MODELAGEM HEURÍSTICA NO PROBLEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS FRACIONADAS DE CIMENTO

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1 MODELAGEM HEURÍSTICA NO PROBLEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS FRACIONADAS DE CIMENTO Marcos Mura Cláudo Barber da Cunha Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Sstemas Logístcos Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo RESUMO Este artgo trata do problema do agrupamento de cargas fraconadas na dstrbução do cmento ensacado partndo de um depósto central. O problema consste em defnr quas entregas de cmento serão carregadas untas em um determnado veículo, de modo a aprovetar ao máxmo sua capacdade e ao mesmo tempo reduzr o custo logístco com as dstâncas entre os pontos de destno. Em partcular, o método de resolução será dvddo em três fases, nas quas a prmera e a segunda fase referem-se a problemas de mutas entregas para um únco ponto, onde a dstanca é rrelevante. Para esta etapa, é proposto um método heurístco de resolução, utlzando algortmo genétco, baseado em problemas de bn-packng (BPP). Para a etapa segunte é consderado o agrupamento para pontos de entrega dstantes, cua resolução basea-se no método de economas de Clarke & Wrght para roterzação de veículos. ABSTRACT Ths paper deals wth the problem of mergng less-than-truckload delveres n bagged cement dstrbuton from a central depot. The problem conssts n defnng whch cement delveres shall be loaded n each gven vehcle, n order to maxmze the vehcle full capacty as well as reduce dstance-based logstcs costs. Partcularly, the resoluton method s dvded n three phases; the frst and the second phases are related to problems of combnng several delveres to a sngle destnaton pont, n whch dstances among delveres can be assumed rrelevant. For ths step, a heurstc method s proposed, whch reles on a genetc algorthm for the bnpackng problem (BPP). In the next step, the mergng of dfferent delvery ponts that are apart from each other s consdered, whch s based on Clarke & Wrght s savngs algorthm for the vehcle routng problem. 1. INTRODUÇÃO O mercado de cmento atual no Brasl é muto compettvo. A presença de város competdores em busca de uma fata do mercado faz com que os preços baxem, e com sso o lucro operaconal das empresas deste segmento também. Desta forma, surge uma necessdade ncessante de aumentar a margem comercal das vendas, sea através da redução dos custos, onde a logístca possu grande representatvdade, sea na busca de canas de dstrbução mas rentáves, além de outros fatores. Com sso, uma tendênca de algumas dessas empresas passou a ser o foco em clentes menores, no vareo, que podem proporconar uma margem de venda melhor. Por outro lado, o aumento da partcpação de clentes de pequeno porte dfculta a atvdade logístca de dstrbução, devdo à pulverzação geográfca dos mesmos. Além dsso, a dmnução do tamanho do peddo médo feto por cada clente faz com que o trabalho de agrupamento das entregas nos veículos torne fundamental para a redução dos custos. O cmento é um produto de valor agregado baxo. Isto reduz a necessdade por um tpo de transporte específco para sua dstrbução. Desta forma, a grande proporção do transporte rodováro de cmento ensacado no Brasl é realzada por transportadores autônomos ou pequenas empresas transportadoras. Nesse contexto, o presente trabalho aborda o problema da dstrbução de cmento, que compreende a otmzação do agrupamento das entregas nos veículos de forma a reduzr a frota necessára e o custo com o frete pago aos transportadores. A dstrbução de cmento normalmente não se restrnge a uma cdade ou regão metropoltana. Geralmente são atenddos város muncípos a partr de uma base de orgem, de

2 dferentes tamanhos, cada qual com dversos pontos de entrega. Normalmente, a dstânca de deslocamento desde o local de orgem onde é carregado o veículo até um muncípo onde são realzadas as entregas é de magntude muto superor às dstâncas de percurso entre entregas consecutvas. Tendo em vsta o mercado abrangdo, as característcas do produto a ser entregue, os tempos envolvdos (de entrega e de deslocamento do veículo), o número de entregas por veículo é normalmente baxo, nferor a 10 e na méda em torno de 5 a 6; consequentemente, em geral, torna-se necessáro despachar mas de um veículo para as entregas em um muncípo ou em muncípos vznhos, próxmos entre s. A forma de contratação do transporte, e de remuneração dos transportadores autônomos ou pequenas empresas transportadoras, favorece esse agrupamento por muncípo, uma vez que um custo adconal é ncorrdo quando as entregas ocorrem em muncípos dstntos, levando à necessdade do veículo se deslocar uma dstânca maor para completar as entregas. Além da dstânca