Modelo Heurístico para Otimização de Rotas nos Serviços de Leitura de Hidrômetros

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1 Trabalho apresentado no XXXV CNMAC, Natal-RN, Modelo Heurístco para Otmzação de Rotas nos Servços de Letura de Hdrômetros Suvana A.O.Pureza Unversdade Federal do Ro Grande Programa de Pós Graduação em Modelagem Computaconal Campus Carreros, Ro Grande, RS E-mal: Elane C. Perera Unversdade Federal do Ro Grande - Programa de Pós Graduação em Modelagem Computaconal Campus Carreros, Ro Grande, RS E-mal: ecpdmt@terra.com.br Cata Mara Machado Unversdade Federal do Ro Grande - Programa de Pós Graduação em Modelagem Computaconal Campus Carreros, Ro Grande, RS E-mal: catamachado@furg.br Resumo: Este trabalho tem por objetvo propor uma metodologa heurístca para o Problema de Cobertura de Arcos aplcado aos servços de saneamento, em específco na letura de hdrômetros. Dentro deste contexto fo desenvolvdo um aplcatvo que permte o planejamento de rotas de manera que os custos em dstânca percorrda sejam reduzdos e mantenham-se aproxmadamente os mesmos em todos os percursos. A metodologa fo dvdda em quatro etapas. Na prmera etapa, para compreender melhor o problema, fez-se uma pesqusa de campo organzando os dados dsponblzados por uma empresa de saneamento. A segunda etapa fo caracterzada pelo cadastramento de pontos em um mapa georeferencado da regão escolhda para a pesqusa. Os pontos cadastrados servram para determnar e consequentemente, desgnar as medanas relaconadas, o que consttu a tercera etapa. Para sso utlzou-se respectvamente o algortmo de Tetz Bart modfcado e o algortmo de desgnação de Gllet e Johnson adaptado. Ao fnal desta etapa formaram-se os subsetores de atendmento para os leturstas. Na quarta e últma etapa, foram determnadas as rotas de cada subsetor através do algortmo genétco. A efcênca das heurístcas que embasaram o aplcatvo desenvolvdo, fo comprovada através dos testes realzados, os quas obtveram resultados de boa qualdade. 1. Introdução Os servços de saneamento têm despertado maor atenção, desde o século passado. Essa atenção fo aumentando à medda que centstas constataram em suas pesqusas que mutas doenças eram causadas através da transmssão de agentes físcos, químcos e bológcos contdos na água. Segundo [6], o saneamento caracterza o conjunto de ações socoeconômcas que têm por objetvo alcançar Salubrdade Ambental. De acordo com o Atlas de Saneamento 2011, entre 2000 e 2008 houve um avanço no número de muncípos cobertos pelo saneamento básco em todas as regões do Brasl, apesar de persstrem dferenças regonas marcantes na abrangênca muncpal dos servços de esgotamento santáro, de abastecmento de água, de manejo de águas pluvas e de resíduos sóldos. Ao que se refere a saneamento ctam-se alguns tpos de servços báscos relaconados ao assunto, como: servços de abastecmento de água as populações, servços de coleta, tratamento e dsposção adequada e segura de águas resduas, como exemplo, os esgotos santáros; servços de coleta de águas pluvas e controle de nundações. É responsabldade dos servços de saneamento básco elmnar ou reduzr elementos químcos e mcro-organsmos a concentrações que não sejam prejudcas à saúde. DOI: / SBMAC

2 Tratando-se anda do servço de saneamento é emnconado o setor de faturamento que toma como base a letura de hdrômetros nstalados nos prédos resdencas, comercas e públcos. Para a realzação desse servço funconáros, denomnados leturstas, são encarregados de deslocarem-se até as resdêncas, dentfcarem os hdrômetros das mesmas e utlzarem um mcrocomputador para emtr a fatura. Além de conferrem dados do logradouro, prestarem nformações dversas e verfcarem as condções de nstalação predal de água. Essa tarefa é realzada através de camnhada, podendo gerar um desgaste físco e de tempo, ocasonando mpactos econômcos além de nfluencar na qualdade de vda dos funconáros e consequentemente no atendmento oferecdo a população. Dante desse contexto, fo proposto um modelo para o Problema de Cobertura de Arcos aplcado a um estudo de caso