Abordagem da Metaheurística Clustering Search com Simulated Annealing para o Problema de Alocação de Berços de Navios

Transcrição

1 Abordagem da Metaheurístca Clusterng Search com Smulated Annealng para o Problema de Alocação de Berços de Navos Rudne Martns de Olvera 1, *, Geraldo Regs Maur 2, Luz Antono Noguera Lorena 3 1 rudmart@gmal.com, INPE, Brasl 2 maur@cca.ufes.br, UFES, Brasl 3 lorena@lac.npe.br, INPE, Brasl Resumo. Este trabalho apresenta uma revsão da lteratura e algumas abordagens para o Problema de Alocação de Berços (PAB) de navos em portos. Devdo à crescente demanda de navos que transportam contaneres, o PAB pode ser consderado como um dos prncpas problemas em termnas marítmos. Nesse contexto, é proposta uma nova alternatva para resolvê-lo. Essa alternatva é baseada na aplcação do método Clusterng Search (CS) com a metaheurístca Smulated Annealng (SA). O CS é um método teratvo que dvde o espaço de busca em clusters e é composto por uma metaheurístca, um processo de agrupamento e uma heurístca de busca local. Além dsso, o CS utlza como entrada as soluções correntes geradas pelo SA. Por fm, os resultados obtdos são comparados a métodos recentes encontrados na lteratura, permtndo assm verfcar sua efcênca. Palavras-chave: Alocação de Berços, Clusterng Search, Smulated Annealng. 1. Introdução Em 2008 a frota de navos que transportam contaneres teve um aumento em sua capacdade de 17,3 mlhões de toneladas, ou 11,9%, e passaram a representar 13,6% do total mundal. No níco de 2009, a frota mercante mundal atngu 1,19 mlhões, um crescmento de 6,7% em comparação a janero de 2008 e, desde o níco da década, a quantdade de contaneres aumentou em 154% (UNCTAD, 2009). Desse modo, devdo ao ntenso fluxo de navos e contaneres nos portos, estes são forçados a nvestr pesadamente para acomodar os navos, aprofundando e alargando

2 canas e construndo novas nstalações de atraque, tudo para que o tempo de atendmento do navo seja o menor possível. Assm, a busca por uma logístca de acomodar e mnmzar o tempo de espera e atendmento dos navos motvou o surgmento de um problema conhecdo na lteratura como Problema de Alocação de Berços (PAB). O PAB consste em alocar navos a posções de atraque de forma que seja utlzado o máxmo de espaço do cas mnmzando o tempo de servço. As decsões a serem tomadas dzem respeto à posção e ao tempo em que o navo deverá atracar (Ima et al., 2001). O PAB possu grande quantdade de restrções físcas, técncas, entre outras. Isso faz com que seja possível modelá-lo de dferentes maneras. Quanto aos aspectos espacas dos berços, o PAB pode ser modelado como dscreto, contínuo ou híbrdo (Ima et al., 2005). No caso dscreto, o cas é dvddo em város berços e somente um navo é atenddo de cada vez em cada berço, ndependente do seu tamanho. No caso contínuo, não há nenhuma dvsão do cas e, dessa forma, os navos podem atracar em qualquer posção. Já no caso híbrdo, como no caso dscreto, o cas é dvddo em berços, mas os navos grandes podem ocupar mas de uma posção, permtndo assm que navos pequenos compartlhem seu berço. Além dsso, se for levado em conta a chegada dos navos, o problema pode ser tratado como estátco ou dnâmco (Ima et al., 2001). O caso estátco assume que todos os navos já estão no porto para o atendmento dnâmco, o caso dnâmco permte aos navos chegarem a qualquer momento. Em ambos os casos, busca-se por uma melhor dstrbução do espaço mnmzando o tempo total de permanênca dos navos no porto. Nesse contexto, este trabalho apresenta uma nova alternatva para resolver o PAB. É proposta uma aplcação do método híbrdo conhecdo como Clusterng Search - CS (Chaves, 2009), utlzando o Smulated Annealng como gerador de soluções. O CS proposto é comparado a métodos recentes encontrados na lteratura, permtndo assm verfcar sua efcênca na resolução do PAB. O restante do artgo está organzado como segue. A Seção 2 apresenta uma breve revsão bblográfca sobre o PAB. Na Seção 3 é apresentada uma formulação matemátca exstente, e uma relaxação dessa formulação, que é utlzada como base neste trabalho, é descrta na Seção 4. A Seção 5 apresenta de forma detalhada o CS proposto, e os resultados computaconas obtdos são apresentados na Seção 6. Por fm, as consderações fnas são resumdas na Seção Revsão bblográfca Os trabalhos ncas acerca do PAB surgram no fnal dos anos 80, quando Thurman (1989) propôs um modelo de otmzação para o planejamento de berços para a estação naval Norfol (EUA). A partr desse modelo, Brown et al. (1994) elaboraram um plano para mnmzar os confltos dos carregamentos nessa mesma estação. Os mesmos autores anda apresentaram um planejamento de berços para submarnos em Brown et al. (1997). São raros os trabalhos relaconados ao PAB até meados dos anos 90. Entretanto, tas trabalhos vêm ganhando foco, prncpalmente nos últmos 10 anos. Ima et al. (2001) abordaram o PAB em sua forma dnâmca. Os autores apresentam um método baseado na relaxação lagrangana do problema orgnal. Dos anos depos, Ima

