6 Revisão Bibliográfica

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1 45 6 Revsão Bblográfca 6. Métrcas Espacas A defnção da localzação dos pontos que formam uma cadea de suprmentos é um dos aspectos mas mportantes no planejamento de um sstema logístco. ormalmente estes pontos representam fornecedores, produtores, armazéns de dstrbução, consumdores, ou quasquer outros elementos de uma rede logístca para os quas se possa demarcar sua posção geográfca (BITTECOURT, 005). A defnção da localzação dos pontos envolvdos numa rede logístca é fundamental para a otmzação de alguma medda de utldade, como por eemplo: a redução dos custos de transporte, redução de tempo de transporte ou mamzação da satsfação dos clentes. De acordo com PIZZOLATO (006), para a solução de problemas logístcos, são utlzados modelos por meo dos quas toda a rede logístca pode ser representada. Para modelar problemas logístcos pode-se assumr dos tpos de abordagens: Análse de Redes ou Análse Agregada. a análse de rede se trata de modelar o problema através de um grafo e tentar representar, da forma mas apromada possível, a localzação dos pontos de nteresse: fábrcas, depóstos, pontos de consumo e a rede de transporte da regão. (LEAL, 006 A). a análse agregada trata-se de fazer uma apromação agregada e freqüentemente contínua do problema e tentar encontrar soluções, as mas realstas possíves, de alguns problemas de localzação e de dstrbução de produtos. (LEAL, 006 A). 6.. Análse de Rede De acordo com LEAL (006 B), dversos tpos de problemas podem ser atacados com a abordagem de redes. Dentre estes: problemas de sstemas elétrcos, sstemas de comuncação e sstemas de transporte.

2 46 Para o entendmento e aplcabldade da análse de redes é essencal a sedmentação do conceto de conectvdade através dos chamados grafos. Um grafo é representado por um conjunto de círculos ou retângulos, denomnados nós, e um conjunto de lnhas, denomnadas arcos, que são a lgação entre os nós. A fgura a segur lustra um grafo com seus nós e arcos. ÓS A 5 B D 54 ARCOS 3 G C F 6 E Fgura 6.: Representação de um Grafo. a análse de redes são atrbuídos valores aos arcos e nós. A valoração dos arcos pode referr-se a comprmentos de estradas, tempos de vagens ou anda custos. A valoração dos nós refere-se à ndcação ou codfcação dos mesmos como um determnado local. a verdade a representação dos arcos está sempre assocada a um par de nós ao qual o arco está conectando. Por eemplo, na fgura 6. o arco AB com o valor 5 pode estar representando numa undade de comprmento a dstânca entre as cdades representadas pelos nós A e B. A análse de rede é vastamente utlzada quando estem restrções de camnho, também chamadas de condconantes de percurso, entre dos pontos de uma cadea de suprmentos. Segundo FRACIS (99), a análse de redes pode ser utlzada para soluconar duas categoras de problemas de localzação: mnmzação dos custos (ou mamzação dos lucros) e mnmzação dos custos dos servços oferecdos a socedade. A prmera categora trata de problemas típcos do setor prvado, onde não estem egêncas legas, como meo ambente, ecologa, pessoas e etc. este

