O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE COM APROVEITAMENTO DE SOBRAS: UM ESTUDO DE COMPARAÇÃO DE DIFERENTES MODELOS MATEMÁTICOS E HEURÍSTICAS DE RESOLUÇÃO

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1 Unversdade Tecnológca Federal do Paraná - UTFPR Campus Ponta Grossa - Paraná - Brasl SSN / v. 11, n. 3: p , 2015 D.O..: /g.v11n O PROBLEMA DE CORTE DE ESTOQUE COM APROVETAMENTO DE SOBRAS: UM ESTUDO DE COMPARAÇÃO DE DFERENTES MODELOS MATEMÁTCOS E HEURÍSTCAS DE RESOLUÇÃO THE CUTTNG STOCK PROBLEM USNG THE WASTE: A STUDY NTO COMPARSON OF DFFERENT MATHEMATCAL MODELS AND HEURSTCS FOR RESOLUTON Eduardo Aparecdo da Rosa Neto 1 ; Robnson Samuel Vera Hoto 2 1 Unversdade Estadual de Londrna UEL eduardo.neto@ensnolvre.com.br 2 Unversdade Estadual de Londrna UEL hoto@uel.br Resumo Um Problema de Corte de Estoque (PCE) consste bascamente em cortar um conunto de peças maores (matéra-prma) dsponíves em estoque com a fnaldade de produzr um conunto de peças menores (tens), otmzando um determnado obetvo, que pode ser mnmzar a quantdade total de matéra-prma a ser cortada, bem como as sobras geradas pelo processo ou o custo assocado ao corte; maxmzar o lucro, entre outros. Neste contexto, o Problema de Corte de Estoque com Aprovetamento de Sobras (PCES) enfoca tal questão vsando a melhor utlzação da matéra-prma, ou sea, utlzar as sobras em um processo de corte futuro, desde que elas apresentem condções para sso. Buscamos com este trabalho determnar soluções nteras para um PCES por meo de um estudo computaconal dos modelos matemátcos propostos por Pnto (2008). Exploramos também uma reformulação do modelo matemátco da Estratéga 5 de Pnto (2008), a qual denomnamos Estratéga 5 Reformulada (5R). Analsamos a efcáca dos modelos, consderando crtéros de avalação estabelecdos, a pror, pela comparação dos resultados com os resultados de heurístcas propostas por Cherr e outros (2009), por meo de smulações computaconas realzadas em um conunto de classes de exemplares gerados aleatoramente. Os resultados mostram que, conforme as classes vão crescendo em termos de dmensão e demanda dos exemplares, a concentração dos melhores resultados tende para a Estratéga 5R e para os procedmentos heurístcos, em partcular para os resduas RAG R 1, RAG R 2 e RAG R 3. Palavras-chave: problema de corte de estoque undmensonal; aprovetamento de sobras; heurístcas; gerador aleatóro; problema de programação lnear ntera. 1. ntrodução As ndústras de manufatura, prncpalmente ndústras de papel, metalúrgca, vdro, móves, plástca, têxtl, entre outras, têm sdo estmuladas a aprmorar seus processos, tornando-os cada vez mas efcentes e econômcos. Em tas ndústras, as etapas do gerencamento de produção estão frequentemente assocadas à utlzação de estratégas de corte de matéras-prmas para transformá-

2 las em produtos fnas, o que têm motvado a comundade centífca naconal e nternaconal na busca de métodos de solução efcentes. Uma lnha de pesqusa mportante na área de Pesqusa Operaconal e que têm sdo estudados por um número crescente de pesqusadores nas últmas décadas é o Problema de Corte de Estoque (PCE). Esse estudo tem gerado contrbuções sgnfcatvas em dversas áreas, prncpalmente em razão da mportânca econômca alada aos avanços nos aspectos computaconas, nteresse que pode ser comprovado, por exemplo, pela consulta a lvros dedcados exclusvamente ao tema, em centenas de artgos de revsão e edções especas de revstas naconas e nternaconas dsponíves na lteratura, e pela formação de grupos de pesqusa para tratar exclusvamente do tema (p. ex. GPCE, ESCUP 1 ). Destacamos alguns artgos que nortearam este trabalho, a ctar: Pold e Arenales (2009), Hoto e outros (2003), Cherr e outros (2009), Wäsher e outros (2007), Cu e Yang (2010), Glmore e Gomory (1963) e Gau e Wäsher (1995). Centenas de outros artgos podem ser acessadas pelo endereço eletrônco < O problema de corte de estoque undmensonal pode ser descrto da segunte forma: suponha que tenhamos em estoque uma quantdade sufcente de barras de comprmento L para cortar tens de comprmentos l L, 1,,, de modo a atender demandas d, 1,,. Ver Fgura 1. O problema consste em efetuar o processo de corte, mnmzando a sobra de materal. Neste trabalho este problema será denomnado Problema de Corte de Estoque Undmensonal Clássco (PCEC). Fgura 1 (a) Conunto de barras em estoque de comprmento L a serem cortadas; (b) Conunto de tens de comprmentos L e demandas d, 1,, (a) (b) Fonte: Autora própra (2015) Por exemplo, uma bobna (de papel, alumíno, tecdo, aço,...) atravessa uma máquna com facas, que fará cortes em apenas um sentdo (Fgura 2). 1 GPCE e ESCUP são grupos (naconal e nternaconal, respectvamente) que reúnem profssonas, pesqusadores e educadores da Pesqusa Operaconal com nteresses na área de corte e empacotamento. 27

3 Fgura 2 Esquema representando o processo de corte de uma bobna Fonte: Autora própra (2015) Na ndústra papelera, por exemplo, bobnas-umbo são cortadas em sub-bobnas que, por sua vez, podem anda ser cortadas em retângulos de dversos tamanhos. De acordo com o comprmento da bobna, as quantdades e os comprmentos dos tens demandados, há fntas maneras de arranos para a dsposção das facas, mas esse número pode ser muto grande, mesmo para problemas consderados pequenos 2. Denotaremos cada dsposção das facas no processo de corte de padrão de corte. As varáves de decsão, neste caso, baseam-se na utlzação de cada padrão de corte, as quas, em razão das restrções de maqunáro, por exemplo, devem ser nteras. Vamos consderar que há P possbldades, o que sugere a defnção de padrão de corte como um vetor de dmensão que contablza os tens produzdos. T a ( a, a,..., a,..., a ), 1,..,, p1,.., P (1) p 1p 2p p p Em que a p é o vetor representante do p-ésmo padrão de corte, e a coordenada a p representa a quantdade de vezes que o tem de comprmento aparece no p-ésmo padrão. Note que, para (1) satsfazer um padrão de corte, deve-se obedecer à segunte restrção físca: 1a1 p 2a2 p... ap... ap L, 1,..,, p1,.., P (2) Nas númeras stuações prátcas podem ocorrer varações do problema. Nesse sentdo, consderaremos que o estoque é composto por barras de város comprmentos, cua dsponbldade é lmtada, entretanto, sufcente para o atendmento dos tens demandados. Para tanto, vamos consderar que o estoque de barras é composto por J tpos de barras, de comprmentos L1, L2,..., L,..., L J. Denotaremos por 1 2 e, e,..., e,..., e a quantdade dsponível das respectvas J 2 Em problemas prátcos, é da ordem de dezenas, enquanto a quantdade de maneras de arranos para a dsposção das facas, que depende de, L e, 1,...,, pode ser da ordem de centenas de mlhares. 28

