O PROBLEMA DA ÁRVORE CAPACITADA COM DEMANDAS NÃO- UNITÁRIAS: UMA HEURÍSTICA DE MELHORIA A PARTIR DO MSTp

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1 O PROBLEMA DA ÁRVORE CAPACITADA COM DEMANDAS NÃO- UNITÁRIAS: UMA HEURÍSTICA DE MELHORIA A PARTIR DO MSTp Lucas Gumarães de Olvera * lucasgu@gmal.com Paulo Mauríco Laurentys de Almeda * paulomla@gmal.com * Departamento de Engenhara de Produção Unversdade Federal de Mnas Geras Avenda Antôno Carlos, 6627, Anexo PCA, Belo Horzonte MG, CEP RESUMO O prncpal objetvo deste trabalho é o de propor uma heurístca de construção híbrda para o problema da Árvore Geradora de Custo Mínmo Capactada (AGCMC) com demandas nãountáras. A estratéga utlzada funde o objetvo de dos problemas amplamente conhecdos na área de Otmzação Combnatóra: O Problema da Árvore Geradora de Custo Mínmo e O Problema da Mochla. Os resultados obtdos varam para cada tpo de problema de teste, mas de manera geral, todos se mostraram compettvos quando comparados com a heurístca de Esau e Wllams (1966) e também quando comparados com outros resultados vgentes na lteratura. PALAVRAS CHAVE. Árvore Geradora de Custo Mínmo Capactada. Demandas nãountáras. Heurístca híbrda. OC Otmzação Combnatóra ABSTRACT The man objectve of ths paper s to propose an hybrd constructed enhanced heurstcs for the Capactated Mnmum Spannng Tree problem (CMSTp) wth non-unts demands. The current strategy use deas of two wdely known problems n Combnatoral Optmzaton: the Mnmum Spannng Tree (MST) and Bn Packng (BP). The fnal results of each one vary accordng to the type of the test problem, but n general, all had revealed compettve when comparatve wth the heurstc of Esau and Wllams (1966), and also when compared wth effectve results n the current lterature of ths subject. KEYWORDS. Capactated mnmum spannng tree. Non-unt demand. Hybrd heurstcs. CO - Combnatoral Optmzaton [1934]

2 1. Introdução Problemas de otmzação combnatóra compõem um assunto muto estudado devdo à grande dfculdade de resolução. O problema da Árvore Geradora de Custo Mínmo Capactada (AGCMC) tem sdo motvação de pesqusas para mutos profssonas de Computação e Pesqusa Operaconal. Város algortmos heurístcos e exatos já foram propostos no ntuto de soluconar o problema. Quanto às heurístcas, mutas se aproxmam da solução ótma porém, nenhuma delas garante a otmaldade. Os algortmos exatos, apesar de possbltarem a obtenção de soluções ótmas, são extremamente lmtados na resolução de nstâncas de tamanho próxmo a 100 nós. Essa lmtação se deve prncpalmente ao tempo computaconal demandado por estes algortmos que vara exponencalmente com o tamanho do problema. Dentre os város autores na lteratura, alguns se destacam por proporem heurístcas efcentes. No que tange à obtenção de soluções exatas para o problema da AGCMC, é mportante ctar o uso do método Branch-and-Bound (B&B). Chandy e Lo (1973) usaram B&B através da requsção de dos nós de um subgrafo que excede a capacdade de modo a mantê-los ou não na componente. Utlzando-se da estratéga Last-In-Frst-Out (LIFO) como crtéro de escolha de subproblemas a serem consderados, Kershenbaum et al. (1980) foram os responsáves pela proposção de dos algortmos Branch-and-Bound. Ambos os algortmos utlzam técncas de partção para a obtenção de lmtes nferores para o problema. A dferença entre eles é que um é orentado por nós e outro por arcos. Hall (1996) relata uma experênca com o uso do algortmo de Planos de Corte (Cuttng Planes Algorthms). A verfcação do resultado ótmo ocorre teratvamente através da adção de restrções que lmtam a regão de vabldade. Através do uso de estratégas baseadas em métodos poledras, são exbdos resultados com até 200 vértces para do problema da AGCMC com demandas untáras. Um recente trabalho publcado refere-se à Remann e Laumanns (2004). Estes autores sugerem um algortmo de Otmzação por Colôna de Formgas (ACO) para o problema da AGCMC baseado na nter-relação deste com o Problema de Roteamento de Veículos (Vehcle Routng Problem VRP). Outro trabalho recente na lteratura, escrto por Souza et al. (2003), propõe uma heurístca GRASP baseada na reconexão de arcos (path-relnkng) com melhoras obtdas a partr da aqusção de dados hstórcos de curto ou longo prazo orundos durante o processo de resolução do problema. 