3 47 caso, o nteresse é puramente fnancero, sendo todos os cálculos realzados no ntuto de mnmzar as dstâncas, anda que para sso um ou mas pontos da rede sejam prejudcados em função do todo. A segunda categora trata de problemas típcos do setor públco, onde este uma preocupação em relação ao atendmento de todos os pontos da rede. Estes problemas são geralmente chamados de mnma, onde o objetvo é determnar a melhor localzação de uma nstalação de forma mnmzar a dstânca entre o ponto mas longínquo e a própra nstalação. Eemplos dsso são os problemas de localzação de hosptas, bomberos, ambulâncas correos e etc. Desta forma todos assstdos têm a acesso à nstalação, anda que a soma das dstâncas dos pontos de orgem a nstalação em questão não seja a menor possível. FRACIS (99), eemplfca esta categora com a determnação de um posto dos bomberos. este caso, o cálculo é realzado de forma a mnmzar o tempo mámo de resposta a um chamado, ou seja, mnmzar a maor dstânca entre o posto dos bomberos e os locas de abrangênca analsados. este trabalho, como o nteresse é determnar a melhor localzação de um sstema de mstura em lnha de forma mnmzar os custos de tubulação, o problema é típco do setor prvado, nserdo na prmera categora. Segundo BARCELOS (00) e BASSIL (000), para problemas de mnmzação dos custos (setor prvado) o modelo de solução mas utlzado pela análse de redes é o das P-Medanas. 6.. Análse Agregada A análse agregada não utlza a estrutura em grafo, adotada pela análse em rede. este caso, é realzada uma apromação contínua do problema onde para o sucesso do método é fundamental a nestênca de restrções de percurso. De acordo com LEAL (006 A), eemplos típcos destas aplcações são casos onde desejamos localzar nstalações que, ao contráro da análse de redes, não oferecem barreras, como determnar a melhor localzação de plataformas de petróleo em alto mar ou a melhor localzação de sstemas de rrgação em áreas planas de planto. A análse agregada é largamente utlzada para localzar nstalações num plano, por sso também é chamada de análse de localzação em um plano.

4 48 SACRAS (004) afrma que a análse agregada é muto utlzada para a solução de problemas logístcos que necesstam de uma estmatva da dstânca de um ponto a outro num plano. A determnação da melhor localzação de um sstema de mstura em lnha pode ser nserda nesta análse. Para resolver um problema de localzação, de acordo com LEAL (006 A), a análse agregada é necessáro estmar a dstânca entre os város pontos do sstema. Para sso são conhecdas duas métrcas: a Métrca Eucldana e a Métrca Retangular Análse Agregada - Métrca Retangular De acordo com LEAL (006 A), a métrca retangular é largamente utlzada nos problemas logístcos tratados sob sstemas de transporte retculadas, ou seja, em redes de transporte onde as ruas se cruzam perpendcularmente. Esta métrca é referencada, por alguns autores norte-amercanos, como Métrca de Manhattan ou Métrca Metropoltana, uma vez que a rede urbana de transportes da Ilha de Manhattan, na cdade de ew York, segue uma estrutura de cruzamentos perpendculares entre ruas e avendas. A formalzação matemátca consste em, através de duas coordenadas assocadas aos eos tradconalmente chamados e, determnar as respectvas dstâncas entre os pontos, tanto no eo quanto no eo. a fgura 6. a dstânca entre os pontos A e B, denomnada DR AB, é determnada segundo a equação abao. DR AB B A B A Equação Onde: DR AB é a dstânca retangular entre os pontos A e B eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no

5 49 a métrca retangular, a dstânca entre os pontos é a mesma para qualquer camnho, ou seja, ndepende do camnho percorrdo entre a orgem e o destno. Por eemplo, na fgura 6., a dstânca entre os pontos A e B é a mesma anda que utlzemos o camnho ACB ou ADEFB. B C E F B A A D A B Fgura 6.: Métrca Retangular Dstânca entre os Pontos A e B Análse Agregada - Métrca Eucldana De modo análogo à Métrca Retangular, a Métrca Eucldana utlza os eos e formando um plano cartesano. o entanto, a dstânca entre dos pontos quasquer é calculada pela lnha reta que une os respectvos pontos. este caso trata-se da menor dstânca possível entre dos pontos, portanto esta dstânca é sempre menor ou gual à dstânca real. Segundo LEAL (006 A), esta métrca é utlzada como uma apromação quando a Métrca Retangular não pode ser aplcada, ou seja, quando a rede logístca de transporte não é retculada. A fgura abao apresenta a dstânca entre os pontos A e B segundo a Métrca Eucldana.