4 barras. Neste trabalho este problema será denomnado Problema de Corte de Estoque Undmensonal Restrto (PCER). Matematcamente: Mnmzar: Sueto a: J P f x T x (3) 1 p1 p p J P 1 p1 a x d (4) p p P p1 x e, 1,..., J (5) p Em que, p a1p, a2p,, ap x 0 e ntero, p 1,..., P, 1,..., J (6) p T a é um vetor assocado a um padrão de corte na -ésma barra, a 1p é a quantdade de vezes que o tem de comprmento aparece no p-ésmo padrão de corte, na barra de comprmento L, sendo e a quantdade dsponível dessa barra em estoque. Por fm, x p representa o total de barras que devem ser cortadas, segundo o p-ésmo padrão de corte. Anda,,,...,,..., 1 2 T d d d d d é o vetor de demandas, T L a representa a sobra p p 1 produzda pelo p-ésmo padrão de corte na barra de comprmento L, em que 1,,, 1, J e p1,, P. Qualquer solução deste problema, cuos componentes seam nteros e não negatvos, fornece uma solução factível para o problema. São problemas de vasta aplcabldade prátca, cua aparente smplcdade entra em contraste com a grande dfculdade de resolução por conta do elevado número de varáves envolvdas e da restrção de ntegraldade destas varáves. Tas problemas pertencem à classe NP-dfícl 3 (Garey e Johnson, 1979; Dyckhoff, 1990, ctado por Pold e Arenales, 2009) que, grosso modo, podemos dzer que são problemas mprováves de serem resolvdos num tempo polnomal acetável. Em processos de corte, buscando uma melhor utlzação da matéra-prma, mutas ndústras, ao nvés de descartar as sobras do processo procuram utlzá-las, desde que apresentem condções para sto. O problema ao qual daremos ênfase neste trabalho é o Problema de Corte de Estoque Undmensonal com Aprovetamento de Sobras (PCES), que consdera também as perdas (lease sobras não aprovetáves) e os retalhos (lea-se sobras aprovetáves) obtdos em um processo de 3 Polnomal Não Determnístco Dfícl. 29

5 corte. Adotaremos como retalho qualquer comprmento maor ou gual ao comprmento do menor tem demandado. No ponto de vsta prátco, a defnção de perdas e retalhos é relatva. Um comprmento mínmo acetável como retalho é um crtéro que deve ser estabelecdo pela ndústra. É possível consderar, por exemplo, o comprmento do menor tem demandado, o comprmento do maor tem demandado, a méda dos comprmentos dos tens demandados, ou um comprmento qualquer préestabelecdo pelo usuáro. Na lteratura, são város os trabalhos que consderam como retalho qualquer comprmento maor ou gual ao comprmento do menor tem demandado, a ctar Pnto (2008), Faras (2011), Hoto e outros (2003), Gradsar e outros (1997), (1999a, b), Gradsar e Trkman (2005), Abuabara e Morabto (2008). É mportante ressaltar que essa atrbução pode não ser nteressante no caso em que o conunto dos tens demandados nclu um tem atípco de comprmento muto pequeno ou apenas tens de comprmentos grandes. Desse modo o processo de corte ra gerar, no prmero caso, mutos retalhos pequenos e de pouco uso, ou, no segundo caso, mutas perdas que poderam ser acetáves em processos futuros. Partremos do pressuposto que é mas deseável reduzr as perdas ao nível mínmo, e maxmzar os retalhos ao nível máxmo, de tal manera que tas retalhos esteam concentrados na menor quantdade possível de padrões, desde que sea mantdo o obetvo ncal de um problema de corte de estoque: mnmzar sobras. O prncpal obetvo deste trabalho consste em determnar soluções nteras para o PCES. Para sso faremos um estudo computaconal dos modelos matemátcos propostos por Pnto (2008). A efcáca dos modelos será analsada pela comparação dos resultados com as de heurístcas propostas por Cherr e outros (2009). As smulações computaconas sugerram que é possível propor uma varação dos modelos propostos por Pnto (2008), na tentatva de buscar soluções melhores que as á encontradas, o que também se consttu num obetvo a ser alcançado. Para exemplfcar, consdere J 2 barras de comprmentos L cm e L cm, cua dsponbldade em estoque sea e 1 2 e e 2 3 respectvamente, para cortar 3 tpos de tens de comprmentos 1 30 cm, 2 50 cm e 3 55 cm, de modo a atender às respectvas demandas d 1 2, d 2 4 e d 3 3. A Fgura 3 lustra três soluções factíves para esse problema. 30

6 Fgura 3 Representação dos dados do exemplo e três soluções factíves, consderando o problema de corte de estoque com aprovetamento de sobras Solução 1 Solução 2 Solução 3 Perda total: 15 cm Retalho total: 0 cm Perda total: 15 cm Retalho total: 30 cm Fonte: Autora própra (2015) Perda total: 0 cm Retalho total: 45 cm Se consderarmos os problemas clásscos de corte com o obetvo de mnmzar sobras, a solução 1 é mas deseável, e as soluções 2 e 3 são equvalentes. No entanto, se analsarmos pelo ponto de vsta de um problema de corte de estoque com aprovetamento de sobras, a solução 2 é menos deseável que as outras duas, vsto que apresenta uma perda total maor que a da solução 3 e gual à da solução 1, que por sua vez não gerou retalhos. A solução 3 é a mas deseável pelo fato de apresentar perda nula e concentrar o retalho em uma únca barra. Em todo caso, não podemos afrmar que uma das soluções apresentadas é solução ótma do exemplo. Para sso, devemos resolver o PCES. 2. Abordagens de Resolução Há váras técncas especalzadas na tentatva de soluconar um PCE, com abordagens dferentes, como busca, programação, relaxação, grafos e outras. A dfculdade na resolução de problemas deste tpo resde no fato de que cada uma delas apresenta característcas específcas, o que torna a defnção de um método geral efcente pouco provável. 2.1 Heurístcas propostas por Cherr e outros (2009) Cherr e outros (2009) desenvolveram heurístcas construtvas e resduas específcas para resolver um PCES, com base em modfcações realzadas em heurístcas clásscas conhecdas na lteratura. Essas heurístcas são: Construtva FFD R, Construtva Gulosa R, Resdual FFD R, Resdual Gulosa R e Resdual por Arredondamento Guloso (RAG R ) versões 1, 2 e 3. 31

