Programação de ordens de produção com diferentes instantes de liberação para uma data única de entrega.

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1 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 Programação de ordens de produção com dferentes nstantes de lberação para uma data únca de entrega. Claudo Fernando Furlan (USP) claudo.furlan@pol.usp.br Débora P. Roncon (USP) droncon@usp.br Resumo Este trabalho apresenta uma heurístca construtva para o problema de programação de ordens de produção com data de entrega comum para todas as ordens que serão processadas em uma únca máquna. Para evtar estoques antecpados e mesmo atrasos na entrega, são aplcadas penaldades tanto para adantamento como para o atraso. O obetvo é mnmzar a somatóra das penaldades aplcadas as entregas adantadas e as atrasadas. Para sto este trabalho vem propor uma heurístca adaptada do algortmo de Srdharan e Zhou (1996). O desempenho da heurístca proposta é avalado através de um estudo comparatvo com resultados ótmos obtdos em problemas de pequena dmensão. Palavras chave: Programação de produção, Heurístca e Adantamentos e Atrasos Penalzados. 1. Introdução Na década de 70, os aponeses craram uma flosofa de trabalho chamada Just n tme (JIT), que sgnfca que todas as atvdades tnham que começar e termnar no tempo correto, nem antes e nem depos, sendo a fabrcante de veículos automotores Toyota sua precursora, conforme escreve Womack e Jones (1992). No ambente de produção o JIT tem sdo amplamente utlzado, conforme descreve Arnold (1999), JIT é a elmnação de todo desperdíco e a melhora contínua da produtvdade... que um dos obetvos da programação é fazer a melhor utlzação dos recursos da produção e assm nfluencar a produtvdade. Portanto, a programação de atvdades tem um papel mportante na melhora dos resultados quando utlzada segundo a premssa do JIT. Assm utlzando esta premssa de executar tarefas no tempo correto, a programação deve balancear a execução das atvdades de forma que elas não termnem antes da necessdade, assm como não seam fnalzadas depos do nstante requerdo. Ilustrando os problemas de se adantar alguma atvdade, Bagch, Chang e Sullvan (1987) comentam que no caso de produtos fnalzados antes do tempo ncorre uma ocupação cada vez maor do espaço destnado ao estoque e conseqüente escassez de espaço, aperto no fluxo de caxa devdo ao captal parado aguardando sua data de entrega, e que geralmente ndca que a alocação e utlzação dos recursos não estão balanceadas, sto é, ndca nefcênca da cadea. Em relação a atrasar uma atvdade, e neste caso mas precsamente a entrega de um produto, Davs e Kanet (1993), salentam as conseqüêncas que este cenáro pode apresentar, como a perda da reputação em relação ao clente, custos de oportundade de perda de vendas e até penaldade fnancera por contrato de venda. Em resumo os custos envolvdos em ambas stuações demonstram a nefcênca do sstema em relação à capacdade envolvda e a programação das atvdades. Este trabalho tem como característca prncpal apresentar uma heurístca para a programação de ordens que estarão dsponíves em dferentes datas para serem processadas. Consderamos o ambente de máquna únca e penaldades guas para todas as ordens aplcadas ao

2 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 adantamento e atraso em relação a data de entrega estabelecda, sendo as penaldades de atraso e adantamento dferentes entre s. Jeffrey Sdney (1977), nos dz o segunte em seu trabalho: A produção de produtos perecíves é um outro exemplo no qual estas penaldades aparecem. Suponha, por exemplo, um produtor químco combna um tem químco A, que deterora rapdamente com um segundo tem químco B para produzr o tem C. Se A é produzdo antes que B estea pronto, ele se deterora. Se A é produzdo mas tarde, o atraso de C pode ser dspendoso. Em seu artgo Sdney exemplfca a partculardade de ter uma únca data de entrega que