3 et al. (2003) aprmoraram sua abordagem consderando dferentes prordades de atendmento entre os navos. Além dsso, os autores propuseram um Algortmo Genétco como método de solução. Cordeau et al. (2005) propõem duas formulações e duas heurístcas baseadas na Busca Tabu para resolver o PAB. Os autores apresentam testes realzados para o porto de Goa Tauro (Itála). Cheong et al. (2008) apresentam uma aplcação do método Multobjectve Evolutonary Algorthm (MOEA) para resolver o PAB. Gallombardo et al. (2010) apresentam um modelo de programação quadrátca e um de programação lnear para representar o PAB. Além dsso, os autores utlzam uma Busca Tabu e uma técnca de programação matemátca para resolver nstâncas baseadas em dados reas. No Brasl, Maur et al. (2008a) propõem uma abordagem baseada na aplcação do Smulated Annealng para resolução do caso dscreto do PAB. Os autores tratam o problema como um Problema de Roteamento de Veículos com Múltplas Garagens e Janelas de Tempo (PRVGMJT). Os resultados computaconas superam os obtdos pelo CPLEX e pela Busca Tabu proposta por Cordeau et al. (2005). Por fm, Maur et al. (2008b) tratam o PAB com um método híbrdo chamado ATP/PL, que utlza o Algortmo de Trenamento Populaconal em conjunto com um modelo de Programação Lnear por meo da técnca de Geração de Colunas. Os resultados obtdos superam os apresentados em Maur et al. (2008a). 3. Formulação matemátca para o PAB Consderando o PAB em sua forma dscreta e dnâmca, assm como descrta por Cordeau et al. (2005), o PAB pode ser modelado como um PRVGMJT (Cordeau et al., 2001; Maur et al., 2008a), onde os navos são vstos como clentes e os berços como garagens. Dessa forma, exstem m veículos, um para cada garagem. Cada veículo nca e termna seu tour em sua garagem. Esses navos são modelados como vértces em um mult-grafo. Cada garagem é dvdda em um vértce de orgem e um de destno. Nos vértces ncal e fnal, as janelas de tempo correspondem ao período de funconamento dos berços. O PRVGMJT é especfcado como um mult-grafo G = (V,A ), M, onde V = N {o(),d()} e A V x V. Assm, utlzou-se a segunte notação: N: conjunto de navos, n = N ; M: conjunto de berços, m= M ; t : duração do atendmento do navo no berço ; a : horáro de chegada do navo ; s : horáro de abertura do berço ; e : horáro de fechamento do berço ; b : horáro de térmno da janela de tempo para o navo ; v : valor do tempo de servço do navo ; x j {0,1}, M, (,j) A, x j = 1 se o navo j é atenddo pelo berço após o navo ; T M, N é o horáro em que o navo atracou no berço ; T o() M é o horáro em que o prmero navo atracou no berço ; T d() M é o horáro em que o últmo navo sau do berço ; M j = max{b + t a j,0}, M, (,j) N. A Fgura 1 lustra os ntervalos de tempo utlzado por cada navo, além das dferentes varáves utlzadas na formulação do PAB. Em seguda, é apresentada a formulação matemátca para o PAB proposta por Cordeau et al. (2005).

