MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO ESCALAR DE LEIS DE CONSERVAÇÃO

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1 MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO ESCALAR DE LEIS DE CONSERVAÇÃO Lorena Resende Olvera 1 ; Douglas Azevedo Castro 2 1 Aluna do Curso de Engenhara de Boprocessos e Botecnologa; Campus de Gurup; e-mal: lorenaresendeo@uft.edu.br PIBIC/UFT 2 Orentador do Curso de Químca Ambental; Campus de Gurup; e-mal:dacastro@mal.uft.edu.br RESUMO Neste trabalho dscutmos sobre a aproxmação numérca da solução de um problema parabólco de les de conservação undmensonal. Este pode ser utlzado para avalar as etapas de produção de um boproduto, com o ntuto de se obter um maor controle do processo de produção. Para tal, utlzamos o método de dferenças fntas de Crank- Ncholson. A dscretzação do problema fo mplementada numercamente na plataforma Lnux, utlzando a lnguagem C. Através das smulações observamos quas confgurações são de nteresse para a ndústra, quando o nteresse está no deslocamento de matéra. A equação que consderamos, contém um termo dfusvo e um termo convectvo. Em nossos expermentos, verfcamos os efetos que a solução sofre quando o termo convectvo ou o termo dfusvo é domnante. Constatamos que, para ser de nteresse da ndústra, ou sea, para que haa transporte de matéra é necessáro que o termo convectvo sea muto maor que o termo dfusvo. Observamos que, quando há domíno do termo dfusvo, a solução apenas se torna suave e não transporta matéra. Palavras-chave: Lnguagem de Programação; Métodos Numércos; Equações Dferencas Parcas; Les de Conservação; Dferenças Fntas. INTRODUÇÃO As les de conservação possuem dversas aplcações no campo da engenhara, em questões relaconadas ao controle de operações untáras, que são classfcadas em transferênca de massa, calor e mecânca [3]. Esses fenômenos físcos estão presentes em etapas do processo de tratamento de água, ndústras químcas e de boprocessos, quando se trata das operações de separação do boproduto do caldo clarfcado ou da própra bomassa, dentre outras aplcações. O obetvo prncpal do trabalho é a resolução numérca do problema parabólco de les de conservação, ver [7], Págna 1

2 u t + f u x = vu xx + S u, 1 u 0 x = u x, 0, 2 u 1, t = g 0 t, se t > 0, 3a u 1, t = g 1 t, se t > 0, 3b Consderamos, como em [9], f u = cu e S u = 0, com (c > 0). Logo (1) é tal que u t + cu x = vu xx. (4) A equação (4), também conhecda como equação de convecção-dfusão recebe esse nome devdo a sua propredade físca, ou sea, ela possu a contrbução de dos fluxos (dfusvo e convectvo) [5]. O fluxo convectvo é representado pelo termo da dervada parcal de prmera ordem em x, á o efeto dfusvo pela dervada parcal de segunda ordem. A equação (4) possu a segunte forma admensonal: u t + u x = 1 Pe u xx, (5) em que o coefcente de dfusão v é dado em função do número de Péclet, um número admensonal, que mede a mportânca relatva entre as contrbuções dfusvas e convectvas. Então, se essa razão é 1, o fenômeno de convecção é domnante, caso contráro, o fenômeno dfusvo domna. Para valores na faxa ntermedára, a solução do problema u, terá um comportamento msto, nfluencado pelos fenômenos. MATERIAL E MÉTODOS O método de dferenças fntas de Crank-Ncholson é um método mplícto e ncondconalmente estável [1;8]. Com a dscretzação da equação dferencal (1) pelo método de dferenças fntas de Crank-Ncholson obtemos a segunte equação compacta: em que A u B u +1 + C u = D u 1 + E u + F u +1 + G, 6 A = tf u 1 v t v t, B = x2 x 2, C = tf u +1 v t 2 x 2, D = tf u 1 + v t v t, E = 1 2 x2 x 2, F = tf u +1 + v t 2 x 2, (7) G = f u +1 t f u 1 2 x t Realzada a partção da faxa [ L, L], temos uma quantdade N de pontos no exo x, nos quas a solução para o problema (1) será aproxmada. Para = 1, 2, 3,, n 1, obtemos um sstema de equações, que na forma matrcal é escrta como: Págna 2

