Universidade Federal do Rio de Janeiro

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1 Unversdade Federal do Ro de Janero APLICAÇÃO DE METAHEURÍSTICA HÍBRIDA NA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DIAL-A-RIDE Maxwell Scardn Kaser 2009

2 COPPE/UFRJ APLICAÇÃO DE METAHEURÍSTICA HÍBRIDA NA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DIAL-A-RIDE Maxwell Scardn Kaser Dssertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenhara de Transportes, COPPE, da Unversdade Federal do Ro de Janero, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Mestre em Engenhara de Transportes. Orentador: Hostlo Xaver Ratton Neto Ro de Janero Novembro de 2009

3 APLICAÇÃO DE METAHEURÍSTICA HÍBRIDA NA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DIAL-A-RIDE Maxwell Scardn Kaser DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA DE TRANSPORTES. Examnada por: Prof. Hostlo Xaver Ratton Neto, Dr. Prof. Márco de Almeda D Agosto, D. Sc. Prof. Glaydston Mattos Rbero, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL NOVEMBRO DE 2009

4 Kaser, Maxwell Scardn. Aplcação de Metaheurístca Híbrda na Resolução do Problema Dal-a-Rde/ Maxwell Scardn Kaser. Ro de Janero: UFRJ/COPPE, XII, 70 p.: l.; 29,7 cm. Orentador: Hostlo Xaver Ratton Neto. Dssertação (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenhara de Transportes. Referencas Bblográfcas: p Transporte. 2. Otmzação / - Transporte. 3. Cluster search. 4. Dal-a-rde. I. Ratton Neto, Hostlo Xaver. II. Unversdade do Ro de Janero, COPPE. Programa de Engenhara de Transportes. III. Título.

5 Dedcatóra A Deus seja Honra, Glóra e Louvor para todo sempre. À Famíla pelo amor, apoo e confança. v

6 Agradecmentos A Deus Soberano e Fel toda Honra, Glóra e Louvor. A mnha Famíla pelo apoo ncondconal que nos momentos mas dfíces não me desampararam. Poder contar com vocês tem me permtdo alçar vôos altos. Em especal à mnha esposa pelo amor, carnho e, sobretudo compreensão com a falta de tempo, nunca me dexando pensar em desstr dos meus objetvos. Nnguém conqusta algo soznho, sonhamos juntos e hoje podemos compartlhar mas esta vtóra. Aos meus tos e prmos pelo apoo e carnho a mm dspensado, especalmente à famíla do prmo Otávo pela acolhda. Aos amgos que dreta ou ndretamente contrbuíram para a concretzação de mas esta etapa, jamas vou esquecê-los. Ao Prof. Hostlo pela orentação, confança e apoo. Aos Professores componentes da banca examnadora, em especal o Prof. Glaydston do CEUNES/UFES pela dedcação, apoo e esforços em auxlar-me. Aos companheros de trabalho, em especal Cel. Das, Saul, Karna, Elzabeth e Beatrz pelo apoo e esforços desprenddos em ajudar-me na conclusão deste trabalho. Aos amgos (as) da secretara do PET, em especal Helena, Jane e Jorge Alberto, pela força e dedcação a mm dspensadas. À CAPES pelo apoo fnancero para realzação deste trabalho. v

7 Resumo da Dssertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Mestre em Cêncas (M. Sc.). APLICAÇÃO DE METAHEURÍSTICA HÍBRIDA NA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DIAL-A-RIDE Maxwell Scardn Kaser Novembro/2009 Orentador: Hostlo Xaver Ratton Neto Programa: Engenhara de Transportes O objetvo deste estudo é analsar a aplcação de uma metaheurístca híbrda na resolução do problema dal-a-rde DARP. Estes problemas têm como característca prncpal o transporte de pessoas que apresentam alguma defcênca físca que reduza a mobldade. O DARP é consderado um problema com função multobjetvo, pos vsa garantr o atendmento da demanda ao menor custo possível, sujeto a manutenção da qualdade dos servços prestados ao usuáro. Dversos pesqusadores têm dspensado grandes esforços na tentatva de construr um modelo que represente o DARP próxmo da realdade. Estudos realzados demonstram que o DARP pertence à classe dos problemas NP-dfícl. Os modelos e métodos exatos utlzados para resolvê-lo, tem se mostrado nefcentes para os casos com mas de 55 requsções de transportes. Dante dsto, este trabalho vsa a aplcação de métodos heurístcos capaz de resolver o DARP em tempo computaconal acetável. Estes métodos não garantem que a solução encontrada seja a ótma, porém permte que soluções boas sejam encontradas com menor esforço computaconal. Neste trabalho utlza-se o método conhecdo como Cluster Search (CS) e a metaheurístca Smulated Annealng (SA), na resolução do DARP. Ao comparar os resultados obtdos através de métodos tradconalmente utlzados como Algortmo Genétco, Busca Tabu, Smulated Annealng (SA) e outros, o CS-SA apresentou resultados semelhantes e, na maora dos casos, melhores. Assm, é possível afrmar que o algortmo CS se consolda como uma ferramenta mportante na resolução de problemas computaconas de alta complexdade como é o caso do DARP. v

8 Abstract of Dssertaton presented to COPPE/UFRJ as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Master of Scence (M.Sc.) APPLICATION OF HYBRID METAHEURISTIC IN TACKLING DIAL-A-RIDE PROBLEM Maxwell Scardn Kaser November/2009 Advsor: Hostlo Xaver Ratton Neto Department: Transportaton Engneerng The objectve of ths study s analyze the hybrd metaheurstc applcaton n dal-a-rde problem DARP resoluton. These problems have as man feature the people transportaton who present some physcally dsable that reduce ther moblty. DARP s consdered a problem wth multobjectve functon, because t guarantees the demand attendance n the lesser possble cost, wth a qualty s mantenance of servces to clents. Many researchers have dspensed efforts tryng to construct a model that represents the DARP more next of realty. Studes demonstrate that DARP NP-hard. The models and exact methods utlzed to solve t, have ndcated neffcency to cases wth more than 55 transportaton requests. Ths study ams the applcaton of heurstc methods able to solve t. These methods do not ensure that a soluton found s the best one, however they fnd good solutons wth less computatonal effort. Ths dssertaton proposes a hybrd method now as Cluster Search (CS) and Smulated Annealng (SA) for solvng DARP based on two metaheurstcs. Comparng the results obtaned aganst tradtonal methods such as Genetc Algorthm, Tabu Search, Smulated Annealng and others, the CS-SA presented smlar results and, n many stuatons, better results. Therefore, t s possble to assert that CS algorthm a useful approach for solvng hgh complexty problems, such as DARP. v

9 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... x LISTA DE TABELAS... x LISTA DE QUADROS... x LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS... x 1 Introdução Vsão geral do DARP Objetvos e Justfcatvas Organzação e Método da Pesqusa Estrutura da Dssertação Revsão Bblográfca Problemas de Roterzação de Veículos Classfcação dos Problemas de Roterzação Problemas de Roterzação e Programação de Veículos Problemas Dal a Rde DARP Modelagem e Resoluções do DARP Algortmos propostos para resolução do DARP Formulações e Modelos Formulação Geral do DARP Modelo proposto por Maur e Lorena (2009) Métodos Heurístcos A Metaheurístca Cluster Search A Metaheurístca Smulated Annealng Cluster Search e Smulated Annealng aplcados ao DARP Representação do DARP Detalhamento da Implementação do CS-SA Consderações Fnas Avalação dos Expermentos Computaconas Descrção dos Resultados Consderações Fnas Conclusões e Recomendações Referêncas Bblográfcas v

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 2.1 Varações do DARP Fgura 2.2 Servço de Coleta de um passagero Fgura 2.3 Troca Intrarotas Fgura 3.1 Fluxograma do CS Fgura 3.2 Convergênca dos métodos CS e SA Fgura 3.3 Estrutura dos pontos Fgura 3.4 Rota de atendmento Fgura 3.5 Lsta de rotas Fgura 3.6 Heurístca de dstrbução Fgura 3.7 Heurístca de programação Fgura 3.8 Algortmo Smulated Annealng utlzado no CS Fgura 3.9 Movmento reordenar rota Fgura 3.10 Movmento realocar pontos Fgura 3.11 Movmento trocar pontos Fgura 3.12 Algortmo EXECUTAR-CS Fgura 3.13 Algortmo utlzado na atualzação dos centros de clusters Fgura 3.14 Busca local Fgura 4.1 Estrutura das nstâncas utlzadas Fgura 4.2 Tempo processamento R1a a R10a Fgura 4.3 Tempo processamento R1b a R10b x

11 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Comparação do CS-SA com o SA proposto por Maur e Lorena (2009) Tabela 4.2 Melhores soluções obtdas pelo CS-SA Tabela 4.4 Tempo de duração das rotas Tabela 4.5 Tempo médo de vagem Tabela 4.6 Tempo médo de espera Tabela 4.7 Tempos de Processamento x

12 LISTA DE QUADROS Quadro 2.1 Caracterzação dos PRPVs...13 x

13 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS Ceturb-GV: Companha de Transportes Urbanos da Grande Vtóra CS: Cluster Search DARP: Dal a Rde Problem ECS: Evolutonary Clusterng Search GRASP: Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures PMR: Pessoa com Mobldade Reduzda PRVs: Problema de Roterzação de Veículos PRPVs: Problema de Roterzação e Programação de Veículos SA: Smulated Annealng VNS: Varable Neghborhood Search x

14 1 Introdução Este capítulo apresenta uma vsão geral do problema, o objetvo e as justfcatvas mas relevantes que motvaram esta pesqusa. Estudos smlares ao apresentado nesse trabalho têm buscado resolver e apresentar novas soluções que vsam garantr a mobldade e a acessbldade dos portadores de defcêncas, ao menor custo possível. Pesqusas realzadas apontam para um crescmento da demanda por servços do tpo dal-a-rde. Este crescmento, não se restrnge apenas ao transporte de pessoas com defcênca físca, conforme chegou-se a convenconar no níco dos anos 80, mas prncpalmente, nos países desenvolvdos estes servços tem sdo estenddos as mas dversas áreas como atendmento domclar por equpes médcas, atendmento a dosos, usuáros de entorpecentes, etc. 1.1 Vsão geral do DARP Dentre a classfcação dos problemas de roterzação e programação de veículos, aqueles que envolvem o transporte de passageros de seus locas de orgem aos seus respectvos destnos, são conhecdos genercamente na lteratura como problemas do tpo dal-arde (Znamensy e Cunha, 1999). O problema de Dal-a-Rde (DARP, do nglês, Dal-a-Rde Problem), consste no desenvolvmento de rotas e escalas de veículos para transportar dversos usuáros, os quas especfcam requsções de embarque e desembarque (coleta e entrega) entre locas de orgem e destno específcos, (Cordeau e Laporte, 2007). O objetvo prncpal desse processo é planejar um conjunto de rotas para alguns veículos, com custo mínmo, capaz de acomodar o maor número possível de usuáros, e sempre obedecendo a um conjunto de restrções (Maur e Lorena, 2009). Consderando, especfcamente o caso do transporte de pessoas portadoras de necessdades especas, um ponto de embarque (coleta) corresponde ao endereço onde um determnado clente deve ser buscado, e o ponto de desembarque (entrega) assocado corresponde ao endereço onde o mesmo clente deve ser entregue. Cada ponto de embarque e seu respectvo ponto de desembarque, juntamente com suas respectvas janelas de tempo, formam uma requsção de transporte de um clente (Maur e Lorena, 2009). 1

