UMA ABORDAGEM HEURÍSTICA VIA MULTIPROCESSAMENTO PARALELO PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE SEQUENCIAMENTO EM UMA MÁQUINA

Transcrição

1 ISSN Ro de Janero- Brasl, 12 e 13 de agosto de 2010 UMA ABORDAGEM HEURÍSTICA VIA MULTIPROCESSAMENTO PARALELO PARA UMA CLASSE DE PROBLEMAS DE SEQUENCIAMENTO EM UMA MÁQUINA Frederco Augusto de Cezar Almeda Gonçalves 1, Marcone Jamlson Fretas Souza 2, Sérgo Rcardo de Souza 1, Leandro Augusto de Araújo Slva 2 1 Centro Federal de Educação Tecnológca de Mnas Geras CEFET-MG Av. Amazonas, 7675 Belo Horzonte, MG, CEP zepfred@gmal.com, sergo@dppg.cefetmg.br 2 Unversdade Federal de Ouro Preto Campus Unverstáro Morro do Cruzero Ouro Preto, MG, CEP marcone@ceb.ufop.br, leandrogattuso88@gmal.com Resumo: Este trabalho tem seu foco no problema de sequencamento em uma máquna com penaldades por antecpação e atraso da produção. São consderados tempos de preparação da máquna dependentes da sequênca de produção, bem como a exstênca de janelas de entrega dstntas. Para sua resolução, propõe-se um algortmo heurístco de processamento paralelo. Esse algortmo, denomnado GTSPR-M, combna os procedmentos heurístcos GRASP, Varable Neghborhood Descent, Busca Tabu e Reconexão por Camnhos. O algortmo proposto fo testado em um conjunto de problemas-teste da lteratura e comparado com sua versão sequencal, bem como com um algortmo genétco. Os resultados computaconas mostraram que o GTSPR- M fo superor a esses algortmos, tanto com relação à qualdade da solução fnal quanto em relação ao desvo médo e tempo de processamento na maora dos casos. Palavras-chave: Sequencamento em uma máquna, Processamento Paralelo, Metaheurístcas. Abstract: Ths work has ts focus n the problem of schedulng sngle machne wth earlness and tardness penaltes, dstnct due wndows and sequence dependent setup. A parallel processng algorthm to solve t s proposed. Ths algorthm, named GTSPR-M, combnes the heurstc procedures GRASP, Varable Neghborhood Descent, Tabu Search and Path Relnkng. The GTSPR-M was compared to ts sequental verson as well as a genetc algorthm, usng a set of nstances of the lterature. Computatonal results showed that GTSPR-M outperforms these algorthms, wth respect to the qualty of the fnal soluton, the average gap and processng tme n most cases. Keywords: Sngle machne schedulng, Parallel processng, Metaheurstcs.

2 1 Introdução Trata-se, neste trabalho, o problema de sequencamento em uma máquna com mnmzação das penaldades por antecpação e atraso da produção (Sngle Machne Schedulng for Mnmzng Earlness and Tardness Penaltes), em que há um conjunto de janelas de entrega dstntas e tempos de preparação da máquna dependentes da sequênca da produção. Este problema, denotado por PSUMAA-JP, representa uma generalzação dos problemas de sequencamento em uma máquna com penaldades por antecpação e atraso. De fato, quando a janela de entrega de uma tarefa reduz-se a uma data de entrega, tem-se o problema com datas de entrega dstntas. Caso as janelas sejam as mesmas para todas as tarefas e estas se reduzam a uma mesma data, tem-se o problema com datas comuns de entrega. Consderando-se tempo de preparação nulo, tem-se o problema de sequencamento com tempo de preparação ndependente da sequênca. Em vsta de sua dfculdade de solução, esse problema tem sdo tratado na lteratura por meo de algortmos heurístcos, todos sequencas. Assm são os algortmos de Gomes Jr. et al. (2007), Souza et al. (2008), Rosa et al. (2009) e Rbero et al. (2009). Com a presença de recursos multcore na maora dos computadores atuas é possível explorar paralelsmo de uma manera muto mas smples do que com a utlzação de um cluster envolvendo váras máqunas, possvelmente heterogêneas. A paralelzação de algortmos traz, entre outras vantagens, a possbldade de melhorar a qualdade das soluções