UM ALGORITMO HEURÍSTICO HÍBRIDO PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO INTEGRADA DE VEÍCULOS E TRIPULAÇÕES

Transcrição

1 UM ALGORITMO HEURÍSTICO HÍBRIDO PARA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO INTEGRADA DE VEÍCULOS E TRIPULAÇÕES Marcone Jamlson Fretas Souza Departamento de Computação, Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mneral Unversdade Federal de Ouro Preto Ouro Preto (MG) marcone@ceb.ufop.br Sabr Rbas, Igor Machado Coelho Unversdade Federal de Ouro Preto Ouro Preto (MG) {sabrrbas, gor.machado}@yahoo.com.br RESUMO Este trabalho trata da programação ntegrada de veículos e trpulações. Dada a natureza combnatóra do problema, a abordagem utlzada é heurístca. O algortmo proposto é baseado nos procedmentos Iterated Local Search, Varable Neghborhood Descent e Busca Tabu. Para explorar o espaço de busca são usados movmentos envolvendo realocações e trocas de vagens nos veículos e tarefas nas trpulações. Para testar o algortmo foram utlzados dados reas da cdade de Belo Horzonte, Brasl. Os expermentos computaconas realzados mostraram que o algortmo proposto fo capaz de produzr resultados superores àqueles alcançados por um método clássco de solução dessas duas etapas do planejamento de transporte públco. PALAVARAS CHAVE. Programação ntegrada de veículos e trpulações, Transporte Públco, Metaheurístcas. Área prncpal: Logístca e Transportes (LGT) ABSTRACT Ths work deals wth the ntegrated vehcle and crew schedulng. Due to the combnatoral complexty of the problem, the approach to solve t s heurstc. A hybrd algorthm, based on Iterated Local Search, Varable Neghborhood Descent and Tabu Search, s proposed. In order to explore the soluton space, some moves based on reallocaton and swap of both, trps of the vehcles schedule and tasks of the dutes schedule are used. The algorthm was tested wth real data of the cty of Belo Horzonte, Brazl. Computatonal results show that the proposed algorthm was able to produce better solutons than a tradtonal method appled to solve these two stages of the publc transport plannng. KEYWORDS. Integrated Vehcle and Crew Schedulng, Publc Transport, Metaheurstcs. Man area: Logstc and Transports 1871

2 1. Introdução Dada a complexdade do planejamento do transporte no Sstema de Transporte Públco, ele é geralmente dvddo em cnco etapas: planejamento das rotas, defnção da tabela de horáros, programação dos veículos, programação das trpulações e rodízo das trpulações. Normalmente, a saída de uma etapa corresponde à entrada da etapa subseqüente. Neste trabalho, trata-se da resolução de duas delas, a programação de veículos e a de trpulações. Segundo Frelng et al (2003), exstem três dferentes abordagens para resolver o problema de programação de veículos e de trpulações: Seqüencal, Independente e Integrada. Na abordagem seqüencal os problemas de programação de veículos e trpulações são resolvdos separadamente, sendo a solução de um utlzada como entrada para a resolução do outro. A abordagem seqüencal, por sua vez, é dvdda em tradconal e nversa. A abordagem seqüencal tradconal fo a prmera a ser estudada e é a mas adotada por empresas de transporte. Nesta estratéga, é resolvdo prmeramente o problema de programação de veículos (PPV) e, a partr dessa solução, é resolvdo o problema de programação das trpulações (PPT). O nconvenente dessa abordagem é que a solução dos veículos gua a programação das trpulações (FRELING et al., 2003), a qual tem o custo mas relevante entre os custos do sstema (BOUZADA, 2003). Uma alternatva para resolver esse problema é aplcar a abordagem tradconal, mas consderando algumas característcas dos trpulantes na programação dos veículos, dexando outras característcas para serem tratadas posterormente, durante a resolução do PPT. Anda que sto mplque em acréscmos no custo da programação de veículos, essa alternatva faclta a resolução do PPT e geralmente produz soluções melhores que as obtdas pela abordagem tradconal (FRELING et al., 2003). Scott (1985) e Darby-Dowman (1988), apud Frelng et al. (2003), e Res (2007) utlzam esta últma estratéga. Na abordagem seqüencal nversa, o PPT é resolvdo prmero, dretamente da tabela de horáros e, a segur, é resolvdo o PPV. Esta estratéga é justfcada por dos motvos prncpas: 1) pelo fato de os custos com as trpulações serem mas elevados que os com os veículos e 2) o conjunto de restrções de veículos é muto menor que o de trpulações, o que sugere resolver o problema mas restrto prmero, que tem menos alternatvas de solução. Bass et al (2007) propõem uma heurístca baseada em GRASP (Feo e Resende, 1995) para resolver o problema de programação de trpulações, em que as trpulações são cradas a partr da tabela de horáros, ndependentemente da solução dos veículos. Em um segundo momento, o problema de programação de veículos é resolvdo tendo como entrada a solução das trpulações, defnda anterormente. Um mecansmo de Reconexão por Camnhos fo mplementado para melhorar a solução. A heurístca fo testada para váras