UMA NOVA ABORDAGEM PARA O PROBLEMA DA MOCHILA COMPARTIMENTADA

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1 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO UMA NOVA ABORDAGEM PARA O PROBLEMA DA MOCHILA COMPARTIMENTADA Robnson Hoto e Alexandre Fenato Unversdade Estadual de Londrna Mestrado em Engenhara Elétrca SmuLab - Laboratóro de Smulação e Otmzação de Sstemas Rodova Celso Garca Cd, Km 380, Londrna, Paraná CEP , CP 600, fone (43) hoto@uel.br Horaco Yanasse Insttuto Naconal de Pesusas Espacas LAC - Laboratóro Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Avenda dos Astronautas,.758, Jd. Grana, São José dos Campos, São Paulo CEP 7-00, fone () horaco@lac.npe.br Nelson Maculan Unversdade do Ro de Janero COPPE Programa de Engenhara de Sstemas e Computação Centro de Tecnologa, Bloco H (sala 39), Cdade Unverstára Ilha do Fundão, Ro de Janero, Ro de Janero CEP , fone () maculan@cos.ufr.br Fernando Spolador Unversdade Estadual de Londrna Centro de Cêncas Exatas SmuLab - Laboratóro de Smulação e Otmzação de Sstemas Rodova Celso Garca Cd, Km 380, Londrna, Paraná CEP , CP 600, fone (43) flspolador@dc.uel.br RESUMO Neste trabalho nós apresentamos uma nova abordagem para o problema da mochla compartmentada, e esta abordagem nos permtu elaborar três novas heurístcas. Nós efetuamos testes numércos, comparando estas heurístcas com a melhor heurístca relatada na lteratura. As três novas heurístcas apresentaram soluções com ualdade superor, porém, apenas uma fo consderada compettva em tempo de execução. PALAVRAS CHAVE. Mochla. Heurístca. Otmzação. Otmzação Combnatóra. ABSTRACT In ths wor we presented a new approach for the problem of the compartmentalzed bacpac, and ths approach allowed elaboratng three new heurstcs. We made numerc tests, comparng these heurstcs wth the best heurstc of the lterature. The three new heurstcs presented solutons wth superor ualty, however, ust one was consdered compettve n executon tme. KEYWORDS. Knapsac. Heurstc. Optmzaton. Combnatoral Optmzaton. [ 760 ]

2 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO. Introdução O problema da mochla compartmentada tem sdo empregado na geração de padrões de corte, onde o processo de cortagem transcorre em duas ou mas etapas, de fato, fo esta a stuação prátca ue motvou a modelagem do problema, vea Hoto et al (005). Do ponto de vsta matemátco, uma mochla compartmentada de capacdade L possu o conunto N dos índces de seus tens partconado em subconuntos N ( =,..., ), normalmente denomnados agrupamentos. Dado um agrupamento N, cada tem de índce N tem a ele assocado um peso l e uma utldade u. Observe ue, por { N,, N } tratar-se de uma partção, N = N N e Nr Ns = para r, s {,, } com r s. No nteror da mochla devem ser construídos compartmentos de capacdades desconhecdas, porém, lmtadas