7 As heurístcas construtvas FFD R e Gulosa R foram desenvolvdas a partr de alterações nas heurístcas construtvas clásscas FFD e Gulosa, respectvamente. As Heurístcas Resduas FFD R e Gulosa R foram desenvolvdas com modfcações nas heurístcas resduas FFD e Gulosa, respectvamente. Para essas heurístcas, o clássco problema de corte é resolvdo com as restrções de ntegraldade relaxadas e, para obter uma solução ntera aproxmada, as soluções contínuas são arredondadas e o problema resdual resultante é resolvdo pelas heurístcas construtvas FFD R ou Gulosa R. Por fm, as Heurístcas Resduas RAG R versões 1, 2 e 3 foram desenvolvdas realzando modfcações nas heurístcas RAG versões 1, 2 e 3 propostas por Pold e Arenales (2009). 2.2 Modelos propostos por Pnto (2008) Fundamentando-se a partr de uma modelagem do PCES, Pnto (2008), sugere em sua dssertação de mestrado que uma boa tátca para obter o conunto das soluções ótmas ou quase ótmas do PCER e, em seguda, buscar nesse conunto soluções que maxmzem as sobras, dstrbundo-as na menor quantdade de barras. Segundo este prncípo, Pnto (2008) propôs três estratégas de resolução para o PCES que, numa prmera etapa encontra o menor comprmento que deve ser cortado de barras para o atendmento dos tens demandados e, numa segunda etapa, busca concentrar as perdas na menor quantdade de barras. O autor anda propôs outras duas estratégas, vsando resolver o PCES numa únca etapa. As estratégas serão descrtas a segur. Para sso consdere as constantes: - L : comprmento da -ésma barra, 1,..., J ; - T : Perda na -ésma barra, 1,..., J ; - max 1,..., M L J ; - : comprmento do -ésmo tem, 1,..., ; - d : demanda do -ésmo tem, 1,..., ; - mn 1,..., S : comprmento mínmo consderado como retalho; - N : quantdade de barras escolhda na prmera etapa; - R : quantdade de barras usadas para concentrar retalhos. 32

8 E as varáves: - a : quantdade de tens de índce 1,..., cortados da barra de índce 1,..., J ; - 1, se a barra de índce é escolhda y ; 0, caso contráro - w 1, se a barra de índce é escolhda para concentrar retalhos. 0, caso contráro etapa é: Nas três prmeras estratégas, a etapa ncal é sempre a mesma. O modelo matemátco desta Mnmzar: J 1 yl (7) Sueto a: J 1 a d, 1,..., (8) 1 a L y, 1,..., J (9) a 0 e ntero, 1,...,, 1, J (10) y 0,1, 1,..., J (11) A função obetvo (7) mnmza o comprmento total utlzado para atender a demanda. A restrção (8) garante que a quantdade de tens produzdos sea gual à demanda. A restrção (9) funcona da segunte forma: se a -ésma barra está sendo usada ( y 1) a mesma equvale a uma restrção de mochla, por outro lado, se a -ésma barra não está sendo usada ( y 0 ) a restrção obrga que a 0, 1,...,. Por fm, as restrções (10) e (11) defnem as varáves do problema. A etapa segunte nas três prmeras estratégas consste em determnar um conunto de padrões que atenda a demanda dmnundo as sobras ao nível mínmo, gerando o mínmo de perdas e o máxmo de retalhos, de tal manera que estes retalhos esteam concentrados na menor quantdade de barras. 33

9 O modelo matemátco utlzado na Estratéga 1 é: Mnmzar: N L a (12) 1 1 Sueto a: N 1 w R (13) N 1 a d, 1,..., (14) 1 L a w L 1 w S 1, 1,..., N (15) 1 L a w S, 1,..., N (16) a 0 e ntero, 1,...,, 1, N (17) w 0,1, 1,..., N (18) A função obetvo (12) mnmza as sobras do processo. A restrção (13) garante que a quantdade de barras utlzadas para concentrar os retalhos sea gual ao número R prevamente fxado. A restrção (14) garante que a quantdade de tens produzdos sea gual à demanda. As restrções (15) e (16) untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve estar no ntervalo S, L quando w 1, sto é, a barra deve gerar retalhos, ou deve estar no ntervalo 0, S quando w 0, sto é, a barra não deve gerar retalhos. Por fm, as restrções (17) e (18) defnem as varáves do problema. O modelo matemátco utlzado na Estratéga 2 é: Mnmzar: N 1 T (19) Sueto a: N 1 w R (20) 34

10 N 1 a d, 1,..., (21) 1 L a L 1 w M, 1,..., N (22) 1 L a S 1 w M, 1,..., N (23) 1 L a T w M, 1,..., N (24) 1 L a T w M, 1,..., N (25) a 0 e ntero, 1,...,, 1, N (26) T 0 e ntero, 1, N (27) w 0,1, 1,..., N (28) A função obetvo (19) mnmza as perdas do processo. As restrções (20) e (21) são semelhantes às restrções (13) e (14) respectvamente. As restrções (22) e (23) untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve gerar retalhos quando w 1, e fcam natvas quando w 0. As restrções (24) e (25) untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve gerar perdas quando w 0, e fcam natvas quando w 1. Por fm, as restrções (26), (27) e (28) defnem as varáves do problema. Na Estratéga 3, as restrções do modelo da prmera e da segunda etapa são parecdas, mas a função obetvo é bem dferente: Maxmzar: Sueto a: N N R1 1 L a (29) N 1 a d, 1,..., (30) 1 a L, 1,..., N (31) 35

11 a 0 e ntero, 1,...,, 1, N (32) A função obetvo (29) maxmza as sobras do processo nas barras de índce N R 1,..., N. A restrção (30) garante que a quantdade de tens produzdos sea gual à demanda. A restrção (31) equvale a uma restrção de mochla. Por fm, a restrção (32) defne as varáves do problema. Note que ao fazer R 1, optou-se por concentrar as sobras na últma barra, e, neste caso, fo realzada uma ordenação decrescente das barras, ou sea, L1... L N. O modelo matemátco utlzado na Estratéga 4 é: Mnmzar: J 1 yl (33) Sueto a: J 1 w R (34) J 1 a d, 1,..., (35) 1 L a w L 1 w S 1, 1,..., J (36) 1 L a w S, 1,..., J (37) a 0 e ntero, 1,...,, 1, J (38) y 0,1, w 0,1, 1,..., J (39) A função obetvo (33) mnmza o comprmento total cortado no processo. A restrção (34) garante que a quantdade de barras utlzadas para concentrar os retalhos sea gual ao número R prevamente fxado. A restrção (35) garante que a quantdade de tens produzdos sea gual à demanda. As restrções (36) e (37) são equvalentes às restrções (15) e (16), respectvamente e, untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve estar no ntervalo S, L quando w 1, sto é, a barra deve gerar retalhos, ou deve estar no ntervalo 0, S quando w 0, sto é, a barra não deve gerar retalhos. Por fm, as restrções (38) e (39) defnem as varáves do problema. 36

