ALGORITMOS PARA DETERMINAÇÃO DE PADRÕES TABULEIROS EXATOS E RESTRITOS: TESTES COMPUTACIONAIS COMPARATIVOS

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1 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável ALGORITOS PARA DETERINAÇÃO DE PADRÕES TABULEIROS EXATOS E RESTRITOS: TESTES COPUTACIONAIS COPARATIVOS Danel assaru Katsurayama Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas Laboratóro Assocado de Computação e atemátca Aplcada Avenda dos Astronautas, 758 Jardm da Grana C.E.P.: São José dos Campos S.P. E-mal: massaru@lac.npe.br Horaco Hde Yanasse Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas Laboratóro Assocado de Computação e atemátca Aplcada Avenda dos Astronautas, 758 Jardm da Grana C.E.P.: São José dos Campos S.P. E-mal: horaco@lac.npe.br Resumo Neste trabalho, testamos dos algortmos para determnação de padrões tabuleros exatos, onde o número de tens no padrão é lmtado. O prmero algortmo basea-se no algortmo enumeratvo de Yanasse, Soma e aculan (2000) para determnação das K-melhores soluções para o problema da mochla undmensonal. O segundo algortmo basea-se no método da enumeração mplícta de Glmore e Gomory (963) para resolução do problema da mochla undmensonal rrestrto. Um refnamento no lmtante superor do segundo algortmo é sugerdo e seu mpacto no tempo de execução é avalado. Palavras-chave: padrão tabulero, algortmo enumeratvo, algortmo de enumeração mplícta. Abstract We test two algorthms for determnng exact checerboard patterns where the number of tems n the pattern s lmted. The frst one s based on an enumeratve algorthm proposed by Yanasse, Soma and aculan (2000) for determnng the K-best solutons of the one-dmensonal napsac problem. The second one s based on a Glmore and Gomory s (963) mplct enumeraton scheme for solvng the one dmensonal unconstraned napsac problem. A refnement n the upper bound of the second algorthm s suggested and ts mpact n the executon tme s evaluated. Keywords: checerboard pattern, enumeratve algorthm, mplct enumeraton algorthm. Introdução Padrões tabuleros, também conhecdos como padrões -grupo (Glmore e Gomory, 965) pertencem a uma classe especal de padrões 2-estágos que podem ser produzdos sem a necessdade de cortar separadamente cada uma das faxas obtdas no prmero estágo de modo que apenas a serra (ou o obeto, vde Belluzzo, 2002) é grada em 90 graus após o corte do prmero estágo. Padrões tabuleros, demandam menos tempo de máquna e são de partcular nteresse em ambentes de grande

2 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável demanda, partcularmente, quando a máquna de corte consttu-se num gargalo da produção. Os padrões tabuleros são exatos quando todos os tens produzdos são obtdos medatamente após o corte do segundo estágo, como lustrado na Fgura a. Padrões tabuleros podem também ser do tpo não exato (vde Fgura b), caso haa necessdade de se recortar as peças obtdas no segundo estágo para produzr os tens fnas solctados. Neste caso, mutas vezes, o recorte é feto em outra máquna, possvelmente menos carregada e mas smples, mas certamente ncorrendo-se em custos adconas. (a) (b) Fg. Exemplos de padrões tabuleros: (a) padrão tabulero exato, (b) padrão tabulero não exato. São poucos os trabalhos encontrados na lteratura que tratam da determnação de padrões tabuleros. Algortmos, heurístcas e modelos matemátcos para a determnação de padrões tabuleros exatos e não exatos estão presentes na lteratura, nos trabalhos de orabto e Arenales (2000), Katsurayama e Yanasse (999, 2000), Schethauer (2002) e, mas recentemente, Yanasse e orabto (2003). orabto e Arenales (2000) formularam o problema da determnação de padrões tabuleros exatos como um problema quadrátco ntero e propuseram uma heurístca para sua obtenção. Em Katsurayama e Yanasse (999, 2000) é apresentado um algortmo enumeratvo para determnação de padrões tabuleros exatos baseado no algortmo enumeratvo de Yanasse, Soma e aculan (2000) para determnação das K-melhores soluções para o problema da mochla undmensonal. odelos matemátcos para determnação de padrões tabuleros restrtos foram apresentados por Schethauer (2002) e por Yanasse e orabto (2003). No entanto, estes modelos podem requerer elevado tempo computaconal na resolução do problema de corte devdo ao grande número de varáves envolvdas. Não se tem conhecmento na lteratura de outros trabalhos a respeto. Neste trabalho, mplementamos e testamos dos algortmos para a determnação de padrões tabuleros exatos, onde o número de tens de cada tpo a serem produzdos no padrão é lmtado. A lmtação de tens em padrões tabuleros ocorre, por exemplo, no corte de pedras. Os dos algortmos se baseam em procedmentos para resolução do problema da mochla undmensonal presentes na lteratura. O prmero algortmo, apresentado em Katsurayama e Yanasse (2004b), se basea no algortmo enumeratvo de Yanasse, Soma e aculan (2000) para determnação das K-melhores soluções para o problema da mochla undmensonal e, o segundo algortmo, apresentado em Yanasse e Katsurayama (2004), se basea no método da enumeração mplícta de Glmore e Gomory (963). Ambos os algortmos também utlzam o algortmo construtvo para geração de padrões tabuleros a partr de uma combnação dada de tens apresentado em Katsurayama e Yanasse (2004a). O algortmo construtvo de Katsurayama e Yanasse (2004a) pressupõe uma combnação de tens que poderam estar no padrão e fornece um padrão tabulero exato com estes tens, caso um exsta ou conclu que não exste tal padrão. Testes computaconas são apresentados para comparar os dos algortmos propostos com os resultados obtdos através do modelo matemátco de Yanasse e orabto (2003). Um refnamento no lmtante superor do segundo algortmo é sugerdo e também testado. 568