15 O DARP pode ser consderado com város objetvos dstntos, como por exemplo: Mnmzar os custos operaconas sujeto à satsfação de toda a demanda; Maxmzar a satsfação da demanda, sujeto à dsponbldade dos veículos; ou A combnação dos tens anterores, no qual, o objetvo prmáro é a busca pelo equlíbro entre custo operaconal e qualdade do servço prestado. 1.2 Objetvos e Justfcatvas Os Objetvos desta pesqusa estão defndos da segunte forma: Estudar um modelo que represente o DARP o mas próxmo da realdade; Implementar em lnguagem computaconal um algortmo que resolva o modelo em tempo acetável; Avalar os resultados obtdos e compará-los com os dsponíves na lteratura. Os problemas relaconados aos sstemas de transportes tem sdo frequentemente, objeto de dscussões, as quas têm dentfcado necessdade de ntervenções para que melhoras sejam alcançadas, de forma a facltar a vda da população, prncpalmente, às localzadas nos grandes centros urbanos. Alguns desses problemas podem ser resolvdos de manera smples, outras, porém, necesstam de estudos mas aprofundados, devdo a aspectos como alta complexdade, alto consumo de recursos, etc. Dentre os problemas complexos que anda necesstam ser resolvdos, estão os problemas de roterzação e programação de veículos. Consderando que o nível de demanda por servços do tpo dal-a-rde tem aumentado, e sto ocorre não só no Brasl, mas em todo o mundo, faz-se necessáro o desenvolvmento de novos métodos automatzados capazes de encontrar soluções que levem a otmzação do sstema, garantndo a satsfação dos usuáros, a um custo total mínmo. Neste estudo, toma-se por base outras pesqusas que consderam o mesmo problema e que procuram resolvê-lo da mesma forma proposta nesta pesqusa. Estas análses dmnuem o rsco, e esforços desnecessáros, na compreensão de modelos, que se mostraram pouco efcentes na resolução destes problemas. A mplementação de novos métodos heurístcos pode apresentar soluções alternatvas para nstâncas de problemas 2

16 conhecdos, e assm, contrbur para o aumento do nível de servço, bem como a dmnução dos recursos consumdos no funconamento adequado do sstema. Outro ponto mportante que merece destaque é o caráter socal do servço, que se destna a atender a parcela da população com dfculdades de se deslocar por meos de transporte convenconas, ou seja, pessoas portadoras de necessdades especas, sobretudo aquelas pertencentes a classes socas desprovdas de recursos própros para executar deslocamentos para acessar servços báscos como saúde, educação, lazer, etc. Sabe-se também que a população braslera está em processo de envelhecmento, o que torna necessáro a cração de servços de coleta e entrega para o atendmento dessas pessoas, garantndo-lhes os dretos báscos assegurados pela Consttução Federal Braslera, como servços de saúde, cultura e lazer. 1.3 Organzação e Método da Pesqusa A fm de levantar os prncpas aspectos que envolvem um estudo da mportânca do DARP, exste a necessdade de se fazer um levantamento dos modelos e métodos propostos para resolver tas problemas. Os modelos e métodos encontrados na lteratura consderam dversos aspectos de acordo com a função objetvo e as característcas mas mportantes que se deseja mnmzar. Por sso, os levantamentos fetos servem para fundamentar o modelo, bem como os métodos heurístcos aplcados na resolução do DARP. Como este é um problema com função multobjetvo, a defnção do método adequado é muto mportante, pos a escolha equvocada pode levar a resultados runs ou até mesmo tornar nvável a utlzação do mesmo, na resolução do problema. O desenvolvmento desta pesqusa consdera os seguntes aspectos prncpas: Análse e levantamento do problema: Consste na análse do problema, os métodos de resolução e seus respectvos resultados. Desta forma é possível conhecer os fundamentos do problema, suas característcas mas relevantes e quas os métodos que melhor se adaptam ao problema, possbltando uma melhor escolha do método a ser mplementado. Defnção do Modelo e do Método Implementado: As nformações obtdas na etapa anteror são fundamentas para a escolha do modelo e métodos que serão utlzados. O modelo analsado neste trabalho é o que representa o DARP de 3

17 forma aproxmada aos problemas reas, pos o mesmo consderada os aspectos fundamentas do problema. Implementação Computaconal: Após a concetuação do problema e a escolha dos métodos, dá-se a fase de mplementação computaconal. Nesta pesqusa optou-se por utlzar a lnguagem computaconal C++, a fm de avalar o comportamento do algortmo Cluster Search (CS) e da metaheurístca Smulated Annealng (SA). Avalações e Comparações: Após o térmno da mplementação é feta uma comparação entre os resultados obtdos com os de outros pesqusadores, permtndo avalar a qualdade dos mesmos, bem como o grau de adaptação dos métodos na resolução do modelo escolhdo para representar DARP. Esta é uma forma utlzada, frequentemente, na medção da qualdade das soluções obtdas, uma vez que, por meo do uso de modelos e métodos que procuram resolver tas problemas de forma exata, não fo possível encontrar uma solução ótma para as nstâncas utlzadas. 1.4 Estrutura da Dssertação Este trabalho está dvddo e organzado da segunte forma: O Capítulo 1 consste da ntrodução em que é apresentado o problema objeto desta pesqusa de forma geral e sucnta, os objetvos e as justfcatvas e a metodologa empregada no desenvolvmento deste estudo. No Capítulo 2, encontra-se a revsão bblográfca e os esforços para contextualzar o DARP dentro dos problemas classfcados como problemas de Roterzação de Veículos. Anda neste capítulo é feto uma revsão dos métodos mas utlzados para resolvê-lo. No Capítulo 3 é apresentado a formulação geral do problema, os aspectos que o caracterzam e o modelo matemátco proposto por Maur e Lorena (2009) para resolvêlo. Encontra-se também uma descrção dos métodos heurístcos Cluster Search e Smulated Annealng e as adaptações necessáras para a resolução do problema. No Capítulo são apresentados os resultados dos expermentos computaconas realzados neste trabalho, bem como uma comparação com outros três trabalhos encontrados na lteratura pesqusada, sendo estas as mas mportantes publcações sobre o assunto, que procuram resolver as nstâncas propostas por Cordeau e Laporte (2003b) 4

18 e, que também são utlzadas nesta pesqusa, como manera de avalar os métodos Cluster Search e Smulated Annealng CS-SA mplementados. O Capítulo 5 apresenta as conclusões resultantes das análses fetas nos resultados obtdos com a aplcação dos métodos CS-SA. Tas conclusões permtram anda esboçar um conjunto de observações que seguem como recomendações aos pesqusadores que desejam, a partr deste trabalho, realzar novas pesqusas sobre este tema de sublme mportânca, tendo como aspecto prncpal o caráter socal do mesmo. 5

19 2 Revsão Bblográfca Este capítulo é resultado das análses efetuadas nos estudos mas mportantes e de elevado destaque sobre o DARP. Ao analsar os trabalhos ctados neste capítulo, tornouse possível adqurr conhecmento sufcente para o desenvolvmento do trabalho proposto, garantndo o alcance do objetvo prncpal do mesmo. Nesta busca por nformações relevantes que caracterzam o referdo problema em questão, fo possível chegar ao estado atual da arte, conhecer os modelos e formulações propostas para representá-lo e os métodos que melhor se adaptam na resolução de cada modelo, dado que as característcas destes podem nvablzar a utlzação de modelos genércos. Tendo como base as análse apresentadas neste capítulo, o DARP pode ser resolvdo de váras formas, mas para que os resultados sejam satsfatóros é necessáro uma observação crterosa dos aspectos que caracterzam o mesmo e como estão representados dentro do unverso dos problemas classfcados como de roterzação de veículos. 2.1 Problemas de Roterzação de Veículos Segundo Novaes (1989), o prncpal problema logístco assocado a transporte, é o de roterzação de veículos, conhecdo na lteratura como o Problema de Roterzação de Veículos (PRVs). De manera generalzada, o problema de roterzação de veículos consste em defnr um conjunto de pontos, que devem ser atenddos sequencalmente, vsando à mnmzação dos custos totas de atendmento. Esse conjunto de pontos, também chamado de rotero, é defndo a partr de uma base ou depósto, garantndo o atendmento de cada ponto e sua respectva demanda exatamente uma vez de forma que a capacdade do veículo não seja excedda em nenhum ponto do rotero (Cordeau e Laporte, 2003b). Entretanto, na maora dos casos, este modelo básco não condz com a realdade das organzações e clentes envolvdos, exstndo anda, outras restrções operaconas que na prátca são ndspensáves ao se analsar um problema de tamanha mportânca. Um exemplo destes tpos de restrções é encontrado no caso em que cada clente pode ter seu horáro específco para atendmento, ou anda, não só receber como também, envar produtos, caso a empresa trabalhe com coleta e entrega de mercadoras. Além dsso, deve-se levar 6