4 Fgura 1. A Representação das varáves de tempo (Maur et al., 2008a). Mnmzar: v T a t x j N M jn { d ( )} (1) Sujeto a: j M jn { d ( )} x 1 N (2) x 1 M (3) o( ) j jn { d ( )} x 1 M (4), d ( ) N { o( )} x x 0 M, N (5), j j, jn { d ( )} jn { o( )} T t T j ( 1 x, j ) M, j M ), (, j A (6) T a M, N (7) T T T t x j, b M N j N { d ( )} s o( ) M e d ( ) M, (8) (9) (10) x, j {0,1} M, (, j) A (11) A função objetvo (1) mnmza a soma do tempo de servço, ponderada por um custo assocado v. A restrção (2) ndca que cada navo é atenddo por apenas um únco berço. As restrções (3) e (4) asseguram que para cada berço um navo será o prmero e outro será o últmo a ser atenddo. A restrção (5) garante a conservação do fluxo de atendmento para os navos restantes. A restrção (6) ndca a consstênca do horáro de atracação dos navos. As restrções (7) e (8) garantem que o horáro de atracação seja maor que o tempo de chegada e o horáro de saída do navo seja menor que seu tempo lmte de atendmento (janela de tempo). As restrções (9) e (10) garantem o tempo de dsponbldade do berço. Por fm, a restrção (11) defne o domíno das varáves de decsão. 4. Formulação relaxada para o PAB Maur et al. (2008a) propõem a relaxação das restrções (7), (8), (9) e (10), de tal forma que, as restrções (7) e (8) são transferdas para o termo (13) da função objetvo e as restrções (9) e (10) são nserdas no termo (14). Além dsso, coefcentes de penalzação

5 (ω = [ω 0, ω 1, ω 2 ]) são adconados em cada termo da função. Dessa forma, tem-se a segunte formulação: Mnmzar: 0v T a t xj N M jn { d ( )} (12) 1 max 0, a T max 0, T t xj b N M jn { d ( )} (13) max 0, T max 0 T e (14) s o( d ) ( ) 2, M Sujeto a: j M jn { d ( )} x 1 N (15) x 1 M (16) o( ) j jn { d ( )} x 1 M (17), d ( ) N { o( )} x x 0 M, N (18), j j, jn { d ( )} jn { o( )} T t T j ( 1 x, j ) M, j M ), (, j A (19) x, j {0,1} M, (, j) A (20) A partr dessa formulação, tem-se uma nova função objetvo (12), (13) e (14). Em cada termo dessa função há um fator de penaldade ndcados pelos ômegas. O termo (12) mantém na função objetvo o tempo de servço junto com um custo assocado. No terno (13) as volações das janelas de tempo dos navos são mnmzadas. Por últmo, o termo (14) mnmza as volações nas janelas de tempo dos berços. Segundo Maur et al. (2008a) com base nessa nova formulação do PAB e avalando suas restrções, nota-se que apesar do problema ter sdo modfcado para um problema menos árduo (Problema de Roteamento de Veículos com Garagens Múltplas sem Janelas de Tempo) ele poderá apresentar as mesmas soluções do problema orgnal (com janelas de tempo). Por outro lado, o modelo também poderá apresentar soluções nváves, mas essas nvabldades são elmnadas por meo das penalzações nserdas no modelo. 5. CS proposto Segundo Chaves (2009) o CS é um método teratvo que procura dvdr o espaço de busca e localzar regões promssoras por meo do enquadramento dessas em clusters. Um cluster pode ser defndo por três atrbutos C = {c,v,r}. O centro c é uma solução que representa o cluster, e dentfca a sua localzação dentro do espaço de busca. O volume v é a quantdade de soluções agrupadas no cluster. Um cluster se torna promssor quando o volume atngr um certo lmtante λ. O índce de nefcáca r é uma varável de controle para dentfcar se a busca local está ou não melhorando o centro do cluster. O valor de r ndca o número de vezes consecutvas que a busca local fo aplcada no cluster e não melhorou a solução. Esse atrbuto evta que a busca local seja executada em regões runs ou regões que já tenham sdo sufcentemente exploradas por mas de r max vezes.