3 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável 2 Os Algortmos Implementados Consdere, como dados de entrada para os algortmos, um obeto retangular de dmensão W L a ser cortado de modo a produzr dferentes tpos de tens retangulares menores de dmensão w l. Cada tem ( =,..., ) apresenta um lucro (valor de utldade) π e uma demanda d assocados. 2. Algortmo Enumeratvo A área ocupada por cada um dos tens no padrão é dada por a = wl. Sabe-se que uma condção necessára que deve ser satsfeta por quasquer combnações de tens em um padrão é que a soma total de suas áreas não deve exceder a área do obeto, o que corresponde a resolver o segunte problema relaxado: axmzar Sueto a: = = π λ a λ WL, λ, =,...,, d λ 0, =,..., e ntero. No prmero algortmo, encontra-se a melhor solução para este problema relaxado e verfca-se a possbldade de gerar um padrão tabulero exato para a combnação λ = ( λ,..., λ ) obtda. Se for possível a geração do padrão, então a solução fo encontrada e o algortmo é encerrado. Caso contráro, prossegue-se verfcando a possbldade de geração da segunda, da tercera,..., da K-melhor combnação λ, até que o padrão tabulero exato sea obtdo. Um resumo deste procedmento é apresentado adante: Passo : construa uma lsta com as K-melhores soluções (combnações) para o problema relaxado Passo 2: pegue a melhor combnação da lsta construída Passo 3: usando o algortmo de Katsurayama e Yanasse (2004a), tente gerar um padrão tabulero exato para a dada combnação. Se o padrão tabulero fo gerado com sucesso, então PARE Caso contráro, retorne ao Passo Algortmo de Enumeração Implícta Este segundo algortmo basea-se no método da enumeração mplícta de Glmore e Gomory (963). A vantagem do algortmo de enumeração mplícta sobre o algortmo enumeratvo apresentado anterormente é a possbldade de nterromper sua execução e mesmo assm dspor de alguma solução. No algortmo enumeratvo anteror uma solução só é obtda no fnal de sua execução. O método proposto por Glmore e Gomory (963) resolve o Problema da ochla Undmensonal Irrestrto. Adaptações foram fetas neste método para ldar com o caso restrto. Além dsso, o algortmo construtvo para gerar padrões tabuleros exatos a partr de uma combnação dada de tens proposto em Katsurayama e Yanasse (2004) fo embutdo no novo algortmo. O método faz uma busca em profunddade prmero e aplca lmtantes superores e nferores para que o processo de enumeração das soluções sea realzado de manera mplícta, sem a necessdade de se verfcar todas as combnações do problema. 569