2. Objetvo O objetvo deste artgo é o de propor uma heurístca que utlza uma estratéga dferente de geração de uma boa solução para o problema da AGCMC. Para sso foram utlzados como referênca na cração da heurístca ctada, dos grandes e dfíces problemas contdos na área de Otmzação Combnatóra: ) Problema da Árvore Geradora de Custo Mínmo (Mnmum Spannng Tree MST) e ) Problema da Mochla (Bn Packng - BP). Portanto, a lógca utlzada funde concetos de MST, com estratégas baseadas em custo, e peso, que vsam à dstrbução de vértces em um grafo. O objetvo do MST é voltado somente para efcênca em custo cujo objetvo prncpal é mnmzar os custos de lgação de todos os nós de uma rede não capactada. Já o ntuto do BP é somente referdo para a efcênca de capacdade pelo fato de buscar a mnmzação do número de contaners necessáros para alocar tens que possuem um peso específco dado que cada contaner possu uma capacdade fxa. Outro fator que sustenta essa escolha é o fato de que para determnada nstânca do problema da AGCMC em que o custo de todos os arcos é zero, o problema se modfca para um problema do tpo Bn Packng. O problema da AGCMC mescla ambos os objetvos de custo e capacdade, portanto, fo este o motvador para a elaboração do procedmento computaconal apresentado no presente artgo. Ele utlza déas de algortmos conhecdos para a resolução destes dos problemas. Os resultados obtdos para cada um dos problemas de teste analsados, são comparados com os resultados obtdos a partr da mplementação da heurístca de construção apresentada no trabalho de Esau e Wllams (1966) e também com os valores de Upper Bounds encontrados no [1935]

3 trabalho de Gouvea e Lopes (2005). A análse comparatva mostra que, para a grande maora das nstâncas dos problemas testados, os resultados apresentaram-se compettvos em tempo computaconal acetável. 3. Caracterzação do Problema Seja G ( V, E) um grafo conexo não-orentado onde V = { 0,1,..., n} representa o conjunto de vértces do grafo e E representa o conjunto de arestas (, j) do grafo, são assocados a cada vértce V um peso b e a cada aresta e E um custo c e. Exste um vértce central, aqu denomnado R, em que todos os demas vértces devem estar lgados dreta ou ndretamente. Dado uma árvore T vável para a Árvore Geradora de Custo Mínmo Capactada (AGCMC), as componentes desta solução são as componentes conexas do subgrupo nduzdo ao se elmnarem o nó central e suas arestas ncdentes em T. O problema da AGCMC consste em determnar uma confguração entre as dversas componentes possíves que mnmze o custo total (som a de todos c es da conexão) e que respete a restrção de que o peso de cada componente (soma de b para todo vértce ncluso na componente) seja menor que um valor ntero Q dado. Para o caso em que todos os valores de b são guas, o problema é dto de demandas untáras e, para o caso em que os valores de b dferem entre s temos o problema conhecdo na lteratura como problema da AGCMC com demandas não-untáras. O problema da AGCMC com demandas não-untáras nos vértces fo comprovado como NP-Hard por Papadmtrou (1978). Ele demonstrou que o caso de demanda untára nos vértces e para 3 Q [ V / 2] o problema é NP-Hard. 4. A Heurístca de Economa de Esau e Wllams (1966) Bastante conhecda na lteratura