6 50 B B A A A B Fgura 6.3: Métrca Eucldana Dstânca entre os Pontos A e B. A determnação matemátca da dstânca entre dos pontos segundo a Métrca Eucldana é bastante smples. Tendo em mão as coordenadas ( A, A ) e ( B, B ), pode-se calcular a dstânca Eucldana, denomnada DE, segundo o conhecdo Teorema de Ptágoras, de acordo com a equação abao. DE AB ( B A) ( B A) Equação Onde: DE AB é a dstânca eucldana entre os pontos A e B eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no 6..5 Análse Agregada Outras Métrcas e Apromações a prátca, numa rede logístca de suprmento, são raros os casos onde o trajeto entre dos pontos é representado por uma lnha reta (métrca eucldana) ou de forma retangular tão clássca quanto da Ilha de Manhattan (métrca retangular). Desta forma, de um modo geral, a dstânca real entre dos pontos quasquer da

7 5 cadea fca stuada entre a dstânca determnada pela métrca eucldana (menor possível) e pela métrca retangular. LEAL (006 A) apresenta uma relação da dstânca real entre dos pontos e a dstânca eucldana entre os mesmos pontos. Esta relação é obtda através de fatores de correção determnados por regressão lnear smples. Conforme a equação abao, os fatores de correção estão representados pelos coefcentes a e b. O coefcente b também é conhecdo como coefcente angular ou fator de ajuste. O coefcente a, que também é conhecdo como coefcente lnear, é uma constante adtva ou subtratva que tem o ntuto de mnmzar anda mas o erro obtdo nesta apromação. DR AB a b DEAB Equação 3 Onde: DR AB é a dstânca real entre os pontos A e B DE AB é a dstânca eucldana entre os pontos A e B b é o coefcente angular da reta a é o coefcente lnear da reta Conforme menconado anterormente, os fatores a e b são determnados através de uma regressão lnear smples, buscando uma relação entre as dstâncas reas e Eucldanas. a prátca são levantadas algumas dstâncas reas e determnadas as respectvas dstâncas Eucldanas. Após um número razoável de pares (dstânca real e Eucldana) levantados é realzada a regressão lnear e obtdos os valores dos coefcentes a e b. Para este tpo de análse é váldo lembrar que apenas dos pares de pontos são sufcentes, porém quanto mas pares de pontos forem levantados melhor será a equação obtda. Defndos os coefcentes é possível calcular a dstânca real entre quasquer pontos do sstema logístco fornecendo a dstânca Eucldana entre estes mesmos pontos. Em seu trabalho, LOVE (988) propõe outra abordagem para determnar a dstânca real entre dos pontos. O autor cta que não é aproprado assumr somente as métrcas Eucldana e retangular como soluções de ajustes das

8 5 dstâncas entre pontos. De acordo com a sua teora, as métrcas Eucldana e retangular são apenas dos casos especas, onde ρ é gual a ou na equação abao: D AB [ ] ρ ρ / ρ A B A B Equação 4 Onde: D AB é a dstânca entre os pontos A e B eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no eo A e B são respectvamente as coordenadas dos pontos A e B no sstema. ρ é a constante que ajusta a equação ao tpo de geografa do Para LOVE (988), determnar as dstâncas reas usando a equação acma resulta em resultados mas acurados uma vez que ρ é a constante que ajusta a equação ao tpo de geografa ao qual o sstema logístco em estudo está nserdo. Vale anda menconar que a equação acma nada mas é que a equação da métrca retangular quando ρ e, de modo análogo, quando ρ se transforma na equação da métrca Eucldana. Em seu trabalho, LOVE (988) apresenta anda outras cnco fórmulas que foram utlzadas para mensuração de dstâncas em áreas urbanas e ruras nos Estados Undos durante a década de 970. o ntuto de lmtar o escopo deste trabalho, a apresentação das cnco fórmulas propostas por LOVE em 988 não será realzada. 6. Sstemas de Informações Geográfcas (SIG) Desde as mas remotas cvlzações os mapas têm sdo utlzados como nstrumentos para apresentar nformações terrtoras. Com o passar do tempo, a aplcabldade dos mapas aumentou consderavelmente, passando os mesmos a apresentar dversos outros tpos de dados como geológcos, clmátcos, populaconas e outros.