adconal a ser percorrda, entregas em muncípos dstntos, ou locas dstantes entre s, leva a uma dmnução da produtvdade dos veículos, tendo em vsta o menor tempo dsponível para as entregas, que devem ocorrer dentro das anelas de recebmento dos clentes, normalmente lmtadas ao horáro comercal de funconamento desses estabelecmentos. Tudo sso, assocado à não exstênca de mapas dgtas para a grande maora dos muncípos onde devem ser realzadas entregas, com exceção daqueles de maor porte, leva a uma programação da dstrbução onde a localzação dos destnos é consderada em nível de muncípo. Este tpo de consderação é muto convenente para a stuação real, vsto que, a cada da, surgem novos clentes, de modo que, obter a localzação geo-referencada exata de cada um, ou as coordenadas geodéscas, é nvável. Desta forma, serão formados clusters de clentes em macro regões, onde para cada clente novo cadastrado na base de dados, defne-se este ponto de localzação chamado de zona de transporte, que pode representar sua cdade ou barro (no caso de cdades grandes). Com sso, podemos ter mutas entregas para um mesmo ponto de destno. Com base no exposto acma, é proposta uma estratéga de solução buscando otmzar a programação da dstrbução dára de cmento aos pontos de entrega, que compreende a defnção, para cada muncípo ou zona de transporte, quantos veículos de cada tpo serão necessáros, e quas pontos de entrega serão alocados a cada veículo, buscando mnmzar a despesa total de frete. Como são normalmente reduzdas as dstâncas entre pontos de entrega alocados a um mesmo veículo, não há necessdade de defnção do rotero ou seqüênca de entregas alocadas ao veículo, o que smplfca o problema e permte consderar uma abordagem de solução heurístca, nsprada em uma generalzação do chamado problema de bn-packng (BPP). Para os pontos de entrega remanescentes, sto é, todos aqueles que não permtram completar a carga de algum dos veículos alocados a cada um dos muncípos ou zonas de transporte, é então resolvdo um problema de roterzação, que consste em agrupar e roterzar esses conuntos de pontos, de forma a mnmzar o custo de transporte. Para tanto é proposta uma heurístca baseada no método de economas para o caso mas geral de frota heterogênea. A estratéga de solução é aplcada a um problema real de uma grande empresa do setor de cmentos, comparando-se os resultados obtdos com a solução pratcada pela empresa. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O problema de roterzação de veículos (Vehcle Routng Problem - VRP) consste em determnar rotas para uma frota de veículos com restrções de capacdade, segundo percursos fechados a partr de um depósto central e entregando quantdades defndas de carga em

3 pontos específcos (Bodn et al., 1983). O crtéro de otmzação mas freqüentemente utlzado é a mnmzação da dstânca total percorrda. Problemas de VRP foram exaustvamente estudados por dversos autores na lteratura. Uma estratéga de solução para o VRP é a clusterzação ou agrupamento dos nós. Consste em agrupar os nós ou arcos de demanda prmero, e depos construr rotas econômcas para cada agrupamento. Gllet e Mller (1974) e Fsher e Jakumar (1981) aplcaram esta estratéga para roterzação de veículos com um únco depósto. Uma varação do VRP é o problema de roterzação de veículos com entregas fraconadas (Vehcle Routng Problem wth Splt Delveres - VRPSD), onde um mesmo ponto de destno pode receber mas de um veículo e a demanda deste ponto é muto maor que a capacdade de um veículo. Poucos trabalhos foram desenvolvdos até hoe sobre o VRPSD, prncpalmente envolvendo frota heterogênea. Laporte e Trudeau (1994) apresentaram um modelo exato utlzando branch-and-bound para o problema com frota homogênea. Dror e Trudeau (1990) apresentaram um modelo heurístco mostrando vantagens em entregar fraconadamente em um clente. A maora dos problemas de VRP são tratados como NP-Árduos (do nglês NP-Hard), o que sgnfca que possu ordem de complexdade exponencal. Em outras palavras, o esforço computaconal para a sua resolução cresce exponencalmente com o tamanho do problema (dado pelo número de pontos a serem atenddos). Por sso, mutos trabalhos neste campo foram desenvolvdos na busca de métodos heurístcos que apresentassem bom desempenho computaconal e ao mesmo tempo soluções guas ou muto próxmas aos métodos exatos. O algortmo de Clarke e Wrght (1964) ou algortmo das economas é um dos métodos heurístcos mas conhecdos e utlzados para resolução do VRP. Apesar de manter seu conceto prncpal, mutas modfcações foram sugerdas por outros autores, de modo a melhorar os resultados do algortmo. Golden et al.