20 em consderação o tempo de carga ou descarga nos pontos de coleta e/ou entrega, dentre outros. Os problemas de roterzação de veículos tem sdo objeto de estudo em dversas áreas de pesqusa e sua aplcação aparece em dversos contextos, tas como: Entrega de mercadoras em estabelecmentos como bares e restaurantes; Reabastecmento de caxas eletrôncos; Abastecmento e transporte de combustíves; Coleta de óleo resdual em restaurantes para produção de Bodesel; Servços de entrega de produtos adqurdos pela nternet como lvros, eletrodoméstcos, computadores, etc.; Captação de doações para atendmento a carentes e/ou vítmas de catástrofes; Transporte de pacentes entre undades (centros de tratamento e hosptas) ou busca de pacentes em casa para tratamento em undades hosptalares; Coleta de Lxo, materal para exames laboratoras, medção de servços como energa, água, etc.; Entrega de encomendas expressas (correos); Transporte de pessoas portadoras de necessdades especas por meo da utlzação de veículos de baxa capacdade, como vans, veículos adaptados, etc. Com o aumento das restrções operaconas que mplcam em aumento da complexdade do problema, encontrar ntutvamente uma boa solução na programação e execução da dstrbução físca de produtos, servços e/ou pessoas, torna-se uma tarefa cada vez mas dfícl. É neste contexto que dversas pesqusas têm sdo realzadas, a fm de se alcançar um modelo que melhor represente estes problemas, bem como a construção de uma ferramenta flexível, que seja efcente no planejamento dos roteros, de forma que garanta, a otmzação da operação dos sstemas de dstrbução. Desde a segunda metade do século XX, os problemas de roterzação de veículos vêm sendo objetos de estudos em dversas áreas como Cênca da Computação, Engenhara de Produção, Engenhara de Transportes, etc. Isto se deve a dos fatores prncpas: o prmero dz respeto à mportânca da resolução do problema para o setor operaconal 7

21 das organzações e, o segundo, por representar uma parcela sgnfcatva dos custos de dstrbução. No Brasl, dversos pesqusadores têm concentrado esforços na resolução dos PRVs, característcas como o tpo de servço (porta a porta) e alados ao fato do País possur uma matrz de transportes caracterzada pelo modo rodováro, são as prncpas justfcatvas para estes estudos. Como este modo é o responsável pelo transporte de pessoas e dos mas dversos tpos de produtos, os PRVs possuem grande mportânca para o desenvolvmento das empresas e cdades. Dentre os prncpas fatores que aumentam a mportânca dos problemas de roterzação, encontram-se os seguntes: O aumento dos custos de transporte e o fato dos mesmos corresponderem a maor parte dos custos logístcos; A mudança nos cenáros econômcos naconal, prncpalmente, após o plano real com a establdade da economa; A globalzação e economa de mercado (aumento da compettvdade); As exgêncas dos clentes em relação a prazos, datas e horáros de entrega têm aumentado; As restrções e dfculdades de encontrar locas de estaconamento, prncpalmente, nos grandes centros urbanos, bem como o crescmento das cdades, aladas à crescente taxa de motorzação; O avanço dos sstemas da computaconas; A popularzação dos computadores e ferramentas de apoo à tomada de decsão; O desenvolvmento dos modelos de programação matemátca voltados para otmzação de sstemas de transporte, como modelos em rede, branch-andbound, relaxações lagranganas, heurístcas e metaheurístcas, etc. Alguns dos fatores destacados acma foram mpulsonados, pelo advento da nternet e o surgmento do comérco eletrônco. Estes fatores têm provocado mudanças no perfl dos consumdores, não só pela possbldade de comprar sem sar de casa, como também receber os produtos num prazo curto. A nternet também tem possbltado anda a 8

22 utlzação de roterzadores onlne, para a construção de roteros, que tornem os deslocamentos mas efcentes. Mesmo depos de mas de meo século estudando os problemas de roterzação de veículos, anda não fo possível estabelecer, em mutos casos, um modelo capaz de soluconá-los de forma ótma. A alta complexdade destes problemas os elevou a classe NP-Dfícl, ou seja, o tempo de resolução aumenta de forma exponencal à medda que se aumenta o número de pontos de atendmento (requsções). Segundo Cunha (2000), alguns dos fatores mas mportantes que dfcultam a construção destes modelos e, consequentemente a aplcação de métodos para resolvê-los, são: Falta de conhecmento do problema, que mplca em escolhas erradas (métodos, software, etc.); Dados que não representam a realdade; Soluções podem varar mesmo para dados e problemas smlares; e Problemas com grande número de restrções. Segundo Brejon e Belfore (2006), exstem duas característcas própras que podem tornar mas dfícl a resolução dos problemas de roterzação de veículos. Anda segundo os autores, estas dfculdades podem resultar em erros na formulação e resolução dos PRVS e, por consegunte, a qualdade dos resultados: Escolha do problema a resolver: qual o problema? Identfcar o problema a ser resolvdo, bem como seus objetvos, é essencal para a construção de um modelo capaz de soluconá-lo. Mutas vezes, ao se tentar resolver um problema perde-se muto tempo procurando a resposta certa ao nvés de procurar a questão certa a responder. Nível de conhecmento: A escassez de nformação provoca ncertezas ou falta de confabldade da solução, por outro lado, o excesso de nformação pode provocar um aumento do tempo de resolução, ou até mesmo tornar nvável a representação matemátca do problema, ou anda, nvablzar a resolução do mesmo por meo da utlzação de métodos computaconas. Assm sendo, o equlíbro entre escassez e excesso é determnado pelo nível de conhecmento que se tem acerca do problema em análse. 9

23 As buscas por novas soluções computaconas para dversos tpos de problemas, não devem ser justfcadas apenas pela rapdez com que se obtêm os resultados, pos, resultados rápdos não são snônmos de resultados bons. No caso específco dos problemas de roterzação de veículos, Brejon e Belfore (2006) apresentaram resultados de uma análse dos benefícos alcançados com a utlzação de ferramentas computaconas, aplcadas especfcamente na resolução destes problemas. Dentre os benefícos ctados destacam-se: A obtenção de rotas mas curtas e mas rápdas; Dmnução do número de veículos utlzados; Redução dos custos operaconas; Maxmzação da utlzação do veículo (capacdade); Aumento do nível de servço ao clente; e, Melhoras na capacdade de tomada de decsão. O fato dos problemas de roterzação possuírem objetvos comuns, não sgnfca dzer que os métodos de resolução são aplcados de forma trval, pos exstem algumas característcas específcas que os transformam em problemas dferentes, levando à construção de modelos dversos que mplcam na utlzação de métodos dstntos de para resolvê-los. Por sso, a construção de modelos que representem tas problemas, geralmente, segue alguns passos comuns e são formuladas dentro de uma determnada classfcação prelmnar Classfcação dos Problemas de Roterzação Segundo Bodn et al. (1983), os problemas de roterzação estão classfcados em problemas de roterzação pura e problemas de roterzação e programação combnados. Nos problemas de roterzação pura, o objetvo prncpal é mnmzar a dstânca total percorrda, consderando para sso, apenas as condconantes espacas, ou seja, não são avaladas aspectos como as restrções temporas e a precedênca de servços (coleta e/ou entregas). Já os problemas de roterzação e programação combnados, consderam as característcas espacas, temporas e de precedênca, de forma que, a solução encontrada, seja a que represente a mnmzação dos custos, respetando sempre os aspectos que caracterzam o problema em estudo. Geralmente, os PRVs são modelados 10

24 como um problema de grafos em que as demandas podem estar concentradas nos nós (vértces, pontos) e/ou nos arcos (arestas), porém não necessaramente em todos os arcos, pos assm, o mesmo sera caracterzado como um problema do cartero chnês. Exstem outras classfcações, mas para Cunha (2000), a classfcação feta por Bodn et al (1983) é consderada uma das mas mportantes, pos avala os prncpas tpos de problemas de roterzação de veículos. Podem ser encontradas anda, outras formas de classfcar os PRVs. Uma dessas é por meo da herarquzação dos parâmetros de acordo com a função objetvo proposta no modelo. Dentre esses parâmetros, encontram-se os seguntes: Clentes: estes possuem demanda que pode ser determnístca ou estocástca. Quanto à localzação, podem estar em um ponto ou arco. Além das restrções espacas, os clentes podem ter anda, restrções temporas, preferênca, etc.; Frota: Pode ser homogênea e heterogênea. Outra característca mportante é o tamanho da frota; Restrções aos veículos: Quanto aos veículos, deve ser consderada a capacdade (peso e volume), tpo de carga e de operação. Funconáros ou trpulação: envolvem dados como carga horára, ntervalos para refeções, horas extras, etc. Tpo de operação: quanto à operação, podem ser somente servços de coleta ou entrega, ou anda, um combnado dos dos. Em caso de servço combnado acrescenta-se a restrção de precedênca, que neste caso é em função da demanda. Tpo de carga: pode ser únca, msta. O tpo de carga possblta o operador determnar qual o tpo de veículo será necessáro para atendmento da demanda. Pode-se perceber que dante do grande número de parâmetros que compõem um problema de roterzação, exste uma enorme dfculdade na modelagem de tas problemas, pos estes englobam város parâmetros essencas, que nterferem de manera consderável na função objetvo, de tal forma que, até mesmo uma herarquzação dessas característcas não é uma tarefa smples. Sendo assm, para se ter um modelo que represente o problema e, consequentemente, uma boa solução, é necessáro conhecer 11

25 bem os fundamentos do mesmo, a fm de que este o modelo proposto represente a realdade da forma mas smples possível. Assm, dentre os objetvos comuns nos problemas de roterzação destacam-se os seguntes: Mnmzação dos custos varáves; Mnmzação dos custos fxos; Mnmzação da soma de custos fxos e varáves; Mnmzação do tempo de duração das rotas; Mnmzação do número de veículos necessáros para atendmento da demanda; Maxmzação do nível de servço e/ou satsfação e/ou prordades dos clentes; Balanceamento de rotas; Dmensonamento de frota; e, Mnmzar a utlzação de frota própra ou fretada. 2.2 Problemas de Roterzação e Programação de Veículos Os problemas classfcados como de roterzação e programação de veículos PRPVs, possuem aspectos que os tornam dferencados, quanto ao número de restrções. Como ctada anterormente, além das restrções consderadas nos problemas de roterzação pura, os PRPVs consderam anda aspectos temporas como, horáro de atendmento, precedênca de tarefas, etc. Uma classfcação dos problemas de roterzação e programação de veículos bastante dfundda na lteratura fo proposta por Ronen (1988). Nesta classfcação são consderados aspectos operaconas e quas os objetvos devem ser alcançados, respetando sempre as característcas do problema em análse. A segur são destacadas algumas dessas característcas de acordo com o tpo de problema: Problemas relatvos ao transporte de passageros: programação de lnhas de ônbus; servços de táx; servços de transporte de pessoas com mobldade reduzda, geralmente, pessoas portadoras de necessdades especas e dosas, 12