6 O CS é formado bascamente por três componentes prncpas: uma metaheurístca geradora de soluções, um processo de agrupamento e uma heurístca de busca local. A cada teração do CS, uma solução S é gerada pela metaheurístca e envada para o processo de agrupamento. Essa solução é então agrupada no cluster mas smlar C j e o centro desse cluster c é atualzado com nformações contdas na nova solução agrupada, fazendo com que o centro se desloque no espaço de busca. Em seguda, é analsado o volume v j do cluster e, caso esse volume atnja um lmtante λ (ν λ), percebe-se que algum padrão de solução está sendo predomnantemente gerado pela metaheurístca. Portanto, esse cluster pode estar em uma regão de busca promssora. Por fm, é analsado o índce de nefcáca r j, ou seja, caso a heurístca de busca local não melhore a solução por r max vezes consecutvas (r j r max ), é aplcada uma perturbação aleatóra no centro c j, objetvando escapar de um possível ótmo local. Por outro lado, se r j < r max, a heurístca de busca local é aplcada no centro c j analsando a vznhança do cluster. Encerrado esse processo, retorna-se para a metaheurístca que rá gerar uma nova solução. O crtéro de parada do CS é geralmente defndo pela metaheurístca escolhda. A Fgura 2 apresenta o fluxograma de execução do CS. Mas detalhes sobre esse método são apresentados em Chaves (2009) e Olvera (2004). Fgura 2. Fluxograma do CS (Chaves, 2009). Segundo o fluxograma do CS (Fgura 2), são crados então os clusters ncas. Assm, para cada cluster é crada uma solução por meo das heurístcas de dstrbução e programação apresentadas em Maur et al. (2008a). Essas heurístcas são apresentadas nas Fguras 3 e 4, respectvamente.

7 1. CRIAR (m berços vazos); 2. CRIAR (uma lsta L com todos os navos); 3. ORDENAR (a lsta L pelo horáro de chegada dos navos ao porto); 4. PARA (cada navo j em L, j = 1,2,...,n) FAÇA 5. SELECIONAR (um berço, = 1,2,...,m); 6. SE (o berço não puder atender ao navo j) 7. VOLTAR (para o passo 5); 8. SENÃO 9. ATRIBUIR (o navo j ao berço ); 10. FIM-SE; 11. FIM-PARA; Fgura 3. Heurístca de dstrbução (Maur et al., 2008a). A partr de então, o SA, baseado no proposto por Maur et al. (2008a), é executado, e a cada temperatura, a solução corrente (não a melhor) é envada ao CS. A Fgura 5 apresenta um pseudo-códgo do SA mplementado. Pode-se notar que o CS é chamado na lnha 20 desse algortmo, ou seja, a cada temperatura. 1. PARA (cada berço, = 1,2,...,m) FAÇA 2. PARA (cada navo atrbuído a ) FAÇA 3. T max(a,s ), 1 max(a,t 1 t -1 ), 1 4. FIM-PARA; 5. FIM-PARA; 6. CALCULAR (a função objetvo para a solução atual); Fgura 4. Heurístca de programação (Maur et al., 2008a).