empresas de transporte e os resultados comparados com aqueles obtdos pela abordagem tradconal. De acordo com os autores, o procedmento proposto é capaz de produzr soluções com custos menores que os obtdos pelo procedmento seqüencal tradconal. Na abordagem ndependente tanto a programação dos veículos quanto a dos trpulantes é feta dretamente a partr da tabela de horáros. Geralmente, os resultados obtdos por essa abordagem não são váves na prátca, pos alguns veículos operam sem um trpulante, e alguns trpulantes operam em veículos nexstentes, que não pertencem à programação dos veículos. Entretanto, essa abordagem permte determnar os lmtantes nferores para a solução ótma do problema de programação de veículos e trpulações. Na abordagem ntegrada os dos problemas são resolvdos smultaneamente. Obvamente, a dfculdade de se resolver o problema de programação ntegrada de veículos e trpulações (PPVT) é maor por que o espaço de soluções é menso. O PPVT contém todas as combnações possíves de trpulações para cada uma das possíves combnações de veículos. A natureza combnatóra desse problema é ressaltada em Borndröfer et al. (2006) e em Frelng et al. (2003). Entretanto, com o aumento na velocdade das CPUs, combnado com o progresso dos algortmos, pesqusadores vêm dando mas ênfase a esse tópco recentemente. São exemplos de trabalhos utlzando esse tpo de abordagem: Frelng et al. (1995), Haase e Frberg (1999) e Frelng et al. (1999). 1872

3 Segundo Frelng et al. (2003), a abordagem ntegrada do PPVT sempre permtrá obter resultados melhores ou guas aos resultados da abordagem seqüencal, e resultados pores ou guas aos da abordagem ndependente. Este trabalho apresenta um novo algortmo para resolver o PPVT. O algortmo combna os procedmentos heurístcos Iterated Local Search, Varable Neghborhood Descent e Busca Tabu com Relaxação Adaptatva. O uso de métodos heurístcos é justfcado pela natureza combnatóra do PPVT. A utlzação das técncas propostas é justfcada tendo em vsta os resultados obtdos para cada problema solado (Vde Souza et al. (2007) para o problema de programação de veículos e Marnho et al. (2004) para a programação de trpulações). O restante deste artgo é organzado como segue. Na Seção 2 descreve-se o problema tratado. O algortmo proposto é apresentado na Seção 3. Os resultados computaconas são apresentados e analsados na Seção 4 enquanto a últma seção conclu o artgo. 2. Defnção do Problema De acordo com Frelng et al. (2003), o problema de programação veículos e trpulações pode ser defndo como segue: dada uma tabela de horáros de vagens a serem realzadas, encontrar a programação de custo mínmo para os veículos e para as trpulações tal que ambas sejam factíves e mutuamente compatíves. Cada vagem possu horáros de nco e fm e o tempo de vagem entre todos os pontos de ônbus são conhecdos. A programação dos veículos é factível se (1) cada vagem é atrbuída a um únco veículo, e (2) cada veículo possu uma seqüênca factível de vagens, sto é, todo veculo deve ser capaz de executar consecutvamente as vagens a ele atrbuídas. Determnadas vagens não pertencem a nenhuma lnha e, assm, são denomnadas vagens mortas. O tempo de vagem morta é o tempo em que um veículo vaja entre dos locas (termnas ou garagens) sem passageros. Tal procedmento é necessáro para reposconar um veículo do ponto fnal de uma vagem ao ponto ncal da próxma vagem. As vagens atrbuídas a um veículo defnem sua jornada dára de trabalho, sendo essa jornada conhecda como bloco do veículo. Cada bloco é dvddo em oportundades de troca, defndos por um horáro e um local, onde e quando pode haver uma troca de trpulação. Uma tarefa é defnda por um conjunto de vagens entre duas oportundades de troca consecutvas e representa a mínma porção de trabalho que pode ser assocada a uma trpulação. O conjunto de trpulações deve executar todas as tarefas assm como o de veículos deve executar todas as vagens. As tarefas que são assocadas a uma mesma trpulação defnem sua jornada de trabalho. A programação das trpulações é factível se (1) cada tarefa é assocada a um únco trpulante, e (2) a seqüênca de tarefas de cada um dos trpulantes pode ser realzada na prátca por apenas um trpulante. Em partcular, cada trpulante deve satsfazer certos questos. Um exemplo típco é a restrção de tempo máxmo de trabalho. O custo de um trpulante é uma combnação de custos fxos e custos varáves. A Seção 3.4 detalha os custos consderados neste trabalho. As empresas analsadas neste trabalho estmam que em horáros de pco, períodos em que há um número maor de passageros em trânsto, o tempo necessáro para a ocorrênca de uma troca de trpulações é de dos mnutos, e fora desses horáros esse tempo é de um mnuto. Segundo elas, exstem dos horáros de pco ao longo do da: das 5:00 às 7:59 e das 16:00 às 18:59. Em função dsso, são consderados dos tpos de jornada de trabalho: jornada smples e jornada com dupla pegada. Este últmo tpo de jornada exste em função da necessdade de um número maor de trpulações nos horáros de pco. Assm, em geral, nas jornadas com pegada dupla, as trpulações trabalham durante o prmero pco e retornam depos para atender vagens do segundo pco. Para caracterzar uma jornada com dupla pegada entre o fnal da prmera parte da jornada e o níco da subseqüente deve haver um ntervalo de pelo menos duas horas. Neste trabalho consdera-se que os veículos estão sempre dsponíves ao longo do da e que há apenas uma garagem. 3. Metodologa Proposta 3.1. Representação de uma solução Uma solução para o PPVT consste em um par (s V, s T ), em que s V representa uma 1873