26 conhecdos como problema dal-a-rde; transporte de escolares por ônbus, vans e outros; Problemas de prestação de servços: roterzação e programação de equpes de reparos ou de servços públcos, tas como: coleta de lxo (regular e seletva), entrega postal, letura de parquímetros, nstalação e conserto de telefone fxo, atendmento a chamadas domclares, como manutenção de máqunas, tubulações, etc.; Fara (2005) apresentou uma formulação para reprogramação de rotas em tempo real para o caso de atendmento as solctações de reparos por clentes de uma operadora de telefona fxa. Para valdar a formulação fo aplcado um método heurístco que possbltou o alcance de bons resultados. Problemas relatvos ao transporte de carga (coleta e dstrbução). Pode ser consderado o mas smples de resolver, pos, a aplcação de novos concetos na análse do problema, apresentam sgnfcatvas reduções no número de parâmetros que precsam ser consderados. Como exemplo, pode-se estabelecer horáros para entregar os produtos em clentes onde exsta a dfculdade de acesso em horáro comercal. Desta forma, após essas defnções, são cradas rotas específcas para o atendmento a esses pontos, prevamente estabelecdos, facltando a aplcação de janelas de tempo mas relaxadas, smplfcando a modelagem matemátca do problema. Isto se deve, prncpalmente, a sua mportânca para o setor operaconal das organzações e pelo custo de dstrbução representar uma parcela sgnfcatva do custo total. Quadro 2.1 Caracterzação dos PRPVs Característcas Parâmetros Tamanho: Um ou mas veículos. Frota Tpo: Homogênea, heterogênea e veículos adaptados (transporte de defcentes). Compatbldade: tpo de veículo e o tpo de produto a ser transportado. Localzação: uma ou mas garagens. 13

27 Demanda: determnístca, estocástca. Clentes Localzação; nós, arcos, combnação arcos e nós. Tpo de carga: únca ou múltplas. Veículos Capacdade: peso, volume. Tpo de operação: coleta, entrega e a combnação de servços de coleta e entrega. Duração da rota, não deve exceder um tempo máxmo permtdo. Condções Temporas Tempo de atendmento. Horáro de coleta e entrega. Janelas de tempo rígdas ou não. Tpo de requsção: somente coletas, entregas, coletas de retorno. Tamanho da demanda: um únco produto ou múltplos produtos. Atendmento parcal ou total da demanda. Atendmento Status: conhecmento da demanda a pror e exstênca de ncertezas na demanda. Frequênca: Necessdade de programação de vstas peródcas com frequêncas defndas. Nível de prordade: baxa ou alta prordade de atendmentos. Um dos prncpas problemas de roterzação e programação de veículos, que apresentam dversas característcas demonstradas no Quadro 2.1, é o que envolve o transporte de pessoas portadoras de necessdades especas e/ou pessoas dosas, conhecdo como problema dal-a-rde ou do nglês Dal-a-Rde Problem - DARP. Pode ser ntutvo dzer que, os problemas dal-a-rde são smplesmente, problemas de 14

28 roterzação e programação. Mas, apesar do DARP apresentar característcas smlares ao servço de coleta e entrega, exstem outros aspectos que os tornam um pouco mas complexos. Como o DARP é caracterzado pelo transporte em que as cargas são pessoas e não objetos, a qualdade dos servços prestados é um fator essencal que necessta ser consderado ao se tentar modelar tal problema. Fara (2005) apresenta um estudo de caso que é um PRPVs, que trata do atendmento de clentes de telefona fxa, mesmo sendo um servço que consdera város aspectos semelhantes ao DARP, este não pode ser classfcado como um problema do tpo dal-a-rde. Pode-se perceber que, o grande número de restrções consderadas nos PRPVs, dfculta a construção de um modelo matemátco, que represente felmente, o que ocorre em casos reas. Entretanto, dependendo da função objetvo, é possível organzar essas característcas de forma que apenas algumas sejam consderadas, facltando com sso a mplementação de modelos matemátcos, capazes de representar problemas reas. Isto ocorre, por exemplo, no transporte escolar, onde os transportados são pessoas e os parâmetros que envolvem tempo, são de fundamental mportânca, para o nível de servço prestado. 2.3 Problemas Dal a Rde DARP Segundo Znamensy e Cunha (1999) os problemas modelados como problemas de roterzação e programação de veículos PRPVs podem ser aplcados em dversos tpos de stuações. Dentre essas destacam-se aquelas que envolvem o transporte de passageros de seus locas de orgem aos seus destnos, são conhecdos genercamente na lteratura, como problemas dal-a-rde ou smplesmente DARP,. Geralmente, estes problemas envolvem o transporte porta-a-porta de pessoas dosas e/ou portadoras de necessdades especas. Ao contráro dos servços de táxs convenconas, em que cada passagero é atenddo de manera ndvdual, no DARP, váras pessoas, com dferentes orgens e destnos, podem ser transportadas ao mesmo tempo pelo veículo, ou seja, pode-se ter em determnado ponto do rotero, váras pessoas com destnos dferentes e anda, uma demanda heterogênea. O termo dal-a-rde pelo qual são conhecdos decorre da possbldade dos servços serem solctados por telefone. O Dal-a-Rde Problem DARP consste no desenvolvmento de rotas e escalas de veículos para transportar dversos usuáros, os quas especfcam requsções de 15

29 embarque e desembarque (coleta e entrega) entre locas de orgem e destno específcos, (Cordeau e Laporte, 2007). No caso específco do transporte de pessoas com mobldade reduzda (PMRs) ou portadoras de necessdades especas, um ponto de embarque (coleta) corresponde ao endereço onde uma determnada PMR deve ser apanhada, e o ponto de desembarque (entrega) assocado, corresponde ao endereço onde a mesma PMR deve ser entregue. Cada ponto de embarque e seu respectvo ponto de desembarque, juntamente com suas respectvas janelas de tempo, formam uma requsção de transporte de um clente (Maur e Lorena, 2009). A maora dos estudos relaconados ao DARP admte que, a frota dsponível para atendmento das requsções de transportes é homogênea e está localzada em uma únca garagem, porém, sto não é uma regra geral em stuações reas, prncpalmente em regões geográfcas de grandes dmensões. Exstem casos com váras garagens e dependendo do tpo de servço prestado, a frota pode ser heterogênea, como é o caso, por exemplo, das organzações que prestam servços a dversos tpos de pessoas com mobldade reduzda, em que às vezes é necessáro transportar não só clente, mas também, sua cadera de rodas (Maur e Lorena, 2009). A Fgura 2.1 apresenta essas possbldades de dsposção dos veículos: a parte (a) mostra o caso com garagem únca, representada por (G) e a parte (b) garagens múltplas, representadas por G1 e G2. Nos dos casos a requsções de embarque são representados pelos círculos verdes com a letra E, e, as de desembarque pelos amarelos com a letra D. Fonte: Adaptado de Maur (2008). Fgura 2.1 Varações do DARP Exstem varações dos PRPVs, para as quas anda não foram encontradas uma solução ótma, como é o caso do DARP. Isto se deve, prncpalmente, ao aumento da complexdade do problema à medda que se aumenta o número de restrções do mesmo. 16

30 A utlzação de técncas varadas, como por exemplo, as técncas de ntelgênca artfcal, têm sdo ferramentas mprescndíves na construção de soluções boas, mas, não ótmas para mutos casos. Os problemas conhecdos como DARP podem ser subdvddos em problemas estátcos e dnâmcos. No prmero caso, todas as requsções de transporte são conhecdas a pror, enquanto que no segundo caso, são consderadas requsções fetas ao longo do da (normalmente por telefone). Neste últmo caso, no níco do da conhece-se apenas alguns pontos de atendmento, sendo que as novas requsções surgdas durante o da deverão ser alocadas às rotas e atenddas pelos veículos que as operam, ou seja, as rotas são ajustadas em tempo real de acordo com a nserção de novas demandas, mas estes casos, não são muto comuns na prátca (Cordeau e Laporte, 2003b). Apesar dos modelos dnâmcos serem uma alternatva que permte uma nteratvdade maor com o usuáro, a aplcação destes modelos em problemas reas torna-se pratcamente nvável, devdo o grande custo computaconal para resolvê-los, bem como a dfculdade de serem mplementados, tornando assm, o uso dos modelos estátcos mas ntensos, pos são mas smples de serem aplcados na prátca. Por ser o estudo do DARP voltado para o atendmento de pessoas portadoras de necessdades especas, geralmente, assocado a algum fator que reduz mobldade, o nível de servço torna-se um aspecto de grande mportânca. Esta é a prncpal característca que justfca o estudo do DARP de manera dstnta dos demas problemas de roterzação e programação de veículos, pos ao transportar pessoas, surge a necessdade de se garantr o melhor nível de servço. Uma forma de avalar a qualdade dos servços prestados é estabelecer um lmte máxmo permtdo para as nconvenêncas aos usuáros. A garanta de um melhor nível de servço camnha de forma nversa ao objetvo prncpal de todo e qualquer prestador de servço, que é o menor custo total possível. O estudo do DARP tem sdo justfcado nos países da Europa e Amérca do Norte por ações que vsam, não só mplantar servços para atendmento da crescente demanda, mas, revsar a gestão dos sstemas em funconamento, a fm de garantr o bem estar das pessoas portadoras de necessdades especas e dos dosos, etc. Outro fator mportante que tem contrbuído para estas pesqusas é a necessdade de ajustes nos gastos por parte das organzações, ou seja, exste um crescmento da demanda, que precsa ser atendda a um custo mínmo. Cordeau e Laporte (2003a) apresentam anda, dos fatores prncpas 17

31 que motvam o crescmento de tas servços. O prmero consdera o envelhecmento da população e, o segundo, a preocupação dos governos com a mplantação de novos servços de atenção a saúde domclar e assstênca às pessoas em processo de desntoxcação (usuáros de drogas). No Brasl, este tpo de transporte se restrnge a pouquíssmas cdades, algumas como São José dos Campos SP, Sorocaba SP, São Paulo SP e na regão da Grande Vtóra ES, por exemplo, já prestam o servço à população que necessta de tas atendmentos. Ao optarem por um servço dferencado, para atender esta parcela da população, os governos garantem bem estar e ntegração socal. No caso do Espírto Santo, o servço é denomnado Servço Especal Mão na Roda, mplantado pelo Governo do Estado através da Ceturb-GV (Companha de Transportes Urbanos da Grande Vtóra). O objetvo prncpal do projeto é oferecer um atendmento dferencado de transporte coletvo urbano, para pessoas portadoras de necessdades especas, que fazem uso de caderas de rodas. A mplantação deste servço se deve às dfculdades que esses cdadãos têm de se locomoverem por meos do transporte convenconal, garantndo assm, a mobldade dos chamados caderantes, promovendo a nclusão socal nos seus compromssos profssonas, médcos, de educação ou de lazer. A Fgura 2.2 mostra o embarque de usuáro do Servço Especal Mão na Roda. Fonte: Ceturb-GV (2009). Fgura 2.2 Servço de Coleta de um passagero Outro exemplo muto nteressante deste tpo de problema é apresentado por Melachrnouds et. al. (2007). Segundo os autores, nos Estados Undos o aumento do número de usuáros de drogas e álcool é um problema crescente, e mutas organzações 18

32 de saúde tem se dedcado daramente a prestar servços de atendmento a pessoas afetadas por tas problemas. Anda segundo os autores, dos fatores fundamentas servram de base para este estudo, a crse econômca e a necessdade de amplação do número de atendmentos. No estudo apresentado pelos autores o conjunto de requsções de transportes representa vagens programadas para desntoxcação, atendmento médco/pscológco, entrevstas em centros de recuperação, etc. Neste estudo de caso, o levantamento encontrou uma descentralzação do sstema de transporte, entre os centros de tratamento, que resultavam em nefcêncas no sstema, como duplcação de vagens, horáros de atendmento desordenados e, encamnhamento manual dos procedmentos. Estas nefcêncas produzam crescentes custos de transporte, vagens noportunas, longo tempo de espera por atendmento, tempo extra de vagem, tempo ocoso e subutlzação da capacdade dos veículos. Desta forma, o prncpal objetvo do trabalho fo desenvolver um modelo matemátco, capaz de mnmzar custos de transportes e os nconvenentes para os clentes, consderando todas as requsções, obedecendo sempre um conjunto de restrções. Assm, os autores utlzaram um modelo dal-a-rde, a fm de mnmzar os custos com transportes e os nconvenentes aos usuáros. Outro aspecto mportante que merece ser destacado é o processo de envelhecmento da população braslera. Desta forma, surge a necessdade de mplantação de servços de coleta e entrega para o atendmento á essas pessoas, garantndo com sso o acesso aos servços báscos essencas, garantdos consttuconalmente. 2.4 Modelagem e Resoluções do DARP Analsando os modelos que representam o DARP, vê-se que os mesmos demonstram algumas característcas semelhantes, pos, procuram resolvê-lo de manera que possblte a redução dos custos com transporte, satsfazendo um conjunto de restrções. Outras característcas podem ser encontradas nos problemas classfcados como DARP, de forma que os mesmos sejam transformados em problemas com função multobjetvo (Maur e Lorena, 2009). Dentre esses aspectos, destacam-se: Custos operaconas, sujeto a satsfação de toda a demanda; Satsfação da demanda, sujeto a dsponbldade dos veículos; Dstânca total percorrda; Número de veículos utlzados para o atendmento das requsções; 19

33 Tempo de duração das rotas (rota não deve exceder o tempo máxmo); Tempo de permanênca dos clentes (usuáros) dentro dos veículos (tempo de vagem não deve exceder tempo máxmo); Tempo de espera nos locas de embarque e desembarque (tempo de espera não deve exceder tempo máxmo); Capacdade do veículo não pode ser excedda em nenhum momento; Inco do servço deve respetar os ntervalos pré-estabelecdos. Podem exstr anda, outras característcas conhecdas como restrções de atendmentos, sto se deve pela necessdade das requsções estarem dvddas em coletas (embarque) e entregas (desembarque), gerando assm, a restrção de precedênca uma vez que não é possível desembarcar alguém que não fo embarcado. Conforme Znamensy e Cunha (1999), tas restrções não estão presentes em problemas de roterzação que envolvem a coleta ou dstrbução físca de produtos, tornando nvável a aplcação de métodos de resolução conhecdos na lteratura, como o método das economas de Clar e Wrght (1964). Para Cordeau e Laporte (2007), uma tendênca comum na construção dos modelos é permtr que os usuáros, defnam suas janelas de tempo de atendmento. Mas este procedmento dfculta substancalmente, a aplcação de métodos de resolução, especalmente, nos casos onde as janelas defndas são estretas. Por sso, consderam que os modelos DARP podem ter dos aspectos geras: Mnmzar os custos, sujeto a plena satsfação da demanda; Maxmzar a satsfação da demanda, sujeto a dsponbldade dos veículos. Em tempos de avanços tecnológcos parece contradtóro dzer que, para mutos problemas de roterzação, anda não se conhece soluções ótmas e, dentre estes problemas está o DARP. Isto se deve, a fatores como modelos sem equlíbro, quanto aos requstos a serem mnmzados, e anda, a complexdade mplícta em tas problemas. No caso do DARP, estudos mostram que problemas com apenas 60 pontos de atendmento, não se conhece uma solução ótma. Dante de tas dfculdades e pelas característcas presentes nos problemas reas, pode-se afrmar que, é uma tarefa bastante complexa, resolvê-los de forma que se alcance a otmaldade. 20

34 Dante do exposto anterormente, vê-se que formular matematcamente o problema não é uma tarefa smples e requer conhecmentos aprofundados sobre o problema, bem como, sensbldade para extrar as característcas mas mportantes. Outros fatores, relaconados com o que se deseja mnmzar na função objetvo, exercem forte nfluênca na construção de modelos, para resolver deste tpo de problema. Como exemplo, pode-se defnr um modelo que prorze a mnmzação dos custos operaconas em detrmento dos benefícos. Mas no caso do DARP, esta não sera uma boa alternatva de solução, pos o nível de servço é muto mportante para o funconamento adequado do sstema. No captulo 3 que trata o desenvolvmento do trabalho, será descrto o modelo matemátco elaborado por Cordeau e Laporte (2006), bem como as adaptações fetas por Maur e Lorena (2009), que vsam ntroduzr uma melhora no nível de servço nas soluções apresentadas. 2.5 Algortmos propostos para resolução do DARP Geralmente, os PRPVs encontrados na lteratura seguem uma classfcação de acordo com os métodos de resolução, que podem ser exatos e heurístcos. Como pode ser vsto nos trabalhos de Cordeau e Laporte (2003b) e em Maur e Lorena (2009), os métodos exatos apresentam séras dfculdades quanto ao tempo de processamento despenddo na tentatva de resolver problemas de ordem méda (50 requsções), dfcultando com sso sua aplcação na resolução de problemas reas, uma vez que, nesses casos os números de requsções são bem maores que sso. Métodos heurístcos são mas rápdos que os métodos exatos, porém não garantem que a solução ótma seja alcançada. Dentre os métodos heurístcos mas utlzados para resolver estes problemas, destacam-se Algortmo Genétco (AG), Smulated Annealng (SA), Greedy Randomzed Adaptve Search Procedures (GRASP), Colôna de Formgas (CF), Busca Tabu (BT) e Inserção Paralela (IP). Desrosers et al. (1986) apresentaram um algortmo de tempo polnomal para resolver um problema em que os atendmentos possuíam janelas de tempo e, deveram ser realzados por um únco veículo. Este método fo baseado em programação dnâmca e de forma sstemátca consste em elmnar estados ncompatíves que volam restrções de capacdade do veículo, tempo e precedênca. O algortmo se mostrou 21

35 computaconalmente efcente para resolver problemas relatvamente pequenos, ou seja, capaz de resolver nstâncas do DARP com até 40 requsções. Jaw et al. (1986) propuseram uma heurístca de nserção paralela para problemas dal-arde, com múltplos veículos e restrções de janelas de tempo. Neste trabalho, o problema fo consderado de forma bem próxma da realdade, ou seja, com múltplos veículos e com restrções de janelas de tempo. Os autores apresentaram uma heurístca denomnada Heurístca de Inserção Paralela, cuja dea prncpal consste em ordenar as solctações de atendmento por um crtéro de horáro, e nserí-las, segundo a ordenação adotada, nas rotas que resultem em menor aumento de custo. Este método fo testado com sucesso para uma base de dados de aproxmadamente 2600 clentes e 20 veículos. É mportante destacar que essas nstâncas representavam o problema para város das de operação, ou seja, nem todos os clentes solctavam atendmento no mesmo da. Na tentatva de resolver o DARP e encontrar uma solução ótma, Dumas et al. (1991) desenvolveram um método exato, baseado no algortmo de Geração de Colunas. O problema consderado era composto por frota homogênea e restrções de janela de tempo. O método proposto neste trabalho mostrou ser efcente para resolver problemas com no máxmo 55 solctações de atendmento. Madsen et al. (1995) ntroduzram modfcações no método desenvolvdo por Jaw et al. (1986), adotando um crtéro de dfculdade para ordenar as solctações. O objetvo prncpal deste crtéro é garantr prordade a solctações com restrções mas rígdas, tornando o procedmento de nserção mas efcente, pos nos passos ncas da heurístca, os veículos alocados nas rotas estão mas vazos, e há um número maor de alternatvas de nserções váves. Toth e Vgo (1996) apresentaram uma heurístca de nserção paralela para o problema com múltplos veículos e restrções de janela de tempo, nclundo um método de melhora de busca local. Neste modelo, o problema fo dvddo em duas categoras. A prmera, chamada de troca ntra-rotas, consste na tentatva de melhora que se dá pela alteração na sequênca em que as requsções de transporte serão atenddas. Já a segunda, chamada de troca nter-rotas, consdera a possbldade de trocar requsções de transporte entre rotas dstntas. A Fgura 2.3 apresenta um exemplo da troca ntrarotas. Segundo os autores, o método fo testado com sucesso em um conjunto de cerca de 1500 solctações procedente de um caso real, na cdade de Bologna - Itála. Ao 22

36 aprmorar o método de melhora com a nclusão do método de busca local, dervado do conhecdo método da Busca Tabu, os autores conseguram sgnfcatvas melhoras, quando comparados com os resultados obtdos na versão orgnal do projeto (Toth e Vgo, 1997). Fonte: Maur (2008). Fgura 2.3 Troca Intrarotas. Znamensy e Cunha (1999) abordaram o DARP utlzando uma adaptação da Heurístca de Inserção Paralela proposta por Madsen et al. (1995), acompanhada de uma fase de melhora das rotas obtdas, semelhante a apresentada por Toth e Vgo (1996). Vale destacar aqu, uma característca muto mportante deste trabalho: o mesmo fo substancado com o estudo de caso real, extraído da operação do ATENDE, servço de transporte de defcentes gerdo pela São Paulo Transporte S/A. Este servço é voltado, especfcamente, para o atendmento de dosos e portadores de necessdades especas por veículos de pequena capacdade (peruas ou vans). Essas nstâncas correspondem a um da típco do mês de novembro de 1998, totalzando 349 requsções de transporte (clentes) e 84 veículos dsponíves, localzados em 47 garagens dstrbuídas no muncípo de São Paulo. A partr do ano de 1998 a aplcação de metaheurístcas tem crescdo sgnfcatvamente, pos estes métodos, apesar de não garantrem a obtenção da solução ótma, possbltam a nserção de váras restrções, de forma que o aumento da complexdade do problema seja amenzado. Metaheurístcas são métodos de melhoras que trabalham a partr de uma solução ncal, tentando encontrar uma solução ótma. Em mutos casos, esses métodos são empregados com a fnaldade de reduzr o esforço computaconal necessáro para resolver problemas de alta complexdade, como é o caso do DARP. As metaheurístcas mas encontradas na lteratura para resolver estes problemas são Algortmos Genétcos, Busca Tabu, Colôna de Formgas e Smulated Annealng. 23