12 O modelo matemátco utlzado na Estratéga 5 é: Mnmzar: J 1 T y L (40) Sueto a: J 1 w R (41) J 1 a d, 1,..., (42) 1 y L a L 1 w M, 1,..., J (43) 1 y L a S 1 w M, 1,..., J (44) 1 y L a T w M, 1,..., J (45) 1 y L a T w M, 1,..., J (46) a 0 e ntero, 1,...,, 1, J (47) T 0 e ntero, 1, J (48) y 0,1, w 0,1, 1,..., J (49) A função obetvo (40) mnmza a perda e o comprmento total cortado no processo. As restrções (41) e (42) são semelhantes às restrções (34) e (35)respectvamente. As restrções (43) e (44) untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve gerar retalhos quando w 1, e fcam natvas quando w 0, agndo de forma smlar às restrções (22) e (23), respectvamente. As restrções (45) e (46) untas, ndcam para cada barra, que o comprmento remanescente do corte dos tens deve gerar perdas quando w 0, e fcam natvas quando w 1, agndo de forma smlar às restrções (24) e (25), respectvamente. 37

13 2.3 Reformulação da Estratéga 5 de Pnto (2008) Embora as soluções apresentadas por Pnto (2008) ndquem que é frutífera a estratéga de seleconar barras para o atendmento de tens demandados e, posterormente, concentrar as perdas na menor quantdade possível destas barras, dversas soluções foram apresentadas como a heurístca não encontrou solução, solução nvável ou o códgo falhou. Muto provavelmente tas resultados ndcam erros nas mplementações dos modelos. Em prncípo, um desdobramento medato deste trabalho trata-se de revsar e avalar o desempenho das estratégas propostas por Pnto (2008) para os mlhares de exemplares extraídos de um gerador aleatóro. As smulações realzadas mostraram que a Estratéga 5 se destacou em relação às outras quatro estratégas. A estratéga 1 não teve grandes resultados, e as outras estratégas tveram seus bons resultados entre uns e outros. Por consequênca, percebemos que é possível explorar uma reformulação do modelo matemátco da Estratéga 5, que ustfcaremos a segur. Analsando novamente as restrções (43)-(46), para cada barra escolhda ( y 1), temos: - Quando w 1, as restrções (43) e (44) vsam gerar retalhos e as restrções (45) e (46) fcam natvas, para 1,...,, 1, J; S L a L (50) 1 1 T M L a T M (51) De fato, para 1,...,, 1, J: 1 T M S L a L T M (52) - Quando w 0, as restrções (43) e (44) fcam natvas e as restrções (45) e (46) vsam gerar perdas para 1,...,, 1, J. S M L a L M (53) 1 38

14 T L a T (54) 1 De fato, para 1,...,, 1, J: S M S L a T L M (55) 1 Realzando algumas smulações e comparando os resultados obtdos da Estratéga 5 com os das Estratégas 1, 2, 3 e 4, pudemos observar que há uma grande dfculdade na defnção dos crtéros utlzados para avalar uma boa solução. A dea de melhor solução é relatva e depende, ncalmente, da decsão a ser tomada: mnmzar sobras (Estratéga 1), mnmzar perdas (Estratéga 2), maxmzar as sobras em uma quantdade reduzda de barras (Estratéga 3), mnmzar o comprmento total a ser cortado (Estratéga 4) ou uma combnação destas (Estratéga 5). Em nossa análse, acredtamos que do ponto de vsta prátco a ndústra prvlega manter as perdas no seu patamar mínmo. Vsando sso, para a reformulação da Estratéga 5 ncalmente elmnamos o termo yl da função obetvo (40) que determna o comprmento total cortado. Desse modo, o obetvo passa a ser de mnmzar perdas: Mnmzar: J T (56) 1 Em seguda, elmnamos o termo T nas restrções (45) e (46): y L a w M, 1,..., J (57) 1 y L a w M, 1,..., J (58) 1 Com tas alterações, quando w 1, as restrções (43) e (44) anda vsam gerar retalhos e as novas restrções (57) e (58) contnuam natvas, para 1,...,, 1, J. S L a L (59) 1 M L a M (60) 1 39

15 De fato, para 1,...,, 1, J: M S L a L M (61) 1 Por outro lado, quando w 0, as restrções (43) e (44) contnuam natvas e as novas restrções (57) e (58) vsam gerar perdas nulas para 1,...,, 1, J. S M L a L M (62) 1 De fato, para 1,...,, 1, J: 0 L a 0 (63) 1 S M 0 L a 0 L M (64) 1 Portanto, o modelo matemátco Reformulado para a Estratéga 5 é: Mnmzar: J T (65) 1 Sueto a: J w R (66) 1 J a d, 1,..., (67) 1 1 y L a L 1 w M, 1,..., J (68) 1 y L a S 1 w M, 1,..., J (69) y L a w M, 1,..., J (70) 1 y L a w M, 1,..., J (71) 1 a 0 e ntero, 1,...,, 1, J (72) 40

16 T 0 e ntero, 1, J (73) y 0,1, w 0,1, 1,..., J (74) Sem perda de generaldade, chamaremos este modelo smplesmente de Estratéga 5 Reformulada. Ao analsar os resultados das smulações obtdas pela mplementação desta estratéga, pudemos perceber que as soluções apresentaram perda nula e os retalhos são concentrados na menor quantdade possível de barras. Além dsto, surpreendentemente a quantdade de barras utlzadas e/ou o comprmento total cortado foram em méda menores ou guas. Do ponto de vsta prátco, partmos do pressuposto que esta é a melhor solução para um PCES. Para lustrar, vamos consderar um PCES cuos dados são apresentados na Tabela 1. Tabela 1 Dados do exemplo. Barras L (u.c.) tens (u.c.) d (u.c.) d Fonte: Dados aleatóros e Nos testes foram comparados quatro prncpas parâmetros (em quantdade ou em comprmento): - Perda: barras que geram perdas; - Retalho: barras que geram retalhos; - Aprov.: em quantdade, representam barras que geram aprovetamento pleno, ou sea, perda nula; em comprmento, representam a demanda total atendda; - Total: barras utlzadas no processo de corte. Os resultados são apresentados na Tabela 2. 41