entre um valor mínmo L mn e um valor máxmo L, além do mas, os índces dos tens de um compartmento arbtráro devem ser procedentes de um mesmo agrupamento. De fato, para cada agrupamento N exste um agrupamento V de índces dos compartmentos construídos com tens ndexados em N, cua capacdade é lmtada entre L mn e L. Dgamos ue a sea a uantdade de tens de índce no compartmento de índce de, ue pode fgurar y vezes no nteror da mochla. Nestas condções, a restrção físca da mochla pode ser escrta como: ( C a ) y + + ( C a ) y L () V N V N A restrção físca dos compartmentos da mochla pode ser escrta como: δ L l a δ L, V, =,..., () mn Ns Onde δ é gual se o compartmento de índce for construído, e 0 no caso contráro. Obvamente, a meta consste em obter um preenchmento da mochla de modo a mzar sua utldade, neste caso, podemos pensar na segunte função obetvo: z = ua y + + ua y V N V (3) N Fnalmente, o modelo de uma mochla compartmentada pode ser escrto no segunte formato: Modelo - Mochla Compartmentada mzar z = ua y + + ua y sueto a: ( C a ) y + + ( C a ) y L V N V N V N V N mn N δ L l a δ L, V, =,..., δ {0, } e a, y 0 e nteros Restrções adconas podem ser nserdas no modelo, dscutremos sto na próxma seção. Na seção 3 descreveremos um modelo lnear para o problema, onde é feta uma alteração na [ 76 ]

3 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO ndexação da varável a. Na seção 4, serão apresentadas e dscutdas uatro heurístcas, e fnalmente na seção 5 serão apresentadas smulações.. O Caso Restrto Numa mochla compartmentada podem ser nserdas restrções adconas ue possuem estreta relação com aplcações prátcas, conforme descrevem Hoto et al (005) e Marues e Arenales (005). As mas comuns são as seguntes:. A uantdade de cada tem de índce ue compõe a mochla deve ser lmtada por d, ue na prátca representa uma demanda a ser cumprda; a y d, N = N N (4) = V. A uantdade de compartmentos na mochla deve ser lmtada por F, ue na prátca tem relação com o número máxmo de facas ue podem ser usadas para efetuar o prmero corte em processos de cortagem em duas etapas, vea fgura ; y F (5) = V 3. A uantdade de tens em cada compartmento de índce deve ser lmtada por F, ue na prátca tem relação com o número máxmo de facas ue podem ser usadas para efetuar o segundo corte em processos de cortagem em duas etapas, vea fgura. a F, V = V V, =,..., (6) N 3 facas - bobnas ntermedáras bobna Padrão de Corte Compartmentado corte 3 facas - tens 5 facas - 4 tens bobnas ntermedáras recorte tens categora categora Fgura. Padrão compartmentado num problema de corte em duas fases. Assm, o modelo de uma mochla compartmentada para o caso restrto pode ser escrto como: [ 76 ]