37 Baugh et al. (1998) apresentaram um estudo no qual o DARP é resolvdo utlzando a metaheurístca conhecda como Smulated Annealng. Neste caso, aplcou-se a técnca conhecda como agrupar prmero e roterzar depos, ou seja, as requsções de atendmento são prmeramente organzadas em clusters e, em seguda, os roteros e as programações são resolvdos para cada um desses clusters, separadamente. A fase de agrupamento é realzada pelo Smulated Annealng e, a fase segunte, com a aplcação da heurístca do vznho mas próxmo. Os resultados obtdos são baseados em um conjunto de dados de um problema real com 300 clentes. Os autores destacam anda, que os resultados encontrados são muto próxmos do ótmo global. Jh et al. (2002) utlzaram Algortmo Genétco para resolver um problema de coleta e entrega, com janelas de tempo e apenas um veículo. Esse algortmo permte a exploração de soluções nváldas durante a busca, neste caso, uma rota é defnda por um cromossomo que representa a sequênca de locas a serem atenddos pelo veículo. A função objetvo consdera apenas os custos de vagem do veículo e as volações nas restrções. Nessa abordagem, são utlzadas nstâncas geradas aleatoramente com até 100 clentes, sendo o tempo de processamento necessáro para resolvê-las de aproxmadamente 38 mnutos. Uma abordagem que utlza a metaheurístca Busca Tabu para resolver o DARP é apresentada por Cordeau e Laporte (2003b). Neste caso, o problema é tratado de forma estátca, com dversos veículos, frota homogênea e garagem únca. Outro detalhe deste estudo é a comparação de três métodos heurístcos, P1, P2 e P3, que, juntamente com a Busca Tabu, são utlzados para resolver o problema. O prmero (P1) vsa apenas a mnmzação das volações nas janelas de tempo, enquanto o segundo (P2), além de procurar mnmzar essas volações, busca também a mnmzação do tempo de duração rotas. Já o tercero (P3) consdera os mesmos aspectos que os anterores, porém objetva anda a redução nos tempos de permanênca dos clentes no nteror dos veículos. Os resultados obtdos mostram que P1 e P2, por serem mas smples", são mas rápdos que P3, porém as soluções geradas por P3 são sgnfcatvamente melhores. Todos os resultados são obtdos a partr de nstâncas geradas aleatoramente, baseadas em nformações ceddas pela Montreal Transt Commsson (MTC) de Montreal - Canadá. Essas nstâncas varam de 24 a 144 clentes. Além dsso, eles apresentam outros resultados obtdos para nstâncas de problemas reas (com 200 e 295 clentes) ceddas por uma transportadora dnamarquesa. 24

38 Dana e Dessouy (2004) apresentaram uma nova heurístca para a versão estátca do DARP com janelas de tempo. Neste estudo desenvolveu-se uma rota de ncalzação por meo da ntrodução de um peddo ncal para cada um dos veículos, consderando os efetos espacas e temporas como pesos. No passo segunte utlzou-se a heurístca de nserção paralela com pesos, para o restante dos peddos que não foram nserdos na ncalzação das rotas, em vez de classfcar os peddos por determnados crtéros, por exemplo, menor prazo de entrega. Da mesma forma que as heurístcas de nserção clásscas, esta nserção acumula uma matrz de custo ncremental para cada um dos peddos não atrbuído e quando atrbuída a cada uma das rotas exstentes. O peso dos custos é uma medda de potencal dfculdade, se um peddo não é medatamente atrbuído, então é calculado o peso para cada peddo, e o algortmo busca o peddo com maor peso e procura nserí-lo nos horáros atuas. Todo o procedmento é repetdo até que todos os peddos sejam nserdos. Neste estudo, consderou-se frota sem restrções de capacdade, o que dfculta a aplcação desta técnca em problemas reas, pos tas característcas estão presentes nestes casos. O sucesso do método comprovou-se pela aplcação do algortmo para um estudo de caso real, com solctações de transporte, resultando em uma redução de 8% da frota em comparação com o clássco modelo de nserção sequencal, proposto por Solomon (1987). No entanto, para 100 requsções, o estudo aponta que a melhora na qualdade da solução usando a heurístca de nserção por peso, é margnal. Attanaso et al. (2004) apresentaram um estudo onde procuraram resolver o DARP de manera dnâmca, utlzando computação paralela por meo da mplementação de heurístcas paralelas a partr dos concetos aplcados no método da Busca Tabu. Tal estudo fo motvado pela boa adaptação do método da Busca Tabu na resolução dos problemas estátcos, realzados por Cordeau e Laporte (2003b). Os expermentos computaconas apresentados por Attanaso et al. (2004) demonstraram que a utlzação de computação paralela pode proporconar grandes benefícos para a resolução em tempo real de problemas correlaconados ao DARP. Cordeau (2006) apresenta uma abordagem exata para resolver o problema utlzando o algortmo Branch-and-Cut, garantndo assm a obtenção da solução ótma para o problema que fo tratado de forma estátca, com múltplos veículos, frota homogênea e garagem únca. Os resultados foram obtdos a partr de nstâncas geradas aleatoramente com no máxmo 32 clentes. Maur e Lorena (2009) apresentam um 25

39 modelo matemátco para resolver o problema de forma exata, entretanto, o software CPLEX (ferramenta bastante utlzada em modelos de otmzação) não fo capaz de resolver em 60 mnutos nstâncas que combnam 24 a 144 requsções de atendmento e 3 a 13 veículos, porém ao aplcar uma metaheurístca fo encontrada uma solução boa com tempo nferor a 3 mnutos. Como em problemas reas o numero de requsções normalmente são bem superores às utlzadas nos expermentos, torna-se justfcável então, a mplementação de novos modelos e métodos capazes de resolver esses problemas em tempos computaconas menores. Uma aplcação do método de programação ntera msta conhecdo como Brach and Bound e da heurístca Busca Tabu é apresentada por Melachnouds et al. (2007). Ao estudar um problema real, de uma organzação de saúde nos Estados Undos, os autores procuraram resolvê-lo consderando duas funções objetvos. A prmera propõe a redução do custo total de transportes, enquanto que a segunda está relaconada com a qualdade do servço, pos busca a mnmzação da nsatsfação dos usuáros, através da dmnução do tempo de espera por atendmento, menor tempo entre atendmentos, etc. Devdo às característcas do problema, os autores encontraram dfculdades para aplcar o método exato Brach and Bound na resolução de nstâncas maores. Isto justfcou a utlzação do método heurístco da Busca Tabu para soluconar o problema. Abordando o DARP de forma estátca com múltplos veículos, múltplas garagens e frota heterogênea, Jorgensen et al. (2007) apresentaram um estudo que emprega Algortmo Genétco para resolvê-lo de forma semelhante ao que fo proposto por Baugh et al. (1998). Para encontrar a solução, os autores se valeram de uma forma clássca de tratar o problema, conhecda como método de duas fases, agrupar prmero e roterzar depos. Na prmera fase, o Algortmo Genétco é utlzado para agrupar (dstrbur) os clentes nos veículos, ou seja, determnar quas clentes serão atenddos, por determnado veículo. Já na fase segunte, ocorre a roterzação e a programação que é realzada de forma ndvdual para cada veculo, por meo da heurístca do vznho mas próxmo, sendo aplcado o mesmo conceto que Baugh et al. (1998). Os resultados são obtdos a partr das nstâncas geradas aleatoramente por Cordeau e Laporte (2003b). Maur e Lorena (2009) buscando aprmorar os estudos fetos por Cordeau e Laporte (2003b), compararam dos métodos para resolver o DARP. No prmero caso utlzou-se a ferramenta CPLEX, na tentatva de resolver o modelo matemátco de forma exata, não 26

40 sendo este capaz de encontrar uma solução ótma em 60 mnutos, para nstâncas que combnam 24 a 144 requsções de atendmento e 3 a 13 veículos. Assm, resolveram adotar uma combnação de heurístcas de programação e dstrbução com a metaheurístca Smulated Annealng, na tentatva de obterem êxto na resolução do problema. O modelo adotado pelos autores representa o problema de forma relaxada, ou seja, alguns tens consderados como restrções essencas ao problema, tornam-se parte da função objetvo a ser resolvda, dexando assm, de serem vstas como smples restrções. Apesar desta abordagem permtr soluções nváldas, do ponto de vsta computaconal, sto é sgnfcatvo, pos torna a resolução menos árdua. Os prncpas resultados obtdos por Maur e Lorena (2009) estão descrtos na Seção 4.1 deste trabalho, onde é realzada uma comparação com os encontrados pela aplcação dos métodos CS-SA proposto nesta pesqusa, para resolver o DARP. Os estudos analsados, com exceção do apresentado por Attanaso et al. (2004), consderam o DARP de forma estátca, sto pode ser justfcado pela dfculdade de operação dos sstemas dnâmcos. Desde os anos 80 do século XX, têm sdo apresentados estudos que procuram consderar o problema de manera dnâmca, entretanto, tas pesqusas, na maora dos casos não são aplcáves em casos reas. Em algumas pesqusas que tratam o caso do DARP dnâmco, na prátca parte apenas algumas requsções são avaladas como dnâmca, ou seja, o problema é consderado dnâmco apenas nos aspectos macros. 27