(1984) propuseram algumas mudanças, acrescentando custos fxos e custos de oportundade no cálculo das economas, de modo a melhor representar problemas com frota heterogênea. Desrochers e Verhoog (1991) apresentaram uma nova metodologa para seleconar as rotas mas econômcas, o Matchng Based Savngs Algorthm (MBSA). Outros trabalhos mportantes baseados no crtéro de economas podem ser encontrados em Mole e Jameson (1976), Paessens (1988) e Landeghem (1988). No problema orgnal conhecdo na lteratura como bn-packng problem (BPP) o obetvo é encontrar o número mínmo de mochlas ou bns de tamanhos dêntcos que são necessáros para armazenar um dado número de obetos de tamanhos/dmensões varadas de forma que a capacdade de cada bn não sea volada (Garey e Johnson, 1979). Dversas heurístcas são apresentadas por Martello e Toth (1990) para resolver este tpo de problema e um método exato é apresentado para casos pequenos utlzando branch-andbound. Um caso partcular do BPP é o varable-szed bn packng (VSBPP), onde os bns não têm tamanhos dêntcos. Zhang (1997) prova que as heurístcas clásscas não fornecem bons resultados para este tpo de problema. Kang e Park (2003) apresentam varações nas heurístcas clásscas, de modo a oferecer bons resultados. Galvão (2004) estudou o problema de otmzação de um sstema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns energétcos no contexto de sua aplcação a uma stuação real de abastecmento de uma central produtora de energa. O problema de dmensonamento e

4 programação da frota para um período de planeamento semanal fo modelado como uma generalzação do problema de bn-packng. Os veículos fazem vagens redondas, da e volta, para coletar os resíduos nos fornecedores, que possuem perodcdades de coleta dferentes (por exemplo, todos os das ou a cada dos das). Busca-se determnar os das de coleta para cada fornecedor, e as vagens alocadas a cada veículo, de forma a mnmzar a frota total necessára no período, respetando as restrções de perodcdades de coleta e as ornadas de trabalho dos veículos. Dada a complexdade do problema, fo proposta uma estratéga híbrda, em que é utlzado algortmo genétco para a defnção dos das de coleta e o dmensonamento de mínma frota necessára, enquanto que para a programação dos veículos em cada um dos das do período de planeamento é resolvdo através de um algortmo exato baseado na formulação matemátca do problema de bn-packng. Apesar do problema clássco de bn-packng ser bem conhecdo e muto explorado na lteratura; poucos trabalhos são encontrados relaconando sua aplcação com a de problemas de roterzação de veículos (VRP). Apenas nos últmos anos, este tema fo levantado por alguns autores. Poh et al.(2005) fzeram uma analoga entre o problema de bn-packng com o problema de programação de veículos no transporte de mult-comodtes com frota heterogênea. Altnel e Oncan (2005) utlzaram a déa da heurístca Frst-Ft-Decreasng em uma modfcação do cálculo de economas do algortmo de Clarke e Wrght (1964). Em resumo, poucos trabalhos foram realzados abordando a resolução de problemas de roterzação de veículos com entregas fraconadas em conunto com a resolução de problemas de bn-packng com bns de tamanhos varáves (VSBPP). 3. CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA É dado um conunto de pontos de entrega de cmento a serem atenddos em um dado da. Para cada ponto, são conhecdos a quantdade a ser entregue (em peso), o tamanho do veículo máxmo que pode atendê-lo e a sua localzação em termos do muncípo onde se stua. Embora os clentes demandem dferentes tpos de produtos, a carga pode ser consderada homogênea em termos do seu transporte e acondconamento no veículo, á que os produtos, na sua maora, são acondconados em sacos de 50kg, sem qualquer restrção para carregamento no veículo, exceto a capacdade máxma do veículo, normalmente em peso para esse tpo de produto. Pode-se assumr que todos os clentes recebem a mercadora em horáro comercal, sem restrção de anela de tempo. O número de entregas normalmente alocadas a cada veículo, e o tempo por entrega, permtem o cumprmento das mesmas durante o horáro comercal, sem que sso consttua uma restrção da programação. Os clentes também apresentam lmtação quanto ao tamanho máxmo dos veículos que podem receber. Mutos clentes são de pequeno porte e não possuem estrutura para receber veículos grandes, como carretas ou veículos longos como b-trens. A mesma stuação pode ocorrer com clentes localzados dentro de cdades onde a crculação de veículos de grandes dmensões é probda. As entregas devem ser realzadas utlzando uma frota de veículos de terceros, composta de veículos de dferentes tpos/tamanhos e consderada lmtada em termos do número de veículos dsponíves de cada tpo. Para cada tpo de veículo é conhecda a sua capacdade de carga (em peso). Todos os veículos partem de um únco ponto de orgem, onde é feto o carregamento.