neste exemplo sera a da produção do tem C e fca nas entrelnhas a mportânca das penaldades para poder austar o processo das ordens o mas próxmo possível da data de entrega. Outro exemplo prátco é ctado por Kanet (1981), para o caso de produção de componentes para a montagem fnal de um produto, onde a data de entrega comum se refere ao níco da montagem do tem fnal. A Fgura 1 a segur mostra uma stuação onde um clente faz um peddo de alguns tens, mas com a condção de que a entrega não pode ser parcal. Então a entrega terá data únca e assm os tens deverão estar todos prontos até aquela referda data. As ordens de produção (OP) são lberadas conforme a dsponbldade de matéra prma e programadas para serem processadas em uma únca máquna. Não é nteressante que os tens deste peddo termnem nem muto tempo antes assm como não devem atrasar. Portanto, tudo dependerá de uma boa programação. OP tem 1 Ordem de Venda para o clente OP tem 2 Máquna únca de processamento Data únca de entrega OP tem 3 Fgura 1 Stuação prátca de entrega de város tens para uma mesma data de entrega. Estes exemplos refletem a mportânca deste trabalho, assm como as dferentes datas de lberação das ordens, pos no ambente JIT matéras prmas também devem chegar no seu tempo certo. Com sso cada ordem poderá ter uma dferente data de lberação para o processo. Neste trabalho defnremos o problema em estudo assm como apresentando a heurístca de Srdharan e Zhou (1996) modfcada para atender as premssas defndas. O método de resolução é heurístco, pos de acordo com Valente e Alves (2003), este tpo de problema tem complexdade NP-Hard. Testes computaconas com problemas da lteratura e seus resultados serão apresentados. Resultados de problemas de pequena dmensão foram comparados com uma programação ótma para mostrar a efetvdade da mplementação desta heurístca. A motvação para a realzação deste trabalho é a ausênca de artgos que abordem este problema coma as mesmas característcas anterormente ctadas. Prncpalmente quando tratamos a data de entrega d como restrtva, sto é, seu valor é menor que a soma dos tempos de processamento de todas as ordens. 2. Descrção do Problema

3 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 O problema consste de n ordens de produção com dferentes tempos de processamento p, sendo = 1...n, que devem ser processadas por uma únca máquna. Aqu podemos ressaltar que máquna únca pode ser nterpretada como uma célula de produção ou um centro de trabalho ou mesmo uma máquna gargalo da produção. As datas de chegada ou de lberação (r ) das ordens para entrar na máquna são dferentes, ou sea, as ordens não estarão todas dsponíves no mesmo nstante, portanto sua lberação será dnâmca ao longo do tempo. Consderaremos que os dados das ordens, tempo de processamento e data de lberação são determnístcos. Não será permtda nterrupção (preempton) do processamento da ordem antes da sua conclusão. A programação será defnda em função de mnmzar os atrasos e os adantamentos ponderados, sto é, tanto o adantamento como o atraso terão penaldades. O nstante de térmno de cada ordem será defndo como C e o níco denomnado s, logo, C = s + p. As penaldades serão defndas como α para o adantamento das ordens e β para o atraso e serão aplcadas sobre o tempo de adantamento E e atraso T respectvamente. Sendo E =max{d-c, 0} e T =max{c -d, 0}. Este problema tem como partculardade data de entrega únca. Neste caso podemos ter dos tpos de entrega únca. O prmero chamado de data não restrtva que sgnfca que uma seqüênca ótma pode ser construída sem que o valor da data de entrega sea consderado. O segundo caso chamado de data restrta onde a data de entrega se encontra na segunte stuação: d < Σ p. E este segundo será o caso do estudo deste trabalho. O problema em estudo pode então ser lustrado conforme a Fgura 2 a segur: As ordens O são defndas pelo par r e p, onde = 1 a n Os tempos de térmno C são função da seqüênca, s e p O 1 (r 1, p 1 ) C 1 O 2 (r 2, p 2 )... O n ( r, p n ) Máquna... C n C2 d Fgura 2 Representação gráfca do problema Segue abaxo a formulação matemátca do problema adaptada do trabalho de Bskup e Feldman (2001): Função Obetvo: n Mn α E + βt =1 T s + p d, = 1,...,n ; (1) E d s p, = 1,...,n ; (2) k ( x ) s + p s + R 1, = 1,..., n 1; k = + 1,..., n ; (3) k