17 Tabela 2 Resultados do exemplo. Estratégas Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total Reformulada Fonte: Expermentos computaconas Note que a Estratéga 5 Reformulada apresenta a solução com a menor perda e cuo retalho total é concentrado na menor quantdade possível de barras. De fato, a Estratéga 5 Reformulada seleconou a menor quantdade total de barras (8 barras), das quas nenhuma gera perda e apenas uma gera um únco retalho de comprmento 1220 u.c. No entanto, o maor comprmento total cortado (15500 u.c.) deve-se à escolha de barras maores para o atendmento da demanda. Esses resultados podem ser ustfcados pelo fato de que a função obetvo busca mnmzar a perda total ao mesmo tempo em que as restrções lmtam a seleção de padrões de corte que apresentam perdas nulas ou retalhos. É provável que sto ocasone uma domnânca do componente Perdas (nulas) sobre o componente Retalhos, levando a resultados onde a perda é mínma (nula se for possível) e a quantdade de retalhos é concentrada na menor quantdade possível de barras. Por exemplo, a Estratéga 5 apresenta uma solução em que o retalho total de 570 u.c. é dstrbuída em 7 barras enquanto a Estratéga 5 Reformulada apresenta uma solução em que o retalho total de 1220 u.c. é dstrbuído em uma únca barra. 3. Expermentos Computaconas A quantdade de exemplares analsados no trabalho de Pnto (2008) é relatvamente baxa se comparada aos trabalhos dsponíves na lteratura. O autor seleconou oto exemplares: sete extraídos do trabalho de Abuabara (2006) e um extraído do trabalho de Snuany-Stern e Wener (1994). Resolvemos crar um própro gerador de exemplares aleatóros, baseado no CUTGEN1 proposto por Gau e Wäscher (1995), varando-se a quantdade de tens, o tamanho dos tens e/ou as quantdades demandadas, dando atenção especal a problemas com baxa demanda, vsto que estamos nteressados em soluções boas e rápdas, mesmo que a otmaldade não sea garantda. Os expermentos estão dvddos em 12 classes de problemas, sendo que para cada classe foram gerados 100 exemplares. A segur, a descrção dos crtéros utlzados. - Quantdade de barras: 4 barras padronzadas; - Comprmento das barras: 1000 u.c., 1500 u.c., 2000 u.c. e 2500 u.c.; 42

18 - Dsponbldade das barras: 5 cada; - Quantdade de tens: 5, 10 ou 15; - Comprmento dos tens: será gerado, aleatoramente, dentro dos ntervalos [50 u.c., 100 u.c.] para os tens de tamanho pequeno (P) e [100 u.c., 250 u.c.] para os tens de tamanho médo (M). Usando parâmetros que as aproxmassem de stuações reas, consderamos os comprmentos dos tens com dezenas nteras; - Demanda dos tens: será gerada, aleatoramente, dentro dos ntervalos [1, 5] para a demanda baxa (DB) e [5, 10] para a demanda méda (DM); - Comprmento para a sobra: menor tem dentro do conunto de tens do respectvo exemplar. Obtemos, desta forma, problemas varando-se a quantdade de tens, o tamanho dos tens e/ou as quantdades demandadas. O códgo utlzado para caracterzar cada classe é formado por 5 dígtos: os dos prmeros representam a quantdade de tens (05, 10 ou 15); o próxmo dígto representa o tamanho dos tens (P ou M) e; os dos últmos dígtos que completam o códgo representam as demandas (DB ou DM), conforme a tabela 1. O códgo 15MDM, por exemplo, representa a classe com 15 tens de tamanho médo cuas demandas são médas. 3.1 Resultados Os algortmos das cnco estratégas apresentadas na Seção 2.2 e na Seção 2.3 foram mplementados na lnguagem de programação Mosel (Xpress-Mosel User Gude, 2008) e, utlzando o própro Solver do programa, foram executados em um computador ntel Core 7 de 2,67 GHz com 12 GB de memóra RAM. Quanto às heurístcas de Cherr e outros (2009), os exemplares seleconados foram executados pela professora Adrana Crstna Cherr Ncola, a quem regstramos nossos snceros agradecmentos. Em razão da dfculdade em comparar as soluções do PCES, utlzaremos os seguntes crtéros: - Solução deal: quando houver perda não nula em no máxmo uma barra e todos os retalhos estverem concentrados em no máxmo uma barra; - Solução acetável: quando houver perda não nula em mas de uma barra ou todos os retalhos estverem concentrados em mas de uma barra, não ambos; 43

19 - Solução ndeseável: quando houver perda não nula em mas de uma barra e todos os retalhos estverem concentrados em mas de uma barra. Nos testes foram comparados quatro prncpas parâmetros (em quantdade ou em comprmento): - Perda: barras que geram perdas; - Retalho: barras que geram retalhos; - Aprov.: em quantdade, representam barras que geram aprovetamento pleno, ou sea, perda nula; em comprmento, representam a demanda total atendda; - Total: barras utlzadas no processo de corte. A efcáca dos métodos de resolução será analsada pela comparação dos resultados de uns com os outros. Os métodos obtveram soluções factíves para todos os exemplares gerados. As Tabelas 3 14 apresentam as médas para 100 exemplares de cada uma das 12 classes. Tabela 3 Resultados para os 100 exemplares da classe 1 5PDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 deal 0,1 1,0 0,0 1,1 1,1 295,1 1113,8 1410,0 2 deal 0,0 1,0 0,0 1,1 0,9 295,3 1113,8 1410,0 Estratégas 3 deal 0,0 1,0 0,0 1,1 0,3 295,9 1113,8 1410,0 4 deal 0,0 1,0 0,0 1,1 1,5 294,7 1113,8 1410,0 5 deal 0,0 1,0 0,0 1,0 0,3 280,9 1113,8 1395,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 0,1 1,1 0,0 581,2 1113,8 1695,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,2 0,6 1,8 0,0 651,2 1113,8 1765,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,2 0,6 1,8 0,0 646,2 1113,8 1760,0 FFD R Acetável 0,0 1,2 0,6 1,8 0,0 651,2 1113,8 1765,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,2 0,6 1,8 0,0 646,2 1113,8 1760,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 deal 0,3 1,0 0,4 1,8 7,4 643,8 1113,8 1765,0 RAG R 2 deal 0,3 1,0 0,5 1,8 4,6 646,6 1113,8 1765,0 RAG R 3 deal 0,3 1,0 0,4 1,8 7,5 643,7 1113,8 1765,0 Fonte: Expermentos computaconas 44