fnas ou a redução do tempo computaconal. Assm, de forma a explorar os recursos de multprocessamento dos computadores atuas, propõe-se um algortmo heurístco paralelo para resolver o problema em questão. Em lnhas geras, ele funcona como segue. Na prmera fase, aplca-se GRASP para gerar uma solução ncal. Nessa fase, a solução é construída dstrbundo-se o processamento entre város threads, sendo estes processados em paralelo. A melhor solução encontrada por algum destes threads é utlzada como solução ncal para o algortmo. A segur, na segunda fase, esta solução é refnada pelo procedmento Busca Tabu (Tabu Search TS). Neste procedmento, a geração de vznhos bem como o refnamento destes são executados de forma paralela. Durante a execução do procedmento Busca Tabu também é construído um conjunto de boas soluções, dferencadas entre s, o chamado Conjunto Elte (CE). Esse conjunto é utlzado na tercera fase, na qual é executado o procedmento Reconexão por Camnhos (Path Relnkng PR) como estratéga de pós-otmzação. A Reconexão é aplcada a cada par de soluções do Conjunto Elte, sendo cada par executado em modo paralelo em um thread. O restante deste trabalho está estruturado como segue. Na Seção 2 é feta uma breve revsão de trabalhos relaconados. Na Seção 3 o problema em questão é caracterzado. A Seção 4 apresenta o algortmo heurístco proposto para resolver o PSUMAA-JP. Resultados computaconas são apresentados no capítulo 5. Fnalmente, na Seção 6, conclu-se este trabalho e apresenta-se uma proposta para trabalhos futuros. 2 Trabalhos relaconados Gomes Jr. et al. desenvolveram uma formulação de programação lnear ntera msta para o PSUMAA-JP (2007). O modelo desenvolvdo fo utlzado para resolver na otmaldade problemas de até 12 tarefas. Nesse trabalho também fo proposto um algortmo heurístco, chamado de GILS-VND-RT, que combna os procedmentos heurístcos GRASP, Iterated Local Search (ILS) e Varable Neghborhood Descent (VND). Para cada sequênca gerada pela heurístca, fo desenvolvdo um procedmento para determnar a data ótma de conclusão do processamento de cada tarefa. Tal procedmento fo adaptado de Wan e Yen (2002), nclundo-se no tempo de processamento de uma tarefa o tempo de preparação da máquna, já que quando ele

3 é aconado, já se conhece a sequênca de produção. Souza et al. (2008) desenvolveram um algortmo híbrdo sequencal de três fases, nomeado GTSPR, baseado em GRASP, VND, Busca Tabu e Reconexão por camnhos para o PSUMAA-JP. Na prmera fase os autores utlzam um procedmento baseado em GRASP para gerar a solução ncal. As soluções geradas neste método são refnadas por um procedmento baseado em VND. Na segunda fase, a melhor solução construída pelo procedmento GRASP é, então, refnada por um procedmento baseado em Busca Tabu. Durante a execução da Busca Tabu é formado um conjunto elte com soluções de boa qualdade e dferencadas entre s. Na tercera e últma fase, como estratéga de pós-otmzação, é aplcado o procedmento Reconexão por Camnhos a todos os pares de solução do conjunto elte. Esse algortmo se mostrou superor ao de Gomes Jr. et. al. (2007) quando comparado em termos da qualdade da solução fnal e tempo de processamento. Rbero et al. (2009) propuseram um Algortmo Genétco Adaptatvo, denomnado AGA, para a resolução do PSUMAA-JP. A população ncal é formada com base na aplcação da fase de construção GRASP, tendo como função gua váras regras de despacho. Para cada ndvíduo gerado é utlzado o procedmento PDDOIP de Gomes Jr. et al. (2007) para determnar a data ótma de níco de processamento de cada tarefa na sequênca dada. São utlzados cnco operadores de cruzamento e um de mutação. Incalmente, cada um dos operadores tem a mesma chance de ser escolhdo. No entanto, de cnco em cnco gerações, é atualzada essa probabldade, sendo que aos operadores de cruzamento com