relaconado ao servço de leturas de hdrômetros da Companha Rograndense de Saneamento - CORSAN, da cdade de Ro Grande, RS, tendo o objetvo de otmzar o percurso realzado por cada letursta e obter rotas que tenham aproxmadamente a mesma dstânca. Para sso, foram utlzadas técncas da pesqusa operaconal, bem como problemas de otmzação combnatoral em específco, os Problemas de Cobertura de Arcos, assocados a metaheurístca dos Algortmos Genétcos (AG s). Para modelar o Problema de Cobertura de Arcos desenvolveu-se uma metodologa dvdda em quatro etapas. Na prmera etapa, foram organzados os dados reas relaconados ao servço de letura através de uma pesqusa de campo com o fm de caracterzar e estruturar o problema. Na segunda etapa, fo defndo um setor, dentre os dez utlzados atualmente nos servços de letura. Após, fo feto o cadastramento de pontos utlzando um mapa georeferencado do setor escolhdo anterormente. Na tercera etapa, foram estabelecdas as medanas necessáras para o problema, desgnando as mesmas aos demas pontos cadastrados. Dessa manera, foram formados os subsetores de atendmento. Logo, na quarta e últma etapa, o percurso a ser obedecdo dentro de cada subsetor fo determnado. Na prmera etapa, pesqusa de campo e estruturação do problema, foram realzadas uma sére de entrevstas com funconáros responsáves pelo setor de faturamento da empresa e também uma pesqusa bblográfca relaconada a casos semelhantes que utlzaram técncas da Pesqusa Operaconal. Através das entrevstas foram coletadas váras nformações sobre o processo de letura, sendo essas organzadas e analsadas. Atualmente, a empresa conta com a partcpação de oto Leturstas que têm a função de efetuar as marcações de consumo de água em dez setores de atendmento num período de 20 das útes. A partr das nformações obtdas, partu-se para a segunda etapa para determnar a regão de pesqusa, sendo esta formada pelo setor oto. Este setor comtempla característcas mportantes pos abrange grande parte da área central do muncípo, e também locas perfércos. Dessa forma, o modelo proposto contemplou característcas geras que poderam se adaptar em outros setores de atendmento, ou seja, em outras regões. Atualmente o setor oto, possu lgações dstrbuídas em 24 rotas obtdas através do Sstema Comercal Integrado (SCI), desenvolvdo especfcamente para a companha. Partndo dsso, fo possível determnar o número de lgações e de hdrômetros nas 24 rotas que compõem o setor. Além dsso, obteve-se as dstâncas totas percorrdas em cada uma das 24 rotas apresentadas, totalzando metros. Para sso, teve-se como auxílo, o programa Google Maps (programa desenvolvdo pelo Google, onde é possível obter as dstâncas de um local a outro e consequentemente sua rota). Nos servços de letura o funconáro deve percorrer ruas referentes às leturas que deve realzar. Em cada rua exstem trechos de quadra, denomnação dada aos pedaços de rua que começam e termnam na ntersecção de duas ruas transversas. Para defnr a área total e procurar a melhor dferencação dos trechos produtvos fo necessáro estabelecer um mapa ncal representando o setor oto. Dentro deste mapa fo ntroduzdo um ponto médo em cada metade de trecho de quadra e nas nterseções de ruas. Todos os pontos ntroduzdos determnaram os pontos de parada, que contemplaram todos os endereços dentro de cada trecho de quadra. Anda na segunda etapa, foram determnadas as coordenadas de cada um dos pontos que delmtaram os trechos de quadra totalzando 1691 pontos. Prelmnarmente a tercera etapa, fo estabelecda a matrz das dstâncas através das dstâncas entre dos pontos. Tanto as coordenadas quanto as dstâncas foram determnadas com DOI: / SBMAC