20 Tabela 4 Resultados para os 100 exemplares da classe 2 5PDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 Acetável 0,8 1,1 0,2 2,1 24,2 255,3 2810,5 3090,0 2 Acetável 0,6 1,2 0,3 2,1 16,7 262,8 2810,5 3090,0 Estratégas 3 deal 0,2 1,0 0,9 2,1 2,6 276,9 2810,5 3090,0 4 Acetável 0,6 1,2 0,2 2,1 17,3 262,2 2810,5 3090,0 5 deal 0,0 1,0 1,3 2,4 0,3 279,2 2810,5 3090,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 1,1 2,1 0,0 1299,5 2810,5 4110,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,2 2,1 3,3 0,0 559,5 2810,5 3370,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,2 2,2 3,3 0,0 569,5 2810,5 3380,0 FFD R Acetável 0,0 1,2 2,1 3,3 0,9 558,6 2810,5 3370,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,1 2,1 3,3 0,9 568,6 2810,5 3380,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,2 1,1 2,3 0,5 464,0 2810,5 3275,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,2 1,1 2,3 0,5 469,0 2810,5 3280,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,2 1,1 2,3 0,5 474,0 2810,5 3285,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 5 Resultados para os 100 exemplares da classe 3 5MDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 deal 0,9 1,0 0,1 2,1 50,4 259,1 2630,5 2940,0 2 Acetável 0,8 1,2 0,1 2,1 41,8 267,7 2630,5 2940,0 Estratégas 3 deal 0,2 1,0 0,8 2,1 3,0 306,5 2630,5 2940,0 4 Acetável 0,8 1,1 0,2 2,0 44,0 265,5 2630,5 2940,0 5 deal 0,1 1,0 0,9 2,0 2,7 306,8 2630,5 2940,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 0,8 1,8 0,0 714,5 2630,5 3345,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,4 1,7 3,1 0,0 574,5 2630,5 3205,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,5 1,5 3,0 0,2 599,3 2630,5 3230,0 FFD R Acetável 0,0 1,4 1,6 3,1 0,7 573,8 2630,5 3205,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,4 1,5 3,0 0,9 588,6 2630,5 3220,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,1 1,3 1,0 2,5 3,4 561,1 2630,5 3195,0 RAG R 2 Acetável 0,1 1,4 1,1 2,6 3,5 561,0 2630,5 3195,0 RAG R 3 Acetável 0,1 1,3 1,0 2,5 3,4 561,1 2630,5 3195,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 6 Resultados para os 100 exemplares da classe 4 5MDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 2,4 1,1 0,8 4,3 107,0 193,0 6710,0 7010,0 2 ndeseável 2,1 1,1 1,1 4,3 95,5 204,5 6710,0 7010,0 Estratégas 3 deal 0,3 1,0 3,0 4,3 3,3 296,7 6710,0 7010,0 4 ndeseável 2,1 1,2 0,9 4,1 91,4 208,6 6710,0 7010,0 5 Acetável 1,5 1,0 1,9 4,3 38,1 261,9 6710,0 7010,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 3,4 4,4 0,0 785,0 6710,0 7495,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,1 1,5 4,9 6,4 0,6 754,4 6710,0 7465,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,1 1,5 4,8 6,3 0,6 739,4 6710,0 7450,0 FFD R Acetável 0,0 1,5 4,3 5,8 0,6 689,4 6710,0 7400,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,5 4,3 5,8 0,4 704,6 6710,0 7415,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,4 2,6 4,1 0,5 524,5 6710,0 7235,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,4 2,6 4,0 0,5 514,5 6710,0 7225,0 RAG R 3 Acetável 0,1 1,5 2,6 4,1 1,2 533,8 6710,0 7245,0 Fonte: Expermentos computaconas 45

21 Tabela 7 Resultados para os 100 exemplares da classe 5 10PDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 Acetável 0,7 1,1 0,2 2,0 16,2 251,2 2252,6 2520,0 2 deal 0,6 1,0 0,4 2,0 13,1 254,3 2252,6 2520,0 Estratégas 3 deal 0,2 1,0 0,7 2,0 2,8 264,6 2252,6 2520,0 4 Acetável 0,6 1,1 0,2 1,9 15,7 251,7 2252,6 2520,0 5 deal 0,0 1,0 0,7 1,7 0,0 267,4 2252,6 2520,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 0,7 1,7 0,0 1007,4 2252,6 3260,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,1 1,7 2,8 0,0 557,4 2252,6 2810,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,1 1,7 2,8 0,0 557,4 2252,6 2810,0 FFD R Acetável 0,0 1,1 1,7 2,8 0,0 557,4 2252,6 2810,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,1 1,7 2,8 0,0 557,4 2252,6 2810,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,1 1,1 2,2 0,0 527,4 2252,6 2780,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,1 1,1 2,2 0,0 527,4 2252,6 2780,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,1 1,1 2,2 0,0 522,4 2252,6 2775,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 8 Resultados para os 100 exemplares da classe 6 10PDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 Acetável 1,8 1,0 1,1 3,9 43,8 196,9 5594,3 5835,0 2 ndeseável 1,2 1,7 1,0 3,9 30,4 210,3 5594,3 5835,0 Estratégas 3 deal 0,2 1,0 2,7 3,9 2,5 238,2 5594,3 5835,0 4 ndeseável 1,6 1,4 0,7 3,7 19,6 201,1 5594,3 5815,0 5 deal 0,3 1,0 2,6 3,9 5,6 235,1 5594,3 5835,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 3,3 4,3 0,0 905,7 5594,3 6500,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,1 4,8 5,9 0,0 730,7 5594,3 6325,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,1 4,7 5,9 0,0 725,7 5594,3 6320,0 FFD R Acetável 0,0 1,1 4,6 5,7 0,0 725,7 5594,3 6320,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,1 4,6 5,8 0,0 720,7 5594,3 6315,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,2 2,3 3,4 0,0 470,7 5594,3 6065,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,2 2,2 3,4 0,0 485,7 5594,3 6080,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,2 2,2 3,4 0,0 495,7 5594,3 6090,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 9 Resultados para os 100 exemplares da classe 7 10MDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 2,1 1,1 0,7 3,8 81,9 207,2 5315,9 5605,0 2 ndeseável 2,0 1,1 0,7 3,8 92,0 197,1 5315,9 5605,0 Estratégas 3 deal 0,4 1,0 2,4 3,8 3,3 285,8 5315,9 5605,0 4 ndeseável 2,1 1,1 0,6 3,8 100,2 188,9 5315,9 5605,0 5 deal 0,6 1,0 2,0 3,6 14,7 274,4 5315,9 5605,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 2,5 3,5 0,0 839,1 5315,9 6155,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,3 4,2 5,6 0,0 659,1 5315,9 5975,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,3 4,1 5,5 0,0 629,1 5315,9 5945,0 FFD R Acetável 0,0 1,4 4,2 5,5 0,0 659,1 5315,9 5975,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,3 4,1 5,5 0,0 629,1 5315,9 5945,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,3 2,2 3,5 0,3 513,8 5315,9 5830,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,3 2,2 3,5 0,0 504,1 5315,9 5820,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,3 2,2 3,5 0,1 509,0 5315,9 5825,0 Fonte: Expermentos computaconas 46