9 53 BASSIL (000) afrma que a crescente necessdade por nformações assocada ao surgmento de novas tecnologas fez com que os antgos mapas fossem transformados em verdaderos sstemas de nformações geográfcas. Atualmente, os Sstemas de Informações Geográfcas (SIG), ou GIS, do nglês, Geographc Informaton Sstems, por serem mas acessíves, devdo ao advento da nternet, são largamente utlzados em dversos estudos e aplcações. Com o advento dos Sstemas de Informações Geográfcas, pratcamente todo o acesso aos dados deou de ser realzado através de mapas de papel, passando a ser feto va computadores. A busca por dados específcos e, sobretudo a atualzação dos mesmos, tornou-se uma tarefa muto mas smples e rápda. a lteratura estem dversas defnções para os Sstemas de Informações Geográfcas. De acordo com BASSIL (000), GIS é uma técnca de processamento baseado em sstemas computaconas que são usados para armazenar, analsar, manpular e vsualzar nformações geográfcas que representam objetos e fenômenos em que a localzação físca é uma característca nerente à nformação e ndspensável para a análse. Segundo BARCELOS (00), a déa ncal do GIS nasceu na Suéca, mas fo no Canadá, em 96, que fo elaborado o prmero sstema de nformações geográfcas. Este sstema fo denomnado Canada Geographc Infomaton Sstems (CGIS). a década de 970 os Estados Undos começaram a desenvolver pacotes de GIS, sobretudo para fns mltares. a década de 990, com o advento da nternet os Sstemas de Informações Geográfcas se dfundram mundalmente para o públco em geral. A utlzação do GIS possu as vantagens de smplfcar tarefas e de facltar a apresentação dos resultados, além de poder reunr uma ampla quantdade de dados espacas ou não, na eecução de análses e aplcações gráfcas. Permte também que alterações de cenáros sejam fetas aulando a tomada de decsões, uma vez que é possível fazer váras smulações, analsá-las separadamente e checar a conclusões decsvas. Outra vantagem é a possbldade de atualzar constantemente os dados sem a necessdade de grandes esforços. (BARCELOS, 00).

10 Google Earth O Google Earth, ncalmente conhecdo como Earth Vewer e desenvolvdo pela empresa Kehole, é um moderno Sstema de Informações Geográfcas, cuja função é apresentar um modelo que smule trdmensonalmente o globo terrestre, construído a partr de fotografas de satélte. Fgura 6.4: Google Earth Vsão Geral. O Google Earth está, atualmente, dsponível para uso em computadores pessoas com os sstemas operaconas: Mcrosoft Wndows 000, XP ou Vsta e Mac OS X ou superor. Recentemente fo dsponblzada para teste uma versão para a plataforma Lnu. O programa pode ser usado meramente como um gerador de mapas bdmensonas e de fotos de satélte ou como um smulador das dversas pasagens presentes no nosso planeta. Através dele, também é possível dentfcar lugares, construções, cdades, pasagens, rodovas, restaurantes, hotés, entre outros elementos. A fgura 6.4 lustra algumas funconaldades do Google Earth.

11 55 Fgura 6.5: Funconaldades do Google Earth. Com a crescente demanda pelo uso deste software, recentemente a Google lançou uma nova versão do Google Earth onde a maora das grandes cdades do planeta está dsponível em magens com resolução sufcente para vsualzar edfícos, casas ou mesmo detalhes mas prómos como pessoas. Atualmente todo o globo terrestre já está coberto com apromação de pelo menos 5 metros de altura. 6.3 Determnação do Ponto Central Segundo LEAL (006 A), a determnação do ponto central ocorre quando se deseja determnar a melhor localzação para uma facldade vsando atender a um conjunto de pontos. Esta facldade em questão pode ser uma fábrca, escola, loja, depósto, centro de dstrbução ou até um sstema de mstura em lnha, motvo deste trabalho. Em função da facldade, a qual se deseja determnar o ponto central podem ser utlzados dferentes crtéros de seleção domnantes. Por eemplo, para fábrcas, depóstos e centros de dstrbução o crtéro domnante pode ser o custo de transporte, enquanto que para uma loja o crtéro domnante pode ser a acessbldade dos clentes à mesma.