3 o auxílo o software Autodesk AutoCAD Map 3D em um mapa georeferencado em coordenadas UTM (Unversal Transversa de Mercator). Então, na tercera etapa, determnou-se 24 medanas, o que formou posterormente 24 subsetores de atendmento. Foram escolhdas 24 medanas para que ao fnal do estudo fosse possível comparar as 24 rotas exstentes atualmente com as que fossem geradas nessa pesqusa. Para sso utlzou-se o algortmo de Tetz e Bart modfcado por C ADP [3], menconado nessa pesqusa como método das regões. Para obter a solução ncal o algortmo dvdu o mapa do setor oto em 24 subsetores. Partndo dsso, fo atrbudo para cada subsetor, uma medana ncal, totalzando 24 medanas. Essas foram desgnadas aos demas pontos do mapa através do algortmo de desgnação de Gllett e Johnson adaptado [5] e [1], formando os subsetores de atendmento. Defndos as subsetores, partu-se para a quarta e últma etapa onde fo realzado o roteamento dentro de cada subsetor, gerando 24 rotas ao todo. Para sso, utlzou-se a metaheurístca dos Algortmos Genétcos. Tas algortmos flexíves, podendo se adaptar com as restrções de cada problema. 2. Modelo Proposto para desenvolvmento do trabalho Para a determnação dos subsetores a serem percorrdos por cada letursta, fo utlzado o algortmo de Tetz e Bart modfcado por C ADP, a fm de preservar a qualdade de solução obtda pelo método clássco de Tetz e Bart [9] e reduzr o tempo computaconal. Esta heurístca basease na substtução de vértces e tem como objetvo melhorar o valor da função objetvo a cada teração, a partr de uma solução ncal. Tal heurístca é fácl de mplementar além de produzr bons resultados em problemas de pequeno porte. Este algortmo basea-se na heurístca clássca de substtução de vértces combnada à exploração das característcas estruturas dos vértces do grafo que modelam os problemas de localzação. Este algortmo também pode ser denomnado como Método das Regões. Seja um grafo G (V, A) onde V é o conjunto de todos os vértces do grafo e A são os subconjuntos de arcos que lgam dos vértces de V. Sendo v os possíves vértces medanas e v j os demas vértces do grafo, determna-se a soma das menores dstâncas de um vértce v a todos os demas vértces v j. O resultado dessa soma orgnará o número de transmssão σ(v ). σ(v ) = n j=1 w j d(v, v j ), v, v j ε V, onde v é um vértce qualquer de, v j refere-se aos outros vértces de V, w j refere-se ao peso atrbuído ao vértce v j e d(v, v j ) é a menor dstânca do arco que lga v e v j. Dessa forma, a solução ncal aponta para os vértces mas centras e o algortmo de Tetz e Bart modfcado por C ADP é descrto a segur: Passo 1: Dvda a regão R em p regões, de modo que R = R 1 R 2 R n. Passo 2: Aplque o método das potêncas em cada uma das p regões, determnando assm os autovetores domnantes V 1, V 2,, V p de cada uma das regões. Passo 3: Para cada vetor V, com = 1,..., p, forme conjuntos V com os vértces correspondentes às componentes de V ordenadas em ordem crescente. Passo 4: Consdere um percentual do total de elementos de V. Para cada conjunto V do passo 3, forme subconjuntos ordenados X com os j prmeros elementos de V. Denote esses subconjuntos por: X = {x X, n = 1,, j} Passo 5: Forme o conjunto S, S = {x 1 X, = 1,, p}, denomnado solução ncal do problema. Calcule o valor da Função Objetvo para o conjunto S. Passo 6: Rotule os vértces de x k (X S), como não testados. Passo 7: Para algum, selecone o elemento x k (X S) não testado, mas próxmo de x n S de acordo com a ordenação de X. Passo 8: Compute a "redução" nk no número de transmssão, da substtução de x n por x k, sto é, compute: nk = σ(s) σ(s {x k } {x n }, com: ) Se nk 0 rotule o vértce x k como testado e volte ao passo 7. ) Se nk > 0 efetuar S S {x k } {x n }, rotular x k como testado e volte ao passo 7. DOI: / SBMAC

4 Passo 9: Repetr os passos 7 e 8 até que todos os vértces dos subconjuntos X estejam rotulados como "testados". Este procedmento é referdo como cclo. Se, durante o últmo cclo nenhuma substtução fo feta no passo 8(), vá ao passo 10. Caso contráro, rotule todos os vértces como "não testados" e retorne ao passo 7. Passo 10: Pare. O conjunto S atual é o conjunto de p-medanas X p. No algortmo de Tetz e Bart modfcado por C ADP percebe-se que buscando em cada uma das regões somente uma medana, o vértce não-testado de maor centraldade que será analsado, será substtuído apenas pelo vértce pertencente ao conjunto solução vgente que se encontra na mesma regão que ele. As modfcações propostas reduzem