UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF

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1 1 GRASP PARA OTIMIZAR O CARREGAMENTO DE UM CONTÊINER ETELVIRA CRISTINA BARRETO RANGEL LEITE UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO DE 2007

2 2 GRASP PARA OTIMIZAR O CARREGAMENTO DE UM CONTÊINER ETELVIRA CRISTINA BARRETO RANGEL LEITE Dssertação apresentada ao Centro de Cênca e Tecnologa, da Unversdade Estadual do Norte Flumnense, como parte das exgêncas para obtenção do título de Mestre em Engenhara de Produção. Orentador: Prof. Geraldo Galdno de Paula Júnor CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ MAIO DE 2007

3 3 GRASP PARA OTIMIZAR O CARREGAMENTO DE UM CONTÊINER ETELVIRA CRISTINA BARRETO RANGEL LEITE Dssertação apresentada ao Centro de Cênca e Tecnologa, da Unversdade Estadual do Norte Flumnense, como parte das exgêncas para obtenção do título de Mestre em Engenhara de Produção. Aprovada em 25 de mao de Comssão Examnadora: Prof. Euclydes Vera Neto (ISECENSA) Prof. Carlos Leonardo Ramos Póvoa (UENF) Prof. Rodrgo Tavares Noguera (UENF) Prof. Geraldo Galdno de Paula Júnor (UENF) Orentador

4 4 FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pela Bbloteca do CCT / UENF 05/2008 Lete, Etelvra Crstna Barreto Rangel GRASP para otmzar o carregamento de um contêner / Etelvra Crstna Barreto Rangel Lete. Campos dos Goytacazes, x, 73 f. : l. Dssertação (Mestrado em Engenhara de Produção) -- Unversdade Estadual do Norte Flumnense Darcy Rbero. Centro de Cênca e Tecnologa. Laboratóro de Engenhara de Produção. Campos dos Goytacazes, Orentador: Geraldo Galdno de Paula Júnor. Área de concentração: Pesqusa operaconal Bblografa: f Corte e empacotamento 2. Contêner 3. Otmzação 4. GRASP l. Unversdade Estadual do Norte Flumnense Darcy Rbero. Centro de Cênca e Tecnologa. Laboratóro de Engenhara de Produção li. Título CDD

5 5 DEDICATÓRIA Meu esposo Francsmáro, meus flhos Danel e Lucas, e a meus pas.

6 6 AGRADECIMENTOS Ao Senhor, meu Deus, pela oportundade que me concede de alcançar mas uma vtóra em mnha vda. Mas para mm, bom é aproxmar-me de Deus; ponho a mnha confança no Senhor Deus, para anuncar todas as suas obras. [Sal 73:28] Porque dele, e por meo dele, e para Ele são todas as cosas. A Ele, pos, a glóra eternamente. Amém. [Rom 11:36] Ao Professor Geraldo Galdno de Paula Júnor pela confança depostada no desenvolvmento deste projeto e pela amzade que compartlhamos. A mnha amga Cbelle Degel pelo apoo e confança em mm. Ao meu esposo, aos meus flhos e aos meus pas pelo amor, carnho, pacênca, apoo ncondconal, ncentvo e presença durante todos esses anos. A toda mnha famíla pelo apoo e palavras de ncentvo. E fnalmente a todos que, dreta ou ndretamente, contrbuíram na realzação desta dssertação. v

7 7 SUMÁRIO Lsta de Fguras...v Lsta de Tabelas...v Lsta de Abrevaturas...x Resumo...x Abstract...x 1. Introdução Problema da Pesqusa Classfcação dos Problemas de Corte Restrções-Chave Físcas Objetvo Hpótese Relevânca Organzação da Dssertação Fundamentação Teórca Estado da Arte Corte e Empacotamento Empacotamento Trdmensonal Problema do Contêner Algortmos Métodos Heurístcos GRASP v

8 8 3. Metodologa Tpo de Pesqusa Unverso e Amostra Tratamento dos Dados Modelagem do Problema Aplcação da GRASP ao Problema Algortmo GRASP-3D Varáves envolvdas no algortmo Pseudocódgo do algortmo GRASP-3D Resultados Computaconas Análse dos Resultados e Conclusão Análse dos Resultados Conclusão Referêncas Bblográfcas Apêndce A Apêndce B FICHA CATALOGRÁFICA... v

9 9 LISTA DE FIGURAS Fgura 1 (a) Objeto (barra) a ser cortado; (b) Objeto cortado produzndo 4 tens e uma perda Fgura 2 (a) Objeto (chapa) a ser cortado; (b) Objeto cortado Fgura 3 (a) Contêner; (b) Exemplo de empacotamento Fgura 4 Empacotamento de caxas no nteror de um contêner Fgura 5 Padrões de preenchmento no nteror de um contêner Fgura 6 Corte de tubos em estoque para atendmento à demanda Fgura 7 Problema de carregamento de contêner Fgura 8 Problema do corte de estoque bdmensonal Fgura 9 Algortmo GRASP Fgura 10 Fase de Construção da GRASP Fgura 11 Fase de Busca Local da GRASP Fgura 12 Prmera camada do contêner Fgura 13 Carregamento de caxas dentro do contêner Fgura 14 Colocação da caxa tpo (c,l,h ) na posção (x,y,z ) do contêner Fgura 15 Cração de novos espaços Fgura 16 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 17 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 18 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 19 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 20 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 21 Fluxograma GRASP-3D Parte Fgura 22 Fluxograma GRASP-3D Parte v

10 1 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Tpologa de alguns problemas de corte e empacotamento...7 Tabela 2 Dados do exemplo de George e Robnson (1980) Tabela 3 Resultados obtdos pelo Algortmo GRASP-3D Tabela 4 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 8 tpos de caxas Tabela 5 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 12 tpos de caxas Tabela 6 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 20 tpos de caxas Tabela 7 Métodos de solução propostos por Cecílo e Morabto Tabela 8 Resultados obtdos pelos métodos propostos por Cecílo e Morabto Tabela 9 Comparatvo do resultado obtdo Tabela 10 Dados Aleatóros com 306 caxas Tabela 11 Dados Aleatóros com 453 caxas Tabela 12 Dados Aleatóros com 679 caxas Tabela 13 Dados Aleatóros com 471 caxas Tabela 14 Dados Aleatóros com 614 caxas Tabela 15 Dados Aleatóros com 785 caxas Tabela 16 Dados Aleatóros com 661 caxas Tabela 17 Dados Aleatóros com 458 caxas Tabela 18 Dados Aleatóros com 930 caxas v

11 . 2 LISTA DE ABREVIATURAS CEAC DDR GLS GRASP INPE ISO ITA LRC RAM UENF UFSCAR USP Cortes e Empacotamento Assstdos por Computador Double Data Ratng Guded Local Search Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas Internatonal Standardzaton Organzaton Insttuto Tecnológco de Aeronáutca Lsta Restrta de Canddatos Random Access Memory Unversdade Estadual do Norte Flumnense Unversdade Federal de São Carlos Unversdade de São Paulo x

12 3 RESUMO Otmzar a ocupação de um espaço trdmensonal semelhante a um contêner pode ser vsto como um caso especal do problema de corte. Desta forma esse problema pode ser entenddo como aquele em que pequenas undades são empacotadas em uma undade maor. Além dsso, as operações de empacotamento podem ser modeladas como um problema de otmzação combnatóra onde o ótmo de uma função objetvo é procurado. Os tens requerdos podem ser combnados dentro de um contêner de váras maneras, sendo respetado um grupo de restrções semelhantes àquelas no processo de corte. Essas combnações são chamadas planos de corte. O número de possíves planos de corte é, na prátca, muto alto, demandando técncas bem elaboradas para determnar o plano ótmo. Além de tratar com os prncpas fatores que contrbuem para otmzar a ocupação de um espaço trdmensonal, esta dssertação enumera as prncpas característcas para a classfcação do problema, bem como as restrções-chave com ele assocadas. Do lado da solução a pesqusa aplca um estudo baseado no algortmo GRASP para procurar a melhor forma de preencher um contêner. Os prncpas fatores que nfluencaram a GRASP foram a cardnaldade da lsta de canddatos, a função gulosa e o procedmento de busca local. O algortmo proposto fo testado através de um software desenvolvdo especfcamente para os expermentos computaconas contdos nesta dssertação, e os resultados obtdos foram relatados junto com sua análse. Palavras-chave: Corte e Empacotamento, Contêner, Otmzação, GRASP. x

13 4 ABSTRACT Optmzng the occupaton of a three-dmensonal space lke a contaner can be seen as a specal case of the cuttng stock problem. In ths way ths problem may be vewed as one n wch smaller unts are packed nto a larger one. Moreover, the packagng operatons can be modeled as a combnatoral optmzaton problem where the optmum of an objectve functon s sought. The tems requested can be combned wthn the contaner n countless ways, beng respected a group of constrants lke those n the cuttng stock process. These combnatons are called cuttng plans. The number of possble cuttng plans s, n practce, very hgh, demandng technques well elaborated to determne the optmum plan. Besdes dealng wth the man factors that contrbuted to optmzng the occupaton of a three-dmensonal space, ths dssertaton enumerates the man characterstcs for the classfcaton of the problem as well as the physcal restrcton-keys assocated wth t. On the soluton sde the research apples a study based on the GRASP algorthm to seek the best possble completon of a contaner. The man factors nfluencng the GRASP were the cardnalty of the canddates lst, the greedy functon and the procedure for local search. The proposed algorthm was tested through a software developed specfcally to the computatonal experments contaned n ths dssertaton and the results obtaned were reported along wth ts analyss. Keywords: Cut and Packng, Contaner, Optmzaton, GRASP. x

14 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 Problema da Pesqusa A otmzação da ocupação de espaços trdmensonas pode ser vsta como um caso especal dos problemas de corte e empacotamento (MORABITO; ARENALES, 1994), fator mportante nas atvdades logístcas de movmentação, armazenagem e transporte de produtos, mplcando, por exemplo, a redução de custos destas atvdades, bem como a redução do tempo de carregamento e descarregamento de contêneres. Segundo Cecílo e Morabto (2004), na prátca, o problema aparece em dos casos: () quando uma combnação de contêneres deve ser escolhda para transportar uma dada carga, e () quando o maor volume de uma dada carga deve ser escolhdo para ser transportado em um únco contêner. Numa ndústra, cortes e empacotamento consttuem componentes mportantes na formação do custo fnal dos produtos; logo, qualquer redução de custos é sempre bem-vnda para as empresas e ndústras. Porém, trata-se de um problema de otmzação combnatóra NP-dfícl que, na prátca, é extremamente dfícl de ser resolvdo por algortmos exatos para a obtenção da solução ótma, uma vez que esta requer muto tempo de processamento computaconal. Para contornar essa restrção de tempo utlzam-se heurístcas, que nem sempre garantem a solução ótma, mas, provavelmente, garantam solução vável e de boa qualdade, com baxo esforço computaconal, conforme destacam Constantno e Gomes Júnor (2002). Problemas de natureza combnatóra na área de corte e empacotamento são objetos de pesqusa desde a década de 60, como se pode constatar em estudos de Glmore e Gomory (1961). Também Pold e Arenales (2003) chamam a atenção para o fato de que a mportânca técnca e econômca das aplcações prátcas e a dfculdade de desenvolver métodos de soluções efcazes que garantam poder encontrar boas soluções em tempos computaconas razoáves têm motvado mutas pesqusas na área.