do AGCMC, a heurístca EW desenvolvda por Esau e Wllams (1966) se destaca por ter sdo a prmera heurístca proposta para se resolver um problema de projeto de sstema de teleprocessamento. Seu ótmo desempenho computaconal assocada a bons resultados de redução de custos fazem com que este algortmo seja ctado com grande freqüênca em dversos trabalhos que abordam problemas de otmzação de redes em geral. Tas característcas de efcênca levaram númeras outras heurístcas propostas posterormente a utlzar o algortmo de EW como um benchmark na comparação de resultados ou na utlzação dos resultados do algortmo de EW como ponto de partda para aplcação de outros métodos que buscam melhorar a solução. Descrto de forma sucnta, o algortmo é ncado com a formação de uma rede-estrela (star network) em que todos os vértces são conectados dretamente ao nó raz. O crtéro de lgação entre dos nós é baseado na economa (ou ganho) gerado pela lgação. A Fgura 1 lustra uma lgação resultante da aplcação do conceto de ganho. Cj j Cj j Cj j Cr Cjr Cr Cjr ou Cr Cjr R R R Fgura 1 - Vsualzação do conceto de ganho em uma teração EW O conceto de ganho usado por Esau e Wllams (1966) pode ser defndo como a economa gerada ao se tentar lgar dos vértces. Matematcamente, o ganho de lgação entre dos vértces e j pode ser expresso como: S = max( Cr, C jr ) Cj. Caso o resultado do cálculo [1936]

4 seja postvo, é por que a lgação dreta entre os vértces (que ncorre em um custo ) é mas econômca do que os vértces solados lgados dretamente ao vértce raz pelos arcos (, r) e ( j, r). Neste caso, elmna-se o arco que ncorre o maor custo e conectam-se os dos vértces pelo arco (, j). Caso o cálculo do ganho seja nulo, trata-se de uma stuação facultatva de conexão, mas que pode nfluencar bruscamente na qualdade da solução. Este conceto de ganho é aplcado a todos os vértces do grafo de modo a compor uma matrz de ganhos entre as todas as possíves lgações dos vértces da rede. Para o arco que possur o maor ganho é efetuada a lgação dos vértces. Este procedmento ocorre teratvamente até que todos os nós da rede estejam conectados e não haja mas ganho estrtamente postvo nas possíves lgações da rede. Embora seja robusta e efcente, a heurístca EW apresenta algumas lmtações. Joth e Raghavachar (2003) apresentam uma lmtação para problemas cujos pesos das sub-árvores sejam maores que Q / 2. Caso sso ocorra durante alguma teração da heurístca EW, a mesma rá forçar uma lgação da sub-árvore com o vértce r ao nvés de tentar recombnar os vértces dessa sub-árvore para obter melhores ganhos. É possível demonstrar que a complexdade da heurístca EW é O( n 2 log n). 5. A Heurístca Híbrda Proposta O ponto de partda para a heurístca MST-BP será sempre uma rede resultante da aplcação do algortmo de Prm. O algortmo Prm é usado para resolução do problema da Árvore de Custo Mínmo (Mnmum Spannng Tree - MST), uma nstânca da AGCMC cujas restrções de capacdade em cada subgrafo são desprezadas. Este algortmo exato é responsável por obter uma árvore geradora mínma para um dado grafo de entrada. Como defndo por Amberg et al. (1996), as soluções para o problema da AGCMC podem ser classfcadas em váves e nváves. Grande parte das soluções orundas de algortmo de Prm será classfcada como nváves devdo à volação da restrção de capacdade de cada componente. Esta rede de partda possu custo de lgação ótmo, porém desconsdera o valor máxmo de peso por componente. Outro fator que sustenta essa escolha é o fato de que para determnada nstânca do problema da AGCMC em que o custo de todos os arcos é zero, o problema se modfca para um problema do tpo Bn Packng. A heurístca MST-BP proposta basea-se na tentatva de reduzr o somatóro dos pesos de cada componente até que a mesma se adeqüe à restrção de capacdade. Para tal, o procedmento lsta as componentes que estão exceddas em um vetor. Será escolhda uma componente aleatoramente. No subgrafo escolhdo, ocorrerá uma tentatva de remoção de vértces com objetvo de redstrbur os pesos nesta componente sem muto aumento do custo global da rede. A componente excedda em peso que contnha o vértce removdo é reconstruída pela atuação local (somente para a componente focada) do algortmo do MST. A execução deste algortmo subordnado garantrá o custo ótmo de lgação dos arcos pertencentes à componente. Este procedmento ocorre teratvamente até que a componente seja consderada vável para o problema da AGCMC. Dado que sso ocorreu, recorre-se a uma chamada recursva do mesmo procedmento, porém substtu-se a regra de parada baseada na função verfcadora de vabldade das componentes por um número máxmo de terações para garantr o fm da busca por soluções melhores. Como exste um fator probablístco nerente à escolha aleatóra da componente e um parâmetro aqu denomnado por α que ndca o quão ambcosa será a escolha do vértce para o crtéro de custo, não é garantda que a escolha de um vértce em determnada teração possbltará à rede um aumento mínmo do custo global da rede. Para superar tal lmtação, o algortmo deve ser repetdo por um número de MAXITER vezes e armazenar a melhor solução obtda. C j [1937]

5 O algortmo exato de Prm é utlzado em dos momentos de uma teração completa da heurístca MST-BP: ) na ncalzação do algortmo e ) logo após a lgação de um vértce seleconado. No prmero momento ctado, o algortmo de Prm é executado na íntegra para todo o grafo. Já no segundo momento, este mesmo algortmo deve ser ajustado para obter a árvore de ramfcação mínma somente para a componente que teve sua rede de lgações modfcada com a saída do vértce seleconado. Os valores Q' t representam o somatóro dos pesos b de todos os vértces contdos na componente t. A Fgura 2 apresenta a confguração obtda após execução do algortmo Prm para o problema de teste TC 20. Fo consderado Q gual a 100. As sub-árvores cujo somatóro do peso dos vértces excede o valor de Q proposto estão destacadas. Os valores de Q' apresentados exbem o peso do subgrafo. 20 Q'3 = R Q'1 = Q'2 = Fgura 2 - Rede com capacdade Q =100 ndcando as componentes que têm seu peso exceddo As demas terações da heurístca respetam os passos descrtos anterormente e estão elucdados no pseudo-códgo apresentado abaxo: Incalzação: Executa algortmo de Prm para o grafo de entrada; Crtéro de Parada: O número da teração corrente é menor que MAXITER? Sm contnue; Não pare; Iteração: Verfca componentes com soma de pesos > Q; Escolhe uma componente com pesos exceddos aleatoramente; Dentre todos os vértces contdos na componente, faça: Cra uma lsta baseada no custo de lgação dos vértces da componente escolhda com os demas nós da rede; Escolhe-se um vértce j que ncorre os α menores custos de lgação; Lga vértce ao j; Retra vértce da componente antga; Recalcula MST para a componente antga; Atualza rede; Após normalzação dos pesos das componentes, faça: Recombnar vértces levando em consderação o crtéro de custo de lgação; Se achar solução melhor: Atualza o grafo; Retorna (Melhor_Solucao_Obtda) Tabela 1 Pseudo-códgo para Heurístca MST-BP [1938]

6 6. Análse dos Resultados Os testes aqu descrtos foram fetos em um Pentum IV que utlza Sstema Operaconal Mcrosoft Wndows XP Professonal, com 256MB-RAM e 2,0 GHZ de memóra. Os algortmos foram mplementados através da lnguagem C++ com o complador Dev-C++ versão Para analsar a heurístca proposta por meo de um crtéro mas rgoroso, os problemas de teste utlzados foram os mesmos utlzados por Gouvea e Lopes (2005), que por sua vez se dvdem em três grupos: TC, TE e TR Nos problemas TC, o nó central está localzado no centro da rede, enquanto o TE está localzado no extremo da rede. Os problemas TR são problemas em que os custos dos arcos são valores nteros gerados aleatoramente no ntervalo [1,100]. A posção do vértce central vara, e pode ser tanto no centro da rede, quanto em um extremo. Outras grandezas que varam entre os testes fetos são, além do número de vértces do problema, e a restrção de capacdade Q. Seus respectvos valores estão explctados nas tabelas 2, 3 e 4. O mpacto dessas varações é dscutdo em detalhes posterormente. Outras varáves consderadas para execução dos problemas de teste são: o número máxmo de terações e o valor de α. O número de máxmo de terações utlzado fo 1000, uma vez que para valores superores a esse número hava um prejuízo consderável do tempo computaconal e ganhos desprezíves de redução de custo. Outro valor que permaneceu constante fo o valor de α. Ele deve adqurr o valor que possblte um ganho máxmo de redução de custo. Deste modo, o valor de α utlzado fo 0. As tabelas 2,3 e 4 apresentam o resultado para os problemas de teste. A coluna Custo MST-BP apresenta os resultados obtdos através da heurístca proposta. A Custo EW apresenta os resultados obtdos da mplementação da heurístca de Esau e Wllams. A coluna U.B. apresenta os respectvos Upper Bounds encontrados na lteratura para o problema da AGCMC. Por fm, as últmas duas colunas fazem uma análse comparatva dos resultados obtdos pela heurístca MST- BP e a heurístca EW e os Upper Bounds respectvamente. Para os problemas de teste TC, os resultados de custo obtdos superam na maora dos casos a heurístca EW e empata com seus respectvos Upper Bounds. Os tempos computaconas vararam na faxa de 120 a 200 segundos. Dentre os tempos computaconas obtdos, esses foram os menores valores encontrados. Uma explcação para sso, se refere a baxa complexdade do problema. Da solução ncal nvável, para a solução fnal, vável, as combnações fetas entre vértces de componentes são baxas e pôr sso os tempos computaconas se mostraram compettvos. Para o problema TE, cujos resultados estão dspostos na Tabela 3, todos os argumentos apresentados anterormente se modfcam já que, a própra natureza do problema é dferente. Como o vértce central se encontra nas lateras do arranjo físco do problema, e consequentemente sua complexdade de resolução é maor, os tempos computaconas aumentaram. Seus valores varam de 150 a 330 segundos, de acordo com o número de vértces do problema. Entretanto, para essa nstânca de problemas de teste, as melhoras obtdas em relação a heurístca EW foram maores. Os Gaps não apresentaram grandes dferenças em relação ao problema TC e assm como foram os resultados para esse problema, os resultados do problema TE não fcaram abaxo dos Upper Bounds exstentes na lteratura. Por fm, por se tratarem de problemas cujo arranjo físco é aleatóro no que se refere ao posconamento do vértce central, os problemas TR, apresentaram os maores tempos computaconas encontrados. Em alguns casos, os tempos ultrapassavam a faxa dos 500 segundos, sendo que o maor valor encontrado, para os problemas de 80 vértces, fo de aproxmadamente 520 segundos. Outro aspecto que dferenca os resultados obtdos para o TR e os problemas anterores é os gaps entre os custos da rede e seus valores de Upper Bound. Os custos da heurístca MST-BP em alguns casos, superaram os valores de Upper Bound em até 10%. Entretanto, as melhoras mas sgnfcatvas obtdas entre os três problemas de teste em relação à heurístca EW, foram obtdas para essa nstânca de problema. A heurístca MST-BP é uma heurístca construtva híbrda que apresenta dversos [1939]