5 Para cada muncípo de destno, é conhecdo o valor do frete de entrega, que é proporconal à dstânca desde a orgem, e depende do tpo/tamanho do veículo. Adconalmente, o frete é pago por vagem, ndependente se o veículo fo totalmente ocupado ou não. Quando mas de uma entrega de dferentes muncípos são agrupadas em um mesmo veículo, é consderado o valor de frete correspondente ao muncípo mas dstante da orgem. O obetvo do problema é desgnar/alocar todas as entregas nos veículos, de modo a mnmzar o custo total com o pagamento de fretes para esses transportadores. 4. ESTRATÉGIA DE SOLUÇÃO O problema de programação de entregas de cmento pode ser vsto como uma combnação entre um problema que apresenta característcas de bn-packng com um problema de roterzação. A determnação de como vão ser fetas as entregas para o subconunto de clentes correspondente a cada muncípo, em termos de quantos e quas veículos utlzar e quas entregas alocar a cada veículo pode ser vsta como uma generalzação do problema de bnpackng. Os veículos representam as mochlas (ou bns), neste caso de dferentes tpos e tamanhos, nos quas as entregas devem ser alocadas de modo a mnmzar a despesa total de frete. Para aquelas entregas que não permtram completar um veículo deve ser então resolvdo um problema de roterzação, para defnr quas grupos de entrega devem ser alocadas a cada veículo, de modo que o frete sea mnmzado. Tanto o problema de bn-packng quanto o de roterzação de veículos são, do ponto de vsta matemátco, problemas de natureza combnatóra, em que o esforço computaconal cresce exponencalmente com o tamanho do problema, o que mpede a sua resolução através de algortmos exatos (Garey e Johnson, 1979). Assm, propõe-se uma estratéga de solução heurístca para a sua resolução. O método de resolução é dvddo em três fases, conforme mostrado na Fgura 1: a prmera agrupa cargas de um mesmo clente, a segunda agrupa cargas de clentes de uma mesma zona de transporte (cdade ou barro), e por últmo, a tercera consolda cargas de clentes de regões dferentes. Consdera-se que a cada fase, as cargas á agrupadas na etapa anteror não poderão ser reagrupadas separadamente. O método descrto acma é smlar à estratéga de solução cluster frst-route second utlzada para a resolução de problemas de roterzação de veículos. todas as regões zona de transporte Fase I Fase II clente Fase III Fgura 1: As 3 fases do método de resolução Esta estratéga de dvsão por fases fo utlzada de modo a reduzr a base de dados a cada fase, e proporconando um tratamento dferencado a cada etapa do algortmo. Para as cargas do mesmo clente e da mesma cdade (prmera e segunda fase), será utlzado um método heurístco para resolução de problema com característcas de bn-packng, como explcado anterormente.

6 Como á fo menconado no tem anteror, o menor ponto de localzação dos clentes são as zonas de transporte, representadas dentro de uma cdade. Desta forma, a roterzação dos pontos dentro de uma zona de transporte não se faz necessára, dada a ausênca de nformações mas detalhadas. O problema passa a ser o agrupamento das cargas de uma mesma cdade de modo a mnmzar a despesa total de frete. Para a Fase III, onde as dstâncas devem ser levadas em consderação, aplcaremos a versão paralela do algortmo de Clarke & Wrght ou algortmo das economas. Nesta etapa, as cargas que não foram agrupadas ou apenas sub-agrupadas nas etapas anterores serão consderadas. Dessa forma, podemos defnr o fluxograma geral do método heurístco proposto como mostrado na Fgura 2: Letura dos dados ncas FASE I: Selecona dados do mesmo clente Algortmo de resolução VSBPP FASE II: Selecona dados da mesma zona de transporte não Fase II concluída? sm FASE III: Selecona dados de todas as regões Algortmo C&W Exbe roteros formados Fgura 2: Fluxograma geral do método heurístco proposto 4.1. Fases I e II: Algortmo para resolução do VSBPP Conforme vsto anterormente, problema de alocação das entregas de cada muncípo aos veículos pode ser vsto como problema de bn-packng com bns de tamanhos varados (Varable Szed Bn Packng Problem VSBPP). Dada a dfculdade de resolução desse problema, fo proposta uma estratéga de solução heurístca baseada na metaheurístca algortmo genétco. Os algortmos genétcos são algortmos de buscas baseados nos mecansmos de seleção natural e na genétca. Idealzados e estabelecdos por Holland (1975), esses algortmos mplementam estratégas de buscas paralelas e aleatóras para soluconar problemas de otmzação. Algortmos genétcos nspram-se na teora de evolução darwnana, que