sgnfcatvamente o número de terações do algortmo. Após determnar as medanas é possível desgnar os pontos restantes, contdos na regão, a cada medana gerando subregões (clusters) dentro de uma regão maor. Isso pode ser obtdo através do algortmo de desgnação proposto por Gllet e Johnson, o qual desgna os pontos restantes denomnados pontos de parada, às medanas estabelecdas prevamente. Este algortmo e pode ser descrto da segunte manera: Consdere um grafo que contenha ncalmente pontos, anda sem desgnação. Sendo M pontos medanas, para cada ponto tem-se M1() como prmera medana mas próxma de e M2() como segunda medana mas próxma de. Para cada ponto será calculado a razão r entre M1() e M2(), sendo: r = M1(). Após esta razão ser calculada para todos os pontos, exceto os M2() pontos medanas, estes são dstrbuídos em ordem crescente de desgnação respetando os valores determnados por r. O processo de desgnação começará pelos pontos que obtverem menor razão r, levando em consderação a capacdade de cada medana. O cálculo da razão r é realzado para se perceber a urgênca de cada ponto no momento de desgnação, ou seja, quanto menor for o valor de r maor será a urgênca. A partr da desgnação dos pontos às medanas determna-se as regões de atendmento através da Metaheurístca do Algortmos Genétco (AG). Em sua mplementação optou-se pela representação por camnho gerando aleatoramente uma população ncal que contém um número pré - estabelecdo de ndvíduos. Segundo [7], não há necessdade de uma população muto numerosa para obter a melhor solução. Portanto neste trabalho optou-se em utlzar 100 ndvíduos para cada população. Após gerar aleatoramente uma população ncal fo utlzado o método da roleta, para seleconar os ndvíduos que faram parte do cruzamento. O algortmo para o método de seleção por roleta segue os seguntes passos: Passo 1: Some a aptdão de todos os membros da população (Ar); Passo 2: Gere um número aleatóro: 0 < n Ar Passo 3: Selecone o prmero ndvíduo da população cuja aptdão, somada à aptdão dos membros precedentes é maor ou gual a n, ou seja, A n. Após a seleção dos ndvíduos utlzou-se o operador de cruzamento HX. Segundo [8], este operador, comparado a outros operadores de cruzamento, é o que apresenta melhor desempenho na solução, devdo ao uso trocas heurístcas. De acordo com [2] e [4], o valor da taxa de cruzamento está compreenddo entre 0,4 e 0,95. No trabalho proposto, esta taxa fo fxada em 0,85 a cada geração. O operador de mutação mplementado nesse trabalho fo o de nversão, com uma probabldade fxada, no valor de 0,01 para cada geração. Na lteratura estudada encontrou-se os valores de mutação na faxa de 0,01 e 0,05. Uma baxa taxa de mutação prevne que uma dada posção fque estagnada em um valor, além de possbltar que se chegue a qualquer ponto do espaço de busca. Com uma taxa muto alta a busca se torna essencalmente aleatóra. Nesse trabalho o crtéro de parada utlzado fo através do número de terações, sendo de gerações para cada subsetor. Logo, concluu-se as quatro etapas da metodologa proposta. Os algortmos foram mplementados e desenvolvdos em lnguagem "Object Pascal" (programação gráfca orentada a objetos) utlzando-se do software Delph No entanto, fo desenvolvdo um aplcatvo denomnado Cobertura de Arcos o qual oferece certa flexbldade de ações, podendo ser acrescentado outras regões e não apenas a regão escolhda neste estudo. DOI: / SBMAC

5 Isso dá autonoma ao usuáro na escolha das opções de cálculo para o problema das p-medanas e também os crtéros de parada para o AG, na obtenção das rotas, entre outras opções. 