melhor desempenho são atrbuídas as maores probabldades. Essa atualzação é feta segundo o procedmento GRASP Reatvo (RESENDE e RIBEIRO, 2010). Durante as cnco gerações é formado um grupo elte com as melhores soluções geradas por cada operador. Após a atualzação das probabldades de aplcação de cada operador, esses ntegrantes do grupo elte são submetdos a uma busca local e, em seguda, à Reconexão por Camnhos, com o objetvo de encontrar soluções ntermedáras de melhor qualdade. O AGA fo capaz de produzr soluções de melhor qualdade que o algortmo de Gomes Jr. et al. (2007). Rosa et al. (2009) desenvolveram dos modelos de programação lnear ntera msta para o PSUMAA-JP. Dentre as duas novas formulações propostas nesse trabalho, uma delas se trata de um aperfeçoamento do modelo de Gomes Jr. et al. (2007), e a outra, uma formulação ndexada no tempo. Segundo os autores, com a formulação ndexada no tempo fo possível obter um maor número de soluções ótmas, assm como um menor tempo de processamento para alcançar a otmaldade. Em Rosa (2009) fo proposto, também, um algortmo heurístco de duas fases baseado em GRASP, VND e no prncípo da otmaldade próxma. Esse algortmo heurístco, nomeado GPV, obteve tempos computaconas nferores aos da lteratura e se mostrou compettvo com os algortmos exstentes até então. Com relação à utlzação de algortmos paralelos, de nosso conhecmento, nenhuma aplcação anda fo desenvolvda para tratar o problema em questão. 3 Caracterzação do problema O PSUMAA-JP possu as seguntes característcas: (a) Uma máquna deve processar um conjunto de n tarefas; (b) Cada tarefa possu um tempo de processamento P. O térmno de cada tarefa é delmtado pela janela de entrega [E, T ], onde E e T ndcam, respectvamente, a data ncal e a data fnal desejadas para o térmno de seu processamento. Se a tarefa for fnalzada antes de E, há um custo α por undade de tempo de antecpação. Caso a tarefa seja fnalzada após T, então há um custo β por undade de tempo de atraso. Consdera-se que não há custo caso as tarefas sejam concluídas dentro da janela de entrega; (d) A máquna pode executar no máxmo uma tarefa por vez. Seu funconamento é não preemptível, ou seja, uma vez ncado o processamento de uma tarefa, não é permtda a sua nterrupção; (e) Todas as tarefas estão

4 dsponíves para processamento na data 0; (f) Entre duas tarefas e j medatamente consecutvas é necessáro um tempo S j de preparação da máquna, chamado tempo de setup. Assume-se que a máquna não necessta de preparação para processamento da prmera tarefa, sto é, a prmera tarefa que será processada na máquna tem tempo de preparação gual a 0; (g) É permtdo tempo ocoso entre o processamento de duas tarefas medatamente consecutvas. O objetvo é determnar a sequênca que mnmza a penaldade total por antecpação e atraso de produção. 4 Metodologa 4.1 Representação da solução, Vznhança e Função de avalação Representa-se uma solução do PSUMAA-JP por um vetor v de n tarefas, em que cada posção de v ndca a ordem em que a tarefa v será executada. Explora-se o espaço de soluções por meo de três tpos de movmentos: troca da ordem de processamento de duas tarefas, realocação de uma tarefa para outra posção e realocação de um bloco de k tarefas, com 2 k n-2. Esses movmentos defnem, respectvamente, as estruturas de vznhança N T, N R e N Or. Uma solução v é avalada pela função f a segur, a qual deve ser mnmzada: n f ( v) = ( α e + β t ) (1) = 1 Na Eq. (1), e 0 e t 0 representam, respectvamente, o tempo de antecpação e atraso da tarefa e α e β são as penaldades respectvas. O procedmento PDDOIP (Gomes Jr. et al., 2007) é utlzado para determnar as datas ótmas para níco do processamento das tarefas das sequêncas e, assm, calcular a quantdade de antecpação e atraso relatva a cada tarefa. 