22 Tabela 10 Resultados para os 100 exemplares da classe 8 10MDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 5,6 1,1 1,8 8,4 208,2 232, , ,0 2 ndeseável 4,8 1,5 2,2 8,4 206,5 234, , ,0 Estratégas 3 Acetável 1,1 1,0 6,3 8,4 10,4 430, , ,0 4 ndeseável 5,8 1,5 1,5 8,7 281,0 254, , ,0 5 ndeseável 3,7 1,1 3,1 7,9 112,2 323, , ,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 7,0 8,0 0,0 960, , ,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,1 1,3 9,5 10,9 0,9 1099, , ,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,1 1,4 9,4 10,8 0,8 1079, , ,0 FFD R Acetável 0,0 1,4 8,4 9,7 0,0 860, , ,0 Gulosa R Acetável 0,1 1,4 8,2 9,7 0,6 945, , ,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,3 5,6 7,0 0,0 560, , ,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,3 5,6 6,9 0,0 555, , ,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,4 5,6 7,1 0,1 580, , ,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 11 Resultados para os 100 exemplares da classe 9 15PDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 deal 0,9 1,0 0,3 2,3 21,0 239,7 3314,3 3575,0 2 Acetável 0,7 1,2 0,5 2,3 15,1 245,6 3314,3 3575,0 Estratégas 3 deal 0,2 1,0 1,1 2,3 2,3 258,4 3314,3 3575,0 4 Acetável 0,9 1,2 0,3 2,4 22,8 237,9 3314,3 3575,0 5 deal 0,0 1,0 1,8 2,8 0,0 260,7 3314,3 3575,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 1,4 2,4 0,0 1210,7 3314,3 4525,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,1 2,8 3,8 0,0 530,7 3314,3 3845,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,1 2,7 3,8 0,0 530,7 3314,3 3845,0 FFD R Acetável 0,0 1,1 2,8 3,8 0,0 530,7 3314,3 3845,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,1 2,7 3,8 0,0 530,7 3314,3 3845,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,2 1,3 2,4 0,0 485,7 3314,3 3800,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,2 1,3 2,4 0,0 485,7 3314,3 3800,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,2 1,3 2,4 0,0 480,7 3314,3 3795,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 12 Resultados para os 100 exemplares da classe 10 15PDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 2,6 1,1 1,7 5,4 64,5 225,0 8390,5 8680,0 2 ndeseável 2,1 1,9 1,4 5,4 56,8 232,7 8390,5 8680,0 Estratégas 3 deal 0,3 1,0 4,1 5,4 3,5 286,0 8390,5 8680,0 4 ndeseável 2,6 1,6 1,2 5,3 66,3 223,2 8390,5 8680,0 5 Acetável 1,1 1,0 3,2 5,3 17,5 272,0 8390,5 8680,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 4,7 5,7 0,0 1044,5 8390,5 9435,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,1 6,7 7,8 0,1 849,4 8390,5 9240,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,2 6,7 7,8 0,0 854,5 8390,5 9245,0 FFD R Acetável 0,0 1,1 6,1 7,2 0,2 754,3 8390,5 9145,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,1 6,1 7,2 0,0 764,5 8390,5 9155,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,3 3,4 4,7 0,0 579,5 8390,5 8970,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,3 3,4 4,7 0,0 579,5 8390,5 8970,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,3 3,5 4,7 0,0 604,5 8390,5 8995,0 Fonte: Expermentos computaconas 47

23 Tabela 13 Resultados para os 100 exemplares da classe 11 15MDB Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 2,9 1,0 1,1 5,1 98,3 234,4 7857,3 8190,0 2 ndeseável 2,7 1,2 1,2 5,1 111,8 220,9 7857,3 8190,0 Estratégas 3 deal 0,5 1,0 3,6 5,1 4,7 328,0 7857,3 8190,0 4 ndeseável 3,0 1,2 1,0 5,2 136,5 186,2 7857,3 8180,0 5 Acetável 1,3 1,0 2,6 5,0 31,1 301,6 7857,3 8190,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 4,0 5,0 0,0 977,7 7857,3 8835,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,0 1,2 6,2 7,4 0,2 842,5 7857,3 8700,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,0 1,3 6,0 7,4 0,1 852,6 7857,3 8710,0 FFD R Acetável 0,0 1,2 6,1 7,4 0,2 857,5 7857,3 8715,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,3 6,0 7,3 0,1 897,6 7857,3 8755,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,4 3,2 4,6 0,1 567,6 7857,3 8425,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,4 3,2 4,6 0,1 567,6 7857,3 8425,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,4 3,3 4,6 0,1 567,6 7857,3 8425,0 Fonte: Expermentos computaconas Tabela 14 Resultados para os 100 exemplares da classe 12 15MDM Métodos de resolução Solução Quantdade Comprmento (u.c.) Perda Retalho Aprov. Total Perda Retalho Aprov. Total 1 ndeseável 7,5 1,1 3,7 12,3 279,3 419, , ,0 2 ndeseável 7,6 1,8 2,9 12,3 342,3 351, , ,0 Estratégas 3 Acetável 1,5 1,0 9,8 12,3 20,3 678, , ,0 4 ndeseável 8,3 1,7 2,5 12,4 391,6 297, , ,0 5 ndeseável 5,3 1,3 4,7 11,3 161,2 333, , ,0 5 Ref. deal 0,0 1,0 10,5 11,5 0,0 844, , ,0 Heurístcas FFD R Acetável 0,3 1,2 12,6 14,0 2,7 1071, , ,0 Construtvas Gulosa R Acetável 0,1 1,3 12,8 14,1 0,5 1088, , ,0 FFD R Acetável 0,0 1,3 11,6 12,9 0,2 819, , ,0 Gulosa R Acetável 0,0 1,3 11,5 12,9 0,1 869, , ,0 Heurístcas RAG Resduas R 1 Acetável 0,0 1,4 8,7 10,1 0,0 599, , ,0 RAG R 2 Acetável 0,0 1,4 8,7 10,1 0,0 594, , ,0 RAG R 3 Acetável 0,0 1,5 8,8 10,3 0,0 629, , ,0 Fonte: Expermentos computaconas 4. Dscussões Buscamos com este trabalho determnar soluções nteras para um Problema de Corte de Estoque com Aprovetamento de Sobras (PCES) por meo de um estudo computaconal dos modelos matemátcos propostos por Pnto (2008). Exploramos também uma reformulação do modelo matemátco da Estratéga 5, a qual denotamos por Estratéga 5 Reformulada (5R). A efcáca dos modelos fo analsada pela comparação dos resultados com os resultados de heurístcas propostas por Cherr e outros (2009), nos quas procedmentos heurístcos clásscos da lteratura (construtvos e resduas) que resolvem problemas de corte de estoque foram modfcados com a fnaldade de resolverem problemas de corte de estoque com sobras aprovetáves. Para sto, propomos um gerador aleatóro de classes de exemplares, varando-se a quantdade de tens, o 48