3. Obtenção dos Resultados De acordo com a descrção dos algortmos, apresentada na seção anteror, determnou-se para este trabalho 24 medanas e consequentemente os 24 subsetores de atendmento dentro do setor oto através, respectvamente dos algortmos de Tetz e Bart modfcado por C ADP e de Gllet e Johnson, conforme lustra a Fgura 1. Fgura 1 - Vsualzação da desgnação no setor oto Após a obtenção dos subsetores de atendmento, fo estabelecdo um percurso otmzado em cada um deles através do Algortmo Genétco, orgnando rotas de custo mínmo em dstânca percorrda. Para cada população cruzou-se 85% dos ndvíduos, fez-se mutação de nversão smples em 1% e manteve-se 14% dos ndvíduos. Para o crtéro de parada fo estabelecdo o número máxmo de terações. O custo fnal fo calculado por meo das dstâncas eucldanas entre os 1691 pontos cadastrados, sendo 1236 pontos médos a cada trecho de quadra e 455 pontos de nterseções de ruas. Foram utlzados os pontos de nterseções de rua para estabelecer o percurso de cada rota de manera que se aproxmasse do problema real. A Fgura 2 apresenta uma das rotas referentes a um dos 24 subsetores gerados pelo aplcatvo Cobertura de Arcos. Fgura 2 - Rota referente ao subsetor sete DOI: / SBMAC

6 Dessa forma, foram estabelecdas 24 novas rotas para atendmento no servço de Letura de Hdrômetros. 4. Conclusões O objetvo deste trabalho é de propor um modelo para o Problema de Cobertura de Arcos aplcado aos servços de letura de hdrômetros de manera que sejam determnadas rotas que tenham aproxmadamente a mesma dstânca e percurso otmzado. A utlzação do algortmo de Tetz e Bart modfcado por C ADP ofereceu uma solução satsfatóra para obtenção das 24 medanas. Além dsso, o algortmo de Gllet e Jonhson adaptado possbltou uma dstrbução gualtára dos demas pontos do mapa do setor oto de manera que os 24 subsetores atngssem aproxmadamente a mesma dstânca. Em relação a dstânca total percorrda em todas as 24 novas rotas fo obtdo um total de ,10 metros. Esse valor comparado com as dstânca atuas de metros, resulta em uma dferença de metros. Essa dferença pode não ser tão elevada consderando apenas um setor, porém se o modelo proposto for aplcado para os dez setores exstentes atualmente no muncípo, acredta-se que o total de dstânca percorrda poderá dmnur consderavelmente. Através do algortmo genétco percebeu-se um equlíbro em relação a dstânca total percorrda em cada rota. Através desse, fo possível estabelecer rotas com percursos otmzados de manera que não nterferssem no servço de letura em que todos os endereços contdos no SCI fossem contemplados. Por esse motvo o AG mostrou-se efcente. Outro fator mportante desta pesqusa fo o aplcatvo, sendo desenvolvdo a partr da mplementação o qual apresenta uma nterface gráfca, possbltando ações do usuáro na elaboração de mapas dos subsetores assm como relatóros para que os leturstas tenham um referencal ao deslocarem-se nos subsetores de atendmento. Desta forma, os leturstas terão acesso a mapas atualzados contendo os trajetos das ruas a serem percorrdos, uma vez que o servço atual não dsponblza os mapas das rotas, como fo detectado na pesqusa realzada junto a empresa. Dante dessas conclusões acredta-se que essa pesqusa contrbuu nos servços de letura de hdrômetros otmzando os percursos dentro de cada rota, resolvendo assm o problema de cobertura de arcos. Salenta-se a mportânca do desenvolvmento de trabalhos centífcos que mplcam na utlzação de métodos heurístcos e suas aplcações em problemas reas. Referêncas [1] Bodn; Assad e Ball, Routng and schedulng of vehcles and crew, the state of the art. Computers & Operatons, v. 10, p , [2] C, Davd, Introducton to genetc algorthms for scentsts and engneers. Sngapure: World Scentfc, [3] F. Carolna, Teora espectral aplcada a problemas de localzação. Dssertação de Mestrado, PPGMC- Furg, [4] G. Davd. Genetc Algorthms n search, optmzaton and machne learnng. Readng, MA: Addson-Wesley, [5] Golden; Magnant e Nguyen, Q. Implementng vehcle routng algorthms. Networks, v. 7, p , [6] Gumarães; Carvalho e Slva. Saneamento básco Dsponível em: < /Cap%201.pdf>. Acesso em: 20 abr DOI: / SBMAC

7 [7] S. Andrea, Técncas da pesqusa operaconal aplcadas a um problema de cobertura de arcos. Dssertação de Mestrado PPGMNE Ufpr, [8] T. Fernando, Análse dos operadores de cruzamento do algortmo genétco aplcado ao problema do caxero vajante. Dssertação de Mestrado PPGMC, Furg, [9] Tetz e Bart, Heurstcs methods for estmatng the generalzed vertex medan of a weghted graph. Operatons Research, v. 16, p , DOI: / SBMAC