4.2 Algortmo GTSPR-M Para resolver o PSUMAA-JP, propõe-se um algortmo heurístco de três fases, nomeado GTSPR-M, cujo pseudocódgo é apresentado no Algortmo 1. Na prmera fase (lnha 4), constró-se uma solução ncal. A segur (lnha 5), a solução resultante desta fase é refnada por um algortmo baseado em Busca Tabu (vde seção 4.4). Como pós-otmzação (lnha 6) é aplcada a Reconexão por Camnhos (vde seção 4.5). Cada uma dessas fases é detalhada a segur. 4.3 Geração da Solução Incal A solução ncal é gerada pelo procedmento GRASP-M, descrto no Algortmo 2. Esse método usa a heurístca Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures GRASP

5 (Resende e Rbero, 2010), tendo como método de busca local a Descda em Vznhança Varável (Varable Neghborhood Search VND) (Mladenovć e Hansen, 1997). Além dsso, o método também aplca uma estratéga de dstrbução do processamento, que consste em dvdr as GRASPmax terações do método entre os N processors núcleos de processamento dsponíves. Essa estratéga é adotada para que o mesmo possa ser executado em modo paralelo, e, assm, trar provetos de uma arqutetura com város núcleos de processamento. De acordo com Resende e Rbero (2005), a estratéga adotada é categorzada como multple-walk ndependent-thread. O procedmento executado no Algortmo 2, lnha 5, é o que efetvamente constró uma solução. Seu funconamento é descrto no Algortmo 3. Nele, Γ é um conjunto de parâmetros γ que defnem o tamanho da Lsta Restrta de Canddatos do GRASP, NewGRASPmax representa o número máxmo de terações GRASP executadas em um thread, MRDmax é o número máxmo de terações do método MRD. A varável R ndca a aplcação da regra de despacho Earlest Due Date (EDD) sobre a data de níco E da janela de entrega da tarefa nas terações ímpares ou sobre a data de térmno T dessa tarefa nas terações pares. O procedmento de construção é o mesmo de Souza et al. (2008). Na fase de refnamento do procedmento NOVO-PROCESSO-GRASP, são utlzados dos processos dferentes de refnamento. No prmero, Refnamento 1, a execução do método vara entre movmentos de realocação e troca. Desta forma, explora-se o espaço de soluções segundo as vznhanças N R e N T, nesta ordem. Incalmente a solução corrente passa por uma descda randômca com movmentos de realocação. Para tanto, alguma tarefa J da sequênca é sorteada aleatoramente, assm como a posção j para onde ela será realocada. Se após a realocação, a solução gerada for melhor avalada que a solução corrente segundo a função de avalação, a solução é aceta e passa a ser a solução corrente. Decorrdas MRDmax terações sem melhora da solução corrente, o movmento de realocação é nterrompdo e sobre a solução corrente agora é aplcada uma descda randômca com movmentos de troca. Assm, duas tarefas J e J j são sorteadas aleatoramente e trocadas de posção. Se a troca produzr uma solução melhor segundo a função de avalação, a solução é aceta como solução corrente e o refnamento com movmentos de troca é nterrompdo, retornando-se ao refnamento usando realocação do Algortmo. Se não houver uma melhora da solução em MRDmax terações, o método encerra a execução.

6 Ao fnal do procedmento NOVO-PROCESSO-GRASP, um segundo processo de refnamento é aplcado. Nesse processo, o procedmento Refnamento 2 explora o espaço de soluções por meo de movmentos de troca, realocação e movmentos Or. A solução é refnada segundo a segunte estratéga: 1) descda randômca com movmentos de realocação; 2) descda randômca com movmentos de troca; 3) descda randômca com movmentos Or de realocação de um bloco de k tarefas (2 k 3); 4) descda completa com movmentos de realocação; 5) descda completa com movmentos de troca; 6) descda completa com movmentos Or de realocação de um bloco de k tarefas (2 k n-2). Nas descdas com realocação de k tarefas contíguas, ncalmente k assume seu valor mínmo; não havendo melhora, o valor de k é ncrementado progressvamente até atngr seu lmte máxmo. Ao fnal da execução do procedmento, um ótmo local com relação às vznhanças N R, N T e N Or é retornado. 