4 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 s + p s + Rx, = 1,..., n 1; k = + 1,..., n ; (4) k k k T, E, s, r 0, = 1,...,n ; (5) { 0,1} x, = 1,..., n 1; k = + 1,..., n ; (6) k s = 1,...,n ; (7) r Os tempos de adantamento e atraso são calculados pelas restrções (1) e (2). As restrções (3) e (4) determnam os tempos de níco das ordens. R é um valor grande o sufcente, defndo prevamente para não nterferr no resultado das restrções. Se a ordem precede a ordem k a restrção s + p s k será verdadera se x k = 1. Por causa da adção de R (4) não é restrtva com x k = 1. Por outro lado, para x k = 0 a restrção(4) será defndo por s k + p k s e (3) não é restrtva. Importante notar que a varável bnára é defnda em (6). A restrção (5) garante a não negatvdade das varáves e a restrção (7) defne que uma ordem só pode ser ncada se ela estver dsponível naquele nstante. Na lteratura encontramos alguns artgos que levam em consderação a data comum e as penaldades por atraso e adantamentos úncos α e β para todas as ordens, dos quas ctamos alguns: Panwalkar, Smth and Sedmann (1982), Emmons (1987), Bagch, Chang e Sullvan (1987) e Mondal e Sen (2001); mas em todos eles a data de lberação da ordem r é comum a todas as ordens, sto é, todas estão dsponíves para processamento no níco da programação. Artgos que levam em consderação dferentes datas de lberação podemos ctar Srdharan e Zhou (1996), Bank e Werner (2001), mas que utlzam como penaldade α e β para as ordens e Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) que penalzam o atraso e o adantamento gualmente com α =β, apenas o trabalho de Cheng, Chen, Shakhlevch (2002) penalza as ordens conforme o problema proposto acma, mas a data de entrega não é dada, é uma das varáves do problema. Um trabalho recentemente publcado é o de Valente e Alves (2003) que trabalha com as mesmas premssas do problema em estudo, mas com uma varante que é a data de entrega não restrta. Portanto, até o momento não conhecemos na lteratura dsponível artgos com as mesmas premssas do problema tratado neste artgo. 3. Heurístca Proposta Devdo à complexdade do problema é proposta uma heurístca construtva por ela ser de rápda solução. Esta metodologa em geral apresenta menor complexdade de mplementação e obtêm-se respostas com grande rapdez o que é mportante em aplcações prátcas. A heurístca construtva a ser aplcada é uma adaptação da heurístca apresentada no artgo de Srdharan e Zhou (1996) denomnada de DT-ET, que são as ncas de Decson Theory for Earlness and Tardness problem. Esta heurístca leva em consderação uma teora de decsão na seleção da próxma ordem a ser processada avalando as conseqüêncas de cada alternatva de acordo com um crtéro dado e escolhe a melhor alternatva, conforme descrto no artgo de Kanet e Zhou (1993), assm como uma vsão futura das ordens que estão para chegar. A motvação para a escolha desta heurístca fo baseada na estrutura proposta por Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) que realzaram um estudo sobre o problema E/T ( Earlness and Tardness) para máquna únca com ordens chegando dnamcamente, ou sea, ordens com dferentes datas de lberação e consderando todas as penaldades guas. Este artgo avala dferentes heurístcas desenvolvdas de forma modular. Um dagrama em forma de fluxo de decsão é defndo utlzando os módulos. Estes módulos são dvddos em: Vsão Futura (FE, ncas de front end), Tema Prncpal (MT, ncas de man theme) e Inclusão de Tempo Ocoso na programação (BR, ncas de balancng routne).