4 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável O algortmo de enumeração mplícta para determnação de padrões tabuleros exatos e restrtos é apresentado a segur: Passo : ordenação dos tens. Para cada tpo de tem, defna v π = (,..., w l = ) e reordene os tens, tal que v v2... v. Passo 2: determnação da solução ncal. X Determne a = ( a, a2,..., a ), tal que a = mn, d, u, =,...,, onde: wl X =espaço restante da mochla (ncalmente, X = WL ) u =número de tens do tpo que podem ser colocados no padrão e, anda assm, um padrão tabulero pode ser gerado. Passo 3: avalação da solução corrente e armazenamento da solução mas valosa. Determne g( a) = π a = Se G < g(a) (ncalmente, G = 0 ), então faça G = g(a) e guarde a = a. Passo 4: teste de otmaldade e cálculo do lmtante superor. Determne o maor índce, tal que a > 0 Se = 0 então PARE, a é a solução ótma Senão, faça: Iníco WL = WL wla... wl ( a ) wld WL = + Determne, tal que: > wld WL = + Se for ndetermnado, então faça: WL Se ( w + l + d + > WL ) então faça G = π a... π ( a ) π + w + l + Senão faça G = π a ( a ) + π + d + d Senão faça: Iníco a = d, = +,..., WL wla = + a = w l 570

5 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Fm. Fm G π... π ( ) π π = a + + a + a + + a Passo 5: bactracng. Se G G, então faça: Iníco a = 0 X a + = mn, d+, u+, =,...,, onde: w+ l+ X=espaço restante da mochla (ncalmente, X = WL w la... w l a ) u + =número de tens do tpo + ( =,..., ) que podem ser colocados no padrão e, anda assm, um padrão tabulero pode ser gerado Volte para o Passo 4 Fm Senão, faça: Iníco: a = a Se ( a < 0 ) faça a = 0 e volte para o Passo 4 X a + = mn, d+, u+, =,...,, onde: w+ l+ X=espaço restante da mochla (ncalmente, X = WL w la... wl a ) u =número de tens do tpo + ( =,..., ) que podem ser colocados no padrão e, + anda assm, um padrão tabulero pode ser gerado Fm Enquanto ( a = 0,..., a 0 ) e volte para o Passo 3. + = 3 Testes Computaconas Foram realzados testes computaconas para avalar estes algortmos e compará-los com os da lteratura. O modelo 4 de Yanasse e orabto (2003) fo utlzado para comparação. Este modelo é baseado na formulação não lnear de orabto e Arenales (2000) para padrões tabuleros rrestrtos. Segundo Yanasse e orabto (2003), o modelo 4 fo o que apresentou o melhor desempenho dentre os modelos lneares para padrões tabuleros restrtos testados pelos autores. Os algortmos foram mplementados em lnguagem C++. Uma grande dfculdade do algortmo enumeratvo é a geração das K-melhores soluções do Problema da ochla. No algortmo de Yanasse, Soma e aculan (2000) que fo utlzado na mplementação computaconal, é construída uma matrz de dmensão m LW para enumerar as possíves combnações de tens que devem ser recuperadas. O algortmo, portanto, apresenta um requsto de memóra na ordem de O (LWm). Em problemas prátcos, onde as dmensões dos obetos pode faclmente ultrapassar centenas de undades e onde exstem dezenas de tpos de tens de tamanhos relatvamente pequenos a serem cortados, o problema de se manpular matrzes grandes pode tornar-se crítco. Uma solução encontrada para resolver este problema fo realzar uma mudança de escala nos dados de entrada do problema. Neste caso, as áreas dos tens e obeto são dvddas por um fator de escala, calculado pela menor área dentre os tens consderados. 57