4.4 Busca Tabu O procedmento Busca Tabu (Glover e Laguna, 1997) nca sua execução a partr da solução retornada pelo procedmento GRASP-M. A cada teração, o espaço de soluções é explorado alternando-se entre as vznhanças N R e N T, nesta ordem. Após todos os vznhos serem analsados, é aceto o melhor vznho que não seja tabu, ou se tabu, que atenda a condção de aspração. Para atender a esta condção, o vznho consderado tabu deve ser melhor avalado que a melhor solução exstente até então segundo a função de avalação, sto é, adota-se a condção de aspração por objetvo global. O vznho escolhdo é, então, aceto como a solução corrente. Esta escolha não mplca necessaramente em uma solução melhor que a solução corrente, uma vez que o melhor vznho não tabu da solução corrente pode ser uma solução por. Essa condção de pora permte que o método consga escapar da armadlha de um ótmo local e explorar soluções em áreas anda não analsadas. Ao mudar de uma solução v para seu vznho v, seja pelo movmento de troca ou de realocação, consdera-se como regra de probção a ocorrênca do par (J, J +1 ) de v. Apenas no caso de realocação da tarefa para a últma posção da sequênca, proíbe-se o par (J, J -1 ) de v. Para mpedr o retorno à solução v, armazena-se em uma matrz T de dmensão n n, sendo n o número de tarefas, na posção (J, J +1 ), ou (J, J -1 ), conforme o caso, o valor dado pela soma da teração corrente com um tempo p de probção. Dessa forma, um elemento é consderado tabu quando o tempo tabu armazenado na matrz é maor que o número da teração corrente do procedmento Busca Tabu. Esse prazo de probção p é seleconado aleatoramente no ntervalo [0,9 PrazoTABU p 1,1 PrazoTABU], sendo PrazoTABU um parâmetro do método. A estratéga adotada para paralelzar a Busca Tabu consste em aconar um novo thread para refnar uma solução sempre que houver melhora na solução global, mantendo-se a Busca Tabu em sua execução normal. Assm, são executados em paralelo o procedmento Busca Tabu e um ou mas processos de refnamento. Desta forma, dos N processors núcleos de processamento dsponíves, um é reservado para a Busca Tabu e os demas para os procedmentos de refnamento. É adotada uma restrção de no máxmo N processors - 1 processos de refnamento estarem em execução smultânea com a Busca Tabu. O objetvo é evtar que um número excessvo de threads estejam concorrendo entre s, o que aumentara o tempo gasto pelo sstema operaconal com a comutação de contextos dos processos para agendamento do novo thread para execução (SILBERSCHATZ et al., 2004). Além dsso, não há garanta de que substtundo-se um processo de refnamento por outro haja melhora no procedmento. O pseudocódgo do procedmento Busca Tabu é mostrado no Algortmo 4. Nesse pseudocódgo, N processors ndca a quantdade de núcleos de processamento dsponíves, PrazoTABU o tempo tabu, T a matrz tabu, dfelte e CE são parâmetros utlzados para a

7 construção do Conjunto Elte que é utlzado no método Reconexão por Camnhos, TABUmax é o número máxmo de terações tabu sem melhora e MRDmax o número máxmo de terações do método de busca local MRD. O procedmento retorna a melhor solução, representada por v*. 4.5 Reconexão por Camnhos A Reconexão por Camnhos PR (GLOVER, 1996) é uma estratéga que faz um balanço entre dversfcação e ntensfcação. Ela consste em camnhar de uma solução para outra com vstas a encontrar soluções ntermedáras melhores nesse camnho. Em cada uma de