5 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 Estes módulos se referem a: (FE) geração de um cenáro futuro consderando ordens que estão para chegar após o nstante de tomada de decsão de qual ordem será processada em seguda; (MT) defndo por uma regra de despacho para gerar uma seqüênca de ordens lberadas que será convertda em uma programação (regras como: EDD, SPT, FCFS, etc) e (BR) acetação de nserção ou não de tempo ocoso ou parada de máquna na programação das ordens. Após város testes comparatvos entre 12 heurístcas cradas através da combnação dos módulos Nandkeolyar, Ahmed e Sundararaghavan (1993) chegaram a conclusão de que a heurístca utlzando a conunção FE+BR tem a melhor performance quando a máquna está congestonada. A heurístca construtva desenvolvda por Srdharan e Zhou (1996) tem em sua estrutura os dos módulos FE e BR. A déa básca da heurístca está resumda nestas duas perguntas: qual a próxma ordem a ser processada e quando começar seu processamento. Para responder a prmera questão ela consdera ordens a serem lberadas e as atuas na fla, e para responder a segunda ela avala a escolha de uma ordem em termos do mpacto sobre todas as outras não escolhdas. Para sto a heurístca consste de três procedmentos báscos: A Defnr quas ordens serão analsadas. B Programar uma ordem como próxma a ser processada e estmar o nstante de térmno das restantes. Refazer este cálculo para todas as ordens defndas em A. Calcular o custo total de cada programa. Escolher a ordem de menor custo. C Refazer os procedmentos A e B até que todas as ordens esteam programadas. A segur segue o algortmo da heurístca com as defnções dos parâmetros e varáves envolvdas. Parâmetros p tempo de processamento da ordem ; r data de chegada da ordem ; β - penaldade únca por atraso; α - penaldade únca por adantamento; d data de entrega comum; Varáves C nstante de térmno da ordem em estudo; s nstante de níco da ordem em estudo; t 0 nstante de decsão; J conunto das ordens que estão na fla; K conunto das ordens que rão chegar dentro do período: [ t 0, max (t 0 +p, d )]; S(t 0 ) conunto das ordens canddatas no nstante to, defndo pela unão dos conuntos J e K (J K) ; N número de ordens em S(t 0 ). Antes de ncar o passo 1, é necessáro defnr o conunto S(t 0 ), assm, somente as ordens contdas neste conunto é que serão submetdas ncalmente a avalação da heurístca. Este conunto será alterado a cada novo nstante t 0. O nstante t 0 será o nstante de térmno C da ordem escolhda como próxma a ser processada. Para o nco da programação será consderado como zero ou o menor r dsponível caso nenhuma ordem estea dsponível no nstante zero.

6 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 Para o passo a segur uma ordem qualquer será escolhda do conunto S(t 0 ) como a próxma a ser processada. Passo 1 Esta etapa defne qual o melhor valor que estudo. * C = max t 0 + p {, r + p d}, * C pode assumr para a ordem em Passo 2 Determne o nstante médo de conclusão,c, das ordens remanescentes no conunto S(t 0 ): ( P P) P * 1 C = a + C P = p S ( to ),,, a = 1 N 1 S ( t0 ), max{ r, t }, 0 P P =. N 1 Passo 3 Determne o valor a ser assumdo por C e, por consegunte, o melhor nstante de níco, s, para a ordem em estudo: Se α < β, então, * { C ( C d ), r + p, t p } C max +, = 0 Caso a condção não sea atendda consderamos então: C =, * C E a melhor data de níco será: s = C p Passo 4 Estme, agora, os nstantes de níco s e térmno C das ordens remanescente de S(t 0 ): s { C + 0,5( P p ), r d p } = max, C = s + p S t ), ( 0 Passo 5 Calcule para a ordem em estudo qual sera seu custo total TC(), como se ela fosse a próxma a ser processada. + + TC = α d C + β C d] ( ) [ ] [ S ( t 0 ) Passo 6 Retorne ao passo 1 utlzando agora uma nova ordem contda em S(t 0 ) e refaça todos os passos até o passo 5. Quando todas as ordens tverem sdo nvestgadas pule para o próxmo passo. Passo 7 Seleconar a ordem com o menor TC calculado. Utlzar s e C calculados no passo 3. Programe esta ordem como a próxma da seqüênca.