4 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO Modelo - Mochla Compartmentada (caso restrto) mzar z = ua y ua + + y V N V N sueto a: ( C a ) y + + ( C a ) y L V N V N mn N δ L l a δ L, V, =,..., a y d, N = N N = V = V N y F a F, V = V V, =,..., δ {0, } e a, y 0 e nteros, N e V Uma mportante observação a ser feta é ue tanto o modelo, uanto o modelo, apresentam não-lneardade na função obetvo e na restrção físca da mochla, além dsto, sob o aspecto de complexdade o problema é não-polnomal. 3. Nova Abordagem: Um Modelo Lnear Nesta seção nós remos apresentar um modelo lnear para o problema da mochla compartmentada. Incalmente observe ue o número máxmo p de compartmentos ue podem ser escolhdos, por agrupamento N, é gual ao mn{ F, pso( L/ L mn)}. Em seguda, remos modfcar a varável a, na ual ntroduzremos o rótulo do agrupamento N, passando a ser escrta como a (número de tens de índce N no compartmento ). Note ue a ndexação de a é local, enuanto a de a é global. Assm, a função obetvo ue acumula o valor de utldade da mochla pode ser escrta como: p N = = z = ua (7) A restrção físca da mochla, e a restrção físca dos compartmentos passam a ter o segunte formato: p N = = C a L (8) Lmn a L N δ l δ, =,..., p, =,..., (9) Onde δ é gual a se o compartmento, assocado ao agrupamento N fo construído, e 0 no caso contráro. A restrção relaconada com demandas fca com o segunte formato: p = = a d, N = N N (0) As restrções relaconadas com lmte de facas são reescrtas como: [ 763 ]

5 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO Resumndo, = V δ F () a F, V = V V N, =,..., () Mochla Compartmentada (modelo lnear) mzar sueto a: p C N = = p N = = z = ua a L δlmn a δl N p a d = = δ F = V a F N l, =,..., p, =,...,, N = N N, V = V V, =,..., l a l a +, =,..., p, =,..., N ( ) N δ {0, } e a 0 e nteros, N, =,..., p e =,..., Na próxma seção dscutremos algumas heurístcas para a resolução do modelo. 4. Heurístcas para Compartmentação Nas smulações ue efetuamos, nós testamos uatro heurístcas: heurístca do melhor compartmento para W capacdades (Wcap), construída por Marues e Arenales (005), heurístca de Retro-almentação (Retro), heurístca do melhor compartmento para W capacdades com Retro-almentação (WRetro) e heurístca do melhor compartmento para W capacdades, W vezes (WW). Veamos a déa de cada uma delas, começando pela Wcap: Heurístca Wcap. Ω= ;. Para cada agrupamento N ( =,..., ) faça.. Lcomp = L ;.3. Para contador =,..., w faça.3.. Construa um compartmento: mzar v = u a N sueto a: L l a L mn N comp [ 764 ]

6 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO 0 a d, N a F N a são nteros, N.3.. Inclua o novo compartmento em Ω ;.3.3. L * comp a N 3. Construa a compartmentação: mzar z = vy sueto a: L y L Ω Ω Ω = ( l ) ; a y d, N = N N Ω y F y 0 e nteros, N Heurístca Retro. Ω= ;. Para cada agrupamento N ( =,..., ) faça.. Construa um compartmento: mzar v = u a N sueto a: L l a L mn N 0 a d, N a F N a são nteros, N.. Inclua o novo compartmento em Ω ; 3. Para =,..., faça 3.. p = F pso L Lmn mn{, ( / )} 3.. Para α=,..., p faça mzar z = v y +α u a α Ω sueto a: L y +α C a L Ω N Lmn la L N Ω N a y +αa d, N = N N ( y ) +α F Ω N a F [ 765 ]