41 3 Formulações e Modelos Neste capítulo é apresentado a formulação geral do DARP, um modelo matemátco que o representa e os métodos adotados neste trabalho, para resolvê-los. Como pôde ser vsto no Capítulo 2 deste trabalho, exstem dversas formas de resolver o DARP. Entretanto, os modelos que procuram representar o problema de forma exata têm apresentado dfculdades de serem resolvdos de forma ótma e, prncpalmente, serem aplcados na resolução de problemas reas. Com sso, pesqusadores têm procurado desenvolver modelos que os represente, de tal forma, que seja possível encontrar soluções aproxmadas, por meo da utlzação de métodos heurístcos, garantndo assm, a obtenção de soluções boas. 3.1 Formulação Geral do DARP A formulação geral do DARP parte do prncpo que exstem n clentes (requsções de transporte) a serem atenddos por m veículos. Cada requsção de transporte é formada por um ponto específco de embarque e um de desembarque n+. Para representar o problema são defndos os seguntes conjuntos: K: conjunto dos veículos dsponíves ( K = m). G - : conjunto de garagens de orgem. G + : conjunto de garagens de destno. P: conjunto dos locas de embarque. U: conjunto dos locas de desembarque. N = {G - P U G + }: conjunto com todos os locas (pontos). Um detalhamento desta representação mostra que para cada clente ( P) exste uma demanda específca q que necessta ser atendda, ou seja, o número de assentos que o mesmo ocupará no veículo, outro dado mportante é a defnção de dos horáros para atendmento. No prmero é especfcado um horáro para embarque de um usuáro no ponto de orgem [e,l ] e, outro que ele gostara de desembarcar no seu local destno [e n+ ; l n+ ], estas nformações são conhecdas como janelas de tempo. A carga q deve ser um valor postvo nos pontos de embarque e o mesmo valor, porém negatvo, nos respectvos pontos de desembarque. 28

42 Para cada clente ( P) exste um tempo máxmo de vagem R assocado, ou seja, o tempo máxmo que o clente poderá permanecer no nteror do veículo. Para todo local ( { P U}) é assocado um tempo máxmo de espera W, ou seja, o tempo máxmo em que os veículos poderão fcar esperando até o níco do servço. Entende-se como servço o embarque ou desembarque de um clente em determnado local, sendo atrbuído ao mesmo, um tempo adconal, caso seja necessáro para a concretzação do atendmento, representado por s. Após a defnção dos pontos que representam as garagens e os pontos de requsções de transporte é possível obter as dstâncas d,j, os tempos de duração das vagens t,j e os custos de deslocamento c,j entre os pontos e j, onde,j N e j. Para cada veículo ( K) exste uma capacdade Q (quantdade de assentos dsponíves), um tempo máxmo de duração da rota assocada T, e a ndcação do níco de sua rota em uma garagem específca G - e termno da rota em outra garagem de destno G +, podendo ser a mesma ou não. Cada garagem possu suas própras janelas de tempo para partda (garagem de orgem) e chegada (garagem de destno). Exste anda um conjunto de restrções, geralmente chamadas de requstos essencas, que precsam ser consderadas na resolução do DARP. A obrgatoredade da satsfação desses requstos tem como fnaldade prncpal, garantr soluções váldas, em casos de problemas prátcos. Dentre esses requstos destacam-se os seguntes: O tempo de duração da rota executada pelo veículo ( K) não deve exceder o tempo máxmo permtdo T ; O tempo de vagem do clente ( P) não deve exceder o tempo máxmo de vagem permtdo R ; O tempo de espera no local ( {P U}) não deve exceder o tempo máxmo de espera permtdo W ; A capacdade Q ( K) dos veículos não pode ser excedda em nenhum ponto da rota; e, O níco do servço em todos os pontos de embarque ( N) deve estar dentro dos ntervalos pré-estabelecdos [e, l ] e [e n+, l n+ ]; Após todas essas defnções tem-se que o objetvo do modelo é mnmzar os custos operaconas e a nsatsfação dos clentes, ou seja, mnmzar os requstos não- 29

43 essencas do problema, satsfazendo sempre os requstos essencas consderados no problema em análse. Após o levantamento de todas as nformações descrtas anterormente, é possível então defnr as varáves de decsão, que servrão a todo processo de roterzacão e programação dos veículos. Assm consdera-se: A como sendo o horáro de chegada no ponto ( N) pelo veículo, sendo A = 0 se G e = se { + P U G } ; A D + 1 t 1, D representa o horáro de partda do ponto ( N), novamente pelo veículo ; sendo D = 0 se + G e D B + s = se { P U} e D = B se G, tal que s é o tempo de realzação do servço; B representa o horáro de níco do servço no local ( N), sendo B = D se + G e B = max{ e, A } se { P U G }; W representa o tempo antes do níco do servço no ponto ( N), sendo W = 0 se G e W + = B A se { P U G }; Q ndca a carga (numero de assentos ocupados) do veículo após o térmno + do atendmento no ponto ( N), sendo Q = 0 se { G G } e Q = Q 1 + q se { P U} ; e, R como sendo o tempo de vagem do clente ( P) no veículo, sendo R = B + D. n Feto sso, consdera então x 1 se o veículo se deslocar do ponto para o ponto j e, j = x, j = 0, caso contráro. Consderando os aspectos mas relevantes que caracterzam o DARP, pesqusas desenvolvdas por especalstas em estudá-los, como pode ser vsto em Cordeau (2006), Bergvnsdottr (2004) e Maur e Lorena (2009), entre outros, demonstram que a construção de modelos matemátcos que representem o DARP de forma exata, não tem obtdo resultados para casos que se assemelham a problemas reas. Desta forma, os 30

44 modelos matemátcos que permtem uma resolução utlzando métodos heurístcos, têm aumentado de manera sgnfcatva entre os pesqusadores. Vsando aperfeçoar ou mesmo amadurecer o conhecmento acerca dos problemas dala-rde, Cordeau (2006) apresenta um modelo matemátco que smplfca a representação do problema. Uma das formas de se alcançar essa smplfcação é por meo da redução do número de varáves e restrções. Se por um lado faclta a mplementação de métodos de resolução, por outro, essas smplfcações podem nvablzar a utlzação de tal modelo em casos reas, uma vez que trata apenas de problemas com frota homogênea (todos os veículos possuem uma mesma capacdade), garagem únca (todos os veículos começam e termnam sua rota na mesma garagem) e com custo fxo. Desta forma, não é possível alcançar o equlíbro entre custos operaconas e as nconvenêncas dos usuáros (clentes). Vsando ntroduzr aspectos que possbltassem melhoras no nível de servço, Maur e Lorena (2009) apresentam um aperfeçoamento do modelo proposto por Cordeau (2006). As alterações propostas pelos autores procura anda garantr uma melhor adaptação do modelo a problemas reas. Como as nstâncas desenvolvdas por Cordeau e Laporte (2003b), são orgnáras de casos reas, os resultados apresentados demonstram que o modelo matemátco proposto por Maur e Lorena (2009) consdera o equlíbro entre as nconvenêncas dos clentes e os custos operaconas, tas característcas possbltam afrmar que o mesmo pode ser uma alternatva na resolução de problemas prátcos. 3.2 Modelo proposto por Maur e Lorena (2009) Ao analsar os dversos modelos encontrados na lteratura é possível afrmar que os mesmos apresentam grandes contrbuções, na forma matemátca de representar o DARP. Como estes problemas possuem alto grau de complexdade, encontrar um modelo que seja capaz de representá-lo, bem como ser aplcado na resolução de problemas reas, não é smples. Mesmo alguns desses modelos apresentando dfculdades de serem aplcados em casos prátcos, pode-se afrmar que são excelentes pontos de partda para consoldar tas estudos. No modelo matemátco proposto por Maur e Lorena (2009), o DARP é tratado de forma estátca, ou seja, todas as requsções são conhecdas a pror, com múltplos veículos, com frota heterogênea (cada veículo possu uma capacdade dstnta) e 31

45 garagens múltplas (cada veículo começa e termna sua rota em garagens especfcas). Este modelo é dervado de outros modelos apresentados por Cordeau (2006), Cordeau e Laporte (2003a), Cordeau e Laporte (2003b) e Jorgensen et al., 2007), e representa o problema de forma bastante aproxmada com os problemas reas. O modelo proposto por Maur e Lorena (2009) é do tpo multobjetvo, pos busca mnmzar, concomtantemente, os custos operaconas e a nsatsfação dos clentes, ou seja, mnmzar os requstos não-essencas do problema. As prncpas dferenças entre os modelos propostos por Cordeau (2006) e Maur e Lorena (2009) estão na forma de consderar os requstos essencas. Com o objetvo de facltar a aplcação de métodos para resolver o modelo, Maur e Lorena (2009) procuraram representar o problema de forma relaxada, ou seja, algumas restrções passaram a compor a função objetvo como pode ser vsto nas equações 3.1 e 3.2. Essa consderação torna mas suave a obtenção de uma solução para o problema, porém permte encontrar soluções nváldas. Como apresentado no níco deste capítulo o modelo matemátco proposto por Maur e Lorena (2009) abrange os requstos essencas e os não essencas. Entende-se por requstos essencas os apresentados na Seção 3.1. Já os requstos não essencas estão relaconados com a dstânca total percorrda pelos veículos, número de veículos utlzados no atendmento às requsções, tempo de duração das rotas, tempo de vagem dos clentes e tempo de espera nos locas de embarque e desembarque. A segur é apresentado o modelo desenvolvdo por Maur e Lorena (2009): Mnmze: w ( d x ) + w x + w ( B + D + w R + w W 0, j, j 1, 2 ) g j g g K N j N ; j K j P K 3 P 4 { P U } + (3.1) ρ max{0,( B + D ) T } + ρ max{0, R R' } + ρ max{0, W W' + (3.2) } g g K P { P U } ρ 3 max{ 0, Q x, j Q } + ρ4 ( max{0, e B } + max{0, B l} ) (3.3) K { P U }; j { P U } j ; j n N Sujeto a: j { P { g + }} x 1 K g =, j (3.4) 32

46 33 1 }} { {, = + g U j j g x K (3.5) = K j U P j j x 1 }; {, P (3.6) 0 ; }}; { {, }; {, = n j j g U P j j n j U P j j x x P K ; (3.7) 0 }; {, ; }}; { {, = + j U P j j n j j g U P j j x x P K ; (3.8) 0 ; }}; { {, }; {, = + + n j j g U P j j j U P j j x x U K ; (3.9) ( ) = K j W t s B B x j j j,, j N j ;, (3.10) ( ) + = K j q Q Q x j j, j N j ;, (3.11) W B A = } { + G U P (3.12) s B D + = } { G U P (3.13) n D B R = + P (3.14) = 0 = = = = + + g g g g g W Q Q D A K (3.15) Q D B W A,,,, rrestrtas N (3.16) R rrestrta P (3.17) { 0,1}, j x j N j K ;, ; (3.18) Como descrto anterormente, o modelo proposto por Maur e Lorena (2009) é multobjetvo e, é composto de duas partes. A Equação 3.1 procura mnmzar os