7 consdera que quanto melhor um ndvíduo se adapta ao seu meo ambente, maor será sua chance de sobrevver e gerar descendentes. Os algortmos genétcos fazem parte da classe de algortmos denomnados algortmos populaconas. Em lnhas geras, os algortmos genétcos trabalham com um grupo (ou população) de soluções. Cada ndvíduo é representado por um cromossomo, que armazena as nformações genétcas. Os cromossomos são compostos por genes, os quas são responsáves pelas característcas dos seres e são trocados ou transmtdos durante o processo de reprodução. A cada teração, ndvíduos da população são seleconados para reprodução, sendo os mas aptos com maores chances de serem transmtdos para a geração segunte e os demas menos aptos smplesmente elmnados de acordo com o prncípo darwnano de seleção natural e sobrevvênca do mas forte. Uma forma de contornar a complexdade adconal proporconada pela possbldade de usar veículos de tamanhos dferentes é aplcar heurístca proposta, baseada em algortmos genétcos, para o problema do bn-packng tradconal (BPP), consderando os dferentes tpos/tamanhos de veículo separadamente, a partr do menor para o maor. Assm, resolve-se ncalmente, para cada muncípo de entrega, o sub-problema correspondente aos clentes que requerem entregas com veículos menores. Caso sobre algum veículo não totalmente utlzado, busca-se então alocar outras cargas de modo a completar a sua capacdade, consderando-se clentes que podem ser atenddos por veículos maores; para tanto é usada a heurístca Next- Ft-Decreasng, descrta em Martello e Toth (1990), onde são consderadas as entregas remanescentes em ordem decrescente de peso. Uma vez atenddos todos os clentes que requerem atendmento pelo menor tamanho de veículo, e completados os veículos que realzam esse atendmento, passa-se então à resolução do problema de bn-packng correspondente aos clentes que só podem ser atenddos pelo tpo/modelo de veículo medatamente superor, e assm sucessvamente, até os clentes que não apresentem restrção quanto ao tpo/tamanho do veículo que possa atendê-lo, como lustrado pela Fgura 3. GA 1 GA 2 GA 3 Capacdade = 5 Capacdade = 15 Capacdade = 30 Bn 1 Bn 2 Bn 3 Fgura 3: Estratéga de tratamento para camnhões de dferentes capacdades A representação cromossômca adotada para a resolução de cada problema de bn-packng será dada pelo ndcação do veículo (bn) em que cada entrega é alocada. A Fgura 4 exemplfca esse conceto, ndcando, a alocação, em termos do veículo, para cada uma das oto entregas a serem programadas, que requereram quatro veículos Fgura 4: Representação do cromossomo no problema estudado

8 Para a geração da população ncal, são crados três cromossomos com as heurístcas: Next- Ft-Decreasng, Frst-Ft-Decreasng e Best-Ft-Decreasng (Martello e Toth, 1990). O restante da população ncal é completada com ndvíduos gerados com base em seqüêncas de entregas ordenadas aleatoramente que são alocadas aos veículos usando o algortmo Next- Ft. A função aptdão é defnda através da segunte expressão: f ( S ) N ( C C ) MAX 2 = 1 = (6) N onde N é o número de veículos necessáros para a solução S; C é o peso total alocado ao veículo, e C max é a capacdade máxma do veículo. O método utlzado para a seleção dos pas é o método da roleta. Neste método, cada ndvíduo da população é representado na roleta conforme seu valor de aptdão. Desta forma, os ndvíduos com elevada aptdão receberão um ntervalo maor na roleta, enquanto aqueles que tem mas baxa aptdão receberão menor ntervalo na roleta. Após a dstrbução na roleta, são gerados aleatoramente números no ntervalo entre 0 e o total do somatóro da aptdão de todos os ndvíduos da população. É gerado um determnado número de vezes, dependendo do tamanho da população. O ndvíduo que possur em seu ntervalo o número gerado será seleconado para o cruzamento. Para o problema estudado fo consderado o cruzamento (crossover) de um únco ponto. Para sso, uma posção dentro do gene é seleconada aleatoramente. A partr daí, o restante dos genes são trocados entre os pas. A mutação ocorre com o sorteo de dos genes dentro de um cromossomo que trocarão suas posções. Após as etapas de cruzamento e mutação, o cromossomo resultante pode ter volado a restrção de capacdade dos veículos (bns). Para reparar esse problema, fo adotado um procedmento de reparo do cromossomo que consstu em varrer todos os veículos e guardar num vetor todos os tens que superaram a capacdade dos veículos em que estavam alocados. Em seguda, os tens eram re-alocados nos veículos que estvessem mas próxmos de sua capacdade máxma, num movmento smlar à heurístca de Best-Ft. Para os tens que não coubessem em nenhum dos veículos atvos, torna-se necessára a alocação de veículos adconas. As etapas do algortmo genétco que é utlzado para a resolução de cada um dos problemas de bn-packng, um para cada muncípo e clentes com restrção quando tpo/tamanho de veículo que pode atendê-los podem ser resumdas como mostrado na Fgura 7. Como resultado, têm-se todas as entregas alocadas aos veículos, respetando restrções de capacdade. Alguns veículos que atendem a muncípos dstntos podem estar parcalmente ocupados, o que leva a tercera fase, descrta a segur, que consste em agrupar (ou roterzar) clentes de muncípos dstntos.

9 Procedmento Bn-Packng AG Iníco Geração da população ncal; Para (t=1 até t = Max_ter), faça: Seleção; Reprodução; Mutação; Reparo; Fm Para Fm Fgura 5: Esquema Geral do Algortmo Genétco para o problemas de bn-packng 4.2. Fases III: Algortmo de Clarke & Wrght Na Fase III, as dstâncas serão levadas em consderação para o agrupamento das entregas remanescentes, para os veículos que não tveram a sua carga completada. Para tanto, será utlzada uma adaptação para frota heterogênea do tradconal método de economas (Clarke e Wrght, 1964), utlzado para a roterzação de veículos. Conforme apontam Texera e Cunha (2002), a tradconal heurístca de economas proposta por Clarke e Wrght (1964), tanto na sua versão paralela (em que os todos os roteros são formados ao mesmo tempo) quanto na seqüencal (em que apenas um rotero é montado de cada vez), não é adequada para problemas que envolvem frota heterogênea, uma vez que leva em conta só as dstâncas para o cálculo das economas. Em ambas as versões pontos vão sendo agrupados, formando roteros parcas, segundo uma ordem decrescente de economas ( S ) decorrentes da sua unão, calculadas a partr da segunte expressão: S = d 0 + d 0 d (7) onde d 0 e d 0 representam a dstânca da base (0) aos pontos e, respectvamente, e d a dstânca entre eles. A fm de buscar superar esse problema, Golden et al. (1984) propuseram heurístcas para o problema de dmensonamento e roterzação de uma frota heterogênea, e que se baseam em generalzações da heurístca de economas. Para o problema proposto, utlzaremos a fórmula Realstc Opportunty Savngs (ROS) apresentada por Golden et al. (1984), que leva em consderação os custos varáves e fxos do veículo, além dos custos de oportundade. Para tanto, a expressão de cálculo de economas apresentada acma é alterada de forma a 1 consderar custos varáves no lugar de dstâncas: S c + c c = 0 0 Partndo do prncípo que os custos totas envolvem também os custos fxos dos veículos, estes devem ser ncorporados à equação. Consderando que F(Z) é o custo fxo do menor veículo capaz de atender à demanda Z, tem-se (Golden et al., 1984): S 1 = S + F(Z ) + F(Z ) F(Z Z ) (8) 2 + Os custos de oportundades devem ser ncorporados em função da capacdade não utlzada de um veículo maor. Consderando P(Z) como a capacdade do menor veículo que pode é capaz de servr uma rota de demanda Z, tem-se a expressão (9), proposta por Golden et al. (1984), conhecda como Optmstc Opportunty Savngs (OOS):

10 3 2 ( P( Z + Z ) ( Z Z ) S = S + F + (9) Uma varação desta equação é a Realstc Opportunty Savngs (ROS), que assume que os custos de oportundade devem apenas ser ncluído quando a combnação de duas rotas requer um veículo maor do que está sendo utlzado. 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4 S + F P Z + Z Z + Z se P Z + Z > max P Z + P Z S = (10) 2 S caso contráro Com base na expressão (10) serão calculadas as economas geradas com o agrupamento das entregas, pertencentes a muncípos dferentes, que não formaram uma carga completa para um veículo nas fases anterores. Com sso, serão formadas as rotas mas econômcas, fnalzando o agrupamento de todas as cargas. 5. EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS A estratéga de solução proposta fo mplantada em lnguagem C++, utlzando o complador DEV-C ++. Os testes foram realzados em um computador com processador Pentum Centrno 1.8 GHz, 512 MB RAM. Prmeramente, tendo em vsta a sua aplcação nas Fases I e II, fo avalada a efcênca do algortmo genétco proposto para a resolução de nove nstâncas de problemas encontrados na lteratura. Os dados de entrada de cada problema foram formados por 120 tens de tamanhos varados, unformemente dstrbuídos entre 20 e 100, para serem alocados em bns de capacdade gual a 150. Em seguda, foram utlzados dados de benchmark para a avalação de algortmos de