8 1. DADO (, SAmax, T 0 e T C ) FAÇA 2. GERAR (uma solução S por meo da heurístca de dstrbução); 3. AVALIAR (a solução S por meo da heurístca de programação); 4. S* S; {Melhor solução obtda até então} 5. IterT 0; {Número de terações na temperatura T} 6. T T 0 ; {Temperatura corrente} 7. ENQUANTO (T > T C ) FAÇA 8. ENQUANTO (IterT < SAmax) FAÇA 9. IterT IterT + 1; 10. GERAR (um vznho qualquer S por meo de um dos mov. de troca); 11. APLICAR (a heurístca de programação em todos os berços de S ); 12. f(s ) f(s); 13. SE ( < 0) S S ; 14. SE (f(s ) < f(s*)) S* S ; FIM-SE; 15. SENÃO 16. TOMAR (x [0,1]); 17. SE (x < e -/T ) S S ; FIM-SE; 18. FIM-SE; 19. FIM-ENQUANTO; 20. EXECUTAR-CS (solução corrente S); 21. T * T; IterT 0; 22. FIM-ENQUANTO; 23. S S*; 24. RETORNAR (S); Fgura 5. Algortmo Smulated Annealng utlzado no CS (Adaptado de Maur et al., 2008a). Como estrutura de vznhança no SA (lnha 10) foram utlzados três dferentes movmentos de troca: Reordenar navos, Realocar navo e Trocar navos (Maur et al., 2008a). Assm como na geração da solução ncal, esses movmentos garantem que cada navo seja atrbuído apenas a berços que possam atendê-los. Após a execução de cada um dos movmentos de troca, a heurístca de programação é aplcada para elmnar as sobreposções e recalcular o valor da função objetvo da nova solução. Esses movmentos são apresentados em Maur et al. (2008a,b). Cada solução vznha no SA (lnha 10) é gerada por apenas um desses movmentos, sendo a sua escolha feta de forma aleatóra, porém unformemente dstrbuída, possbltando assm uma boa dversdade entre as soluções ntermedáras geradas, e consequentemente uma boa exploração do espaço de soluções. O CS é mplementado de acordo com o apresentado em Chaves (2009). Vale destacar que antes mesmo da execução do SA, as soluções centro de clusters já foram cradas (como descrto anterormente). Ao fnal da execução do SA, ou seja, do método CS-SA como um todo, a melhor solução encontrada é tomada como solução fnal para o problema. O algortmo EXECUTAR-CS é apresentado na Fgura 6.

9 1. DADA (uma solução S); 2. ENCONTRAR (o cluster C j mas smlar a S); 3. v j v j + 1; 4. ATUALIZAR (o centro do cluster C j ); 5. SE v j ENTÃO 6. v j 1; 7. SE r j r max ENTÃO 8. APLICAR (perturbação em c j ) 9. r j 0; 10. SENÃO 11. APLICAR (busca local encontrar c j ); 12. SE f(c j ) < f(c j ) ENTÃO 13. c j c j ; 14. r j 0; 15. SENÃO 16. r j r j + 1; 17. FIM-SE; 18. FIM-SE; 19. FIM-SE; Fgura 6. Algortmo EXECUTAR-CS. Como menconado anterormente, a determnação do cluster mas smlar (lnha 2) é dada pela menor dstânca de Hammng (Hammng, 1950). A atualzação do centro do cluster (lnha 4) é dada pela execução do Path-Relnng entre a solução dada S e a solução c j centro do cluster C j (Fgura 7). A déa desse algortmo é smples, e consste em executar os movmentos necessáros para transformar a solução S (cópa de S) na solução c j. A partr destes movmentos, a melhor solução encontrada é tomada como novo centro do cluster C j. 1. DADO (S e c j ) 2. PARA (cada navo, = 1,...,n) FAÇA 3. SE (berço que atende o navo em S berço que atende o navo em c j ); 4. REMOVER (o navo de seu respectvo berço em S ); 5. INSERIR (o navo no berço em S correspondente ao berço em c j ); 6. SE (f(s ) < f(c j )) ENTÃO 7. c j S ; 8. SENÃO 9. SE (f(s ) = f(c j )) ENTÃO 10. PARE; 11. FIM-SE; 12. FIM-SE; 13. FIM-PARA; Fgura 7. Path-Relnng utlzado na atualzação dos centros de clusters.