4 solução para os veículos e s T representa uma solução para as trpulações. A solução s V consste em um conjunto de veículos, em que a cada um é assocada uma lsta de vagens a serem fetas ao longo do da. A solução s T consste em um conjunto de jornadas de trabalho para as trpulações, em que a cada qual é assocada uma lsta de tarefas a serem fetas daramente Construção de uma solução ncal Uma solução ncal para o PPVT é feta prmeramente construndo uma solução ncal para os veículos e depos, a partr desta, é gerada uma solução para as trpulações. As duas soluções são construídas por procedmentos gulosos. Para a construção de uma solução ncal do PPV é aplcado um procedmento que, a cada teração, nsere uma nova vagem a um veículo, de acordo a função de avalação relatva aos veículos (veja a equação (2) da Seção 3.4). A escolha do veculo que receberá a vagem é totalmente gulosa, o que sgnfca que o veículo que apresentar o menor custo relatvo à alocação é escolhdo. O procedmento é fnalzado quando todas as vagens forem alocadas. O conjunto de vagens alocadas a cada veículo é chamado de bloco do veículo. A partr do bloco de vagens de cada veículo é construída uma solução para o PPT. Incalmente, cada veículo tem suas vagens agrupadas em tarefas. A segur, as tarefas são ordenadas pelo horáro de níco. A cada passo há sempre uma jornada sem tarefas, além do conjunto de jornadas não vazas. O procedmento funcona como segue. A prmera tarefa é assocada à jornada do prmero trpulante. Depos, para cada tarefa da seqüênca, é avalada a nserção na jornada de cada trpulante do conjunto e mas na jornada do trpulante sem tarefas. A avalação das jornadas é feta de acordo com a equação (8) da Seção 3.4, relatva à programação das trpulações. A tarefa é assocada à jornada que apresentar menor custo de alocação. O procedmento pára quando todas as tarefas tverem sdo alocadas Estruturas de vznhança Para explorar o espaço de busca foram defndos ses tpos de movmentos. As vznhanças N V R, N V S, N C R e N C S usam movmentos baseados em realocação (Reallocaton) e troca (Swap), envolvendo vagens de veículos (Vehcle) e tarefas de trpulantes (Crew), respectvamente. As vznhanças N V RP e N V SP consstem em realocação e troca de vagens em veículos, respectvamente, segudas de uma reconstrução da programação das trpulações afetadas pelos movmentos de acordo com a seção anteror Função de avalação O custo de uma solução para o PPVT é calculado pela equação (1): f ( s) = α fv ( s) + β ft ( s) (1) em que f V (s) representa a componente de f que avala s quanto à programação dos veículos (equação 2) e f T (s) avala s quanto à programação das trpulações (equação 8) e α e β são pesos. As funções f V (s) e f T (s) foram propostas em Souza et al. (2007) e Marnho et al. (2004), respectvamente, e modelaram satsfatoramente problemas reas de Transporte Públco. k fv ( s) fv (s) + ω TL numtrlnha + ωedp excessoduplapegv (2) = k F Na equação (2), f k V (s) é o custo do veículo k, calculado pela equação (3); numtrlnha é o número de trocas de lnhas realzadas por todos os veículos e ω TL é a penaldade assocada; excessoduplapegv representa o excesso de vezes em que os veículos, durante suas jornadas, retornam à garagem e permanecem lá por duas horas ou mas e ω EDP é a penaldade para esse questo. Por restrções operaconas, o número de duplas pegadas na programação dos veículos deve ser nferor a 60% do tamanho da frota. k f V ( s) = C + CDg1 + CD (, j) T ng Na equação (3), T é o conjunto das n vagens do veculo k, C é o custo para realzar as vagens e j consecutvas, calculado pela equação (4), CD g1 é o custo da vagem do veículo k da (3) 1874

5 garagem ao ponto de nco da prmera vagem e CD ng é o custo da vagem do veículo k do ponto fnal de sua últma vagem à garagem. CD + CC se ocoso < 0 C = CT + CD se 0 ocoso TempoMaxTerm (4) CDg + CDgj se ocoso > TempoMaxTerm Na equação (4), CT, CD e CC representam, respectvamente, o tempo em que o veículo permanece no termnal entre as vagens e j, o tempo de vagem morta entre e j, e o tempo em mnutos em que a vagem é confltante com a vagem j. TempMaxTerm é o tempo máxmo que um veículo pode permanecer no termnal, estabelecdo por polítcas operaconas do Sstema de Transporte Públco e ocoso corresponde ao tempo entre o fm da vagem e o níco da vagem j menos o tempo de vagem morta, se for necessáro o reposconamento do veículo. Nas equações (5) e (6), em que são determnados os custos CD e CT, tem-se que: tvm é o tempo de vagem