15 2 Verfca-se que, contraramente ao Empacotamento Undmensonal e ao Bdmensonal, o problema de Empacotamento Trdmensonal começou a ser pesqusado, mas ntensvamente, há pouco mas de dez anos. Conforme especfcado em Slva e Soma (2003), há quantdade restrta de trabalhos publcados relatando tas problemas de empacotamentos trdmensonas. A problemátca desta dssertação tem como objeto de pesqusa a otmzação dos processos ndustras para ocupação de espaços trdmensonas, usando uma varação da metodologa de empacotamento trdmensonal de base retangular. A questão é: como arranjar o maor volume possível de caxas, de baxa densdade, dentro de um únco contêner, de modo que a perda em forma de não preenchmento seja mínma? 1.2 Classfcação dos Problemas de Corte Problemas de Corte e Empacotamento aparecem na lteratura sob uma termnologa bastante dferencada como, por exemplo, problema de corte de estoque, problema de empacotamento de bns, problema de carregamento de paletes, contêneres, etc. Tas problemas, segundo Pold e Arenales (2003), podem ser classfcados de acordo com as dmensões relevantes do objeto a ser cortado. Segundo a tpologa de Dyckhoff (1990), os problemas de corte e empacotamento são classfcados conforme as característcas geométrcas e combnatóras dos objetos, procurando-se ntegrar as váras característcas a fm de facltar o relaconamento entre elas. As prncpas característcas e seus respectvos tpos, mas comumente ctados, são denotados com símbolos. No estabelecmento da tpologa, as característcas foram agrupadas em quatro crtéros báscos, descrtos a segur, usados para classfcar os problemas:

16 3 1. Dmensonaldade: Está relaconada ao número de dmensões do objeto que são relevantes durante o processo de corte, tas como: (1) o problema é undmensonal, quando apenas uma das dmensões do objeto é relevante no processo do corte. Exemplo: corte de barras de alumíno, aço, etc. Fgura 1 (a) Objeto (barra) a ser cortado; (b) Objeto cortado produzndo 4 tens e uma perda. Fonte: POLDI e ARENALES, 2003 (2) o problema é bdmensonal, quando duas dmensões do objeto são relevantes no processo de corte. Exemplo: corte de chapas retangulares de madera, chapas de aço, etc. Fgura 2 (a) Objeto (chapa) a ser cortado; (b) Objeto cortado. Fonte: POLDI e ARENALES, 2003

17 4 (3) o problema é trdmensonal, quando três dmensões do objeto são relevantes no processo do corte. Exemplo: corte de espumas para fabrcação de colchões, travesseros, etc. Suas aplcações mas nteressantes ocorrem na solução de um problema contráro ao de corte, o chamado problema de empacotamento, que consste, bascamente, em empacotar undades pequenas dentro de uma undade grande, de tal forma que um certo objetvo seja otmzado. Fgura 3 (a) Contêner; (b) Exemplo de empacotamento. Fonte: POLDI e ARENALES, 2003 (n) o problema é n-dmensonal, ou multdmensonal, quando n dmensões (n >3) do objeto são relevantes no processo de corte. Exemplo: empacotamento de caxas de comda em fornos para cozmento (neste caso, o tempo de cozmento representa a quarta dmensão), no problema de alocação de tarefas.

18 5 Além das classes ctadas anterormente, pode-se nclur a referda como n ½ - dmensonal quando n+1 dmensões do objeto são relevantes no processo de corte e uma delas é varável. Exemplo: no corte de rolos de tecdos, o objeto possu uma largura fxa, porém seu comprmento é varável. Note que duas dmensões são relevantes no processo de corte, porém este dfere do problema bdmensonal (ou do undmensonal). Neste caso, o problema é dto ser do tpo 1 ½ - dmensonal. 2. Tpo de alocação: Indca que os tens a serem produzdos serão combnados, respetando-se restrções assocadas ao objeto. Itens e objetos podem ser seleconados de acordo com as seguntes possbldades de combnação: (B) alguns tens são atrbuídos a todos os objetos. Exemplos: problema da mochla, problema do carregamento de pálete. (V) todos os tens são atrbuídos a alguns objetos. Exemplos: problema do carregamento de veículos, problema do corte de estoque, problema do balanceamento de uma lnha de montagem, problema de alocação de memóra, problema de alocação de tarefas. 3. Varedade dos objetos: É um atrbuto relaconado ao tpo e aparênca dos objetos. A varedade é representada da segunte manera: (O) apenas um objeto. Exemplos: problema da mochla, problema do carregamento de pálete.

19 6 (I) objetos de mesmo formato, tamanho e orentação. Exemplos: problema do carregamento de veículos, problema de alocação de memóra. (D) objetos de város formatos, tamanhos e orentações. Exemplo: problema de corte envolvendo partes de objetos (resíduos) de períodos anterores. 4. Varedade dos tens: É um atrbuto relaconado ao tpo e aparênca dos tens. Quanto à varedade, os tens podem ser classfcados como: (F) poucos tens de dferentes aparêncas (formatos, tamanhos e orentações). Exemplo: problema do carregamento de veículos. (M) mutos tens de mutas aparêncas dferentes. Exemplo: problema da alocação de memóra. (R) mutos tens, porém, pouca varedade de tpos de tens. Exemplo: problema do corte de estoque bdmensonal. (C) tens congruentes (possuem formatos e tamanhos guas). Exemplo: problema do carregamento de pálete. Com esses crtéros Dyckhoff classfcou, de forma consstente e sstemátca, os dversos tpos de Problemas de Corte e Empacotamento, agrupando-os em classes, defndas através de uma quádrupla ( α / β / γ / δ ), em que α, β,γ e δ correspondem, respectvamente, aos crtéros 1, 2, 3 e 4 defndos anterormente.

20 7 A Tabela 1 mostra alguns problemas clásscos de corte e empacotamento encontrados na lteratura, com as suas respectvas tpologas. Tabela 1 Tpologa de alguns problemas de corte e empacotamento. Problema Tpo Mochla clássco Mochla multdmensonal Carregamento de palete Carregamento de veículos Carregamento de contêner Bn packng clássco Bn packng dual Bn packng bdmensonal Cuttng stock clássco Cuttng stock bdmensonal 1/B/O/ /B/O/ 2/B/O/C 1/V/I/F ou 1/V/I/M 3/V/I/ ou 3/B/O/ 1/V/I/M 1/B/O/M 2/V/D/M 1/V/I/R 2/V/I/R Cuttng stock generalzado 1/ / /, 2/ / / ou 3/ / / Balanceamento de uma lnha de montagem Alocação de tarefas em multprocessador Alocação de memóra Câmbo monetáro Investmento fnancero em multperódcos 1/V/I/M 1/V/I/M 1/V/I/M 1/B/O/R n/b/o/ Fonte: VELASCO, 2005 O problema proposto nesta dssertação é classfcado como um problema de empacotamento do tpo 3/B/O/, sto é, o problema é trdmensonal; o contêner deve ter seu volume preenchdo de forma máxma, mas nem toda carga, necessaramente, será empacotada; consderamos apenas um contêner.

21 8 Na Fgura 4, tem um contêner, que está preenchdo com as caxas retangulares de formas dêntcas e quantdades varadas, e ambos, contêner e caxas, apresentam-se com dmensões defndas. Fgura 4 Empacotamento de caxas no nteror de um contêner. Fonte: CECÍLIO e MORABITO, Restrções-Chave Físcas Para preenchmento de um contêner é necessáro que haja uma polítca que determne a ocupação do espaço nterno do contêner. Nesse sentdo, assumem-se restrções-chave físcas assocadas a este problema. Exstem váras restrções que podem ser encontradas na lteratura, como em Moroka e Roncon (2002). Algumas delas serão descrtas a segur: Uma delas é a não-sobreposção: as caxas devem ser posconadas de modo a não ocuparem o mesmo espaço. Como as superfíces de contato não são perfetas, alguns artgos, como os produzdos por George e Robnson (1980 apud CECÍLIO; MORABITO, 2004), defnem folgas entre as caxas para evtar problemas de encaxe. A outra restrção refere-se ao fato de que os tens devem ntegralmente estar contdos no contêner, respetando suas dmensões.

22 9 As restrções de orentação, por exemplo, podem ser mportantes quando a orentação é fxada (caxas fráges que não podem ser vradas de ponta cabeça). Outras condções são: a establdade (capacdade de evtar que o carregamento movmente-se durante o transporte); agrupamento de tens (tens guas juntos, ou devdo ao fato de serem descarregados juntos); a separação de tens (cujo contato deve ser evtado, como almentos e remédos); o carregamento completo de tens (como peças de uma mesma máquna); a dstrbução de peso dentro do contêner (dstrbução unforme). Enfm, dentfca-se a complexdade na qual se nsere o problema e percebese que podem exstr váras possbldades de padrões de empacotamento a fm de se mnmzarem as perdas de espaços desocupados dentro do contêner, vsando encontrar soluções váves para o problema apresentado. A Fgura 5 apresenta alguns dos padrões a serem produzdos. Fgura 5 Padrões de preenchmento no nteror de um contêner. Fonte: Fgura do autor

23 Objetvo O problema abordado consste em preencher o contêner, com a máxma ocupação possível, por tens de faces retangulares, de modo que os espaços vazos no preenchmento sejam mínmos, consderando que os tens são de baxa densdade, para que haja o equlíbro da carga quando do emplhamento dos tens. Assm, esta dssertação tem como objetvo produzr um algortmo que encontre boas soluções fundamentadas na GRASP (Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure) para solução do problema apresentado. Pretende-se analsar a utlzação da técnca de otmzação, através de métodos de solução aproxmada, como meta-heurístca, que se tem destacado nos últmos trabalhos caracterzando-se como métodos efcentes para solução de problemas de otmzação. O propósto do presente estudo é a aplcação de uma metodologa, voltada para o carregamento de um contêner, mostrando a vabldade da aplcação prátca desta metodologa para obtenção da melhor forma de mnmzar as perdas do espaço dentro de um contêner. 1.5 Hpótese Partndo do fato de que o problema de preenchmento de contêner é de otmzação combnatóra, e que é necessáro encontrar uma solução vável, com baxo esforço computaconal, a pesqusa que aqu se apresenta é a mplementação de um procedmento baseado na meta-heurístca GRASP, que tem como aplcação prncpal o melhor preenchmento possível de um contêner, com maor número possível de tens, de modo que a perda em forma de não preenchmento seja mínma quando do empacotamento dos tens.

24 11 Serão consderados tens de formas retangulares em todas as faces, de pesos próxmos e de baxa densdade para que não haja desequlíbro; também, os mesmos poderão ser rotaconados, sendo ndcada a quantdade de cada tem. A utlzação de meta-heurístcas não garante que se encontre a solução ótma de um problema, mas é capaz de retornar solução de qualdade em um tempo adequado. Consste na aplcação, em cada passo, de uma heurístca subordnada, projetada especfcamente para o problema partcular a ser resolvdo. Dversas propostas de meta-heurístcas surgram, nos últmos anos, mpulsonadas pelos problemas. Dentre as meta-heurístcas, a GRASP destaca-se pelos bons resultados obtdos nas aplcações já realzadas e pela facldade de paralelzação e, prncpalmente, por sua flexbldade (SILVEIRA e TOSCANI, 1999). Segundo Vera Neto (2004), a GRASP tem apresentado resultados bastante satsfatóros para o Problema de Corte Undmensonal, e para o Problema de Corte Bdmensonal, conforme ressalta Velasco (2005). Desta forma, a meta-heurístca GRASP para solução de Problemas de Empacotamento Trdmensonal mostra-se como uma metodologa extremamente promssora. A heurístca proposta construrá soluções váves que poderão fornecer padrões de empacotamento para preenchmento de contêner. 1.6 Relevânca Esta dssertação vsa promover e contrbur para o desenvolvmento centífco e tecnológco, bem como para a formação de um aprmoramento do processo produtvo, que necessta otmzar a ocupação dos espaços trdmensonas. Carregamento de tens em contêneres é uma mportante atvdade de manpulação em ndústras de fabrcação e dstrbução. Produtos são embalados em caxas retangulares para proteção e manuseo, sendo estas caxas emplhadas e posconadas no nteror de contêneres para transporte e armazenagem. Esse processo pode ser efetuado de modo manual ou automátco. Assm, esse tpo de

25 12 problema tem aplcações mportantes no planejamento de transporte rodováro, aéreo, marítmo, etc. (PERIN et al., 2003). Uma das motvações para a presente pesqusa é a sua relevânca acadêmca, uma vez que estará contrbundo para a resolução do problema de carregamento de contêner. A referda pesqusa trará contrbuções para a melhora dos processos produtvos, bem como poderá tornar vável a automação de alguns processos como, por exemplo, no caso de empresas que precsam fazer entrega de produtos, momento em que a otmzação de empacotamento é a essênca no que se refere ao número de contêneres necessáros para garantr a entrega com menor custo. As empresas poderão se benefcar com os ganhos advndos do esforço de pesqusa que aqu se propõe. 1.7 Organzação da dssertação A presente dssertação, no Capítulo 1 Introdução esclarece os prncpas fatores que contrbuíram para a proposta de uma dscussão sobre as aplcações que demandam otmzação da ocupação dos espaços trdmensonas e enumera tanto as característcas prncpas para a classfcação do problema como as restrçõeschave físcas que a ele estão assocadas. Também defne o objetvo e ressalta a relevânca do trabalho realzado, ao mesmo tempo, que expõe a organzação da dssertação. O Capítulo 2 Fundamentação Teórca descreve os prncpas tópcos do referencal teórco construído para a concepção desta pesqusa, estando dvddo em sete seções. A prmera delas expõe uma breve revsão bblográfca acerca de algumas publcações relaconadas ao problema em questão, em ordem cronológca; a segunda parte defne o problema de corte e empacotamento; a tercera defne a resolução do empacotamento trdmensonal; a segur, a quarta parte ressalta o problema do contêner como um dos problemas trdmensonas, dando ênfase às suas versões; a qunta seção defne algortmos; a sexta parte defne métodos heurístcos e suas dferenças; e a sétma descreve os concetos teórcos que compõem a meta-heurístca GRASP.

26 13 O Capítulo 3 Metodologa explca o tpo de pesqusa adotado, o unverso de pesqusa e a amostra, o tratamento dos dados. Defne, também, a modelagem do problema de preenchmento de contêner e descreve o algortmo GRASP-3D aplcado ao problema apresentado, apresentando, tanto as varáves envolvdas como o pseudocódgo. O Capítulo 4 Resultados Computaconas apresenta os resultados obtdos nos testes computaconas com o algortmo GRASP-3D e a aplcação desta para solução do problema que demanda otmzar a ocupação dos espaços trdmensonas. O Capítulo 5 Análse dos Resultados e Conclusão é dedcado à análse dos resultados obtdos nos testes computaconas com o algortmo proposto. Além dsso, apresenta algumas conclusões constatadas, bem como sugestões para trabalhos futuros. Também constam do trabalho realzado as Referêncas Bblográfcas com a ndcação dos prncpas textos utlzados na abordagem da problemátca, além da apresentação de sugestões de letura.

27 14 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 Estado da Arte Problemas de corte começaram a ser estudados por volta de 1940, embora as prncpas pesqusas tenham surgdo, efetvamente, apenas nos anos 60. Segundo os estudos de Pold e Arenales (2003), as pesqusas na área têm camnhado no sentdo de desenvolver técncas heurístcas adequadas para a resolução de tas problemas. As pesqusas têm sdo realzadas tratando dferentes stuações do problema de corte e empacotamento, sto é, são estratégas heurístcas alternatvas dedcadas a propostas de soluções, o que ndca a mportânca, tanto acadêmca quanto prátca, do problema de corte e empacotamento. É possível nferr que, a partr do que fo consultado, o problema pode ser modelado segundo uma formulação matemátca; porém, nos casos prátcos, o número de varáves e restrções chega à ordem de mlhões, conforme assnalam MORABITO e ARENALES (1997). Observa-se, também, que, mesmo para problemas, prncpalmente de empacotamento trdmensonal, a resolução prátca torna-se computaconalmente nvável. De acordo com a pesqusa bblográfca realzada na lteratura especalzada na abordagem de corte e empacotamento, dversas varações do problema foram apresentadas e mutas técncas e algortmos já foram desenvolvdos. No estudo de tal questão, as varações podem, segundo dados de Klen (2006), ocorrer através de alterações nas restrções, mudanças de objeto e, anda, podem ser problemas que consderem dmensões dferentes como a undmensonal, bdmensonal e trdmensonal. Uma das pesqusas poneras na resolução do problema de empacotamento trdmensonal é a desenvolvda por George e Robnson (1980), conhecda pela sua smplcdade, flexbldade de mplantação nas stuações reas, em relação a outros

28 15 métodos descrtos na lteratura (CECÍLIO; MORABITO, 2004). A abordagem de George e Robnson consdera camadas vertcas, prorzando-se o carregamento de caxas maores. Em Shethauer (1992), propõe-se um algortmo aproxmado baseado no forward state strategy de programação dnâmca. Uma descrção adequada de empacotamento é desenvolvda para a mplementação do algortmo aproxmado. No trabalho desenvolvdo por Corcoran e Wanwrght (1992) há uma aplcação de Algortmo Genétco, resolvendo o caso de preenchmento de tens por ntermédo de faxas bdmensonas. Em Morabto e Arenales (1994) são revstos métodos descrtos pelos autores, tas como os procedmentos em duas etapas de carregamento das caxas em camadas horzontas e em plhas vertcas; a aplcação de técncas de programação dnâmca e, em partcular, revêem-se métodos de busca baseados na representação do espaço de soluções num grafo-e/ou. Algumas dessas abordagens foram mplementadas para resolver um exemplo real com 784 caxas, e um exemplo pequeno, mas dfícl, com apenas 17 caxas. Em Bschoff e Ratclff (1995), é apresentada uma heurístca voltada para stuações mult-drop, sto é, consdera-se um camnhão com város pontos de descarregamento. O carregamento que va ser entregue por últmo é, prefervelmente, alocado ao fundo. Chen et al. (1995) desenvolveram um modelo analítco, no qual se nclu o empacotamento trdmensonal de forma ndreta. O modelo consste em seleconar um número de contêneres para empacotar um conjunto dado de tens. Confgura-se o ctado modelo por ser de programação lnear ntera msta zero-um e, mesmo para problemas pequenos, sua resolução prátca torna-se computaconalmente nvável. Uma revsão dos trabalhos publcados nesta área de nteresse é apresentada em Dyckhoff et al. (1997) que passa pela hstóra e desenvolvmento dos problemas de corte e empacotamento, além de se relaconarem artgos para uma grande dversdade de problemas abordados pelos autores.

29 16 Em Morabto e Arenales (1997) são aplcados os grafos E/OU, com cortes gulhotnados. Nessa proposta, o contêner orgnal é dvddo em duas partes totalmente separadas; essas duas partes são separadas em mas duas e assm sucessvamente até que o espaço abrgue apenas uma caxa, ou seja, torna-se tão pequeno que não consga abrgar nenhuma outra caxa. Martello et al. (1997) apresentam uma avalação das recentes técncas para resolver problemas na versão 0-1 knapsack, com ênfase especal na adção de restrção de cardnaldade, programação dnâmca e dvsbldade rudmentar. Resultados computaconas são apresentados comparando todos recentes algortmos. Uma adaptação de uma nova metodologa de aproxmação para problemas da otmzação combnatóra, denomnada Busca Local Dreconada (GLS) é apresentada em Psnger et al. (1999). Em Martello et al. (2000), tem-se o prmero algortmo exato para o problema de empacotamento trdmensonal, para o qual uma abordagem branch-and-bound fo utlzada. Neste, duas heurístcas são propostas: H1 e H2. A heurístca H1 aloca tens dentro de um contêner de acordo com uma varação do preenchmento por camadas, sugerdo em George e Robnson (1980); sendo que os pontos de nserção são pontos de cantos bdmensonas. A heurístca H2 faz uma enumeração em árvore, onde os vértces são pontos de cantos trdmensonas. Esta fo mplementada e testada, mas devdo à grande quantdade de nós gerados pela árvore de busca, não fo possível a execução da mesma na máquna utlzada. Uma nova heurístca é proposta em Psnger (2002), baseada na aproxmação de wall-buldng. Propõe-se a decomposção do problema em váras camadas que, novamente, são separadas em váras tras. O empacotamento pode ser formulado e resolvdo como um problema de mochla, com capacdade gual para a largura ou altura do recpente. A profunddade de uma camada como também a espessura são decddas por uma aproxmação branch-and-bound. Em Cecílo e Morabto (2001), apresentam-se refnamentos da heurístca de George e Robnson (1980), ao preencher o contêner em camadas e combnar espaços, vsando à melhora do empacotamento. Aqueles pesqusadores alteraram

30 17 alguns procedmentos destes com a fnaldade de aprmorar a solução alcançada, crando duas novas versões da heurístca proposta por George e Robnson. Slva e Soma (2003) apresentam um algortmo polnomal na quantdade de recursos computaconas utlzados, tendo como maor contrbução consderações sobre a establdade estátca da carga. O procedmento realzado para o preenchmento dos tens dentro dos bns utlza o prncípo da alocação em pontos de cantos. Cecílo e Morabto (2004) abordam o problema do carregamento de caxas dentro de contêneres. Heurístcas são propostas para resolver a questão, baseada em extensões e refnamentos da conhecda heurístca de George e Robnson. Expermentos computaconas a partr de exemplos ctados na lteratura, e stuações reas de carregamento de contêneres foram realzados, sendo os resultados obtdos comparados com resultados de outros métodos. Arenales et al. (2004), têm como objeto de estudo os problemas de corte e empacotamento, cuja solução é essencal para o planejamento da produção em dversas ndústras. O texto elaborado tem como base notas, apostlas de cursos ou mncursos sobre corte e empacotamento, preparados e mnstrados anterormente pelos autores. No referdo trabalho foram reproduzdos dversos trechos dessas notas e/ou apostlas, o que ressalta a mportânca econômca da pesqusa, alada à dfculdade de resolução de problemas de corte e empacotamento. Isso vem comprovar o envolvmento da comundade acadêmca na busca de métodos que levam a soluções efcentes para um problema que, conforme já fo apontado, traz dfculdades para o processo produtvo. Em CEAC (1999) apresenta um projeto temátco na área de corte e empacotamento assstdo por computador. Este projeto englobava quatro unversdades: USP-São Carlos, UFSCAR-São Carlos, ITA-São José dos Campos e INPE-São José dos Campos, Estado de São Paulo e teve como objetvos: o desenvolvmento de algortmos para resolução de problemas ndustras de natureza combnatóra, bem como achar aplcabldade dos resultados obtdos das pesqusas e ntegrar pesqusadores de todo o Brasl que já vnham desenvolvendo trabalhos na área de corte e empacotamento. O projeto temátco fo responsável pelo desenvolvmento centífco e tecnológco bem como a formação de recursos

31 18 humanos na área de corte e empacotamento assstdo por computador, durante sua execução foram abordados tópcos mportantes e desafantes. É mportante destacar que essas e tantas outras aplcações, que podem utlzar algortmos de corte e empacotamento, provocaram um aumento sgnfcatvo nos estudos relaconados a problemas dessa área. 2.2 Corte e Empacotamento Segundo Arenales et al. (2004), o problema de empacotamento consste, genercamente, em empacotar undades pequenas dentro de uma undade grande, de forma que certo objetvo seja otmzado. Um exemplo desse problema consste em arranjar o maor volume possível de caxas dentro de um contêner. Por outro lado, o problema de corte, de forma genérca, consste em cortar uma undade grande (objeto), que esteja dsponível, para a produção de um conjunto de undades pequenas (tens) que estão sendo requstadas. As formas e meddas do objeto e dos tens são bem especfcadas. Cortar undades maores em undades menores, ou empacotar undades menores dentro de undades maores, são problemas dêntcos, consderando que um tem cortado de certa posção pode ser pensado como alocado àquela posção. Por esse motvo, problemas desta classe são referdos como problemas de corte e empacotamento. Dependendo dos tens solctados, pode-se combná-los dentro de um objeto de númeras maneras, respetando-se um conjunto de restrções do processo de cortagem. A essas combnações denomnamos planos de corte. O plano de corte ótmo é aquele que produz, por exemplo, a menor perda. O número de planos de corte possíves é, na prátca, muto elevado, exgndo que técncas bem elaboradas sejam desenvolvdas para determnar o plano ótmo. Segundo Dyckhoff (1990), a estrutura lógca básca dos problemas de corte e empacotamento pode ser faclmente percebda se olharmos os problemas 1, 2 e 3 a segur.

32 19 Problema 1: O corte de tubos para equpamentos de calefação (Fgura 6). Consdere que exsta um estoque lmtado de tubos grandes, de tamanho 98cm, usados para a produção de tubos menores, e uma lsta de tubos menores, com tamanhos entre 5 e 46cm, que devem ser produzdos para atender a uma demanda semanal (HEICKEN; KÖNG, 1980, apud DYCKHOFF, 1990) Fgura 6 Corte de tubos em estoque para atendmento à demanda. Fonte: FIGUEIREDO, 2005 Problema 2: O carregamento de contêneres (Fgura 7). Este tpo de problema também apresenta dos grupos de dados: um estoque de objetos, consstndo de um ou mas contêneres e uma lsta de tens que deverão ser alocados dentro do(s) contêner(es) (GEHRING et al, 1990; HAESSLER; TALBOT, 1990; apud DYCKHOFF, 1990).

33 20 Fgura 7 Problema de carregamento de contêner. Fonte: FIGUEIREDO, 2005 Problema 3: O corte de placas de madera para a confecção de móves (Fgura 8). Consste em encontrar a melhor forma de cortar um objeto retangular, para a produção de tens, também retangulares (DYCKHOFF, 1990). Fgura 8 Problema do corte de estoque bdmensonal. Fonte: FIGUEIREDO, 2005

34 Empacotamento Trdmensonal A defnção do problema de empacotamento trdmensonal de objetos, com faces retangulares, consste em empacotar um conjunto de tens em um objeto. Assm, o objetvo é maxmzar ou mnmzar uma determnada função, conforme afrma Klen (2006). Neste caso, os produtos deverão ser arranjados em grandes espaços, de tamanhos padronzados prevamente projetados, como, por exemplo, caxas de papelão ou madera, contêneres, etc. Entretanto, esse procedmento ntroduz um novo estágo a operação de empacotamento que nem sempre consegue preencher todos os espaços dsponíves (nas caxas, contêneres, etc), gerando espaços ocosos, os quas serão, conseqüentemente, armazenados e/ou transportados juntamente com os tens produzdos. Surge então a necessdade de planejar o empacotamento de modo a mnmzar os espaços ocosos (ARENALES et al., 2004). Segundo Slva e Soma (2003), a motvação prátca para o estudo do empacotamento trdmensonal vem da grande quantdade de aplcações ndustras, as quas varam do carregamento de cargas de avões ao seqüencamento de tarefas em ambentes multprocessados. 2.4 Problema do Contêner Klen (2006) ressalta que o problema do contêner é um dos problemas trdmensonas mas estudados, dando ênfase às suas duas prncpas versões, a knapsack e a bn packngs. O objetvo de qualquer uma das versões consste em um conjunto de caxas que deve ser colocado em um contêner, de forma que se maxmze ou mnmze uma função. Essa função pode varar de acordo com a defnção do problema, mas, em geral, refere-se ao volume empacotado.

35 22 Na versão knapsack (mochla) exste apenas um contêner e não exste a garanta de que todos os tens serão empacotados. Cada caxa possu um valor assocado e o objetvo é alcançar um valor total máxmo. Na versão bn packng o objetvo é empacotar todas as caxas do conjunto, tendo dsponível para sso mas de um contêner. O objetvo é fazer com que o número de contêneres necessáros seja o menor possível. Neste caso, os contêneres possuem o mesmo tamanho. Quando os contêneres varam de tamanho, o problema é conhecdo como mult-contaner loadng. Além do arranjo geométrco das caxas dentro de cada contêner, outras restrções devem ser consderadas. Mutas restrções que ocorrem na prátca estão sendo adconadas aos problemas como, por exemplo, a capacdade de peso máxmo que o contêner pode suportar, e a establdade do carregamento (que são verfcadas movmentando-se o carregamento produzdo). Bschoff (2003) ressalta que mportantes avanços têm ocorrdo, não apenas na busca de solução para esses problemas, mas também ao se consderarem outros fatores que aumentam a dfculdade de resolução dos problemas. 2.5 Algortmos Conforme Cormen et al. (2002), algortmos são procedmentos computaconas que, a partr de valores de entrada, geram valores de saída desejados, ou seja, são passos necessáros para transformar uma determnada entrada em uma saída que atnja o objetvo para o qual fo projetado. É possível perceber que podem exstr números algortmos para resolver o mesmo problema, o objetvo é o mesmo, mas os passos para alcançá-lo podem varar, conforme afrma Klen (2006). A análse de algortmos, segundo Cormen et al. (2002), deve prever as necessdades de recursos dos algortmos. Com base nos recursos necessáros, é possível medr o tempo computaconal do algortmo, para que, a partr dessa

36 23 nformação, se possa escolher entre os algortmos que chegam ao resultado desejado. Segundo Klen (2006), o que realmente é mportante em um algortmo é o crescmento de seu tempo de conclusão em função de seus dados de entrada. 2.6 Métodos Heurístcos Os métodos heurístcos, conforme destaca Velasco (2005), são procedmentos que vsam à obtenção de soluções de qualdade, num período de tempo razoável, dferndo segundo a estratéga que usam para buscar e construr suas soluções. As heurístcas de construção têm por objetvo construr uma solução, elemento por elemento. A forma de escolha de cada elemento a ser nserdo a cada passo vara de acordo com a função de avalação adotada, a qual, por sua vez, depende do problema abordado. Nas heurístcas construtvas clásscas, elementos canddatos são geralmente ordenados segundo uma função gulosa, que estma o benefíco da nserção de cada elemento, e somente o melhor é nserdo a cada passo (SOUZA, 2006). Segundo Velasco (2005), as heurístcas construtvas, em mutos casos, são aplcadas para se obter uma solução ncal que poderá ser melhorada e, para sto, emprega-se um artfíco de melhora sobre ela, a fm de encontrar um resultado mas nteressante. As heurístcas de refnamento em problemas de otmzação, também chamadas de técncas de busca local, consttuem uma famíla de técncas baseadas na noção de vznhança e consstem em melhorar uma solução, através de modfcações em seus elementos (SOUZA, 2006). Dscorrendo sobre este assunto, Velasco (2005) afrma que: A busca local começa a partr de uma solução ncal vável, que pode ser obtda por uma heurístca construtva ou produzda aleatoramente, da qual se gera uma vznhança de soluções, ou seja, conjunto de soluções obtdas a partr de modfcações fetas na solução ncal, vsando escolher o melhor vznho para ser a nova

37 24 solução corrente, segundo um crtéro de escolha. [...] Métodos mas flexíves e de caráter geral, apresentando condções de escapar de ótmos locas, são conhecdas como meta-heurístcas. As meta-heurístcas são métodos mas efcazes de busca local que possbltam encontrar soluções melhores. Executam procedmentos de busca em vznhanças, que evtam a parada prematura em ótmas locas durante a procura de soluções de melhor qualdade, aumentando as chances de se chegar ao ótmo global, podendo até mesmo usar uma estratéga de porar as soluções, a fm de escapar do ótmo local. Este processo respeta uma seqüênca de passos bem defndos, até atngr um crtéro de parada. Para Souza (2006), as propostas de meta-heurístcas encontradas na lteratura apresentam dferentes característcas nas suas estruturas, o que dstnguem uma das outras. A segur é apresentado o procedmento heurístco referencado nesta dssertação para resolução do problema proposto. 2.7 GRASP Proposta por Feo e Resende (1995), a meta-heurístca GRASP Greedy Randomzed Adaptve Search Procedure, que sgnfca em português, Procedmento de Busca Adaptatva Gulosa e Aleatóra, é um método teratvo que consste de duas fases: uma fase de construção, na qual uma solução gulosa e aleatóra é gerada, elemento a elemento; e uma fase de busca local, na qual um ótmo local na vznhança da solução construída é pesqusado. A melhor solução encontrada ao longo de todas as nterações realzadas é retornada como resultado do algortmo de otmzação GRASP. Uma característca especalmente nteressante da GRASP é a facldade com que pode ser mplementada. Poucos parâmetros precsam ser fxados e regulados (tamanho da lsta de canddato e número de repetções da GRASP), e então, o desenvolvmento pode ser focalzado em mplementar em estrutura de dados efcentes para assegurar repetções da GRASP rápdas (FEO; RESENDE, 1995).

38 25 O pseudocódgo descrto pela Fgura 9 lustra o algortmo GRASP. procedmento GRASP () Entrada da nstânca; para ( crtéro de parada GRASP não for satsfeto ) faça ConstrurSoluçãoGulosaAleatóra(solução); BuscaLocal(solução); AtualzarSolução(solução, melhor solução encontrada); fm-para; retorna (melhor solução encontrada); fm GRASP. Fgura 9 Algortmo GRASP. Fonte: FEO e RESENDE, 1995 Consdera-se, para o algortmo GRASP, uma função objetvo que assoca uma solução a um valor real que procuramos maxmzar ou mnmzar. A lnha 1 do pseudocódgo corresponde à entrada de dados. Um conjunto de procedmentos é executado repetdamente entre as lnhas 2 e 6, e termna quando algum crtéro de parada, como número máxmo de terações permtdas sem melhora da função objetvo ou a solução buscada seja encontrada, seja satsfeta. Na lnha 3 está a fase de construção da GRASP, enquanto na lnha 4 está a fase de busca local. Se uma solução melhorada é encontrada, a solução ncal é atualzada na lnha 5, e retorna a melhor solução encontrada na lnha 7. Na fase de construção, uma solução vável é construída teratvamente elemento por elemento. A cada teração, os próxmos elementos canddatos a serem ncluídos na solução são colocados em uma lsta C de canddatos, segundo um crtéro de ordenação pré-determnado. O processo de seleção é baseado em uma função adaptatva gulosa g: C R, que estma o benefíco da seleção de cada um dos elementos. A componente probablístca do procedmento resde no fato de que cada elemento é seleconado de forma aleatóra a partr de um subconjunto restrto formado pelos melhores elementos que compõem a lsta de canddatos, que recebe

39 26 o nome de lsta restrta de canddatos (LRC). Esta técnca de escolha permte que dferentes soluções sejam geradas em cada teração GRASP. O tamanho da LRC é controlado por um parâmetro [ 0,1] α, onde para α = 1 tem-se um comportamento guloso do algortmo e para α = 0, um comportamento aleatóro (VIEIRA NETO, 2004). Assm, o parâmetro α regula o grau de mopa e aleatoredade da fase de construção. Esse é o prncpal parâmetro a ser ajustado no algortmo GRASP, pos se a cardnaldade de LRC for pequena, menor será o espaço de soluções examnado e, conseqüentemente, a probabldade de escapar de um ótmo local dmnurá. Velasco (2005) observa que uma LRC que apresenta uma cardnaldade grande, produz mutas soluções dferentes, aumentando a perspectva de escapar de um ótmo local ndesejado. A Fgura 10 propõe o pseudocódgo de um procedmento de construção da GRASP. procedmento ConstrurSoluçãoGulosaAleatóra () solução = { }; para ( solução construída ncompleta ) faça CrarLRC(LRC); s = ElementoSeleconadoAleatoramente(LRC); solução = solução {s}; AdaptarFunçãoGulosa(s); fm-para; fm ConstrurSoluçãoGulosaAleatóra. Fgura 10 Fase de Construção da GRASP. Fonte: FEO e RESENDE, 1995 A solução a ser construída é ncada na lnha 1 do pseudocódgo. Os comandos entre as lnhas 2 e 7 são repetdos até que a solução seja construída. Na lnha 3, é construída a lsta restrta de canddatos. Um canddato da lsta restrta é seleconado, aleatoramente, na lnha 4, e é acrescentado na solução na lnha 5. E

40 27 na lnha 6, a função gulosa atualza as nformações de acordo com o elemento ncluído. Segundo Souza (2006), a efcênca da busca local depende da qualdade da solução construída. O procedmento de construção tem um papel mportante nessa fase, uma vez que as soluções construídas consttuem bons pontos de partda para a busca local, permtndo acelerá-la. Assm como em mutas técncas determnístcas, as soluções geradas pela fase de construção da GRASP provavelmente não são localmente ótmas com respeto à defnção de vznhança adotada. Daí a mportânca da fase de busca local, a qual objetva melhorar a solução construída (RESENDE, 1998). A fase de busca local está baseada na noção da vznhança. A função N, a qual depende da estrutura do problema tratado, assoca a cada solução vável s sua vznhança N(s). Cada solução s N(s) é chamada de vznho de s. Em lnhas geras, esta fase, começa de uma solução obtda pela fase de construção GRASP, e navega pelo espaço de pesqusa passando de uma solução para outra, que seja sua vznha, em busca de uma melhor solução. A Fgura 11 propõe o pseudocódgo de um procedmento GRASP para fase de Busca Local consderando uma vznhança gerada, N(.) de s (solução atual). procedmento BuscaLocal () para ( s não localmente ótmo ) faça Encontrar uma melhor solução s N( s) ; se ( f(s ) melhor que f(s) ) s = s ; fm-se; fm-para; retorna ( s como ótmo local para P ); fm BuscaLocal. Fgura 11 Fase de Busca Local da GRASP. Fonte: FEO e RESENDE, 1995

41 28 O conjunto de repetções ncado na lnha 1 do pseudocódgo tem como crtéro de parada a solução que seja localmente ótma para uma vznhança. Na lnha 2 são efetuadas modfcações que transformam uma solução em outra pertencente a sua vznhança, com ntuto de obter a melhor solução encontrada. Caso uma solução encontrada na vznhança seja melhor que a solução tratada, este vznho passa a ser a solução corrente na lnha 3. E na lnha 5, retorna a melhor solução encontrada para o problema P. consderando uma vznhança gerada, N(.) de s (solução atual).

42 29 3 METODOLOGIA 3.1 Tpo de Pesqusa Consderando-se os crtéros de classfcação de pesqusa propostos por Vergara (2004), quanto aos fns e aos meos, tem-se: a) Quanto aos fns, trata-se de uma pesqusa descrtva, pos pretende expor as característcas das metodologas com abordagens para o problema de corte e empacotamento já utlzados; e estabelecer correlações entre varáves, com natureza já defnda, expondo o melhor arranjo entre as mesmas. A pesqusa tem o objetvo de fornecer uma base para explcar a metodologa proposta para solução do problema. b) Quanto aos meos, trata-se de uma pesqusa, ao mesmo tempo, de laboratóro e expermental. Classfca-se como pesqusa de laboratóro, já que se recorrerá a uma ferramenta computaconal no auxílo à pesqusa, já que no campo sera pratcamente dfícl realzá-la. A pesqusa também é expermental, porque será feto uso de procedmentos expermentas que permtrão observar e analsar os resultados obtdos. 3.2 Unverso e Amostra Esta pesqusa vsa soluconar o problema: como arrumar o maor volume possível de caxas dentro de um únco contêner? Como já menconado anterormente, as abordagens aplcáves a este problema vêm sendo amplamente

43 30 pesqusadas ao longo dos anos e váras metodologas aplcadas a este foram propostas. A amostra desta pesqusa basea-se em um exemplo real ntroduzdo por George e Robnson (1980), referente ao carregamento de um contêner numa Companha da Nova Zelânda. Ressalta-se que váras lteraturas estudadas para esta pesqusa utlzaram este exemplo, tas como: Moroka, 2002; Cecílo e Morabto, 2004; Morabto e Arenales, 1997; entre outras. Para compor a amostra, a Tabela 2 apresenta os dados da carga composta de 784 caxas (com volume 26,325 m 3 ) de m=8 tamanhos dferentes, que deve ser carregada num contêner padrão nternaconal ISO sére 2, cujas dmensões são: C=5793mm, L=2236mm e H=2261mm (com volume 29,287 m 3 ), conforme dados do exemplo de George e Robnson (1980) retrados da pesqusa proposta por Morabto e Arenales (1997). Tabela 2 Dados do exemplo de George e Robnson (1980). c l h q caxas Fonte: MORABITO e ARENALES, 1997

44 Tratamento dos Dados A GRASP possu uma estratéga heurístca mas flexível. Ela combna métodos de otmzação baseados em algortmos determnístcos (busca local) e estocástcos (busca global) confgurando um sstema híbrdo de otmzação. O objetvo dessa combnação é conjugar a atuação entre os dos métodos, de modo que cada um atue na condção de melhor desempenho. Conforme afrmam Feo e Resende (1995), dentro de uma faxa de lberdade, o método global atua defnndo uma regão de mínmo e o método local atua refnando e defnndo o mínmo dessa regão. Propõe-se, portanto, a construção de uma GRASP para projetar um sstema de otmzação do problema de preenchmento de contêneres, que será composto de duas fases. Incalmente, defne-se o conjunto C { b, b2,, } =, onde b 1,b 2,...,b m são as 1 b m caxas, representadas por suas característcas: comprmento, largura e altura, que rão compor o preenchmento do contêner, que na fase de construção da solução será carregado do seu fundo para sua entrada, tentando sempre manter uma superfíce plana. Um padrão de preenchmento será obtdo tomando-se n elementos do conjunto C, sendo n m, construndo um subconjunto restrto LRC = { b, b2,, } 1 b n formado pelas caxas de maor volume que compõem a lsta de canddatos, e a partr dos tens deste conjunto, procura-se estabelecer uma seqüênca de preenchmento do contêner, camada por camada. Uma camada é uma seção do comprmento do contêner na completa altura H e largura L, como mostra a Fgura 12, que rá preencher o contêner, construndo camadas ao longo do seu comprmento C, e combnando espaços vazos entre camadas para aumentar a utlzação de espaço.

45 32 Fgura 12 Prmera camada do contêner. Fonte: CECÍLIO e MORABITO, 2004 Na fase de Busca Local da GRASP, a solução construída é submetda a modfcações que levam a gerar vznhos e, com base no valor da função objetvo f, escolher, provavelmente, uma nova solução. Quando não se encontra uma solução que seja melhor que a construída, dz-se que a solução é localmente de boa qualdade. 3.4 Modelagem do Problema A resolução de um problema de otmzação passa por duas fases: uma consste em transformar o problema em um modelo e, posterormente, a outra, em que um algortmo deve ser construído e mplementado para resolver o modelo. Conforme Pern et al. (2003), para defnção do problema de preenchmento de contêner, consdera-se um conjunto de m tens (caxas retangulares). Para cada caxa, caracterzada pelo comprmento c, largura l e altura h, tem-se uma quantdade q de caxas, para todo I = {1,2,3,...,m}. Será consderado também um

46 33 contêner retangular, tendo como dmensões nternas: comprmento C, largura L e altura H. Todas as caxas possuem densdades próxmas, e serão carregadas ortogonalmente dentro do contêner, e com uma orentação fxada, sto é, com c, l e h paralelos a C, L e H, respectvamente, como mostra a Fgura 13. Fgura 13 Carregamento de caxas dentro do contêner. Fonte: Fgura com base em MORABITO e ARENALES (1997). Supõe-se que há n padrões de empacotamento especfcados por uma matrz mxn-matrz A, sto é, o elemento a j da matrz especfca o número de vezes que a caxa é consderada no padrão de empacotamento j. Isto mplca que f j m = = a c l h CLH. Deseja-se determnar um vetor de dmensão n, de 1 j quantdades w = (w j ), para todo j J = {1,2,...,n}. Este problema é dado por: max n { f j w j : Aw < q w W } =, j 1 (01) onde: f j representa o somatóro das caxas consderadas no padrão de empacotamento. w j representa o número de vezes que a camada (padrão) j é utlzada. A função objetvo deste modelo mplca maxmzar o volume empacotado no contêner, atendendo, se possível, a todos os tens dados no problema.

47 34 z +h z y y +l x x +c Fgura 14 Colocação da Caxa tpo (c, l, h ) na posção (x, y, z ) do contêner. Fonte: MORABITO e ARENALES, 1997 A resolução de um problema de empacotamento, em geral, envolve a geração de padrões de empacotamento. Utlzando ternos de varáves de decsão (x, y,z ) para denotar as coordenadas do canto nferor esquerdo frontal da caxa no padrão de empacotamento j, sto é, a localzação das caxas; a matrz A deve ser construída de tal modo que assegure que todos os tens colocados dentro do contêner encaxam-se dentro de suas dmensões físcas, como mostra a Fgura 14, e deve satsfazer as restrções:

48 35 C c x + (02) L l y + (03) H h z + (04) I h l c z y x, 0,,,,, onde: z y x,, são as coordenadas do canto nferor esquerdo frontal da caxa. h l c,, são as meddas de comprmento, largura e altura da caxa. H L C,, são as meddas de comprmento, largura e altura do contêner. Além dsso, assegure que não haverá sobreposção para nenhum par (,j) de tens, sto é, que as caxas não ocupem o mesmo espaço dentro de um mesmo contêner; e sso é construído com as seguntes restrções: j x c x + ou j j x c x + (05) ou j y l y + ou j j y l y + (06) ou j z h z + ou j j z h z + (07) I z y x, 0,, J j z y x j j j, 0,, onde: z y x,, são as coordenadas do canto nferor esquerdo frontal da caxa. h l c,, são as meddas de comprmento, largura e altura da caxa. j j j z y x,, são as coordenadas do canto nferor esquerdo frontal da caxa j. j j j h l c,, são as meddas de comprmento, largura e altura da caxa j.

49 Aplcação da GRASP ao Problema O algortmo GRASP-3D, mplementado nesta dssertação, basea-se no preenchmento de um contêner construndo camadas ao longo do seu comprmento. Em cada camada, procura-se carregar o máxmo de colunas completas de caxas do mesmo tpo possíves. O espaço restante à frente, ao lado e em cma das caxas já empacotadas forma os novos espaços de preenchmento. Uma nova camada não deve ser ncada até que a camada anteror esteja totalmente preenchda. Quando um conjunto de caxas é ajustado em um espaço, podem ser crados três sub-espaços: acma das caxas empacotadas (espaço da altura), ao lado (espaço da largura) e em frente (espaço do comprmento), conforme ndca a Fgura 15. O espaço à frente de cada caxa empacotada é crado após a defnção do comprmento da camada, que é determnada pela caxa de maor comprmento utlzada no preenchmento da camada atual. Fgura 15 Cração de novos espaços. Fonte: CECÍLIO e MORABITO, 2004

50 37 O espaço restante à frente da camada atual é colocado em um estoque de espaços para cração de novas camadas. O espaço à frente das caxas menores que a dmensão de comprmento da camada, o espaço do lado e/ou de cma das caxas serão descartadas quando suas dmensões são menores que a dmensão mínma de qualquer caxa que esteja na lsta restrta de canddatos. Estas nformações são armazenadas em espaço rejetado, sto é, espaço que não pôde ser carregado com nenhum tpo de caxa. A lsta de canddatos C é formada pelas caxas em ordem decrescente, de acordo com o seu valor de volume calculado. A escolha da caxa a ser utlzada é feta de forma aleatóra em uma das duas lstas construídas, LRC ou LRC. LRC contém as caxas de maor volume da lsta de canddatos, determnadas pela faxa seleconada de acordo com o parâmetro α que defne a cardnaldade da lsta, e LRC contém as caxas restantes, sto é, as caxas menores que não foram seleconadas para a lsta LRC. Realzado o preenchmento da camada atual, é feta atualzação das quantdades das caxas utlzadas e das lstas restrtas cuja quantdade de caxa zerar. Em cada camada preenchda, passa-se pela fase de melhora, verfcando quas colunas construídas poderão passar por duas etapas: melhora da altura e/ou do comprmento. Nestas etapas, verfca-se o espaço ocoso e se faz uma busca mas detalhada pela caxa que melhor preenche este espaço. Na fase de melhora da altura, verfca-se o espaço ocoso acma das caxas do mesmo tpo e cra-se o espaço vazo a ser preenchdo. E faz este processo sucessvamente a cada tpo de caxa dferente exstente na camada. Na fase de melhora do comprmento, verfca-se o espaço ocoso a frente das caxas de mesmo tpo cuja dmensão de comprmento seja menor que a dmensão de comprmento da camada e cra-se o espaço vazo a ser preenchdo. Na busca pela caxa para preencher os espaços ocosos na altura, na largura ou no comprmento, se necessáro for, as caxas poderão ser rotaconadas trocando

51 38 suas dmensões de largura com comprmento, altura com comprmento ou largura com a altura. A cada camada crada atualza-se o estoque de espaços, que é o espaço ao longo do comprmento do contêner. Assm que não houver mas caxas que cabam neste espaço, este também será armazenado como espaço rejetado. O algortmo GRASP-3D tem como crtéros de parada: a quantdade total de caxas zerar, se estoque de espaços zerar ou o número de terações chegar ao máxmo. Ao térmno, o algortmo apresentará a melhor solução encontrada ndcando a quantdade de caxas que não foram empacotadas, a porcentagem de espaço ocoso do contêner, o número da teração e o tempo que ocorreu a melhor solução. 3.6 Algortmo GRASP-3D Nesta seção, apresentar-se-á o algortmo GRASP-3D proposto para solução do problema de carregamento de um contêner. Incalmente, pretende-se descrever as varáves envolvdas no algortmo e em seguda, descreve-se o pseudocódgo do algortmo. Para melhor compreensão do algortmo GRASP-3D, encontra-se no apêndce A o detalhamento do algortmo apresentado em fluxograma Varáves envolvdas no algortmo: b tem (caxa) a ser utlzada no padrão de empacotamento, caracterzada pelo seu comprmento, largura e altura; q quantdade de cada caxa;

52 39 contêner contêner a ser preenchdo, caracterzado pelo seu comprmento, largura e altura; α - parâmetro que controla o grau de mopa e aleatoredade da fase de construção; maxter - número máxmo de terações defndo como crtéro de parada; S* melhor solução encontrada dentro de todas as terações; ter parâmetro que controla o número de terações; S melhor solução encontrada dentro de uma teração; numcaxa número total de caxas a serem empacotadas; C lsta de canddatos composta pelas caxas posconadas em ordem decrescente de volume; lsta parâmetro que controla a lsta de caxas a ser utlzada para o preenchmento (lsta=1 LRC; lsta=2 LRC, lsta=3 ou lsta=4 caxas rotaconadas); C tamanho da lsta de canddatos; estespaco parâmetro que controla o estoque de espaços (espaço ocoso do comprmento do contêner); β caxa de maor volume encontrada na lsta de canddatos C; LRC conjunto de lsta restrta composta pelos melhores elementos da lsta C; LRC conjunto de lsta restrta composta pelos elementos restantes; largdsp valor da largura dsponível da camada atual; largcontener valor da largura do contêner; restcomprmento valor do restante do comprmento da camada preenchda; volvazo valor do volume vazo do espaço ocoso da altura ou do comprmento a ser preenchdo; restaltura valor do restante da altura da coluna preenchda; largcol valor da largura da coluna preenchda;

53 40 compcol valor do comprmento da coluna preenchda; LCRestAlt conjunto de lsta de canddatos que cabam no espaço crado acma de cada coluna preenchda na camada; compvazo valor do comprmento ocoso a frente das caxas; altcontener valor da altura do contêner; LCRestComp conjunto de lsta de canddatos que cabam no espaço ocoso crado a frente das caxas da camada atual; Pseudocódgo do algortmo GRASP-3D: 1. Entrar com os dados (b, q, contêner, α, maxter). 2. S* Calcular volume das caxas. 4. Para (ter = 1,2,3,...,maxter) faça 5. Calcular o número total de caxas. 6. S numcaxa. numcaxa = q 7. Crar C ( b 1,..., b m ), posconadas em ordem decrescente de volume. 8. Crar lsta 1. Fase de Construção 9. Enquanto ( ( C > 0) e (estespaco > 0) e (lsta > 0) ) faça 10. Identfcar a caxa de maor volume (β). β = max ; { v( b ) b C} 11. Crar o conjunto LRC e LRC. LRC = { b C / αβ v( b ) β} LRC = caxas restantes.

54 Enquanto ((numcaxa > 0) e (estespaco > 0) e (largdsp <= largcontener) e (lsta > 0)) faça 13. Se (lsta=3) ou (lsta=4), vá para o Passo 14. Senão, vá para o Passo Se (lsta=3), restcomprmento comprmento da camada atual. Senão, restcomprmento estoque de espaços. 15. Verfcar, nas lstas restrtas, se exste alguma caxa cuja dmensão de largura e de altura ocupe o restante do comprmento. Se exstr, vá para o Passo 16, Senão, vá para o Passo Verfcar se a dmensão de largura da caxa cabe na altura e o comprmento da caxa cabe no restante da largura da camada. Se for, rotaconar a caxa trocando suas dmensões de largura com comprmento. Vá para o Passo Verfque se exste alguma caxa cuja dmensão de largura ocupe o restante do comprmento e dmensão de comprmento ocupe o restante da largura da camada. Se exstr, rotaconar a caxa trocando suas dmensões de largura com comprmento e vá para o Passo 21. Senão, vá para o Passo Verfcar se exste alguma caxa cuja dmensão de altura ocupe o restante do comprmento. Se exstr, rotaconar a caxa trocando suas dmensões de altura com comprmento e vá para o Passo 21. Senão, vá para o Passo lsta 0. Consderar este espaço como espaço rejetado (sto é, espaço que não pôde ser carregado com nenhum tpo de caxa). Vá para o Passo Se (lsta=1), escolher uma caxa de LRC aleatoramente. Senão, se (lsta=2) escolher uma caxa de LRC aleatoramente. Fazer a escolha de outra caxa da lsta seleconada enquanto a largura da caxa for maor que o restante da largura ou se o comprmento da caxa for maor que o estoque de espaços. 21. Verfcar se a quantdade dsponível é sufcente para completar uma coluna. Se for sufcente, vá para Passo 23. Senão, para Passo Empacotar a quantdade completa. Vá para Passo Verfcar se o número de colunas excede a largura dsponível na camada. Se exceder, vá para Passo 24. Senão, vá para Passo Empacotar as colunas permtdas pela largura. Vá para Passo 26.

55 Empacotar tantas colunas completas quanto possíves. Vá para Passo Atualzar as quantdades das caxas. 27. Atualzar as Lstas Restrtas cuja quantdade da caxa zerar. 28. Crar o espaço restante da altura e o espaço restante da largura. 29. Verfcar, na lsta LRC, se exste alguma caxa que preencha a largura restante. Se exstr, lsta 1 e vá para Passo 20. Senão, vá para Passo Verfcar, na lsta LRC, se exste alguma caxa que preencha a largura restante. Se exstr, lsta 2 e vá para Passo 20. Senão, vá para Passo Verfcar se a dmensão da largura restante é maor ou gual à mínma dmensão de comprmento de uma caxa das lstas restrtas. Se for, lsta 3 e vá para Passo 13. Senão, vá para Passo Crar o espaço restante da largura. 33. Crar o espaço restante na dreção da profunddade e acrescenta-lo ao estoque de espaços. 34. Crar o espaço não ocupado da camada atual e consdera-lo como espaço rejetado. 35. Crar o volume ocoso acma das caxas das colunas preenchdas. volvazo = restaltura * largcol * compcol 36. Verfcar, nas lstas restrtas, se exste alguma caxa cujo volume ocupe o volume ocoso acma das caxas e se o restante da altura é menor ou gual a menor dmensão das caxas. Se exstr, vá para o Passo 37. Senão, atualzar as lstas restrtas cuja quantdade de caxa zerar e vá para o Passo Crar o conjunto LCRestAlt. LCRestAlt = { b / v( b ) < volvazo; b LRC ou b LRC} 38. Escolher uma caxa de LCRestAlt que ocupe ao máxmo o comprmento da coluna atual. 39. Verfcar se a quantdade de caxas dsponíves é sufcente para completar o volume ocoso. Se for sufcente, vá para Passo 42. Senão, para Passo Empacote tantas colunas completas quanto possíves.

56 Atualzar as quantdades das caxas, o espaço rejetado e o espaço no restante da altura. Vá para o Passo Verfcar se há alguma coluna cujo comprmento seja menor que o comprmento da camada. Se há, vá para Passo 43. Senão, vá para Passo Crar o volume ocoso a frente das caxas da camada. volvazo = compvazo * largcol * altcontener 44. Verfcar, nas lstas restrtas, se exste alguma caxa cujo volume ocupe o volume ocoso crado. Se exstr, vá para o Passo 45. Senão, vá para o Passo Crar o conjunto LCRestComp. LCRestComp = { b / v( b ) < volvazo; b LRC ou b LRC} 46. Escolher uma caxa de LCRestComp que ocupe ao máxmo o comprmento da coluna atual. 47. Verfcar se a quantdade de caxas dsponíves é sufcente para completar o volume ocoso. Se for sufcente, vá para o Passo 48. Senão, para o Passo Empacote tantas colunas completas quanto possíves. 49. Atualzar as quantdades das caxas e o espaço rejetado. 50. Atualzar as lstas restrtas cuja quantdade da caxa zerar. 51. Verfcar se há alguma caxa a ser empacotada. Se há, vá para o Passo 52. Senão, vá para o Passo 12, pos Toda a carga fo empacotada: FIM. 52. Verfcar se há algum espaço no estoque de espaços. Se há, vá para o Passo 53. Senão, vá para o Passo 12, pos O problema não tem solução: FIM. 53. Crar uma nova camada. 54. Verfcar se exste alguma caxa da lsta LRC cuja dmensão de comprmento ocupe o estoque de espaços. Se exstr, lsta 1 e vá para o Passo 20. Senão, vá para o Passo Verfcar se exste alguma caxa da lsta LRC cuja dmensão de comprmento ocupe o estoque de espaços. Se exstr, lsta 2 e vá para o Passo 20. Senão, vá para o Passo 56.

57 Verfcar se exste alguma caxa das lstas restrtas cuja dmensão de largura ou de altura ocupe o estoque de espaços. Se exstr, lsta 4 e vá para o Passo 13. Senão, consderar este espaço como espaço rejetado e O problema não tem solução: FIM e vá para o Passo Fm do Loop do Passo Verfcar se a quantdade de cada caxa da lsta de canddatos é maor que zero. Atualzar o tamanho da lsta C. 59. Verfcar se o número total de caxas é menor que S. Se for, S numcaxa. 60. Verfcar se ter=1. Se for, S* S. Senão, vá para o Passo Fm do Loop do Passo S número total de caxas que não foram utlzadas no preenchmento. 63. Verfcar se a solução S é menor que S*. Se for, S* S. Vá para o Passo Fm do Loop do Passo Escrever S*.

58 45 4 RESULTADOS COMPUTACIONAIS O algortmo GRASP-3D apresentado na seção 3.6 fo mplementado em lnguagem C++, utlzando o complador Borland C++ Bulder versão 5.0 (ou DevC++ (Wndows) versão gratuta). Os testes foram realzados em um mcrocomputador pessoal equpado com processador Athlon XP 2.8+GHz e com memóra RAM DDR 333 de 512MB, e sstema operaconal Mcrosoft Wndows XP. A título de lustração do algortmo GRASP-3D, fo utlzado o exemplo real apresentado por George e Robnson (1980), que tem 8 tpos de caxa e total de 784 caxas. Suas característcas são apresentadas na Tabela 2 na seção 3.2. Em seu trabalho, George e Robnson (1980) consderam o problema do carregamento de contêner e desenvolveram um procedmento heurístco para colocar caxas de tamanhos dferentes em um contêner. O procedmento de preenchmento do contêner é feto construndo camadas ao longo do seu comprmento, e combnando espaços vazos entre camadas para aumentar a utlzação de espaços. Não são mpostas restrções quanto ao número de caxas que podem ser emplhadas umas sobre as outras, nem sobre qual face das caxas deve fcar voltada para cma, embora a heurístca possa ser adaptada para tratá-las. Os resultados obtdos com o algortmo GRASP-3D, foram testados com o parâmetro α assumndo valores 0.3, 0.5, 0.7 e 1.0. Esses valores nfluencam no tamanho das lstas restrtas que serão utlzadas para o preenchmento do contêner. Como crtéro de parada, caso não ocorra o preenchmento total das caxas dentro do contêner, fca estabelecdo o número máxmo de terações determnado pelo usuáro, que para fns de testes fo estabelecdo até terações. Assm, a cada teração executada pelo algortmo é regstrada a solução que apresente o menor número de caxas não utlzadas e a porcentagem de espaço ocoso no contêner. Quando os valores do exemplo real de George e Robnson são aplcados ao algortmo GRASP-3D, os resultados obtdos são:

59 46 Tabela 3 Resultados obtdos pelo Algortmo GRASP-3D. Nº máx. Iterações Alpha Nº de caxas não alocadas Tamanho de C Espaço Ocoso Iteração Tempo (seg.) ,67% , ,52% , ,56% , ,56% , ,67% , ,52% , ,56% , ,67% , ,23% , ,52% , ,56% , ,01% , ,01% , ,52% , ,56% , ,01% ,42 Fonte: Tabela do autor Na Tabela 3, são apresentadas as seguntes nformações: Nº máx. terações número máxmo de terações que o algortmo rá executar. Alpha parâmetro que defne o tamanho das lstas restrtas que serão utlzadas no preenchmento do contêner.

60 47 Nº de caxas não alocadas número de caxas que sobraram fora do contêner. Espaço Ocoso valor percentual do espaço que não fo preenchdo no contêner. Tamanho de C tamanho das lstas de canddatos apresentando a quantdade de cada tpo de caxa que não fo alocada no contêner. Iteração número da teração que obteve a melhor solução. Tempo tempo de execução em segundos para obter a referente solução. Os resultados produzdos com a execução do algortmo GRASP-3D demonstram ser satsfatóros, pos em sua maora apresentam como solução 4 ou 5 caxas não alocadas, e com bons valores percentuas do espaço ocoso. É mportante ressaltar que, em alguns casos, o valor atrbuído ao parâmetro α fo decsvo, nfluencando o resultado fnal, consegundo alcançar o objetvo de empacotar todas as caxas. Pode-se observar pelos resultados obtdos na Tabela 3, que ocorreu o empacotamento de todas as caxas quando o alpha assume o valor 0.5 ou o valor 1.0, sto é, quando todas as caxas se encontram numa mesma lsta. Os tempos computaconas gerados nos testes realzados com o algortmo GRASP-3D foram bons, consderando o número de terações, conforme mostra a Tabela 3. Para melhor avalação do comportamento do algortmo GRASP-3D foram fetos outros testes com dados gerados aleatoramente. Esses dados formam tabelas com 8 (oto) tpos de caxas cujas dmensões de comprmento, largura, altura e quantdade admtem valores aleatóros dentro de uma escala defnda. Das tabelas geradas, exstem aquelas em que o volume total de caxas cabe dentro do contêner de meddas já menconadas na seção 3.2, e exstem outras em que o volume ultrapassa as meddas do contêner. As tabelas geradas encontram-se no Anexo A. Quando os valores das tabelas geradas são aplcados ao algortmo GRASP- 3D assumndo o máxmo de terações, os resultados obtdos são:

61 48 Tabela 4 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 8 tpos de caxas. Dados Alpha Nº de caxas não alocadas Espaço Ocoso (%) Tamanho de C Iteração Tempo (seg.) , ,03 DA , , , , , , , ,36 DA , , , , , , , ,03 DA , , , , , , , ,11 DA , , , , , ,06 Fonte: Tabela do autor Na Tabela 4, tem-se resultados obtdos com o algortmo GRASP-3D para dados gerados aleatoramente para 8 tpos de caxas. As tabelas DA1, DA2 e DA3 contêm caxas cujos volumes totas cabem no contêner, e a tabela DA4 contém caxas cujos volumes totas não cabem no contêner.

62 49 É possível observar, que se obtveram bons resultados para outros tpos de tabelas, podendo assm trabalhar com outros exemplos reas. Mesmo quando aumenta o número de tpos de caxas, é possível obter resultados satsfatóros, como mostra as Tabelas 5 e 6. Tabela 5 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 12 tpos de caxas. Dados Alpha Nº de caxas não alocadas Espaço Ocoso (%) Tamanho de C Iteração Tempo (seg.) , ,11 DA , , , , , , , ,44 DA , , , , , , , ,12 DA , , , , , , , ,14 DA , , , , , ,03 Fonte: Tabela do autor A Tabela 5 apresenta os resultados obtdos com o algortmo GRASP-3D para dados gerados aleatoramente para 12 tpos de caxas. As tabelas DA5, DA6 e DA7 contêm caxas cujos volumes totas cabem no contêner, e a tabela DA8 contém caxas cujos volumes totas não cabem no contêner.

63 50 Tabela 6 Resultados do Algortmo GRASP-3D com dados aleatóros para 20 tpos de caxas. Dados Alpha Nº de caxas não alocadas Espaço Ocoso (%) Tamanho de C Iteração Tempo (seg.) , ,83 DA , , , , , ,14 Fonte: Tabela do autor Os resultados apresentados na Tabela 6 foram obtdos com o algortmo GRASP-3D para dados gerados aleatoramente para 20 tpos de caxas, sendo que a tabela DA9 contém caxas cujos volumes totas cabem no contêner.

64 51 5 ANÁLISE DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO 5.1 Análse dos Resultados A fm de valdar o algortmo proposto, são comparados os valores fornecdos nos testes computaconas com os métodos de refnamentos da heurístca de George e Robnson (1980) propostos por Cecílo e Morabto (2004). A partr da heurístca de George e Robnson, Cecílo e Morabto defnram ses métodos de solução (orgnal mas cnco novas heurístcas) para o problema, conforme Tabela 3. Os métodos de solução são compostos por refnamento proposto para a heurístca e das duas novas versões da heurístca (versão Arranjo e versão Camada). São eles: Tabela 7 Métodos de solução propostos por Cecílo e Morabto. Método Heurístca 1 George e Robnson orgnal 2 Método 1 + refnamento proposto 3 Método 1 + versão Arranjo 4 Método 1 + versão Arranjo + refnamento 5 Método 1 + versão Camada 6 Método 1 + versão Camada + refnamento Fonte: CECÍLIO E MORABITO, 2004 A solução publcada em George e Robnson (1980) carregou apenas 783 caxas (89,7% do volume do contêner), dexando de fora uma caxa do tpo 7. Os resultados obtdos pelos 6 métodos propostos estão descrtos na Tabela 5.

65 52 Tabela 8 Resultados obtdos pelos métodos propostos por Cecílo e Morabto. Método Solução (espaço ocupado) Nº de Caxas 1 0, , , , , , Fonte: CECÍLIO E MORABITO, 2004 Analsando os resultados obtdos da Tabela 3 e comparando com a Tabela 5, verfca-se, conforme mostra a Tabela 6, que fo possível alocar todas as caxas dentro de um contêner obtendo 89,99% do volume do contêner, quando o alpha assume o valor 0.3 ou 1.0. Tabela 9 Comparatvo do resultado obtdo. Método Solução Nº de Caxas George e Robnson 0, Cecílo e Morabto 0, GRASP-3D 0, Fonte: Tabela do autor Baseado nas Tabelas 4, 5 e 6 da seção anteror, é possível constatar a performance do algortmo GRASP-3D para o problema de carregamento de contêner, pos obteve bons resultados com os dados gerados aleatoramente, bem como, com o exemplo comparatvo proposto acma.

66 Conclusão Com base na lteratura consultada é possível conclur que as metodologas utlzadas para problemas de empacotamento trdmensonas, como por exemplo, preenchmento de contêneres com tens, prevamente, com dmensões e característcas defndas, começaram a ter grande sucesso a partr do momento que passaram a resolver tas problemas utlzando as meta-heurístcas. A pesqusa apresentada propõe soluconar o problema preenchmento de contêner, utlzando GRASP, capaz de apresentar soluções de boa qualdade. É relevante destacar que, até o momento, não há nenhum estudo que envolva aplcação desta metodologa para resolução de problemas que demandam otmzação da ocupação dos espaços trdmensonas, o que vem ratfcar a mportânca desta pesqusa, embora se reconheça à necessdade de efetva realzação de estudos mas consstentes para melhor refnamento do algortmo proposto, com propósto de obter melhores resultados. Para o exemplo, retrado da lteratura, o resultado produzdo com a execução do GRASP-3D fo quase equparado com o resultado apresentado pelos outros métodos. E demonstra que a GRASP pode ser aplcada com sucesso em problemas de carregamento de contêner. Quanto aos exemplos gerados aleatoramente, o GRASP-3D mostrou-se bastante efcaz. Os resultados apresentados mostram que é possível empacotar todas as caxas com boa porcentagem de espaço ocoso dentro do contêner, e mesmo para os casos onde não cabam todas as caxas, fo possível observar um bom aprovetamento do espaço, alcançando o objetvo proposto, que é de otmzar o espaço ocoso dentro de um contêner. Dos resultados expermentas obtdos, conclu-se que é nteressante a utlzação da GRASP para o problema de carregamento de contêner, dando retorno sufcentemente acetável; e demonstram que a déa do uso da GRASP nesse tpo de problema é promssor mesmo que anda se tem espaço para amadurecmento e novos refnamentos.

67 54 Apesar de julgar-se que este trabalho tenha produzdo avanço sgnfcatvo na modelagem do problema de carregamento de contêner, esse campo contnua promssor para aperfeçoamentos e novas pesqusas. Como trabalhos subseqüentes sugerem: Desenvolver dferentes aplcações consderando característcas não levantadas do Problema de Carregamento de Contêner abordado nesta dssertação como establdade da carga e carregamento paralelo de dversos contêneres, ou anda, tratando de outros Problemas de Corte e Empacotamento. Aprmorar os resultados aqu obtdos em termos de qualdade da solução e/ou tempo de processamento estudando novas heurístcas. Crar uma ferramenta computaconal com nterface gráfca smples e funconal voltada para ambente de produção. Estender a aplcação da meta-heurístca GRASP a outros tpos de problemas.

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72 1 APÊNDICE A Fluxograma Detalhado do Algortmo GRASP-3D Fgura 16 Fluxograma GRASP-3D Parte 1. Fonte: Fgura do autor

73 2 Fgura 17 Fluxograma GRASP-3D Parte 2. Fonte: Fgura do autor

74 3 Fgura 18 Fluxograma GRASP-3D Parte 3. Fonte: Fgura do autor

75 4 Fgura 19 Fluxograma GRASP-3D Parte 4. Fonte: Fgura do autor

76 5 Fgura 20 Fluxograma GRASP-3D Parte 5. Fonte: Fgura do autor