PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MONOESTÁGIO COM RESTRIÇÃO DE CAPACIDADE: MODELAGEM, MÉTODO DE RESOLUÇÃO E RESULTADOS COMPUTACIONAIS

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1 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 287 PROBLEMA DE DIMENSIONAMENTO DE LOTES MONOESTÁGIO COM RESTRIÇÃO DE CAPACIDADE: MODELAGEM, MÉTODO DE RESOLUÇÃO E RESULTADOS COMPUTACIONAIS Slvo Alexandre de Araujo Marcos Nereu Arenales ICMC/USP-CP 668 CEP São Carlos SP {saraujo, arenales}@cmc.sc.usp.br Resumo Este trabalho apresenta um estudo sobre o método de resolução de um problema de dmensonamento de lotes monoestágo proposto por Trgero et al. (1989). Este problema consste em determnar as quantdades de tens a serem produzdas em dferentes períodos de tempo, de modo a mnmzar a soma dos custos de produção, preparação e estoque. A quantdade produzda em cada período deve ser capaz de atender as demandas dos tens, sem exceder a capacdade de máquna. Para retratar o consumo de recursos, são ncluídos tempos de preparação e produção. O método de resolução desenvolvdo por Trgero et al. (1989) consste num método heurístco baseado em relaxação Lagrangana, no método de otmzação do subgradente e em uma heurístca de factblzação. Neste trabalho, esse método fo mplementado consderando custos varáves no tempo. Além dsso, fo proposta uma mudança, baseada nas condções de otmaldade do problema, na fase de melhora da solução factível. São apresentados alguns expermentos computaconas comparando as duas versões. Palavras-chave: programação ntera, dmensonamento de lotes, planejamento da produção. Abstract Ths work presents a study on the resoluton method of the sngle product lot szng problem formulated by Trgero et al. (1989). Ths problem conssts of determnng the quanttes to be produced n dfferent perods of tme, mnmzng the sum of costs of producton, setup and nventory. The quantty to be produced n each perod should be suffcent to attend the demands of tems, wthout exceedng the capacty of the machne. To model the aspects of consumpton of resources, setup and producton tmes are ncluded n the model. The resoluton method developed by Trgero et al. (1989) conssts of a heurstc method based on Lagrangean relaxaton, subgradent optmzaton and a heurstc smoothng procedure. In ths work that method was mplemented consderng varable costs. Furthermore, t was proposed a modfcaton, based on the optmalty condtons of the problem, durng the phase of the mprovement of the feasble soluton. Some computatonal experments are presented comparng both versons. Keywords: nteger programmng, lot-szng, producton plannng. ISSN

2 288 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade 1. Introdução A ndústra de manufatura tem sdo muto estmulada a tornar seus processos mas efcentes. Este estímulo advém da maor compettvdade mposta pelas transformações que têm afetado a ordem econômca mundal. Assm, as ndústras vêm sofrendo profundas mudanças no seu setor produtvo no que tange à modernzação de seus processos de produção, melhora da qualdade de seus produtos e raconalzação admnstratva. O gerencamento da produção dentro de uma empresa é responsável pela transformação de matéras-prmas em produtos acabados. O sstema responsável por este gerencamento denomna-se Planejamento e Controle da Produção (PCP), que coordena todas as atvdades, desde a aqusção de matéras-prmas, até a entrega dos produtos acabados. A estrutura herárquca de um sstema PCP pode ser dvdda em três níves de planejamento dstntos: estratégco, tátco e operaconal (Anthony, 1965). O planejamento estratégco está relaconado ao mas alto nível de tomada de decsões, onde são defndas as metas globas de uma empresa e as polítcas adequadas para atng-las, determnando os objetvos da empresa a longo prazo. O planejamento tátco é responsável pela mplementação das estratégas defndas no nível superor (planejamento estratégco), de forma a utlzar efcentemente os recursos dsponíves. Nesta etapa devem ser tomadas as decsões a médo prazo. Por fm, tem-se o planejamento operaconal que trata de decsões do da-a-da da produção de uma empresa, ou seja, são tomadas decsões a curto prazo, tendo como objetvo executar os planos defndos anterormente. Este trabalho enfoca os problemas de tomada de decsão relaconados com o planejamento tátco/operaconal. O planejamento da produção nestes níves consste no processo de determnar um plano de quanto produzr e/ou comprar nos próxmos períodos de tempo, chamado de horzonte de planejamento. Também determna os níves de estoque e os recursos necessáros para mplementar tal plano (Thomas & McClan, 1993). Neste contexto, stua-se o problema de dmensonamento de lotes, que consste em planejar a quantdade de tens a ser produzda em váras (ou únca) máqunas, em cada período ao longo de um horzonte de tempo fnto, de modo a atender uma certa demanda, sujeto a restrções de lmtação de capacdade, tendo como objetvo otmzar uma função, que pode ser, mnmzar custos. Os problemas de dmensonamento de lotes podem ser dvddos em monoestágo e multestágo. Denomna-se sstema de produção multestágo quando a produção de determnado tem depende da produção de outro tem, chamado tem componente. Dz-se que um sstema de produção é monoestágo quando os tens a serem produzdos são ndependentes, ou seja, nenhum tem depende da produção de outro tem. A motvação para estudar a classe de problemas de dmensonamento de lotes monoestágos está no fato de que, além de sua potencaldade de aplcações, como nas ndústras de processo onde o processo de produção é contínuo (por exemplo: ndustras de cmento, sderúrgcas, petroquímca e almentícas), o problema monoestágo aparece também como um subproblema de casos mas geras, de modo que, mplementações efcentes dos bons algortmos dsponíves melhoram o desempenho de algortmos projetados para problemas mas geras. O problema monoestágo pode ser subdvddo em váras categoras, por exemplo: pode ser consderado para um únco tem ou para város tens, com ou sem restrção de capacdade ou anda pode consderar ou não tempo de preparação (Bahl et al. 1987).

3 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 289 Neste trabalho serão consderados tempos de preparação de máquna. A consderação ou não de tempos de preparação na modelagem do problema tem gerado algumas controvérsas. Alguns autores sugerem que tempos de preparação já estão ncluídos mplctamente nos custos de preparação (Maes & Van Wassenhove, 1991), não sendo necessáro ncorporá-los ao modelo. Outros autores, afrmam que a substtução dos tempos de preparação por seus custos pode levar a uma representação falsa do consumo de recursos (Bllngton et al., 1983 e Kuk et al., 1994). Bllngton et al. (1994) destacam que o tempo de preparação pode ser gnorado em algumas ndústras de processo, mas em város sstemas com restrção de capacdade, um dos fatores mas crítcos do problema de dmensonamento de lotes é o tempo de preparação e não seu custo. Trgero et al. (1989) fazem um exemplo mostrando que certos problemas não devem ser formulados sem a nclusão de tempos de preparação. A nclusão de tempos de preparação aumenta bastante o grau de complexdade do problema. Floran et al. (1980) mostraram que, para problemas com recursos de produção lmtados e custos de preparação, encontrar a solução ótma para o problema com um únco tem é um problema NP-Hard. Btran & Yanasse (1982) mostraram que város casos de problemas com um únco tem podem ser resolvdos em tempo polnomal, tornando-se NP-Hard quando um segundo tem é ntroduzdo. Quando se consdera tempo de preparação, o problema de encontrar uma solução factível é NP-Completo (Maes et al., 1991). Para tempos de preparação nulos, as restrções são lneares e, portanto, o problema de factbldade é da classe P. Esta é uma das razões pela qual a maora das pesqusas não nclu tempos de preparação. Dzelnsk & Gomory (1965) por exemplo, tratam do problema de dmensonamento de lotes sem consderar tempo de preparação utlzando a decomposção de Dantzg & Wolfe (1960). Drexl & Kmms (1997) consderam modelos que acoplam os problemas de planejamento (lot szng) e programação (schedulng) sem consderar tempos de preparação. Uma revsão bblográfca mas completa de problemas monoestágos pode ser encontrada em Bahl et al. (1987) e Kuk et al. (1994). 2. Formulação do Problema Este trabalho fo baseado no modelo de Trgero et al. (1989) onde se consdera o problema de dmensonamento de lotes monoestágo com város tens, restrção de capacdade, custos de produção, preparação e estoque e, para retratar o consumo de recursos, são ncluídos tempos de preparação e produção. Além dsso, o modelo consdera que todos os custos e as demandas podem varar para cada tem em cada período de tempo. Os seguntes dados são utlzados no modelo: c t Custo untáro de produção do tem no período t. S t Custo de preparação para a produção do tem no período t. H t Custo untáro de estocagem do tem no período t. b Tempo necessáro para produzr uma undade do tem. s Tempo de preparação para a produção do tem. CAP t Lmte de capacdade (em undades de tempo) no período t. d t Demanda do tem no período t. M Número grande. As varáves de decsão são: X t Undades do tem produzdas no período t. I t Undades do tem estocadas no período t. Y t Varável bnára, ndcando a produção (Y t =1) ou não (Y t =0) do tem no período t.

4 290 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade Índces: t = 1,..., T = 1,..., N Períodos de tempo. Itens. Modelo: HtIt + ctxt + mn S Y (1) Sujeto a:,t 1 t t t I + X I = d, t (2) t + t t bxt syt CAPt t (3) X t MY 0, t (4) t Y t = 0 ou 1, t (5) Xt e It 0, t (6) t t Nesta formulação, a função objetvo (1) consste em mnmzar a soma dos custos de produção, estoque e preparação. As restrções (2) são de balanço de estoque, ou seja, a cada período, quantdade produzda mas a quantdade dsponível em estoque (sobra do período anteror) menos o que sobrar em estoque para o período segunte deve ser gual à demanda do período. As restrções (3) são devdo a lmtação de capacdade onde se leva em consderação o tempo despenddo para a produção dos tens e preparação das máqunas. As restrções (4) e (5) asseguram que o tempo e o custo de preparação são consderados apenas quando exste produção e, por fm, (6) são restrções de não negatvdade. O estoque ncal é consderado gual a zero (I 0 =0 ) sem perda de generaldade pos, em casos onde I 0 0, pode-se reduzr este valor na demanda do tem. Cabe observar aqu que exstem outras formulações para este problema, como por exemplo, a apresentada por Daby et al. (1992), que desenvolveram um método de resolução baseado num procedmento de enumeração mplícta. 3. Método de Resolução O método desenvolvdo por Trgero et al. (1989) é um método heurístco que consste em relaxar as restrções de capacdade (3) utlzando a técnca de relaxação Lagrangana, obtendo-se város subproblemas, um para cada tem, sem restrção de capacdade. Estes subproblemas são resolvdos por programação dnâmca utlzando o algortmo ótmo de Wagner & Whtn (1958). O valor da solução do problema Lagrangano (problema relaxado), consttu um lmtante nferor para o problema orgnal. Em geral, a solução do problema Lagrangano é nfactível para o problema orgnal, pos vola as restrções de capacdade. Aplca-se então, uma heurístca que transfere a produção entre períodos, na tentatva de obter uma solução factível. Por fm, a atualzação dos multplcadores de Lagrange é feta utlzando-se o método de otmzação do subgradente. A utlzação do método do subgradente garante a obtenção, no lmte, do melhor (maor) lmtante nferor. No entanto, em se tratando de programação ntera, tem-se que o valor do melhor lmtante nferor pode ser menor que o valor ótmo da função objetvo do problema orgnal, devdo ao chamado gap de dualdade, que consste na dferença entre o valor ótmo da função objetvo do

5 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 291 problema dual Lagrangano (melhor lmtante nferor) e o valor ótmo da função objetvo do problema orgnal. Neste trabalho, a exemplo de Trgero et al. (1989), a avalação da solução obtda é feta através da dferença percentual entre o valor da função objetvo para a melhor solução factível encontrada (lmtante superor) e o valor do melhor lmtante nferor. Esta dferença percentual será chamada de gap da solução. lmsup lm nf gap da solução = 100 lm nf Observe que o numerador da fração acma representa a soma do gap de dualdade com a dferença entre o valor da melhor solução factível encontrada (lmtante superor) e o valor da solução ótma. Quando o gap da solução é pequeno, pode-se dzer que o valor da função objetvo obtdo pela solução factível está próxmo do valor ótmo. No entanto, quando o gap da solução é alto, não se pode afrmar que o valor obtdo pela solução factível está longe do valor ótmo, ou se exste um gap de dualdade grande. 3.1 Obtenção do Lmtante Inferor Para se obter um lmtante nferor para o problema, aplca-se a técnca de relaxação Lagrangana às restrções de capacdade (3). O problema Lagrangano é defndo por: k Problema Lagrangano ( λ t 0 ): k k HtIt + (c t + λ t b)xt + (S t + λ t s)yt mn λ CAP (7) Sujeto a:,t 1 t t t t I + X I = d, t (8) X t t t t MY 0, t (9) t Y t = 0 ou 1, t (10) Xt e It 0, t (11) Observe que as úncas restrções que lgavam os tens eram as restrções de capacdade (3). Assm, o problema Lagrangano (7)-(11) pode ser decomposto tem a tem, obtendo-se város subproblemas, um para cada tem, sem restrções de capacdade. Isto torna possível a resolução do problema (7)-(11) pela utlzação da técnca de programação dnâmca de Wagner & Whtn (1958), a qual é aplcada em cada um dos subproblemas separadamente. As soluções para estes subproblemas são agrupadas e, em geral, a solução resultante deste agrupamento não é factível para o problema (1)-(6), devdo ao fato de não estarem sendo consderadas as restrções de capacdade. O valor da função objetvo do problema k Lagrangano (7)-(11), para cada λ t 0, produzrá um lmtante nferor para o problema orgnal (1)-(6). O método de otmzação do subgradente é utlzado para atualzar os k multplcadores de Lagrange determnando λ t que forneça o maor dos lmtantes nferores (Held et al e Camern et al. 1975). k t t

6 292 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade 3.2 Heurístca de Factblzação A heurístca de factblzação desenvolvda por Trgero et al. (1989) parte da solução obtda pelo algortmo de programação dnâmca, tentando ajustar os lotes de acordo com a capacdade dsponível em cada período. O procedmento tem quatro passos ncas, dos regressvos e dos progressvos no tempo, descrtos a segur: 1 o Passo regressvo no tempo: Este passo é ncado no fm do horzonte de planejamento e evolu em dreção aos períodos anterores. Se houver volação de capacdade num período, cada tem com produção postva é avalado, com o objetvo de verfcar qual é o mas adequado para ser transferdo. O tem mas adequado é aquele que tem o menor custo por undade de volação elmnada. Para transferr um tem de um determnado período t tem-se: Se o tamanho do lote do tem no período t não for maor do que a volação do período t, duas opções são consderadas: Mover todo o lote para o período medatamente anteror (t-1). Mover todo o lote para outro período anteror (t-j, com j>1), onde t-j é o prmero período anteror no qual o tem já esteja sendo produzdo. Assm, evta-se os custos assocados a uma preparação. No entanto, se o tamanho do lote é maor do que a volação, três dferentes combnações de quantdade e períodos são consderados para a transferênca: Mover a quantdade necessára para elmnar a volação para o período t-1. Mover a quantdade necessára para elmnar a volação para o período t-j. Mover todo o lote para o período t-j. Cabe observar que, transferr mas do que o necessáro para elmnar a volação para um período anteror será consderado somente se não houver volação da capacdade deste período anteror. O tem de menor custo é transferdo de acordo com um dos procedmentos descrtos acma. Se persstr a volação no período t, um outro tem é escolhdo e o processo é repetdo até que a volação do período seja elmnada. O mesmo processo é aplcado ao período anteror (t-1) e assm por dante, até o período 2. Observe que, ao fnal do passo regressvo tem-se uma solução factível, exceto possvelmente para o prmero período. 1 o Passo progressvo no tempo: Este passo é ncado no começo do horzonte de planejamento e evolu em dreção aos períodos posterores. O período alvo é sempre o medatamente posteror e a quantdade transferda é o estoque I t. Os tens que podem ser transferdos são: Os tens que foram agrupados pelo algortmo de Wagner & Whtn (1958). Aqueles que foram transferdos pelo prmero passo regressvo. As transferêncas termnam quando as volações acumuladas forem elmnadas para todos os períodos, ou seja, as necessdades acumuladas até o período t forem menores ou guas à capacdade acumulada até o mesmo período (para todo t): t τ= 1 ( b X + τ s Y ) τ t τ= 1 CAP τ para todo t (12)

7 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 293 Observe que a desgualdade acma não mplca na elmnação da volação de todos os períodos de 1,..., t. Pos, para um dado período t onde 1 < t t, pode ocorrer que: b X s Y > CAP +,, t, t t onde 1 < t t (13) Observe anda que nenhuma tentatva é feta para evtar volação no período alvo. No entanto, não são permtdos atrasos na produção. 2 o Passo regressvo no tempo: Idêntco ao prmero, exceto pelo seu estado ncal que é determnado pelo resultado dos dos prmeros passos. 2 o Passo progressvo no tempo: Mas rgoroso do que o prmero. No prmero a produção é envada para períodos posterores até que as volações acumuladas sejam elmnadas. Neste segundo passo progressvo contnua-se trabalhando no período até que toda a volação seja elmnada. A dferença entre volação acumulada e volação pode ser vsta pelas equações (12) e (13). Se ao fnal deste passo a volação não for elmnada, o procedmento é abandonado, as varáves duas são atualzadas e um novo problema Lagrangano é resolvdo produzndo outra solução. 3.3 Arranjo Fnal Caso uma solução factível seja encontrada nos quatro passos ncas, tem-se anda um qunto passo, denomnado arranjo fnal, que tenta elmnar estoques desnecessáros. Este arranjo consste bascamente no segunte: ncando-se com uma solução factível, os períodos são processados em ordem decrescente. Períodos sem folga de capacdade são pulados e, num período t com folga de capacdade, todos os tens que são produzdos são checados, seleconando aqueles em que I,t-1 X t 0, ou seja, o produto do estoque do tem no período t-1 pela quantdade produzda do tem no período t é dferente de zero. Escolhdo um tem k, a produção deste tem é acrescda em t e decrescda em t-j (onde t-j é um período anteror para o qual o estoque fnal é postvo para todos os períodos desde t-j até t-1 nclusve). Isto é feto até que não haja mas folga no período t, ou que o estoque seja elmnado em algum período. 3.4 Arranjo Fnal Modfcado Em nosso trabalho, fo mplementado o método de Trgero et al. (1989) para custos varáves no tempo e proposto um novo arranjo fnal para este método. Esta nova proposta fo feta com base nas seguntes observações: a) O arranjo fnal proposto por Trgero et al. (1989) tenta satsfazer a propredade I,t-1 X t =0 (,t). Assm, dado um determnado tem k com I k,t-1 X kt 0 onde t é um período com folga de capacdade, a produção deste tem k é ncrementada no período t, fazendo com que o estoque do tem k no período t-1 seja dmnuído e, conseqüentemente os custos de estocagem também serão dmnuídos. No entanto, I t-1 X t =0 ( t) é propredade de otmaldade para o problema com um únco tem e sem restrção de capacdade mas, o problema em apreço, consste num problema com város tens e com restrção de capacdade, de modo que, a propredade acma dexa de ser uma propredade de otmaldade.

8 294 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade b) Como o modelo consdera que todos os custos podem varar a cada tem e a cada período, o procedmento de melhora proposto por Trgero et al. (1989) pode vr a porar a solução obtda pelos quatro passos ncas da heurístca de factblzação. De fato, se o custo untáro de produção for varável, pode-se transferr produção para um período onde este custo é muto alto, fazendo com que o custo total aumente. Na mplementação do método, Trgero et al. (1989) consderam todos os custos constantes no tempo, apesar de modelarem o problema com custos varáves no tempo. Neste trabalho, o método fo mplementado para custos varáves no tempo, segundo a modelagem do problema. Entretanto, cabe observar que, mutos autores consderam custos constantes no tempo, argumentando que sto é o que acontece na maora dos problemas prátcos. c) Por fm, tem-se a últma e mas mportante observação que é baseada no segunte teorema (Geoffron, 1974): Dada uma solução do problema Lagrangano, esta solução será ótma para o problema orgnal se, e somente se, satsfaz:. A solução é ótma para o problema Lagrangano.. A solução é factível para o problema orgnal.. A solução satsfaz as condções de folgas complementares. Na heurístca de factblzação desenvolvda por Trgero et al. (1989) tem-se que, nos quatro passos ncas somente as duas prmeras condções deste teorema são levadas em consderação, ou seja, tenta-se fazer as transferêncas de modo a se chegar a uma solução factível para o problema orgnal (condção ()) na qual, o valor da função objetvo do problema Lagrangano para esta solução factível, esteja o mas próxmo possível do valor ótmo da função objetvo do problema Lagrangano (condção ()). Posterormente, o arranjo fnal proposto por Trgero et al. (1989) também consdera somente as duas prmeras condções do teorema, somadas à propredade I,t-1 X t =0 (,t) ou seja, dado que algum tem k esteja volando esta propredade (I k,t-1 X kt 0) em algum período t com folga de capacdade, procura-se elmnar esta volação fazendo transferêncas de produção do tem k para o período t. No entanto, ao fazer estas transferêncas o arranjo mantém a factbldade da solução procurando não se afastar muto do valor ótmo do problema Lagrangano. A partr das três observações acma, fo desenvolvdo em nosso trabalho um novo arranjo fnal, buscando satsfazer as três condções do teorema anteror. Assm, após a aplcação dos quatro passos ncas, os quas são guas ao que fo proposto por Trgero et al. (1989), quando se obtém uma solução factível, aplca-se um arranjo fnal fazendo algumas transferêncas de modo a manter a factbldade da solução (condção ()), procurando afastar o mínmo possível do valor ótmo da função objetvo do problema Lagrangano (condção ()) e, ao nvés de buscar a propredade I,t-1 X t =0 (,t), como faz Trgero et al. (1989), busca-se satsfazer a condção de folgas complementares (condção ()), a qual é uma propredade de otmaldade para o problema com restrção de capacdade Descrção do Arranjo Fnal Modfcado O procedmento consste de dos passos: um passo regressvo no tempo e outro progressvo no tempo. A segur, será descrto o passo regressvo no tempo, sendo que, o passo progressvo segue a mesma déa e será omtdo. Maores detalhes sobre o arranjo fnal modfcado podem ser encontrados em Araujo (1999).

9 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 295 Passo regressvo no tempo: Partndo de uma solução factível, nca-se no fm do horzonte de planejamento (período T) e evolu em dreção ao período ncal. Se num determnado período t, exstr folga de capacdade ( b X s Y CAP ) < 0) e, o valor do multplcador de Lagrange para + ( t t t este período for maor que zero (λt > 0), este período não estará satsfazendo as condções de folgas complementares ( λ (CAP b X s Y ) 0 ). Dante dsso, deve-se transferr t t produção para este período t de modo que a folga de capacdade seja elmnada, ou seja, (( b Xt + syt CAPt ) = 0). Com sso, busca-se a propredade () do teorema descrto em Geoffron, t t = Para transferr produção para este período t, ncalmente procura-se um período t anteror a t (t <t), para o qual o vetor multplcador de Lagrange é zero (λ t = 0). Encontrado tal período, verfca-se todos os tens que estão sendo produzdos, para avalar qual o tem de menor custo para ser transferdo. Os custos envolvdos são: custos de produção, preparação, estoque e os custos Lagranganos. Escolhdo o tem k de menor custo, a produção (ou parte da produção) deste tem somente será transferda para o período t, se o valor da função objetvo após a sua transferênca, for menor que o valor da função objetvo antes da transferênca. Assm, ao escolher o tem de menor custo e só fazer sua transferênca se a função objetvo for melhorada, tenta-se aproxmar-se do valor ótmo da função objetvo Lagrangana, ou seja, busca-se a propredade () do teorema (Geoffron, 1974). Quando um tem k é escolhdo para ser transferdo do período t para o período t, a quantdade deste tem a ser transferda será o mínmo entre: a quantdade produzda do tem k no período t ; a menor quantdade de estoque do tem k para todos os períodos desde t até t-1; a folga de capacdade do período t, menos o tempo gasto com setup do tem k (se for precso um novo setup após a transferênca) dvddo pelo tempo untáro de produção do tem k. Ou seja, a quantdade a ser transferda será: CAPt - onde: Folga(t) = CAPt - δ = mn{x kt ; I kh, h=t,..., t-1; Folga(t)/b k } b X b X t t s Y s Y s t t k se Y se Y Observe que, toda esta preocupação com a quantdade a ser transferda se dá exatamente para manter a factbldade da solução. Com sso, busca-se satsfazer a propredade () do teorema (Geoffron, 1974). Se a transferênca de um tem não for sufcente para elmnar a folga de capacdade do período t, um outro tem é escolhdo, determna-se a quantdade deste tem que deverá ser transferda e transfere-se novamente. Isto é feto até que não haja mas folga no período t, ou que seja atngdo um número máxmo de três terações (este valor fo obtdo após extensvos testes computaconas). Quando a folga de capacdade do período t é elmnada, o arranjo passa a examnar o período t-1 e o processo se repete. kt kt = 1 = 0

10 296 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade 4. Resultados Computaconas Esta seção será subdvdda em três subseções. Na prmera, descrevem-se os parâmetros utlzados para a geração de dados. Na segunda, comentam-se os resultados computaconas obtdos após a mplementação do método de Trgero et al. (1989) para custos varáves no tempo. Por fm, na tercera subseção, têm-se alguns gráfcos e tabelas mostrando os resultados obtdos da comparação entre o arranjo fnal proposto por Trgero et al. (1989) e a nossa proposta de arranjo fnal (arranjo fnal modfcado). 4.1 Geração de dados Os dados foram gerados aleatoramente segundo uma dstrbução de probabldade unforme. Os ntervalos utlzados para a geração dos dados são descrtos na Tabela 1. Tabela 1 Intervalos para geração dos dados. Parâmetro Varações Observação Sgla Custo untáro de 0 Fxo F Produção (c t ) U[10,30] Varável V Custo de U[100,500] Baxo CB Preparação (S t ) U[200,1000] Alto CA Custo de estocagem U[1,5] Tempo untáro para produção (b ) 1 Tempo de U[10,50] Baxo TB Preparação (s ) U[30,150] Alto TA Demanda 25% das demandas dos 4 prmeros U[0,180] (d t ) períodos são fxadas em zero Capacdade CAP t /0,85 Folgada C 1 (CAP t ) CAP t Normal C 2 A maora dos ntervalos utlzados para geração dos dados fo obtda com base no artgo de Trgero et al. (1989), no entanto, alguns ntervalos não são exatamente guas aos deste artgo. A segur, serão fetos alguns comentáros com respeto a geração dos dados: além do custo untáro de produção fxo em zero, fo consderado um custo untáro de produção varável no ntervalo [10,30]. Este ntervalo de varação fo determnado com base em nossos testes computaconas. Entretanto, os testes fetos com este ntervalo não têm a ntenção de smular exemplos prátcos, mas somente obter resultados que comprovam o que hava sdo exposto teorcamente a respeto da nfluênca, nas duas versões de arranjos fnas, quando se consdera custos de produção varáves no tempo; a quantdade de tens (N) e o número de períodos (T) são dados na Tabela 2; a capacdade fo gerada segundo uma méda da polítca lote-por-lote, sto é, para cada período t, calcula-se a quantdade de recursos necessára para produzr exatamente as demandas dos tens neste período. Obvamente, esse cálculo é feto somente para os tens que têm demanda postva no período t. Soma-se a quantdade de recursos necessára para todos os períodos e dvde-se pelo número de períodos (T), ou seja: CAP t = T N [ (bd t= 1 = 1 T t + s )] (14)

11 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 297 Para realzar os testes computaconas, foram utlzados dos níves de capacdade dferentes: C 1 : CAP t /0,85 consderada folgada; C 2 : CAP t consderada normal. Trgero et al. (1989) consderam três níves de capacdade: folgada (CAP t /0,75), normal (CAP t /1) e apertada (CAP t /1,10). No entanto, os testes computaconas mostraram que, para o nível de capacdade (CAP t /0,75) mutos exemplos foram resolvdos pelo método de Wagner-Whtn e não utlzaram a heurístca de factblzação e, para o nível (CAP t /1,10) mutos exemplos foram nfactíves. Assm, utlzou-se os níves de capacdade C 1 e C 2 descrtos acma pos, além de consegur obter, com mas facldade, exemplos resolvdos pela heurístca de factblzação, fo mas clara a análse das duas propostas de arranjos fnas. 4.2 Resultados Computaconas para o Método de Trgero et al. (1989) com Custos Varáves no Tempo Segundo Trgero et al. (1989), na mplementação do método, todos os custos foram consderados constantes no tempo. No entanto, o modelo (1)-(6) proposto por Trgero et al. (1989) consdera todos os custos varáves no tempo. Dante dsso, neste trabalho, o método fo mplementado para custos varáves no tempo. A mplementação fo feta em lnguagem C e os testes computaconas foram realzados em um mcro computador Pentum II, 300 Mhz, 132 MB. Os resultados computaconas obtdos são apresentados na Subseção 4.3. As conclusões com respeto à varação dos parâmetros, consderando custos varáves no tempo, foram semelhantes às conclusões obtdas por Trgero et al. (1989) e serão descrtas a segur: quanto maor o número de tens e períodos, menor é o gap da solução (defndo na Seção 3), sendo que, a varação da quantdade de tens tem maor nfluênca do que a varação do número de períodos. Este é um resultado bastante mportante pos, em mutos casos testa-se um determnado método de resolução para exemplos pequenos e, se estes resultados forem runs, conclu-se erroneamente que os resultados serão anda pores para exemplos grandes, podendo gerar uma falsa avalação da qualdade do método. Segundo Trgero et al. (1989), problemas com poucos tens têm menos combnações possíves no uso dos recursos, enquanto que, quando se tem mutos tens é possível fazer varadas combnações, sendo assm, os recursos podem ser melhor utlzados, tornando o problema mas fácl. a varação da capacdade tem um grande efeto sobre gap da solução. Exemplos com capacdade normal resultam num gap da solução maor que exemplos com capacdade folgada; quanto se consdera tempo de preparação alto tem-se que o gap da solução é menor do que exemplos com tempo de preparação baxo. Isto acontece porque o tempo de preparação é ncluído na geração da capacdade (Subseção 4.1), sendo assm, altos tempos de preparação geram problemas com capacdades mas folgadas (equação 14). Portanto, este resultado está lgado à forma de geração dos dados, embora não deva ser esperado se a geração de capacdade for ndependente dos tempos de preparação. Entretanto, optamos por gerar a capacdade da forma dada em Trgero et al. (1989). o custo de preparação tem um efeto bastante sutl no gap da solução, em geral, quanto mas alto for o custo de preparação, maor será o gap da solução. A explcação para este

12 298 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade fato é bastante ntutva. Exemplos com baxo custo de preparação tendem a ter uma melhor dstrbução da produção entre os períodos, facltando a resolução em termos de volação da capacdade e conseqüentemente, o gap da solução é menor do que exemplos com alto custo de preparação; a varação da demanda e do tempo untáro de produção têm pouco efeto sobre o gap da solução. 4.3 Comparação Entre as Duas Propostas de Arranjo Fnal Após mplementar o método de Trgero et al. (1989) consderando custos varáves no tempo, fo mplementado o arranjo fnal modfcado para que fosse adaptado ao método e pudesse ser feta uma comparação com o arranjo fnal orgnal. Com sso, fo possível verfcar qual arranjo fnal obtnha melhores resultados para cada combnação de parâmetros. Os resultados desta comparação serão descrtos a segur. Os parâmetros que têm maor efeto sobre o gap da solução são: o número de tens e períodos, a capacdade, o custo de preparação e o tempo de preparação. Por este motvo, neste trabalho optou-se por varar apenas estes parâmetros além do custo untáro de produção que será consderado fxo ou varável. Assm, foram realzados testes computaconas consderando todas as possíves combnações entre cada um destes parâmetros. A Tabela 2 a segur, mostra a quantdade total de exemplos gerados através da combnação destes parâmetros. As sglas utlzadas na Tabela 2 são dadas na Tabela 1. Tabela 2 Parâmetros a serem varados. Número de tens (N) 6, 12, 24 Número de períodos (T) 15, 30 Custo untáro de produção (c t ) F e V Custo de preparação (S t ) CB e CA Tempo de preparação TB e TA Capacdade C 1, C 2 Número de exemplos (sementes) 10 Total de exemplos gerados 960 A segur, as tabelas 3 e 4 mostram o gap da solução obtdo pelas váras combnações de parâmetros. As lnhas destas tabelas representam o tamanho dos exemplos e as colunas representam as váras combnações de parâmetros. Para representar cada combnação são utlzadas as sglas da Tabela 1 e, a representação é feta na segunte ordem: custo untáro de produção / custo de preparação / tempo de preparação / capacdade Assm, as sglas F/CB/TB/C 1 representam exemplos com: custo untáro de produção fxo, custo de preparação baxo, tempo de preparação baxo e capacdade folgada. Cabe observar que, para cada exemplo fo utlzado o mesmo lmtante nferor para fazer a comparação entre as soluções obtdas pelo procedmento de factblzação e pelos os dos arranjos fnas. Portanto, quanto menor for o gap da solução melhor será o desempenho do arranjo fnal pos, a solução factível obtda estará mas próxma da solução ótma.

13 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 299 Tem-se anda nas tabelas 3 e 4, o tempo médo para cada exemplo, consderando as váras combnações de parâmetros (colunas) e os város tamanhos (lnhas). Como pode-se observar, o tempo médo para se resolver um exemplo é bastante baxo, por sso, neste trabalho, não será feta nenhuma análse do tempo computaconal. Tabela 3 Gap da solução utlzando varações no tempo de preparação e na capacdade consderando custo untáro de produção fxo e custo de preparação baxo. F/CB/TB/C 1 F/CB/TB/C 2 F/CB/TA/C 1 F/CB/TA/C 2 Tempo (s)* N x T P* A1* A2* P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 6 x 15 7,44 7,14 6,8 19,77 19,27 19,18 2,09 2,02 2,09 7,58 7,4 7,31 0,05 12 x 15 1,43 1,41 1,28 8,62 8,31 8,19 0,34 0,34 0,33 2,41 2,29 2,15 0,09 24 x 15 0,93 0,93 0,77 4,27 4,18 3,9 0,12 0,11 0,12 1,1 1,08 0,86 0,194 6 x 30 5,75 5,28 5,73 18,36 17,87 18,36 1,54 1,38 1,53 6,11 5,67 6,1 0, x 30 1,46 1,43 1,26 6,33 6,11 6,33 0,29 0,29 0,29 1,56 1,54 1,49 0, x 30 0,16 0,16 0,15 1,93 1,86 1,8 0,07 0,07 0,07 0,23 0,23 0,22 0,8 Tempo(s) 0,148 0,114 0,086 0,145 (*) P: Gap da solução obtda após os 4 passos ncas da heurístca de factblzação de Trgero (1989). A1: Gap da solução obtda após a aplcação do arranjo fnal de Trgero et al. (1989). A2: Gap da solução obtda após a aplcação da nossa proposta de arranjo fnal. Tempo (s): Tempo médo (em segundos) para resolver um exemplo. Tabela 4 Gap da solução utlzando varações no tempo de preparação e na capacdade consderando custo untáro de produção fxo e custo de preparação alto. F/CA/TB/C 1 F/CA/TB/C 2 F/CA/TA/C 1 F/CA/TA/C 2 Tempo (s) N x T P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 6 x 15 9,02 8,44 8,92 16,47 15,55 16,46 2,59 2,38 2,59 7,09 6,42 7,07 0, x 15 2,8 2,72 2,63 8,86 8,38 8,71 0,97 0,96 0,97 2,85 2,76 2,8 0, x 15 0,84 0,82 0,8 4,73 4,56 4,61 0,15 0,15 0,15 0,88 0,85 0,78 0,128 6 x 30 7,1 6,58 6,88 19,26 17,92 19,24 2,21 2,06 2,09 6,31 5,75 6,04 0, x 30 1,74 1,56 1,7 7,27 6,83 7,27 0,33 0,33 0,33 1,25 1,15 1,23 0, x 30 0,52 0,51 0,51 2,64 2,44 2,64 0,09 0,09 0,09 0,38 0,38 0,38 0,547 Tempo(s) 0,102 0,102 0,061 0,105 Observe que, nas tabelas 3 e 4 o custo untáro de produção fo consderado fxo. Posterormente, serão dadas as tabelas 5 e 6 onde o custo untáro de produção será consderado varável. O Gráfco 1, a segur, representa o gap da solução médo para cada combnação de parâmetros contda nas tabelas 3 e 4. O exo y representa o gap da solução médo entre todos os tamanhos e o exo x representa as combnações de parâmetros. Os ntervalos utlzados para geração dos dados estão descrtos na Tabela 1.

14 300 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade GAP (%) 6 4 Passos* Arranjo 1* 4 Arranjo 2* 2 0 F/CB/TB/C1 F/CB/TB/C2 F/CB/TA/C1 F/CB/TA/C2 F/CA/TB/C1 F/CA/TB/C2 F/CA/TA/C1 F/CA/TA/C2 Combnação dos Parâmetros Gráfco 1 Gap da solução médo entre todos os tamanhos para as possíves combnações de parâmetros, consderando custos untáros de produção fxos em zero. (*) 4 Passos: Gap da solução obtda após os 4 passos ncas da heurístca de factblzação. Arranjo 1: Gap da solução obtda após o arranjo fnal de Trgero et al. (1989); Arranjo 2: Gap da solução obtda após a aplcação da nossa proposta de arranjo fnal; A segur, tem-se alguns gráfcos (gráfco 2 a 4) que representam os dados das tabelas 3 e 4 de uma forma dferente da que fo representada no Gráfco 1. O exo x representa o tamanho de cada problema. O exo y representa o gap da solução médo entre os 10 exemplos gerados para o tamanho dado no exo x e para a combnação de parâmetros que está sendo consderada. 8 F/CB/TB/C1 7 6 GAP (%) Passos Arranjo 1 Arranjo X X X 15 6 X X X 30 Tamanho dos Problemas Gráfco 2 Gap da solução médo para cada tamanho, consderando custo untáro de produção fxo, custo de preparação baxo, tempo de preparação baxo e capacdade folgada.

15 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal F/CB/TB/C GAP (%) Passos Arranjo 1 Arranjo X X X 15 6 X X X 30 Tamanho dos Problemas Gráfco 3 Gap da solução médo para cada tamanho, consderando custo untáro de produção fxo, custo de preparação baxo, tempo de preparação baxo e capacdade normal. Nos gráfcos 2 e 3 é possível observar o que já hava sdo antecpado com respeto ao tamanho dos problemas, ou seja, quanto maor a quantdade de tens e períodos, menor o gap da solução. Pode-se verfcar também que, em relação à comparação entre os dos arranjos fnas, a nossa proposta (Arranjo 2) obtém melhores resultados quanto maor for o número de tens e, a proposta de Trgero et al. (1989) (Arranjo 1) obtém melhores resultados quanto maor o número de períodos. Além dsso, observa-se que no Gráfco 2 onde a capacdade é folgada, o gap da solução é bem menor do que os do Gráfco 3 onde a capacdade é normal. Quando são consderados altos tempos de preparação, o gap da solução é menor do que os obtdos pelos exemplos com tempo de preparação baxo (Tabela 3). Conseqüentemente, os dos arranjos fnas não obtveram melhoras sgnfcatvas na solução encontrada pelos quatro passos ncas da heurístca de factblzação. Dante dsso, optou-se por não demonstrar grafcamente estes resultados. Até este momento, os gráfcos apresentados (gráfco 2 e 3) representaram os resultados contdos na Tabela 3. Os dados representados na Tabela 4 são bem semelhantes aos da Tabela 3, com exceção dos custos de preparação que são consderados altos. No entanto, a varação do custo de preparação entre alto e baxo provoca mudanças bastante suts no gap da solução. Por este motvo, julgou-se desnecessára a apresentação de gráfcos representando as combnações de parâmetros contdos na Tabela 4. Até este ponto, foram consderados os dados contdos na tabelas 3 e 4, onde os custos untáros de produção foram consderados fxos. As tabelas 5 e 6, a segur, contêm os resultados obtdos entre todas as possíves combnações de parâmetros consderando custos untáros de produção varáves no tempo.

16 302 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade Tabela 5 Gap da solução utlzando varações no tempo de preparação e na capacdade consderando custo untáro de produção varável no tempo e custo de preparação baxo. V/CB/TB/C 1 V/CB/TB/C 2 V/CB/TA/C 1 V/CB/TA/C 2 N x T P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 Tempo (s) 6 x 15 3,84 3,82 3,36 5,08 4,96 4,82 1,25 1,24 1,11 3,37 3,28 3,21 0, x 15 1,32 1,31 1,15 3,43 3,29 3,24 0,32 0,31 0,29 1 0,99 0,93 0, x 15 0,56 0,56 0,48 1,88 1,89 1,66 0,14 0,14 0,14 0,39 0,39 0,35 0,117 6 x 30 4,22 4,16 3,22 7,73 7,47 7,65 1,26 1,25 1 3,18 3,12 2,72 0, x 30 1,02 0,99 0,81 3,01 2,97 2,96 0,09 0,09 0,07 0,54 0,54 0,48 0, x 30 0,32 0,32 0,27 1,5 1,47 1,28 0,09 0,09 0,09 0,25 0,25 0,23 0,421 Tempo(s) 0,071 0,103 0,051 0,072 Tabela 6 Gap da solução utlzando varações no tempo de preparação e na capacdade consderando custo untáro de produção varável no tempo e custo de preparação alto. V/CA/TB/C 1 V/CA/TB/C 2 V/CA/TA/C 1 V/CA/TA/C 2 N x T P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 P A1 A2 Tempo (s) 6 x 15 4,9 4,7 4,58 6,75 6,25 6,58 2,37 2,29 2 3,95 3,83 3,79 0, x 15 1,97 1,96 1,61 4,2 4,18 3,98 0,33 0,33 0,33 1,62 1,62 1,42 0, x 15 0,7 0,69 0,69 2,42 2,37 2,38 0,16 0,16 0,16 0,7 0,69 0,68 0,123 6 x 30 5,32 5,21 4,91 9,64 9,1 9,49 1,78 1,78 1,45 3,46 3,33 3,14 0, x 30 1,29 1,24 1,21 3,39 3,37 3,37 0,1 0,1 0,1 0,71 0,69 0,66 0, x 30 0,56 0,56 0,51 2,02 1,97 1,9 0,14 0,14 0,14 0,46 0,46 0,42 0,470 Tempo(s) 0,075 0,092 0,053 0,084 As tabelas 5 e 6 têm como fnaldade prncpal mostrar o que já fo observado anterormente neste trabalho, ou seja, o arranjo fnal proposto por Trgero et al. (1989) (Arranjo 1) tem um por desempenho, em relação ao arranjo modfcado (Arranjo 2), quando se consdera custos untáros de produção varáves no tempo. Este resultado pode ser observado comparando o Gráfco 5 com o Gráfco 1. O Gráfco 5 representa os dados contdos nas tabelas 5 e 6. O exo y representa o gap da solução médo entre todos os tamanhos e o exo x representa as possíves combnações de parâmetros. Os ntervalos utlzados para geração dos dados estão descrtos na Tabela 1.