6 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Os testes foram realzados num mcrocomputador Pentum III de GHz com 28B RA rodando o sstema operaconal Lnux. O equpamento utlzado possu confgurações smlares às do equpamento utlzado por Yanasse e orabto (2003) nos testes computaconas realzados por estes autores. Nos testes computaconas foram utlzados dos conuntos de nstâncas extraídas da lteratura. O prmero conunto de nstâncas reúne dados de Yanasse e orabto (2003), Vanna et al. (2002), Chrstofdes e Whtloc (977), Wang (983) e Olvera e Ferrera (990). O segundo conunto de nstâncas fo extraído de Hf (2005). A Tabela apresenta os resultados obtdos para o prmero conunto de nstâncas. Os tempos computaconas estão expressos em segundos: TABELA ALGORITO ENUERATIVO X ALGORITO DE ENUERAÇÃO IPLÍCITA X ODELO DE YANASSE E ORABITO (2003) (INSTÂNCIAS EXTRAÍDAS DE YANASSE E ORABITO, 2003 VIANNA ET AL, 2002 CHRISTOFIDES E WHITLOCK, 977 WANG, 983 OLIVEIRA E FERREIRA, 990) Instânca Valor da solução ótma Algortmo Enumeratvo Algortmo de Enumeração Implícta odelo de Yanasse e orabto (2003) * * * * * * * * * VAG A ** CW CW CW * W * OF OF * Solução homogênea, ** não encontrou uma solução no lmte de tempo fxado em 3600 segundos. Da Tabela, observamos que apenas na nstânca A (de orabto e Arenales, 2000) não se determnou uma solução pelo algortmo enumeratvo no lmte de tempo fxado em 3600 segundos. O algortmo enumeratvo fo mas rápdo do que o modelo 4 de Yanasse e orabto (2003) em 3 das 8 nstâncas avaladas. O algortmo de enumeração mplícta fo mas rápdo em todas as nstâncas testadas, exceto na nstânca A. A nstânca A apresenta tens com grande demanda, portanto sem lmtações de tens no padrão. A exstênca de város tens relatvamente pequenos em comparação ao tamanho do obeto também contrbu para dfcultar a resolução desta nstânca por métodos de 572

7 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável enumeração. O tamanho relatvo, a freqüênca e o número de dferentes tpos de tens são alguns dos fatores que nfluencam no aumento ou redução de combnações possíves que precsam ser nvestgadas para se determnar o melhor padrão tabulero. A Tabela 2 apresenta os resultados obtdos para o segundo conunto de nstâncas: TABELA 2 ALGORITO ENUERATIVO X ALGORITO DE ENUERAÇÃO IPLÍCITA (INSTÂNCIAS EXTRAÍDAS DE HIFI, 2005) Instânca Valor da solução ótma Algortmo Enumeratvo Algortmo de Enumeração Implícta HH * * A * A STS ** 0.65 CHL ** 2.43 CHL CW CW * CW * ** 0.28 Hchl ** 2.45 Hchl ** s s * As * A2s STS2s ** 0.62 STS4s **.83 CHLs ** 2.43 CHL2s A A A ** 0.88 CHL CHL ** 7.26 CHL ** 25.6 CU CU Hchl3s Hchl4s Hchl6s ** 4.93 Hchl7s ** Hchl8s * Solução homogênea, ** não encontrou uma solução no lmte de tempo fxado em 3600 segundos. Da Tabela 2, observa-se que o algortmo enumeratvo falhou na determnação do padrão tabulero restrto, no tempo lmte de hora, em 3 das 34 nstâncas testadas. A efcênca do algortmo enumeratvo na determnação dos padrões está relaconada com algumas característcas dos dados de entrada do problema. O algortmo de enumeração mplícta conseguu determnar todos os padrões destas nstâncas no lmte de tempo fxado em 3600 segundos sendo que o tempo médo para determnação destes padrões fcou abaxo de mnuto e fo sempre mas rápdo do que o algortmo enumeratvo. 573

8 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Yanasse e orabto (2003) não testaram as nstâncas da Tabela 2. Prevê-se alguma dfculdade em se resolver as nstâncas maores desta Tabela com o modelo deles devdo ao grande número de varáves de decsão. Observamos que é possível melhorar o lmtante superor G calculado no Passo 4 do algortmo de enumeração mplícta se consderarmos apenas a nclusão dos tens restantes que anda podem ser alocados ntegralmente na solução. Assm, as seguntes modfcações nos Passos e 4 são sugerdas: odfcação no Passo : os tens passam a ser ordenados também em função de suas áreas. v = (,..., wl w l w+ l+ K w+ sl+ v = v+ =... = v+ Para cada tpo de tem, defna π = ) e reordene os tens, tal que v v... v e, tal que s, se s (para algum ou s, nteros não negatvos). odfcação no Passo 4: novo lmtante superor é calculado a partr da determnação (ou não) de um valor postvo ntero para o índce. Se for ndetermnado, então faça: Se ( w + l + d + > WL ) então faça Iníco WL Determne o menor índce r ( r =,..., ), tal que > 0 w r + l Se r for ndetermnado, então faça G = π a ( a ) Senão faça WL WL w WL + w l G = π a... π ( a ) π π 2 w l w 2l 2 Fm Senão faça G = π a ( a ) + π + d + d Senão faça: Iníco a = d, = +,..., WL wla = + a = w l WL wla = + Determne o menor índce r ( r =,..., ), tal que > 0 w l Se r for ndetermnado, então faça G 2 l = π a ( a ) + π + a + a 574