bn-packng. O número de bns e o tempo computaconal obtdos através do algortmo proposto baseado em AG foram comparados com três resultados: () o lmte nferor do número de bns necessáros, dado pelo quocente entre a soma dos tamanhos dos tens e a capacdade total dos bns; () resultados do procedmento MTP, proposto por Martello e Toth (1990), que utlza um método enumeratvo (branch-and-bound) e é consderado como um dos melhores métodos para a resolução do problema de bn-packng; () resultados do método GGA (Groupng Genetc Algorthm) apresentado por Falkenauer (1996). Os resultados podem ser vstos na Tabela 1. Problema Tabela 1: Resultados do algortmo para resolução do BPP No mn teórco Método proposto(ag) HGGA MTP Bns Tempo (s) Bns Tempo (s) Bns Tempo (s) , ,2 48 0, ,0 49 0,0 49 0, ,0 46 5, , , ,4 49 0, ,0 50 0,0 50 0, , ,4 48 0, , ,0 48 0, , ,7 49 0, , ,5 46 0,1 Totas 2,5 19,0 3,3 A partr dos resultados mostrados na Tabela 1, observa-se que o algortmo baseado no AG atngu o mesmo número ótmo de bns que os outros três resultados de benchmark. Além dsso, os tempos obtdos com o método proposto foram baxos e mas estáves para todos os

11 problemas se comparados aos outros dos procedmentos. Com sso, conclu-se que o algortmo baseado em AG fornece bons resultados em um tempo satsfatóro. Vale lembrar que no modelo completo, este procedmento é repetdo númeras vezes, uma para cada cdade ou agrupamento e também para o subconunto de clentes com restrção de tamanho de veículo. Contudo, os dados de entrada testados aqu são formados por 120 tens, número muto superor a qualquer etapa acma menconada. Numa segunda etapa, o modelo completo proposto no presente trabalho fo testado com dados reas de uma empresa de cmento, que não utlza nenhum modelo matemátco para realzar o agrupamento das entregas, pos este procedmento é realzado manualmente. Para os dados de entrada, foram consderadas ses nstâncas de problemas, cada qual representada por entregas pertencentes a um da normal partndo de um únco depósto. Essas cargas estão espalhadas em dversos muncípos num rao de até 200 km do centro. Os resultados foram comparados em relação ao número mínmo de veículos desgnados para realzar as entregas, a taxa de ocupação méda dos veículos e o custo total provndo do pagamento do frete aos transportadores, conforme o cálculo descrto no tem 3 deste trabalho. Os resultados obtdos estão demonstrados na Tabela 2, abaxo: Tabela 2: Resultados do algortmo comparados ao modelo atual Problema Número de Entregas Veículos utlzados Método proposto Método manual Economas Taxa de ocupação Custo total Veículos utlzados Taxa de ocupação Custo total Veículos utlzados Custo % % % % % % % % % % % % % % % % % % % Méda % % % A partr dos resultados desta smulação, percebe-se que o modelo proposto apresenta economas sgnfcatvas em relação ao método manual. Além de obter o menor número de veículos alocados na maora dos ses problemas, apresentou custos bem nferores. Isso prova a efcênca do algortmo proposto e sua oportundade de aplcação na prátca. 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS O presente trabalho propôs a solução do problema de agrupamento de entregas de cmento através da construção de um modelo heurístco, baseado em métodos para resolução de problemas de bn-packng e roterzação de veículos. Trata-se de um tema relevante, pos se levou em conta um modelo de tarfação muto utlzado no Brasl para pagamento de transportadores terceros. Além dsso, ofereceu uma abordagem nteressante para o problema da falta de nformações quanto ao detalhamento na localzação exata dos pontos de entrega. O modelo proposto fo testado separadamente para o algortmo das duas prmeras fases, onde obteve bons resultados quando comparado a outros métodos efcentes para este procedmento. Numa segunda etapa, o modelo completo fo testado com dados reas de uma empresa cmentera e comparado com o método manual de agrupamento. Os resultados