morta entre as vagens e j; TempDeslocLm é o tempo lmte de vagem morta, w TD é o peso se o tempo de vagem morta for maor que TempDeslocLm, w TT é o peso se o tempo de permanênca no termnal ultrapassar o TempTermLm, α 1 e β 1 são pesos, no ntervalo [0, 1], usados para ajustar as funções custo (5) e (6), respectvamente. CD ( α tvm ) 1 = tvm ω TD β 1 se se tvm tvm TempoDeslocLm > TempoDeslocLm (5) CT = ( α ocoso ) 2 ocoso ω TT β 2 se se ocoso ocoso TempoTermLm > TempoTermLm (6) O conflto CC entre duas vagens e j é avalado pela equação (7): ( ocoso ) TC CC - ω (7) = em que w TC é o peso assocado a esse questo. Seja R = {r 1, r 2,, r R } o conjunto de lnhas a cargo da empresa e S 1, S 2,, S S subconjuntos de R, chamados grupos de lnhas, com R = S 1 S S e S 1 S 2 S S =. A avalação das trpulações é feta pela equação (8) a segur: f ( s) = ( penaldadetempoocoso + penaldadehoraextra + T Trp + µ numtrvperm + λ temposobrep µ numtrlperm + λ numtrocav Pr ob + λ numtrl Pr ob + λ numtrp Pr ob ) µ numtrpperm + λ tempoexctr ab + λ tempoinsufejorn λ7 excessoduplapeg + δ numtrpula ntes em que: () Trp é o conjunto de trpulantes da componente s T ; () µ e λ são as penaldades aplcadas às restrções e objetvos, respectvamente; () penaldadetempoocoso assume o valor µ 1 se ocosdade na jornada for maor que duas horas e o valor TempoOcoso 0.8 caso contráro, onde TempoOcoso corresponde ao tempo em que o trpulante fca ocoso ao executar a jornada ; (v) penaldadehoraextra assume µ 2 se o tempo de hora extra for maor que duas horas, caso contráro assume valor HoraExtra 0.6, onde HoraExtra ndca o tempo, em mnutos, em que o trpulante que executa a jornada faz hora extra; (v) numtrveculosperm é o número de vezes em que ocorre troca de veículos permtda durante a jornada. Uma troca de veículos é permtda quando há tempo para se efetuar a (8) 1875

6 troca de trpulações; (v) numtrlperm é o número de vezes em o trpulante assocado à jornada na rota r j, é realocado a uma outra rota r k, com as duas pertencentes ao mesmo grupo, sto é, r j S m R e r k S m ; (v) numtrpperm ndca o número de vezes em que um trpulante é realocado a um ponto (termnal) dferente durante a jornada. Uma troca de termnal é permtda se: (1) os termnas envolvdos na troca pertencerem ao mesmo grupo termnas; (2) as tarefas pertencerem ao mesmo veículo; (3) houver mas que duas horas de ocosdade entre duas tarefas consecutvas da jornada, sto é, em uma pegada dupla, a realocação de um trpulante entre dferentes termnas é permtda. Uma troca de ponto (termnal) é probda caso não satsfaça a nenhum dos três questos anterores; (v) temposobrep é a quantdade de tempo, em mnutos, em que duas tarefas são realzadas smultaneamente na jornada, sto é, em duas tarefas consecutvas quando a segunda nca antes do termno da prmera; (x) tempoexctrab representa o tempo, em mnutos, da jornada que ultrapassa nove horas de trabalho. O tempo trabalhado em cada jornada é calculado como: TempoTrab = (horáro de térmno da ultma tarefa da jornada ) (horáro ncal da prmera tarefa) (duração do ntervalo entre as tarefas que caracterzam pegada dupla, se a jornada possur pegada dupla); (x) tempoinsufejorn é a quantdade de tempo, em mnutos, que falta para que a dferença entre o horáro fnal da jornada em um da e o horáro ncal no da subseqüente atnja o tempo mínmo entre jornadas de 11 (onze) horas. Esse valor é calculado como: tempoinsufejorn = max {0, (1440 horáro de térmno da jornada + horáro (x) ncal da jornada )}; numtrvprob é o número de vezes em que ocorreu troca probda de veículos durante a jornada. Uma troca de veículos é probda quando não há tempo para se efetuar a troca; (x) numtrlprob é o número de vezes em que ocorreu troca probda de lnhas durante a jornada. Uma troca de lnha é probda se as lnhas envolvdas pertencerem a grupos dferentes, sto é, se dadas duas lnhas r j e r k tvermos r j S m R e r k S m ; (x) numtrpprob é o número de vezes em que ocorreu troca probda de pontos (termnas) durante a jornada (veja o tem (v)); (xv) excessoduplapeg representa o número de jornadas classfcadas como de pegada dupla que excede 1,25 (tamanho da frota de veículos). Esse valor é uma estmatva da empresa, que assume que no máxmo 50% dos trpulantes podem fazer pegadas duplas; (xv) numtrpulantes é o número de trpulantes escalados para executar o conjunto de jornadas e δ é a penalzação correspondente. Nos tens () e (v) são usadas funções cujos valores estão no ntervalo [0, 16] e [0, 24], respectvamente. Nestas funções, de domíno [0, 120], quanto maor for o tempo de ocosdade ou hora-extra, mas acentuada é a penaldade. Elas procuram, também, levar em consderação o fato de que a hora-extra é 50% mas cara que a hora de trabalho normal. Maores detalhes sobre a relação dos pesos utlzados podem ser vstos em Marnho (2005) Uma nova heurístca ntegrada de refnamento Foram concebdos dos procedmentos de busca local para refnar soluções do PPVT. O prmero, chamado de Descda Randômca de Vagens em Veículos com Propagação (DRVVP), tem por objetvo melhorar estrtamente a componente s V, relatva à programação dos veículos, mas mantendo-se coerente a componente s T, relatva à programação das trpulações. Para sso, exploram-se as vznhanças Realocação de Vagens de Veículos (N V R ) e Realocação Propagada de Vagens de Veículos (N V RP ). Nessa versão obtém-se, a cada teração, um vznho qualquer da solução corrente por meo de um movmento m de acordo com a vznhança N V R. Caso o vznho v 1 gerado proporcone melhora no valor da função de avalação, a nova solução corrente será o vznho v 2 obtdo por meo de um movmento que possua as mesmas característcas de m 1876