9 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Fm. Senão faça G = π a ( a ) + π + a + a + π WL w = wla + + π r l + 2 WL = + + w l a WL w w l 2 2 wla w l = + l Os tempos computaconas obtdos com esta versão refnada do algortmo de enumeração mplícta para o prmero conunto de nstâncas estão apresentados na Tabela 3: TABELA 3 VERSÃO REFINADA DO ALGORITO DE ENUERAÇÃO IPLÍCITA (INSTÂNCIAS EXTRAÍDAS DE YANASSE E ORABITO, 2003 VIANNA ET AL, 2002 CHRISTOFIDES E WHITLOCK, 977 WANG, 983 OLIVEIRA E FERREIRA, 990) Instânca Valor da solução ótma Algortmo de Enumeração Implícta Versão Refnada do Algortmo de Enumeração Implícta * * * * * * * * * VAG A CW CW CW * W * OF OF * Solução homogênea. 575

10 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Da Tabela 3, com o refnamento sugerdo, observa-se uma redução do tempo de processamento em todas as nstâncas testadas. Na Tabela 4 mostra-se os resultados obtdos pela versão refnada para o segundo conunto de nstâncas: TABELA 4 VERSÃO REFINADA DO ALGORITO DE ENUERAÇÃO IPLÍCITA (INSTÂNCIAS EXTRAÍDAS DE HIFI, 2005) Instânca Valor da solução ótma Algortmo de Versão Refnada do Algortmo de Enumeração Implícta Enumeração Implícta HH * * A * A STS CHL CHL CW CW * CW * Hchl Hchl s s * As * A2s STS2s STS4s CHLs CHL2s A A A CHL CHL CHL CU CU Hchl3s Hchl4s Hchl6s Hchl7s Hchl8s * Solução homogênea. A redução no tempo de processamento também é observada na Tabela 4 em todas as nstâncas avaladas sendo que, em alguns casos, esta redução chegou a mas de 50% (p. ex: nstâncas STS4s, CHLs, Hchl3s, Hchl4s, Hchl7s). 4 Consderações Fnas Neste trabalho foram testados dos algortmos para a determnação de padrões tabuleros exatos e restrtos. Estes métodos utlzam o algortmo construtvo para geração de padrões tabuleros exatos de Katsurayama e Yanasse (2004) e são baseados em algortmos para resolução do problema da 576