7 estágos e crtéros para obtenção de uma solução vável. A partr dessa peculardade, é perfetamente plausível esperar que em um prmero momento os resultados dessa heurístca não fossem compettvos quando comparados com a heurístca EW e seus Upper Bounds, o que de acordo com os dados das tabelas 2,3 e 4, não é necessaramente verdade. Teste n Q Custo MST-BP Custo EW U.B. Melhora EW % Gap TC ,0% 0,0% TC ,0% 0,0% TC ,3% 0,0% TC ,3% 0,0% TC ,4% 0,6% TC ,0% 0,5% TC ,1% 1,2% TC ,9% 3,0% TC ,3% 1,3% TC ,2% 2,1% TC ,4% 6,2% TC ,8% 6,1% TC ,5% 1,1% TC ,4% 3,1% TC ,2% 7,0% TC ,7% 6,3% Tabela 2 Comparação dos resultados obtdos para o problema TC Teste n Q Custo MST-BP Custo EW U.B. Melhora EW % Gap TE ,1% 0,1% TE ,2% 2,6% TE ,5% 0,6% TE ,5% 1,6% TE ,4% 0,7% TE ,4% 2,1% TE ,7% 4,8% TE ,0% 7,9% TE ,3% 1,2% TE ,5% 2,9% TE ,4% 4,1% TE ,0% 5,4% TE ,6% 1,0% TE ,5% 6,2% TE ,2% 6,5% TE ,0% 7,9% Tabela 3 Comparação dos resultados obtdos para o problema TE [1940]

8 Teste n Q Custo MST-BP Custo EW U.B. Melhora EW % Gap TR ,8% 0,0% TR ,0% 0,0% TR ,1% 0,0% TR ,2% 2,9% TR ,7% 2,2% TR ,5% 0,4% TR ,9% 10,1% TR ,9% 17,6% TR ,6% 1,7% TR ,1% 8,7% TR ,8% 22,7% TR ,1% 25,7% TR ,6% 2,0% TR ,6% 1,6% TR ,9% 19,7% TR ,8% 30,5% Tabela 4 Comparação dos resultados obtdos para o problema TR 7. Conclusão O presente trabalho apresentou uma heurístca construtva híbrda para o problema AGCMC para o caso em que as demandas assocadas a cada vértce são não-untáras. Os resultados obtdos apresentaram-se, em sua grande parte, melhores em relação às heurístcas de EW e pores, porém com um pequeno desvo, em relação aos estudos mas recentes realzados por Gouvea e Lopes (2005). A heurístca aqu apresentada, chamada de heurístca MST-BP, por se tratar de um caso relaxado do problema da AGCMC, necessta de uma etapa adconal relaconada com a normalzação da carga nas componentes dos vértces. Feto sso, um procedmento subordnado de melhora é atvado para obtenção de uma solução vável de custo menor. Como fo ctado anterormente, devdo ao grande número de operações envolvdas neste algortmo, o tempo computaconal se mostrou nacetável para nstâncas onde o número de nós é superor a 60. Como perspectva deste trabalho, sugere-se um estudo mas aprofundado e completo de outras metaheurístcas exstentes na lteratura a fm de propcar mas robusteza ao algortmo e melhorar as soluções encontradas. Uma análse aprofundada da heurístca de construção também é de extrema mportânca para torná-la mas rápda e efcente ao soluconar problemas com um número maor do que 60 nós. Referêncas Amberg, W., Domschke & Voss, S. Capactated mnmum spannng tree: Algorthms usng ntelgent search, Combnatoral Optmzaton: Theory and Practce 1, p.9 40, Chandy, K.M. & Lo, T. The capactated mnmum spannng tree, Networks 3, , Esau, L.R. & Wllams, K.C. On Teleprocessng System Desgn. IBM Systems Journal, p , Gouvea, L. & Lopes, M. J. The Capactated Mnmum Spannng Tree Problem: On Improved Multstar Constrants. European Journal Of Operatonal Research 160, p.47 62, Hall, L. Experence wth a cuttng plane approach for the capactated spannng tree problem, INFORMS Journal on Computng 8, , Joth, R. & Raghavachar, B. A Revstng Esau-Wllams Algorthm: On the Desgn of Local [1941]

9 Access Networks, Parallel and Dstrbuted Computng and Systems (PDCS), Kershenbaum, A., Boorstyn, R. & Oppenhem, R. Second-order greedy algorthms for centralzed teleprocessng network desgn. IEEE Transactonson Communcatons; COM- 28:1835 8, Papadmtrou, C. The Complexty Of The Capactated Tree Problem. Networks, 8, p , Remann, M. & Laumanns, M. Savngs based ant colony optmzaton for the capactated shortest spannng tree problem, Computers & Operatons Research; 33: , Souza, M.C., Duhamel, C. & Rbero, C. C.C. A GRASP for the capactated mnmum spannng tree problem usng a memory-based local search strategy, Metaheurstcs: Computer Decson- Makng, M.G.C. Resende e J.P. Sousa (edtors), , Kluwer, [1942]