47 requstos não-essencas do problema. Já as Equações 3.2 e 3.3 vsam mnmzar as volações dos requstos essencas. Além dsso, os requstos não-essencas são penalzados por um vetor de números nteros postvos (pesos) w = [w 0 ; w 1 ; w 2 ; w 3 ; w 4 ], e os essencas com um vetor semelhante ρ = [ρ 0 ; ρ 1 ; ρ 2 ; ρ 3 ; ρ 4 ]. A fnaldade das restrções 3.4 e 3.5 é garantr que cada veículo partrá de sua garagem de orgem e chegará a sua garagem de destno uma únca vez, ou seja, cada rota ncará em sua garagem de orgem e termnará na respectva garagem de destno. A restrção 3.6 defne que cada clente será atenddo uma únca vez, ou seja, por apenas um veículo. A restrção 3.7 vsa garantr que um ponto de embarque estará sempre na mesma rota que seu respectvo ponto de desembarque. As restrções 3.8 e 3.9 servem para lmtar o uso, ou seja, garantr que o total de embarques seja gual ao total de desembarques. A restrção 3.10 determna o horáro de níco do servço e o tempo de espera em cada ponto de embarque e também o veículo que o atenderá cada requsção de transporte. Outro objetvo deste conjunto de restrções é garantr a elmnação de sub-rotas (subtours), presentes no caso do DARP, como pode ser vsto em Cordeau (2006). A restrção 3.11 representa a carga dos veículos em cada ponto, enquanto as restrções 3.12, 3.13 e 3.14 garantem, respectvamente, um cálculo correto dos horáros de chegada e partda nos pontos de orgem e destno e dos tempos de vagem dos clentes. A restrção 3.15 ncalza algumas varáves referentes às garagens. Fnalmente, a restrção 3.18 serve apenas para garantr que as varáves de decsão x, j sejam bnáras, enquanto as restrções 3.16 e 3.17 garantem que as demas varáves sejam rrestrtas. Segundo Maur e Lorena (2009), uma das vantagens deste modelo é que o mesmo smplfca a forma de representar o problema, por meo da redução no número de varáves e restrções, juntamente, com o número de arcos do problema da mesma forma que o proposto por Cordeau (2006), de forma que o problema fca mas adequado à realdade. Fnalmente, deve ser feto aqu uma observação sobre o modelo matemátco proposto por Maur e Lorena (2009). Segundo os autores, tal modelo pode ser aprmorado e até mesmo adaptado, provavelmente, possbltando a utlzação de ferramentas computaconas dsponíves no mercado. 34

48 3.3 Métodos Heurístcos Devdo à complexdade do modelo matemátco apresentado na Seção 3.2 escolher um método capaz de resolvê-lo não é uma tarefa smples. O grande número de varáves e restrções presentes no DARP dfculta essa escolha, uma vez que a escolha de um método nfluenca dretamente na qualdade da solução. Conforme apresentado anterormente, métodos exatos não têm sdo efcentes na resolução de problemas reas, pos estão lmtados a resolver problemas com um número bastante reduzdo de requsções de transporte, nvablzando a aplcação destes em problema reas. Assm sendo, a utlzação de métodos heurístcos combnados com metaheurístcas aplcados ao DARP tem sdo uma prátca comum entre os pesqusadores. Método Heurístco é um procedmento que se basea na experênca ou julgamento para encontrar uma solução acetável, ou seja, não sgnfca dzer que, necessaramente, esta seja a melhor. A boa adaptação destes métodos na resolução de problemas como o DARP, tem sdo um dos aspectos que mas nfluencam a aplcação em dversas áreas de pesqusas como Intelgênca Artfcal, Redes de Computadores e Arqutetura de Computadores, Engenhara de Transportes, Pesqusa Operaconal, etc. O uso de métodos heurístcos tem sdo justfcado por alguns fatores, como: Métodos exatos nem sempre são capazes de resolver determnados problemas ou não é possível modelá-lo de forma exata; Métodos exatos nváves de serem tratados computaconalmente; Métodos heurístcos são de fácl compreensão, quando comparado a outros; métodos, facltando a mplementação computaconal; Alto custo computaconal para resolver o problema de forma exata; e, Necessdade de uma resposta de boa qualdade em um tempo computaconal reduzdo. Os métodos heurístcos são classfcados como métodos construtvos e melhoratvos. No prmero caso, o algortmo tem como fnaldade gerar a solução ncal do problema, partndo de determnado ponto, que pode ser um cluster, por exemplo. Já no segundo o algortmo vsa determnar uma melhora nas soluções encontradas por meo da aplcação de uma heurístca qualquer. Um dos gargalos na utlzação de métodos heurístcos deve-se a dfculdade de escapar de ótmos locas, surgndo assm, outra metodologa, chamada de metaheurístca, composta por mecansmos que procuram 35

49 forçar o escape destes pontos de ótmos locas, permtndo a busca em regões dentfcadas como, supostamente, mas promssoras. Como o objetvo prncpal deste trabalho é a aplcação de métodos heurístcos na resolução do DARP, a defnção de quas métodos poderam ser aplcados, só fo possível após um amplo estudo sobre o comportamento de dversos métodos em outras pesqusas sobre o assunto. Dentre os métodos encontrados observou-se que o Smulated Annealng, utlzado por Maur e Lorena (2009) apresenta excelentes resultados, para as nstâncas propostas por Cordeau (2003) A Metaheurístca Cluster Search Após pesqusar quas métodos poderam ser avalados na resolução do DARP, chegouse a conclusão de que a utlzação de uma metaheurístca híbrda podera alcançar resultados mportantes, uma vez que a aplcação desta técnca em outros problemas, tem apresentado resultados bastante promssores, no que dz respeto a tempo de processamento. A metaheurístca híbrda escolhda é conhecda como Cluster Search e, é um método dervado do aperfeçoamento do algortmo de Busca Evolutva por Agrupamentos (ECS, do nglês, Evolutonary Clusterng Search), proposto por Olvera e Lorena (2004). Esta técnca conhecda também como heurístca híbrda, combna metaheurístcas com outras técncas de otmzação e, seu objetvo prncpal é detectar e explorar áreas supostamente promssoras através de métodos de busca local. Essas característcas possbltam que a busca seja ntensfcada somente em áreas que tenham um grande potencal de melhora da solução. Desta forma, problemas com dmensões cada vez maores podem ser resolvdos de forma satsfatóra e em tempo acetável, resultando em menor consumo de recursos. A partr deste método, Olvera (2004) propôs algumas modfcações com o ntuto de generalzar o algortmo responsável por gerar soluções para o processo de agrupamento e clarear as déas acerca do método. Devdo a esta generalzação, o nome do método fo smplfcado para Busca por Agrupamentos (CS, do nglês Cluster Search). Bascamente, as modfcações vsam dexar o método mas efcente e smples de ser mplementado. O ECS se basea no fato de que, ao longo do processo de busca de um algortmo evolutvo, há uma maor concentração de ndvíduos em regões nas quas estão os 36

50 ndvíduos mas bem avalados. Sendo assm, um processo de agrupamento é executado teratvamente com um algortmo evolutvo, contablzando o número de ndvíduos gerados em regões do espaço de busca e dentfcando grupos de ndvíduos com smlardades, que mereçam especal atenção. A dea central do método é detectar regões promssoras por mérto de frequênca, baseado na quantdade de soluções geradas em cada regão de busca. Uma ntensfcação da busca é realzada nas regões promssoras tão logo sejam detectadas (Olvera, 2004). Já o Cluster Search procura dvdr o espaço de busca e localzar regões promssoras por meo do enquadramento desses em clusters. Um cluster pode ser defndo por três atrbutos C = {c,v,r}. O centro c é uma solução que representa o cluster, dentfcando a sua localzação dentro do espaço de busca. Ao nvés de armazenar todas as soluções agrupadas no cluster, apenas parte das nformações destas soluções são atrbuídas ao centro do cluster. O volume v é a quantdade de soluções agrupadas no cluster. Um cluster se torna promssor quando o seu volume atngr certo lmtante λ. O índce de nefcáca r é uma varável de controle para dentfcar se a busca local está ou não melhorando o centro do cluster. O valor de r ndca o número de vezes consecutvas que a busca local fo aplcada no cluster e não melhorou a solução. Este atrbuto evta que a busca local seja executada em regões runs ou regões que já tenham sdo sufcentemente exploradas por mas de r max vezes. Para que o algortmo possa agrupar soluções em clusters é necessáro defnr alguma forma de medr a dstânca entre duas soluções. Sendo assm, uma função de medda de dstânca, d(,j), é defnda, a pror, para calcular a dstânca entre duas soluções e j, ou seja, a dstânca é um número postvo que é proporconal a dstânca entre as duas soluções. O Cluster Search é um método teratvo que possu três componentes prncpas: uma metaheurístca, um processo de agrupamento e uma heurístca de busca local. A cada teração do CS, uma solução S é gerada pela metaheurístca e envada para o processo de agrupamento. Essa solução é então agrupada no cluster mas smlar C j e o centro do cluster c j é atualzado com nformações contdas na nova solução agrupada, fazendo com que o centro se desloque no espaço de busca. Em seguda é analsado o volume v j do cluster. Caso esse volume seja maor que um lmtante λ, defndo a pror, sso ndca que algum padrão de solução está sendo predomnantemente gerado pela metaheurístca, e que esse cluster pode estar em uma regão de busca promssora. Mas, 37

51 se a heurístca de busca local não tver obtdo sucesso nas últmas r max aplcações neste cluster (índce de nefcáca r j r max ) é aplcada uma perturbação aleatóra no centro c j, objetvando escapar de um possível ótmo local. Por outro lado, se r j < r max, uma busca local é aplcada no centro c j analsando a vznhança do cluster. Encerrado o processo de agrupamento, retorna-se para a metaheurístca que rá gerar uma outra solução. O crtéro de parada do CS é defndo pela metaheurístca escolhda. A Fgura 3.1 apresenta o fluxograma de execução do CS. A prncpal vantagem do algortmo Cluster Search se deve a aplcação de métodos busca local somente em regões supostamente promssoras por meo do agrupamento de soluções que possuem certa smlardade. Assm o objetvo do CS é melhorar o processo de convergênca da função objetvo assocado a uma dmnução no esforço computaconal em vrtude do emprego mas raconal dos métodos busca local. Fonte: Chaves (2009). Fgura 3.1 Fluxograma do CS Analsando a aplcação deste algortmo em outros problemas, percebe-se que o mesmo vem apresentando ótmos resultados quando comparados a outros métodos heurístcos, 38