7 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO a, y 0 e nteros, N e Ω 3.3. Inclua em Ω, o compartmento de maor obetvo z α ; Heurístca WRetro. Ω= ;. Para cada agrupamento N ( =,..., ) faça.. Lcomp = L ;.3. Para contador =,..., w faça.3.. Construa um compartmento: mzar v sueto a: mn N 0 a d = u a N comp L l a L, N a F N a são nteros, N.3.. Inclua o novo compartmento em Ω ; Para =,..., faça L * comp a N = ( l ) ; 3.. p = F pso L Lmn mn{, ( / )} 3.. Para α=,..., p faça mzar z = v y +α u a α Ω sueto a: L y +α C a L Ω mn N L l a L Ω N N a y +αa d, N = N N ( y ) +α F Ω N a F a, y 0 e nteros, N e Ω 3.3. Inclua em Ω, o compartmento de maor obetvo z α ; Heurístca WW. Ω= ;. Para cada agrupamento N ( =,..., ) faça.. Lcomp = L ;.3. Para contador =,..., w faça.3.. Construa um compartmento: [ 766 ]

8 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO mzar v sueto a: mn N 0 a d = u a N comp L l a L, N a F N a são nteros, N.3.. Inclua o novo compartmento em Ω ;.3.3. L * comp a N 3. Para contador =,..., w 3.. Para =,..., faça = ( l ) ; 3... p = mn{ F, pso( L/ Lmn)} 3... Para α=,..., p faça mzar z = v y +α u a α Ω sueto a: L y +α C a L Ω mn N L l a L Ω N N a y +αa d, N = N N ( y ) +α F Ω N a F a, y 0 e nteros, N e Ω Inclua em Ω, o compartmento de maor obetvo z α ; Das uatro heurístcas descrtas a únca ue não explora a nova abordagem lnear é a Wcap, ue fo elaborada por Marues e Arenales (005), e segundo os autores apresenta soluções com alta ualdade. De fato, uando está heurístca fo dealzada anda não era conhecda a abordagem lnear ue descrevemos na seção 3. Assm, decdmos confrontar a performance das três novas heurístcas (Retro, WRetro e WW) com a melhor heurístca reportada na lteratura, no caso a Wcap. 5. Smulações Computaconas Para comparar o desempenho das heurístcas anterores foram gerados exemplos aleatóros segundo uatro grandes categoras: 5 agrupamentos e 5 tens em cada um deles (categora 5/5), 0 agrupamentos com 5 tens em cada um deles (categora 0/5), 0 agrupamentos com 5 tens em cada um deles (categora 0/5) e por fm, 5 agrupamentos com 0 tens em cada um deles (categora 5/0). Em cada categora os exemplos foram gerados conforme sugerem Wäscher e Gau (996) para problemas de corte e empacotamento. Assm, escolhemos L = , L mn = 0.000, [ 767 ]

9 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO L = 5.000, u, l µ [ L, µ L], unformemente dstrbuídos com µ < µ, onde µ {0.00, 0.05, 0.5, 0.} e µ {0.,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8}. Além dsto, utlzamos F = 8, F = 0 e d = 4 para cada N, e organzamos os resultados em uatro tabelas segundo as categoras 5/5, 0/5, 0/5 e 5/0. Em cada tabela, na coluna Lnear apresentamos os resultados obtdos pela resolução dreta do modelo lnear proposto, para sto utlzamos o Xpress. Na coluna Retro apresentamos os resultados obtdos pela heurístca Retro. Nas colunas W0 e W5 estão, respectvamente, os resultados obtdos pela heurístca Wcap uando w = 5 e w = 0 no laço.3. Na coluna WRetro estão os resultados obtdos pela heurístca WRetro, onde w = 3 no laço.3. Na coluna WW apresentamos os resultados da heurístca WW, onde w = 3 nos laços 3 e.3. Por fm, nas colunas moch, segs e ob estão, respectvamente, o total de mochlas (geramos sempre 0 mochlas para cada combnação de µ e µ ), o tempo gasto para resolver as 0 mochlas e o percentual do obetvo acumulado destas mochlas em relação ao obetvo acumulado obtdo pelo modelo lnear da seção 3, cuas soluções sempre foram superores. Para realzar as smulações utlzamos um eupamento com processador Intel Pentum 4 Hyper-Threadng, cloc de 3.0 GHz e memóra RAM de GB, executando em Lnux (ernel.6). Nós modelamos as heurístcas no ambente BCL do Xpress, ceddo pela Dash Optmzaton, e os resultados obtdos foram organzados em uatro tabelas, conforma as uatro categoras. µ µ 0,00 0,05 0,5 0,5 Tabela. Resultados com 5 agrupamentos e 5 tens por agrupamento. Lnear Retro W0 W5 WRetro WW moch segs ob segs ob segs ob segs ob segs ob segs 0, 0 5,38 95,8%,64 93,58%,0 93,0% 0,96 98,38% 4,85 97,49% 7,35 0,3 0 9, 96,%,09 94,60%,3 93,4% 0,99 99,06% 4,79 97,95% 7,33 0,4 0 45,53 96,99%,3 96,%,5 94,99%,0 98,8% 5,7 98,48% 8, 0,5 0 35,09 97,66%,9 97,78%,9 95,09%,06 99,89% 5,58 99,3% 7,44 0,6 0 7,75 97,%,07 98,8%,8 95,96%,3 99,7% 5,40 99,45% 7,79 0,7 0 74,9 97,74%,08 97,35%,75 96,6%,0 99,35% 5,40 98,7% 7,0 0,8 0 5,9 98,07%,80 97,85%,3 96,94% 0,8 99,97% 4,47 99,57% 6,07 0, 0 77,96 97,35%,4 97,0%,43 93,45%,07 98,95% 6,4 98,46% 9,8 0,3 0 74,85 96,44%,65 97,05%,45 96,00%,0 99,58% 6,89 98,48% 9,4 0,4 0 40,8 97,7%,40 98,6%,8 97,75%,3 99,5% 6,5 99,9% 8,78 0,5 0 33,0 97,36%,35 97,89%,75 95,46%,06 99,48% 5,73 98,85% 8,36 0,6 0 36, 98,3%, 97,65%,95 95,94%,05 99,58% 6,0 98,73% 8,09 0,7 0 68,59 97,0%, 98,40%,65 97,03%,03 99,9% 5,9 98,97% 7,5 0,8 0 5,9 98,0%,09 97,6%,53 96,43%,0 99,99% 4,76 99,88% 6,84 0,3 0 45,69 98,73% 3,3 98,58%,47 94,76%,7 99,67% 8,04 99,3% 9,77 0,4 0 0,04 98,6%,95 98,9%, 96,7%,08 99,4% 8,5 98,6% 0,37 0,5 0,86 97,69%,6 99,38%,9 96,33%,09 99,7% 6,85 99,40% 8,5 0,6 0 0,3 97,3%,3 98,84%,84 96,70%,07 99,7% 6,35 99,5% 8,80 0,7 0 6,5 98,8%,5 97,85%,0 96,4% 0,8 00,00% 4,9 99,88% 6,59 0,8 0,3 98,78%,0 98,6%,8 96,7% 0,79 00,00% 4,6 99,79% 6,37 0,3 0 4,5 99,87% 4,4 99,78% 7,87 99,3%,95 99,99% 5, 99,87% 30,60 0,4 0 75,67 99,66% 3,47 98,9% 3,4 97,49%,37 99,59% 5,37 99,38% 5,50 0,5 0 8,33 99,48%,7 98,98%,85 98,49%,0 99,96% 7,36 99,80% 0,04 0,6 0,44 98,95%,56 98,48%,44 98,% 0,98 00,00% 6,5 99,83% 8,08 0,7 0 5,47 99,36%,04 96,38%,0 96,4% 0,88 00,00% 4,5 99,94% 6,39 0,8 0 9,95 99,77%,7 99,76%,04 99,64% 0,84 00,00% 4,43 99,94% 5,6 [ 768 ]

10 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO µ µ 0,00 0,05 0,5 0,5 Tabela. Resultados com 0 agrupamentos e 5 tens por agrupamento. Lnear Retro W0 W5 WRetro WW moch segs ob segs ob segs ob segs ob segs ob segs 0, 0 3,8 97,78% 4, 99,8% 4,07 95,83%,94 99,6% 9,4 98,8%,06 0,3 0,3 96,05% 4,59 98,53% 4,06 93,6%,64 99,7%,09 97,7%,8 0,4 0 7,84 96,88% 5,37 99,38% 4,0 96,9%,97 99,8%,45 97,65%, 0,5 0 3, 96,07% 5, 99,77% 3,7 96,70%,00 99,%,94 97,75% 9,6 0,6 0 0,77 95,8% 5,7 99,% 3,40 96,06%,06 99,8% 0,4 98,53% 9,76 0,7 0 0,69 97,63% 5, 99,48% 3,6 97,60%,83 99,77%,04 99,34% 8,5 0,8 0,70 98,83% 4,58 99,50%,86 98,34%,9 99,83% 7,09 99,6% 9,55 0, 0 35,77 96,77% 6,0 96,9% 4,97 93,0%,47 99,09% 5,77 95,9% 3,3 0,3 0 4,66 96,3% 6,49 97,9% 4,93 93,90%,45 99,6% 5,70 97,4% 6,3 0,4 0 5,58 96,40% 6,5 98,9% 4,59 95,65%,45 99,85% 4,96 97,43% 4,97 0,5 0 7,58 96,98% 5,7 99,3% 3,93 97,9%,3 99,6% 3,8 98,68%,6 0,6 0 0,6 96,67% 5, 99,60% 3,87 97,95%,3 99,6% 6,98 99,09% 9,3 0,7 0 3,93 97,3% 5, 98,63% 3,40 97,76%,0 99,76%,87 99,47% 9,56 0,8 0,96 98,4% 4,47 99,35%,77 98,66%,93 99,87% 7,56 99,56% 3,00 0,3 0 9,30 98,96% 8,60 98,9% 7,65 97,4% 3,3 99,74%,8 99,% 70,4 0,4 0 49,96 98,33% 9,4 99,9% 6,6 98,04%,78 99,45% 4,89 99,% 33,69 0,5 0,33 97,8% 7,4 99,79% 4,37 98,39%,33 99,86% 9,03 99,3% 4,9 0,6 0 30,66 97,89% 6,47 99,6% 4,38 97,9%,4 99,89% 6, 99,7%,50 0,7 0 6, 99,08% 6, 99,5% 4,8 99,%,9 99,89% 5,38 99,7%,54 0,8 0 46,0 98,5% 5,45 99,43% 3,03 97,46%, 99,68% 3,97 99,63% 9,4 0,3 0 3,7 99,49% 5,56 98,69%,33 98,7%,74 99,98%,98 99,99% 5,46 0,4 0 97,6 99,9% 3,0 99,95% 7,8 99,86%,0 00,00%,3 99,90% 63,75 0,5 0 3,40 99,59% 3,03 99,57% 9,9 99,00% 3,0 99,97%,48 99,50% 45,03 0,6 0 8,48 99,76% 8,43 99,79% 3,48 99,6%,45 00,00% 9,86 00,00% 8,38 0,7 0 5,4 99,93% 7,9 99,3% 3,46 99,7%,9 99,99% 0,4 99,98% 6,6 0,8 0 5,7 99,63% 5,84 98,8%,53 98,65%,73 99,97%,7 99,7% 6,6 µ µ 0,00 0,05 0,5 0,5 Tabela 3. Resultados com 5 agrupamentos e 0 tens por agrupamento. Lnear Retro W0 W5 WRetro WW moch segs ob segs ob segs ob segs ob segs ob segs 0, 0 575,0 99,05% 7,7 99,93%,35 98,56%,94 99,9% 4,09 99,88% 36, 0,3 0 0,6 98,55%,40 98,7% 9,0 9,0%,64 99,76% 3,47 96,07% 95,44 0,4 0 93,98 97,59%,44 98,43% 8,69 9,44%,97 99,65% 7, 96,78% 70,60 0,5 0 66,58 96,75%,6 99,04% 8,8 90,3%,00 99,49%,8 94,8% 99,83 0,6 0 75,33 96,8% 0,74 99,04% 7,9 9,5%,06 99,43% 3,97 96,90% 56,54 0,7 0 34,73 97,39% 0,84 98,9% 7,47 93,56%,83 99,63%,4 96,45% 47,66 0,8 0 30,4 96,36%,60 99,43% 7,0 94,73%,9 99,79% 9,94 96,9% 45,4 0, 0 40,0 96,94% 4,79 94,7% 0,06 87,9%,47 98,7% 3,3 94,7% 33, 0,3 0 67,56 95,97% 5,3 95,% 9,79 87,60%,45 98,67% 37,3 9,5% 9,66 0,4 0 80, 97,00% 4,84 97,33% 9,60 90,5%,45 99,4% 35,37 94,03% 66,8 0,5 0 6,67 96,38% 4,9 98,5% 6,40 93,85%,3 98,67% 3,79 95,4% 69, 0,6 0 73,75 96,8%,3 98,0% 6,85 93,8%,3 99,% 8,8 96,% 54,44 0,7 0,8 96,43%,7 99,% 6,05 94,70%,0 99,50% 4,73 97,9% 7,65 0,8 0 3,44 97,36% 0,87 99,07% 6,9 94,07%,93 99,67% 4,08 96,70% 9,69 0,3 6 98,35 97,0% 6,5 98,4% 74,73 9,49% 3,3 99,38% 4,45 95,87% 6, 0,4 0 64,05 97,97% 7,97 97,69% 7,54 94,57%,78 99,38% 55,74 97,85% 00,6 0,5 0 6,76 97,6% 9,64 98,66% 7,3 95,89%,33 99,% 48,4 97,78% 64, 0,6 0 56,08 97,74% 6, 99,3% 6,93 96,36%,4 99,45% 39,09 98,87% 58,00 0,7 0 68,0 98,35% 3,94 99,0% 6,9 97,45%,9 99,99% 33,49 98,94% 44,5 0,8 0 7,3 97,68% 3,30 99,9% 6,6 97,60%, 99,5% 3,39 99,% 44,49 0,3 0 3,84 98,68%,5 99,69% 5,4 98,69%,74 99,68%, 99,3% 3,7 0,4 8 57,85 98,75% 0,0 99,74% 4,33 96,74%,39 98,75% 4,97 96,73% 39,90 0,5 0 0,7 99,79% 5,38 99,7% 4,58 99,48% 3,0 99,99% 59,6 99,83% 08,44 0, ,6 99,66% 3,7 99,95% 6,8 99,%,45 99,97% 30,74 99,68% 83,0 0,7 0 5,53 99,9% 7,35 99,73% 5,9 99,0%,9 99,98% 46,50 99,45% 56,6 0,8 0 83, 99,79% 5,04 99,99% 5,0 99,73%,73 00,00% 33,95 99,97% 50,4 [ 769 ]

11 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO µ µ 0,00 0,05 0,5 0,5 Tabela 4. Resultados com 0 agrupamentos e 5 tens por agrupamento. Lnear Retro W0 W5 WRetro WW moch segs ob segs ob segs ob segs ob segs ob segs 0, 0 397,8 98,43% 7,49 98,47% 9,09 9,03%,99 99,6% 34,5 98,5% 78,97 0,3 0 68,76 97,0% 8,75 97,53% 9,05 88,75% 3,8 99,39% 4,0 96,79% 90,8 0,4 0 5,34 96,78% 0,5 95,34% 8,04 8,80%,96 98,78% 4,37 90,97%,63 0,5 0 60,36 96,74% 8,6 97,60% 6,7 86,7%,88 99,00% 9,75 9,95% 9,39 0,6 0 45,8 96,64% 8,06 95,83% 6,30 88,39%,60 98,67% 7, 9,% 5,90 0,7 0 46,9 96,6% 7,85 95,97% 5,36 90,40%,57 98,86% 8,98 93,8% 39,36 0,8 0 4,5 96,5% 6,84 97,83% 5,9 9,8%,93 99,43% 4,97 95,40% 37,45 0, 0 93,5 96,5% 0,83 90,98% 5,54 8,98% 3,85 98,3% 4,54 9,63% 7,79 0,3 0 7,05 96,04%,7 94,% 5,77 87,46%,64 98,8% 33,9 9,46% 95, 0,4 0 7,70 95,09% 0,97 95,% 5,94 89,87%,74 97,70% 8,73 93,5% 57,63 0,5 0 49,05 95,30% 9,78 96,4% 5,67 9,3%,66 98,9%,96 94,0% 43,3 0,6 0 30,6 96,36% 9,8 97,0% 5,46 9,96%,74 99,6% 8,70 96,5% 34,0 0,7 0 3,58 95,68% 8,38 97,93% 5,37 93,3%,53 98,67% 6,59 96,04% 5,53 0,8 0 48,00 96,78% 7,75 98,4% 4,84 94,89%,54 99,40% 6, 97,3% 8,68 0, ,38 96,45% 9,05 96,34% 9,4 89,43%,7 98,8% 3,73 94,36% 6,05 0,4 0 66,08 97,95% 9,09 98,05% 6,53 93,88%,8 99,8% 4,7 98,09% 00,93 0,5 0 74,7 98,0%,45 98,% 5,0 94,48%,77 99,% 33,3 97,8% 48,7 0,6 0 57,55 98,0% 0,90 98,44% 5,5 96,39%,8 99,3% 4,3 98,4% 35,93 0,7 0 54,36 98,75% 9, 99,30% 5,3 96,57%,44 99,8%,80 98,74% 30,35 0,8 0 4,78 98,09% 8,9 98,5% 5, 96,68%,47 99,45%,75 98,47% 9,45 0,3 7 45,4 97,84% 7,59 99,39% 4,3 97,4%,37 99,85% 8,34 99,5% 5,48 0,4 8 83,44 96,93% 9,68 97,00% 6,5 9,8%,75 99,00% 6,08 95,5% 57,9 0,5 0 34,50 99,86% 6,8 99,77% 8,7 99,3%,56 99,98% 4,9 99,80% 7,37 0,6 0 95,87 99,5% 3,3 99,44% 5, 98,43%,65 99,94% 4,76 99,63% 4,38 0,7 0 44,30 98,9%,40 99,04% 5,0 98,49%,35 99,9% 8,07 99,75% 35,8 0,8 0 4,03 99,58% 9,6 99,7% 4,7 99,44%, 99,97% 5,5 99,88% 33,6 6. Conclusões Neste trabalho nós apresentamos uma mportante contrbução no estudo de mochlas compartmentadas, ue é a abordagem lnear dscutda na seção 3. Naturalmente, estudos mas detalhados do modelo proposto devem ser efetuados em trabalhos futuros. Mesmo assm, com a abordagem proposta, nós elaboramos três novas heurístcas para resolver problemas da mochla compartmentada, ue foram apresentadas na seção 4, sem maores dscussões por terem sdo descrtas em detalhes. Com o auxílo do Xpress, ceddo pela Dash Optmzaton, nos efetuamos smulações no Laboratóro de Smulação e Otmzação de Sstemas (SmuLab) da Unversdade Estadual de Londrna, onde geramos exemplos consderados de dfícl resolução em problemas de corte e empacotamento, segundo Wäscher e Gau (996), e comparamos os resultados obtdos de nossas três novas heurístcas, da melhor heurístca conhecda na lteratura, conforme relatam marues e arenales, e anda avalamos estes resultados com as soluções encontradas pelo modelo lnear. Ao examnarmos as tabelas,, 3 e 4, o ue observamos na grande maora dos exemplos, é ue o por desempenho em tempo de execução é da heurístca WW, e o melhor desempenho em tempo de execução é da heurístca W5, por outro lado, esta heurístca obteve as pores soluções em termos de ualdade. A heurístca ue teve melhores resultados neste uesto fo a WRetro, cuo tempo de execução fo superor ue o da heurístca Retro. Por se tratar de heurístcas, é muto arrscado ualuer tpo de afrmação, entretanto, a heurístca Retro obteve melhores soluções ue a melhor heurístca conhecda com um tempo de execução acetável para soluções prátcas, como por exemplo, em problemas de corte e empacotamento. 7. Agradecmentos Pelos apoos fnanceros, nós agradecemos ao Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco, também à Fundação Araucára de Apoo a Desenvolvmento Centífco e Tecnológco do Paraná, e à Coodenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor. Nós agradecemos anda a Dash Optmzaton, ue nos cedeu o Xpress por meo do Academc Partner Program. [ 770 ]

12 Pesusa Operaconal na Socedade: Educação, Meo Ambente e Desenvolvmento a 5/09/06 Goâna, GO 8. Referêncas Bblografcas Hoto, R., Arenales, M. N. and Maculan, N. (005). The compartmentalsed napsac problem: a case study. European Journal of Operatonal Research. (a aparecer) Marues, F. P. and Arenales, M. N. (005). The constraned compartmentalsed napsac problem. Computers & Operatons Research. (a aparecer) Wäscher, G. and Gau, T. (996). Heurstcs for the one-dmensonal cuttng stoc problem: a computatonal study. OR Spetrum, 8, [ 77 ]