7 (veículos e vagens; trpulantes e tarefas), mas agora, de acordo com a vznhança N V RP ; caso contráro, um novo vznho é gerado. Esse procedmento se repete até que se exceda DescdaMax terações sem melhora na solução. Para verfcar se um vznho proporcona melhora, esse método consdera apenas o custo referente à programação dos veículos. O segundo procedmento é a Descda Randômca de Vagens em Veículos Integrada (DRVVI). O objetvo, nesse caso, é refnar uma solução s utlzando-se vznhanças que explorem a ntegração dos dos problemas, no caso, N V RP, que faz a realocação propagada de vagens em veículos e N V SP, que faz a troca propagada de vagens em veículos. Essas são estruturas de vznhança que exgem mas processamento que as demas e, por sso, a navegação no espaço de busca é geralmente mas lenta. As duas estruturas consstem em uma alteração smples, realocação ou troca, na programação de veículos e em uma adção gulosa de tarefas à programação de trpulações. A adção gulosa é a parte mas custosa do processo, por sso deve restrngr-se a momentos propícos. No caso, apenas para as soluções pouco dstantes da solução corrente, com respeto ao custo da programação dos veículos, são aplcados os movmentos ntegrados. Mas especfcamente, nesta busca local gera-se, a cada teração, um vznho qualquer da solução corrente por meo de um movmento m de acordo com a vznhança ntegrada escolhda. Se a estrutura escolhda for a N V RP, o movmento m será obtdo pela vznhança N V R, já se a estrutura escolhda for a N V SP, o movmento m será obtdo pela vznhança N V S. Caso o vznho v 1 gerado possua custo f V (v 1 ) nferor ao valor obtdo pela multplcação de uma constante ρ (ρ > 1) pelo custo f V (v) dos veículos na solução corrente v, um novo vznho v 2 é gerado por meo de um movmento m pertencente à vznhança escolhda e que utlza os mesmos veículos e vagens do movmento m. Se o custo global f(v 2 ), relatvo a veículos e trpulações do vznho v 2, for nferor ao custo global da solução corrente f(v), a nova solução corrente será v 2. Assm como no método DRVVP, esse procedmento é repetdo até que se exceda DescdaMax terações sem melhora na solução global O algortmo ILS_VND_BTRA Descreve-se, a segur, o algortmo ILS-VND-BTRA para resolver o PPVT. Este algortmo combna característcas dos procedmentos Iterated Local Search (ILS), Varable Neghborhood Descent (VND) e Busca Tabu com Relaxação Adaptatva (BTRA). Para fundamentá-lo, seja N k (k=1,..., k max ) um conjunto fnto de estruturas de vznhança pré-seleconadas, e N k (s) o conjunto de soluções da k-ésma vznhança de s. Chamase uma solução s de ótmo local com respeto a N k (s), se não exste uma solução s N k (s ) tal que f(s) < f(s ). O procedmento heurístco VND (Hansen e Mladenovc, 2003) é baseado em três prncípos báscos: (1) um ótmo local para uma vznhança pode não necessaramente ser para outra; (2) um ótmo global é um ótmo local para todas as possíves vznhanças; e (3) em város problemas, ótmos locas de uma vznhança são relatvamente próxmos dos ótmos de outras. O procedmento VND_2N, proposto para fazer uma busca local no espaço de soluções do PPVT, está descrto na Fgura 1. Ele nspra-se na déa da heurístca VND no sentdo de que não somente as vznhanças são alteradas, mas também os procedmentos de busca local usados. RP No passo 1 aplca-se a uma solução s 0 o procedmento DRVVP utlzando a vznhança N V resultando uma solução s 1. Como DRVVP é um procedmento de descda, a solução s 1 ou é melhor que a solução s 0 ou é a própra solução s 0. Assm, a solução s 1 é atrbuída à solução s 0. O algortmo contnua com a chamada ao procedmento DRVVP usando a vznhança N SP V, gerando a solução s 2. Se o custo da solução s 2 for nferor ao custo de s 0, então se nca novamente a execução do passo 1. O Passo 1 termna quando os procedmentos DRVVP não produzrem melhora nas soluções. As execuções dos Passos 2 e 3 são semelhantes à do Passo 1, sendo que no Passo 2 o refnamento de uma solução é feto por meo dos procedmentos BTRA_R e BTRA_S e, no Passo 3, o refnamento é feto pelo procedmento DRVVI usando a vznhança N RP V e depos a N SP V. Os procedmentos BTRA_R e BTRA_S são baseados na metaheurístca Busca Tabu (Glover, 1997) com osclação estratégca (ou Relaxação Adaptatva) usando as R vznhanças N C e N S C, respectvamente. Estes procedmentos consstem em mudar perodcamente o valor dos pesos durante a busca, promovendo a geração de nvabldades para 1877