10 A perturbação apresentada na lnha 8 do EXECUTAR-CS (Fgura 6) é dada por uma smples aplcação do movmento trocar navos. Por fm, a busca local (lnha 11 do EXECUTAR-CS Fgura 6) utlzada para ntensfcar a busca em clusters promssores é apresentada na Fgura 8. É nteressante destacar que a busca local é aplcada por berço, evtando assm um alto tempo de processamento. 1. PARA (cada berço pertencente a c j ) FAÇA 2. ENQUANTO (melhorar a solução) FAÇA 3. PARA (todos os navos de c j ) FAÇA 4. INSERIR (o navo p em todas as posções do berço); 5. ARMAZENAR (os navos e as posções que resultam na melhor solução); 6. FIM-PARA; 7. INSERIR (os navos nas melhores posções armazenadas); 8. FIM-ENQUANTO; 9. FIM-PARA; Fgura 8. Busca local. 6. Expermentos computaconas Foram utlzadas 30 nstâncas dstntas, cada uma com 60 navos e 13 berços. Essas nstâncas são baseadas em dados do porto de Goa Tauro (Itála), e foram geradas aleatoramente por Cordeau et al. (2005). Todos os expermentos foram realzados em um PC com processador AMD Athlon 64 de 2.2 GHz e 1GB de memóra RAM (mesma máquna utlzada por Maur et al. 2008a,b). Toda a mplementação fo desenvolvda na lnguagem C++. Os parâmetros utlzados pelo CS, em todos os expermentos, foram T 0 = 20000, α = 0.975, T C = 0.01, SAmax = 1000, = 7, rmax = 3 e o número de clusters fo gual 10. As penalzações utlzadas em ambos os casos foram ω = [1,10,10]. Foram realzados 5 testes para cada nstânca. A Tabela 1 apresenta os resultados obtdos nesses testes. A coluna Melhor f(s) apresenta a melhor solução (FO) encontrada nos cnco testes para cada nstânca. A coluna f(s) méda apresenta a méda artmétca das 5 funções objetvo encontradas, e a coluna Tempo Médo apresenta o tempo médo para resolver cada nstânca (em segundos). Por fm, a coluna Desvo é obtda pela equação abaxo. f(s) méda Melhor Desvo Melhor f(s) f(s) *100 Analsando a Tabela 1, percebe-se a robustez do CS, pos o método fo capaz de obter as soluções nos 5 testes em tempos computaconas baxos (méda de 12,79 seg. por nstânca) com um desvo médo de 0,04%.

11 Tabela 1. Testes realzados com o CS. Inst. TESTE 1 TESTE 2 TESTE 3 TESTE 4 TESTE 5 Melhor f(s) Desvo Tempo FO Tempo FO Tempo FO Tempo FO Tempo FO Tempo f(s) Méda (%) Médo , , , , , ,40 0,17 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,40 0,03 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 13, , , , , , ,60 0,04 14, , , , , , ,00 0,00 13, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,40 0,10 13, , , , , , ,40 0,03 12, , , , , , ,40 0,10 12, , , , , , ,00 0,15 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,00 0,15 12, , , , , , ,20 0,17 12, , , , , , ,00 0,00 12, , , , , , ,80 0,06 12, , , , , , ,60 0,05 12, , , , , , ,40 0,10 12,58 7. Consderações fnas Este trabalho teve por fnaldade estudar o Problema de Alocação de Berços (PAB). Dentro desse contexto, buscou-se contrbur no aprmoramento de uma logístca na dstrbução do espaço do cas mnmzando o tempo total de servço dos navos, evtando assm prejuízos para o porto com embarcações rejetadas.