12 Determnação do Ponto Central pela Análse em Redes Modelo das P-Medanas Conforme menconado anterormente, o modelo das P-Medanas é o mas popular para a determnação do ponto central pela análse de redes. Conforme PIZZOLATO (994), o modelo das P-Medanas pode ser largamente utlzado para soluconar problemas de localzação em redes. Um eemplo dsso são os trabalhos desenvolvdos ou orentados por Pzzolato para determnar a melhor localzação de escolas públcas em dversos barros e até cdades do estado do Ro de Janero. Segundo FRACIS (99), o modelo das P-Medanas consste em localzar uma ou mas nstalações numa rede de forma a mnmzar a soma das dstâncas entre as nstalações e os pontos assocados a elas. Para a solução de problemas pelo modelo das P-Medanas estem métodos eatos, que encontram a solução ótma, e métodos heurístcos, que são de natureza mas smples, porém não encontram a solução ótma. Segundo BARCELOS (00), e PIZZOLATO (006), dentre os métodos heurístcos podemos ctar: o método Hakm, o método Pzzolato, o método de Maranzana e o método de Tetz e Bart. Dentre os métodos eatos pode-se ctar métodos tpcamente Branch and Bound e métodos de Relaação com base no Prmal ou com base no Dual. FRACIS (99) apresenta um algortmo para a solução de problemas de localzação quando se necessta determnar apenas um únco ponto central numa rede logístca. O algortmo segue o modelo -medana, que nada mas é do que o modelo das P-medanas quando P é gual a. Segundo BASSIL (000), os problemas nos quas se utlza o modelo das P-Medanas como mecansmo de solução geralmente envolvem a localzação de mas de uma nstalação (P maor que ). A localzação do um sstema de mstura em lnha, motvo deste trabalho, representa um problema de maor smplcdade, quando comparado aos problemas abordados por BARCELOS (00) e BASSIL (000). Desta forma, a determnação da melhor localzação do sstema de mstura em lnha pelo modelo da P-Medana não fo realzada neste trabalho.

13 Determnação do Ponto Central pela Análse Agregada Métrca Retangular De acordo com o tem 6.., devdo às característcas físcas (unverso plano e sem restrções de camnho) e lógcas do problema, a análse agregada é a metodologa mas ndcada para a solução do mesmo. SACRAS (004) afrma que para a determnação do Ponto Central segundo análse agregada é necessáro determnar as dstâncas entre os pontos envolvdos. Conforme descrto no tem 6..3, em função das ruas e avendas da REDUC estarem dstrbuídas de forma cartesana, a Métrca Retangular é a mas ndcada neste caso. A determnação do Ponto Central pela Métrca Retangular nada mas é que mnmzar a função f(,) apresentada a segur. Para mnmzar esta função podem ser utlzados dos métodos: Método Fbonac e método da Dervada. f n ( ) P ( ), Equação 5 Onde: f(,) é a função que deve ser mnmzada para o cálculo do Ponto Central Retangular deve atender n é o número de pontos de orgem e/ou destno que a facldade e são respectvamente as coordenadas dos pontos de orgem e/ou destno que a facldade deve atender nos eos e e são as coordenadas do ponto central P é o peso ou mportânca de cada ponto de orgem ou destno. Como mnmzar uma função f(,) é gual a mnmzar separadamente f() f(), podemos encontrar a solução representando a equação 5 como duas equações f() e f():

14 58 f n ( ) P Equação 6 f n ( ) P Equação 7 I. Método da Dervada: Segundo LEAL (006 A), o método da dervada é largamente utlzado em projetos de la-out de nstalações. este método o objetvo é determnar o ponto no qual a dervada da função dada ncalmente por DIF (equação 8) muda de snal, por este motvo é denomnado método da dervada. Trata-se de um método de fácl aplcação e eato. O Aneo IV descreve os concetos matemátcos sob os quas o método da dervada está pautado. O procedmento para solução do método é aplcado separadamente, porém de modo análogo, para as coordenadas X e Y. As etapas de solução para a coordenada X, são as seguntes:. Os pontos e os pesos são ordenados por ordem crescente de valor da coordenada, neste caso X.. Calcula-se DIF através da equação: DIF n P Equação 8 deve atender Onde: n é o número de pontos de orgem e/ou destno que a facldade P é o peso ou mportânca de cada ponto de orgem ou destno. 3. Segue o segunte algortmo: a. 0