8 explorar regões anda não vstadas do espaço de soluções. A descrção deste procedmento, especalzado para resolver o PPT, está descrto em Marnho et al. (2004). Proc. VND_2N Iníco Seja s 0 uma solução ncal Passo 1 s 1 DRVVP (s 0, N RP V ) s 2 DRVVP (s 1, N SP V ) Se s 2 for melhor que s 0, então faça s 0 s 2 e volte ao níco do Passo 1 Passo 2 s 3 BTRA_R (s 2 ) s 4 BTRA_S (s 3 ) Se s 4 for melhor que s 2, então faça s 2 s 4 e volte ao níco do Passo 2 Passo 3 s 5 DRVVI (s 4, N V RP ) s 6 DRVVI (s 5, N V SP ) Se s 6 for melhor que s 4, faça s 4 s 6 e volte ao níco do Passo 3 Se houve alguma melhora no Passo 3, volte ao Passo 2 Passo 4 Retorne s 6 Fgura 1 Procedmento VND_2N aplcado ao PPVT Iterated Local Search ILS (Lourenço et al. 2003) é uma metaheurístca com quatro componentes báscas: Geração de solução ncal, Busca Local, Perturbação e Crtéro de acetação. O prmero módulo tem por objetvo gerar uma boa solução ncal para o problema. Busca local é o módulo que retorna um ótmo local para a busca. Já Perturbação consste em realzar modfcações nos ótmos locas s de forma a gerar uma nova solução s próxma de s. O módulo Crtéro de acetação consste em determnar se o resultado s da aplcação da busca local à solução s va ser aceta ou não como nova solução corrente. Neste trabalho, consdera-se que a solução s é aceta, e escreve-se s s, se ela for melhor que o ótmo local anteror, sto é, se f(s ) < f(s). As perturbações no PPVT consstem em realzar movmentos aleatóros na vznhança N V RP. O número de movmentos aleatóros é mensurado pela varável nível, de forma que quanto maor esse número, maor é a dstânca da solução perturbada ao ótmo local corrente. Uma perturbação de nível consste em realzar + 2 movmentos aleatóros. O número de modfcações no ótmo local, sto é, o nível de perturbação, é aumentado sempre que as buscas locas não forem bem suceddas em ILSMax vezes. O algortmo é encerrado quando um número máxmo de modfcações, dado por NvelMax, ou um tempo lmte é alcançado. Na Fgura 2 apresenta-se o pseudocódgo do algortmo ILS-VND-BTRA proposto para resolver o PPVT. Algortmo ILS-VND-BTRA 1: Entrada: s, f(.), NvelMax, ILSmax, TempoLmte 2: s* s; nível 0; 3: 4: 5: 6: 7: 8: enquanto nível < NvelMax e tempo_de_processamento < TempoLmte faça ter 0; enquanto ter < ILSmax e tempo_de_processamento < TempoLmte faça s Perturbação(s, nível); s VND_2N (s); se f(s) < f(s*) então 9: s* s; nível 0; ter 0; 10: senão 11: s s*; ter ter + 1; 12: 13: fm se fm enquanto 14: nível nível +1; 15: fm enquanto 16: retorne s* Fgura 2 Algortmo ILS-VND-BTRA aplcado ao PPVT 1878

9 4. Resultados computaconas O algortmo descrto fo mplementado na lnguagem C++ usando o ambente de desenvolvmento e complador Borland C++ Bulder 6.0 e testado em um mcrocomputador com processador Intel Pentum, 3.00 GHz, com 1 GB de memóra RAM e sstema operaconal Wndows XP Professonal. Para valdar o algortmo foram dsponblzadas pela BHTRANS, empresa responsável pelo gerencamento do Sstema de Transporte Públco da cdade de Belo Horzonte, problemasteste reas pertencentes a uma Baca de Lnhas de tal cdade. Os parâmetros do método ILS_VND_BTRA foram emprcamente ajustados em uma batera prelmnar de testes. O número de terações sem melhora do ILS (ILSmax) fo fxado em 50, enquanto BTmax (número de terações sem melhora no método BTRA) fo fxado em 50. O valor escolhdo para NvelMax fo 5 e o número de terações sem melhora (DescdaMax) nas chamadas dos procedmentos DRVVP e DRVVI fo dado por número de vagens tamanho máxmo da frota de veículos. O valor do parâmetro ρ do procedmento DRVVI fo fxado em 1,2. O número máxmo de duplas pegadas na programação dos veículos fo fxado em 60% do tamanho da frota referente à solução produzda manualmente pelas empresas analsadas. Já o número máxmo de duplas pegadas na programação das trpulações fo fxado em 1,25 vezes o tamanho da frota. Esta últma relação fo adotada consderando-se que, na prátca, a cada veículo estão assocados 2,5 trpulantes e que não é desejável se ter mas que 50% das trpulações fazendo dupla pegada. A prmera fase da abordagem seqüencal tradconal usa o algortmo ILS descrto em Souza e al. (2007) e fo nterrompdo com 15 mnutos de processamento. Já a segunda fase usa o algortmo BTRA descrto em Marnho et al. (2004). O tempo total de processamento fo lmtado em mea hora. Portanto, na metodologa seqüencal tradconal fo destnado 15 mnutos para resolver o problema de programação de veículos e 15 mnutos para resolver o problema de programação de trpulações. Nas tabelas 1 e 2 são apresentados os valores dos parâmetros utlzados para o cálculo da função de avalação apresentada na seção 5.3. Na Tabela 2 os valores TempoDeslocLm e TempoTermLm são vnculados a cada problema-teste e representam os maores tempos de vagem morta e termnal, nessa ordem, em mnutos, encontrados nas soluções utlzadas por duas empresas do Sstema. Tas parâmetros são os mesmos utlzados pelos algortmos que resolvem o PPV e o PPT de forma seqüencal. Os pesos α = 1 e β = 2,5 relatvos à programação de veículos e trpulações, respectvamente, foram utlzados com o objetvo de se dar uma mportânca maor à programação das trpulações. Tabela 1 - Parâmetros utlzados na função de avalação do PPVT Parâmetro Valor Parâmetro Valor TempoMaxTerm 119 mnutos µ 1 18 α 1 2 µ 2 40 β 1 ln (16) / ln (α 1 x TempoDeslocLm ) µ 3 19 α 2 1 µ 4 5 β 2 ln (16) / ln (α 2 x TempoTermLm ) µ 5 5 ω TD 50 λ 1 40 ω TT 40 λ 2 40 ω TC 80 λ 3 40 ω EDP 80 λ 4 45 ω TL 5 λ 5 35 δ 100 λ 6 35 α 1 λ 7 45 β 2.5 A Tabela 3 contém os resultados encontrados, relatvos à função de avalação, para as 1879