12 mostraram que sua aplcação na prátca pode produzr economas sgnfcatvas neste processo. A abordagem apresentada no presente trabalho com a aplcação de heurístcas de bn-packng para problemas de transporte mostrou ter grande utldade e serve de base para novos estudos. Uma possível extensão sera a consderação desta heurístca também na tercera fase do modelo, em substtução ao algortmo de Clarke e Wrght (1964) ou a cração de um modelo híbrdo onde levasse em conta as duas heurístcas smultaneamente. A consderação de anelas de tempo também servra como uma possível extensão para o problema proposto. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Altnel, I.K. e Oncan, T. (2005) A New Enhancement of the Clarke and Wrght Savngs Heurstc for the Capactated Vehcle Routng Problem. Journal of Operaton Research Socety, v. 56, p Bodn, L.; Golden, B.; Assad, A. e Ball, M. (1983) Routng and Schedulng of Vehcles and Crews The State of the Art. Computers and Operatons Research, v. 10, p Clarke, G e Wrght, J.W. (1964) Schedulng of Vehcles from a Central Depot to a Number of Delvery Ponts. Operatons Research, v. 12, p Desrochers, M. e Verhoog; T.W. (1991) A New Heurstc for the Fleet Sze and Mx Vehcle Routng Problem. Computers & Operatons Research, v. 18, n. 3, p Dror, M. e Trudeau, P. (1990). Splt Delvery Routng. Naval Research Logstcs, v. 37, n.3, p Dror, M.; Laporte, G. e Trudeau (1994) Vehcle Routng wth Splt Delveres. Dscrete Appled Mathematcs, v. 50, n. 3, p Falkenauer, F. (1996) A Hybrd Groupng Genetc Algorthm for Bn Packng. Journal of Heurstcs, v. 2, p Fsher, M. e Jakumar, R. (1981) A Generalzed Assgnment Heurstcs for Vehcle Routng. Networks, v. 11, n. 2, p Galvão, F. A. (2004). Otmzação do sstema de coleta de resíduos de bomassa de madera para fns energétcos. 81p. Dssertação (Mestrado) Escola Poltécnca, Unversdade de São Paulo, São Paulo. Garey, M.R.e Johnson, D.S. (1979). Computers and Intractablty: A gude to the Theory of NP-Completeness. W.H. Freeman, San Francsco. Gllet, B.L. e Mller, L. (1974) A Heurstc Algorthm for the Vehcle Dspatch Problem. Operatons Research, v. 22, n. 4, p Golden, B.L.; Assad, A.; Levy, L e Gheysens, F. (1984) The Fleet Sze and Mx Vehcle Routng Problem. Computers & Operatons Research, v. 11, n. 1, p Holland, J. (1975) Adaptaton n Natural and Artfcal Systems. Unversty of Mchgan Press, Mchgan, USA. Kang, J. e Park, S. (2003) Algorthms for the Varable Szed Bn Packng Problem. European Journal of Operaton Research, v. 147, p Landeghem, H.R.G. (1988) A B-crtera Heurstc for the Vehcle Routng Problem wth Tme Wndows. European Journal of Operatonal Research, v. 36, n. 2, p Martello, S. e Toth, P. (1990) Knapsack Problems: Algorthms and Computer Implementatons. Wley. Mole, R.H. e Jameson, S.R. (1976) A Sequental Route-buldng Algorthm Employng a Generalzed Savngs Crteron. Operatonal Research, v. 27, n. 2, p Paessens, H. (1988) Savngs Algorthms for the Vehcle Routng. European Journal of Operatonal Research, v. 34, n. 3, p Poh, K.L.; Choo K.W. e Wong, C.G. (2005) A Heurstc Approach to the Mult-perod Mult-commodty Transportaton Problem. Journal of Operaton Research Socety, v. 56, p Texera, R. G. e Cunha, C. B. (2002) Heurístcas para o Problema de Dmensonamento e Roterzação de uma Frota Heterogênea Utlzando o Algortmo Out-of-klter. Transportes, v.10, n.2. Zhang, G. (1997) A New Verson of On-lne Varable-szed Bn Packng. Dscrete Appled Mathematcs, v. 72, p Endereço dos Autores: Marcos Mura Departamento de Engenhara de Transportes Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo Emal: marcos.mura@pol.usp.br Cláudo Barber da Cunha Departamento de Engenhara de Transportes Escola Poltécnca da Unversdade de São Paulo Emal: cbcunha@usp.br