15 59 b. Enquanto DIF < 0 faça c. Iníco d. e. DIF DIF * P f. Fm g. Xmn X Para a coordenada Y deve ser aplcado procedmento análogo. II. Método Fbonac: O método Fbonac é uma apromação do método da Dervada. De modo smlar ao método da Dervada, o procedmento de solução é aplcado separadamente para as coordenadas X e Y. O processo de solução também é teratvo no qual é defndo o número mámo de terações (IT). Quando maor o número de terações maor a precsão do método em relação à resposta eata. As etapas de solução para a coordenada X, são as seguntes:. Determna-se: Xnf mn X, Xsup ma X e k 0.. k k, se k > IT pare. 3. S Xnf e S Xsup. 4. O segmento S S é dvddo em 3 partes pelo pontos R e R, onde: R ( F) * (S S ) S e R F * (S S ) S, sendo: F 0,68 (nverso da seção Áurea).

16 60 5. Calcula-se a função f(r) e f(r) (equação 6): G f(r) e G f(r) 6. Descarta-se parte da função, ou a dreta de G ou a esquerda de G: Se G < G S < Xmn < R Então (abandona-se o segmento R S ) Faz-se: S R e retorna-se ao passo Se G > G R < Xmn < S Então (abandona-se o segmento S R ) Faz-se: S R e retorna-se ao passo 7. Após IT terações: Xmn (S S)/ Para a coordenada Y deve ser aplcado procedmento análogo Determnação do Ponto Central pela Análse Agregada Métrca Eucldana A determnação do ponto central pela métrca Eucldana será apresentada a título de lustração, uma vez que, para atender as necessdades deste trabalho, todos os cálculos serão realzados utlzando-se a métrca retangular. A determnação do Ponto Central pela Métrca Eucldana nada mas é que mnmzar a função f(,) apresentada a segur. n [ ] ( ) P ( ) ( ) f, Equação 9 Onde: f(,) é a função que deve ser mnmzada para o cálculo do Ponto Central Eucldano

17 6 deve atender n é o número de pontos de orgem e/ou destno que a facldade e são respectvamente as coordenadas dos pontos de orgem e/ou destno que a facldade deve atender nos eos e e são as coordenadas do ponto central P é o peso ou mportânca de cada ponto de orgem ou destno. O ponto de mínmo da equação 9 é obtdo gualando a zero as dervadas de f(,) em relação à e. f, ) P ( ) [( ) ( ) ] 0 ( f, ) P ( ) [( ) ( ) ] 0 ( Equação 0 Equação Das equações acma se chega às soluções para e : P P / [( ) ( ) ] / Equação P P / [( ) ( ) ] / Equação 3

18 6 Como pode ser observado, para a solução das equações e 3 é necessáro a aplcação de método teratvo uma vez que para a determnação de e de é necessáro saber a dstâncas dos outros pontos da rede em relação a e, que não são conhecdos. Segundo LEAL (006 A), o método teratvo mas utlzado para a solução desta equação é o de Wesfeld, que consste nas seguntes etapas:. Consderar ncalmente / gual para qualquer valor de, ou seja, a dstânca de qualquer ponto dado ao ponto central é a mesma.. Calcular 0 e 0, com as seguntes fórmulas: P P 0 Equação 4 P P 0 Equação 5 3. Calcular os valores de /, usando os valores determnados anterormente para e ( 0 e 0 ). 4. Calcular e através das fórmulas:

19 63 ( ) ( ) [ ] / / P P Equação 6 ( ) ( ) [ ] / / P P Equação 7 5. Repetr os tens 3 e 4 até que a dferença relatva entre os dos pontos centras calculados sequencalmente seja menor ou gual à precsão desejada. Este crtéro está representado a segur: ( ) ( ) ( ) ε k k k / Equação 8 ( ) ( ) ( ) ε k k k / Equação 9 Onde: ε é a precsão desejada para o cálculo. Segundo OVAES (989), durante a eecução deste método, este a possbldade do ponto central calculado concdr com um dos pontos dados, neste caso, o resultado de / será zero, desta forma a solução torna-se nstável, uma vez que este termo é o denomnador das equações 5 e 6. Para evtar este problema é proposto um artfíco na solução que, na verdade, é o acréscmo de uma constante postva e desprezível, denomnada D, que tem normalmente o valor de 5 centésmos da undade medda da dstânca.

20 64 Desta forma para a solução do problema, o termo / fca da segunte forma: D /. Onde undade D 05, 0.