8 suas terações é adconado um atrbuto da solução alvo (ou solução gua) à solução base, de forma que ao fnal do procedmento, a solução gua seja encontrada. No algortmo proposto, a Reconexão é aplcada conforme segue. Durante a exploração do espaço de busca por TS, é formado um conjunto de soluções elte. Esse conjunto elte (CE) é formado por soluções encontradas por TS durante a exploração do espaço de soluções que sejam de boa qualdade e heterogêneas. Para fazer parte de CE, cada solução canddata deve satsfazer a um dos dos seguntes crtéros: 1) ser melhor que a melhor das CE soluções do conjunto elte; 2) ser melhor que a por das CE soluções do conjunto elte e se dferencar de todas elas em um determnado percentual dos atrbutos, defndo por dfelte. Um atrbuto é defndo como alguma tarefa J da sequênca. Para exemplfcar, consdere as sequêncas v 1 = {1, 2, 4, 5, 6, 3, 7, 9, 8, 10} e v 2 = {1, 2, 4, 5, 6, 9, 3, 10, 7, 8}. Elas têm 50% de atrbutos guas, a saber, as tarefas J 1 =1, J 2 =2, J 3 =4, J 4 =5 e J 5 =6. O objetvo desta estratéga é evtar a nclusão em CE de soluções muto parecdas. Estando o conjunto elte já formado e ordenado de forma crescente, sto é, a melhor solução ocupando a prmera posção do conjunto e a por, a últma, quando uma solução entra e o conjunto já está completo, a de por avalação sa. O método PR-M é aplcado ao fnal do algortmo GTSPR-M a todos os pares de soluções de CE, de forma bdreconal. Ele funcona como segue. Conhecdas as soluções gua e base, a cada teração, uma tarefa J da solução gua é nserda na mesma posção na solução base. Para manter a consstênca, a tarefa da solução base que fo substtuída sa de sua posção e assume a posção daquela que entrou. Ao fnal das terações, ou seja, após a solução base receber todos os atrbutos da solução gua, o atrbuto nserdo que produzr a melhor solução é fxado e sobre esta solução é aplcado uma descda completa tendo por base movmentos de realocação. Dessa forma, retorna-se um ótmo local com relação à vznhança N R. 5 Resultados Computaconas Para a realzação dos expermentos computaconas, fo utlzado um conjunto problemas-teste da lteratura com 8, 9, 10, 11, 12, 15, 20, 25, 30, 40, 50 e 75 tarefas. Há nesse conjunto 144 problemas-teste no total, sendo 12 problemas para cada número de tarefas. O algortmo heurístco GTSPR-M fo desenvolvdo com a lnguagem C++, utlzando-se o IDE NetBeans 6.7 e o complador GCC Todos os expermentos computaconas foram executados em um computador Pentum Core 2 Quad (Q6600) 2,4 GHz (4 núcleos de processamento) com 4 GB de memóra RAM e sstema operaconal Ubuntu Cada problema-teste fo resolvdo 20 vezes, cada qual partndo de uma solução ncal dferente. Os parâmetros do algortmo foram os mesmos adotados em Souza et al. (2008), sto é: Γ = {0; 0,02, 0,04; 0,12; 0,14}, dfelte = 0,4, GRASPmax = 20, MRDmax = 7 n, TABUmax = 4 n, PrazoTABU = 2 n, CE = 5 e 4 núcleos de processamento. Na Tabela 1 são apresentados os resultados da comparação entre os algortmos GTSPR-M, proposto neste trabalho, e os algortmos AGA1, de Rbero et al. (2009) e GTSPR, de Souza et al. (2008). Nessa tabela, a coluna mp X ndca quanto o algortmo GTSPR-M fo superor às melhores soluções produzdas pelo algortmo X que está sendo comparado, sto é, AGA1 ou GTSPR. Para tal avalação, fo utlzada a Equação (2), em que f X* GTSPR-M* e f representam as melhores soluções do algortmo X e GTSPR-M, respectvamente. Também é apresentado o desvo médo das soluções encontradas por cada algortmo X em relação às melhores soluções conhecdas (Equação (3)). Para cada problema-teste do grupo, f * X e f representam o melhor valor conhecdo e o valor médo encontrados por cada algortmo X, respectvamente. Por fm, também é mostrado o tempo médo de processamento, em segundos.