10 duas metodologas de solução do PPVT em 10 execuções para cada problema teste. Pode-se observar que há redução tanto nos melhores valores quanto nos valores médos da função de avalação em todos os casos analsados. O desvo do algortmo proposto é pequeno, provando sua robustez, pos há pouca varabldade nos valores das soluções fnas. As melhores soluções produzdas pelo algortmo proposto têm valores da função de avalação até 6,43% melhores que aqueles relatvos à metodologa seqüencal tradconal. Tabela 2 Problemas-teste e seus respectvos tempos lmtes relatvos ao PPV Probl.-teste TempoDeslocLm TempoTermLm Probl.-teste TempoDeslocLm TempoTermLm G02_DOM G27_DOM G02_SEG G27_SEG G02_SEX G27_SEX G02_SAB G27_SAB Tabela 3 - Comparação de resultados (Seqüencal Tradconal Integrada) Método Seqüencal Tradconal Método Integrado Problema-teste Melhor Valor Valor Médo Desvo Melhor Valor Valor Médo Desvo Melhora G02_DOM ,35 6,47% 6725,5 6841,5 1,72% 4,41% G02_SEG 22507, ,55 8,26% 21087, ,7 1,00% 6,31% G02_SEX 23045, ,1 7,50% 21724, ,1 0,85% 5,73% G02_SAB 12938, ,5 8,51% ,05 2,03% 5,55% G27_DOM 3497,5 3550,75 4,51% 3397,5 3442,3 1,32% 2,86% G27_SEG ,25 7,30% 7887,5 7992,55 1,33% 4,96% G27_SEX 8429,5 8486,25 7,59% 7887,5 8015,55 1,62% 6,43% G27_SAB 5193,5 5346,65 5,73% ,35 2,36% 2,63% As tabelas 4 e 5 comparam, para cada metodologa, algumas característcas das melhores soluções encontradas em quatro das da semana das empresas G02 e G27. Tabela 4 Característcas das soluções de G02: Método Seq. Tradconal Método Integrado Empresa G02 Método Seqüencal Tradconal Método Integrado DOM SEG SEX SAB DOM SEG SEX SAB Número de vagens Número de veículos Tempo de termnal (hh:mm) 16:13 22:26 5:56 21:02 13:44 8:12 22:14 21:02 Tempo de vagem morta (hh:mm) 8:24 12:50 12:14 16:48 9:50 15:06 14:58 18:36 Número de trpulantes Tempo ocoso (hh:mm) 15:13 15:04 9:23 15:44 11:07 7:52 6:28 15:12 Tempo de hora-extra (hh:mm) 5:04 6:44 7:34 20:08 14:58 8:28 12:31 19:44 Trocas de lnhas Trocas de pontos Trocas de veículos f V f T f = f V f T Apesar de a função de avalação dos veículos não vsar a redução do número de veículos, pelo menos dretamente, percebe-se pelas Tabelas 4 e 5 que o método ntegrado produz soluções com número gual ou menor de veículos que o método tradconal. Comparando outras característcas das soluções produzdas, observam-se as seguntes vantagens do método ntegrado sobre o método seqüencal tradconal: redução no número de trpulações (de 21 para 19 aos domngos e de 37 para 34 aos sábados na empresa G02, de 24 para 23 às segundas e de 25 para 23 às sextas na empresa G27), redução no tempo de ocosdade das trpulações, redução no tempo de espera em termnal (à exceção das sextas-feras nas duas empresas). O aumento no número de horas-extras é recompensado pela melhora em alguma outra característca da solução como a 1880

11 dmnução do número de trpulações ou do número de trocas de veículos. Por exemplo, na empresa G02 há às sextas um aumento na quantdade de horas-extras de quase 5 horas; no entanto, há uma redução sgnfcatva no número de trocas de veículos (de 66 para 34). Já na empresa G27, há às sextas um aumento de mas de 7 horas-extras; no entanto, este aumento é acompanhado de uma redução de duas trpulações, bem como de 7 trocas de veículos (o que representa mas da metade do número de trocas de veículos da solução produzda pelo método tradconal). A despeto do aumento no tempo de espera em termnal às sextas-feras nas duas empresas, valem as mesmas observações anterores, acrescdas ao fato de que, para a empresa G02, este aumento fo acompanhado da redução de um veículo. Tabela 5 Característcas das soluções de G27: Método Seq. Tradconal Método Integrado Empresa G27 Método Seq. Tradconal Método Integrado DOM SEG SEX SAB DOM SEG SEX SAB Número de vagens Número de veículos Tempo de termnal (hh:mm) 12:57 10:25 8:45 11:12 10:47 10:22 11:08 10:54 Tempo de vagem morta (hh:mm) 3:50 16:06 15:20 8:26 4:36 16:52 15:20 9:12 Número de trpulantes Tempo ocoso (hh:mm) 6:30 10:52 13:44 10:14 5:06 10:06 8:57 8:54 Tempo de hora-extra (hh:mm) 6:53 5:58 6:29 7:33 6:35 11:38 14:42 13:19 Trocas de lnhas Trocas de pontos Trocas de veículos f V f T f = f V f T Pelas tabelas 4 e 5 verfca-se, também, que o algortmo proposto fo capaz de produzr soluções melhores, sob o ponto de vsta da função de avalação, para todos os das consderados. Observa-se que, quanto à ntegração, há uma pora no custo dos veículos e uma redução sgnfcatva no custo dos trpulantes, produzndo assm soluções melhores para o conjunto. A aplcação da metodologa desenvolvda, com os pesos adotados neste trabalho, é vantajosa em stuações nas quas, para a empresa, os custos envolvdos são maores com as trpulações. 