7 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 Atualze t 0, volte a defnr o conunto S(T 0 ) e nce no passo 1 novamente. Após a seqüênca montada, a mesma é analsada para checar se há algum tempo ocoso entre ordens que se ncam antes da data de entrega e que podera ser removdo adantando a ordem ou as ordens anterores. Como por exemplo, supondo que a prmera ordem da programação começa no nstante zero e fnalza no nstante 3. A segunda ordem só pode ncar no nstante 5 porque sua data de lberação mpede que comece no nstante anteror. Então a prmera ordem deverá ser adantada a começar no nstante 2 para que termne no nstante 5, removendo o tempo ocoso que tnha entre as ordens e assm por dante. 4. Resultados Computaconas Os dados para a realzação dos testes foram gerados utlzando o programa em Pascal desenvolvdo por Bskup e Feldmann (2001). Neste programa os dados são gerados aleatoramente dentro de uma faxa defnda para cada parâmetro. Para manter a mesma déa dos autores, foram mantdas a semente e a dstrbução unforme de valores de geração, logo os tempos de processamento, são os mesmos gerados por Bskup e Feldmann. São gerados 70 problemas dferentes dvddos em 7 dferentes tamanhos (10, 20, 50, 100, 200, 500 e 1000 ordens) e cada um com 10 dferentes replcações. Para o tempo de processamento a faxa da dstrbução unforme adotada fo [1-20], para penaldade por adantamento [1-10] e para penaldade por atraso [1-15]. Para datas de lberação da ordem uma adaptação do programa orgnal de Bskup e Feldmann (2001) fo realzada. A faxa de valores defnda para a geração das datas de lberação fo baseada nos trabalhos de Akturk e Ozdemr (2001) e Chu (1992), que vara conforme a faxa de dstrbução [0-k], e cuo lmte superor k é defndo por um fator multplcador α sobre a somatóra dos tempos de processamento k α p, onde α = 0,5. (8) = Conforme a equação (8), a dstrbução unforme de valores para gerar as datas de lberação é função da somatóra dos tempos de processamento de cada replcação do problema. Logo, a faxa de geração da data de lberação será [0, k] para cada um dos problemas (Tabela 1). A data de entrega d é gerada pela somatóra dos tempos de processamento do problema e multplcado pelo fator h. d n =, sendo o fator h = 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8 = 1 p * h Os testes levaram em consderação 4 dferentes datas de entrega defndas pelo fator h, sendo portanto gerados 280 problemas. A heurístca proposta fo mplementada na lnguagem Pascal e os testes realzados em um computador com processador de AMD K6-II de 500 MHz e 64 Mb de memóra RAM. Os problemas com 10 ordens foram também resolvdos de forma exata através do software LINDO (Lnear, Interactve and Dscrete Optmzer), com o ntuto de avalar a performance da heurístca proposta. A Tabela 2 fornece uma comparação entre os resultados obtdos para os 40 casos testados. Os valores gerados pelo LINDO estão defndos na tabela como FO*.