9 mp AGA X* X * f f avg f f = (2) gap = * (3) f f * GTSPR M X* Tabela 1: Comparação de resultados GTSPR-M AGA1 GTSPR #Tar. Tempo (s) Imp X (%) gap avg (%) GTSPR-M AGA1 GTSPR AGA1 GTSPR GTSPR-M AGA1 GTSPR 8 0,05 0,84 0,06 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 9 0,07 1,14 0,09 0,00 0,00 0,00 0,15 0, ,11 1,44 0,15 0,00 0,00 0,00 0,24 0, ,17 1,99 0,25 0,00 0,00 0,00 0,03 0, ,24 2,53 0,37 0,00 0,00 0,00 0,07 0, ,49 5,42 1,13 0,00 0,00 0,32 0,76 0, ,71 18,54 4,93 0,00 0,00 0,25 0,73 0, ,23 41,14 14,9 0,00 0,00 0,84 1,02 1, ,6 100,86 39,93 0,00 0,00 1,30 1,60 1, ,36 302,29 190,61 0,04 0,12 2,43 2,45 3, ,14 806,49 630,77-0,30 0,02 3,95 4,08 4, , , ,74 0,88 0,72 6,16 7,76 7,6 Avg 184,12 257,27 599,33 0,05 0,07 1,27 1,57 1,65 Ressalta-se que na Tabela 1, os resultados do algortmo GTSPR foram obtdos na mesma máquna utlzada para testar o GTSPR-M. No entanto, os resultados do AGA1 foram obtdos em um Pentum Core 2 Duo 2,1 GHz, com 4 GB de memóra RAM, sob plataforma Wndows Vsta. Assm, para uma comparação mas justa, os tempos do AGA1 foram reduzdos em 10%. Essa redução fo realzada tendo em vsta os resultados da comparação de desempenho dos processadores envolvdos, conforme nformações dsponíves nos sítos e Na comparação do GTSPR-M com sua versão sequencal GTSPR, nota-se clara superordade do algortmo proposto, conforme se depreende pela Tabela 1. Essa superordade é verfcada tanto com relação à capacdade de produzr soluções melhores, quanto com relação à varabldade das soluções fnas e tempo de processamento. Na comparação do GTSPR-M com o algortmo AGA1, verfca-se que o algortmo proposto é capaz de produzr soluções melhores nos problemas-teste envolvendo 40 e 75 tarefas, mas nesse questo tem desempenho nferor em problemas de 50 tarefas. Entretanto, consderando todas as nstâncas, o desempenho global médo é superor. Na comparação com a capacdade de produzr soluções fnas com menor varabldade, a vantagem do GTSPR-M é clara, prncpalmente nas nstâncas com menor número de tarefas (nos problemas-teste de até 12 tarefas, a varabldade fo nula). Com relação ao esforço computaconal despenddo, o GTSPR- M exgu um tempo de processamento sgnfcatvamente menor que o AGA1. A exceção ocorreu para os problemas-teste envolvendo 75 tarefas, nos quas ele requereu cerca de 120 segundos a mas, na méda. Destaca-se, entretanto, que para esse conjunto de problemas-teste, o AGA1 utlzou um conjunto especal de parâmetros vsando a redução de seu tempo de processamento. Observa-se, anda, que com esse tempo a mas o GTSPR-M conseguu gerar soluções melhores e com menor varabldade.

10 A Fgura 1 exbe a relação entre os pores desvos das soluções fnas com os desvos médos dessas soluções no prmero conjunto de problemas-teste. Para cada problema-teste com n tarefas, o por gap é dado como o maor desvo dentre todas as nstâncas e o gap médo como a méda dos desvos. Fgura 1: Gap Médo Por Gap Nota-se, pela Fgura 1, que para problemas com até 12 tarefas, ambos os desvos foram nulos. Nos problemas com mas de 12 tarefas, a maor dferença entre o por gap e o gap médo fo de 7% para problemas com 75 tarefas. Para os demas problemas, a dferença entre os desvos permaneceu abaxo de 3,5%. Como nem todos os algortmos não foram executados na mesma máquna, fo aplcado um teste de probabldade empírca, segundo a metodologa de Aex et al. (2002), para verfcar a capacdade dos algortmos alcançarem um valor alvo. Para execução dos expermentos, utlzou-se um problema-teste com 40 tarefas, tendo como alvo a melhor solução conhecda. O algortmo fo executado 100 vezes, sendo que em cada rodada ele era nterrompdo após alcançar o alvo. Não foram permtdos tempos de execução repetdos; assm, os tempos repetdos foram descartados e uma nova execução fo feta. Após determnados os tempos para as 100 execuções, estes foram ordenados de forma crescente e, para cada tempo t, fo assocada uma probabldade p = ( 0,05)/100. Os resultados do gráfco t p são apresentados na Fgura 2. Nessa fgura, são apresentados, também, o comportamento dos algortmos GILS-VND-RT, GTSPR e GPV de Gomes Jr. et al. (2007), Souza et al. (2008) e Rosa et al. (2009), respectvamente.