5. Conclusões Este artgo apresentou um algortmo, baseado nas heurístcas Iterated Local Search, Varable Neghborhood Descent e Busca Tabu com Relaxação Adaptatva, para resolver o problema de programação ntegrada de veículos e trpulantes. Os resultados obtdos pelo algortmo proposto foram comparados com aqueles obtdos por um método tradconal seqüencal, que resolve prmeramente o problema de programação de veículos e depos o problema de programação de trpulantes. Para testá-lo foram utlzados dados reas de empresas do Sstema de Transporte Públco da cdade de Belo Horzonte (MG). Os expermentos computaconas realzados mostraram que o algortmo proposto fo capaz de produzr resultados superores àqueles alcançados pela clássca metodologa seqüencal. Foram produzdas soluções pores para os veículos, mas melhores para as trpulações, gerando, no entanto, soluções melhores para o conjunto. A melhora global proporconada pelo algortmo fo de até 6,43%, o que mostra que é promssor explorar a nteração desses problemas. Adconalmente, a varabldade das soluções fnas fo relatvamente baxa com relação ao valor da função de avalação, no caso, nferor a 2,36%. Como trabalho futuro, faz-se necessáro fazer uma análse de sensbldade do algortmo com respeto à adoção de dferentes pesos para a função de avalação. Agradecmentos Os autores agradecem à FAPEMIG (processo TEC 679/06), ao CNPq (processo /2007-8) e à BHTRANS pelo apoo ao desenvolvmento deste trabalho. 1881

12 Referêncas Bass, H. V., Slva, G. P., Marnho, E. H., Souza, M. J. F. (2007), GRASP and Path-relnkng Appled to the Independent Crew Schedulng Problem, In: Internatonal Conference on Computers n Urban Plannng and Urban Management, 2007, Foz do Iguaçú, Revewed papers n the Conference Proceedngs of CUPUM 2007, v.1, p Borndröfer, R.; Grötschel, M. and Pfetsch, M. (2006), Publc transport to the fore!, ORMS Today, v. 33(2), p Bouzada, C. F. (2003), Custo do Transporte Coletvo por Ônbus, Edtora C/Arte, Belo Horzonte. Darby-Dowman, K., Jachnk, J. K.; Lews, R. L. e Mtra, G. (1988), Integrated decson support systems for urban transport schedulng: Dscusson of mplementaton and experence, n J. R. Daduna e A. Wren (eds.), Computer-Aded Transt Schedulng: Proceedngs of the Fourth Internatonal Workshop, Sprnger Verlag, Berln, p Feo, T.A., Resende, M.G.C. (1995), Greedy randomzed adaptve search procedures, Journal of Global Optmzaton, v. 6, p Frelng, R. C.; Boender, G. E. e Paxão, J. M. P. (1995), An ntegrated approach to vehcle and crew schedulng, Techncal Report 9503/A, Econometrc Insttute, Erasmus Unversty Rotterdam, Rotterdam. Frelng, R., Husman, D., Wagelmans, A. (2003), Models and Algorthms for Integraton of Vehcle and Crew Schedulng, Journal of Schedulng, v. 6(1), p Frelng, R.; Wagelmans, A. P. M. e Paxão, J. M. P. (1999), An overvew of models and technques for ntegratng vehcle and crew schedulng, n N. H. M. Wlson (ed.), Computer- Aded Transt Schedulng, Sprnger Verlag, Berln, p Garey, M. R., Johnson, D. S. (1979), Computers and Intractablty, In W. H. Freeman (ed.), A Gude to the Theory of NP-Completeness, New York. Glover, F., Laguna, M. (1997), Tabu Search, Kluwer Academc Publshers. Haase, K. e Frberg, C. (1999), An exact branch and cut algorthm for the vehcle and crew schedulng problem, n N. H. M. Wlson (ed.), Computer-Aded Transt Schedulng, Sprnger Verlag, Berln, p Hansen, P., Mladenovc, N. (2003), Varable neghborhood search: Prncples and applcatons, European Journal of Operatons Research, v. 130, p Lourenço, H. R.; Martn, O.; Stützle, T. (2003), Iterated Local Search, In F. Glover and G. Kochenberger (ed.), Handbook of Metaheurstcs, Kluwer Academc Publshers. Marnho, E. H. (2005), Heurístcas Busca Tabu para o Problema de Programação de Trpulações de Ônbus Urbano, Dssertação de mestrado, Nteró: Unversdade Federal Flumnense, 89 p. Marnho, E. H., Och, L. S., Drummond, L. M. A., Souza, M. J. F., Slva, G. P. (2004), Busca Tabu aplcada ao Problema de Programação de Trpulações de Ônbus Urbano, Smpóso Braslero de Pesqusa Operaconal, 2004, São João Del Rey, Anas do XXXVI SBPO. Ro de Janero: SOBRAPO, v.1. p Res, J. v. A. (2007), Programação ntegrada de veículos e trpulações de ônbus urbano, Exame de qualfcação de mestrado, Programa de pós-graduação em Engenhara de Transportes, São Paulo: Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo. Scott, D. (1985), A large lnear programmng approach to the publc transport schedulng and cost model, n J. M. Rousseau (ed.), Computer Schedulng of Publc Transport 2, North Holland, Amsterdan, p Souza, M. J. F., Slva, G. P., Smões, E. M. L. (2007), Programação de ônbus urbano: uma abordagem heurístca In: Transporte em transformação XI: trabalhos vencedores do prêmo CNT de Produção Acadêmca Brasíla: Postva, 2007, v.1, p