8 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 Número de Ordens por Problema Réplca Tabela 1 Lmte Superor (k) para a geração das datas de lberação Problemas h Méda 0,2 FO/FO* (%) 0,4 FO/FO* (%) 0,6 FO/FO* (%) 0,8 FO/FO* (%) FO FO* ,0% 3,2% 0,0% 0,0% 7,8% 0,0% 0,0% 0,0% 1,9% 7,5% 2,0% FO FO* ,1% 0,0% 0,0% 4,0% 13,2% 23,6% 0,0% 0,42% 21,6% 14,7% 8,2% FO FO* ,7% 2,8% 1,6% 13,5% 29,8% 31,4% 10,4% 18,3% 10,0% 31,8% 16,7% FO FO* ,6% 33,7% 11,5% 30,4% 29,8% 58,6% 40,0% 78,4% 51,3% 29,7% 39,3% Tabela 2 Comparação da Heurístca proposta com o software LINDO A Tabela 2 mostra que a heurístca proposta tem uma perda de aderênca cada vez maor em relação ao valor ótmo conforme o fator h é ncrementado, sto é, para os problemas com valor de h=0,8 a méda das dferenças entre o encontrado pela heurístca e o valor ótmo fo de 39,3%, á com h=0,6 esta dferença méda ca para 16,7%, para h=0,4 a méda é 8,2% e por últmo h=0,2 a dferença méda ca para 2,0%. Em resumo esta heurístca conseguu ter sua melhor performance e até atngr o ótmo (em 9 problemas, ou melhor, 22,5 % dos problemas) quando a data de entrega comum é altamente restrtva, sto é h=0,2. Isto ndca que a

9 XI SIMPEP Bauru, SP, Brasl, 08 a 10 de novembro de 2004 heurístca possu uma boa performance quando a maora das ordens está em atraso e se quer mnmzar este atraso. Para os outros casos apesar da méda ser maor há algumas exceções que produzem bons resultados, como nos problemas 2, 3 e 7 com h=0,4 que atngram o ótmo, os problemas 2 e 3 com h=0,6 e o problema 3 com h=0,8 cua varação são respectvamente 2,8%; 1,6% e 11,6%; e que poderam ser utlzados em um estudo futuro para melhora da heurístca. 5. Conclusão Neste artgo fo apresentada uma heurístca construtva para mnmzar a soma das penaldades de atraso e adantamento das ordens de produção em relação à data de entrega comum e restrta. O método proposto fo submetdo a testes computaconas para mostrar sua efcênca em comparação aos resultados ótmos obtdos para pequenos problemas. Esta heurístca, ncalmente concebda para resolver problemas com penaldades e data de entrega dferentes para cada ordem, ou sea, α, β e d e agora adaptada para resolver problemas de data únca e penaldades do tpo α e β, tem potencal de solução á que a mesma ncorpora uma vsão futura das ordens que estão para chegar e analsa se não exste ordem em potencal para ser programada antes das que á estão na fla. Portanto, cabe ressaltar que esta heurístca tem espaço para sofrer melhoras a ponto de reduzr, prncpalmente, a varação que exste nos resultados para datas de entrega cuo fator h está entre 0,6 e 0,8. Novos testes estão em fase de desenvolvmento a fm de consegurmos uma melhor performance da heurístca proposta. Referêncas AKTURK, M.S. & OZDEMIR, D. (2000), A New Domnance Rule to Mnmze Total Weghted Tardness wth Unequal Release Dates, European Journal of Operatonal Research, Vol 135, ARNOLD, J.R.T. (1999), Admnstração de Materas, São Paulo: Atlas, Cap. 15. BAGCHI, U., SULLIVAN, R. & CHANG Y. (1987), Mnmzng Mean Square Devaton of Completon Tmes About a Common Due Date, Management. Scence, Vol 33, BANK, J. & WERNER, F. (2001), Heurstc Algorthms for Unrelated Parallel Machne Schedulng wth a Common Due Date, Release Dates, and Lnear Earlness and Tardness Penaltes, Mathematcal and Computer Modellng, Vol 33, BISKUP, D. & FELDMANN, M.(2001), Benchmarks for Schedulng on a Sngle Machne Aganst Restrctve and Unrestrctve Common Due Date, Computers & Operatons Research, Vol 28, CHENG, T.C.E., CHEN, Z.L. & SHAKHLEVICH N.V. (2002), Common Due Date Assgnment and Schedulng wth Ready Tmes, Computers and Operatons Research, Vol 29, CHU, C. (1992), A Branch-and-Bound Algorthm to Mnmze Total Tardness wth Dfferent Release Dates, Naval Research Logstcs, Vol

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