11 Fgura 2: Teste de Probabldade Empírca Observa-se na Fgura 2 que o algortmo GTSPR-M demandou menos tempo que todos os outros algortmos para garantr a melhor solução. De acordo com o gráfco, ele necessta de aproxmadamente 95 segundos para retornar a melhor a solução, enquanto que os algortmos GPV, GILS-VND-RT, GTSPR e AGA1 necesstam, respectvamente, de cerca de 210, 310, 310 e 510 segundos. Verfca-se, também, que os algortmos GPV, GILS-VND-RT e GTSPR-M obtveram um desempenho semelhante nos nstantes ncas. O algortmo AGA1 fo o que demandou mas tempo para alcançar o valor alvo. 6 Conclusões e trabalhos futuros Este trabalho teve seu foco na resolução do problema de sequencamento em uma máquna com penaldades por antecpação e atraso da produção, consderando janelas de entrega e tempo de preparação da máquna dependente da sequênca de produção. Fo proposto um algortmo paralelo híbrdo de três fases, denomnado GTSPR-M, que combna os procedmentos heurístcos GRASP e Descda em Vznhança Varável para a geração de solução ncal, Busca Tabu para refnamento dessa solução, e Reconexão por Camnhos, como mecansmo de pós-otmzação. O algortmo GTSPR-M fo desenvolvdo utlzando-se threads para a sua paralelzação. Os expermentos computaconas foram executados em uma arqutetura SMP (Symmetrc Multprocessng) com um processador de 4 núcleos de processamento. O algortmo fo testado em um conjunto de problemas-teste da lteratura e os resultados obtdos foram comparados com aqueles produzdos por outros algortmos da lteratura, nclundo a versão sequencal do algortmo proposto. Os resultados obtdos mostraram que o algortmo proposto se mostrou mas efcente que os demas algortmos da lteratura. Isso se deveu ao fato de que o GTSPR-M teve capacdade de apresentar as melhores soluções na maora dos casos e com a menor varabldade, além de requerer menos tempo de processamento. Como trabalhos futuros, aponta-se a mplementação de uma nova estratéga de

12 paralelzação da fase Busca Tabu, haja vsta que essa é a fase que requer a maor parcela do tempo de processamento do GTSPR-M. A proposta a ser mplementada é a de paralelzar a vznhança, sto é, dstrbur a análse da vznhança entre os dversos núcleos de processamento. Agradecmentos Os autores agradecem à FAPEMIG (processos CEX-PPM 357/09 e CEX 01201/09) pelo apoo ao desenvolvmento do presente trabalho. Referêncas Aex, R. M.; Resende, M. G. C. e Rbero, C. C. (2002). Probablty dstrbuton of soluton tme n GRASP: An expermental nvestgaton. Journal of Heurstcs, v. 8, p Glover, F. (1996). Computng Tools for Modelng, Optmzaton and Smulaton: Interfaces n Computer Scence and Operatons Research, Capítulo Tabu search and adaptve memory programmng: Advances, applcatons and challenges, p Kluwer Academc Publshers. Glover, F. e Laguna, M. (1997). Tabu Search. Kluwer Academc Publshers, Boston. Gomes Jr., A. C.; Carvalho, C. R. V.; Munhoz, P. L. A. e Souza, M. J. F. (2007). Um método heurístco híbrdo para a resolução do problema de sequencamento em uma máquna com penaldades por antecpação e atraso da produção. Anas do XXXIX Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal SBPO, p , Fortaleza. Mladenovć, N. e Hansen, P. (1997). Varable Neghborhood Search. Computers and Operatons Research, v. 24, p Resende, M. G. C. e Rbero, C. C. (2005). Parallel metaheurstcs: a new class of algorthms, Capítulo 14, Parallel Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures, p John Wley and Sons. Resende, M. G. C. e Rbero, C. C. (2010). GRASP. In: Burke, E. K., Kendall, G. (Eds.), Search Methodologes, 2 a ed., Sprnger (to appear), avalable at: grasp.pdf. Rbero, F. F.; Souza, M. J. F. e Souza, S. R. (2009). An adaptve genetc algorthm for solvng the sngle machne schedulng problem wth earlness and tardness penaltes. Proceedngs of the 2009 IEEE Internatonal Conference on Systems, Man, and Cybernetcs - IEEE SMC San Antono, USA, p Rosa, B. F. (2009). Heurístcas para o problema de sequencamento em uma máquna com penaldades por antecpação e atraso da produção. Dssertação de mestrado, Progr. de Pós- Graduação em Modelagem Matemátca e Computaconal, CEFET-MG, Belo Horzonte. Rosa, B. F.; Souza, S. R. e Souza, M. J. F. (2009). Formulações de programação matemátca para o problema de sequencamento em uma máquna com janelas de entrega dstntas e tempo de preparação dependente da sequênca de produção. Anas do XXXII CNMAC. Cuabá: UFMT, v.2. p Slberschatz, A.; Galvn, P. B. e Gagne, G. (2004). Fundamentos de Sstemas Operaconas. LTC, Ro de Janero, 6 a edção. Souza, M. J. F; Och, L. S.; Gonçalves, F. A. C. A e Penna, P. H. V. (2008). GRASP, Tabu Search and Path Relnkng for solvng total earlness/tardness sngle machne schedulng problem wth dstnct due wndows and sequence-dependent setups. Proceedngs of the XXIX CILAMCE, v. 1, 15 p. (CD-ROM), Maceó. Wan, G. e Yen, B. P. C. (2002). Tabu search for sngle machne schedulng wth dstnct due wndows and weghted earlness/tardness penaltes. European Journal of Operatonal Research, v. 142, p