problem, Computers and Operatons Research 33, Osman,.H.; Chrstofdes, N. (1994) Capactated clusterng problems by hybrd smulated annealng and tabu search. nternatonal Transactons n Operatonal Research 1, Perera, M. A.; Senne, E. L. F. A column generaton method for the capactated centred XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2827

10 clusterng problem. n: ALO/EURO WORKSHOP ON APPLED COMBNATORAL OPTMZATON, 6., 2008, Buenos Ares. Proceedngs. Buenos Ares: Unversdad de Bueno Ares, p XL SBPO Pesqusa Operaconal na Gestão do Conhecmento Pág. 2828