17 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal ,5 4 3,5 3 GAP (%) 2,5 2 1,5 4 Passos Arranjo 1 Arranjo 2 1 0,5 0 V/CB/TB/C1 V/CB/TB/C2 V/CB/TA/C1 V/CB/TA/C2 V/CA/TB/C1 V/CA/TB/C2 V/CA/TA/C1 V/CA/TA/C2 Combnação de Parâmetros Gráfco 5 Gap da solução médo entre todos os tamanhos para as possíves combnações de parâmetros, consderando custos untáros de produção varáves. A segur, apresentam-se dos gráfcos que representam duas combnações de parâmetros dferentes contdas na Tabela 5. Comparando o Gráfco 6 com o 2 é possível observar claramente um declíno no desempenho do arranjo de Trgero et al. (1989) quando os custos untáros de produção são consderados varáves no tempo. Além dsso, no Gráfco 7 tem-se que, para o conjunto de 10 exemplos com 24 tens e 15 períodos, em méda, a solução encontrada pelo arranjo fnal de Trgero et al. (1989) fo por que a solução factível encontrada pela heurístca de factblzação. Os testes computaconas mostraram que este fato pode ocorrer com mas ntensdade se o ntervalo de varação do custo untáro de produção for maor. 4,5 V/CB/TB/C1 4 3,5 3 GAP (%) 2,5 2 4 Passos Arranjo 1 1,5 Arranjo 2 1 0,5 0 6 X X X 15 6 X X X 30 Tamanho dos Problemas Gráfco 6 Gap da solução médo para cada tamanho, consderando custo untáro de produção varável, custo de preparação baxo, tempo de preparação baxo e capacdade folgada.

18 304 Araujo & Arenales Problema de dmensonamento de lotes monoestágo com restrção de capacdade 9 V/CB/TB/C GAP (%) Passos Arranjo 1 3 Arranjo X X X 15 6 X X X 30 Tamanho dos Problemas Gráfco 7 Gap da solução médo para cada tamanho, consderando custo untáro de produção varável, custo de preparação baxo, tempo de preparação baxo e capacdade normal. 5. Conclusões Neste trabalho fo revsado o método de Trgero et al. (1989), sendo que, esse método fo mplementado consderando custos varáves no tempo. Fo proposta uma mudança no procedmento de melhora da solução factível (arranjo fnal), baseada nas condções de otmaldade do problema dadas por Geoffron (1974). Dante dos resultados apresentados na Seção 4, pode-se conclur que, dependendo da combnação de parâmetros, os desempenhos dos arranjos fnas foram dferencados, sendo que, para 56,3% dos exemplos o arranjo modfcado obteve melhores resultados, contra 28,1% do arranjo orgnal e, em 15,6% os dos arranjos fnas obtveram os mesmos resultados. Entretanto, em geral as melhoras obtdas pelos dos arranjos fnas foram muto pequenas em termos percentuas. É bastante provável que este fato tenha ocorrdo devdo a uma grande efcênca da processo de factblzação desenvolvdo por Trgero et al. (1989), e não devdo a uma nefcênca dos arranjos fnas. Cabe observar que, os exemplos utlzados neste artgo foram rodados também no pacote Cplex 4.0, com a ntenção de obter o valor ótmo das soluções para possíves comparações. O pacote Cplex 4.0 contém rotnas para resolução de problemas com varáves nteras e contínuas utlzando o método Branch & Bound. No entanto, o Cplex (com os parâmetros defaults) não conseguu obter a solução ótma para nenhum dos exemplos e, o valor das soluções factíves obtdas foram, em geral, pores do que os valores das soluções determnadas heurstcamente. Agradecmentos Os autores agradecem as contrbuções fetas pelos árbtros anônmos da revsta Pesqusa Operaconal, que muto melhoraram esta versão e o apoo da Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo (FAPESP) e do Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq).

19 Vol. 20, No. 2, p , dezembro de 2000 Pesqusa Operaconal 305 Referêncas Bblográfcas (1) Anthony, R.N. (1965). Plannng and Control Systems: A Framework for Analyss. Harvard Unversty Press, Cambrdge, Mass, apud em Hox & Candea (1984). (2) Araujo, S.A. (1999). Estudos de Problemas de Dmensonamento de Lotes Monoestágo com Restrção de Capacdade. Dssertação de Mestrado, Insttuto de Cêncas Matemátcas e de Computação (ICMC-USP/SC). (3) Bahl, H.C.; Rtzman, L.P. & Gupta, J.N.D. (1987). Determnng Lot Szes and Resource Requrements: A Revew. Operatonal Research Socety of Amerca, 35(3), (4) Berreta, R.E. (1997). Heurístcas para Otmzação do Planejamento da Produção em Sstemas MRP. Tese de doutorado, Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação da Unversdade Estadual de Campnas (UNICAMP). (5) Bllngton, P.J.; McClan, J.O. & Thomas, L.J. (1983). Mathematcal Programmng Approaches to Capacty MRP Systems: Revew, Formulaton and Problem Reducton. Management Scence, 29(10), (6) Bllngton, P.J.; Blackburn, J.D.; Maes, J.; Mllen, R.A. & Van Wassenhove, L. (1994). Mult-Item Lotszng n Capactated Mult-stage Seral Systems. IIE Transactons, 26(2), (7) Btran, G.R. & Yanasse, H.H. (1982). Computaconal Complexty of the Lot Sze Problem. Management Scence, 28(10), (8) Camern, P.M.; Fratta, L. & Maffol, F. (1975). On Improvng Relaxaton Methods by Modfed Gradent Technques. Mathematcal Programmng Study, 3, (9) Dantzg, G.B. & Wolfe, P. (1960). Decomposton Prncple for Lnear Programs. Operatonal Research, 8(1), (10) Daby, M.; Bahl H.; Karwan, M.H. & Zont, S. (1992). Capactated Lot-Szng and Schedulng by Lagrangean Relaxaton. EJOR, 59, (11) Dzelnsk, B.P. & Gomory, R.E. (1965). Optmal Programmng of Lot Szes, Inventores, and Labor Allocatons. Management Scence, 11(9), (12) Drexl, A. & Kmms, A. (1997), Lot Szng and Schedulng Survey and extentons. European Journal of Operatonal Research, 99, (13) Floran M.; Lenstra J.K. & Rnnoy Kan, A.H.G. (1980). Determnstc Producton Plannng Algorthms and Complexty. Management Scence, 26(7), (14) Geoffron, A.M. (1974). Lagrangean Relaxaton for Integer Programmng. Mathematcal Programmng Study, 2, (15) Held, M.; Wolfe, P. & Croweder, H. (1974). Valdaton of Subgradent Optmzaton. Mathematcal Programmng, 6, (16) Hox, A.C. & Candea, D. (1984). Producton and Inventory Management. Prentce-Hall, Inc. (17) Kuk, R.; Salomon, M. & Van Wassenhove, L.N. (1994). Batchng Decsons: Structure and Models. European Journal of Operatonal Research, 75,

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