11 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável mochla undmensonal encontrados na lteratura. O prmero algortmo basea-se no algortmo enumeratvo de Yanasse, Soma e aculan (2000) para determnação das K-melhores soluções para o problema da mochla undmensonal. O segundo algortmo basea-se no método da enumeração mplícta de Glmore e Gomory (963) para resolução do problema da mochla undmensonal rrestrto. Testes computaconas realzados com nstâncas extraídas da lteratura mostraram que os dos algortmos têm desempenhos em termos de tempos de processamento, em méda, melhores do que os ndcados na lteratura utlzando-se o modelo de Yanasse e orabto (2003). Dentre os dos algortmos testados, o de enumeração mplícta apresentou o melhor desempenho. O algortmo de enumeração mplícta tem a vantagem de permtr obter uma solução para o problema mesmo que sua execução sea nterrompda, ao contráro do que acontece com o algortmo enumeratvo que só obtém uma solução ao fnal de sua execução. Um refnamento proposto no lmtante superor do algortmo de enumeração mplícta possbltou uma pequena redução do tempo computaconal em uma boa parte das nstâncas utlzadas nos testes computaconas. Acredta-se que outros refnamentos possam ser ntroduzdos para se tentar reduzr anda mas este tempo. Por exemplo, pode-se tentar levar em consderação também restrções com respeto às larguras e comprmentos dos tens, além de suas respectvas áreas, no problema da mochla utlzado, para lmtar anda mas a procura. Os algortmos testados neste trabalho apenas determnam padrões tabuleros exatos. Infelzmente, uma extensão deles para o caso da determnação de padrões tabuleros não exatos não parece ser trval. Os algortmos geram também padrões tabuleros rrestrtos. No entanto, seus desempenhos são nferores, em termos do tempo de processamento, aos algortmos desenvolvdos especfcamente para a determnação de padrões tabuleros rrestrtos (vde, por exemplo: orabto e Arenales, 2000 Katsurayama e Yanasse 999, 2000). Na prátca, podemos utlzar os dos algortmos de manera combnada. Incalmente o algortmo para o problema rrestrto é aplcado. Se o padrão gerado for vável, o problema está resolvdo. Se for nvável, utlzamos o seu valor como lmtante superor para o problema restrto e aplcamos o algortmo de geração do padrão restrto. 5 Reconhecmento Este trabalho fo parcalmente fnancado pelo CNPq (Conselho Naconal de Pesqusa e Desenvolvmento Centífco e Tecnológco) e pela FAPESP (Fundação de Amparo a Pesqusa do Estado de São Paulo). 6 Referêncas Bblográfcas Belluzzo, L. Otmzação nos planos de corte de chapas de fbra de madera reconsttuída: Um estudo de caso. Dssertação de estrado em Engenhara de Produção. Unversdade Federal de São Carlos São Carlos (SP), Chrstofdes, N. Whtloc, C. An algorthm for two-dmensonal cuttng problems. Operatons Research, v.25, n., p.30-44, 977. Glmore, P. Gomory, R. A lnear programmng approach to the cuttng-stoc problem II. Operatons Research, v., n.6, p , 963. Glmore, P. Gomory, R. ultstage cuttng stoc problems of two and more dmensons. Operatons Research, v.3, n., p.94-20, 965. Hf, hand. ftp://cermsem.unv-pars.fr/pub/cerse/hf/2dcuttng. 0/03/

12 Pesqusa Operaconal e o Desenvolvmento Sustentável Katsurayama, D.. Yanasse, H. H. Um algortmo enumeratvo para determnação de padrões tabuleros. [CDRO]. In: Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, 3., Juz de Fora (G), 999. Anas. Tec Art Edtora. Seção de Corte e Empacotamento, 999. Katsurayama, D.. Yanasse, H. H. Um algortmo enumeratvo para determnação de padrões tabuleros: aspectos computaconas de mplementação. [CDRO]. In: Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, 32., Vçosa (G). Anas. Tec Art Edtora. Seção de Corte e Empacotamento, Katsurayama, D.. Yanasse, H. H. Um algortmo para geração de padrões tabuleros exatos a partr de uma combnação dada de tens. [CDRO]. In: Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, 36., São João Del-Re (G), 2004a. Katsurayama, D.. Yanasse, H. H. Um algortmo enumeratvo para determnação de padrões tabuleros exatos e restrtos. IV Worshop do Curso de Computação Aplcada. INPE. São José dos Campos (SP), 2004b. orabto, R. Arenales,. N. Optmzng the cuttng of stoc plates n a furnture company. Internatonal Journal of Producton Research, v.38, n.2, p , Olvera, J. F. Ferrera, J. S. An mproved verson of Wang s algorthm for two-dmensonal cuttng problems. European Journal of Operatonal Research, v.44, p , 990. Schethauer, G. On a two-dmensonal gulhotne cuttng problem. IFORS Ednburgh, Scotland, U. K. Cuttng and Pacng Worshop, Yanasse, H. H. Katsurayama, D.. Um algortmo de enumeração mplícta para geração de padrões tabuleros exatos e restrtos. SPOL 2004 VII Smpóso de Pesqusa Operaconal e Logístca da arnha. Ro de Janero (RJ), Yanasse, H. H. Soma, N. Y. aculan N. An algorthm for determnng the -best solutons of the one-dmensonal napsac problem. Pesqusa Operaconal, v.20, n., p.7-34, Yanasse, H. H. orabto, R. Lnear odels for two-stage constraned two-dmensonal gullotne cuttng problems. Worng paper, INPE/UFSCAR (submetdo para publcação), Wang, P. Two algorthms for constraned two-dmensonal cuttng stoc problems. Operatons Research, v.3, p