3 com R = D u 1 B(1) C(1) A(2) B(2) C(2) A(3) B(3) C(3) A(4) B(4) C(4) A(n 2) B(n 2) C(n 2) A(n 1) B(n 1) + E u + F u +1 + G(). u 1 +1 u 2 +1 u 3 +1 u u n 2 +1 u n 1 = R 1 R 2 R 3 R 4 R n 2 R(n 1) A resolução do sstema trdagonal fo realzada utlzando o Algortmo de Thomas, também conhecdo como TDMA (Trdagonal Matrz Algorthm), á que a matrz obtda é dagonalmente domnante. Sendo mplementada em lnguagem C, na plataforma Lnux, e a cração dos gráfcos fo realzada utlzando o software gnuplot. (8) RESULTADOS E DISCUSSÃO Nas smulações, prmeramente escrevemos métodos para calcular cada coefcente da equação (6) e fornecemos a condção ncal (2), que é a solução para o sstema (8) no tempo t 0 = 0. Nesse tempo, são preenchdas a matrz A, o vetor dos termos ndependentes B e resolve-se o sstema (8), para determnar o valor da função u no nível de tempo t = t. Logo após, a condção ncal (2) recebe os valores da função u e, a matrz A, o vetor B são preenchdos novamente para se obter o vetor U, que é a solução no nível t = 2 t. Por recorrênca, pode-se calcular o vetor solução U em qualquer nível de tempo t = k t, com k = 1, 2, 3,. Entretanto, os resultados obtdos devem estar de acordo com a teora, que pode ser encontrada em [9]. Para todas as smulações consderamos CFL = 0.4, que é um parâmetro de establdade que determna o passo de tempo t, á que é dado pela segunte equação: CFL = c t x Para a prmera análse, fxamos o número de Péclet (Pe = 1000) e fzemos a partção do domíno [ L, L] da malha com L = 1.0, em duas possbldades n 1 = 100 e n 2 = 1000 e para a segunda análse, o número de Péclet fo fxado em (Pe = 100) e obtvemos as seguntes soluções para t = 0.5, conforme fguras 1 e 2 a segur: (9) Págna 3

4 Fgura 1: Solução ncal (pontlhada), solução analítca (lnha) e Método de Crank-Ncholson (círculos) com Pe = (a) n 1 = 100 e (b) n 2 = Fgura 2: Solução ncal (pontlhada), solução analítca (lnha) e Método de Crank-Ncholson (círculos) com Pe = 100. (a) n 1 = 100 e (b) n 2 = Na fgura 1(a), podemos vsualzar o gráfco da solução do problema analsado em uma malha com 100 pontos. Podemos observar que, a solução apresenta nstabldades próxmas à frente, devdo ao grande espaçamento entre os pontos da malha, fazendo com que as dervadas da equação (5), não seam bem aproxmadas. Já na fgura 1(b), percebemos que, com o maor refnamento do domíno, as osclações próxmas à frente desaparecem, pos as aproxmações das dervadas são melhores. Em ambos os casos, como sugerdo na teora, tomando o número de Pe grande, o termo convectvo domna o termo dfusvo, fato observado no tpo de nclnação da frente, pos quanto mas convectvo é o problema, mas nclnado é a frente. Na fgura 2, estudamos o efeto sofrdo pela solução do problema ao dmnur o número de Péclet para (Pe = 100) e nos dos casos (a e b) o termo dfusvo afeta a solução numérca fazendo com que a frente tenha uma queda mas suave. E quando, no Págna 4

5 fenômeno físco estudado, o nteresse está no deslocamento de alguma matéra, muta suavdade na frente sgnfca que alguma parte do materal não está sendo transportado, o que mplca na perda de captal pela ndústra. LITERATURA CITADA [1] BARONAS, R.; IVANAUSKAS, F.; KULYS, J. Mathematcal Modelng of Bosensors: An Introducton for Chemsts and Mathematcans.Sprnger, New York, [2] CAUSON, D. M.; MINGHAM, C. G. Introductory Fnte Dfference Methods for PDEs.Sprnger-Verlag, [3] BRESSAN, A., CHEN, G. G., LEWICKA, M.; WANG, D. Nonlnear Conservaton Laws and Applcatons.Sprnger-Verlag, [4] DEITEL, H. M.; DEITEL, P. J. C++, Como Programar. 3ª ed., Bookman, Porto Alegre, [5] HIRSCH, C. Numercal Computaton of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computatonal Flud Dynamcs. 2ª ed., vol.1, [6] HOFFMANN, A. K.;CHIANG, T. S. Computatonal Flud Dynamcs.4ª ed., Engneerng Educaton System, vol.1, [7] IÓRIO, V. M. EDP, um Curso de Graduação. Impa, Ro de Janero, [8] LEVEQUE, R. J. Fnte Dfference Methods for Dfferental Equatons.Unverstyof Washngton,2005. [9] ROUSSEL, O., SCHNEIDER, K., TSIGULIN, A.; BOCKHORN, H. A conservatve fully adaptve multresoluton algorthm for parabolc PDEs. Journal of Computatonal Physcs, v. 188, 2003, p AGRADECIMENTOS Ao Professor Dr. Douglas Azevedo Castro, orentador deste trabalho de Incação Centífca, pelos ensnamentos, pacênca e pelas ndspensáves sugestões para a realzação deste trabalho. "O presente trabalho fo realzado com o apoo da UFT Págna 5