12 Para resolver o PAB, fo proposta uma aplcação do método híbrdo Clusterng Search (CS) utlzando o Smulated Annealng como gerador de soluções. O CS mostrou ser adequado e efcente na localzação de regões promssoras por meo do enquadramento dessas em clusters. Dessa forma, percebe-se que o CS atuou como uma alternatva para acelerar a obtenção de boas soluções. De uma forma geral, os resultados obtdos demonstram que o CS fo capaz de gerar soluções de boa qualdade para todas as nstâncas em tempos computaconas expressvamente baxos. Agradecmentos: Os autores agradecem à FAPES (processo /09), ao CNPq (processo /2008-3) e a CAPES pelo apoo fnancero. Referêncas Berwrth, C. e Mesel, F. (2010), A survey of berth allocaton and quay crane schedulng problems n contaner termnals, European Journal of Operatonal Research, 202(3), Brown, G. G., Lawphongpanch, S. e Thurman, K. P. (1994), Optmzng shp berthng, Naval Research Logstcs, 41, Brown, G. G., Cormcan, K. J., Lawphongpanch, S. e Wdds, D. B. (1997), Optmzng submarne berthng wth a persstence ncentve, Naval Research Logstcs, 44, Buhral, K., Zuglan, S., Rope, S., Larsen, J. e Lusby, R., Models for the dscrete berth allocaton problem: a computatonal comparson. Techncal Report 14/ Techncal Unversty of Denmar, Chaves, A. A., Metaheurístcas híbrdas com busca por agrupamentos para problemas de otmzação combnatóra. Tese (Doutorado em Computação Aplcada) - Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas (INPE), São José dos Campos, Cheong, C. Y., Tan, K. C., Lu, D. K. e Ln, C. J. (2008), Mult-objectve and prortzed berth allocaton n contaner ports. Annals of Operatons Research, [n press]. Cordeau, J. F., Laporte, G. e Mercer, A. (2001), A unfed tabu search heurstc for vehcle routng problems wth tme wndows. Journal of the Operatonal Research Socety, 52 (8), Cordeau, J. F., Laporte, G., Legato, P. e Mocca, L. (2005), Models and tabu search heurstcs for the berth allocaton problem, Transportaton Scence, 39, Gallombardo, G., Mocca, L., Salan, M. e Vacca, I. (2010), Modelng and solvng the tactcal berth allocaton problem. Transportaton Research Part B, 44 (2), Hammng, R. W. (1950), Error detectng and error correctng codes. Bell System Techncal Journal, 26(2), Ilog. ILOG CPLEX 10.0: user s manual. France: [s.n.], 478 p, 2006.

13 Ima, A., Nshmura, E. e Papadmtrou, S. (2001), The dynamc berth allocaton problem for a contaner port, Transportaton Research Part B, 35, Ima, A., Nshmura, E. e Papadmtrou, S. (2003), Berth allocaton wth servce prorty, Transportaton Research Part B, 37, Ima, A., Sun, X., Nshmura, E. e Papadmtrou, S. (2005), Berth allocaton n a contaner port: usng a contnuous locaton space approach. Transportaton Research Part B, v. 39, n. 3, p Maur, G. R., Olvera, A. C. M. e Lorena, L. A. N. (2008a), Heurístca baseada no smulated annealng aplcada ao problema de alocação de berços, GEPROS - Gestão da Produção, Operações e Sstemas, 1(1), Maur, G. R., Olvera, A. C. M. e Lorena, L. A. N. (2008b), A hybrd column generaton approach for the berth allocaton problem, Lecture Notes n Computer Scence, 4972, Olvera, A. C. M. Algortmos evolutvos híbrdos com detecção de regões promssoras em espaços de busca contínuo e dscreto. Tese (Doutorado em Computação Aplcada) - Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas (INPE), São José dos Campos, Thurman, K. P., Optmal shp berthng plans. Dssertação (Masters of Scence n Operatons Research) - Naval Postgraduate School, Monterey, Calforna - EUA, UNCTAD. Unted natons conference on trade and development. Revew of martme transport, 2009.