24 tamanho dos tens e/ou as quantdades demandadas, dando atenção especal a problemas com baxa demanda. Com relação à dentfcação das melhores soluções, percebemos que, embora todos os métodos de resolução apresentem soluções factíves, satsfatóras e pouco dscrepantes em alguns casos, a escolha do melhor método de resolução para um PCES não é trval, pos envolve a análse smultânea de dversos crtéros. De acordo com os crtéros utlzados para defnr uma solução deal, acetável ou ndeseada, conforme as classes vão crescendo em termos de dmensão e demanda dos exemplares, a concentração dos melhores resultados tende para a Estratéga 5R e para os procedmentos heurístcos, em partcular para os resduas RAG R 1, RAG R 2 e RAG R 3. De fato, embora para os exemplares da classe 5PDB as Estratégas 1, 2, 3, 4 e 5 apresentam um bom aprovetamento em relação ao total cortado, os resultados evdencaram o contráro, à medda que analsamos as classes seguntes. Em todas as classes estudadas os resultados da Estratéga 5R melhoram a superordade á salentada, pos seleconam um número reduzdo de barras, não geram perdas e concentram os retalhos em apenas uma barra. Abstract Como perspectvas futuras de contnudade e melhora deste trabalho, podemos ctar: - Uma varação dos modelos propostos por Pnto (2008), na tentatva de buscar soluções melhores que as á encontradas; - Estender os modelos para uma abordagem por geração de colunas; - Testar os métodos de resolução, por meo de exemplares com comprmentos e demandas maores, e verfcar como se comportam as soluções; - nvestgar, na lteratura, trabalhos que tratam do problema de corte de estoque com aprovetamento de sobras para o caso bdmensonal. A Cuttng Stock Problem (CSP) bascally conssts of cut a set of larger parts (raw materal) avalable n stock wth the am of produce smaller parts, optmzng a specfc obectve, whch can mnmze the amount of raw materal to be cut, as well as the generated leftovers by the process or the cost assocated to cut; maxmze the proft, among others. n ths context, the Cuttng Stock Problem Usng the Waste (CSPUW) focuses that queston amng at the better use of raw materal, that s, use the waste n a future cuttng process, as long as they offer condtons. What we seek, n ths work, fnd full solutons to a CSPUW by means of computatonal studes of mathematcal models proposed by Pnto (2008). We also explored a reformulaton of the mathematcal model of Strategy 5, by Pnto (2008), whch we call Reformulated Strategy 5 (5R). We analyzed the effcency of the models, consderng avalaton crtera establshed by Cherr et al (2009), by computatonal smulatons realzed n a set of classes of peces randomly generated. The results 49

25 show that, wth the ncrease of classes n terms of extent and demand of peces, the 5R strategy shows better results to heurstc procedure, specally the resdual RAGR1, RAGR2 e RAGR3. Key-words: cuttng stock problem; exploted of heurstc waste; random generator; nner lnear programmng problem. Referêncas ABUABARA, A. Otmzação no corte de tubos estruturas: aplcação na ndústra aeronáutca agrícola f. Dssertação (Mestrado em Engenhara de Produção) Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção, Unversdade de São Carlos, São Carlos, ABUABARA, A., MORABTO R., Modelos de programação ntera msta para o planeamento do corte undmensonal de tubos metálcos na ndústra aeronáutca agrícola. Gestão e Produção, v. 15, set./dez Dsponível em: < Aceso em: 31 an CHERR, A. C., ARENALES, N., YANASSE, H. H., The one dmensonal cuttng stock problems wth usable leftover: A heurstc approach. European Journal of Operatonal Research, v. 196, mao/abr CU, Y., YANG, Y., A heurstc for the one-dmensonal cuttng stock problem wth usable leftover. European Journal of Operatonal Research, v. 204, ul./out DASH OPTMZATON, Xpress-Mosel User Gude, DYCKHOFF, H. A typology of cuttng and packng problems. European Journal Operatonal Reserarch, v. 44, GAREY, M. R., JOHNSON, D. S., Computers and ntractablty: a gude to the NP-completeness. W. H., Freeman, GAU, T., WÄSCHER, CUTGEN: A problem generator for the standard one-dmensonal cuttng stock problem. European Journal Operatonal Reserarch, v. 84, GLMORE, P. C., GOMORY, R. E., A lnear programmng approach to the cuttng stock problem Part. Operatons Research, v. 11, nov./dez/ Dsponível em: < Acesso em 31 an GRADSAR, M., JESENKO, J., RESNOVC, C., Optmzaton of roll cuttng n clothng ndustry. Computers & Operatonal Reserarch, v GRADSAR, M., KLJAJC, M., RESNOVC, C., JESENKO, J., A sequental heurstc procedure for one-dmentonal cuttng. European Journal of Operatonal Reserarch, v. 114, GRADSAR, M., RESNOVC, C., KLJAJC, M., A hybrd approach for optmzaton of one-dmentonal cuttng. European Jounal of Operatonal Research, v. 119, GRADSAR, M., TRKMAN, P., A combned approach to the soluton to the general one-dmentonal cuttng stock problem. Computers & Operatonal Reserarch, v. 32, HOTO, R. S. V., MACULAN, N.; MARQUES, F., ARENALES, M. N., Um problema de corte com padrões compartmentados. Pesqusa Operaconal, Ro de Janero, v. 23, n. 1, an./abr Dsponível em: < Acesso em: 31 an PNTO, T. S., Uma proposta para resolver o problema de corte de estoque undmensonal com reaprovetamento de sobras por meo de dos obetvos. 68 f. Dssertação (Mestrado em Matemátca Aplcada e Computaconal) Programa de Pós-Graduação em Matemátca Aplcada e Computaconal, Unversdade Estadual de Londrna, Londrna,

26 POLD, K. C., ARENALES, M. N., Heurstcs for the one-dmensonal cuttng stock problem wth lmted multple stock lengths. Computers and Operatons Research, v. 36, n. 6, un./un., SNUANY-STERN, Z., WENER., The one dmensonal cuttng stock problem usng two obectves. Journal of Operatons Research Socety, v. 45, WÄSCHER, G., HAUβNER, H., SCHUMANN, H., An mproved typology cuttng and packng problems. European Journal of Operatonal Research, v. 183, set./dez Dados dos autores Nome completo: Eduardo Aparecdo da Rosa Neto Flação nsttuconal: Unversdade Estadual de Londrna UEL Endereço completo para correspondênca: Rua Elane Alvn Das, 344, Jardm mpéro do Sol, Londrna, PR, CEP: Telefone para contato: (43) e-mal: Nome completo: Robnson Samuel Vera Hoto Flação nsttuconal: Unversdade Estadual de Londrna UEL Endereço completo para correspondênca: Unversdade Estadual de Londrna UEL, Centro de Cêncas Exatas, Departamento de Matemátca SmuLab (Lab Smulação e Otmzação Sstemas), Rodova Celso Garca Cd, km 380, 344, Campus Unverstáro, Londrna, PR, CEP: Telefone para contato: (43) e-mal: hoto@uel.br Submetdo: Aceto: